Коливання і дисипативний розігрів в’язкопружних тіл при полігармонічному деформуванні, викликаному рухом поверхневих навантажень
Термомеханічні моделі полігармонічних коливань і дисипативного розігріву просторових і тонкостінних елементів при русі по їх поверхнях періодичної системи навантажень. Дослідження термомеханічного стану просторових і тонкостінних в’язкопружних елементів.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 25.06.2014 |
| Размер файла | 117,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С.П.ТИМОШЕНКА
01.02.04 - Механіка твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Коливання і дисипативний розігрів в'язкопружних тіл при
полігармонічному деформуванні, викликаному рухом поверхневих навантажень
Ревенко Юрій Вікторович
в'язкопружний коливання навантаження
Київ - 2002
Дисертацією є рукопис
Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Карнаухов Василь Гаврилович,
Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка
НАН України, м. Київ, завідувач відділу термопружності.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Камінський Анатолій Олексійович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка
НАН України, м. Київ, завідувач відділу
механіки руйнування матеріалів;
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Вовкодав Наталія Іванівна,
Національний університет харчових технологій,
Міністерство освіти і науки України, м. Київ,
доцент кафедри інформатики.
Провідна установа: Київський національний університет
імені Тараса Шевченка, кафедра теоретичної і прикладної механіки, м. Київ.
Захист відбудеться " 4 " лютого 2003 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.
Автореферат розісланий " 26 " грудня 2002 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
доктор фізико-математичних наук Бабич І.Ю.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Рухоме поверхневе навантаження часто зустрічається в різних галузях сучасної техніки. Одним з найважливіших навантажень цього типу є навантаження, викликане коченням циліндра по жорсткій основі. Ця задача належить до класичних задач механіки контактної взаємодії і їй присвячено багато робіт. Незважаючи на давню історію, яка бере свій початок з роботи Герца, ця проблема продовжує привертати увагу вчених-механіків. Врахування дисипативних властивостей матеріалу циліндра, зокрема його в'язкопружних властивостей, приводить до нових якісних ефектів. Було виявлено, що навіть при відсутності тертя на границі контакту спостерігається несиметричний розподіл контактного тиску. Крім того, при врахуванні в'язкопружних властивостей матеріалу в зв'язку з циклічністю деформування виникає явище саморозігріву: температура в циліндрі суттєво підвищується завдяки гістерезисним втратам в матеріалі. При порушенні балансу між внутрішнім теплоутворенням і відтоком тепла в зовнішнє середовище може мати місце явище теплової нестійкості, коли відсутній стаціонарний температурний стан і температура дисипативного розігріву циліндра стрімко зростає у часі, що приводить до його руйнування (так зване теплове руйнування).
Важливими для практики є задачі про рух періодичної системи навантажень по поверхні тонкостінних елементів: стержнів, пластин та оболонок, а також рух по них осциляторів, на які діють періодичні за часом сили. Цим питанням присвячена велика кількість робіт вітчизняних і зарубіжних вчених. При врахуванні дисипативних властивостей матеріалів тонкостінних елементів в них також може мати місце суттєве підвищення температури дисипативного розігріву.
Проте в літературі відсутні роботи, в яких досліджувались би коливання і дисипативний розігрів просторових і тонкостінних тіл при русі по їх поверхнях періодичної системи навантажень.
Слід відмітити, що як процес кочення циліндра, так і рух періодичної системи навантажень по поверхні тіл викликає в них полігармонічне деформування. Це значно ускладнює постановку задач та їх розв'язок.
Тому задачі про полігармонічне деформування та дисипативний розігрів в'язкопружних тіл, викликані рухомим навантаженням, являються актуальними задачами механіки деформівного твердого тіла.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках планів наукових досліджень відділу термопружності Інституту механіки ім С.П. Тимошенка НАН України по темі “Розробка математичних моделей та методів розв'язування задач про нелінійні термомеханічні спряжені процеси в непружних структурно-неоднорідних тілах” (№ ДР 0100U002622) (1997-2000 р.р.).
Мета досліджень. Метою роботи є постановка нових задач про коливання і дисипативний розігрів в'язкопружних тіл при їх полігармонічному деформуванні, викликаному рухомим навантаженням; побудова аналітичних розв'язків плоских задач про напружено-деформований стан циліндра і шару при їх полігармонічному деформуванні; побудова аналітичних розв'язків для тонкостінних елементів конструкцій при русі по їх поверхнях періодичної системи навантажень; аналіз впливу основних факторів на механічний і тепловий стани вказаних тіл.
Об'єктом дослідження є термомеханіка спряжених полів у в'язкопружних тілах при циклічному деформуванні.
