розробити чисельні алгоритми розв'язування отриманих рівнянь;

дослідити вплив анізотропії композитів на значення КІН з врахуванням взаємного розміщення тріщин, отворів і границь;

побудувати ефективний підхід до знаходження форми отворів, біля яких концентрація напружень є мінімальною;

узагальнити алгоритм розрахунку статичних криволінійних траєкторій поширення тріщин на випадок багатозв'язних анізотропних пластинок.

Обраним для вивчення об'єктом дослідження є анізотропні пластинки з отворами та тріщинами.

Предмет дослідження - напружений стан анізотропних пластинок біля отворів і тріщин.

Методи досліджень. В роботі застосовано сумісно методи інтегральних рівнянь, ТФКЗ, механічних квадратур (ММК) та розв'язки типу Гріна. Вибір отворів оптимальної форми проведено за допомогою методу градієнтного спуску. Дослідження кінетики поширення тріщин виконано методом прослідковування на основі підходів механіки руйнування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації проводилось в рамках держбюджетної теми № 0101U000346 - “Розробка методів розрахунку граничної рівноваги багатозв'язних композитних пластин”, що виконується у Луцькому державному технічному університеті в 2001-2002 рр.

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

побудовано ГІР для задач про пружну рівновагу анізотропних пластинок з криволінійними отворами і тріщинами; для широкого класу задач ГІР записано з використанням розв'язків типу Гріна, що дозволяє тотожно задовольняти граничні умови на заданих контурах;

розроблено загальний ефективний чисельний алгоритм розв'язування побудованих рівнянь за допомогою методу механічних квадратур;

встановлено зв'язок між коефіцієнтами концентрації напружень і КІН для ортотропних пластинок та показано його практичне значення (зокрема, при розрахунках КІН біля крайових тріщин);

на основі аналізу розв'язків конкретних задач для обмежених і нескінченних анізотропних пластинок встановлено характерні залежності КІН від взаємного розміщення отворів і тріщин, їх кривини та форми пластинки;

запропоновано ефективну методику визначення форм отворів (на які можуть бути попередньо накладено умови) у анізотропних пластинках, біля яких концентрація напружень є мінімальною;

розвинено алгоритм розрахунку статичних криволінійних траєкторій поширення тріщин; досліджено вплив анізотропії матеріалу на кінетику поширення тріщин в пластинці, виготовленій із склопластику ЕФ 32-301.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується коректним застосуванням апробованого апарату інтегральних рівнянь та ТФКЗ, відомих положень теорії пружності і механіки руйнування. Використаний в роботі чисельний алгоритм розв'язування ГІР та спосіб розрахунку траєкторій поширення тріщин широко апробовані на аналогічних задачах для ізотропних пластинок. Коректність розроблених алгоритмів підтверджена також шляхом порівняння отриманих розв'язків з відомими в літературі даними.

Теоретичне значення роботи полягає в розробці ефективного алгоритму розв'язування основних задач плоскої теорії пружності шляхом сумісного використання методів ГІР, ТФКЗ і розв'язків типу Гріна. Запропоновано підхід до пошуку оптимальних, за рівнем напружень, форм отворів в анізотропних пластинках. Розвинено спосіб розрахунку статичних криволінійних траєкторій поширення тріщин в анізотропних пластинках.

Практичне значення роботи. Розроблені в дисертації алгоритми та отримані результати можуть бути безпосередньо використані для: визначення напружень біля отворів і тріщин в композитних пластинках довільної форми; вибору форми отворів з мінімальною концентрацією напружень при проектуванні несучих композитних елементів конструкцій; розрахунку статичних траєкторій поширення тріщин та прогнозування на цій основі довговічності композитів; знаходження КІН в анізотропних пластинках для більшості випадків, що розглянуті у відомих довідниках для ізотропних матеріалів. Встановлено класи задач, для яких розрахунок КІН може бути проведений на основі довідникових даних для ізотропних пластинок. Окремі результати роботи впроваджено в інженерну практику ВАТ “Львівагромашпроект” (акт впровадження №12/323 від 5.06.2002) .

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на: 3-ому українсько-польському симпозіумі “Змішані задачі механіки неоднорідних структур” (Львів, 1999); 2-ій міжнародній конференції “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 1999); науковій конференції “Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасність)” (Львів, 1999); International Conference Dedicated to J.P.Schauder “Nonlinear partial differential equatiotions” (Львів, 1999); 1-ому науковому симпозіумі “Сучасні проблеми інженерної механіки” (Луцьк, 2000); V міжнародній науковій конференції “ Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів-Луцьк, 2000); 4-ому Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій” (Тернопіль, 2000).

