Нормальні хвилі в нерегулярних пружних та пористо-пружних хвилеводах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

ГОРОДЕЦЬКА Наталія Сергіївна

УДК 534.1

НОРМАЛЬНІ ХВИЛІ В НЕРЕГУЛЯРНИХ

ПРУЖНИХ ТА ПОРИСТО-ПРУЖНИХ ХВИЛЕВОДАХ

01.04.06 - Акустика

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2002

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Інституті гідромеханіки Національної академії наук України

Науковий консультант: академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Грінченко Віктор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України, директор

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-метаматичних наук, професор

Сторожев Валерій Іванович

Донецький державний університет, декан математичного факультету

Доктор фізико-метаматичних наук, ст. н. с.

Сенченков Ігор Константинович

Інститут механіки НАН України, головний науковий співробітник

Доктор технічних наук, професор

Лейко Олександр Григорович

Заступник директора НДІ “Гідроприбор”

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України

Захіст відбудеться 21 лютого 2002 року о 14 годині на засіданні специализированного ученого совета Д 26.196.01 в Институте гидромеханики НАН Украины по адресу: 03057, Київ, вул. Желябова, 8/4.

Тел.: (044) 446-43-13, факс (044) 446-42-29.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України.

Автореферат розіслано "15" січня 2002 року.

Вчений секретар

спеціализованої вченої ради Криль С.І.

доктор технічних наук, професор

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Наукові та науково-технічні проблеми, що виникають при дослідженні коливань в інженерних конструкціях ( у сейсмології, дефектоскопії, в пристроях неруйнівного контролю), пов'язані з вивченням процесів поширення хвиль у пружних та пористо-пружних хвилеводах. Хвилеводи широко застосовують як фільтри та резонатори, ультразвукові лінії затримання в акустоелектроніці, гідроакустиці, архітектурній акустиці та інших галузях науки і техніки. На основі аналізу поширення хвиль та резонансних явищ у хвилеводах створено ефективні методи дослідження фізичних властивостей матеріалів. Ці методи базуються на однозначному зв'язку між динамічними характеристиками хвильових процесів і фізичними характеристиками середовища. Вказані обставини обумовлюють значну теоретичну та практичну зацікавленість задачами хвилеводного поширення звуку. Для пружного хвилеводу типовою задачею, на основі якої формувалося розуміння специфіки хвильових процесів у пружних тілах, є вивчення поширення хвиль у шарі з вільними бічними поверхнями. Створення нових матеріалів, що характеризуються малим поглиненням енергії, і розробка способів ефективного збудження хвильового поля в широкому частотному діапазоні призвело до появи значної кількості робіт, присвячених аналізу поширення хвиль у хвилеводах більш складної конфігурації, зокрема, у пружних хвилеводах скінченої довжини і у нерегулярних хвилеводах. При цьому основна увага була зосереджена на подоланні методологічних і математичних труднощів, що виникають при розв'язуванні складних граничних задач. Аналізу фізичних аспектів процесів поширення хвиль, вивчення яких є метою даної дисертаційної роботи, приділялося значно менше уваги. Через це в даній роботі основну увагу приділено аналізу фізичних особливостей хвильових полів у пружних нерегулярних хвилеводах, а саме вивченню ефектів локалізації пружних хвиль та передачі хвильової енергії через неоднорідність.

У даній роботі аналіз хвильових процесів виконували не тільки у пружних середовищах, але і у пористо-пружних, насичених рідиною хвилеводах. Вибір пористо-пружного середовища, як об'єкту досліджень, зумовлений практичною необхідністю використання моделі двофазного середовища для вивчення хвильових процесів у таких галузях як геофізика, біомеханіка, архітектурна акустика, підводна акустика, неруйнівний контроль та ін. Хвильові процеси в такому середовищі значно складніші, що зумовлено існуванням у пористо-пружному середовищі трьох типів хвиль - швидкої і повільної поздовжніх хвиль та поперечної хвилі Взаємодія трьох типів хвиль на границі приводить до специфічних хвильових ефектів, які не можна передбачити в рамках моделі пружного середовища.

Таким чином, вивчення закономірностей поширення хвиль у пружних та пористо-пружних хвилеводах та розроблення методів розв'язку відповідних граничних задач є актуальною науковою проблемою сучасної акустики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження, результати яких викладено в дисертації, передбачені програмами і планами наукових досліджень з природничих наук на 1990-2001рр. НАН України і ввійшли до звітів з тем. Зокрема: “Дослідження вихрових структур і процесів генерації звуку при взаємодії потоку з пружними коливними оболонками” (N ГР 01900009560), “Дослідження закономірностей вихроутворення і генерації звуку при взаємодії потоків із пружними границями” (N ГР 0193U021363), “Дослідження динамічних характеристик пружних систем, які взаємодіють з рідиною” (N ГР 0100U004750).

Мета і задачі дослідження.

Метою роботи є дослідження основних закономірностей формування хвильових полів у нерегулярних пружних і пористо-пружних хвилеводах, розробка аналітичних методів розв'язання відповідних граничних задач, виявлення нових механічних ефектів, а також їх фізичне тлумачення на основі аналізу структури хвильового поля. Для досягнення мети вирішувалися наступні задачі:

- аналіз і розроблення аналітичних та чисельних методів дослідження поширення хвиль у складних хвилеводних структурах;

- дослідження закономірностей формування хвильових полів у півшарі для різних типів граничних умов на його торці та різних видів навантаження: гладких та розривних навантажень, а також у випадку викривленого торця;

- аналіз особливостей хвильового поля в нерегулярному пружному хвилеводі з урахуванням зміни механічних і геометричних параметрів хвилеводу;

- аналіз моделей пористо-пружних середовищ і можливостей їх застосування для розв'язання задач поширення звуку в такому середовищі, а також дослідження дисперсійних властивостей нормальних хвиль у пористо-пружному хвилеводі з вільними бічними поверхнями для різних видів симетрії.

Об'єктом дослідження є процес поширення хвиль в пружних та пористо-пружних хвилеводах з урахуванням ряду ускладнених факторів, а саме: різні способи збудження хвиль, включаючи навантаження з інтегрованим розривом; викривлення торцю пружного хвилеводу; нерегулярність пружного хвилеводу; пористо-пружний хвилевід.