Предметом дослідження є термомеханічний стан в'язкопружних тіл при полігармонічному деформуванні, викликаному рухомим навантаженням.
Методи досліджень. При розробці моделей коливань і дисипативного розігріву в'язкопружних тіл використовується метод гіпотез, зокрема гіпотеза про лінійний зв'язок між напруженнями і деформаціями, гіпотеза про незначну зміну температури за період та гіпотези Кірхгофа-Лява, доповнені гіпотезою про поліноміальний розподіл температури по товщині при побудові термомеханічних моделей тонкостінних елементів. Якщо властивості матеріалу не залежать від температури, спряжена задача розпадається на дві окремі лінійні задачі - задачу механіки та задачу теплопровідності з відомим джерелом тепла, яке визначається дисипативною функцією. Для розв'язування кожної з цих задач використано класичні методи математичної фізики, зокрема метод Фур'є. При дослідженні теплової нестійкості нелінійні задачі теплопровідності розв'язуються чисельно-аналітичними методами.
Наукова новизна одержаних результатів. Дисертаційна робота пов'язана з розробкою моделей і методів дослідження термомеханічного стану в'язкопружних тіл при полігармонічному деформуванні, викликаному рухомим навантаженням.
В роботі
1) вперше розроблено термомеханічні моделі полігармонічних коливань і дисипативного розігріву просторових і тонкостінних елементів при русі по їх поверхнях періодичної системи навантажень,
2) з використанням вказаних моделей вперше розроблено чисельно-аналітичні методи дослідження термомеханічного стану просторових і тонкостінних в'язкопружних елементів,
3) на основі розроблених моделей і методів вперше розв'язані конкретні задачі про полігармонічні коливання і дисипативний розігрів циліндра, шару, стержня, прямокутної пластини, циліндричної панелі, замкнутої циліндричної оболонки та досліджено вплив основних факторів (швидкості руху навантаження, ширини області навантаження, геометричних параметрів тіл тощо) на термомеханічний стан в'язкопружних тіл.
Практичне значення одержаних результатів полягає в можливості застосування розроблених моделей і методів, конкретних результатів дослідження впливу взаємодії механічних і теплових полів в багатьох галузях сучасної техніки при проектуванні та експлуатації полімерних елементів конструкцій різного призначення. Частина результатів використана при виконанні робіт за вищезгаданою темою.
Обгрунтованість і достовірність отриманих у дисертаційній роботі результатів забезпечується коректною постановкою спряжених задач термов'язкопружності, застосуванням точних аналітичних методів для побудови розв'язків рівнянь механіки і теплопровідності та узгодженістю отриманих результатів з міркуваннями фізичного характеру.
Особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 8 наукових праць. Основні результати були отримані автором самостійно. У роботах, опублікованих у співавторстві, дисертант одержав основні співвідношення, що описують полігармонічні коливання і дисипативний розігрів просторових і тонкостінних в'язкопружних тіл, запропонував методику розв'язування задач, розв'язав конкретні задачі й провів їх аналіз. Співавтору належить допомога в постановці задач, участь в обговоренні результатів розрахунків та їх аналізі.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати досліджень за темою дисертації доповідались на міжнародних конференціях “Modelling and investigation of systems stability” (Київ, 1997 p.), “Dynamical systems modelling and stability investigation” (Київ, 1999 p.), “Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я” (Харків, 2002 р.).
Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на науковому семінарі “Сучасні проблеми механіки” при кафедрі теоретичної і прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2002 р.), на семінарі відділу термопружності Інституту механіки імені С.П. Тимошенка НАН України (2002 р.), на семінарі з напрямку “Механіка спряжених полів в елементах конструкцій” Інституту механіки імені С.П. Тимошенка НАН України (2002 р.).
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 8 наукових працях, в тому числі 4 - у фахових наукових виданнях.
Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 5 розділів, висновків та списку використаних джерел. Вона містить 151 сторінку машинописного тексту, в тому числі 31 рисунок і 1 таблицю. Бібліографія розташована на 8 сторінках і складається з 85 джерел.
Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові проф. Карнаухову Василю Гавриловичу за цінні поради і тісну співпрацю.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовується актуальність проведення дисертаційного дослідження, сформульовано мету роботи, встановлюється зв'язок із науковими програмами організації, де робота виконувалась; розкрито її наукову новизну, теоретичне і практичне значення.