Дисертаційна робота в цілому доповідалася на розширеному науковому семінарі кафедри технічної механіки Луцького держ. технічного ун-ту (ЛДТУ) під керівництвом проф., д.т.н. В.І. Шваб'юка; кваліфікаційному семінарі з механіки деформівного твердого тіла при ЛДТУ під керівництвом проф., д.т.н. В.В. Божидарника; науковому семінарі кафедри вищої математики Українського держ. лісотехнічного ун-ту під керівництвом проф., д.т.н. М.М. Стадника; науковому семінарі ФМІ НАНУ ім. Г.В. Карпенка “Проблеми механіки крихкого руйнування” з механіки руйнування; науковому семінарі відділу міцності зварних конструкцій ІЕЗ ім. Є.О. Патона НАНУ під керівництвом д.т.н. В.І. Кир'яна.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати досліджень, які відображені у дисертації, опубліковані в 11-ти наукових працях, у тому числі у 4-ох статтях в наукових журналах і вісниках, які входять до переліку фахових видань [1-4], затвердженого ВАК України; у 2-ох статтях у фахових збірниках з спеціальності 01.02.04, фіз.-мат. науки [5,6]; у 3-ох тезах доповідей.

Основні результати роботи отримані автором самостійно. У працях [1, 3-10] здобувач разом зі співавторами брала участь у: постановці задач; виборі методу їх розв'язування; побудові ГІР основних задач теорії пружності; аналізі отриманих результатів. Автором самостійно: побудовано ГІР на основі розв'язків типу Гріна, розроблено чисельний алгоритм розв'язування ГІР, створено відповідні програми та проведено розрахунки на ЕОМ. У праці [2] брала участь у постановці задачі та визначила переміщення берегів тріщини.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, 5 розділів, висновків. Обсяг основного тексту дисертації становить 147 стор. Вона містить також 44 рисунки і 86 таблиць на 55 стор., перелік використаних джерел із 164 найменувань на 15 стор. та додаток на 1 стор.

пружний рівновага анізотропний пластинка

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність вибраної теми досліджень, викладено мету і завдання роботи, вибрано способи розв'язування поставлених задач, вказано новизну отриманих результатів, їх теоретичне і практичне значення.

У першому розділі проведено аналіз досліджень, що присвячені методам розрахунку НДС анізотропних пластинок, послаблених отворами і тріщинами. На основі виконаного огляду літератури вказано на актуальність вибраної в роботі теми досліджень. Наведено основні співвідношення для визначення НДС анізотропних пластинок за допомогою комплексних потенціалів С.Г. Лехницького, викладено властивості цих потенціалів і умови, яким вони задовольняють.

У другому розділі розроблено загальний алгоритм розрахунку НДС обмежених і нескінченних пластинок з отворами довільної форми.

Розглядається пластинка, серединна площина якої обмежена контурами L,L, …, L, причому L охоплює решту контурів. Пластинка перебуває під дією навантаження, прикладеного до країв отворів та її зовнішньої границі; в точках (aj,bj) діють зосереджені сили (Xj,Yj), j=1,..,M. Розв'язування поставленої задачі зводиться до визначення комплексних потенціалів С.Г. Лехницького ц(z1), ш(z2) з логарифмічними особливостями в точках дії сил, які задовольняють заданим умовам на границі пластинки та умовам однозначності переміщень (пластинка знаходиться в умовах плоского напруженого стану).

Інтегральне зображення для похідних від комплексних потенціалів С.Г. Лехницького отримано на основі теореми Коші і записано у вигляді

(1)

де ; L- граничні контури в допоміжних областях, які введені С.Г. Лехницьким; zj=x+sjy; sj - характеристичні корені основного рівняння; a1, a2 -комплексні сталі; Ц(z1), Ш(z2) відомі функції, які визначаються через прикладене навантаження. Тут Q(t1)=Ц(t1)-Aj при t1є (j=0,…,N); Ц(t1) - значення функції Ц(z1) на границі допоміжної області; сталі Aj і Bj задовольняють три умови при k=0,1,2. Тобто, невідома функція Q визначена на кожному з граничних контурів з точністю до сталої. Для виконання умов однозначності переміщень необхідно, щоб:

(2)

де () - головний вектор сил, які прикладені до контуру Lj. Підставивши в граничні умови потенціали (1) і врахувавши умови Племеля-Сохоцького, отримано систему ГІР для знаходження функції Q у вигляді

(3)

де (x,y)єL, (X,Y) - прикладені до межі пластинки зусилля. Тут функції Ц(z1), Ш(z2) визначаються за формулами (1), причому в них всі сингулярні інтеграли розглядаються в сенсі головного значення за Коші.

Для випадку нескінченної анізотропної пластинки в зображенні розв'язку (2) необхідно опустити інтеграл вздовж контуру L0 та до відомих функцій із індексом S додати комплексні потенціали для суцільної пластинки, які відповідають прикладеному на нескінченності навантаженню. Наведено ГІР для випадку, коли на отворах і зовнішній межі пластинки задано компоненти вектора переміщення або в отвори вставлено жорсткі включення (2-а основна задача).

ГІР розв'язувались числово за допомогою методу механічних квадратур. З використанням побудованих в роботі квадратурних формул типу Гауса для регулярних і сингулярних інтегралів та методу колокацій, задача зведена до системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) вигляду

(4)

де Nm - кількість вузлових точок в квадратурній формулі на m-ому граничному контурі; -значення невідомої функції Q на контурі у k-ій вузловій точці.