Предмет дослідження - хвильові процеси у пружних та пористо-пружних хвилеводах.

Методи досліджень - граничні задачі, що сформульовані в роботі, було вирішено методом суперпозиції. При цьому для визначення асимптотичних властивостей невідомих використовували фізичні особливості поставлених граничних задач. У випадку першої основної граничної задачі асимптотичні властивості невідомих визначали на основі використання квазірегулярності нескінченних систем; у випадку змішаної граничної задачі асимптотичні властивості невідомих знаходили на основі апріорних знань про характер локальних особливостей у точці зміни типу граничних умов. Врахування особливості в полі напружень дозволяє покращити збіжність нескінченних рядів, які виникають при застосуванні метода, і, таким чином, провести аналіз хвильового поля в ближній зоні. Встановлення зв'язку між розв'язком задачі методом суперпозиції та представленням хвильового поля у вигляді нормальних хвиль дозволило досягти фізичної наочності отриманих результатів. При розв'язуванні конкретних граничних задач значна увага була приділена як розробленню теоретичних питань, пов'язаних з математичним обґрунтуванням методу суперпозиції, так і систематизації, узагальненню розрахункових даних з метою визначення взаємозв'язку окремих чинників для розуміння особливостей формування хвильових полів у різних типових випадках.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в:

- подальшому розвитку методу суперпозиції стосовно до стаціонарних змішаних граничних задач для нерегулярних хвилеводів і представленні отриманих рішень через нормальні хвилі для фізичного трактування отриманих результатів;

- розкритті фізичної суті явища крайового резонансу як специфічного хвильового ефекту, пов'язаного з особливостями відбиття пружних хвиль від вільної границі;

- вивченні впливу характеру навантаження торця хвилеводу і величини викривлення торця на ефективність збудження поширюваних та неоднорідних хвиль;

- встановленні суттєвої частотної залежності перетворення енергії падаючої хвилі в складному хвилеводі у хвилі, які відбилися і пройшли на границі розділу, для різних механічних і геометричних параметрів хвилеводу та фізичній інтерпретації явищ різкого збільшення і зменшення прозорості границі розділу;

- встановленні закономірностей поширення нормальних хвиль у пористо-пружних, насичених рідиною, хвилеводах з вільними бічними поверхнями.

Практичне значення одержаних результатів полягає

- в можливостях використання розроблених методик для визначення хвильових характеристик нерегулярних пружних хвилеводів в інженерній практиці при проектуванні елементів коливальних систем, що працюють за умов високочастотних коливань та використовуються при створенні акустичних резонаторів, акустомеханічних перетворювачів енергії;

- в розробці методик визначення характеристик нормальних хвиль і хвильового поля в пористо-пружному, насиченому рідиною хвилеводі та можливості їх застосування в гео- і гідроакустиці, сейсмології, а також для аналізу параметрів пористо-пружних середовищ.

Розроблені методики, алгоритми і програми, а також результати розв'язку конкретних задач використовувалися при виконанні науково-дослідних робіт відділу гідродинамічної акустики Інституту гідромеханіки НАН України.

Особистий внесок здобувача. Теоретичні та практичні розробки дисертації належать здобувачу особисто, що відображено у 14 самостійних працях (11-23), 28. У працях, опублікованих разом з науковим консультантом академіком НАН України В.Т.Грінченком, В.Т.Грінченку належить вибір загального напрямку досліджень, участь в обговоренні отриманих результатів; у працях опублікованих разом із д.ф.-м.н. І.В. Вовком, І.В. Вовку належить постановка задач та участь в обговоренні результатів; у працях, опублікованих у співавторстві з д.ф.-м.н. О.М.Гомілком, О.М.Гомілку належить математичне обґрунтування застосованих методів; у працях виконаних разом з д.ф.-м.н. В.В.Мелешком, В.В.Мелешко брав участь у постановці задач, обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на наукових конференціях, симпозіумах, семінарах, зокрема на: XI Всесоюзній акустичній конференції (Москва, 1991 р.); регіональній конференції “Динамічні задачі механіки суцільного середовища, теоретичні і прикладні питання вібраційного просвічування землі” (Краснодар 1990 р.); IX конференції з міцності і пластичності (Київ, Москва 1996 р.); міжнародній конференції “Теорія операторів і її застосування” (Одеса, 1997 р.); конференції “Noise-Con 2000” (California, 2000); конференції “Sound and Vibration” (Garmisch-Partenkirchen, Germany, 2000); V міжнародній конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, Луцьк, 2000 р.); IV польсько-українській конференції “Актуальні задачі механіки неоднорідних середовищ”(Лодзь, 2001 р.)

У повному обсязі дисертаційна робота обговорювалася на семінарах кафедри механіки Київського національного університету ім. Т.Г.Шевченка (2001 р.), на семінарі Інституту гідромеханіки НАН України (2001 р.).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 31 наукових працях. Серед них у фахових виданнях опубліковано 22 роботи. Зокрема:

-19 статей у фахових журналах України (2 ), (3), (6 -8), (13 -24), 27.

- 3 статті в періодичних збірниках наукових праць, які входять до переліку фахових видань (1), (5), (9);

- 1 стаття в працях наукових конференцій (30);

- 8 тез конференцій (4), (11), (12), (25), (26), (28), (29), (31).

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі списку умовних позначень, вступу, шести розділів, висновків та списку літератури. Загальний об'ємом дисертації становить 395 стор., разом із 69 рисунками на 51 сторінках, 9 таблицями та списком літературних джерел з 323 найменувань.

Автор висловлює глибоку вдячність своєму науковому консультанту акад. НАНУ В.Т.Грінченку за постійну увагу до роботи та допомогу при її виконанні.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

звук поширення середовище пористий

У вступі показано актуальність роботи, її зв'язок з науковими програмами, сформульовано мету дослідження, відзначено наукову новизну та практичне значення роботи, сформульовано основні результати, одержані в дисертації.

Перший розділ присвячено огляду теоретичних робіт з вивчення процесу поширення хвиль у нерегулярних пружних та пористо-пружних хвилеводах. Проведений огляд наукових праць показав, що існуючі дослідження з проблем розглянутих у дисертації, виконано, головним чином, при введенні ряду спрощувальних допущень, що обмежують можливості аналізу особливостей процесу поширення хвиль в таких хвилеводах.

