Расчёты цепей постоянного и переменного тока

Размещено на http://allbest.ru

Задание 1. Переходные процессы в линейных электрических цепях

I. Для заданной схемы при коммутации ключа К₁ в момент времени t=0, когда ключ К₂ еще не сработал. выполнить следующее.

1) При постоянном источнике ЭДС е(t)=Е или тока J(t)=J определить ток i(t) или напряжение u_J(t).

а) классическим методом:

б) операторным методом:

в) построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

2). При гармоническом источнике ЭДС е(t)=v2•Е•sin(щt+б) или тока J(t)=v2•J•sin(щt + б) определить ток i(t) или напряжение u_J(t).

а) классическим методом:

б) комбинированным (операторно-классическим) методом;

в) на интервале времени 0?t?2р/щ построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

3). При импульсном источнике ЭДС е(t) = Е•e^2pt или тока J(t) = J•e^2pt и нулевых начальных условиях определить интегралом Дюамеля ток i(t) или напряжение u_J(t), построить их график зависимости (р - корень характеристического уравнения из п.1, а).

II. Для заданной схемы с постоянным источником ЭДГ ЭДС е(t)=Е или тока J(t)=J при коммутации ключа К₂ в момент времени t=0, когда ключ К₁ давно уже сработал, определить ток i(t) или напряжение u_J(t).

а) классическим методом;

б) операторным методом;

в) методом переменных состояния;

г) построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

Ш. Проанализировать методы расчета. результаты вычислений, графики зависимостей и сформулировать выводы по работе.

Исходные данные

J = 5,5 А

б = 90є

щ = 250 рад/с

R = 75 Ом

L = 0,6 Гн

С = 107 мкФ = 107·10^-6 Ф

Классический метод расчета при постоянном источнике тока

1. Изображаем расчетную схему цепи при замкнутом К₂. Показываем направления токов в ветвях.

2. Определяем независимое начальное условие (ток в индуктивности до коммутации). При постоянном токе (в установившемся режиме) напряжение на индуктивности отсутствуют (U_L = 0). До коммутации ключ разомкнут, поэтому сопротивления R можно считать включенными параллельно и делят ток источника поровну.

i_L(0_-) = i_R(0_-) = J/2 = 5,5/2 = 2,75 А

3. После замыкания ключа L и R оказываются включенными параллельно. Так как в цепи постоянного тока u_L(?) = 0, то по окончании переходного процесса весь ток источника будет протекать по индуктивности (принужденное значение).

i_L(?) = i_Lпр = J = 5,5 А

4. Составляем характеристическое уравнение, используя формулу сопротивления цепи после коммутации на переменном токе при размыкании любой ветви.

Размыкаем ветвь с индуктивностью. Учитываем, что сопротивление источника тока равно бесконечности.

Z(jщ) = R + jщL

Заменяем jщ на p и приравниваем уравнение нулю.

Z(p) = R + pL = 0

Отсюда p = -R/L = -75/0,6 = -125

5. Ищем решение для тока индуктивности в виде

i_L(t) = i_Lпр(t) + i_Lсв(t) = i_Lпр(t) + A•e^pt

Коэффициент А найдем из начального условия.

i_L(0) = i_Lпр(0) + i_Lсв(0) = i_Lпр(0) + A•e^p0 = i_Lпр(0) + A

По законам коммутации

i_L(0₊) = i_L(0_-) = i_L(0) = 2,75 А

2,75 = 5,5 + А

А = -2,75

Отсюда получаем

i_L(t) = 5,5 -2,75•e^-125t А

6. По законам Кирхгофа получаем

i_R(t) = J - i_L(t) = 5.5 - 5.5 + 2,75•e^-125t = 2,75•e^-125t А

u_J(t) = i_R(t)•R + J•R = 2,75•e^-125t•75 + 5,5•75 = 412,5 + 206,25•e^-125t В

Операторный метод расчета при постоянном источнике тока

1. Строим операторную схему замещения после коммутации.



Здесь R и рL - операторные сопротивления.

J/р - операторное изображение источника постоянного тока.

L·i_L(0) - внутренний источник, учитывающий ненулевые начальные условия.

