Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Моделі і методи узагальненої оптимізації лінійних систем з розподіленими параметрами

Київ 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики

факультету кібернетики Київського національного

університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор

ЛЯШКО Сергій Іванович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики,

завідувач кафедри обчислювальної математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор

ГУПАЛ Анатолій Михайлович,

Науково-учбовий центр прикладної інформатики

НАН України, директор

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

АДЖУБЕЙ Лариса Трохимівна,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики,

кафедра системного аналізу та теорії прийняття рішень,

старший науковий співробітник

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

НАН України,

відділ моделювання інформаційно-функціональних

систем, м. Київ

Захист відбудеться "25" квітня 2002 р. о 14 год. на засіданні

спеціалізованої вченї ради Д 26.001.09 Київського національного

університету імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, Київ, пр. Глушкова, 2, корп. 6, ф-т кібернетики, ауд. 40.

(Тел. 252-58-83. Факс 252-59-77. E-mail: rada@unicyb.kiev.ua)

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського

національ-ного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий "24" березня 2002 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради ШЕВЧЕНКО В.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток сучасних комп'ютерних технологій обумовив необхідність розробки нових наукових напрямків прикладної математики та кібернетики. Серед них важливе місце займають якісні дослідження та розробка чисельних методів розв'язування задач моделювання та оптимізації в лінійних системах з розподіленими параметрами. В багатьох прикладних проблемах (застосування імпульсної техніки, корекції космічних апаратів, проектування систем мікрозрошення грунту, прогнозування розповсюдження забруднень з місць екологічних катастроф тощо) приходять до задач керування розподіленими системами з сингулярними узагальненими функціями (імпульсне, точкове, рухоме керування тощо) в правій частині рівняння стану. Сингулярність і нелінійна залежність від керування правої частини рівняння стану ускладнює дослідження задач традиційними методами теорії оптимального керування та ставить перед математиками нові проблеми. Одним з перших на даний клас задач звернув увагу А.Г. Бутковський.

Різним питанням оптимізації в класах узагальнених впливів присвячені роботи О.І. Єгорова, Ж.-Л. Ліонса, В.С. Мельника, О.Г. Наконечного, Ю.В. Орлова та інших. Для доведення існування розв'язків граничних задач ефективними виявились теорія оснащених гільбертових просторів, побудована Ю.М. Березанським, та метод апріорних оцінок в негативних нормах, запропонований А.В. Біцадзе та розвинутий В.П. Діденком. Пізніше ці ідеї в роботах С.І. Ляшка та його учнів знайшли застосування при дослідженні різних питань теорії узагальненої оптимізації лінійних розподілених систем. Але не дивлячись на значну кількість робіт з даної тематики, багато актуальних проблем узагальненого керування (умо-ви керованості систем, ефективні чисельні методи) залишаються не вирішеними чи дослідженими неповно.

Певні фізичні процеси, зокрема фільтрацію рідини в неоднорідному пористому середовищі, міграцію хімічних речовин з урахуванням структури середовища, не вдається адекватно моделювати за допомогою відомих рівнянь математичної фізики другого порядку, що приводить до розгляду нових моделей (псевдо-параболічних, псевдогіперболічних та ін.), питання розв'язності та оптимізації яких розроблені значно менше у порівнянні з класичними рівняннями другого порядку. Дослідження цих моделей з даними з класів узагальнених функцій важливе для створення систем моніторингу та прогнозування розповсюдження забруднень в пористих середовищах. Для псевдопараболічних та псевдогіперболічних рівнянь не досліджувався важливий випадок граничних задач третього роду та граничних задач зі змішаними умовами. Крім того, для псевдогіперболічних рівнянь та рівнянь С.Л. Соболєва раніше не вивчалось питання регулярності сліду узагальненого розв'язку у випадку "сильної сингулярності" правої частини, важливе для задач фінальної керованості та оптимального керування.

Все це визначає актуальність подальшого розвитку методів узагальненої оптимізації лінійних систем з розподіленими параметрами та дослідження граничних задач указаних типів для теорії оптимального керування та математичного моделювання процесів в суцільних середовищах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідних тем: "Моделювання та оптимізація інформаційних систем" ТЗ НДР № 01БФ015-06, "Неопукла оптимізація некласичних систем із сингулярним керуванням" ТЗ НДР № 01ДФ01502.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження задач узагальненого оптимального керування та керованості певних некласичних лінійних розподілених систем, а також побудова конструктивних методів знаходження оптимальних керувань.