В кожній із груп рівнянь (4) є лінійно залежні рівняння. Вони замінені на дискретний аналог рівнянь (2) та рівняння Im, які забезпечують умови однозначності переміщень і фіксують довільне значення уявної частини введеної функції Q (що визначена з точністю до сталої) на кожному з контурів.

З метою безпосереднього застосування розробленого алгоритму для розрахунку ізотропних пластинок на ЕОМ, введений гіпотетичний ортотропний матеріал з характеристичними коренями s1,2=(1±е+е2/6)i. Отримані для нього в роботі результати розрахунків НДС при е?0,02-0,05 практично збігаються з даними, які знаходять для ізотропних матеріалів безпосередньо.

Наведені приклади визначення НДС анізотропних пластинок з отворами різної форми, та проведені порівняння з відповідними літературними даними, вказують на високу точність, економічність і універсальність розробленого алгоритму. Його простоту в контролі за точністю розрахунків проілюстровано на прикладі пластинки, послабленої квадратним отвором із заокругленими кутами при всесторонньому розтязі. В цій задачі для забезпечення заданої точності обчислень і повного дослідження локалізованого розподілу напружень при розрахунках необхідно вибирати велику кількість вузлових точок (до 400). Зокрема, встановлено, що максимальні напруження для анізотропних пластинок досягаються поблизу вершин отвору і вони можуть значно переважати напруження в заокруглених кутах отвору (для склопластику CF1 в 4,9 разів).

Розглянуто важливий для практики випадок, коли зосереджені сили прикладені до границь пластинки. Для цього випадку біля цих сил комплексні потенціали мають особливості вигляду Ц(z1)~Б/(z1-z10), Ш(z2)~B'/(z2-z20), де Б,B'- сталі, що визначаються через значення зосереджених сил та пружні характеристики матеріалу пластини. Для багатозв'язних пластинок розв'язок зображено у вигляді суми встановленого особливого і коректувального розв'язків. Для прикладу розглянуто кругову і кільцеву пластинки, які розтягуються вздовж діаметру прикладеними до границі зосередженими силами. На істотний вплив анізотропії вказують наведені в таблиці 1 значення КІН для центральної тріщини малої довжини l в кругових пластинках із склопластику (в другому стовпчику наведено дані для ізотропної пластинки; під CF1-90 умовно позначено склопластик CF1 з повернутими осями ортотропії на 900). Напруження в обмежених пластинках при дії зосереджених сил характеризуються низкою особливостей. Зокрема, малоймовірне зародження та поширення крайових тріщин при розглянутому навантаженні в кругових та квадратних пластинках (напруження на границі є низькими). Напруження біля отворів (залежно від їх розміщення та напрямку дії сил) можуть бути на порядок меншими або більшими, ніж у випадку ізотропних пластинок.

Встановлено зв`язок між коефіцієнтами концентрації напружень біля видовжених отворів та КІН біля відповідних їм тріщин для ортотропної пластинки, головна вісь якої паралельна до дотичної у вершині тріщини, у вигляді

k - кривина.

На низці прикладів показано ефективність цієї формули. Зокрема, за допомогою неї та розробленого вище алгоритму, знайдено КІН біля крайових тріщин в пластинці з одним, двома і періодичною системою кругових отворів. Для параметричного опису відповідного гладкого отвору використана відображальна функція, яка наведена в роботах А.О. Камінського. Проведені розрахункиКІН біля отвору з кутовими точками звороту. Для ізотропних пластинок результарезультати узгоджуються з наведеними в літературі розв'язками. У всіх розглянутих випадків не виявлено якісного впливу анізотропії матеріалу на значення КІН.

У третьому розділі побудовано алгоритм визначення НДС анізотропних пластинок з отворами і тріщинами, в тому числі з врахуванням руху їх вершин.

Приймалося, що отвори обмежені контурами Li (i=1,…,NO), а тріщини розміщені вздовж кривих Tj (j=1, …, NT). Розв'язок задачі записано у вигляді

Ц(z1)=Ц0(z1)+ЦT(z1)+ЦS(z1)

Ш(z2)=Ш0(z2)+ШT(z2)+ШS(z2) (5)

Тут функції з індексом о визначаються за формулами (1), в яких контур L складається із кривих Lj, j=1,…,NO. Складові з індексом T відповідають тріщинам. Вони отримані граничним переходом із зображень для отворів у вигляді

(6)

де S(t1) - різниця значень функції на берегах тріщини. На границях отворів справедливі рівняння (3), а на тріщинах, з використанням формул Племеля-Сохоцького, отримано ГІР вигляду (3), в яких необхідно замінити (iX-Y)/2 на iP/2, де (x,y)єТ; j=1,…,NT; . Відповідні інтеграли Коші, які входять в зображення (6) на тріщинах, розглядаються в сенсі головного значення.

