Варіаційний метод дослідження нелінійних динамічних процесів в рухомих обмежених об'ємах рідини складної конфігурації

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.02.01 - теоретична механіка

ВАРІАЦІЙНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ В РУХОМИХ ОБМЕЖЕНИХ ОБ'ЄМАХ РІДИНИ СКЛАДНОЇ КОНФІГУРАЦІЇ

СОЛОДУН Олександр Васильович

Київ - 2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук,

професор, академік НАН України,

ЛУКОВСЬКИЙ Іван Олександрович

Інститут математики НАН України, завідувач відділу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

КАЮК Яків Федорович

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук

ІВАЩЕНКО Борис Павлович

Міжнародний математичний центр, старший науковий співробітник

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра теоретичної та прикладної механіки

Захист відбудеться “ 5 ” листопада 2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “ 1 ” жовтня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Більшість важливих задач динаміки механічних систем, що містять в собі рідкі маси з границями, які змінюються у часі, призводить до необхідності розв'язування проблеми про взаємодію рідини з абсолютно твердими або пружними тілами. Літак, ракета з рідиною, космічний апарат, що має на борту запас рідкого пального, судна - танкери, залізничні цистерни та інші аналогічні об'єкти можна розглядати як тверді тіла із порожнинами, частково заповненими рідиною.

Починаючи з середини XIX століття, проблема коливання рідини в твердих та пружних тілах почала привертати увагу багатьох вчених. Фундамент для розвитку даного напрямку механіки заклали всесвітньо відомі вчені Стокс Д.Г., Гельмгольц Г.Л., Нейман К.Г., Жуковський М.Е., Ламб Г., Фарадей М. та інші. Але інженерна практика середини ХХ століття висунула ряд нових задач про рух абсолютно твердих або твердих деформовних тіл з порожнинами, частково заповненими рідиною. Значний вклад у розвиток дослідження таких задач зроблено Богорядом І.Б., Докучаєвим Л.В., Луковським І.О., Мікішевим Г.М., Моісеєвим Н.Н., Нарімановим Г.С., Охоцімським Д.Е., Рабіновичем Б.І., Румянцевим В.В., Abramson H.N., Bauer H.F., Hutton R.E., Miles J.W. та іншими.

Коливання вільної поверхні рідини можуть бути дуже небезпечними при реалізації стійких режимів руху механічної системи або її міцності. Для зменшення впливу шкідливих коливних явищ вільної поверхні рідини на практиці застосовують різного роду конструктивні пристрої. Широке розповсюдження отримали пристрої у вигляді жорстких глухих перегородок. Вони обмежують амплітуду коливання рідини в резонансному режимі, і тим самим виключають появу деяких нелінійних ефектів, які несприятливо впливають на стійкість руху системи в цілому. Вагомий вклад в дослідження впливу перегородок на коливні явища зробили Докучаєв Л.В., Мікішев Г.М., Рабінович Б.І., Луковський І.О., Троценко В.А., Abramson H.N., Bauer H.F. та інші.

Проблемі руху твердого тіла з порожнинами, частково заповненими рідиною, присвячено велику кількість робіт. Ці дослідження пов'язані з постановкою та розв'язуванням різноманітних задач, що виникають в ракетобудуванні, суднобудуванні, вагонобудуванні, будівництві різних об'єктів в сейсмічно небезпечних районах тощо. Переважна більшість робіт спрямована на дослідження механічних та фізичних явищ, що супроводжуються коливанням вільної поверхні обмеженого об'єму рідини. Особливе місце серед них займають публікації, присвячені наближеним методам розв'язування відповідних крайових задач та побудові на їх основі практично важливих математичних моделей. На даний час проведено широкі експериментальні та повні теоретичні дослідження в лінійній постановці для випадків, коли порожнини мають форму тіл обертання, включаючи і випадок наявності у цих контейнерах конструктивних пристроїв у вигляді перегородок. Однак вимоги сучасної техніки призводять до необхідності розв'язування нелінійних задач із вказаними пристроями. Об'єкти такого типу використовуються при дослідженні конкретних проблем, пов'язаних із транспортуванням великих мас рідини залізничним, морським, космічним транспортом і т.і. Тому дослідження в цьому напрямку є необхідними і актуальними як в теоретичному так і в прикладному плані.

Зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень дисертації пов'язані з науковими програмами Інституту математики НАН України на 1998-2001 рр. Вони були частково використані та увійшли у звіти науково-дослідної роботи, виконаної у відділі динаміки та стійкості багатовимірних систем за темою “Якісні та чисельно-аналітичні методи дослідження нелінійних задач динаміки та стійкості механічних систем” (державний реєстраційний номер 0101U00184).

Мета і задачі дисертаційної роботи полягають у вивченні впливу присутності суцільних діаметральних перегородок в циліндричних порожнинах, частково заповнених рідиною, при гармонічних поступальних рухах даної порожнини на рух розглядуваної системи “тіло-рідина”. Для цього розробляються та досліджуються скінченновимірні нелінійні математичні моделі руху систем з рідинним наповненням, що описують коливання рідини в баках у формі вертикальних циліндричних секторів в околі основних резонансів. Для досягнення вказаної мети в роботі розв'язуються задачі раціонального вибору скінченої кількості узагальнених координат, задачі побудови адекватних математичних моделей, задачі побудови періодичних розв'язків вимушених коливань ідеальної нестисливої рідини в секторіальних баках, задачі визначення областей стійкості та нестійкості для кожного режиму руху вимушених усталених періодичних коливань рідини в розглядуваних об'ємах, задачі визначення силової взаємодії рідини та посудини і порівняння одержаних результатів з експериментальними даними.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що:

-на основі раціонального вибору потенціалу швидкостей і форми збуреної вільної поверхні рідини, базуючись на варіаційному формулюванні задачі, побудовано скінченновимірні нелінійні математичні моделі, що описують рух жорсткого секторіального циліндра (з кутом піврозхилу та ), частково заповненого ідеальною нестисливою рідиною;

-розвинуто варіаційний алгоритм визначення гідродинамічних коефіцієнтів отриманих нелінійних систем рівнянь, що описують рух рідини в даних об'єктах. Виконано чисельну реалізацію цього алгоритму на ПК при наявності в циліндрі однієї та двох діаметральних взаємно перпендикулярних перегородок;

-методом Бубнова-Гальоркіна побудовано періодичні розв'язки системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, що описують рух рідини в рухомій циліндричній порожнині з перегородками, яка здійснює поступальні рухи за періодичним законом;

-досліджено стійкість усталених періодичних режимів руху рідини та пояснено, як з якісного так і з кількісного боку, основні нелінійні ефекти поведінки рідини в околі головного резонансу. Наведено області стійкості та нестійкості побудованих режимів руху;

-встановлено значення критичної глибини рідини, при якому відбувається зміна м'якої характеристики коливань на жорстку ( для циліндра розбитого на два відсіки та для циліндра розбитого на чотири відсіки).

-досліджено силову взаємодію рідини з контейнером та кінематику вільної поверхні рідини для всіх випадків розбиття посудини. Досліджено поведінку вузлової лінії. Встановлено, що перегородки виступають гасником хвильових рухів рідини по її основному тону та являються причиною збільшення основної власної резонансної частоти при розбитті баку на відсіки;

-на базі отриманих теоретичних розробок проведено математичний експеримент в широкому діапазоні геометричних параметрів циліндричних контейнерів. Наведено порівняльний аналіз із попередніми роботами по циліндричному баку без перегородок та з відомими експериментальними даними для баків з діаметральними перегородками. Розбіжність між теоретичними і експериментальними значеннями амплітуд складає до 6 % по середній амплітуді вільної поверхні та до 3 % по амплітуді проекції сили в напрямку збурення.

Достовірність результатів та висновків дисертаційної роботи забезпечується коректністю постановок задач в рамках класичних математичних моделей; застосуванням при розв'язуванні задач обґрунтованих математичних методів; контрольованою точністю усіх обчислень, виконаних на ПК, та задовільним узгодженням теоретичних та експериментальних результатів.