Історично вивчення пружних хвилеводів почалося з робіт Ейлера і Бернулі на основі одномірних рівнянь для згинальних коливань стержнів. У роботах Похгаммера і Крі, Релея і Лемба на основі тривимірних рівнянь теорії пружності розглянуто задачі про поширення хвиль у нескінченних хвилеводах, які стали основою робіт, присвячених вивченню хвильових процесів у тілах з більш складними властивостями, такими як скінченність розмірів, нерегулярність хвилеводу, викривлення торців хвилеводів, зв'язність між механічними й електромагнітними полями. Відмітимо роботи С.А.Амбарцумяна, В.О.Бабешка, С.Е.Багдасаряна, Ю.М.Бобровницького, Я.Й.Бурака, І.О.Вікторова, І.Й.Воровича, І.П.Гетмана, Є.В.Глушкова, О.М.Гомілка, В.Т.Грінченка, О.Н.Гузя, Л.К.Зарембо, О.С.Зільберглейта, О.С.Космодаміанського, В.В.Мелешка, М.І.Підстригача, І.Т.Селезова, І.К.Сенченкова, В.І.Сторожева, А.Ф.Улітка, Аулда, Грегори, Ламе, Міндліна, Оноє, які зробили значний внесок у формування сучасних уявлень про закономірності хвильових процесів. Аналіз робіт вищезазначених авторів показав, що вони, як правило, вивчали хвильові процеси в нескінченних хвилеводах або в напівобмеженому середовищі, не зважаючи на те, що в багатьох практично важливих випадках розуміння особливостей хвильових процесів може бути досягнуто тільки з використанням моделей, які враховують скінченність розмірів тіл. У цьому напрямку накопичено значний експериментальний матеріал, який свідчить про складний характер динамічної поведінки пружних тіл. Крайові задачі, що виникають при аналізі хвильових процесів у тілах скінчених розмірів, є досить складними. Ця обставина призвела до створення наближених теорій динаміки стержнів, пластин та оболонок, які основано на зниженні тим чи іншим чином розмірності тривимірної задачі щодо просторових координат. Для аналізу хвильових процесів наближені теорії є правомірними лише в діапазоні низьких частот, коли довжина хвилі значно перевищує поперечний розмір хвилеводу. Для розв'язання багатьох прикладних задач необхідно проводити аналіз хвильових полів в області високих частот, для яких довжина хвилі є зрівнянною з характерним розміром поперечного перерізу хвилеводу. Дослідження хвильових процесів в області високих частот є важливим переходом від наближених теорій до аналізу граничних задач у тривимірній постановці. У цьому частотному діапазоні, як правило, є непридатними асимптотичні методи, а також різні фізичні спрощення, пов'язані із введенням тих чи інших гіпотез. Тому для побудови моделей, що адекватно описують фізичні явища у високочастотній області, необхідно розробити аналітичні методи розв'язання граничних задач у тривимірній постановці. Через це в даній роботи подальший розвиток отримав метод суперпозиції стосовно розв'язку змішаних граничних задач, в яких виникає локальна особливість щодо напружень в точці змінення типу граничних умов. Встановлення зв'язку між розв'язком граничної задачі методом суперпозиції і представленням вектора переміщення через нормальні хвилі дозволило дати більш глибоке фізичне трактування отриманих результатів. Аналіз результатів розв'язання граничних задач дозволив встановити нові закономірності хвильових процесів у широкому діапазоні частот, а також пояснити ряд ефектів динамічного деформування пружних хвилеводів, які було знайдено експериментально.

Хоча в рамках моделі пружного середовища можна описати загальні характеристики поширення хвиль у реальних середовищах, але для аналізу ряду особливостей хвильових процесів необхідно розглядати більш складні моделі середовищ. У даній роботі аналіз хвильових процесів проводили не тільки в пружних середовищах, але і в пористо-пружних, насичених рідиною середовищах. На сьогодні для макроскопічного описання хвильових процесів в пористо-пружному, насиченому рідиною середовищу, найбільш широке поширення отримали два напрямки. Один з них основано на дослідженнях М.Біо, а другий розвинено на основі теорії сумішей. В даній роботі дослідження хвильових процесів виконано в рамках теорії Біо.

Насамперед необхідно відзначити, що пористі середовища, як об'єкт дослідження, мають давню історію, що почалася з робіт Р.Волтмана (1794), який заклав основи концепції об'ємних частинок. Ця концепція дозволила описати гетерогенні середовища методами механіки суцільного середовища. У 19-м сторіччі у роботах Деліса (1848), Фіка (1855), Дарсі (1856), Стефана (1871) було закладено основи теорії сумішей і теорій пористих середовищ. Дифузійні закони Фіка і Дарсі, а також перші диференційні рівняння рівноваги і руху, отримані Стефаном, для суміші двох газів стали основою для розвинення феноменологічного підходу до побудови теорій пористих середовищ. На початку 20-го сторіччя на основі цього підходу в роботах Філлінгера і Терцаги було сформульовано перші теорії пористих середовищ. Надалі теорію пористих середовищ у рамках даного підходу розвивали М.Біо і Я.І.Френкель. Я.І.Френкель при вивченні сейсмоелектричного ефекту встановив існування трьох типів хвиль в необмеженому пористо-пружному середовищі - поздовжні хвилі першого і другого роду, а також поперечні хвилі. Існування поздовжньої хвилі другого роду було підтверджено експериментально Плоном, Джонсоном. В роботах М.Біо були отримані дисперсійні рівняння для цих хвиль і детально вивчена їх поведінка в залежності від частоти і параметрів середовища.

Значний внесок у розвиток теоретичних і експериментальних досліджень пористо-пружних середовищ внесли роботи Ю.К.Зарецького, Л.Я.Коса-чевського, В.М.Ляхтера, Ф.М.Ляховицького, Р.І.Нігматуліна, В.М.Ніколєвського, Я.Я.Рущицького, Л.П.Хорошуна, J.Allard, R.de Boer. J.G.Berryman, H.Deresiewicz, D.L.Johnson, J.Kubik, R.D.Stoll, T.Yamamoto та інших.