У першому розділі "Огляд літератури і вибір напрямків досліджень" подано огляд літератури і обгрунтовано вибір напрямків досліджень. Наведено літературу з питань термомеханіки спряжених полів у просторових і тонкостінних елементах і висвітлено основні результати з цих питань. При дії на тіло стаціонарного рухомого навантаження, зокрема при дії навантаження, що рухається по поверхні тіла з постійною швидкістю, в ньому виникають стаціонарні коливання. Якщо матеріал є непружним, ці стаціонарні коливання викликають підвищення температури з-за гістерезисних втрат в матеріалі. Зокрема, підвищення температури буде мати місце при коченні циліндра по жорсткій основі. В основу моделювання покладено лінійну теорію термов'язкопружності. В рамках цієї теорії для незалежних від температури властивостей матеріалу задача термов'язкопружності розпадається на дві лінійні задачі. Приведено додаткові гіпотези, які значно спрощують постановку задач термов'язкопружності.
Особливу увагу було приділено огляду літератури з питань контактних задач. Розглянуто випадок, коли
b=((1-2n1)/ G1 - (1-2n2)/ G2)/(2)=0, (1)
де =(1-n1)/(pG1) + (1-n2)/(pG2); ni, Gi (i=1,2) - відповідно коефіцієнт Пуасона та модуль зсуву і-го контактуючого тіла. Приведені розв'язки задач про кочення пружного і в'язкопружного циліндра. В останньому випадку приймалась модель лінійного стандартного тіла, для якої рівняння стану має вигляд:
.
Наведені характерні особливості розв'язку задачі про кочення в'язкопружного циліндра в залежності від величин k=a/(V) і x=(V-R)/V (a - напівширина області контакту, V - швидкість кочення циліндра, - кутова швидкість циліндра , - час ретардації в'язкопружного матеріалу). При в'язкопружний матеріал веде себе, як пружний з модулем зсуву , а при - як пружний з модулем зсуву . При несиметричність розподілу контактного тиску в області контакту найбільш виражена. Шляхом аналізу робіт в галузі термомеханіки спряжених полів встановлено, що в літературі відсутні роботи, в яких би розглядались задачі про полігармонічне деформування, викликане рухомим навантаженням.
В другому розділі “Основні співвідношення термов'язкопружності при полігармонічному деформуванні, викликаному рухом періодичної системи навантажень” приведено постановку спряжених задач лінійної термов'язкопружності при полігармонічному деформуванні.
В першому підрозділі дано постановку задач спряженої термов'язкопружності для лінійних в'язкопружних тіл. Розглянуто полігармонічне деформування:
.(2)
Для кожної гармоніки наведено комплексні амплітудні рівняння стану; рівняння руху; кінематичні та силові граничні умови; дисипативна функція ; кінематичні співвідношення.
Температура дисипативного розігріву розраховується з осередненого за цикл рівняння енергії (3)
з початковою і граничною тепловими умовами:
(t=0), ,(4)
де - коефіцієнт теплообміну з зовнішнім середовищем, а Тс - температура зовнішнього середовища.
В другому підрозділі розглянуто навантаження, що моделюється рухом з постійною швидкістю V періодичної системи навантажень з просторовим періодом L уздовж координатної лінії, що відповідає координаті х: , де x =x-Vt, розклад якого у ряд Фур'є має вигляд:
, (5)
де
.(6)
При дії навантаження (5) поле деформацій має вигляд (2).
В третьому підрозділі приведено постановку задачі термов'язкопружності для ортотропної шаруватої оболонки при полігармонічному навантаженні. Для моделювання механічного стану такої оболонки використано гіпотези Кірхгофа-Лява для всього пакету шарів. Для кожної гармоніки наведено комплексні кінематичні співвідношення; рівняння руху; лінійні рівняння стану; граничні і початкові умови на контурі = const.
Вважаючи товщину оболонки малою в порівнянні з її розмірами в інших напрямках, прийнято, що стаціонарна температура постійна по товщині оболонки () і визначається з рівняння
= 0,(7)
де D дорівнює сумі дисипативних функцій для кожної гармоніки,
, , ,
3, 4 - коефіцієнти теплообміну на поверхнях = h/2 з зовнішнім середовищем з температурами 3, 4; - коефіцієнт теплопровідності. В (7) нехтуємо впливом кривини на температуру.
В першому підрозділі третього розділу “Плоскі задачі про квазістатичні коливання і дисипативний розігрів в'язкопружних тіл, що знаходяться під дією рухомого навантаження” дано постановку задач для плоскої деформації лінійних вязкопружних тіл у декартовій системі координат. Співвідношення Коші мають вигляд:
11 = u1,1; 22 = u2,2; 12 = (u1,2 + u2,1); 31 = 32 = 33 = 0.
Для ізотропного тіла комплексні рівняння стану по формі співпадають з рівняннями стану для пружного матеріалу:
11 = + 211 , 22 = + 222 , 12 = 212 , (8)
де
,, (k, l = 1, 2), =(n)= + і , =(n)= + і .