Для обчислення регулярних і сингулярних інтегралів вздовж тріщин використано квадратурні формули Лобатто, які особливо зручні при визначенні КІН. Замінюючи в ГІР інтеграли квадратурними формулами, поставлена задача зведена до розв'язування СЛАР, яка забезпечує виконання умов однозначності переміщень на отворах і тріщинах. Наведено вирази для знаходження КІН.

Апробацію алгоритму здійснено на пластинках, послаблених паралельними (двома, трьома і періодичними, в тому числі зсунутими) або викривленими тріщинами, контурами яких є дуги кола, півеліпса або параболи. Для дослідження впливу ступеня анізотропії матеріалу розрахунки проведені для композитів з широким діапазоном відношень модулів пружності в головних напрямках (): 46,4 (склопластик CF1); 15,5 (склопластик CF2); 8,89 (вуглепластик Лу-1); 1,56 (склопластик ЕФ 32-301); 2,37 (склопластик ЕТФ). Відносні значення КІН () залежно від параметра =b/a при всесторонньому розтязі пластинки з тріщиною, розташованою вздовж параболи, де b- вертикальний прогин тріщини, точки - її вершини.

Отримані результати для матеріалу, що близький до ізотропного, практично збігаються із наведеними в літературі даними. Встановлено випадки, коли анізотропія істотно або мало впливає на значення КІН біля тріщин. Зокрема, останній випадок має місце для більшості розглянутих в роботі задач, якщо тріщини розміщені в напрямку максимальної жорсткості матеріалу.

Розроблений алгоритм використаний для розрахунку статичних криволінійних траєкторій поширення тріщин. Виходили із силового критерію руйнування, згідно якого тріщина поширюється в напрямку, для якого величина є максимальною. Тут кут відраховується від дотичної до тріщини в її вершині; F - функція, яка характеризує в'язкість руйнування шляхом нормального відриву; - кут між вибраною площинкою і напрямком мінімального опору матеріалу розповсюдження в ньому тріщини; . Функція S визначається через значення КІН біля вершини тріщини. Аналогічно, як і для ізотропних пластинок, процес поширення тріщини розбито на окремі етапи. Для знаходження траєкторії на наступному етапі визначено кут (на основі КІН і критерію руйнування), під яким далі буде поширюватись тріщина та нові координати її вершини. Використовуючи їх, рівняння приросту тріщини записано за допомогою інтерполяційного полінома 3-ого ступеню.

Розрахунки статичної траєкторії розповсюдження тріщини виконані для пластинки, виготовленої із склопластику ЕФ 32-301 і для ізотропної пластинки (для порівняння). Розглянуто пластинку з прямолінійною тріщиною вздовж осі Ox, яка розтягується під кутом до осі абсцис. Отриману траєкторію руху правої вершини тріщини при =-2р/3 та =-р/4 .

Розглянуто колінеарні тріщини довжиною 2а, які розміщені на осі Ox з періодом d=5a, пластинка розтягується під кутом 45 до осі Ox.

Аналогічні дослідження виконано для випадків періодичних тріщин, крайових тріщин біля кругового отвору, двох паралельних зсунутих тріщин. Траєкторії поширення зсунутих тріщин при розтязі пластинки перпендикулярно до напрямку тріщин зображено на рис. 6. У всіх розглянутих випадках для пластинки із склопластику ЕФ траєкторії поширення тріщин менше відхиляються від прямої, на якій розміщена тріщина, в порівнянні з ізотропною пластинкою.

В четвертому розділі розроблено алгоритм розрахунку НДС пластинок складної форми і кусково-однорідних пластинок, побудований на основі методу ГІР, ядрами в яких є розв'язки типу Гріна допоміжних задач теорії пружності. При цьому задані умови на відповідних граничних контурах задовольняються тотожно, що дозволяє спростити розв'язування широкого класу прикладних задач та підвищити точність розрахунків.

За розв'язок типу Гріна прийнято комплексні потенціали С.Г. Лехницького , які є розв'язками задачі теорії пружності для пластинки, обмеженої контуром L0 . Ці функції мають наступні особливості

, ,

де dj=c+sjd; j=1,2; (c,d) - точка, що лежить в області поза отвором; С- довільна комплексна стала.

Потенціали записані у вигляді

деі -відомі функції. Загальний розв'язок задачі записано так

, (7)

де Цp(z1),Шp(z2) - відомі функції, . В даному зображенні розв'язку задачі відсутній інтеграл вздовж контуру L0 з невідомою підінтегральною функцією. На ньому граничні умови задовольняються тотожно.

Побудовано розв'язки типу Гріна для вказаних вище областей. Зокрема, для з'єднаних анізотропних пластинок потенціали при y<0 мають вигляд

де aj, bj- сталі. Звідси, як часткові, отримані розв'язки типу Гріна для півплощини з вільною або закріпленою границею. Для періодичних задач в напрямку осі Ox в цьому розв'язку необхідно замінити складові

на вирази

де D=1/d, d - період.