На сьогодні у рамках теорії Біо аналіз динамічних процесів в пористо-пружних, насичених рідиною середовищах розвивається шляхом більш повного врахування реальних властивостей двофазного середовища. При цьому в більшості робіт розглянено необмежене середовище і вивчено та уточнено його параметри. Розв'язанню граничних задач приділено значно менше уваги, не зважаючи на їх практичне значення. Саме тому в даній роботі вивчали хвильові процеси в пористо-пружних хвилеводах, зокрема проведено аналіз поширення хвиль в пористо-пружному хвилеводі з вільними бічними поверхнями.

У другому розділі виконано порівняльний аналіз двох аналітичних методів розв'язання просторових граничних задач для пружних тіл скінченних розмірів. Традиційно застосовуються метод однорідних розв'язків і метод суперпозиції.

Метод однорідних розв'язків являє собою узагальнення класичного методу власних функцій на граничні задачі теорії пружності. В його основі лежить представлення хвильового поля через ряд нормальних хвиль, кожна з яких задовольняє умові відсутності напружень або переміщень на одній частині поверхні, а в цілому представлення має достатню ступінь вільності для виконання граничних умов на іншій частині поверхні.

Метод суперпозиції базується на ідеї Ламе, згідно якої загальний розв'язок граничної задачі складається із суперпозиції декількох розв'язків, кожен з яких має достатню ступінь вільності для виконання довільних граничних умов. У роботах Б.Л.Абрамяна, В.Т.Грінченка, О.А. Головіна, О.М.Гомілка, В.В.Мелешка, А.Ф.Улітка метод суперпозиції отримав подальший розвиток.

Як метод однорідних розв'язків, так і метод суперпозиції призначені для розв'язання певного класу задач. При цьому метод суперпозиції дозволяє уникнути ряд труднощів, притаманних методу однорідних розв'язків. Більш того, розв'язок, отриманий методом суперпозиції, можна представити за допомогою теорії лишків у вигляді нормальних хвиль, що дозволяє використати головну перевагу методу однорідних розв'язків -- його наочність. При розв'язанні першої основної задачі теорії пружності як метод однорідних розв'язків, так і метод суперпозиції дозволяють отримати результати, що кількісно і якісно відображають всі особливості хвильових полів. Але при розв'язанні змішаної граничної задачі, особливо у випадку, коли на границі задано переміщення і напруження одночасно, метод суперпозиції має значні переваги. Цей метод дозволяє враховувати особливість у полі напружень в околі кутових точок через асимптотичні властивості невідомих нескінченних систем, що виникають при застосуванні методу. В роботі для розв'язання граничних задач використовувався метод суперпозиції, а отриманий розв'язок було представлено через нормальні хвилі. Це дозволило об'єднати в рамках єдиного підходу високу ефективність обчислювальних процедур для кількісного оцінення характеристик хвильового поля та фізичну наочність отриманих результатів.

Як метод однорідних розв'язків, так і метод суперпозиції дозволяють розв'язувати граничні задачі для тіл скінчених розмірів канонічної форми. Щодо розв'язання граничних задач для тіл неканонічної форми метод суперпозиції отримав подальший розвиток для акустичних хвилеводів. Така модифікація методу названа методом часткових областей. В роботі представлено розв'язок граничних задач методом часткових областей для акустичних хвилеводів неканонічної форми.

У третьому розділі описано дослідження, присвячені аналізу ефектів локалізації пружних хвиль в півшарі з вільними від напружень бічними поверхнями та вільним торцем. Одним з найбільш відомих ефектів локалізації рухів в околі границі в пружному хвилеводі є крайовий резонанс, що виявляється в локалізації рухів поблизу краю хвилеводу. Відзначимо, що існування особливих форм коливань, локалізованих поблизу краю, було знайдено експериментально. Особлива форма коливань при крайовому резонансі, як уперше було показано Газісом і Міндліним, обумовлена значним збудженням неоднорідних хвиль, зокрема основний внесок у формування крайової форми вносить перша неоднорідна хвиля. Традиційно при аналізі резонансних ситуацій необхідно стежити за зміною фазових характеристик і збільшенням амплітудних. В роботі проаналізовано частотну залежність амплітуд нормальних хвиль у діапазоні частот, де існує тільки одна поширювана хвиля для різних значень коефіцієнта Пуассона. У цій частотній області для всіх коефіцієнтів Пуассона амплітуда відбитої поширюваної хвилі дорівнює амплітуді падаючої , що безпосередньо випливає із закону збереження енергії. Поведінку фазових характеристик описує частотна залежність. В околі частоти крайового резонансу змінюється від -1 до 1. Частоту, на якій, природно вважати резонансною. На цій частоті спостерігається різке збільшення амплітуд неоднорідних хвиль. Надалі частоту крайового резонансу будемо позначати. Частота крайового резонансу та його ефективність в значній мірі залежать від коефіцієнту Пуассона. При збудженні півшару першою нормальною поширюваною хвилею, частотну залежність амплітуди першої неоднорідної хвилі, пронормовану на амплітуду падаючої хвилі, для різних значень коефіцієнту Пуассона показано на рис.1. При збільшенні коефіцієнта Пуассона частота крайового резонансу збільшується, а добротність резонансу зменшується. Сам факт значного збудження неоднорідних хвиль на частоті крайового резонансу добре відомий, і він свідчить про складний механізм перетворення енергії від падаючої до відбитих хвиль. Поглиблені уявлення про цей механізм можна отримати аналізуючи процес відбивання нормальної хвилі для окремих її складових. Метою аналізу є визначення тих складових хвильового руху, що можуть сформувати стоячу хвилю в напрямку висоти півшару. Представимо першу нормальну поширювану хвилю як суперпо-зицію поздовжньої (P) і поперечної (SV) хвиль, які відбиті від бічних границь під певними кутами. Труднощі фізичного аналізу поля в пружному хвилеводі за такого розділення обумовлені особливими властивостями першої нормальної поширюваної хвилі. Зокрема, на відміну від акустичного хвилеводу ця хвиля на частоті крайового резонансу не може бути представлена як суперпозиція поздовжньої та поперечної хвиль, що поширюються під певними кутами до осі. Для частот в області крайового резонансу кут відбиття поперечних хвиль, який визначається як, завжди дійсний, а кут відбиття поздовжньої хвилі уявний. Таким чином, на частоті крайового резонансу при відбитті від бічних границь існує поперечна поширювана хвиля і неоднорідна поздовжня хвиля. Якщо враховувати тільки внесок поперечної складової хвильового руху при відбитті від вільного торця, то при напруження , знайдене за законом Гука, дорівнює нулю на частоті , тобто вздовж висоти хвилеводу укладається ціле число SV-півхвиль і спостерігається резонанс на поперечній (SV) поширюваній хвилі. Кількісно така оцінка досить близька до точних значень. Якісна похибка такої оцінки пов'язана зі слабкою залежністю частоти крайового резонансу від коефіцієнта Пуассона. Однак, хвильове поле формується не тільки за рахунок поширюваної SV-хвилі, але і неоднорідної поздовжньої хвилі, поширення якої в значній мірі залежить від коефіцієнта Пуассона, тому частота крайового резонансу зміщається щодо частоти . Для аналізу поведінки P-хвилі простежимо за зміною кутів відбиття поперечної поширюваної хвилі в залежності від частоти. Для на частоті кут падіння поперечної хвилі на поверхню досягає критичного значення і для більш високих частот на даній поверхні з'являється поздовжня поширювана хвиля. При відбитті поширюваної SV-хвилі від вільного торця для частот, для яких на поверхні існує поширювана P-хвиля для коефіцієнта Пуассона напруження, обумовлене відбитими від вільного торця P- та SV- хвилями, дорівнює нулю на частоті , тобто резонансна частота змістилася в область більш високих частот. При збільшенні коефіцієнта Пуассона резонансна частота зміщується в область ще більш високих частот. Таким чином, частота крайового резонансу лежить між частотою резонансу на поперечній хвилі і частотою резонансу на поперечній і поздовжній поширюваних хвилях.