Поставлена мета зумовлює наступні основні задачі: ¦ довести існування та єдиність узагальнених розв'язків граничних задач для псевдопараболічних, псевдогіперболічних рівнянь та рівняння С.Л. Соболєва з правими частинами з просторів узагальнених функцій скінченного порядку; ¦ знайти умови керованості систем для різних класів узагальнених впливів та дослідити існування оптимального керування коефіцієнтами та правими частинами; ¦ відшукати градієнт функціоналу якості та дослідити його гладкість для широкого класу задач сингулярної оптимізації; ¦ для розв'язування граничних задач з негативними правими частинами запропонувати та дослідити аналоги методу Гальоркіна; ¦ розробити та обгрунтувати чисельні методи знаходження оптимальних сингулярних керувань. псевдопараболічний рівняння функціонал сингулярний

Наукова новизна одержаних результатів. Всі основні результати дисертаційної роботи є новими. Для моделей, що описуються граничними задачами для псевдопараболічних, псевдогіперболічних рівнянь (умови Неймана, Ньютона) та рівняння С.Л. Соболєва (умова Діріхле) отримано нові типи апріорних оцінок з негативними нормами, що дало можливість, застосовуючи різні схеми, довести нові теореми узагальненої розв'язності. Знайдено нові умови керованості псевдо-параболічних, псевдогіперболічних систем в різних класах узагальнених впливів та досліджено існування оптимального керування коефіцієнтами та правими частинами. Вперше досліджено питання гладкості критерію якості в загальній ситуації, що дає можливість застосовувати чисельні методи градієнтного типу для широкого класу систем та керуючих функцій. Автором запропоновано та досліджено загальну процедуру параметризації керування. Вивчено питання збіжності та стійкості запропонованих ітераційних методів градієнтного типу.

Практичне значення одержаних результатів. Обгрунтовано можливість застосування чисельних методів розв'язування задач узагальненої оптимізації та моделювання для широкого класу лінійних систем з розподіленими параметрами. Отримані результати можуть бути використані при проектуванні систем керування фільтрацією рідини в неоднорідному пористому середовищі, розповсюдженням збурень у в'язких середовищах тощо. Результати роботи знайшли відображення в спеціальних та нормативних курсах з проблем оптимального керування, які читаються на факультеті кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Наведені в дисертації результати отримані автором самостійно. У спільно виконаних роботах науковому керівнику професору С.І. Ляшку та академіку І.І. Ляшку належать постановка задач та участь в обговоренні результатів; аспіранту В.В. Бубнову - проведення розрахунків на ЕОМ.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися на: Міжнародній конференції "Моделювання та оптимізація складних систем" (25-28 січня 2001 р., м. Київ), Міжнародній конференції "Dinamical systems modelling and stability investigation" (22-25 травня 2001 р., м. Київ), Міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень - ХХХ" (21-27 вересня 2001 р., с. Кацивелі), II Міжнародному семінарі "Recent Advances in non-differentiable optimization" (1-4 жовтня 2001 р., м. Київ), конференції "Functional Methods in Approximation Theo-ry, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics" (19-22 жовтня 2001 р., м. Ки-їв), наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Інституту прикладного системного аналізу НАН України та Міносвіти.

Публікації. Основні положення дисертації висвітлено у 8 наукових роботах, з яких 5 надруковано в наукових виданнях, що затверджені ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел з 120 найменувань. Повний обсяг роботи становить 153 сторінки, з них - 140 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюється мета, відзначається наукова новизна дослідження.

У першому розділі досліджуються питання узагальненої розв'язності граничних задач для псевдопараболічних, псевдогіперболічних рівнянь та одного рівняння С.Л. Соболєва з узагальненими функціями у правих частинах. Для рівнянь перших двох типів розглядаються змішані граничні умови, зокрема аналоги умов Ньютона та Неймана. Дослідження проводяться в межах теорії оснащених гільбертових просторів, при цьому суттєво використовується апарат апріорних нерівностей з негативними нормами.

У багатьох моделях теорії переносу розглядають системи, функціонування яких описується лінійними рівняннями псевдопараболічного типу в циліндричній області шукана функція, обмежена область з регулярною межею ., диференціальні вирази з достатньо гладкими коефіцієнтами, які задовольняють умови де ., - додатні сталі.