Наведено аналогічні розв'язки для пластинки з вільним від навантаження або жорстко закріпленим еліптичним отвором. За їх допомогою граничним переходом отримано розв'язок типу Гріна для пластинок з прямолінійною обмеженою або півнескінченною тріщиною та для жорсткого включення.

Аналогічно, як і в розділах 2 і 3, отримано ГІР основних задач для пружних пластинок, що мають розглянуту вище форму та послаблені отворами і тріщинами. При розробці числового алгоритму розв'язування ГІР враховано те, що ядра в них складаються з ядра типу Коші і гладких функцій.

Розроблений алгоритм застосовано для дослідження сукупного впливу анізотропії і границь пластинок на значення КІН в обмежених або нескінченних пластинках. Зокрема, розглянуто півнескінченну пластинку з тріщинами, розміщеними вздовж дуги кола, еліпса або параболи. Досліджено напруження біля нахиленої тріщини в кусково-однорідній площині, одна з вершин якої знаходиться на границі розділу та в півплощині з вільним або жорстко закріпленим краєм. При розгляді цих задач розв'язувались ГІР, записані тільки вздовж тріщин. Встановлено характерні залежності КІН від геометричних факторів та рівня анізотропії.

Досліджено вплив анізотропії матеріалу на значення КІН біля крайових тріщин на еліптичному отворі для матеріалів ЕФ, ЕТФ, Лу-1. Встановлено, що тільки для тріщин малої відносно півосей довжини, вплив анізотропії є істотним.

Детально розглянуто обмежені пластинки з тріщинами, які використовуються як зразки при експериментальних дослідженнях тріщиностійкості: прямокутну пластинку з центрально і ексцентрично розміщеною прямолінійною тріщиною, яка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням або зосередженими силами, прикладеними до границі пластинки чи берегів тріщини; кругову пластинку з центральною прямолінійною тріщиною. Розв'язування цих задач проведено за допомогою ГІР, які записані вздовж зовнішньої границі пластинки. Наведені в таблиці 3 величини для кругової пластинки з центральною тріщиною, до берегів якої в центрі прикладені зосереджені сили P, вказують на значний вплив анізотропії на КІН в обмежених пластинках. Для всіх випадків отримані результати порівняно з відомими в літературі даними (у таблиці 3 - третій стовпчик), що знайдені безпосередньо для ізотропних пластинок. Для кругових анізотропних пластинок побудовано прості формули для знаходження КІН (у вигляді поліномів 3-го ступеня).

Для прямокутної бор-епоксидної пластинки з ексцентричною тріщиною (рис.8), вершини якої знаходяться в точках (-0,8а,0), (-а(1-2),0), значення величини в ближній від границі вершині узгоджуються (таблиця 4) з наведеними в літературі даними для смуги (b/a) з аналогічною тріщиною.

Проведено аналіз виконаних досліджень на основі яких встановлено закономірності в залежностях КІН від анізотропії матеріалу і розмірів пластинки. Зокрема, для тріщини, розташованої вздовж напрямку більшої (меншої) жорсткості матеріалу в прямокутній і круговій пластинках КІН є менші (більші) у порівнянні з ізотропною пластинкою.

В п'ятому розділі, на основі розробленого алгоритму, розглянута мало вивчена для анізотропних пластинок задача про визначення оптимальної форми отворів, біля яких концентрація напружень є мінімальною. На шукані отвори можуть бути накладені умови: границя отвору проходить через задані точки; задана площа отвору та точки, через які проходить граничний контур і т.д. Невідомий контур L знайдено з умови, щоб на ньому величина функціоналу

, (8)

була мінімальною. Тут l - довжина контуру L, - тангенціальні напруження на контурі, A(s) - задана вагова додатна функція. Коли необхідно одночасно зменшити максимальні розтягувальні і стискувальні напруження, в роботі прийнято , при k>1. Рівняння контуру L задано у вигляді z=щ(и), ? де

;

; - невідомі сталі.

Розроблений вище алгоритм дозволяє, при довільно заданих коефіцієнтах у вибраному параметричному рівнянні, обчислити напруження на границі пластинки, а, значить, і критерій I. Тому поставлена задача зводиться до знаходження мінімуму функції I=I(a,a0,…,aj). Для його знаходження використано метод градієнтного спуску. Необхідні, в цьому методі, похідні обчислено методом скінчених різниць. На низці прикладів встановлена висока ефективність підходу.

В нескінченній пластинці напруження на знайдених граничних контурах при двоосному розтязі виявились практично сталими (аналогічно до рівноміцних отворів для ізотропних пластинок). При цьому результати розрахунків для ізотропної пластинки, коли на контур не накладено обмежень, близькі до розв'язку Г.П. Черепанова. Наведено приклади визначення оптимальних отворів в анізотропних пластинках при різних навантаженнях та попередньо заданих умовах на форму отворів. Зокрема, розглянуто нескінчену пластинку з отвором, граничний контур в якого проходить через задані точки (с,0), (0, d). Максимальні напруження біля оптимального отвору зменшились в 2,6 рази.