Явище крайового резонансу спостерігалося також при вимушених коливаннях півшару, тобто коли на торці задано навантаження. Спосіб силового навантаження відрізняється від раніше розглянутого. При відбитті від вільного торця хвилеводу першої нормальної хвилі, що приходить з нескінченності, зафіксувавши амплітуду падаючої хвилі , змінюємо її напруження із зміною частоти, оскільки структура власних форм у пружному хвилеводі залежить від частоти. Це призводить до того, що енергія, яку споживає хвилевід за період для різних типів збудження хвилеводу (падаюча хвиля чи силове навантаження), значно відрізняються, що у свою чергу, призводить до частотної залежності амплітуди єдиної поширюваної хвилі. При вимушених коливаннях півшару в розглянутому частотному діапазоні спостерігається резонанс у дальньому полі на єдиній поширюваній хвилі, причому резонансна частота збігається з частотою крайового резонансу. В цьому випадку неоднорідні хвилі збуджуються значно сильніше ніж поширювана хвиля і є визначальними при формуванні крайової моди. Ефективність збудження крайової моди при різних способах навантаження різна і визначається ступенем узгодження форми навантаження і крайової моди.

У роботі було розглянуто вимушені коливання півшару у випадку задання на торці гладкого навантаження і виконано оцінку внеску декількох перших складових при розкладенні сили, прикладеної на торці, в ряд Фур'є, а також у випадку задання на торці навантаження з нескінченним, але інтегрованим розривом.

У випадку гладкого навантаження розглядали як несамоврівноважене навантаження виду, так і самоврівноважені навантаження (відсутні результуючі сили і моменти на торці). При цьому різні системи розглянутих сил, гармонійних щодо часу, виконують однакову роботу. На рис. 2 представлено розподіл потоку потужності, підведеного до торця півшару при його вимушених коливаннях, залежно від частоти. Номер кривої співпадає з номером навантаження. З рис. 2 видно, що в області низьких частот у півшар “поступає” енергія в основному за рахунок несамоврівноваженої складової навантаження, а само-врівноважені складові дають незначний внесок у енергетичне поле. При подальшому збільшенні частоти ситуація змінюється, що зумовлено існуванням крайового резонансу. На частоті крайового резонансу відбувається значне збільшення потоку потужності, що “поступає” у хвилевід. При цьому вже не можна стверджувати, що за одночасної дії самоврівноважених і несамоврівноважених навантажень першими можна знехтувати при енергетичному аналізі хвильового поля. Але при збільшенні порядку гармоніки, і в цьому випадку енергія, що поступає, у хвилевід зменшується.

Це дозволило сформулювати аналог принципа Сен-Венана для стаціонарних динамічних задач в області низьких частот, де існує лише одна поширювана хвиля. При цьому частотний діапазон розбивають на дві підобласті. Для інтервалу за одночасної дії самоврівноважених і несамоврівноважених навантажень першими можна знехтувати, так само, як це зроблено в статиці. Для другого інтервалу, крім несамоврівноваженої складової навантаження, необхідно також враховувати першу гармоніку в розкладі у ряд Фур'є.

В роботі методом суперпозиції було розв'язано задачу при заданні на торці навантаженням з нескінченним, але інтегрованим розривом. Врахування впливу негладкості заданого навантаження на асимптотичні властивості невідомих у нескінченних системах дозволило отримати достовірні результати.

У даній роботі розв'язано плоску задачу про відбиття гармонійної поздовжньої хвилі Релея-Лемба від криволінійного торця пружного однорідного шару, бічні поверхні, якого вільні від напруження. Початок теоретичному вивченню розсіювання хвиль на періодично нерівній поверхні було покладено Релеєм. Він висунув гіпотезу, що полягає в розширенні представлення хвильового поля, через суму падаючої і відбитих хвиль над нерівною поверхнею, аж до границі. Таке припущення дозволяє визначити амплітуди розсіяних хвиль, виходячи з заданих граничних умов. Але, зазначене представлення для хвильового поля є невірним нижче площини , де - висота нерівностей. Гіпотеза Релея справедлива, якщо Дана гранична задача була розв'язана чисельно. Кількісні результати отримано для діапазону частот, де існує тільки одна поширювана хвиля для коефіцієнта Пуассона . У цій частотній області у випадку прямолінійного торця існує явище крайового резонансу, зумовлене значним збудженням неоднорідних хвиль. Вивчено вплив викривлення торця хвилеводу на особливості прояву даного явища. На рис. 3 представлено частотну залежність модуля амплітуди першої неоднорідної хвилі, пронормованої на амплітуду падаючої хвилі, при зміні параметра . Номер кривої відповідає величині викривлення торця . З рисунка видно, що незалежно від величини викривлення до критичного значення, частотна залежність амплітуди першої неоднорідної хвилі має резонансний характер. Частота резонансу залежить від величини . У той же час ефективність збудження першої неоднорідної хвилі на резонансній частоті практично не чутлива до зміни кривизни торця хвилеводу. Таким чином, ефективність прояву крайового резонансу практично не залежить від величини викривлення торця. Величина викривлення визначає частоту крайового резонансу.