2. Для определения операторного изображения тока I_R(p) в сопротивлении используем метод контурных токов. В качестве контурного используем также ток (операторное изображение) источника J/p.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.

I_R(p)•(R+pL) - (J/p)•pL = -L·i_L(0)

Отсюда

I_R(p) = (J•L - L·i_L(0))/(R+pL) = (5,5•0,6 - 0,6·2,75)/(75+0,6p) = 1,65/(75+0,6p)

3. Находим операторное изображение искомого напряжения.

U_J(p) = I_R(p)•R + (J/p)•R = (1,65/(75+0,6p))•75 + (5,5/p)•75 =

= 123,75/(75+0,6p) + 412,5/p = (123,75p + 30937,5 +247,5p)/(p(75+0.6p))

= (371,25p + 30937,5)/(p(75+0.6p)) = N(p)/M(p)

4. Приравниваем знаменатель нулю и находим полюсы.

p(75+0.6p) = 0

Решение уравнения дает два корня:

p₀ = 0

p₁ = -125

5. Оригинал тока находится по следующей формуле

6. Находим первую производную от знаменателя и определяем оригинал искомого напряжения.

M'(p) = 75 + 2·0,6p = 75 + 1,2p

u_J(t) = += ·e^0·t +

+ ·e^-125·t = 412,5 + 206,25•e^-125t В

Результат соответствует полученному в классическом методе расчета.

График зависимости напряжения u_J(t) при постоянном источнике тока

1. Находим постоянную времени цепи

ф = 1/|p| = 1/125 = 0,008 c = 8 мс

2. По полученному уравнению строим график напряжения в интервале 0 ? t ? 5ф.

Классический метод расчета при переменном источнике тока

1. Изображаем расчетную схему цепи при замкнутом К₂. Показываем направления токов в ветвях.

2. Выполним расчет в цепи до коммутации, используя символический метод расчета.

Комплексное действующее значение тока источника.

= 5,5•e^j90° = 5,5•(cos(90°) + jsin(90°)) = j5,5 [А]

Индуктивное сопротивление

X_L= щL= 250?0,6 = 150 Ом

Находим комплексные сопротивления ветви с индуктивностью, параллельного участка, всей цепи.

Z_RL = 75 + j150 = 167,7•e^j63,4° [Ом]

Z_п = Z_RL•R/(Z_RL+R) = (75 + j150)•75/(75 + j150 + 75) =

= (5625 + j11250)/(150 + j150) = 56,25 + j18,75 = 59,29•e^j18,4° [Ом]

Z = R+Z_п = 75 + 56,25 + j18,75 = 131,3 + j18,75 = 132,6•e^j8,1° [Ом]

Определяем напряжение на источнике тока до коммутации и напряжение на параллельном участке.

_J = •Z = j5,5•(131,3 + j18,75) = -103,1 + j721,9 = 729,2•e^j98,1° [В]

_п = •Z_п = j5,5•(56,25 + j18,75) = -103,1 + j309,4 = 326,1•e^j108,4° [В]

Определяем ток индуктивности.

_L = _п /Z_RL = (-103,1 + j309,4)/(75 + j150) = 1,375 + j1,375 = 1,945•e^j45° [А]

Из комплексных значений выражаем уравнения мгновенных значений напряжения на источнике тока и тока индуктивности.

u_J = 729,2??2?sin(щt + 98,1°) = 1031?sin(щt + 98,1°) В

i_L = 1,945•v2•sin(щt + 45°) = 2,75•sin(щt + 45°) A

Определяем значение тока источника и индуктивности в нулевой момент времени.

J(0) = 5,5·1,41·sin(250·0+90·р/180) = 7,778 А

i_L(0) = 1,945·1,41·sin(250·0+45·р/180) = 1,945 А

3. Учитывая, что ток индуктивности не может изменяться скачком. а ток генератора не зависит от коммутаций, можно найти ток i_R(0₊) и искомое напряжение в нулевой момент времени.

i_R(0₊) = J(0) - i_L(0) = 7,778 - 1,945 = 5,833 А

u_J(0₊) = i_R(0₊)•R + J(0)•R = 5,833•75 + 7,778•75 = 1020,8 В

4. Ищем искомое напряжение в виде

u_J(t) = u_Jпр(t) + u_Jсв(t) = u_Jпр(t) + A•e^pt

где p = -125 было найдено ранее.