Межа складається з трьох частин , та , які є кусками гладких поверхонь. Вважаємо, що оператор діє в просторі та має область визначення ., - множина функцій з , які задовольняють умови

де . (), , ., . - конормальні похідні, - -а компонента одиничного вектора зовнішньої нормалі до поверхні в точці , - функція з класу , яка задовольняє умови: ..

Нехай - поповнення за нормам

, - аналогічні простори, утворені поповненням області визначення формально спряженого до оператора , , та , - відповідні негативні відносно простори.

Лема 1. Для всіх функцій , справедливі нерівності ()

Праві частин нерівностей леми 1 дозволяють розширити за неперервністю лінійний оператор () до лінійного, неперервно діючого з усього простору () у простір (). Для розширень збережемо попередні позначення.

Доведено теореми існування та єдиності узагальненого розв'язку граничної задачі (1), (4).

Означення 1. Узагальненим розв'язком з простору задачі (1), (4) з правою частиною називаємо таку функцію, що в .

Означення 2. Узагальненим розв'язком з простору задачі (1), (4) з правою частиною називаємо таку функцію , що рівність виконується для довільних : , де- білінійні форми, побудовані розширенням на та відповідно.

Теорема 1. Для довільної функції ) існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1), (4) з простору Теорема 2. Нехай - узагальнений розв'язок граничної задачі (1), (4) у сенсі означення 2 . Тоді - розв'язок задачі (1), (4) у сенсі означення 1.

Теорема 3. Нехай - узагальнений розв'язок граничної задачі (1), (4) з простору - має класичну гладкість. Тоді - розв'язок у класичному розумінні.

Аналогічні результати справедливі для спряженої граничної задачі.

У підрозділі 1.3 "Системи псевдогіперболічного типу" будується теорія узагальненої розв'язності псевдогіперболічних задач. Розглянуто лінійне рівняння в циліндричній області . Диференціальні вирази та мають вигляд (2), їх коефіцієнти достатньо гладкі та задовольняють умови типу диференціальних нерівностей (подібних до (3)), необхідних для виводу відповідних апріорних оцінок. Тут - множина функцій з , що задовольняють граничні умови

, - позитивні простори - поповнення множин, (область визначення формально спряженого оператора ) за нормою ., , - відповідні негативні відносно простори. Введено пару гільбертових просторів , як поповнення , за наступними нормами

Описано стуктуру просторів Наприклад, ізометрично ізоморфний , отже, простір складається з елементів простору для яких відомо значення . - поповнення множини за нормою .. Мають місце щільні алгебраїчні та топологічні вкладення ,.

Зауваження. Для вкладення відсутні.

У пункті 1.3.2 для операторів , отримано апріорні нерівності

У пункті 1.3.3 доведено теореми існування та єдиності узагальнених розв'язків граничної задачі (5), (6) у сенсі різних означень, досліджено зв'язок між ними та з класичним розв'язком.

Нехай - негативний простір, побудований по та позитивним простором - замиканням в нормі Теорема 4. Для довільної функції існує єдина функція.

Розв'язок відповідного операторного рівняння називатимемо узагальненими розв'язком задачі (5), (6) з простору . Для розв'язності задачі (5), (6) при довільних правих частинах з простору розширено клас узагальнених розв'язків.

Означення 3. Узагальненим розв'язком задачі (5), (6) з правою частиною називаємо функцію , для якої існує така послідовність функцій , ., що ., ..

Теорема 5. Для довільної функції існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (5), (6) у сенсі означення 3.

Означення 4. Узагальненим розв'язком задачі (5), (6) з правою частиною називаємо таку функцію .., що для всіх функцій , . має місце рівність ., де - білінійна форма, побудована розширенням за неперервністю скалярного добутку на .

Розглянемо на лінійній множині норму .. Нехай - простір, отриманий поповненням за нормою . Рівність дає можливість розширити за неперервністю оператор з множини на весь простір Розширення позначимо

Означення 5. Узагальненим розв'язком задачі (5), (6) з правою частиною називаємо таку функцію,, що виконується рівність

Задача конструктивного опису простору є складною. Хоча, неважко показати, що оператор .задає ізометричний ізоморфізм та Тому має місце

Теорема 6. Для довільної функції існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (5), (6) у сенсі означення 5.

Лема 2. Означення 3, 4 та 5 узагальненого розв'язку задачі (5), (6) еквівалентні.