Практичне значення результатів дисертації визначається розробкою ефективних підходів до розв'язування важливих у практичному відношенні нових задач, що пов'язані з дослідженням збуреного руху твердого тіла з порожнинами, які містять глухі діаметральні перегородки для обмеження рухомості рідини; можливістю використання одержаних кількісних результатів та розроблених обчислювальних програм у практиці інженерно-конструкторських робіт.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на міжнародній конференції “The fluid dynamic of coastal seas, lakes and closed basins” (St. Oyen, 18-22 June 2001 р.), на міжнародній науковій конференції “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (Дрогобич, 27-29 серпня 2001 р.). Робота в цілому обговорювалась на науковому семінарі “Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика” при Інституті математики НАН України (керівники - академік НАН України І.О. Луковський, член-кореспондент НАН України В.Л. Макаров, Київ, 2002 р.), на науковому семінарі “Сучасні проблеми механіки” при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (керівники - академік НАН України В.Т. Грінченко, член-кореспондент НАН України А.Ф. Улітко, Київ, 2002 р.).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано п'ять робіт: три - у наукових фахових виданнях, затверджених ВАК України, дві - у тезах конференцій. В роботах [1,2], написаних у співавторстві з науковим керівником, І.О. Луковському належать загальна постановка задачі та участь в обговоренні теоретичних результатів і результатів чисельних експериментів, здобувачеві - одержання розрахункових формул та проведення чисельної реалізації запропонованої методики.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 124 сторінок, у тому числі 18 рисунків, 3 таблиці та бібліографічний список із 109 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено загальну характеристику, актуальність і цілі роботи, її наукову новизну та практичну значимість, достовірність результатів, апробацію, стислий зміст дисертації.

Перший розділ присвячено огляду сучасного стану теорії руху тіл з порожнинами, частково заповненими рідиною та загальній постановці задачі просторового руху абсолютно жорсткого рухомого твердого тіла з циліндричною порожниною, розбитою на відсіки вертикальними діаметральними перегородками та частково заповненою ідеальною нестисливою рідиною.

Задача вивчення взаємодії рухомого тіла з рідиною, яка повністю заповнює його порожнини, була розглянута ще М.Є. Жуковським. Він в значній мірі узагальнив і розширив результати, одержані раніше Стоксом, Гельмгольцем та Нейманом. Наявність вільної поверхні рідини при частковому заповненні порожнини істотно ускладнює задачу побудови та дослідження рівнянь руху. Вперше лінійні рівняння, що описують загальний випадок збуреного руху тіла з порожниною, частково заповненою ідеальною рідиною, при заданій системі зовнішніх сил було одержано рядом авторів, таких як Г.С. Наріманов, М.М. Моісеєв, Д.Є. Охоцімський, Б.І. Рабінович, H.F. Bauer, J.W. Miles та рядом інших. Усі гідродинамічні коефіцієнти рівнянь збуреного руху, за винятком коефіцієнтів гасіння, визначаються з розв'язків основних граничних задач гідродинаміки, які базуються на припущенні про малість хвильових рухів рідини.

Питанню знаходження частот і приєднаних мас рідини в різноманітних порожнинах, що мають форму тіла обертання, включаючи і випадки, коли ці порожнини нахилені під певним кутом до вектора прискорення поля масових сил, присвячено роботи І.Б. Богоряда, М.Я. Барняка, В.В. Болотіна, М.С. Галкіна, Л.В. Докучаєва, І.О. Дружиніна, Я.Ф. Каюка, О.Н. Комаренка, В.Д. Кубенка, І.О. Луковського, Г.А. Моісеєва, О.О. Петрова, Б.І. Рабіновича, І.М. Рапопорта, І.Т. Селєзова, Є.М. Стажкова, В.М. Сухова, В.А. Троценка, Ф.М. Шклярчука, В.П. Шмакова, Х.Н. Абрамсона, Д.Д. Кана, Х.Ф. Бауера, Дж.В. Майлса та інших.

Встановлення у порожнині пристроїв типу жорстких перегородок значним чином ускладнило теоретичний аналіз динамічних характеристик рідини в таких баках. Таке ускладнення пов'язане, в першу чергу, із складною формою області, яку займає рідина, та наявністю особливостей у розшукуваних розв'язках. Розробці в лінійній постановці аналітичних методів визначення частот і приєднаних мас ідеальної рідини у вертикальній циліндричній порожнині з жорсткими поздовжніми перегородками присвячені роботи Л.В. Докучаєва Г.А. Моісеєва та ін.