Комплексні рівняння руху та силові граничні умови запишуться у формі:
11,1 + 12,2 + F1 + (n)2u1 = 0 (1 2);
11n1 + 12n2 = q1, 21n1 + 22n2 = q2 .(9)
Для ізотропного матеріалу усереднене за цикл рівняння енергії має вигляд
,(10)
де дисипативна функція D розраховується через напруження за формулою
.(11)
Початкові і граничні умови для задачі теплопровідності мають вигляд (4).
Якщо властивості матеріалу не залежать від температури, спряжена задача термов'язкопружності розпадається на лінійну задачу механіки для вязкопружного тіла та лінійну задачу теплопровідності з відомим джерелом тепла, яке визначається дисипативною функцією (11), що розраховується з розвязку задачі механіки.
В другому підрозділі конкретизовано постановку і приведено розв'язок плоскої задачі в полярній системі координат (r,) для циліндра, внутрішня границя якого r=r1 зєднана з абсолютно жорсткою віссю, а зовнішня r=r2 зазнає на собі дію рухомого навантаження. Тут через позначено полярний кут у рухомій системі координат, що рухається разом з навантаженням, обертаючись навколо осі z з постійною кутовою швидкістю . Відповідно через позначимо полярний кут у нерухомій системі координат. Вважається, що навантаження розкладається у ряд Фурє по змінній = - t, тобто має вигляд (5), (6), де L=2r2, Оскільки навантаження полігармонічне, а поле деформацій має вигляд (2), такий же вигляд буде мати і поле напружень. При цьому
(12)
Враховуючи перетворення, що були зроблені в (5), (6), приходимо до висновку, що достатньо знайти коефіцієнти Фур'є у (12) і потім підставити їх у вираз для дисипативної функції (11).
Задачі механіки розв'язувались методом Фур'є. Рівняння рівноваги були записані у вигляді
де
= [ (rur),r + u,]/r, = [ (r u),r - ur,]/r ;
( - коефіцієнт Пуасона, який вважався дійсним). Отримано вирази для дійсної та уявної частин напружень. З них при одержано аналогічні вирази для суцільного циліндра.
В третьому підрозділі розв'язано задачі механіки з врахуванням прикладених до осі циліндра сили F та моменту M, причому сила діє у площині поперечного перерізу циліндра, а момент перпендикулярний до неї. Наведено співвідношення, які пов'язують силу та момент з коефіцієнтами Фур'є навантаження, і показано, що сингулярності мають місце у розв'язках задач механіки і теплопровідності для суцільного циліндра, коли F0.
В четвертому підрозділі конкретизовано постановку і приведено розв'язок плоскої задачі у декартовій системі координат (x,y) для шару, границя у=0 якого жорстко закріплена, а на границі y=h діє періодична система рухомих навантажень. Рухома система координат (x,y) зв'язана з нерухомою (x',y) таким чином: x=х'-Vt. Рухоме навантаження має просторовий період L по координаті х і тому може бути представлене у вигляді (5), (6).
Задачі для циліндра та для шару будемо називати відповідними, коли навантаження в цих задачах однакове (враховуючи, що ) і товщина шару дорівнює товщині циліндра (h=r2-r1). Тому L=2r2, .
Задача механіки для шару розв'язувалась методом Фур'є. При цьому рівняння рівноваги записано у вигляді:
де = ux,x + uy,y та = uy,x - ux,y. Одержано вирази для напружень.
В п'ятому підрозділі на основі розв'язків задач механіки для циліндру і для шару з нестисливого матеріалу за формулою (11) одержано співвідношення для дисипативної функції.
В шостому підрозділі побудовано аналітичний розв'язок задачі теплопровідності для циліндра. При r1®0 отримано розв'язок задачі для суцільного циліндра. Розв'язки задач механіки та теплопровідності для суцільного циліндра містять у собі сингулярні члени, які зникають у випадку самоврівноваженого навантаження на границі r= r2 (коли F=M=0).
У сьомому підрозділі побудовано аналітичний розв'язок задачі теплопровідності для шару.
У восьмому підрозділі отримано спрощені співвідношення при відсутності дотичних напружень на границі r= r2 циліндра і на границі y=h шару.
У дев'ятому підрозділі наведено 1) вираз для комплексної податливості, що враховує її залежність від частоти та від температури і відповідає типовому термореологічно простому в'язкопружному матеріалу; 2) аналогічний вираз для моделі стандартного лінійного тіла. Параметри моделі лінійного стандартного тіла одержано з експериментальних даних.