Теорема 7. Нехай - узагальнений розв'язок задачі (5), (6) у сенсі означення 3. Тоді - розв'язок з простору

Теорема 8. Нехай - узагальнений розв'язок задачі (5), (6) з простору - має класичну гладкість. Тоді - розв'язок у класичному розумінні.

Аналогічні означення та твердження сформульовані та доведені для спряженої граничної задачі.

У підрозділі 1.4, методом апріорних нерівностей з негативними нормами досліджено першу початково-крайову задачу для рівняння типу С.Л. Соболєва з узагальненими правими частинами.

Нехай - обмежена однозв'язна область в з регулярною межею . Покладемо, як і раніше, - циліндрична область, - бічна поверхня циліндричної області, де - фіксоване скінченне число. Для задачі

де - рівномірно еліптичні диференціальні вирази з гладкими коефіцієнтами, при досить широких припущеннях щодо правої частини доведено існування та єдиність узагальненого розв'язку з простору - поповнення природної області визначення оператора за нормою ..

Другий розділ присвячений дослідженню питання керованості для розподілених систем псевдопараболічного, псевдогіперболічного типів з імпульсним, точковим та імпульсно-точковим керуваннями.

У підрозділі 2.1 розглянуто систему, функція стану якої є розв'язком задачі (1), (4) (всі позначення відповідають введеним в 1.2) з правою частиною що залежить від керування з деякої допустимої множини яка належить простору . Розв'язок задачі (1), (4), що відповідає керуванню позначимо Означення 6. Система (1), (4) точно керована (асимптотично керована) в бана-ховому просторі множиною допустимих керуючих впливів,, якщо множина . покриває (щільна в ), тобто . в (. З результатів підрозділу 1.2 безпосередньо випливає: якщо , то система (1), (4) точно керована в . Умова є жорсткою та, як правило, не виконується для правих частин, що зустрічаються в задачах сингулярного керування. Послабивши вимоги на праву частину, яка задає вплив, приходимо до твердження: якщо щільна в , то система (1), (4) асимптотично керована в . Далі розглянуто питання про імпульсну керованість системи (1), (4). Нехай

де . - фінітна послідовність елементів . (тобто, починаючи з деякого всі елементи дорівнюють нулю). - множина всіх таких фінітних послідовностей.

Теорема 9. Нехай керуюче відображення має вигляд (10). Тоді система (1), (4) асимптотично керована в множиною

Розглянуто також випадок просторово зосередженого керування.

Зауваження. Аналогічні результати справедливі для усіх розподілених систем, що задовольняють подібним апріорним нерівностям з негативними нормами.

У підрозділі 2.2 наведено результати по задачі фінальної або траєкторно-фінальної керованості (за скінченний час) у випадку узагальнених керуючих впливів. Сингулярність правої частини робить розгляд питання доволі важким для багатьох систем математичної фізики, оскільки невідомо, що розуміти під . Один з шляхів подолання цієї проблеми вказано в роботах Ж.-Л. Ліонса, але при цьому приходимо до розгляду складних некласичних функціональних просторів та звуження множини керувань. Для псевдогіперболічних систем отримано результати по траєкторно-фінальній керованості за скінченний час, спираючись на теореми існування та єдиності розв'язків з підрозділу 1.3. Розглянуто імпульсні просторово зосереджені керуючі впливи:

де . - фінітна послідовність елементів декартового добутку .. - множина всіх таких фінітних послідовностей.

Теорема 10. Нехай стан системи є розв'язком задачі (5), (6) та керуюче відображення має описаний вигляд. Тоді система асимптотично керована в просторі множиною , тобто пробігає щільну підмножину в

Зауваження. Подібні результати можна отримати для системи С.Л. Соболєва, вивченої в підрозділі 1.4. Можливе узагальнення на широкий клас операторів математичної фізики, що містять похідні

Нехай належить допустимій множині з банахового простору керувань , а - відображення, що діє з в На керуваннях та станах системи (5), (6) задано функціонал .. Задача оптимального керування полягає в знаходженні таких , що

Теорема 11. Нехай 1) . - слабко неперервне відображення; 2) . - напівнеперервний знизу в топології, породженій добутком слабких топологій просторів., та, функціонал; 3) - слабко компактна множина з банахового простору, тоді існує оптимальне керування системою (5), (6), причому множина оптимальних керувань слабко компактна в.

Зауваження. Зважаючи на нелінійність відображення та можливу неопуклість, функціонал якості може бути неопуклим навіть при квадратичних або лінійних , а оптимальне керування не єдиним.

