Лінійні задачі механіки руйнування старіючих в'язкопружних анізотропних матеріалів при сталому зовнішньому навантаженні

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П. ТИМОШЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

ЛІНІЙНІ ЗАДАЧІ МЕХАНІКИ РУЙНУВАННЯ СТАРІЮЧИХ В'ЯЗКОПРУЖНИХ АНІЗОТРОПНИХ МАТЕРІАЛІВ ПРИ СТАЛОМУ ЗОВНІШНЬОМУ НАВАНТАЖЕННІ

ГАВРИЛОВ ГРИГОРІЙ ВОЛОДИМИРОВИЧ

Київ - 2002

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми і ступінь досліджуваності тематики дисертації. Дана дисертаційна робота присвячена дослідженню докритичного росту руйнуючих тріщин в анізотропних старіючих в'язкопружних матеріалах, прикладами яких можуть бути композитні матеріали, у яких реологічні властивості компонентів змінюються з плином часу, тобто підлягають процесам старіння. Це викликано тим, що у сучасній техниці та будівництві матеріали працюють у різних природніх (температура, вологість оточуючого середовища, сонячна радіація та ін.) та штучних (агресивні гази, пари, радіаційне випромінювання та ін.) умовах, які призводять до процесів старіння цих матеріалів. А для того, шоб забезпечити їх надійну та довговічну роботу в таких умовах, необхідно проводити дослідження по руйнуванню цих матеріалів з урахуванням зміни у часі їх реологічних параметрів.

Однією з головних цілей досліджень механіки руйнування в'язкопружних тіл є встановлення закономірностей між їх реологічними властивостями та процесом повільного докритичного росту тріщин руйнування у цих тілах. Умовно можна відмітити два підходи до аналізу роста тріщин -- мікроструктурний та феноменологічний. Більшість досліджень виконано за допомогою феноменологічного підходу, який базується на методах механіки суцільного середовища та концепціях механіки руйнування.

В основному при дослідженнях руйнування лінійних в'язкопружних матеріалів використовують два основних метода -- принцип відповідності (перетворення Лапласа) та метод Больцмана-Вольтерра.

У задачах анізотропної лінійної в'язкопружності застосування принципа Вольтерра призводить до проблеми розшифрування нераціональних функцій від інтегральних операторів в'язкопружності. Традиційно таку розшифровку проводять шляхом представлення у ряд Тейлора. Але він збігається дуже повільно і є труднощі при його чисельному обчисленні. Тому деякі з авторів запропоновують різні апроксимації.

У роботах А.О.Камінського було запропоновано проводити розшифровку нераціональних функцій від резольвентних інтегральних операторів шляхом їх розкладу у ланцюговий дріб. Таке представлення має гарну властивість збіжності, яка є у звичайних правильних неперервних дробів. Необхідною умовою застосування цього способа є резольвентність оператора, яка виконується для всіх операторів лінійної теорії в'язкопружності.

Дослідженню теоретичних аспектів механіки руйнування в'язкопружних тіл присвячені публікації Г.І.Баренблатта, А.О.Камінського, Б.В.Кострова, Й.Й.Лучко, Є.М.Морозова, Л.В.Нікітіна, В.А.Ніколаєвського, Г.П.Черепанова, Р.Л.Салганіка, Вільямса, Внука, Кнауса, Крістенсена, Маккартні, Шепері. Причому більшість робіт була виконана для ізотропних тіл, значно менше робіт було виконано по дослідженню кінетики роста тріщин у в'язкопружних анізотропних тілах, особливо з теоретичних проблем докритичного росту тріщин у старіючих анізотропних матеріалах, коли деформівні властивості матеріалу описуються інтегральними операторами з ядрами нерізнецевого типу.