У десятому підрозділі розглянуто дві контактні задачі, для яких =0 (див. (1)):
1) кочення з постійною швидкістю нестисливого вязкопружного циліндра радіуса r2 по жорсткій основі (1 = 1/ 2, G2 = );
2) кочення з постійною швидкістю жорстких циліндрів радіуса r2, які знаходяться на відстані L = 2 r2 один від одного, по нестисливій вязкопружній основі (G1 = , 2 = 1/2).
Шляхом перетворень над інтегралами зі змінною верхньою границею отримано розв'язки цих контактних задач у вигляді рядів Фур'є.
Розрахунок температурного поля циліндра (шару) було проведено як з врахуванням зміни геометрії границі в області контакту, так і без нього. Показано, що таке уточнення не вносить істотних змін у розв'язок задачі теплопровідності.
В одинадцятому підрозділі розраховано криві температурного поля циліндра з нестисливого матеріалу (=0,5) при дії на нього вищевказаного контактного навантаження, а також самоврівноваженого навантаження, рівномірно розподіленого на інтервалах [-;] та [-;+] та несамоврівноваженого навантаження, рівномірно розподіленого на інтервалі [-;]. Розраховано також криві для відповідної задачі для шару. Показано, що зменшення товщини циліндра при постійному його зовнішньому радіусі та збільшення ширини області навантаження зі збереженням сумарної сили приводять до зменшення максимальної та середньої температур циліндра. Криві температурних полів циліндра (), де = (T-Tc) / Tc, = r / r2, при самоврівноваженому навантаженні для різних значень товщини циліндра (r1/r2=0; ј; Ѕ; ѕ - криві відповідно зверху вниз) при постійному зовнішньому радіусі r2 зображені на рис.1. Аналогічні криві для несамоврівноваженого навантаження, що рухається по поверхні циліндра з закріпленою віссю, зображено на рис.2 (r1/r2=0,01; 0,1; 0,25 - криві відповідно зверху вниз). Досліджено також вплив теплових граничних умов на температурне поле циліндра. На рис.3 зображено криві температурних полів циліндра для різних значень коефіцієнта теплообміну на внутрішній границі циліндра (1=0; 5; 10; 100 Вт/м2град - криві відповідно зверху вниз).
В контактних задачах кочення для циліндра та шару розраховані
напівширини області контакту, а також нормальні напруження p(x) в області контакту для різних значень швидкості кочення;
напівширини ділянки ковзання, а також дотичні напруження q(x) в області контакту для різних значень .
Побудовано криві температурних полів циліндра та шару у відповідних контактних задачах; криві залежностей максимальних значень температурних полів від товщини циліндра (r1/r2) та від швидкості кочення. Показано, що коефіцієнт ковзання майже не впливає на температуру циліндра (шару).
В четвертому розділі "Теплова нестійкість в'язкопружних циліндра та шару" розглянуто плоскі задачі 1) про рух самоврівноваженого періодичного навантаження по поверхнях порожнистого циліндра та шару; 2) про кочення (ці задачі описані в підрозділі 3.10).
В першому підрозділі показано, що стаціонарний розвўязок задачі теплопровідності в кожній з цих задач можна одержати лише в тому випадку, коли сумарна сила Р навантаження менша від свого критичного значення Р*. При цьому враховувалась залежність від температури комплексної податливості . Одержано значення Р* та досліджено закономірності впливу товщин циліндра та шару, ширини області навантаження на Р*. Проведено порівняння цих розв'язків з отриманими в попередньому розділі. У відповідних задачах для циліндра та шару, що мають малу відносну товщину ( r2 - r1 << r2 ), ця задача була розв'язана методом осереднення по товщині. Комплексна податливість бралась у вигляді, що враховує залежність властивостей матеріалу від температури. Для контактних задач використовувався розв'язок Герца, який, хоча і не враховує вўязкості матеріалу, може бути використаний у випадках швидкого і повільного кочення.
Ряд Фур'є функції розподілу нормальних напружень по Герцу має вигляд:
(13)
де an=2PJ1(n) / (Rn), - функція Беселя, - половина кута контакту.
У виразі для кута контакту використана дійсна складова комплексного модуля зсуву , тому що саме вона характеризує пружну енергію матеріалу. Розглядається досить швидке кочення, коли від швидкості руху не залежить.
Навантаження, що визначається із відповідної задачі механіки, слід підставити у дисипативну функцію, яка входить у відповідне рівняння теплопровідності. Останнє не може бути розв'язане аналітично із-за своєї нелінійності. Тому при його розв'язуванні використовується припущення про постійність температури по товщині циліндра (шару). Цей метод розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь (метод осереднення) полягає у наступному. Розглянемо для прикладу задачу теплопровідності для циліндра:
(14)
де = (T-Tc) / Tc , = r / r 2 , s = r 1 / r 2 , Р - сумарне навантаження , 1 = 1 r 2 / , 2 = 2 r 2 / .