У підрозділі 2.3 розглянуто інші постановки задач керованості у випадку зосереджених впливів для псевдопараболічних систем. Нехай стан системи є розв'язком граничної задачі

в ., . - обмежена область з регулярною межею, ., . Керуванням є .,. - моменти імпульсних впливів, . - задані "елементарні" інтенсивності.

Означення 7. Система імпульсно керована, якщо в щільна множина ., де ., ..

Означення 8. Система імпульсно керована в множині . за кроків, якщо в щільна множина ., де Отримано критерій імпульсної керованості системи (11).

Теорема 12. Система (11) керована у сенсі означення 7 тоді і тільки тоді, коли для довільного натурального виконується умова , де ., - власні функції еліптичного оператора, що відповідають власним значенням .

Система (11) не керована в за (скінченну кількість) кроків. Позначимо - лінійний підпростір простору, породжений власними функціями оператора . Нехай - наближений розв'язок (11), отриманий методом Гальоркіна з базисними функціями .

Означення 9. Система апроксимаційно імпульсно керована в за кроків, якщо ., де ..

Теорема 13. Система (11) апроксимаційно імпульсно керована за кроків в тоді і тільки тоді, коли для всіх виконується умова.

У пункті 2.3.2 досліджено псевдопараболічну систему з керуючими вплива-ми, що зосереджені в просторових підобластях. Стан системи є розв'язком задачі

де - індикатор підмножини ("зони") з додатньою лебеговою мірою, - задані "елементарні" інтенсивності. Керування системою здійснюєть-ся з допомогою вектор-функції .. Необхідно за рахунок керувань привести систему в бажаний стан до моменту часу .

Означення 10. Система (12) зонально керована, якщо в щільна множина

Теорема 14. Система (12) зонально керована в тоді і тільки тоді, коли для довільного натурального виконується умова, де

У роботі для псевдопараболічної системи доводиться розв'язність задачі оптимального керування коефіцієнтами та сингулярними правими частинами.

У третьому розділі доведено теорему загального характеру про коректність параметризації керування в задачах узагальненої оптимізації. Досліджено питання гладкості функціоналу якості загальної задачі сингулярної оптимізації. Розроблено та обгрунтовано чисельні методи оптимізації розглядуваних систем. Це дає можливість розв'язувати такі задачі моделювання, як ідентифікація невідомих параметрів, задачі спостереження та інші. Розглядається застосування отриманих результатів до конкретних задач сингулярної оптимізації (точкове, рухоме оптимальне керування).

Нехай - лінійний диференціальний оператор з частинними похідними, який діє в (. - регулярна циліндрична область) та має область визначення , що складається з гладких в функцій, які задовольняють однорідні граничні умови (гр). Формально спряжений оператор позначимо , а його область визначення - - множина гладких в функцій, які задовольняють однорідні спряжені граничні умови (гр⁺). На лінійних многовидах задано позитивні норми, породжені відповідними скалярними добутками, для яких виконуються співвідношення

Після поповнення .,отримаємо ланцюжки позитивних просторів: ., ., причому вкладення щільні та неперервні. Доповнимо ланцюжки негативними відносно просторами, побудованими за введеними позитивними: ., ..

Припустимо, що для операторів справедливі апріорні нерівності

Тоді оператор можна вважати неперервно діючим з усього простору та для довільного елемента існує єдина функція що . .: . - білінійні форми, побудовані розширенням за неперервністю скалярного добутку на та ; для довільного елемента існує єдина функція Аналогічні факти справедливі для рівняння з

Нехай стан системи визначається як розв'язок рівняння

у вказаному сенсі, де - відображення, що діє з рефлексивного банахового простору керувань в простір - обмежена, замкнена та опукла множина . На розв'язках (13) треба мінімізувати функціонал Існування оптимальних керувань забезпечують умови:

а) . - слабко напівнеперервний знизу функціонал;

б) . - слабко неперервне відображення,

які вважаємо виконаними.