Для знаходження хвильових рухів рідини в осесиметричних порожнинах із кільцевими перегородками в роботі В.М. Морозова застосовувався різницевий метод. В роботах В.А. Троценка розв'язано задачі про коливання рідини в порожнинах, які мають форму тіла обертання і містять жорсткі та пружні кільцеві перегородки. Дослідження задачі Коші про коливання рідини в прямокутному паралелепіпеді з горизонтальними поздовжніми перегородками було проведено в роботі І.П. Гаврилюка, А.Б. Кулика та В.Л. Макарова. Дослідження коливань в'язкої рідини в прямому круговому циліндрі з кільцевим ребром на основі різницевих методів запропоновано в роботі І.Б. Богоряда та Г.З. Дружиніної.

При розв'язуванні основних граничних задач теорії збуреного руху твердого тіла з порожнинами, які містять ідеальну рідину, поряд із точними методами найбільш широкого розповсюдження одержав варіаційний метод і деякі його модифікації, що дозволяють враховувати характерні властивості хвильових рухів рідини. В роботах І.О. Луковського в нелінійній постановці задачі, була запропонована варіаційна методика, яка дозволяє вивести нескінченні систем диференціальних рівнянь, що описують нелінійні коливання рідини в жорстких циліндричних порожнинах. Це вдалося за умов розкладу вільної поверхні та потенціалу швидкостей в ряди Фур'є (рівняння вільної поверхні приймає нормальну форму та модальне представлення). Дана методика базується на розв'язках лінійної спектральної задачі з параметром в крайовій умові.

Найбільш суттєві результати при дослідженні нелінійних коливань рідини в рухомих порожнинах різної складної конфігурації наведено в роботах Л.В. Докучаєва, М.М. Моісеєва, Г.С. Наріманова, О.С. Лимарченка, І.О. Луковського, В.М. Сухова, О.М. Тимохи, Дж.В. Майлса, Р.Е. Хаттона, В.Х. Чу, Д.Д. Кана, О.М. Фалтінсена та інших.

Численні результати експериментальних досліджень характеристик рідини в рухомих порожнинах з перегородками наведено в роботах Х.Н. Абрамсона, Г.І. Богомаза, М.Я. Дорожкіна, Г.Н. Мікішева, Дж.В. Майлса, С.А. Сироти, Р.Е. Хаттона та інших.

Таким чином, на сьогоднішній день розроблено достатню кількість методів, що дозволяють в лінійній та нелінійній постановці задачі знаходити гідродинамічні характеристики рідини в жорстких баках заданої складної геометрії із гладкими стінками.

Наведений огляд літератури свідчить про те, що на даний час в лінійній постановці добре вивчено питання руху рідкого наповнення в порожнинах, які мають форму тіла обертання з жорсткими перегородками. Однак недостатньо уваги приділено циліндричним порожнинам із суцільними діаметральними перегородками в нелінійній постановці. Розв'язків задачі нелінійних коливань вертикальних циліндрів з суцільними перегородками на даний час не існує, існують лише експерименти, тому дані дослідження є актуальними і необхідними. вимушений коливання нестислива рідина

Другий розділ роботи присвячений розгляду в нелінійній постановці задачі гармонічних поступальних рухів секторіальних циліндрів з кутом піврозхилу та заповнених ідеальною нестисливою рідиною. Наведено крайові задачі для складових потенціалу швидкостей . За допомогою методу робіт Майлса-Луковського, який базується на використанні варіаційного принципу Гамільтона-Остроградського у формі Г. Бейтмена, отримано скінченновимірні нелінійні математичні моделі, що описують рух рідини в порожнині твердого тіла, яке здійснює поступальні гармонічні коливання в полі сил тяжіння в околі основного резонансу.

Розглядається механічна система, що складається з абсолютно жорсткого рухомого циліндричного баку з вертикальними діаметральними перегородками та ідеальної нестисливої рідини, що частково його заповнює. Рух даної системи розглядається в потенціальному полі масових сил. Через позначено об'єм рідини, що заповнює циліндричний бак, через - змочувану бічну поверхню (включаючи поверхню перегородок), через та - вільну поверхню рідини в збуреному та незбуреному стані відповідно. Рух баку описується в зв'язаній з тілом декартовій системі координат парою залежних від часу векторів та . Початок системи координат вибрано на незбуреній вільній поверхні . Вісь направлено по осі циліндра в напрямі, протилежному вектору сил земного тяжіння . Двогранний кут між перегородками позначено через .

