Матриці Гріна рівнянь і систем еліптичного типу для дослідження статичного деформування складених тіл

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАПОРІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МАТРИЦІ ГРІНА РІВНЯНЬ І СИСТЕМ ЕЛІПТИЧНОГО ТИПУ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ СТАТИЧНОГО ДЕФОРМУВАННЯ СКЛАДЕНИХ ТІЛ

Левчук Сергій Анатолійович

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Запоріжжя -2002

Анотація

Левчук С.А. Матриці Гріна рівнянь і систем еліптичного типу для дослідження статичного деформування складених тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Запорізький державний університет, Запоріжжя, 2002.

Дисертаційну роботу виконано в плані побудови матриць типу Гріна для отримання аналітичних розв'язків задач математичної фізики про статичне деформування складених пластинчатих і оболонкових тіл за допомогою методів відокремлення змінних шляхом тригонометричних розкладів, потенціальних представлень, а також методу крайових і складених задач. Для розрахунку вісесиметричного деформування круглих і кільцевих пластин дискретно-змінної у радіальному напрямку товщини (складених пластин) побудовано відповідні задачам матриці типу Гріна. Здійснено дослідження напружено-деформованого стану деяких класів складених конічних і циліндричних оболонкових об'єктів. За допомогою побудованих відповідних матриць типу Гріна розв'язано задачу про пружне деформування складеного тіла з двох пластин, з'єднаних під прямим кутом.

Ключові слова: матриця типу Гріна, напружено-деформований стан, потенціальні представлення, складене пластинчате і оболонкове тіло.

матриця грін деформування тригонометричний

Аннотация

Левчук С.А. Матрицы Грина уравнений и систем эллиптического типа для исследования статического деформирования составных тел. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела. - Запорожский государственный университет, Запорожье, 2002.

Моделирование напряженно-деформированного состояния составных тел сложной структуры при помощи краевых задач для соответствующих систем дифференциальных уравнений во многих случаях оказывается малоэффективным. Дело в том, что требующиеся при этом краевые значения искомых величин зависят от всех взаимодействующих друг с другом элементов составного тела, так что их предварительное определение оказывается, вообще говоря, усложненным. В связи с этим, целесообразным оказывается для особенно сложных объектов применять их расчленение на подконструкции. При выяснении взаимодействия последних можно применять принципы метода потенциальных представлений, ядра которых можно рассчитывать численно-аналитическими методами, что обеспечит надежные оценки достоверности полученных результатов.

Диссертационная работа выполнена в плане построения матриц типа Грина для получения аналитических решений задач математической физики про статическое деформирования составных пластинчатых и оболочечных тел при помощи методов отделения переменных путём тригонометрических разложений, вариации произвольных постоянных, потенциальных представлений, а также метода гранично-составных задач.

Для расчета осесимметричного деформирования круглых и кольцевых пластин дискретно-переменной в радиальном направлении толщины (составных пластин) построены соответствующие задачам матрицы типа Грина, при помощи которых получены точные решения рассмотренных задач. Построение решений основывалось на общем методе решения гранично-составных задач, который применяется и развивается в диссертационной работе. С этой целью исследуемые пластины были рассмотрены как составные тела, состоящие из некоторого количества последовательно соединенных секций, решения задач о статическом деформировании которых нетрудно построить. В месте стыковки секций были сформулированы соответствующие условия соединения. Построены матрицы Грина, которые учитывают как условия соединения секций, так и выбранные условия жесткого защемления контура составного тела. Предложенный способ расчета обобщён на случай n секций из которых состоит исследуемая круглая или кольцевая пластина.

Проведено исследование напряженно-деформированного состояния некоторых классов составных конических и цилиндрических оболочечных объектов. При исследовании статического деформирования составного объекта из конических секций был применён новый подход, основанный на расчленении исследуемого объекта на ряд простых составных частей (конических оболочек) с последующим построением численного решения, путём редукции краевой задачи к задаче Коши для каждой из конических секций, с учётом сформулированных условий соединения оболочек. Матрица Грина в данном случае аппроксимировалась численно. Метод гранично-составных задач и потенциальных представлений распространён на новый класс задач об определении напряженно-деформированного состояния составного тела из незамкнутых цилиндрических, бесконечных в продольном направлении оболочек. Построена соответствующая рассмотренной задаче матрица Грина для случая n секций, из которых состоит составное тело.