Проінтегруємо рівняння теплопровідності по r від s до 1 і замість та підставимо відповідно до граничних умов g1q та -g2q. В результаті одержимо:
.(15)
Вираз (15) є нелінійним алгебраїчним рівнянням відносно q. Аналогічний вираз отримано і для шару. При розв'язуванні задач цим методом використано розв'язок контактної задачі (13), а також самоврівноважене навантаження
(16)
де Р - сумарне навантаження.
Критичне значення Р* параметра Р є першим максимальним значенням функції Р(q), заданої неявно рівнянням (15).
В другому підрозділі на прикладі задачі про циліндр розглянуто другий метод знаходження критичного значення параметра Р. Він може бути використаний лише у тих випадках, коли рівняння теплопровідності може бути приведене до вигляду
,(17)
де F(q) - таке нелінійне джерело, що функція u/F(u) обмежена при u і 0. Тоді для знаходження верхньої оцінки для критичного значення c* параметра можна використати такий підхід. Знаходимо мінімальне власне значення допоміжної лінійної задачі на власні значення, що відповідає задачі (14),
(18)
Тоді визначається за формулою .
Задача на власні значення (18) в загальному випадку залежності може бути розв'язана тільки чисельно. За допомогою методу Бубнова-Гальоркіна ця задача зводиться до задачі на власні значення лінійної алгебраїчної системи рівнянь з симетричною матрицею .
Така задача була розв'язана як для порожнистого, так і для суцільного циліндра у випадку, коли на границі задана температура. При цьому навантаження приймалось у вигляді (16). Тоді параметр , що входить у (17), має вигляд: .
В третьому підрозділі на основі наведених у цьому розділі співвідношень розв'язано конкретні задачі про теплову нестійкість і проведено аналіз отриманих при цьому чисельних результатів. Для цих задач досліджено вплив на Р* товщини циліндра при постійному радіусі та ширини області навантаження.
Були отримані ті самі висновки, що й у попередньому розділі. Зокрема показано, що у відповідних задачах для циліндра та шару криві P() прямують одна до одної при зменшенні товщини циліндра і постійному радіусі. Це підтверджує достовірність отриманих розв'язків.
При розв'язуванні задач про теплову нестійкість методом власних значень було розглянуто порожнистий циліндр, для якого r1/r2=0,01, і суцільний при тих самих вхідних даних. Наближені розв'язки у цих задачах знайдено з відносною похибкою, меншою 5 %. Відносна різниця між цими розв'язками не перевищує 5 %. Отже, можна стверджувати, що отримані результати - достовірні.
В п'ятому розділі “Аналітичні розв'язки задач про коливання і дисипативний розігрів тонкостінних елементів при русі по їх поверхнях нормальних навантажень” на основі поданої в розділі 2 постановки задачі про коливання і дисипативний розігрів тонкостінних елементів, що знаходяться під дією рухомих навантажень, одержано аналітичні розвўязки конкретних задач. Перша з таких задач - це задача про коливання і дисипативний розігрів нескінченно довгого стержня, по поверхні якого рухається з постійною швидкістю V періодична система нормальних навантажень. Стержень знаходиться на основі Вінклера. Друга задача - це задача про коливання і дисипативний розігрів нескінченно довгої пластини шириною b, по якій з постійною швидкістю V рухається періодична система нормальних навантажень. На торцях y=0,b пластина шарнірно закріплена. Третя задача - це аналогічна задача для нескінченно довгої циліндричної панелі з шарнірним закріпленням її торців. І остання задача - це задача про коливання і дисипативний розігрів нескінченно довгої замкнутої циліндричної оболонки, по поверхні якої по окружній координаті рухається з постійною швидкістю V нормальне навантаження. Всі задачі розвўязані в динамічній постановці. Особлива увага зосереджена на резонансному режимі коливань, коли дисипативний розігрів максимальний.
Для прикладу розглянемо задачу про пластину.
Рівняння руху пластини має вигляд
D+ rh = p(x - vt, y),(19)
де - операторна жорсткість на згин, h - товщина пластини.
На торцях мають місце граничні умови шарнірного закріплення:
w = 0, = 0 (y = 0,b).
Розкладемо навантаження в ряд Фурўє (тут і далі, де стоїть знак , сумування по m і n береться від 1 до Ґ):
p(x, y, t) = p0 + pmn sin(pny)cos(km(x - vt)) = p0+pmn sin(pny) exp(-i kmx+iwmt),
де km=2pm/L, pn=pn/b, m=2pmv/L.
Розв'язок рівняння (19) шукався у вигляді
w(x, y, t)= w0+sin(pny) exp(-i kmx+iwmt), де = + i.