Дана задача є першою задачею динаміки системи “тіло-рідина”, зміст якої полягає у визначенні руху рідини, що викликаний рухом твердого тіла, а також у визначенні сил взаємодії між тілом та рідиною.

У випадку безвихрових рухів рідини розподіл її швидкостей представляється у вигляді градієнта потенціальної функції , причому так, що потенціал швидкостей є розв'язком нелінійної крайової задачі

(1)

(2)

(3)

де - орт зовнішньої нормалі до поверхні області , зайнятою рідиною; - радіус-вектор точок об'єму рідини у зв'язаній системі координат; - потенціал сил земного тяжіння; - рівняння збуреної вільної поверхні рідини, яке надалі набуває вигляду Розподіл тиску в об'ємі рідини визначається за допомогою інтегралу Лагранжа-Кошi, записаного у зв'язаній системі координат

(4)

де - густина рідини; - тиск газу над вільною поверхнею рідини. Легко бачити, що потенціал швидкостей може бути представлений у вигляді суми якщо гармонічна функція являється розв'язком крайової задачі, що описує рух рідини в нерухомому контейнері:

в на на (5)

на (6)

при умові збереження об'єму рідини

Для знаходження наближеного розв'язку крайової задачі (5)-(6) було застосовано варіаційний метод. Відповідне формулювання варіаційної проблеми пов'язане з функціоналом

. (7)

Прямий метод розв'язування варіаційної задачі полягає у конструктивному представленні для заданої області форми вільної поверхні i потенціалу швидкостей у вигляді:

(8)

(9)

(10)

(11)

Третій розділ роботи присвячено розгляду задачі вимушених коливань ідеальної нестисливої рідини, що частково заповнює абсолютно твердий циліндр, розбитий на два та на чотири секторіальні відсіки. Методом Бубнова-Гальоркіна отримано одночастотні коливні процеси та досліджено їх на стійкість. Побудовано амплітудно-частотні характеристики в околі основного резонансу коливань рідини. Визначено форму вільної поверхні та основні характеристики взаємодії тіла з рідиною. Досліджено поведінку вузлової лінії. Проведено порівняння в кількісному та якісному відношенні теоретичних результатів з експериментальними даними.

В першому підрозділі розглянуто спочатку випадок розбиття циліндра надвоє, коли коливання відсіку відбуваються в довільному напрямку, тобто під кутом . Тоді вони описуються системою рівнянь виду (21). Для знаходження періодичних розв'язків системи (21) використано метод Бубнова-Гальоркіна. Узагальнену координату представимо у вигляді відрізку ряду Фур'є з невизначеними коефіцієнтами

(23)

В другому підрозділі досліджено стійкість отриманих періодичних рухів. Періодичні коливання, що описуються виразами (25), (27) не завжди фізично реалізуються. В дійсності мають місце лише стійкі рухи. Щоб визначити , які з можливих рухів мають місце, проведено дослідження на стійкість цих періодичних рухів. Задачу про динамічну стійкість вільної поверхні рідини вдається розв'язати за допомогою рівнянь першого наближення. Рівняння у варіаціях знайдено для випадку поздовжніх коливань, коли незбурені по Ляпунову рухи системи (21) мають вигляд (25). Разом із незбуреними рухами розглянуто близькі до них збурені, які для циліндра, розбитого на два відсіки, мають вигляд:

(31)

Рівняння у варіаціях стосовно збурень одержуються із системи (21) при врахуванні того факту, що незбурений розв'язок (25) задовольняє цю систему. Лінеаризуючи отриману систему відносно збурень, отримано систему рівнянь у варіаціях.

Таким чином, задача дослідження стійкості періодичних розв'язків (21) зведена до дослідження розв'язків системи (32). Отримані рівняння являють собою систему рівнянь із періодичними коефіцієнтами і фундаментальна система їх розв'язків , згідно теореми Флоке-Ляпунова, містить розв'язки виду Стійкість розв'язків (21), як слідує із вигляду виразів для , залежить від значень характеристичного показника . Якщо всі характеристичні показники мають від'ємні дійсні частини - то періодичні розв'язки будуть стійкими. Якщо серед характеристичних показників є хоча б один із додатною дійсною частиною - періодичні розв'язки стають нестійкими.