У даній дисертаційній роботі розв'язані нові задачі механіки руйнування і лінійної теорії в'язкопружності старіючих ані\-зотропних тіл з тріщинами нормального відриву при сталому зовнішньому навантаженні, узагальнено математичний метод ланцюгових операторних дробів на випадок інтегральних операторів Вольтерра з нерізнецевими ядрами, досліджено закономірності кінетики повільного зростання тріщин у старіючих в'язкопружних ані\-зотропних тілах під дією докритичних навантажень і визначено закономірності довготривалого руйнування в залежності від механічних та реологічних характеристик матеріалу у рамках модифікованої dC-моделі тріщини із постійною зоною передруйнування та критерія критичного розкриття тріщини.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації увійшли у науково-дослідні роботи Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: тема № д.р. 0197U008131 ``Дослідження квазистатичних процесів руйнування та концентрації напружень в анізотропних та неоднорідних матеріалах'', шифр 1.3.1.293;

проект державного фонду фундаментальних досліджень № 1.4/116 ``Механіка деформування та руйнування в'язкопружних тіл з тріщинами, отворами та включеннями '' (1997-- 1998 рр).

Метою роботи є постановка і розв'язання нових плоских і просторових задач механіки руйнування старіючих в'язкопружних анізотропних тіл (композитів) із макротріщинами нормального відриву при довготривалій дії сталого зовнішнього навантаження, дослідження довготривалої тріщиностійкості старіючого в'язкопружного ортотропного тіла в умовах плоскої деформації та ортотропної пластини із наскрізними макротріщинами нормального відриву, старіючого в'язкопружного трансверсально-ізотропного масиву із плоскою круговою в плані макротріщиною нормального відриву при сталих зовнішніх розтягуючих навантаженнях в залежності від механічних характеристик cтаріючого анізотропного матеріалу.

Для досягнення мети роботи застосовується математичне моделювання процесів спадкового старіння за допомогою інтегральних операторів Вольтерра з ядром типу Маслова-Арутюняна, яке має резольвенту. У якості анізотропних матеріалів розглядаються волокнисті композитні матеріали з одно- та багатонапрямленим розташуванням волокон армування, які моделюються в'язкопружним анізотропним середовищем з ефективними реологічними характеристиками. При розшифруванні операторних функцій застосовуються властивості обернення і розщеплення резольвентних інтегральних операторів.

Основні задачі, що забезпечують досягнення мети роботи, полягають у наступному:

- обґрунтування кінетичної моделі рухомої тріщини в старіючому в'язкопружному анізотропному матеріалі;

- обгрунтування на основі чисельного аналізу методу операторних ланцюгових дробів для інтегральних операторів Вольтерра із нерізнецевими ядрами;

- апроксимація ірраціональних функцій від резольвентних інтегральних операторів, які входять до виразу в'язкопружного розкриття тріщини ланцюговими дробами будь-якого наближення, беручи відповідний підхідний дріб розкладу функцій;

- побудова нелінійних інтегральних рівнянь докритичного розвитку тріщин нормального відриву в старіючих в'язкопружних анізотропних матеріалах при сталому зовнішньому навантаженні і розробка чисельного методу їх розв'язання;

- аналіз нових закономірностей довготривалого руйнування старіючих в'язкопружних анізотропних матеріалів (композитів).

Наукова новизна. Досліджені нові квазістатичні лінійні задачі механіки руйнування в'язкопружних тіл, які моделюють докритичний рух тріщин нормального відриву в старіючих анізотропних тілах при довготривалій дії сталого навантаження. Для розв'язання цієї проблеми у роботі узагальнено ефективний метод операторних ланцюгових дробів на випадок інтегральних операторів Вольтерра із нерізнецевими ядрами. Отримані нові закономірності довготривалого руйнування старіючих композитних матеріалів.

Достовірність результатів забезпечується:

- коректністю постановки задач лінійної теорії в'язкопружності та механіки руйнування;

- побудовою рівнянь докритичного росту тріщин на основі апробованих аналітичних методів;

- визначення в'язкопружного розкриття тріщин на основі метода операторних ланцюгових дробів, який дозволяє контролювати точність обчислень;

- відповідністю отриманих результатів загальним закономірностям процесу руйнування старіючих в'язкопружних тіл і їх порівнянням, у часткових випадках (ізотропія), із відомими аналітичними розв'язками.