С помощью методов отделения переменных путём тригонометрических разложений и потенциальных представлений была решена новая задача об упругом деформировании составного тела из двух пластин, жестко соединённых под прямым углом, в условиях сложного нагружения. Построены и исследованы матрицы Грина, при помощи которых получено решение в аналитическом виде исследуемой задачи при краевых условиях жесткого защемления, а также условиях симметрии на краях составного объекта. При помощи построенных матриц Грина оценена погрешность полученного результата.

Построенные в работе аналитические решения и полученные результаты исследований свидетельствуют, что методы, которые использовались, могут быть применены к расчету напряженно-деформированного состояния некоторых классов составных пластинчатых и оболочечных тел: составных круглых и кольцевых пластин; составных объектов из конических и цилиндрических оболочек; составного тела из двух пластин, соединённых под прямым углом.

Ключевые слова: матрица типа Грина, напряженно-деформированное состояние, потенциальные представления, составное пластинчатое и оболочечное тело.

Annotation

Levchuk S.A. Green's matrixes of equations and systems of elliptical type for investigate of static deformation the compound bodies. -Manuscript.

Dissertation thesis for a candidate of physics and mathematics scientific degree by specialty 01.02.04 - mechanics of deform rigid body. - Zaporozhye State University, Zaporozhye, 2002.

Green-type matrixes to obtain the analytical solutions of the problems in the field of mathematical physics have been constructed. Problems connected with the static deformation of the compound plate and shell bodies by means of the variables separation method via trigonometric expansions, potential representation and with the help of the boundary-compound problems method have been solved. Green-type matrixes to calculate the axial-symmetry deformation of the round and ring plates with the discrete variable thickness in the direction of the radius have been constructed. Strainly-deformed states of some classes of the compound cone and cylindrical shell objects have been investigated. By means of the constructed corresponding of the Green-type matrixes the problem of an elastic deformation of the body which consists of two plates jointed at right angle has been solved.

Key words: Green-type matrixes, strainly-deformed state, potential representation, compound plate and shell body.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Сучасний процес розвитку промисловості, будівництва, різних форм транспорту, гірничого діла та інших галузей економіки вимагає створення все більш складних технічних конструкцій, які, з врахуванням все зростаючих вимог до умов їх роботи та ускладнень, внаслідок набирають структури, часто складеної з елементів, які відрізняються своїми геометричними і фізичними параметрами. При розрахунку напружено-деформованого стану таких конструкцій широке застосування знаходять моделі складених оболонок складної форми, які піддані дії зовнішніх навантажень і температурного поля.

Якщо побудові аналітичних розв'язків рівнянь, що описують пружне деформування оболонок обертання присвячено цілий ряд робіт, то при розгляді статичного деформування складених оболонок є значно менше число розв'язаних задач. Це пояснюється збільшенням математичної і розрахункової складності останньої задачі в порівнянні з попередньою.

Моделювання напружено-деформованого стану елементів складних тонкостінних об'єктів складної структури за допомогою крайових задач для відповідних систем диференціальних рівнянь в багатьох випадках виявляється малоефективним. Річ у тому, що потрібні при цьому крайові значення шуканих величин залежать від усіх взаємодіючих між собою (переважно сусідніх) оболонкових елементів, так що їх попереднє визначення виявляється, взагалі кажучи, ускладненим. У зв'язку з цим, доцільним виявляється для особливо складних об'єктів застосовувати їх розчленування на підконструкції. При з'ясуванні взаємодії останніх можна використовувати як принципи методу скінченних елементів, так і методи потенціальних представлень. Ядра останніх можна розраховувати чисельно-аналітичними методами, що забезпечить надійні оцінки вірогідності результатів.