5. Аналогично п.2 выполняем расчет цепи после коммутации и находим принужденную составляющую искомого напряжения.



Z_п = jX_L•R/( jX_L +R) = j150•75/(j150 + 75) = j11250/(75 + j150) =

= 60 + j30 = 67,08•e^j26,6° [Ом]

Z = R+Z_п = 75 + 60 + j30 = 135 + j30 = 138,3•e^j12,5° [Ом]

_Jпр = •Z = j5,5•(135 + j30) = -165 + j742,5 = 760,6•e^j102,5° [В]

_ппр = •Z_п = j5,5•(60 + j30) = -165 + j330 = 369•e^j116,6° [В]

_Lпр = _ппр / jX_L = (-165 + j330)/j150 = 2,2 + j1,1 = 2,46•e^j26,6° [А]

Из комплексных значений выражаем уравнения мгновенных значений напряжения на источнике тока и тока индуктивности.

u_Jпр = 760,6??2?sin(щt + 102,5°) = 1076?sin(щt + 102,5°) В

i_Lпр = 2,46•v2•sin(щt + 26,6°) = 3,479•sin(щt + 26,6°) A

Определяем значение принужденных напряжения источника и тока индуктивности в нулевой момент времени.

u_Jпр(0) = 760,6·1,41·sin(250·0+102,5·р/180) = 1050 В

i_Lпр(0) = 2,46·1,41·sin(250·0+26,6·р/180) = 1,556 А

6. Находим уравнение искомого напряжения из начального условия.

u_J(0) = u_Jпр(0) + A•e^p0

1020,8 = 1050 + А

А = -29,2

Окончательно получаем

u_J(t) = 1076?sin(щt + 102,5°) - 29,2•e^-125t В

Комбинированный метод расчета при переменном источнике тока

1. Комбинированный метод часто используют для расчета переходных процессов в цепях переменного тока. При этом принужденную составляющую находят классическим символическим методом, а свободную составляющую - операторным.

2. Принужденная составляющая уже найдена при расчете классическим методом.

u_Jпр = 1076?sin(щt + 102,5°) В

3. Изображаем операторную схему замещения для свободных составляющих, удалив принуждающую силу (источник тока - разрыв цепи).

Здесь

i_Lсв(0) = i_L(0) - i_Lпр(0) = 1,945 - 1,556 = 0,389 А

По закону Ома находим

I_Rсв(p) = -L•i_Lсв(0)/(R + pL) = -0,6•0,389/(75 + 0,6p) = -0,2334/(75 + 0.6p)

u_Jсв(p) = I_Rсв(p)•R = -0,2334/(75 + 0.6p)•75 = -17,505/(75 + 0,6p)

4. Определяем оригинал свободной составляющей напряжения.

75 + 0,6p = 0

p = -125

M' = 0,6

u_Jсв(t) = (-17.505/0,6) •e^-125t = -29.2 •e^-125t В

Свободная составляющая совпадает с найденной классическим методом.

График зависимости напряжения u_J(t) при переменном источнике тока

1. Определяем заданный временной интервал.

t_max = 2р/щ = 6,28/250 = 0,025 c = 25 мс

2. По полученному уравнению строим график напряжения.

u_J(t) = 1076?sin(щt + 102,5°) - 29,2•e^-125t В



Расчет переходного процесса при импульсном воздействии

1. В соответствии с заданием имеем импульсный источник тока J(t) = J•e^2pt при нулевых начальных условиях (р - корень характеристического уравнения из п.1, а). Так как p определялся для схемы с замкнутым К₁, получаем схему для расчета:

ток напряжение импульсный

2. Определяем переходную характеристику h(t), которая численно равна искомой функции напряжения на источнике при условии включения в нулевой момент единичного источника тока, т.е. J(t) = 1 А = const.