Практична цінність результатів роботи. Результати, подані у дисертаційній роботі, є цінними для науковців та інженерів, оскільки вони дають змогу прогнозувати, досліджувати й оптимізувати механічну поведінку анізотропних матеріалів, які старіють із часом, при наявності у них макротріщин, і таким чином підвищувати безпеку експлуатації конструкцій і зменшувати їх вартість. Для ефективного практичного розв'язання даних задач у роботі наведено алгоритм чисельного розв'язання рівнянь докритичного росту тріщини, який легко може бути реалізований на ПЕОМ.

Особистий внесок здобувача:

- розроблено метод розв'язання задач механіки руйнування старіючих анізотропних в'язкопружних матеріалів, спадкові властивості яких описуються інтегральними операторами з ядром типу Маслова-Арутюняна, яке має резольвенту;

- cтворено програму чисельних розрахунків для конкретних прикладів матеріалів і проведено дослідження докритичного росту тріщин при статичному зовнішньому навантаженні для випадків ортотропного тіла в умовах плоскої деформації, ортотропної пластини та трансверсально-ізотропного масива;

- отримано нові закономірності поведінки руйнування старіючих композитних матеріалів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на Вороніжській школі ``Современные проблемы механики и прикладной математики'' (Вороніж, 1998), на III Міжнародному симпозіумі ``Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій'' (Мукачево, 1998), на X науковій школі ``Деформирование и разрушение материалов с дефектами, и динамические явления в горных породах и выработках'' (Крым, Алушта, 2000), на 13 Європейській конференції по руйнуванню ECF13 (Іспанія, Сан-Себаст'ян, 2000), на наукових семінарах відділу механіки руйнування матеріалів і об'єднаному семінарі з наукового напрямку ``Механіка руйнування і втома'' Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (2001 - 2002) та на семінарі кафедри механіки суцільного середовища Національного університету імені Тараса Шевченка (2001) і здобула позитивну оцінку.

Публікації. По матеріалам дисертації опубліковано 10 наукових робіт [1-10], в тому числі [1,4-7] у фахових виданнях.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, додатків та списку використаних джерел у складі 117 найменувань. Основний зміст роботи викладено на 109 сторінках машинописного тексту, у тому числі 15 рисунків і 7 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

механіка в'язкопружний анізотропний кінетичний

У вступі наводиться стислий огляд досліджень, які мають безпосереднє відношення до даної дисертаційної роботи, обгрунтовано актуальність проблематики, сформульовано мету дисертації, відмічено новизну, наукову і практичну вагомість роботи.

Дослідження з механіки руйнування в основному проводились для ізотропних лінійних в'язкопружних матеріалів на основі різних моделей руйнування. При цьому автори використовували два основних математичних підхода: принцип відповідності, на основі перетворення Лапласа, та принцип Больцмана-Вольтерра.

Теоретичні проблеми довготривалого руйнування в'язкопружних матеріалів з анізотропією є більш складною у математичному плані задачею і тому публікацій по цьому розділу дуже мало. Основною математичною складністю у цих задачах є розшифровка іраціональних функцій від інтегральних операторів Вольтерра. Проблема виникає у слабкій збіжності рядів Тейлора від цих операторів. Запропонований у роботах А.О.Камінського метод операторних ланцюгових дробів дозволяє вирішити цю проблему шляхом розкладу нераціональних функцій від інтегральних операторів у операторні ланцюгові дроби, збіжність яких, як показують чисельні розрахунки значно вища. Так на основі цього методу було розв'язана значна кількість задач довготривалого руйнування анізотропних в'язкопружних матеріалів.

Не дослідженими залишились задачі для старіючих в'язкопружних анізотропних матеріалів, деформування яких описується інтегральними операторами з нерізнецевими ядрами, що визиває значні математичні ускладнення при їх розв'язанні.

Таким чином, задачі механіки руйнування старіючих в'язкопружних анізотропних тіл з тріщинами досліджені недостатньо і представляють науковий і практичний інтерес.