Розглянемо загальні принципи, що дозволяють апроксимувати розв'язок задачі сингулярного оптимального керування розв'язком деякої скінченновимірної задачі. Дану методику будемо називати параметризацією керування. Припустимо, що . - сепарабельний рефлексивний банаховий простір. Тоді існує послідовність скінченновимірних підпросторів простору яка задовольняє умову граничної щільності. Далі, - послідовність замкнених, опуклих підмножин, що рівномірно по обмежені в нормі та апроксимують множину допустимих керувань у наступному сенсі:

Задачу оптимізації системи (13) заміняємо на наступну задачу:

Теорема 15. Якщо виконуються умови а), б), (14), (15) та 1) . - сильно напівнеперервний зверху функціонал; 2) . - сильно неперервне відображення, то для довільного . задача оптимального керування (16) має розв'язок ., причому .. З послідовності можна виділити таку підпослідовність, що слабко в, де - оптимальне керування системою (13).

Зауваження. Якщо сильно неперервний, то . Якщо оптимальне керування системою (13) єдине, то слабко в . Функціонали задовольняють умови теореми 15.

Метою підрозділу 3.2 є дослідження питання гладкості функціоналу якості для задачі узагальненої оптимізації загального вигляду. Розглянемо задачу оптимізації системи (13): .

Теорема 16. Якщо існує похідна Фреше відображення . в; існує похідна Фреше . функціоналу . в ., то функціонал якості . диференційовний за Фреше в . і похідна визначається виразом ., де . - розв'язок задачі ..

Теорема 17. Нехай . має похідну Фреше в околі точки, неперервну в; . має похідну Фреше в околі точки ., не-перервну в. Тоді похідна функціоналу якості неперервна в.

Теорема 18. Нехай відображення . має похідну Фреше, що задовольняє на обмеженій опуклій множині . умову Гельдера з показником .; функціонал . має похідну Фреше, що задовольняє на просторі . умову Гельдера з показником .. Тоді похідна . функціоналу якості задовольняє на множині . умову Гельдера з показником ..

Далі розглядається застосування теорем 16-18 для конкретних задач узагальненої оптимізації (точкове, рухоме керування).

Теореми підрозділу 3.2 дають можливість конструювати ітераційні методи знаходження оптимальних керувань. Для цього на кожному кроці слід розв'язувати пряму та спряжену граничні задачі, що неможливо в реальній ситуації зробити точно. Крім того, сингулярна права частина рівняння часто апроксимується кусково-постійними чи кусково-лінійними функціями з міркувань регуляризації при моделюванні на ЕОМ. Обчисленням на ЕОМ властиві наявність похибок заокруглення. Таким чином, є необхідність вивчати збіжність та стійкість методів в умовах збурень даних задачі. Оскільки збурення та похибки у нашому класі задач мають адитивний характер, то розглядається ситуація, коли збурена лише права частина рівняння стану та всі підзадачі розв'язуються з абсолютною точністю.

Розглянемо задачу оптимального керування системою ., ., де ., . - компактна в сильній топології та опукла множина допустимих керувань з гільбертового простору керувань . Припускається, що та задовольняють умовам підрозділів 3.1, 3.2. Розглянемо систему зі збуренням правої частини ., де . - однопараметрична сім'я диференційовних за Фреше відображень, яка апроксимує у деякому сенсі. Замість похідної . маємо оцінку ., де . - розв'язок задачі .. Оскільки простір - гільбертовий, а - лінійні обмежені функціонали на, то існують такі елементи, що, . відповідно. Будемо їх позначати. Структура методів, які вивчаються в підрозділі 3.3, наступна: будується послідовність керувань ., що задовольняє умові , а керування є розв'язком певної допоміжної екстремальної задачі. Точність обчислення похідної Фреше функціоналу якості визначається з умов ., ., де - нескінченно малі послідовності додатніх чисел. Розглянуто аналоги методів Розена та умовного градієнта.

Нехай послідовність керувань генерується наступною процедурою:

(i) Почнемо з. Покладемо .

(ii) Для всіх цілих невід'ємних обчислимо

де - номер ітерації, - початкове наближення, - оператор проектування на множину - кроковий множник, що обираємо з умови

Теорема 19. Нехай 1) - диференційовне за Фреше відображення, похідна якого задовольняє умову Гельдера з показником; 2 - диференційовний за Фреше функціонал, похідна якого задовольняє умову Гельдера з показником. Якщо функціонал приймає на множині . не більш ніж зліченну кількість значень, то всі граничні точки (які обов'язково існують) послідовності належать компактній зв'язній підмножині, а числова послідовність має границю.

У пункті 3.3.2 аналогічна теорема доведена для аналога методу умовного градієнта з усередненням, що генерує послідовність керувань в такий спосіб:

(i*) Почнемо з ., ., .. Покладемо ..