Щоб отримати рівняння для визначення характеристичних показників періодичну функцію представлено у вигляді ряду Фур'є і утримано у розкладі лише перші гармоніки де - деякі постійні коефіцієнти. Підставивши вирази для , у систему рівнянь у варіаціях (32) (збурення явно знайдено з першого та двох останніх рівнянь системи, вони виражаються через ), для визначення коефіцієнтів отримано однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

(33)

Коефіцієнти лінійної алгебраїчної системи (33) виражаються через коефіцієнти системи нелінійних диференціальних рівнянь (21), величину і амплітуди узагальнених координат складним чином.

Щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь (33) відносно постійних мала розв'язок, відмінний від нуля, то визначник цієї системи має дорівнювати нулеві. Характеристичне рівняння, яке отримується після розкриття визначника, буде в загальному випадку поліномом 12-го степеня відносно . Отримання такого рівняння у явному вигляді, враховуючи вигляд коефіцієнтів є досить важкою процедурою, тому дослідження значень характеристичних показників зведено до знаходження всіх коренів характеристичного визначника чисельними методами. Слід також відмітити, що до задачі знаходження наближених виразів для узагальнених координат , з метою подальшого дослідження стійкості отриманих стаціонарних режимів, можна також застосувати метод амплітуд, що повільно змінюються.

В третьому підрозділі досліджено кінематику вільної поверхні рідини для обох випадків розбиття циліндра. Амплітудно-частотні характеристики нелінійних коливань вільної поверхні рідини визначаються виразами (26), (29), (30). Для усталених режимів руху можна в кожному конкретному випадку прослідкувати за еволюцією вільної поверхні рідини, скориставшись її представленням у вигляді (8), (9). Для циліндричного баку з вертикальною перегородкою з параметрами і в роботі наведено амплітудно-частотні характеристики коливань рідини, отриманих за допомогою наведених вище виразів.

Спостерігається несиметричність збуреної вільної поверхні рідини і перевищення висоти “горба” над глибиною “впадини”. Особливо це помітно при максимальних значення амплітуд, які досягають величин 0.605 і 0.295, тобто відношення висоти “горба” над глибиною “впадини” дорівнює 2.053 (для t=0). З ростом значень амплітуди збурень Н різниця між висотою “горба” та глибиною “впадини” стає ще більшою. В даному підрозділі наведено численні рисунки, що описують поведінку вільної поверхні рідини. Також наведено максимальні амплітуди відхилення та їх порівняння для випадку наявності двох перегородок.

В четвертому підрозділі досліджено силовий вплив рідини на резервуар, яка частково його заповнює. Як відомо, дія рідини на резервуар зводиться до сумарної гідродинамічної сили де - орт зовнішньої нормалі до змоченої поверхні , - тиск рідини, який визначається із інтегралу Лагранжа-Коші (3).

У висновках сформульовано основні наукові результати та висновки, отримані в дисертаційній роботі.

Основні результати і висновки роботи полягають у наступному

На основі раціонального вибору потенціалу швидкостей і форми збуреної вільної поверхні рідини, базуючись на варіаційному формулюванні задачі, побудовано скінченновимірні нелінійні математичні моделі, що описують рух жорсткого секторіального циліндра (з кутом розхилу та ), частково заповненого ідеальною нестисливою рідиною, за припущень теорії 3-го порядку малості та певних підпорядкувань відносно узагальнених координат .

Розвинуто варіаційний алгоритм визначення гідродинамічних коефіцієнтів отриманих нелінійних систем рівнянь, що описують рух рідини в даних об'єктах (зручний для реалізації на ПК). Виконано чисельну реалізацію цього алгоритму на ПК при наявності в циліндрі однієї та двох діаметральних взаємно перпендикулярних перегородок.

Методом Бубнова-Гальоркіна побудовано періодичні розв'язки системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, що описують рух рідини в рухомій циліндричній порожнині з перегородками, яка здійснює поступальні рухи за періодичним законом.

Досліджено стійкість усталених періодичних режимів руху рідини та пояснені, як з якісного так і з кількісного боку, основні нелінійні ефекти поведінки рідини в околі головного резонансу. Наведено області стійкості та нестійкості побудованих режимів руху.

Встановлено, що значення критичної глибини, для якої відбувається зміна м'якої характеристики коливань на жорстку дорівнює h=0.597 для циліндра розбитого на два відсіки та h=0.299 для циліндра розбитого на чотири відсіки.