У першому розділі наведено основні співвідношення лінійної теорії старіючих анізотропних в'язкопружних середовищ; математичні методи моделювання процесів повзучості при старінні за допомогою інтегральних операторів Вольтерра нерізницевого типу, зокрема оператором з ядром типу Маслова-Арутюняна, яке має резольвенту; реологічні характеристики деяких старіючих матеріалів; модель руйнування старіючого тіла та обгрунтування по її вибору; рівняння тріщини у анізотропному середовищі; основні положення теорії довготривалого руйнування та стисла теорія по ланцюговим дробам.

У даній роботі застосовано в'язкопружне старіюче ядро типу Маслова-Арутюняна, яке має вигляд

,(1)

де.

Н.Х. Арутюнян для оператора з ядром (1) шляхом зведення інтегрального рівняння Вольтерра II роду до диференційного рівняння другого порядку знайшов ядро резольвентного оператора

,(2)

де.

У якості моделі тріщини розглядається модифікована dС-модель з постійною у часі довжиною зони передруйнування d=const. Згідно з даною моделлю тріщина представляє собою розріз довжиною 2l, на продовженні якого є вузькі області передруйнування постійної довжини d, які моделюються розрізами з прикладеними до них самоврівноваженими напруженнями s(t). Величина рівномірних по довжині кінцевої області напружень s(t) змінюється з ростом тріщини l(t) і визначається з умови обмеженості напружень, яка співпадає з умовою плавності змикання берегів тріщини.

Умовою початку росту тріщини приймається критерій критичного розкриття тріщини (КРТ)

(3)

Застосування цього критерію і концепції постійності зони передруйнування було обгрунтовано для деяких старіючих в'язкопружних матеріалів у монографіях А.О.Камінського і Й.Й.Лучка.

Згідно з теоретичними і експериментальними роботами багатьох авторів розвиток нестійких тріщин у в'язкопружному тілі при докритичних навантаженнях має інкубаційний, перехідний та основний періоди повільного квазистатичного росту. Відповідно до цього у роботі побудовані рівняння для кожного з періодів докритичного росту тріщини.

Для розшифрування нераціональних функцій від резольвентних операторів , які отримуються при розв'язанні поставлених задач, використовується метод операторних ланцюгових дробів (ОЛД).

Так якщо ланцюговий дріб

(4)

рівномірно збігається до функції F(z) на множині D зміни комплексної змінної z, то у відповідність цій функції можна поставити функцію від оператора

.(5)

Вираз (5) має сенс при деяких обмеженнях на та оператор . При цих обмеженнях збігається послідовність підхідних дробів

,(6)

.(7)

Причому у випадку, коли та усі , послідовність монотонно зростає і обмежена зверху , а послідовність монотонно спадає і обмежена знизу , і має місце оцінка

,(8)

де - довільна функція із простору додатніх функцій .

Оцінка (8) дає дуже зручну для практичних цілей властивість збіжності розкладів функцій у ланцюгові дроби. Кожен наступний підхідний дріб знаходиться у границях між двома попередніми, де також знаходиться і точне значення ланцюгового дробу.

У другому розділі наведені результати дослідження довготривалого руйнування в'язкопружного старіючого ортотропного тіла в умовах плоскої деформації (на прикладі однонапрямленого волокнистого композиту) із макротріщиною нормального відриву довжини , яка напрямлена паралельно пружним волокнам армування композиту, при дії постійних у часі розтягуючих напружень p.

Інтегральні оператори, які описують старіння ортотропного тіла, отримані на основі формул для ефективних модулів пружності волокнистого композиту. При дослідженні було враховано повзучість при зсуві і розтязі вздовж неармованого напрямку.

Рівняння контуру тріщини на основі принципа Вольтерра буде мати вигляд:

,(9)

де - функція силових та геометричних параметрів, a



. (10)

Апроксимація іраціональної функції від інтегральних операторів з нерізнецевими ядрами методом ОЛД для оператора дає вираз

.(11)

Рівняння докритичного росту тріщини отримані у наступному вигляді:

інкубаційний період

,(12)

де - критичний коефіцієнт інтенсивності напружень при плоскій деформації;

перехідний період

;(13)

та основний період

,(14)

де час визначається з рівняння .