Задачу расчета переходного процесса решаем классическим методом:

u_J(t) = u_Jпр(t) + A•e^pt

Учитывая, что в цепи постоянного тока u_L(?) = 0, получаем

u_Jпр(t) = J(t)•R = 1•75 = 75 В

По условию i_L(0) = 0. Следовательно в нулевой момент времени ток протекает по двум сопротивлениям.

u_J(0₊) = J(t) •2•R = 1•2•75 = 150 В

Находим коэффициент при свободном члене

u_J(0) = u_Jпр(0) + A•e^p0

150 = 75 + А

А = 75

Получили переходную характеристику

h(t) = 75 + 75•e^-125t

3. Уравнение функции тока имеет вид: J(t) = 5,5•e^-250t . Функция монотонно убывает, т.е. имеет один временной интервал.

Производная от функции входного тока:

J'(t) = 5,5•(-250)•e^-250t = -1375•e^-250t А/с

Выражений искомой функции u_J(t) будет столько, сколько интервалов имеет функция входного сигнала, т.е. всего один.

4. Применяем интеграл Дюамеля:

u_J(t) = +

J(0) = 5,5•e^-250•0 = 5,5 А

h(t-) = 75 + 75•e^-125(t-) = 75 + 75•e^-125t•e¹²⁵

u_J(t) = 5,5•(75 + 75•e^-125t) + =

= 412,5 + 412,5e^-125t + =

= 412,5 + 412,5e^-125t + + =

= 412,5 + 412,5e^-125t - 103125• + 103125•e^-125t• =

= 412,5 + 412,5e^-125t + 412,5•e^-250t - 412,5 - 825•e^-125t•e^-125t + 825•e^-125t =

= 1237,5 e^-125t - 412,5•e^-250t В

5. Строим график входного и выходного импульсов в общей системе координат.

Операторный метод расчета при двух накопителях энергии

1. До второй коммутации схема длительное время находилась в состоянии, показанном на рисунке:

Все переходные процессы закончились, поэтому к моменту второй коммутации

i_L(0) = J = 5,5 А

Конденсатор до коммутации закорочен накоротко, поэтому

u_C(0) = 0 В

2. Строим операторную схему замещения после второй коммутации.

Здесь R, рL, 1/pC - операторные сопротивления.

J/р - операторное изображение источника постоянного тока.

L·i_L(0) - внутренний источник, учитывающий ненулевые начальные условия.

3. Для определения операторного изображения тока I_R(p) в сопротивлении используем метод контурных токов. В качестве контурного используем также ток (операторное изображение) источника J/p.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.

I_R(p)•(R+1/pC+pL) - (J/p)•( 1/pC+pL) = -L·i_L(0)

Отсюда

I_R(p) = ==

= =

4. Находим операторное изображение искомого напряжения.

U_J(p) = I_R(p)•R + (J/p)•R = =

==

=

5. Приравниваем знаменатель нулю и находим полюсы.

p(64,2p² +8025p + 1000000) = 0

Решение уравнения дает один нулевой и два комплексных сопряженных корня:

p₀ = 0

p₁ = -62,5 + j108

p₂ = -62,5 - j108

В общем виде

p_1,2 = -дjщ

6. Оригинал напряжения находится по следующей формуле

Находим первую производную от знаменателя

M'(p) = 3·64,2p² +2·8025p + 1000000 = 192,6p² +16050p + 1000000

Определяем коэффициенты слагаемых оригинала тока по отдельности.

Для р₀ = 0

= =

= = = 825

Для р₁ = -62,5 + j108

=

= = -206,3 + j119,3 = 238,3•e^j149,9°

Для р₂ = -62,5 - j108

= =

= = -206,3 - j119,3 = 238,3•e^-j149,9°

Отсюда оригинал искомого напряжения

u_J(t) = 825·e^0·t + 238,3•e^j149,9°·e^{(-62,5 + j108)·t} + 238,3•e^-j149,9°·e^{(-62,5 - j108)·t} =

= 825 + 238,3•e^{j(108·t + 149,9°)}·e^-62,5·t + 238,3•e^{-j(108·t + 149,9°)}·e^-62,5·t =

= 825 + 238,3•(cos(108·t + 149,9°) + jsin(108·t + 149,9°))·e^-62,5·t +

+ 238,3•(cos(108·t + 149,9°) - jsin(108·t + 149,9°))·e^-62,5·t =

= 825 + 476,6•cos(108·t + 149,9°)·e^-62,5·t =

= 825 + 476,6•sin(108·t + 149,9° + 90°)·e^-62,5·t =

= 825 + 476,6•sin(108·t + 239,9°)·e^-62,5·t В

График зависимости напряжения u_J(t) при двух накопителях энергии

1. По полученному уравнению строим график изменения напряжения.