Осереднена за цикл дисипативна функція для кожної з гармонік має вигляд
=+ cos(2pny),
де
=,,(20)
, = (wm), = (wm).
Розв'язок задачі теплопровідності
де , W=Wmn ; (y=0,b).
шукається у вигляді:
=+cos(2pny).(21)
При цьому
, (22)
Резонансна частота знаходилась з співвідношення
.
Температурне поле визначається з рівнянь (20) - (22).
Для стержня, пластини і циліндричної панелі були розраховані криві залежності температури від швидкості руху навантаження, у тому числі і в околі резонансних швидкостей. В останньому випадку при обчисленні температури на резонансі проведено порівняння точного розв'язку з тим, що був отриманий у моногармонічному наближенні. Виявилось, що відносна похибка обчислення за моногармонічним наближенням зменшується зі зменшенням тангенсу кута втрат. Це дає можливість використовувати методи, розроблені раніше для моногармонічних коливань. Для стержня показано, що моногармонічне наближення при обчисленні температури на резонансі можна використоввувати також і при невеликих значеннях коефіцієнта постілі.
ВИСНОВКИ
Досліджено коливання і дисипативний розігрів просторових і тонкостінних тіл при полігармонічному деформуванні, викликаному стаціонарним рухом періодичної системи навантажень по поверхнях цих тіл уздовж однієї з координатних ліній. У дисертації отримано наступні основні наукові і практичні результати:
Виконано загальну постановку задач про коливання і дисипативний розігрів в'язкопружних тіл при полігармонічному деформуванні, викликаному рухом поверхневих навантажень; цю постановку конкретизовано для плоских квазістатичних задач, зокрема для циліндра та шару.
На основі вказаної постановки в припущенні незалежності властивостей матеріалу від температури одержано аналітичні розв'язки задач про коливання і дисипативний розігрів циліндра та шару при полігармонічному деформуванні, викликаному рухом поверхневих навантажень різних типів, в тому числі для навантаження, викликаного коченням циліндра по жорсткій основі.
З використанням гіпотез Кірхгофа-Лява виконано постановку динамічних задач про коливання і дисипативний розігрів тонкостінних елементів при полігармонічному деформуванні, викликаному рухом поверхневих навантажень.
На основі поданої постановки в припущенні незалежності властивостей матеріалу від температури одержано аналітичні розв'язки задач про коливання і дисипативний розігрів стержня, пластини, циліндричної панелі, замкнутої циліндричної оболонки при полігармонічному деформуванні, викликаному рухом поверхневих навантажень.
У випадку залежних від температури властивостей матеріалу подано постановку задач про теплову нестійкість в'язкопружних тіл при полігармонічному деформуванні, викликаному рухом поверхневих навантажень; цю постановку конкретизовано для плоских квазістатичних задач, зокрема для циліндра та шару.
На основі поданої постановки в припущенні залежності від температури комплексної податливості одержано наближені розв'язки задач про знаходження критичного значення параметру навантаження для циліндра та шару.
На основі одержаних розв'язків досліджено вплив геометричних характеристик в'язкопружних тіл, умов навантаження, швидкості руху навантаження, теплових граничних умов на термомеханічний стан в'язкопружних тіл.
7.1. Встановлена відповідність між задачами для циліндра та шару, коли розв'язки цих задач прямують один до одного при зменшенні товщини циліндра. У відповідних задачах для циліндра та шару виявлено суттєвий вплив товщини циліндра (шару), ширини області навантаження, швидкості кочення (у задачах кочення) на температурні поля вказаних в'язкопружних тіл.
7.2. У задачах про теплову нестійкість циліндра та шару виявлено суттєвий вплив товщини, ширини області навантаження на критичне значення сумарної сили.
7.3. У динамічних задачах про коливання і дисипативний розігрів тонкостінних тіл показано, що товщина, радіус кривизни, швидкість руху навантаження, коефіцієнт постілі суттєво впливають на резонансну швидкість і температуру розігріву.
Показано, що у деяких випадках у квазістатичних задачах про циліндр та у динамічних задачах про стержень, пластину та панель при обчисленні максимальної температури можна використовувати моногармонічне наближення; це дає можливість використовувати розроблені раніше методи для моногармонічних коливань.
СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ
1.Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Диссипативный разогрев сплошного вязкоупругого цилиндра при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Прикл. механика. - 1998. - №6. - С. 39- 44.
2.Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Диссипативный разогрев полого вязкоупругого цилиндра при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Проблемы прочности. - 1999. - №2. - С. 67 - 71.
Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Тепловой взрыв в сплошном вязкоупругом цилиндре при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Доклады НАН Украины. - 1999. - №2. - С. 64 - 68.