На рис.1 наведені криві безпечних навантажень () в залежності від концентрації армування c для двох старіючих композитів

Сполучник (бетон): , n=0.167,

, С0 =0.918Ч10-10 1/Па, ; (15)

наповнювач (залізо) - (композит 1): , ;

наповнювач (скло) - (композит 2): , .

Значення критичного навантаження приймається з виразу . Розрахунки доводять, що збільшення проценту армування призводить до підвищення довговічності матеріалу.

На всіх рисунках позначено: неперервні лінії -- композит 1, перервні -- композит 2; , , .

На рис. 2 наведені кінетичні криві докритичного росту тріщин для слідуючих параметрів: , , , . Штрихова лінія з крапками на графіку відноситься до ізотропного матеріалу (c=0). Як видно з графіків, інкубаційний період складає приблизно 7% довговічності матеріалу, перехідний період - 15%, а решта припадає на основний період докритичного росту тріщини.

Точність апроксимації (11) оцінювалась чисельно. Для розрахунків приймалась четверта апроксимація, похибка якої була менше 1%.

Рис.1 Рис.2

У третьому розділі наведені результати дослідження довготривалого руйнування ортотропної пластини, яка виготовлена з в'язкопружного старіючого однонапрямленого волокнистого композиту, і послабленої наскрізною тріщиною нормального відриву довжини . Тріщина підростає паралельно волокнам армування композиту, при дії постійних у часі розтягуючих напружень p. Інтегральні оператори, які описують старіння ортотропної пластини отримані на основі формул для ефективних модулів пружності волокнистого композиту. При дослідженні було враховано повзучість при зсуві і розтязі вздовж неармованого напрямку. Апроксимація іраціональної функції від інтегральних операторів

,(16)

яка характеризує в'язкопружнє розкриття тріщини, виконана на основі методу ОЛД. Отримані рівняння докритичного росту тріщини і проведені чисельні дослідження по довготривалому руйнуванню старіючого композита. На рис. 3 наведені кінетичні криві, які вказують на характер розвитку тріщини у композитному матеріалі.

У четвертому розділі наведені результати дослідження довготривалого руйнування трансверсально-ізотропного масиву, який виготовлений із в'язкопружного старіючого просторово армованого волокнистого композиту (c, c14 -- концентрації арматури у площині ізотропії та у нормальному до неї напрямку), із плоскою круговою в плані тріщиною нормального відриву радіуса a0, яка розташована у площині ізотропії, при дії постійних у часі розтягуючих напружень p. Інтегральні оператори, які описують старіння трансверсально-ізотропного матеріалу, отримані на основі формул для ефективних модулів пружності просторово армованого волокнистого композиту. При дослідженні було враховано лише повзучість при зсуві.

Рівняння для розкриття тріщини на основі принципа Вольтерра отримано у вигляді:

,(17)

де - функція силових і геометричних параметрів, а

, (18)

Наведені викладки по апроксимації іраціональної функції (18) методом ОЛД. Отримані рівняння докритичного росту тріщини і проведено чисельне дослідження руйнування масиву на конкретному прикладі старіючого композитного матеріалу.

На рис. 4 наведені кінетичні криві докритичного росту тріщини ( , , ) для матеріалу композиту 1 (15).

Як видно з графіків, більшість часу довговічністі тіла складає основний період, тоді як перехідний період складає приблизно 20%, а інкубаційний - 5%.

У висновках наведені основні результати та висновки досліджень отриманих у роботі.

У додатках А і В наведено алгоритм чисельного розв'язання рівнянь докритичного росту тріщин та контрольні графіки перевірки роботи програми, написаної на основі цього алгоритму.