Выводы по работе

1. В ходе выполнения работы закрепили навыки расчета переходных процессов в электрических цепях различными методами.

2. Наиболее трудоемким является расчет переходных процессов в цепях переменного тока.

3. В рассмотренных примерах существенного различия между трудоемкостью классического и операторного метода выявить не удалось. Простота расчета комбинированным методом связана с тем, что большая часть расчетов для операторного метода была выполнена при расчете цепи классическим методом.

4. Расчеты переходных реакций в цепи при поступлении одиночных импульсов различной формы можно выполнить с помощью интеграла Дюамеля.

5. В цепях с одним накопителем энергии может возникать только апериодический переходной процесс. В цепях с двумя (и более) накопителями энергии переходной процесс может быть как апериодическим, так и колебательным.

Задание 2. Линейные трехфазные цепи с гармоническими напряжениями и токами

Для заданной схемы с симметричной системой фазных ЭДС, когда e_А(t) = v2•E•sin(щt + б) и щ = 314 рад/с выполнить следующее.

1. В симметричном режиме до срабатывания ключа К:

а) преобразовать схему до эквивалентной звезды и определить комплексы действующих значений напряжений и токов, а также рассчитать показание ваттметра;

б) в исходной схеме расчетом на одну фазу определить комплексы действующих значений всех напряжений и токов,

в) рассчитать балансы активной и реактивной мощностей;

г) построить совмещенные векторные диаграммы для всех напряжений и токов.

2. В несимметричном режиме после срабатывания ключа К:

а) упростить схему и определить комплексы действующих значений напряжений и токов, а также рассчитать показание ваттметра;

б) в исходной схеме определить неизвестные комплексы действующих значений напряжений и токов;

в) рассчитать балансы активной и реактивной мощностей;

г) построить совмещенные векторные диаграммы для всех напряжений и токов.

3. Проанализировать результаты вычислений, сравнить симметричный и несимметричный режимы, сформулировать выводы по работе.

Исходные данные

E = 127 В

б = 0є

R = 70 Ом

L = 222,93 мГн

C = 45,4 мкФ

Симметричный режим работы

Изображаем комплексную схему замещения цепи в симметричном режиме работы с замкнутым ключом.

Показываем условные направления напряжений генератора и токов в участках цепи.

Так как нагрузка симметричная, потенциалы точек N, n₁, n₂ одинаковы, что эквивалентно соединению этих точек проводом, как показано на рисунке штриховой линией.



Таким образом схема уже является трехпроводной звездой, в каждой фазе которой параллельно соединенные Z₁ и Z₂ подключены к генератору проводом с сопротивлением Z_л.

Преобразование в эквивалентную звезду не требуется.

Q_г = Q

Баланс сходится. Решение верное.

По комплексным значениям токов и напряжений строим на комплексной плоскости векторную диаграмму токов и векторно-топографическую диаграмму напряжений.



Получили

P_г = P

Q_г = Q

Баланс сходится. Решение верное.

По комплексным значениям токов и напряжений строим векторную диаграмму токов и векторно-топографическую диаграмму напряжений.



₃ = ₃•Z₃ = (3,355 - j0,7176)•(20 - j20) = 52,76 - j81,46 = 97,05•e^-j57,1° [В]

₄ = ₄•Z₄ = (-0,6446 - j0,7176)•(40 + j40) = 2,919 - j54,49 = 54,56•e^-j86,9° [В]

Строим лучевую диаграмму токов и совмещенную с ней топографическую диаграмму напряжений.

Для построения удобно использовать алгебраическую форму записи, откладывая действительную и мнимую части по направлению соответствующих осей и соединяя вектором найденные точки. При построении топографической диаграммы условно заземляем узел "d".

Размещено на Allbest.ru

...