Аналогічні результати отримано для інших випадків навантаження та різних відношень c/d. Розглянуто випадки знаходження оптимальних отворів, коли задавалась наперед площа, яку займає отвір або, крім заданої площі, фіксувались точки, через які проходить границя отвору. Досліджувались анізотропні пластинки, що виготовлені із різних матеріалів та мали форму площини або півплощини і послаблені одним або двома отворами. Розглядались випадки, коли пластинка навантажена на нескінченності або зосередженими силами.

Зокрема, нехай пластинка послаблена одним отвором із заданою площею S і навантажена зосередженими силами прикладеними відповідно в точках (0,2R). В нульовому наближенні отвір вибрано круговим, радіуса R. В таблиці 5 наведено значення знайдених коефіцієнтів рівняння контуру в процесі пошуку оптимальних отворів та значення величин .

Проведені розрахунки вказують, що запропонованих підхід дозволяє отримати низку отворів, біля яких напруження менші, ніж на початково заданому (див. табл.5), що розширює можливості їх вибору при проектуванні. Важливим для практики є і те, що накладені умови дозволяють додатково керувати формою та розміщенням отворів. В усіх розглянутих випадках найбільше зниження напружень (в 2 і більше разів) спостерігається при навантаженні пластинки в напрямку більшої жорсткості матеріалу.

В цьому ж розділі розглянута задача про оптимальне розміщення кругових отворів малих радіусів. Приймалось, що пластинка з круговим отвором додатково послаблена 4-ма малими круговими отворами, які розміщені симетрично відносно основного. Проведено дослідження максимальних напружень на малих отворах залежно від їх розміщення. Отримані результати використані у ВАТ “Львівагромашпроект” для вибору оптимального розміщення додаткових отворів, які створюються для закріплення вузлів оприскувачів та при прогнозуванні їх довговічності.

Розроблено загальні алгоритми визначення НДС багатозв'язних анізотропних пластинок з тріщинами і побудовано на цій основі методики знаходження отворів оптимальної форми та розрахунку граничної рівноваги (в тому числі з врахуванням кінетики поширення тріщин) в композитних елементах конструкцій.

1. Побудовано алгоритми дослідження пружної рівноваги обмежених і нескінченних анізотропних пластинок, які послаблені системами отворів та криволінійних тріщин. Алгоритми створені на основі сумісного застосування методів інтегральних рівнянь і ТФКЗ. При цьому для широкого класу задач ГІР побудовано на основі розв'язків типу Гріна, в зв'язку з чим на відповідних границях задані умови задовольняються тотожно. Розв'язування ГІР здійснено чисельно на основі квадратурних формул типу Гауса.

Встановлено, що анізотропія, як правило, найменше впливає на значення КІН біля тріщин, розміщених паралельно до напрямку з більшою жорсткістю матеріалу. Для паралельних (двох, трьох) і періодичної системи тріщин різниця між КІН для анізотропних і ізотропних пластинок у всіх розглянутих випадках не перевищувала 7%; для викривлених тріщин, що лежать на колі та параболі, коли кут між дотичними у вершинах тупий, різниця менша 10%; для матеріалів EФ, ETФ біля крайових тріщин на еліптичному отворі при відношенні довжини тріщини до півосі більшому за 0,1 різниця не перевищує 5%. При одновісному розтязі квадратної пластинки з центральною тріщиною довжиною l найбільше відхилення КІН від аналогічних величин для ізотропної пластинки спостерігається для матеріалу CF1. Для відношення l/a<0,3 це відхилення не перевищує 5%, а при l/a=0,5 - 12%. При цих же даних для тріщини, розташованої вздовж напрямку меншої жорсткості матеріалу, КІН для анізотропної пластинки відповідно в 1,7 і 1,96 рази більші, ніж в ізотропній пластинці.

При розтязі пластинок з тріщинами в центральній зоні тріщини виникають високі стискувальні напруження, які можуть привести до втрати стійкості. Зокрема, для квадратної пластинки із матеріалу CF1, тріщина в якій вдвічі коротша за сторону, ці напруження у ~8 разів більші за прикладене навантаження.

Анізотропія матеріалу суттєво впливає на значення КІН при дії зосереджених сил. Для склопластику CF1 КІН в 3-6 разів переважають відповідні значення для ізотропних пластинок. В обмежених пластинках анізотропія матеріалу істотніше впливає на значення КІН, аніж для пластинок нескінченних розмірів, що необхідно враховувати при перенесенні отриманих на зразках експериментальних даних на конструкції великих розмірів.

5. Запропоновано методику знаходження форми отворів, біля яких концентрація напружень є мінімальною. Встановлена ефективність підходу для анізотропних нескінченної і півнескінченної пластинок з одним або двома отворами, які перебувають під дією одно- або двоосного розтягу та зосереджених сил. В нескінченній пластинці напруження на знайдених граничних контурах при двоосному розтязі виявились практично сталими (аналогічно до рівноміцних отворів для ізотропних пластинок). Найбільше зниження напружень (в 2 і більше разів) має місце при навантаженні пластинки в напрямку більшої її жорсткості.