Явище крайового резонансу вивчали для хвилеводів з вільними бічними поверхнями і вільним торцем. Особлива роль неоднорідних хвиль при формуванні хвильового поля спричинила інтерес до пошуку резонансу на неоднорідних хвилях за інших типів граничних умов.

У четвертому розділі розглянуто змішану граничну задачу для півшару з вільними бічними поверхнями та жорстко закріпленим торцем і осесиметричну задачу для шару з циліндричною порожниною за умови, що одна бічна поверхня вільна від напружень, а іншу жорстко закріплено. Змішану граничну задачу вивчено недостатньо повно, що зумовлено складностями, які виникають при визначенні напружено-деформованого стану в околі точки зміни типу граничних умов. Вони зумовлені існуванням локальної особливості щодо напружень у такій точці. У даній роботі метод суперпозиції розвинуто для розв'язку змішаних граничних задач; при цьому для визначення асимптотичних властивостей невідомих нескінченних систем, що виникають при застосуванні методу, використовували підхід, оснований на врахуванні фізичних особливостей розглянутої граничної задачі. Розглядається хвильове поле у пружному півшарі з вільними від напруження бічними поверхнями і жорстко затисненим торцем. Хвильове поле збуджується першою нормальною хвилею. Згідно із загальною схемою методу суперпозиції вектор переміщення після відокремлення часового множника, має вигляд

Виконання заданих граничних умов призводить до нескінченної системи інтегро-алгебраїчних рівнянь. Аналіз асимптотичної поведінки невідомих в отриманій системі проведено на основі врахування характеру локальних особливостей поля напруження в околі точки зміни типу граничних умов, у даному випадку в кутових точках. З огляду на характер особливості в околі кутової точки нормальні і дотичні напруження можуть бути представлені як необхідному характеру особливостей щодо напружень у кутових точках відповідає асимптотичне значення невідомих:

Ці співвідношення дозволяють замінити всі невідомі з високими номерами в нескінченній системі їх асимптотичними значеннями і провести коректну редукцію системи. Після розв'язання граничної задачі в рамках методу суперпозиції, амплітуди нормальних хвиль перевизначають згідно зі співвідношенням

На рис. 4 представлено частотну залежність модуля амплітуди першої неоднорідної хвилі, пронормованої на амплітуду падаючої хвилі, для різних коефіцієнтів Пуассона. Для всіх коефіцієнтів Пуассона амплітуда першої неоднорідної хвилі монотонно збільшується аж до частоти. На частотах вищеперша неоднорідна хвиля перероджується в поширювані хвилі вищих порядків. Зі зростанням збільшується частота , на якій з'являються хвилі вищих порядків, які розповсюджуються і максимальне начення амплітуди першої неоднорідної хвилі переміщується в більш високочастотну область. На противагу півшару з вільним торцем у даному випадку при зменшенніефективність збудження першої неоднорідної хвилі падає. У півшарі з жорстко закріпленим торцем неоднорідні хвилі вищих порядків також мають максимум амплітуди, але неоднорідні хвилі різних номерів мають максимуми на різних частотах. У випадку вільного торця всі неоднорідні хвилі мають максимум на частоті крайового резонансу.

Для аналізу впливу граничних умов на торці на поведінку неоднорідних хвиль представимо падаючу хвилю як суперпозицію поздовжньої (P-хвилі) і поперечної (SV-хвилі). Як і у випадку вільного торця знайдемо нормальне напруження, зумовлене відбитими, поздовжніми і поперечними поширюваними хвилями при падінні SV-хвилі на жорстко закріплений торець. На відміну від відбиття SV-хвилі від вільного торця в цьому разі напруження не буде дорівнювати нулю на жодній частоті. Цим в значній мірі пояснюються принципові відмінності між крайовим резонансом і резонансною поведінкою амплітуди першої неоднорідної хвилі у випадку жорстко закріпленого торця.

Після розв'язку граничної задачі в рамках методу суперпозиції можна обчислити напруження в півшарі. Труднощі, які при цьому виникають пов'язані з відсутністю рівномірної збіжності рядів і інтегралів у виразах для напруження, через що їх достовірні значення в окремих точках можна отримати шляхом граничного переходу. При цьому знання асимптотичних властивостей невідомих дозволяє використовувати методи поліпшення збіжності рядів при обчисленні напруження на граничних поверхнях півшару. На рис.5 для частоти представлено розподіл модуля нормального і дотичного напружень по торцевій поверхні, пронормованих на нормальне напруження падаючої хвилі на серединній поверхні . Крива 1 відповідає нормальному напруженню, крива 2 - дотичному напруженню. Навіть в області дуже низьких частот напруження, знайдені згідно тривимірною теорією пружності, відрізняються від напружень, які отримано за теорією стержнів. На серединній поверхні нормальні напруження, знайдені за тривимірною теорією, менші ніж за теорією стержнів, більше ніж на . При переміщенні вздовж торця хвилеводу від серединної поверхні до кутової точки нормальні напруження змінюються незначно, аж до ; при подальшому збільшенні напруження різко збільшуються до нескінченності в околі кутової точки. Таким чином, спостерігається ефект розвантажування серединної площини внаслідок збільшення напруження в кутовій точці. Дотичні напруження при збільшені так само наближаються до нескінченності в околі кутової точки. У кутовій точці напруження необмежені, але частотна залежність напруження в околі кута характеризується зміною, яке представлено на рис. 6. Крива 1 - , крива 2 - , крива 3 -. В області низьких частот модуль , який можна розглядати як коефіцієнт концентрації напруження, збільшується з частотою, досягаючи першого максимуму на частоті , у діапазоні частот трохи зменшується і досягає другого максимуму на частоті товщинного резонансу , після чого різко зменшується аж до частоти товщинно-зсувного резонансу . При розгляді напруження на торцевій поверхні в півшарі з жорстко закріпленим торцем проаналізовано вплив показника особливості в кутовій точці на розподіл напруження на торці. Розрахунки показали, що зменшення показника особливості призводить до зменшення впливу особливості щодо напружень на розподіл напруження на серединній поверхні. Ефект розвантажування серединної площини зменшується.