Практичне впровадження таких задумів підтверджується рядом робіт Д.В. Вайнберга, Я.М. Григоренко, С.П. Гавелі. Дані роботи дозволяють також скласти уявлення про припустимий рівень складності структури об'єктів, що розглядаються, і, в зв'язку з цим, про важливість подальших досліджень у даному напрямку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Вибраний напрямок досліджень зв'язаний з науково-дослідницькою темою "Розробка та розвиток ефективних методів розрахунку процесу деформування і динамічних характеристик континуальних механічних систем на базі сучасної комп'ютерної технології" (№ ДР 0198004674. Підстава для виконання роботи наказ ЗДУ № 70 від 28.03.97).

Мета і задачі дослідження. Дисертаційну роботу виконано в плані побудови матриць Гріна для отримання аналітичних розв'язків задач математичної фізики про статичне деформування складених пластинчатих і оболонкових тіл.

Методи дослідження. При дослідженні пружного деформування розглянутих у роботі складених пластинчатих і оболонкових об'єктів застосовувалися методи відокремлення змінних шляхом тригонометричних розкладів, потенціальних представлень, варіації довільних сталих, а також метод крайових і складених задач.

Наукова новизна одержаних результатів. За допомогою вперше побудованих відповідних матриць типу Гріна отримано, для ряду складених пластинчатих та оболонкових тіл, розв'язки задач математичної фізики про визначення напружено-деформованого стану у замкненому аналітичному вигляді.

До дослідження статичного деформування круглих та кільцевих пластин дискретно-змінної у радіальному напрямку товщини (складених пластин) було застосовано новий підхід, який базується на побудові матриць типу Гріна для розглянутих задач. Запропонований спосіб розрахунку узагальнено на випадок n секцій, з яких складається досліджувана кругла або кільцева пластина.

При дослідженні статичного деформування складених конічних оболонок було застосовано новий підхід, оснований на розчленуванні досліджуваних об'єктів на ряд простих складових частин (конічних оболонок), чисельному розв'язку шляхом редукції крайової задачі до задачі Коші для кожної з конічних секцій з наступною побудовою матриць типу Гріна для даної задачі.

Шляхом побудови відповідних матриць Гріна у замкненому аналітичному вигляді отримано розв'язок задачі про визначення напружено-деформованого стану складеного тіла з незамкнених циліндричних, нескінченних у поздовжньому напрямку оболонок .

До задачі про пружне деформування складеного тіла з двох пластин, жорстко з'єднаних під прямим кутом в умовах складного навантаження, було застосовано новий підхід, оснований на побудові відповідних матриць Гріна.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій, які захищаються. Достовірність наукових результатів, отриманих у дисертаційній роботі, забезпечується не суперечливістю вихідних положень, узгодженістю їх з основними законами механіки деформівного твердого тіла і відомими аналітичними розв'язками і базується на використанні в процесі отримання розв'язків задач перевірених наукових теорій і методів та коректних перетворень.

Одержані результати порівнювалися, у граничному випадку, з відомими аналітичними розв'язками для задач про вигин круглих та кільцевих пластин при крайових умовах жорсткого затиснення. Максимальна відносна похибка не перевищувала 0,01 %. Отримані результати також узгоджуються (в плані постановки задачі) з вже відомими, одержаними з використанням теорії функції комплексної змінної.

З метою з'ясування практичної вірогідності застосованої розрахункової схеми (для складеної конічної оболонки), було зроблено розрахунок за запропонованою схемою у граничному випадку, а також за допомогою фундаментальних функцій А.М.Крилова. Отримані результати співпадають як в якісному, так і в кількісному аспекті.

За допомогою побудованих матриць типу Гріна оцінено похибки отриманих результатів для задачі про статичне деформування складеного вузла з двох пластин.

Наукове значення роботи. В роботі отримані нові науково обґрунтовані результати, що в сукупності є суттєвими для розвитку досліджень в галузі статичного деформування складених тонкостінних тіл.