6. Результати досліджень залежності максимальних напружень біля чотирьох додаткових отворів малих розмірів від їх розміщення використано для оцінки міцності та при виборі способів закріплення вузлів тракторних оприскувачів на ВАТ “Львівагромашпроект”.

7. Розвинено підхід до розрахунку статичних криволінійних траєкторій поширення тріщин в анізотропних пластинках. Для пластинки із склопластику ЕФ 32-301, при її розтязі під кутом, траєкторії поширення тріщин менше відхиляються від прямої, на якій розміщена тріщина, в порівнянні з ізотропною пластинкою. Траєкторії поширення колінеарних тріщин ближчі до їх початкового напрямку, ніж для поодинокої тріщини. У випадку паралельних тріщин має місце швидка зміна траєкторії їх розвитку. В процесі поширення паралельних зсунутих тріщин спочатку траєкторії віддаляються між собою, а далі вершини тріщин зближуються. Причому, для матеріалу EФ 32-301 вказані зміни траєкторій значно менші, ніж для ізотропного матеріалу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Божидарник В.В., Максимович О.В. Пружна рівновага анізотропних пластинок з отворами і тріщинами // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій. В 2-х т. -Львів: Каменяр, 1999. -Т. 2.- Вип. 2. -С. 255 - 259.

2. Максимович В.М., Божидарник В.В., Максимович О.В. Обмежений розв'язок лінеаризованих рівнянь плоскої задачі теорії пружності для площини з розрізом // Наукові нотатки: Міжвузівський збірник (за напрямом “Інженерна механіка”). -Луцьк: Луцький держ. технічний ун-тет, 2000. Вип. 7.-С. 139-142.

3. Максимович О.В., Шваб'юк В.І. Напружений стан багатозв'язних пружних анізотропних пластин // Машинознавство. -2001. -№10. -С. 28-30.

4. Божидарник В.В., Максимович О.В. Пружна рівновага анізотропної півплощини з періодичною системою отворів і тріщин // Фіз.-хім. механіка матеріалів. -2001. -№ 6. -С. 15-21.

5. Божидарник В., Максимович О. Інтегральні рівняння першої основної задачі для анізотропних пружних пластинок з отворами і тріщинами // Вісник Львів. університету ім. Ів. Франка. Сер. мех.-мат. -1999. -Вип. 55. -С. 3-6.

6. Божидарник В., Максимович О. Інтегральні рівняння другої основної задачі теорії пружності для багатозв'язної анізотропної пластинки // Вісник Львів. університету ім. Ів. Франка. Сер. мех.-мат. -2000. -Вип. 57. -С. 34-37.

7. Федюк Є.М., Максимович О.В. Інтегральні зображення розв'язків крайових задач для пружних пологих оболонок // Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 1999. -№ 364. -С. 189-194.

8. Божидарник В., Максимович О. Пружна рівновага анізотропних пластин зі системою криволінійних тріщин //Тези доп. 3-го українсько-польський симпозіуму “Змішані задачі механіки неоднорідних структур". -Львів: Львів. університет ім. Ів. Франка.-1999. -С. 31-32.

9. Божидарник В., Максимович О. Інтегральні рівняння другої основної задачі теорії пружності для багатозв'язної анізотропної пластинки // Тези доп. наукової конф. “Математика і механіка у Львівському ун-ті , історія і сучасність”. -Львів: Львів. університет ім. Ів. Франка.- 1999. -С. 11.

10. Fedyuk Y., Maxymovych O. Integral Equations of the boundary problems for elastic shallow shell // Abstracts of International Conference Dedicated to J.P. Schauder “Nonlinear partial differential equatiotions”.- Lviv.- 1999. -P. 67.

11. Максимович О.В. Дослідження пружної рівноваги анізотропних пластинок складної форми // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. В 2-х т. - Львів, 2000. - Т.1.- С. 333-337.

Анотація

Максимович О.В. Визначення та оптимізація напруженого стану анізотропних пластинок з отворами і тріщинами.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. -Луцький державний технічний університет, Луцьк, 2002.

Побудовано ефективні алгоритми дослідження пружної рівноваги обмежених і нескінченних анізотропних пластинок, які послаблені системами отворів та криволінійних тріщин. Алгоритми створені на основі сумісного застосування методів інтегральних рівнянь, ТФКЗ і розв'язків типу Гріна. Розв'язування інтегральних рівнянь проведено за допомогою методу механічних квадратур. Розроблені алгоритми можуть бути використані безпосередньо для дослідження пружної рівноваги багатозв'язних пластинок з тріщинами, які мають форму: з'єднаних півплощин; площини з еліптичним отвором; площини з прямолінійною тріщиною. На основі побудованого алгоритму створено методику розрахунку статичних криволінійних траєкторій поширення тріщин та запропоновано підхід до знаходження отворів оптимальної форми, біля яких концентрація напружень є мінімальною. Проведено дослідження впливу анізотропії на розподіл напружень біля тріщин в обмежених, нескінченних, кусково-однорідних пластинках. На основі виконаних розрахунків та їх аналізу зроблено висновки, які можуть бути використані при проектуванні, виготовленні та експлуатації композитних елементів конструкцій.