Рис.3 Рис.4

ВИСНОВКИ

1. Розроблено підхід до розв'язку нових задач механіки довготривалого руйнування старіючих анізотропних в'язкопружних матеріалів, який базується на принципі Вольтерра, методі операторних ланцюгових дробів для інтегральних операторів із нерізнецевими ядрами типу Маслова-Арутюняна, які описують старіння матеріалу, і теорії докритичного розвитку тріщин у в'язкопружних тілах.

2. Розв'язано нові плоскі задачі механіки довготривалого руйнування старіючих матеріалів з ортотропними механічними властивостями для випадків плоского деформованого та плоского напруженого станів із наскрізними макротріщинами нормального відриву при довготривалій дії постійних розтягуючих напружень. Проведено чисельне дослідження довготривалого руйнування на прикладах двох конкретних матеріалів.

3. Розв'язано нову просторову задачу механіки довготривалого руйнування старіючого матеріалу із трансверсально-ізотропною властивістю механічних характеристик унаслідок докритичного росту в ньому плоскої кругової в плані макротріщини нормального відриву при статичному розтягуючому навантаженні. Проведено чисельне дослідження довготривалого руйнування на прикладі конкретного композитного матеріалу.

4. Висновки по проведеним дослідженням заключаються у наступному:

1) у досліджених задачах підвищення проценту армування матеріалу у напрямку паралельному лінії тріщини (двовимірні задачі) або площині тріщини (просторова задача) призводить до підвищення довговічності матеріалу при докритичному зовнішньому навантаженні;

2) довговічність досліджених матеріалів у старому віці (120 діб) підвищилась приблизно на 15% у порівнянні із матеріалом у віці 7 діб;

3) при дослідженні було отримано, що основну частину часу довговічності матеріалу складає основний період докритичного росту тріщини, а інкубаційний і перехідний разом становили біля 20% від його довготривалості.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ:

1. Каминский А. А., Гаврилов Г. В. Об одном методе решения задач линейной теории вязкоупругости для стареющих анизотропных материалов // Прикл. механика. - 1998. - 34, №11. - С. 60 - 65.

2. Камінський А. О., Гаврилов Г. В. Довготривале руйнування в'язкопружного старіючого композиту (залізобетону) при статичному навантаженні// Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій. Зб. наук. праць. - Львів:Каменяр, 1998. - С. 92 - 97.

3. Каминский А. А., Гаврилов Г. В. Об одном методе решения задач линейной теории вязкоупругости для стареющих анизотропных материалов // Тезисы докладов школы ``Cовременные проблемы механики и прикладной математики''. - Воронеж: ВГУ. - 1998. - С.137.

4. Гаврилов Г. В. Длительная трещиностойкость вязкоупругого стареющего композита при статических нагрузках // Прикл. механика. - 1999. - 35, №2. - С. 85 - 89.

5. Каминский А. А., Гаврилов Г. В. К методу операторных цепных дробей для решения задач вязкоупругости анизотропных стареющих материалов // Теорет. и прикл. механика. - 1999. - 29. - С. 71 - 77.

6. Каминский А. А., Гаврилов Г. В. Длительное разрушение ортотропного тела в условиях плоской деформации // Теорет. и прикл. механика. - 1999. - 30. - С. 84-91.

7. Каминский А. А., Гаврилов Г. В. Докритический рост трещины в трансверсально-изотропном стареющем композитном массиве при длительном статическом нагружении.// Прикл. механика. - 1999. - 35, № 12. - С. 72-79.

8. А. А. Kaminsky and G. V. Gavrilov. Long-term fracture of an aging transversally-isotropic composite with a circular crack under stationary loading// Proc. ECF 13. - San Sebastian (Spain). - 2000. - CD-ROM 8V..254.

9. Гаврилов Г. В. Длительное разрушение ортотропного стареющего композита в условиях плоской деформации// Мат. X Межд. науч. школы ``Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках''. - Симферополь: Таврич. нац. ун-т. - 2000. - С. 36-38.

10. Гаврилов Г. В. Длительное разрушение ортотропного стареющего вязкоупругого волокнистого композита// Thesis of International Conf. reports ``DSMSI-2001''. - Kiev. - 2001. - C. 262.

Размещено на Allbest.ru

...