Анализ линейной цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

ток частотный цепь

1. Техническое задание

2. Анализ цепи во временной области

3. Анализ цепи операторным методом при действии одиночного импульса на входе

4. Анализ цепи частотным методом при действии одиночного импульса

5. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии



1. Техническое задание

Схема типа А:

112 - источник тока i; 221 - сопротивление R1; 323 - сопротивление R2;	431 - индуктивность L3; 534 - индуктивность L4; 641 - сопротивление нагрузки RН.

Найти ток нагрузки Rн.

Рис. 1. Исходная схема электрической цепи 2^го порядка (R_Н = 1 Ом)

Таблица 1. Параметры цепи (R, Ом; L, Гн)

Вар.	Характеристика элементов	Характеристика сигнала
	1	2	3	4	Форма импульса (рис. 2)	Длительность ф, с	Амплитуда
Тип А
9	R=2	R=1	L=1	L=2	г	3	1	2

Рис. 2. Форма импульса

2. Анализ цепи во временной области

Составление уравнений состояния цепи для

Анализ переходных процессов в цепях n-го порядка проще всего проводить по уравнениям состояния.

Уравнениями состояния называют любую систему дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме (форме Коши), которая описывает состояние (режим) данной цепи.

,

где

матрица источников (воздействий);

матрица переменных состояния;

матрицы коэффициентов.

Для составляем уравнение состояния, используя метод вспомогательных источников. В исходной схеме (Рис. 1) заменяем:

L₃ - элемент источником тока ;

L₄ - элемент источником тока .

Получим схему:

Рис. 3



Теперь рассматриваем R - цепь.

Запишем уравнения состояния для этой цепи:

С помощью метода узловых потенциалов найдём и .

Для этого преобразуем ИТ и в ИН , сложим два последовательно соединённых резистора, получим один , получим схему:

Рис. 4

(Далее, для удобства записи, вместо, будем писать просто )

Для нахождения неизвестных узловых потенциалов, составим систему уравнений:

,



где:

G11 = 1/Rн = 1/1 = 1

G22 = 1/R12 = 1/3 = 0,3333

G12 = G21 = 0

G13 = 0

G23 = -1/R12 = -1/3 = -0,3333

Получаем матрицу:

Решаем систему уравнений:



Получаем уравнения состояния:

Найдём характеристическое уравнение из условия:

, тогда

Получим:

Найдём корни полученного характеристического уравнения.



Получившиеся разные отрицательные корни характеристического уравнения означают, что искомая реакция будет иметь форму апериодического затухающего характера.

Общий вид решения уравнений состояния будет иметь вид:

Определим вынужденные составляющие и из уравнений состояния, приняв воздействие , тогда:

Решим полученную систему уравнений.

Домножим второе уравнение на 2 и вычтем его из первого, получим что , следовательно, подставив это значение в первое уравнение, получим что .

Поскольку требуется найти реакцию , найдём постоянные интегрирования и для второго уравнения состояния. Для этого составим систему уравнений при :



Решив данную систему, получим что:

Таким образом, выражение переходной характеристики выходной реакции будет выглядеть следующим образом:

Переходная характеристика цепи

График переходной характеристики представлен на Рис. 5.

Рис. 5



3. Анализ цепи операторным методом при действии одиночного импульса на входе

Определение функции передачи цепи по току.

Для исходной схемы (Рис. 1), построим операторную схему замещения (Рис. 6)

Рис. 6

Предположим, , тогда:

Перерисуем ОСЗ, подставим известные величины, получим:



Рис. 7

Поскольку ННУ нулевые =>

Методом пропорциональных величин, из операторной схемы замещения (Рис. 6), найдём .



Таким образом, получим изображение по Лапласу передаточной функции:

Определение нулей и полюсов функции передачи.

Нули - корни числителя, полюса корни полинома знаменателя функции передачи. В данном случае у передаточной функции один ноль . Полюса, называемые также частотами собственных колебаний цепи, являются корнями характеристического уравнения

.

Они равны (см. п. 1, где получилось аналогичное уравнение). Практическая длительность переходного процесса будет следующей:



Рис. 8

Получившиеся разные отрицательные корни характеристического уравнения означают, что искомая реакция будет иметь форму апериодического затухающего характера.

Определение переходной характеристики цепи.

Переходную характеристику - реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию при нулевых независимых начальных условиях - находим как оригинал функции

Перейдём от изображения функции к оригиналу, для этого необходимо разложить полученную дробь на простейшие, получим:

Тогда:



Общий вид переходной характеристики будет иметь вид:

Подставим вычисленные значения А и В, получим:

Переходная характеристика цепи

График переходной характеристики представлен на Рис. 5.

Определим значения при и :

Схемы замещения, соответствующие данным значениям представлены на Рис. 9:

а) ;

б)

а () б

Рис. 9

Определим значения при и :

Определение изображения по Лапласу входного одиночного импульса.

Входной одиночный импульс тока , приведённый на Рис. 2, может быть описан:

- во временной области:

- в операторной форме:

Определение изображения выходного сигнала и реакции цепи во временной области .