Практичне значення одержаних результатів. Побудовані в роботі аналітичні розв'язки та отримані результати досліджень свідчать, що методи, які використовувалися, можуть бути застосовані до розрахунку напружено-деформованого стану деяких складених пластинчатих та оболонкових тіл: складених круглих та кільцевих пластин; складених об'єктів з конічних та циліндричних оболонок; складеного тіла з двох пластин, з'єднаних під прямим кутом.

Особистий внесок здобувача. У публікаціях [4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15] зусилля співавторів розподілилися наступним чином. У роботі [4] Куземко В.А. виконав коректування постановки задачі. У роботах [7, 8, 14, 15] Головко Д.Б. здійснив загальну постановку задачі, Кульбашний П.Ф. виконував експериментальну частину. У роботі [11] Іщенко О.А. здійснила попереднє виведення розрахункових формул (без побудови матриць Гріна) для часткового випадку, коли складена конструкція складалася з трьох секцій . У роботі [12] Чирка Н.В. виконав початкову розробку алгоритму розв'язання задачі, що розглядалася (також без побудови матриць Гріна). Автор даної дисертаційної роботи в усіх згаданих наукових працях виконав виведення, уточнення і узагальнення розрахункових формул, здійснив розрахунок з використанням викладених схем розрахунку та довів дослідження до остаточного вигляду, побудувавши відповідні розглянутим задачам матриці Гріна, за допомогою яких подано кінцевий розв'язок.

Апробація результатів дисертації. За основними результатами дисертації було зроблено доповіді на Загальносоюзній науково-технічній конференції "Методи потенціалу і скінченних елементів в автоматизованих дослідженнях інженерних конструкцій " (Київ, 1991 р.), на 4-ому симпозіумі "Міцність матеріалів і елементів конструкцій при складному напруженому стані" (Севастополь, 1992 р.), на науковій конференції викладачів і студентів Запорізького державного університету (Запоріжжя, 1995 р.), на міжвузівському науковому семінарі "Актуальні проблеми прикладної математики і механіки" (Запоріжжя, 1999 р.), на науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету ім. Т.Г.Шевченка (Київ, 2002), на науковому семінарі кафедри прикладної математики Запорізького державного університету (Запоріжжя, 2002 р.).

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету роботи, задачі дослідження, а також наукову новизну одержаних результатів.

У розділі 1 подано огляд літератури за темою дисертаційної роботи, методів розв'язання задач та обґрунтовано актуальність подальших досліджень в галузі статичного деформування складених пластинчатих і оболонкових тіл.

Відзначено, що при розв'язанні задач математичної фізики для рівнянь і систем еліптичного типу про визначення напружено-деформованого стану складених оболонкових і пластинчатих об'єктів добре зарекомендували себе методи відокремлення змінних за допомогою розкладів у вигляді одинарних або подвійних тригонометричних рядів, що дозволяє реалізовувати умови з'єднання секцій у поздовжньому напрямку, метод потенціальних представлень, а також метод крайових і складених задач.

Аналізуючи попередні дослідження в галузі статичного деформування складених тіл, було показано актуальність даних задач та відзначено, що в деяких випадках виявляється можливим, шляхом побудови відповідних матриць Гріна, отримати розв'язки задач математичної фізики про визначення напружено-деформованого стану згаданих тіл у замкненому аналітичному вигляді.

У розділі 2 викладено метод побудови функцій і матриць типу Гріна для задач математичної фізики про статичне деформування складених пластинчатих та оболонкових об'єктів, що описуються рівняннями і системами еліптичного типу, який буде використовуватися в дисертаційних дослідженнях.

Систему диференціальних рівнянь еліптичного типу, що описує пружну рівновагу кожної з n секцій, з яких складається складене пластинчате чи оболонкове тіло, подамо у вигляді:

на , (1)

де - квадратна матриця третього порядку лінійних диференціальних операторів;

- вектори переміщень і зовнішнього поверхневого навантаження (у деякому масштабі) відповідно;

- криволінійні координати точок серединної поверхні оболонки;

- область, на якій відшукується розв'язок задачі.

Крайові умови, які мають місце на зовнішніх краях складеного тіла, можна записати у формі:

на С, (2)

де - матриця лінійних диференціальних операторів, за допомогою якої задаються крайові умови;

С - межа області .