У п'ятому розділі розглянуто хвилеводи більш складної геометрії, а саме складні хвилеводи однакової і різної висоти. Незважаючи на широке практичне застосування таких хвилеводів, аналіз структури хвильового поля в них присвячено мало робіт. Це обумовлено з одного боку труднощами розв'язання граничних задач, а з іншого складністю структури фізичних полів.

В роботі проаналізовано хвильове поле в пружному нерегулярному хвилеводі, який утворено об'єднанням двох півшарів однакової висоти , але з різними механічними властивостями. Хвильове поле збуджується першою нормальною хвилею, що приходить з нескінченності в правому півшарі. Падаючій хвилі відповідає індекс - 0. Індекси 1 та 2 відносяться до лівого і правого півшару відповідно. Поверхні є вільними від напруження. У зоні контакту умови спряження записуються у вигляді.

Розв'язок граничної задачі побудовано методом суперпозиції, який дозволяє врахувати особливості щодо напружень у кутових точках. Вивчено особливості процесу відбивання - проходження першої нормальної симетричної хвилі на границі спряження в нерегулярному хвилеводі у випадку, коли у правому півшарі поширювані хвилі вищих порядків з'являються раніше, ніж у лівому. Аналіз проведемо для частот, менших ніж частота першого товщинно-зсувного резонансу в правому півшарі . Конкретні обчислення приведено для хвилеводу з характеристиками.

У цьому випадку виникає особливість щодо напружень у кутових точках, з показником. Відношення імпедансів контактуючих середовищ Тут - імпеданс на поперечній хвилі в i-му півшарі. Зупинимося спочатку на аналізі енергетичних характеристик хвильового поля. На рис. 7 представлено частотну залежність перетворення енергії падаючої хвилі у хвилі, які поширюються в пройденому і відбитому полях. Суцільна крива відповідає енергії поля, яке пройшло, а штрихова - енергії відбитого поля. Крапками на осі E позначено енергії відбитого і пройденого полів знайдені згідно одномірного наближення. Через позначено частоту, на якій у відбитому полі з'являються поширювані хвилі вищих порядків. У розглянутому діапазоні частот у пройденому полі поширювані хвилі вищих порядків ще не з'являються. Для частот розподіл енергії між відбитою і пройденою хвилями досить добре описується в рамках теорії стержнів і визначається тільки співвідношенням імпедансів контактуючих середовищ. Для частот вище ситуація змінюється, хоча у відбитому і пройденому полях, як і раніше, існує тільки по одній поширюваній хвилі. Енергія в пройденому полі починає збільшуватися і на частоті спостерігається максимум проходження. На даній частоті енергія в пройденому полі збільшилася в 2.1 разів відносно енергії цього поля в низькочастотній межі. При подальшому збільшенні частоти спостерігається ще одна характерна риса у перетворенні енергії падаючої хвилі. Енергія пройденого поля зменшується і, у даному випадку, на частоті , коли з'являються хвилі вищих порядків, які поширюються у відбитому полі, спостерігається максимум відбиття. Явище різкого збільшення ефективності відбиття у певному частотному діапазоні, одержало назву захоплення енергії. Для розглянутої пари матеріалів на частоті енергія в лівий півшар практично не проходить. В околі частоти спостерігається захоплення енергії. Для якісного пояснення особливостей процесу відбивання-проходження нормальних хвиль на границі розділу в нерегулярному хвилеводі, в області частот, де існує тільки по одній поширюваній хвилі в правому і лівому півшарах, представимо падаючу хвилю як суперпозицію SV- і P- хвиль. Аналогічно розділу 3, розглянемо падіння поширюваної SV-хвилі на границю розділу двох півпросторів На рис.8 представлено розподіл енергії між різними типами хвиль при падінні на границю розділу SV-хвилі. Крива 1 відповідає відбитій SV-хвилі, крива 2 - пройденій SV-хвилі, крива 3 - відбитій P-хвилі, крива 4 - пройденій P-хвилі (на рисунку ця крива збільшена в 100 разів). В області низьких частот збуджуються тільки поперечні відбиті хвилі і поперечні пройдені хвилі. Енергія між ними розподіляється згідно з величинами хвильових опорів в різних середовищах. Із зростанням частоти енерговміст відбитої SV-хвилі падає, а пройденої SV-хвилі збільшується. На частоті енергія, що пройшла в правий півпростір, досягає максимальної величини. Згідно з законом збереження енергії на цій же частоті відбита енергія має екстремум. При збільшенні частоти до у відбитому полі з'являється поширювана P-хвиля і характер хвильового поля змінюється. Спостерігається різке зменшення величини енергії, що проходить в ліве середовище. Енергія у відбитому полі, яка переноситься SV-хвилею, також різко падає, а енергія, яка переноситься P-хвилею зростає. Поблизу частоти, на якій з'являється відбита поширювана P-хвиля (критичний кут), спостерігаються істотні зміни в перетворенні енергії падаючої SV-хвилі у відбиті і пройдені хвилі при незначній зміні частоти. На частоті енергія, що проходить у ліве середовище, мінімальна. При подальшому збільшенні частоти, починаючи з , в пройденому полі з'являється поширювана P-хвиля. При порівнянні даних на рис.7 і рис.8 можна вказати, що в області частот, коли в нерегулярному хвилеводі у відбитому і пройденому полях існує тільки по одній поширюваній хвилі явище збільшення прозорості границі розділу обумовлено значним збільшенням енергії, яка переноситься в ліве середовище SV-хвилею. При цьому максимум проходження спостерігається нижче частоти, якій відповідає критичний кут для відбитої P-хвилі. Розбіжність між частотою, на якій спостерігається максимальна прозорість границі в нерегулярному хвилеводі (рис.7), та частотою, на якій пройдена SV-хвиля найбільш енерговиражена (рис.8), обумовлена тим, що у хвилеводі падаючу хвилю не можна представити тільки SV-хвилею. Нормальна хвиля складається як із SV-хвилі, так і з P-хвилі. У розглянутому частотному діапазоні SV-хвиля є поширюваною, а P-хвиля - неоднорідною. Представлені графіки дозволяють якісно зв'язати особливості процесу відбивання-проходження на границі розділення двох жорстко з'єднаних півшарів зі специфікою відбивання-проходження SV-хвилі на границі розділу двох жорстко з'єднаних півпросторів.