Досліджено силову взаємодію рідини з контейнером та кінематику вільної поверхні рідини для обох випадків розбиття посудини. Досліджено поведінку вузлової лінії. Встановлено, що перегородки виступають гасником хвильових рухів рідини по її основному тону та є причиною збільшення основної власної резонансної частоти при розбитті баку на відсіки.

На базі отриманих теоретичних розробок здійснено математичний експеримент в широкому діапазоні геометричних параметрів циліндричних контейнерів. Наведено порівняльний аналіз із попередніми роботами по циліндричному баку без перегородок та з відомими експериментальними даними для баків з діаметральними перегородками. Розбіжність між теоретичними і експериментальними значеннями амплітуд складає до 6 % по середній амплітуді вільної поверхні та до 3 % по амплітуді проекції сили в напрямку збурення.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Луковський І.О., Солодун О.В. Нелінійна модель руху маси рідини в циліндричних ємностях розділених на відсіки // Доповіді НАН України. - 2001. № 5. - С. 51-55.

Луковський І.О., Солодун О.В. Варіаційний метод в задачах про нелінійні коливання рідини в циліндричних баках, розділених на секторіальні відсіки // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2001. - № 5. - С. 325-330.

Солодун О.В. Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою // Нелінійні коливання. - 2002. - Т. 5, № 1. - С. 90-106.

A. Solodun. An investigating of nonlinear sloshing of perfect liquid in cylindrical containers with a free surface // Proc. of international conference “The fluid dynamic of coastal seas, lakes and closed basins” Thesis of rep. 18 - 22 June, St. Oyen, Italy. 2001. - P.11-12.

Солодун О.В. Дослідження нелінійних коливань рідини у циліндричних ємностях, розділених на відсіки // Праці українського математичного конгресу “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (21 - 24 серпня 2001, Київ):Тез. доп. - 2001. - С. 46-47.

АНОТАЦІЇ

Солодун О.В. Варіаційний метод дослідження нелінійних динамічних процесів в рухомих обмежених об'ємах рідини складної конфігурації. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка, Інститут математики НАН України, Київ, 2001.

Дисертаційна робота присвячена вивченню в нелінійній постановці впливу наявності суцільних діаметральних перегородок в циліндричних порожнинах, частково заповнених рідиною, при гармонічних рухах даної порожнини, на сумісний рух системи “тіло-рідина”, що розглядається.

В дисертації розглянута задача про вимушені коливання ідеальної нестисливої рідини, що частково заповнює абсолютно твердий циліндр, що розбитий на два та на чотири секторіальні відсіки. Базуючись на варіаційному формулюванні задачі, побудовано скінченновимірні нелінійні математичні моделі, що описують рух рідини в околі основного резонансу. Методом Бубнова-Гальоркіна побудовано періодичні розв'язки системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, що описують рух рідини в рухомій циліндричній порожнині з перегородками, яка здійснює поступальні рухи за періодичним законом. За допомогою рівнянь першого наближення описано основні фізичні явища та проведено аналіз стійкості отриманих періодичних розв'язків. Побудовано амплітудно-частотні характеристики коливань вільної поверхні рідини в околі основного резонансу. Визначено форму вільної поверхні та основні характеристики силової взаємодії тіла з рідиною. Досліджено поведінку вузлової лінії Проведено порівняння в кількісному та якісному відношенні теоретичних результатів з експериментальними даними.

Ключові слова: динаміка твердого тіла з рідиною, частоти та приєднані маси рідини, суцільні перегородки, узагальнені координати, метод Бубнова-Гальоркіна, система диференціальних рівнянь, силова взаємодія, стійкість.

Солодун А.В. Вариационный метод исследования нелинейных динамических процессов в подвижных ограниченных объёмах жидкости сложной конфигурации. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика, Институт математики НАН Украины, Киев, 2001.

Диссертационная работа посвящена изучению в нелинейной постановке влияния присутствия сплошных диаметральных перегородок в цилиндрических полостях, частично заполненных жидкостью, при гармонических движениях этой полости, на совместные движения рассматриваемой системы “тело-жидкость”.