(ii*) Для всіх цілих невід'ємних обчислимо

де - множники, що обираємо з умов

Якщо відмовитись від умови не більш ніж зліченності різних значень функціоналу на множині, то можна довести менш сильне твердження.

Теорема 20. Якщо виконані умови 1), 2) теореми 19, то послідовність, породжена методом (i), (ii) (породжена методом (i*), (ii*)), має хоча б одну граничну точку, що належить множині.

У підрозділі 3.4 пропонуються аналоги методу Гальоркіна для чисельного розв'язування рівнянь стану вивчених псевдопараболічних та псевдогіперболічних систем з сингулярними керуючими функціями. Доведено теореми збіжності послідовності наближень до узагальнених розв'язків відповідних задач.

ВИСНОВКИ

В дисертації досліджено задачі узагальненого оптимального керування та керованості для лінійних розподілених систем, що моделюють фільтрацію рідини в неоднорідному пористому середовищі, описують розповсюдження збурень у в'язких середовищах, коливання пружно-в'язких тіл та інше. Побудовано та досліджено наближені методи знаходження оптимальних керувань.

Основні результати дисертації:

Вивчено моделі, що приводять до рівнянь псевдопараболічного, псевдо-гіперболічного типу та типу С.Л. Соболєва та поставлено граничні задачі для загальних рівнянь, що поглинають модельні рівняння.

Отримано різні типи апріорних оцінок з негативними нормами для псевдопа-раболічних, псевдогіперболічних моделей та систем типу С.Л. Соболєва; доведено теореми узагальненої розв'язності граничних задач та досліджено питання зв'язку узагальнених розв'язків між собою та з класичними.

Для псевдопараболічних моделей досліджено питання імпульсної, точкової керованості та існування оптимального керування через праву частину і коефіцієнти рівняння; для псевдогіперболічних моделей з імпульсно-точко-вим керуванням досліджено питання фінальної керованості.

Для псевдопараболічних моделей отримано критерії імпульсної та зональної керованості в та його скінченновимірних підпросторах.

Запропоновано та досліджено процедуру параметризації оптимізаційної зада-чі із загальними керуючою функцією та функціоналом.

Досліджено гладкість і знайдено явний вигляд градієнту функціоналу якості в задачі оптимізації із загальними керуючою функцією та функціоналом, що дає можливість застосовувати наближені методи градієнтного типу.

Досліджено питання збіжності та обчислювальної стійкості наближених методів оптимізації градієнтного типу.

Побудовано аналоги методу Гальоркіна для наближеного розв'язування псев-допараболічних та псевдогіперболічних граничних задач, доведено їх сильну збіжність.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

Семенов В.В., Бубнов В.В. Похідна критерія якості в задачах узагальненого оптимального керування лінійними розподіленими системами // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - №1 (84). - 1999. - С. 129-136.

Ляшко И.И., Ляшко С.И., Семенов В.В. Управление псевдогиперболическими системами с помощью сосредоточенных воздействий // Проблемы управления и информатики.- 2000.- №5.- С. 30-45.

Семенов В.В. Диференційовність критерію якості в задачах узагальненого оптимального керування розподіленими системами // Доповіді НАН України. - 2000. - №10. - С. 111-114.

Семенов В.В. Аналог методу Фаедо-Гальоркіна для псевдопараболічних рівнянь // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - вип. 4. -2000. - С. 293-303.

Ляшко С.И., Семенов В.В. Об управляемости линейных распределенных систем в классах обобщенных воздействий // Кибернетика и системный анализ. - 2001. - № 1. - С. 18-41.

Семенов В.В. Управляемость псевдопараболических систем в классах сосредоточенных воздействий // Збірка тез доповідей учасників II Національної науково-практичної конференції студентів, аспірантів та молодих вчених "Системний аналіз та інформаційні технології" (28-30 червня 2000 р. м. Київ). - К.: НТУУ "КПІ". - 2000. - С. 104-106.

Ляшко С.І., Семенов В.В. До питання оптимізації лінійних розподілених систем з сингулярним керуванням // Зб. наук. пр. "Комп'ютерна математика. Оптимізація обчислень". - НАН України, Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова. - Т.2. - Київ, 2001. - C. 228-238.

Семенов В.В. Про одну задачу С.Л. Соболєва // International Conference "Dinamical systems modelling and stability investigation". - Kyiv:2001. - С. 94.

Размещено на Allbest.ru

...