Крайові умови можуть бути умовами жорсткого затиснення, симетрії та іншими.

У даному розділі було визначено також ступінь розвитку (у математичному плані) описаного вище методу розв'язання задач, який був запропонований професором Гавелею С.П. Було відзначено, зокрема, що у поданій дисертаційній роботі вказаний метод узагальнено (на основі ідей викладених професором Гавелею С.П. у ряді праць) на випадок складених тіл, коли крім крайових умов сформульовані ще і відповідні умови з'єднання секцій типу (3). Крім того, в роботах Гавелі С.П. та його учнів було запропоновано метод побудови в аналітичному вигляді матриць Гріна задачі про пружне деформування складених оболонок, для якої наявність умов симетрії на краях дозволяє звести її до звичайної крайової. Розглядався також більш загальний випадок сполучення оболонок, коли формулювалися, крім крайових умов, ще умови з'єднання секцій загального вигляду (3), але матриця Гріна апроксимувалася чисельно (була одержана у дискретному вигляді), або розв'язки складених задач було отримано шляхом обернення послідовності матриць відповідних задачі порядків (без побудови матриць Гріна).

У представленій дисертаційній роботі запропоновано новий підхід до розв'язання задач математичної фізики, на основі якого, для ряду складених пластинчатих та оболонкових тонкостінних тіл, отримано у замкненому аналітичному вигляді розв'язки задач про визначення напружено-деформованого стану шляхом побудови відповідних матриць типу Гріна (в аналітичному вигляді) для рівнянь і систем еліптичного типу при різних крайових умовах і умовах несиметричного (в загальному випадку) з'єднання оболонок (пластин) у складеному об'єкті.

У розділі 3 роботи розглянуто задачу розрахунку вигину круглих пластин дискретно-змінної у радіальному напрямку товщини.

Розв'язування здійснюється з використанням методу крайових і складених задач та потенціальних представлень. З цією метою досліджувану круглу пластину дискретно-змінної товщини розглянуто як складений об'єкт, який складається з круглої пластини постійної товщини і деякої (скінченної) кількості послідовно з'єднаних кільцевих секцій, розв'язки задач про статичне деформування яких неважко побудувати. На межах стику секцій сформульовано умови з'єднання круглої пластини з кільцем і кільцевих секцій одна з одною типу (3).

Побудовано матриці типу Гріна, що враховують як умови з'єднання секцій, так і обрані умови жорсткого затиснення країв складеного тіла.

Нижче наведено деякі з результатів розрахунку напруженого стану досліджуваного об'єкта, що складається з трьох секцій. При цьому, номери кривих відповідають наступним варіантам навантаження складеного тіла: , , , , , , . У круглих дужках наведені відношення інтенсивностей зовнішніх нормальних поверхневих навантажень до модуля Юнга Е на першій, другій та третій секціях складеної пластини відповідно. Крім того, наведено результати розрахунку, які ілюструють можливість врахування локального навантаження, яке діє на кільці, для якого (восьмий варіант навантаження). У цьому випадку .

Аналізуючи характеристики напруженого стану, можна зокрема відзначити, що згинальних моментів М мають особливі точки в місцях з'єднання секцій, тобто при і . У випадку локального навантаження (восьма крива) графік згинального моменту має якісні відмінності від інших. Розглядаючи графіки поперечних сил Q, можна помітити, що криві 4, 5 і 3, 7 складаються із двох різних ділянок, причому точка спряження цих ділянок відповідає , тобто співпадає з місцем з'єднання другої і третьої секцій досліджуваного складеного тіла. У випадку ж коли навантаження присутнє на усіх секціях тіла, або коли навантаження відсутнє тільки на першій (найменшій) секції, згадана особливість відсутня.

Викладену вище розрахункову схему явним чином розповсюджено на кільцеві пластини дискретно-змінної товщини. Запропонований спосіб розрахунку узагальнено на випадок n секцій з яких складається досліджувана кругла або кільцева пластина. Побудовано розрахункову схему, яка зменшує похибку обчислень та отриманих результатів (особливо при великій кількості секцій).