Важливим моментів для розглянутого діапазону частот є виникнення у відбитому полі поширюваної P-хвилі при падінні SV-хвилі на границю розділу двох середовищ. У цьому ж частотному діапазоні при розкладанні першої нормальної хвилі на SV- і P-хвилі, що відбиваються від бічних поверхонь, P-хвиля є неоднорідною. Виникнення поширюваної P-хвилі на границі z=0 є причиною перебудування хвильового поля в ближній зоні. Це призводить до значного збудження неоднорідних хвиль в околі границі розділу. В області низьких частот неоднорідні хвилі як у відбитому, так і в пройденому полях погано збуджуються і процес відбивання-проходження нормальної хвилі на границі розділу в нерегулярному хвилеводі можна описати у рамках моделі стержнів. Із зростанням частоти збільшується вплив неоднорідних хвиль і модель стержнів стає неправомірною. До частоти амплітуда першої неоднорідної хвилі у відбитому полі зростає. На частоті перша неоднорідна хвиля вироджується в ''зворотню'' хвилю. Частотна залежність амплітуди першої неоднорідної хвилі представляє собою резонансну криву для системи з демпфіруванням. При цьому амплітуда першої неоднорідної хвилі на частоті перевищує амплітуду хвилі, яка поширюється у відбитому полі. Друга неоднорідна хвиля також досягає свого максимального значення на частоті , але її амплітуда менша. При порівнянні резонансної поведінки неоднорідних хвиль у складному хвилеводі і в півшарі з вільним торцем (крайовий резонанс), варто вказати на ряд принципових відмінностей між цими двома ефектами. Насамперед, у півшарі з вільним торцем резонансні частоти для першої неоднорідної хвилі і для неоднорідних хвиль вищих порядків співпадають. У складному хвилеводі вже третя неоднорідна хвиля резонансних властивостей не виявляє. Характерною особливістю крайового резонансу є зміна знака фазових характеристик для поширюваної хвилі на резонансній частоті. У даному випадку, частота, на якій спостерігається максимум амплітуди неоднорідних хвиль у відбитому і пройденому полях не співпадає з частотою, на якій фазові характеристики поширюваних хвиль змінюють знак. Варто також відмітити, що амплітуди хвиль, що поширюються у відбитому і пройденому полях є частотнозалежними, але екстремуми амплітуд неоднорідних хвиль і поширюваних хвилі зміщені однин до одного. Аналізуючи поведінку нормальних хвиль у пройденому полі відзначимо, що в частотному інтервалі, амплітуда першої неоднорідної хвилі менше амплітуди хвилі, що поширюється в пройденому полі. На частоті амплітуда першої неоднорідної хвилі в пройденому полі має локальний максимум.

Таким чином, на частоті перші неоднорідні хвилі, як у відбитому, так і в пройденому полях мають резонансний характер. Значне збудження неоднорідних хвиль призводить до перебудування структури загального хвильового поля в діапазоні частот, в якому у кожному півшарі існує тільки по одній поширювальній хвилі.

Для розглянутого частотного діапазону характерним є ще один ефект. Це неузгодженість форм переміщень поширюваних хвиль у відбитому і пройденому полях в певному частотному діапазоні. Щоб охарактеризувати ступінь неузгодженості переміщень на лінії контакту двох півшарів з урахуванням сильної частотної залежності форми мод у відбитому полі і в пройденому полі доцільно ввести наступні коефіцієнти для горизонтальної і вертикальної складової вектора переміщення

З рис. 9 видно, що максимальна неузгодженість щодо обох компонентів спостерігається на частоті . Неузгодженість форм переміщень хвиль, які поширюються в правому і лівому півшарах, зумовлює значне перебудування хвильового поля, що, в свою чергу, породжує несподівані, на перший погляд, особливості процесу відбивання-проходження хвиль на границі розділення в складному хвилеводі.

Вивчено випадок, коли в пройденому полі з'являються поширювані хвилі вищих порядків раніше, ніж у відбитому полі. Хвиля падає з лівого пів-шару в складеному хвилеводі з матеріалів (6). Тоді імпеданс , хвиля падає з м'якшого середовища в більш тверде. На рис.10 представлено розподіл енергії падаючої хвилі у пройдені і відбитті хвилі в залежності від нормованої частоти в полі, що пройшло (). Порівняння даних на рис. 8 і рис.10 показує, що до частоти, коли в складеному хвилеводі з'являються поширювані хвилі вищих порядків криві, що характеризують передачу енергії падаючої хвилі в інше середовище з графічною точністю співпадають. У складеному хвилеводі в області частот, коли існує тільки по одній поширюваній хвилі в пройденому і відбитому полях можна сформулювати аналог принципу взаємності. Якщо падаюча хвиля поширюється в першому півшарі, то енергію в другому півшарі можна записати, як . Якщо падаюча хвиля поширюється в другому півшарі, то енергію в першому півшарі можна записати, як. До частоти, коли з'являються хвилі вищих порядків, що поширюються із графічною точністю. Така рівність є цікавою, оскільки вона спостерігається в діапазоні частот, коли одновимірні наближення вже неправомірні. Шостий розділ присвячений аналізу хвильового поля в пористо-пружному насиченому рідиною шарі висотою () з вільними бічними поверхнями. У перших підрозділах виконано узагальнення моделі Біо з урахуванням різних факторів, які спричиняють затухання хвиль у пористо-пружному середовищі, проведено аналіз особливостей розповсюдження трьох типів хвиль, які існують в необмеженому середовищі, а також приведені різні типи граничних умов, а саме для контакту двох пористо-пружних середовищ, пористо-пружного середовища і пружного тіла, а також рідини і вакууму. У наступних підрозділах на основі проведеного узагальнення моделі Біо отримано дисперсійні рівняння для пористо-пружного шару з вільними бічними поверхнями у випадку відкритих на границі пор і закритих пор для симетричних і антисиметричних хвильових рухів. Визначено частотний спектр і здійснено його аналіз як для випадку відсутності затухання, так із його урахуванням.

В роботі визначено дисперсійні рівняння для пористо-пружного шару з вільними границями при антисиметричній деформації і проведено аналіз частотного спектру.