В диссертации рассмотрена задача о вынужденных нелинейных колебаниях идеальной несжимаемой жидкости, частично заполняющей абсолютно твёрдый цилиндр разделённый на два и на четыре секториальных отсека. Базируясь на вариационной формулировке задачи, построены конечномерные нелинейные математические модели, описывающие движения жидкости в области основного резонанса. Методом Бубнова-Галёркина построены периодические решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, которые описывают движения жидкости в подвижной цилиндрической полости с перегородками осуществляющей поступательные движения по периодическому закону.

При помощи уравнений первого приближения описаны основные физические явления и проведён анализ устойчивости полученных периодических решений. Построены амплитудно-частотные характеристики в области основного резонанса колебаний жидкости. Определена форма свободной поверхности и основные характеристики силового взаимодействия тела с жидкостью. Исследованы поведения узловой линии. Проведены сравнения в количественном и качественном отношении теоретических результатов с экспериментальными данными.

Ключевые слова: динамика твердого тела с жидкостью, частоты и присоединённые массы жидкости, сплошные перегородки, обобщённые координаты, метод Бубнова-Галёркина, система дифференциальных уравнений, силовое взаимодействие, устойчивость.

Solodun O.V. Variational method of investigating of nonlinear dynamical processes in moving limited complex configuration volumes of liquid. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's Degree in Physics and Mathematics by the specialty 01.02.01 - theoretical mechanics, Institute of Mathematics NAS of Ukraine, Kiev, 2001.

The thesis is devoted to studying an influence of presence utter diametrical ribs in cylindrical cavities partly filled by the liquid in nonlinear sense. Cavity makes harmonic motion. Joint moving of considered system “body-liquid” is studied. Problem on compel ideal incompressible liquid sloshing, partly filled absolutely hard cylinder divide into two and four sectors is considered in thesis. Basing on the variational wording of problem finite dimensional nonlinear mathematical models are built. These models describe a moving of liquid in the field of the main resonance. Using Bubnov-Galyorkin method periodic solutions of a nonlinear differential equation system, which describe liquid motion in oscillating cylindrical cavity with ribs, are built. Cavity moves onward on the periodic law. Main physical phenomena are described using equations of the first approximation. Analysis of stability of periodic solution received is made. Amplitude-frequency features in the field of the main resonance of liquid fluctuations are built. Form of the free surface and main features of forces interaction of body with liquid are determined. Behavior of node line is explored. Comparisons in quantitative and qualitative attitude of theoretical results with experimental data are made.

Main results of the thesis are following:

-Using choice of velocities potential and liquid outrage free surface forms and basing on variational wording of problem, finite-dimensional nonlinear mathematical models are built. These models describe moving of hard cylindrical sector (with angles and ), partly filled by an incompressible liquid with admission of 3-th order theory comparatively generalized coordinates

-When studying of free and disturbed fluctuations variation algorithm of determination of hydrodynamic coefficients of nonlinear equation systems is developed. Numerical realization of specified method in cylinder with presence of vertical diametrical mutually perpendicular ribs is worked out.

-Using Bubnov-Galyorkin method periodic solutions of a nonlinear differential equation systems (which describe liquids moving in rolling cylindrical cavity with ribs) are build.

-Stability of periodic regimes of liquid moving is explored in field of main resonance. Main nonlinear effects of liquids behavior are explained with qualitative and quantitative sides.

-Critical depth of liquid, under which changing of a mild feature on hard occurs is h=0.597 for cylinder divided into two sectors, and h=0.299 for cylinder divided into four sectors.

-Power interaction of liquid with containers is calculated for all cases of dividing of volume. As was determined ribs extinguish liquids wave moving on its main tone at study harmonic onward moving cavity. Ribs are reasons of increase of main own resonance frequency.

-Basing on received theoretical developments numerical experiments are conducted. Analysis of comparison with preceding work on cylindrical tank without ribs and with known experimental data is presented. Divergence of theoretical and experimental values of amplitudes up to 6 % on average free surface amplitude and up to 3 % on power amplitude in direction of disturb.

From the results found in the thesis we can make a conclusion - mathematical model, which was offered, is an effective tool for investigating of nonlinear problems of limited fluid volume with free surface.

Keywords: dynamics of solid with liquid, frequencies and associated masses of liquid, utter ribs, generalized coordinates, Bubnov-Halyorkin method, differential equation system, power interaction, stability.

Размещено на Allbest.ru