Розділ 4 дисертаційної роботи присвячено дослідженню напружено-деформованого стану складених оболонкових тіл. Розглянуто складені циліндричні і конічні оболонки. При цьому, досліджувані об'єкти, знову таки, поділено на ряд простих складових частин (оболонок), систему диференціальних рівнянь статичного деформування кожної з яких визначено з теорії тонких оболонок В.З. Власова, і розв'язано складену задачу з задоволенням запропонованих умов сполучення (типу (3)) оболонок , які входять у складе тіло.

Для складеної оболонки з циліндричних секцій, за допомогою побудованих відповідних задачі матриць типу Гріна, одержано аналітичний розв'язок у вигляді (16).

Досліджено деформівність вказаних тіл при різних крайових умовах. Аналізуючи компоненти напруженого стану, можна відзначити наявність крайового ефекту не тільки на зовнішніх краях розглянутих складених тіл, а і в місцях з'єднання секцій, де спостерігаються особливості напруженого стану. Це явно виявляється як у характері розподілу згинальних моментів, так і поперечних сил. Можна відзначити також, що в місцях з'єднання конічних оболонок більшими основами крайовий ефект виражений більш помітно в порівнянні з місцями з'єднання оболонок меншими основами. Як і очікувалося, із збільшенням кута, під яким з'єднуються конічні секції у складеному тілі (тобто із зменшенням кутів конусності оболонок), крайовий ефект в місцях з'єднання секцій помітно зменшується, тоді як на зовнішніх краях досліджуваного тіла зберігається майже на попередньому рівні.

У випадку ж складених циліндричних оболонок крайовий ефект охоплює все складене тіло. Це можна пояснити порівняно невеликою довжиною хвилі кожної з відкритих циліндричних оболонок, з яких утворене досліджуване при розрахунках складене тіло, наявністю і способом з'єднання циліндричних секцій, а також характером прикладення зовнішнього однобічного навантаження. Можна відзначити, що із зменшенням довжини хвилі циліндричних секцій, згинальний момент і поперечна сила також зменшуються, але не в місцях жорсткого затиснення зовнішніх країв складеного тіла.

У розділі 5 побудовано та досліджено матриці типу Гріна для задачі про статичне деформування двох пластин, з'єднаних під прямим кутом, що піддані дії складного зовнішнього навантаження, при крайових умовах жорсткого затиснення, а також умовах симетрії на краях (рис.5). Побудова розв'язку здійснювалася за методом викладеним вище.

З використанням побудованих матриць типу Гріна досліджено напружено-деформований стан розглянутого складеного тіла при різних варіантах прикладення нормального поверхневого локального навантаження та умовах на краях. За допомогою виразів (17) оцінено похибку отриманих результатів.

Нижче наведено деякі з результатів розрахунку деформівності досліджуваного тіла для трьох варіантів нормального поверхневого навантаження, локалізованого на першій пластині у точках A, B, C з координатами (0,25; 0), (0,5; 0), (0,75; 0) відповідно. Графіки функцій та , які визначають розтяг прямокутного з'єднання пластин у нормальному до першої пластини напрямку в залежності від локалізації навантаження, позначеної стрілками, дозволяють спостерігати вплив з'єднувального ребра розглянутого об'єкта на його деформівність при різних віддаленнях прикладеного навантаження від ребра. Найменш досліджуване складене тіло деформується, коли навантаження прикладене у точці A, а найбільш - у точці C (рис. 1). Аналогічним чином розподіляються максимуми і мінімуми розтягувальних T і поперечних Q сил: випадку, коли навантаження прикладене у точці C, відповідають максимуми згаданих сил, а коли у точці A - мінімуми, за винятком поперечної сили, що виникає в серединній площині першої пластини (це можна пояснити близькістю точки A до зовнішнього краю тіла, де виконані умови жорсткого затиснення).

Рис. 1. Напружено-деформований стан складеного тіла з двох пластин, з'єднаних під прямим кутом.