Ключові слова: анізотропні пластинки, отвори, криволінійні тріщини, напруження, метод інтегральних рівнянь, траєкторії поширення тріщин, отвори оптимальної форми.

Аннотация

Максимович О.В. Определение и оптимизация напряженного состояния анизотропных пластинок с отверстиями и трещинами.- Рукопись.

Диcсертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.- Луцкий государственный технический университет, Луцк, 2002.

Разработаны эффективные алгоритмы исследования упругого равновесия ограниченных и бесконечных анизотропных пластинок, ослабленных системами отверстий и криволинейных трещин. Алгоритмы построены на основании совместного применения методов интегральных уравнений и теории функций комплексного переменного, решений типа Грина. Для численного решения интегральных уравнений использован метод механических квадратур. Дискретный аналог интегральных уравнений для трещин записан с применением квадратурных формул Лобатто, которые особенно эффективны при определении КИН. Построены соответствующие программы для ЭВМ, которые апробированы при решении широкого класса задач для анизотропных пластинок, в том числе с учетом приложенных на границе сосредоточенных сил.

Проведены исследования влияния степени анизотропии материала на значения КИН в бесконечных и ограниченных пластинках в зависимости от расположения трещин, их кривизны, концентраторов напряжений или границ. Подробно рассмотрены ограниченные пластинки с трещинами, которые используются как образцы при экспериментальных исследованиях и пластинки с краевыми трещинами. Сделаны выводы, которые могут быть использованы в расчетах на прочность и долговечность композитных элементов конструкций с трещинами.

На основании построенного алгоритма разработана методика определения отверстий оптимальной формы, возле которых возникает минимальная концентрация напряжений. На искомые отверстия могут быть наложены условия, которые, в частности, возникают в задачах о минимизации веса пластинок: граница отверстия проходит через заданные точки; площадь отверстия задана и граница проходит через заданные точки и т.д. Поставленная задача приведена к нахождению минимального значения функции, зависящей от коэффициентов, которые входят в параметрическое уравнение контура. Минимум функции найден с использованием метода наискорейшего спуска, причем производные, возникающие в данном методе, находились с помощью конечных разностей. Вычисление критериальной функции в процессе ее минимизации проводилось с помощью разработанного алгоритма расчета напряжений.

Приведены многочисленные примеры, которые указывают на высокую эффективность предложенного подхода. В частности, для случая двухосного растяжения пластинки с одним отверстием, граница которого проходит через заданные четыре точки, напряжения возле оптимальных отверстий оказались практически постоянными, причём существенное снижение напряжений достигнуто за счет незначительного изменения формы отверстия. На оптимальных отверстиях в полуплоскости максимальные напряжения в 2-8 раз меньше, чем возле близкого к нему кругового отверстия. Значительного снижения уровня напряжений достигнуто для пластинки с двумя отверстиями, при нагружении пластинки сосредоточенными силами. Предложенный алгоритм оказался особенно эффективным в случае, когда внешние усилия действуют в направлении большей жесткости материала.

Разработана методика расчета статических криволинейных траекторий распространения трещин в анизотропных пластинках. Для ее построения применен метод прослеживания, который используется в аналогичных задачах применительно к изотропным пластинкам. Приведены примеры расчета траекторий для пластинки, изготовленной из стеклопластика ЕФ 32-301. Исследования выполнены для одной или паралельных трещин (в том числе периодических и сдвинутых) и для краевых трещин возле эллиптического отверстия.

Ключевые слова: анизотропные пластинки, отверстия, криволинейные трещины, напряжения, метод интегральных уравнений, траектории распространения трещин, отверстия оптимальной формы.

Summary

Olesia Маxyмоvych. Determination and optimization of stressed state of anisotropic plates with holes and cracks. - Manuscript.

Dissertation for Candidate's of sciences degree on speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids. Lutsk State Technical University, Lutsk, 2002.

Effective algorithms of the research of elastic equilibrium of bounded and boundless anisotropic plates, weakened by the system of holes and curvilinear cracks have been built algorithms, have been formed by the joint application of integral equations method and solutions of Green's type. The solution of the integral equation have been done by means of mechanical quadrature. The developed algorithms may be used directly for the research of elastic equations of multicoherent plates with cracks, which have the forms of: soldered half-planes, planes with elliptic hole, planes with rectilinear crack. On the ground of built algorithm methods of computation of static curvilinear paths of crack propagation has been worked out and the way of founding holes of optimal forms has been offered.

The influence of anisotropy upon the stresses distribution near the cracks in bounded, boundless and lump-homogeneous plates has been investigated. The conclusions made on the basis of the analysis of obtained results can be used at designing, producing and maintaining of the composite elements of constructions.

Key words: anisotropic plates, holes, curvilinear cracks, stress, method of integral equations, path of crack propagation, hole of optimal form.

Размещено на Allbest.ur