Изображение выходного тока:

При , и получим , а :

- в операторной форме:

- во временной области:



Рис. 10

4. Анализ цепи частотным методом при действии одиночного импульса

Определение амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики цепи.

Обобщённая частотная характеристика цепи , т.е. амплитудно-фазовая характеристика, определяет связь реакции и воздействия в установившемся синусоидальном режиме для любой частоты:



причём АЧХ определяет изменение амплитуд, ФЧХ - изменение начальных фаз гармонических сигналов, проходящих через цепь.

В нашем случае получим:

Амплитудно-частотная характеристика

Рис. 11



Фазочастотная характеристика

Рис. 12

Определение полосы пропускания цепи.

Полосу пропускания цепи определяем как диапазон частот, в котором:

Из Рис. 11 получим полосу пропускания .

Определение амплитудного и фазового спектров входного одиночного импульса. Расчёт ширины амплитудного спектра.

Спектральная плотность для одиночного импульса тока :

,

где

- амплитудный,

- фазовый

спектры входного импульса тока.

Запишем полученное изображение , положив :

Амплитудный спектр входного одиночного импульса

Фазовый спектр входного одиночного импульса

При амплитудный спектр . Таким образом, нули будут при частотах: и т.д.

Рис. 13

Таблица 1

0	0	0	0
П/3	1,047198	0	8,64E-13
П	3,141593	0	3,31E-15
5П/3	5,235988	0	2,95E-15
7П/3	7,330383	0	3,09E-15
9П/3	9,424778	0	2,79E-15
11П/3	11,51917	0	2,92E-15
13П/3	13,61357	0	3,01E-15
15П/3	15,70796	0	3,07E-15



Рис. 14

Из графиков (Рис. 13, 14) видно, что спектр является сплошным, при этом характеризует относительное распределение амплитуд гармоник по частоте (спектральная плотность), а - распределение начальных фаз гармоник. Огибающая амплитудного спектра убывает пропорционально частоте.

Ширина спектра определяется по графику Рис. 13, на уровне , и составляет .

Заключение об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.

Сопоставляя спектры входного сигнала (Рис. 13, 14) с частотными характеристиками функции передачи цепи (Рис. 11, 12), можно сделать вывод о том, что первый лепесток укладываются в полосу пропускания, остальная же часть спектра располагается в зоне интегрирования, поэтому искажение формы сигнала при прохождении через цепь ожидается не значительным.



5. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

На вход цепи подан сигнал в виде периодической последовательности импульсов тока (Рис. 15) при

Рис. 15

Разложение в ряд Фурье входного сигнала. Построение его амплитудного и фазового спектра.

Периодический несинусоидальный входной сигнал представляют в виде ряда Фурье:

Комплексные амплитуды (комплексный частотный спектр) определяются соотношением



где , Аналогично для нахождения может быть использована спектральная плотность одиночного импульса:

Определим комплексные амплитуды входного сигнала, подставив в последнее выражение спектральной плотности выражение

заменив

Амплитудный дискретный спектр

Фазовый дискретный спектр



Значения амплитуд и начальных фаз гармоник ряда Фурье приведены в Таблице 2:

Таблица 2

k	|Ik1|	бk1
0	0	-
1	0,1	0
2	0,4	-1,57
3	0	-3,14
4	0,2	-4,71
5	0	-6,28
6	0,1	-7,85
7	0	-9,42

Рис. 16



Рис. 17

В данном случае ограничимся четырьмя ненулевыми гармониками, поэтому представление сигнала будет приближённым:



Рис. 18

Определение реакции в виде отрезка ряда Фурье.

Амплитуды и начальные фазы гармоник выходного тока можно найти из следующих соотношений:

;

для чего необходимо вычислить значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для требуемых частот .

Таблица 3

k	kw1	|HI(jkw1)|	|Ik1|	Ф(kw1)	бk1	|Ik2|	бk2
0	0	0	0	3,14	-	0	-
1	1,05	0,2	0,1	1,67	0	0,025	1,67
2	2,09	0,157	0,4	4,47	-1,57	0,067	2,90
3	3,14	0,044	0	4,25	-3,14	0	1,11
4	4,19	0,016	0,2	4,08	-4,71	0	-0,63
5	5,23	0,008	0	3,96	-6,28	0	-2,32
6	6,28	0,004	0,1	3,86	-7,85	0	-3,99
7	7,33	0,003	0	3,78	-9,42	0	-5,64



Построение спектров и графика выходного сигнала.

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Из полученных результатов (Рис. 21) следует, что рассмотренный периодический сигнал, при его прохождении через заданную цепь, будет иметь значительные искажения, что не оправдывает заключение об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи (см. п. 3 курсового проекта). Это связано с тем, что график аппроксимации входного периодического сигнала (Рис. 18) имеет слабое приближение к действительной его форме, а это в свою очередь объясняется малым числом входящих гармоник.

Размещено на Allbest.ru

...