Цікаво відзначити, що максимуми нормальних прогинів не співпадають з точками прикладення навантаження: найбільші розбіжності відповідають точці , найменші - точці . Можна також помітити, що зміщення ребра з'єднання двох пластин вплинуло на характер деформівності другої пластини, але, при цьому, значної концентрації напружень у зоні ребра не виникло.

Висновки

За допомогою вперше побудованих відповідних матриць типу Гріна отримано, для ряду складених пластинчатих та оболонкових тіл, розв'язки задач математичної фізики про визначення напружено-деформованого стану у замкненому аналітичному вигляді, при цьому основні результати і висновки дисертаційної роботи полягають у наступному.

1. Шляхом побудови відповідних матриць типу Гріна розв'язано задачу розрахунку вигину круглих пластин дискретно-змінної у радіальному напрямку товщини. Розв'язання здійснювалося з використанням методу крайових і складених задач. З цією метою досліджувану круглу пластину дискретно-змінної товщини розглянуто як складене тіло, яке складається з круглої пластини постійної товщини і деякої (скінченної) кількості кільцевих секцій, послідовно з'єднаних одна з одною. На межах стику секцій виконано умови з'єднання круглої пластини з кільцем та кільцевих секцій одна з одною. Побудовано матриці типу Гріна, які враховують як умови жорсткого затиснення країв, так і умови з'єднання секцій складеного об'єкта. Запропонований спосіб розрахунку явним чином розповсюджено на кільцеві пластини дискретно-змінної товщини. За допомогою матричної алгебри побудовано схему знаходження оберненої матриці, яка зменшує похибку обчислень та отриманих результатів (особливо при великій кількості секцій у складеному тілі).

Одержані результати порівнювалися з відомими аналітичними розв'язками для задач про вигин круглих та кільцевих пластин при крайових умовах жорсткого затиснення. Максимальна відносна похибка не перевищувала 0,01 %.

2. Досліджено напружено-деформований стан складених оболонкових тіл. При цьому, досліджувані об'єкти поділено на ряд простих складових частин (оболонок), систему диференціальних рівнянь статичного деформування кожної з яких визначено з теорії тонких оболонок В.З. Власова, і розв'язано складено-крайову задачу з задоволенням запропонованих умов сполучення оболонок, які входять у складене тіло. Розглянуто складені циліндричні і конічні оболонки. Досліджено деформівність вказаних об'єктів при різних умовах на краях та фізичних характеристиках. Побудовано відповідні задачам матриці типу Гріна, що враховують як розглянуті умови на краях, так і сформульовані умови з'єднання конічних і циліндричних секцій.

З метою з'ясування практичної вірогідності застосованої розрахункової схеми (для складеної конічної оболонки) було зроблено розрахунок за запропонованою схемою у граничному випадку, а також за допомогою фундаментальних функцій А.М. Крилова. Отримані результати співпадають як в якісному, так і в кількісному аспекті.

3. Розглянуто задачу про пружне деформування складеного тіла з двох пластин, жорстко з'єднаних під прямим кутом, в умовах складного навантаження. Досліджуване тіло поділено на дві складові частини (прямокутні пластини), розв'язок поставленої задачі для кожної з яких побудовано за допомогою методів відокремлення змінних та варіації довільних сталих. На межі стику двох пластин сформульовано умови з'єднання складових частин складеного тіла. Побудовано та досліджено матриці типу Гріна, за допомогою яких отримано розв'язок в аналітичному вигляді для розглянутої задачі при крайових умовах жорсткого затиснення. Визначено напружено-деформований стан досліджуваного складеного тіла при різних варіантах прикладення нормального поверхневого локального навантаження. Шляхом побудови відповідних матриць типу Гріна, отримано в аналітичному вигляді розв'язок описаної вище задачі при умовах симетрії на краях. За допомогою побудованих матриць типу Гріна оцінено похибки отриманих результатів.

4. Отримані в роботі результати досліджень, методи, які використовувалися, та побудовані аналітичні розв'язки можуть бути застосовані до розрахунку статичного деформування деяких складених пластинчатих та оболонкових тіл: складених круглих та кільцевих пластин; складених об'єктів з конічних та циліндричних оболонок; складеного тіла з двох пластин, з'єднаних під прямим кутом.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Левчук С.А. Дослідження статичного деформування складеної конструкції з двох пластин// Вісник Запорізького державного університету. - Запоріжжя, 1998. - Сер. Фізико-математичні науки. - № 2. - С. 79 - 81.

2. Левчук С.А. Використання експериментальних даних під час дослідження контактування пружних пластин// Вісник Державного університету "Львівська політехніка". - Львів, 1998. - Сер. Динаміка, міцність та проектування машин і приладів. - № 354. - С. 20 - 22.

3. Левчук С.А. Матриця типу Гріна круглої пластини дискретно-змінної товщини// Вісник Запорізького державного університету. -Запоріжжя, 1999. - Сер. Фізико-математичні науки. - № 2. - С. 66 - 69.

4. Куземко В.А., Левчук С.А. Дослідження деформування багатосекційних оболонкових конструкцій// Вопросы механики деформирования и разрушения твёрдых тел. - Днепропетровск, 1999. - С. 130 - 134.

5. Левчук С.А. Исследование деформирования сочленённых конических оболочек// Придніпровський науковий вісник. - Дніпропетровськ, 1997. - Сер. Природничі та технічні науки. - № 21 (32). - С. 35 - 38.

6. Левчук С.А. Деформирование гофрированных оболочек// Сборник научных трудов посвященных 10-летию университета. - Запорожье, 1995. - Сер. Математика, физика. - С. 50 - 54.

7. Гавеля С.П., Головко Д.Б., Кульбашный П.Ф., Левчук С.А.. Использование экспериментальных возможностей при расчете контактирования упругих пластин// Запорож. ун-т. - Запорожье,1992. - 7 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.08.92, № 1285 - Ук92.

8. Гавеля С.П., Кульбашный П.Ф., Левчук С.А.. Экспериментальная корректировка расчета подрессоренной кольцевой пластины// Запорож.

ун-т. - Запорожье,1992. - 6 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.10.92, № 1668 - Ук92.

9. Гавеля С.П., Левчук С.А.. Деформирование составных конических оболочек// Запорож. ун-т. - Запорожье,1994. - 13 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 25.10.94, № 149 - Ук94.

10. Гавеля С.П., Левчук С.А.. Деформирование цилиндрических гофров// Запорож. ун-т. - Запорожье,1994. - 10 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 23.01.94, №116 - Ук94.

11. Гавеля С.П., Левчук С.А.., Ищенко О.А. Расчет упругого деформирования круглой пластины дискретно-переменной толщины// Запорож. ун-т. - Запорожье, 1992. - 10 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 08.06.92, № 845 - Ук92.

12. Гавеля С.П., Левчук С.А.., Чирка Н.В. Матрица типа Грина задачи об упругом деформировании составной конструкции из двух пластин// Запорож. ун-т. - Запорожье,1992. - 15 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.12.92, №2002 - Ук92.

13. Левчук С.А.. Расчет напряженно-деформированного состояния элементов сложных технических конструкций// Запорож. ун-т. - Запорожье,1997. - 24 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.06.97, № 447 - Ук97.

14. Гавеля С.П., Головко Д.Б., Кульбашный П.Ф., Левчук С.А.. Исследование подрессоривания вулканизационной диафрагмы// Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций". - К., 1991. - С. 21.

15. Гавеля С.П., Головко Д.Б., Кульбашный П.Ф., Левчук С.А.. Экспериментальная корректировка расчета сложного напряженно-деформированного состояния составных тонкостенных конструкций// Тезисы докладов 4-го симпозиума "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии". - К., 1992. - С. 19.

16. Левчук С.А. Экспериментально корректируемый расчет деформирования подрессоренной диафрагмы вулканизационного оборудования// Тезисы докладов научной конференции преподавателей и студентов университета. - Запорожье,1995. - Ч. 1. - С. 38.

Размещено на Allbest.ru