Карнаухов В.Г., Пятецький В.О., Ревенко Ю.В. Коливання і дисипативный розігрів прямокутної пластини під дією рухомого навантаження // Вісник Київського ун-ту, серія: фіз.-мат. науки. - 2002. - №1. - С. 97-100.
Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Диссипативный разогрев вязкоупругого цилиндра при установившемся движении по его поверхности нормальной нагрузки // Тезисы докладов Междунар. конф. "Modelling and Investigation of systems stability. Mechanical Systems". - Kиев, 19-23 мая 1997 г. - С.67.
Карнаухов В.Г., Ревенко Ю.В. Стаціонарні коливання та дисипативний розігрів в'язкопружних тонкостінних елементів при дії на них рухомого навантаження // Вестник национального технического университета “ХПИ”. - Харьков. - 2002. - Вып. 9, т. 8. - С. 97-103.
Karnaukhov V.G., Revenko Y.V. Fixed oscillation and dissipative heating of viscoelastic thin-walled elements at an operation on them of a moving load // Анотації доповідей Міжнар. науково-практич. конф. “Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я” національного технічного університету “ХПІ”. - Харків, 16-17 травня 2002 р. - С. 49.
Ревенко Ю.В. Диссипативный разогрев вязкоупругого цилиндра при его свободном качении по жесткому основанию. // Тезисы докладов Междунар. конф. " Dynamical systems modelling and stability investigation. Mechanical Systems". - Kиев, 25-29 мая 1999 г. - С.64.
АНОТАЦІЯ
Ревенко Ю.В. Коливання і дисипативний розігрів в'язкопружних тіл при полігармонічному деформуванні, викликаному рухом поверхневих навантажень. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенко НАН України, Київ, 2002.
Дисертаційна робота присвячена розробці моделей і чисельно-аналітичних методів розв'язання задач про стаціонарні полігармонічні коливання і дисипативний розігрів в'язко-пружних тіл при дії на них рухомих поверхневих навантажень. У припущенні, що властивості матеріалу не залежать від температури, спряжена лінійна задача термов'язкопружності розпадається на дві окремі задачі - задачу механіки та задачу теплопровідності з відомим джерелом тепла, що визначається дисипативною функцією. В цьому випадку одержано аналітичні розв'язки плоских квазістатичних задач для циліндра та шару, а також динамічних задач для тонкостінних елементів (стержня, пластини, циліндричної панелі, замкнутої циліндричної оболонки). Особлива увага зосереджена на полігармонічному деформуванні, викликаному коченням циліндра по жорсткій основі. При врахуванні залежності властивостей матеріалу від температури розв'язані плоскі задачі про теплову нестійкість циліндра та шару.
Досліджено вплив геометричних характеристик тіл, ширини області навантаження, швидкості руху навантаження, теплових граничних умов тощо на термомеханічну поведінку вказаних в'язкопружних тіл.
Kлючові слова: в'язкопружність, полігармонічні коливання, дисипативний розігрів, рухоме поверхневе навантаження, теплова нестійкість.
АННОТАЦИЯ
Ревенко Ю.В. Колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих тел при полигармоническом деформировании, вызванном движением поверхностных нагрузок. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2002.
Диссертация посвящена разработке моделей, методов решения задач о стационарных колебаниях и диссипативном разогреве вязкоупругих тел при полигармоническом деформировании, вызванном движением нагрузок по их поверхностям, и исследованию влияния основных факторов (геометрических характеристик, условий нагружения, скорости движения нагрузок, тепловых граничных условий) на термомеханическое состояние указаных тел.
Дана общая постановка задач о колебаниях и диссипативном разогреве вязкоупругих тел при полигармоническом деформировании, вызванном движением поверхностных нагрузок. Эта постановка конкретизирована для плоских задач, в частности для цилиндра и слоя. Представлена аналогичная постановка задач для тонкостенных элементов, которая конкретизирована для стержня, пластины, цилиндрической панели и замкнутой цилиндрической оболочки. При постановке этих задач использовалась гипотеза о незначительном изменении температуры за цикл, гипотезы Кирхгофа-Лява, дополненные гипотезой о полиномиальном распределении температуры по толщине оболочки.
Когда свойства материала не зависят от температуры, связанная задача термовязкоупругости распадается на две отдельные линейные задачи - задачу механики и задачу теплопроводности с известным источником тепла, определяемым диссипативной функцией. При решении задачи механики в комплексных величинах коэффициент Пуассона считается постоянной действительной величиной. Плоские задачи о цилиндре и слое рассмотрены в квазистатической, а задачи о тонкостенных элементах (стержень, прямоугольная пластина, цилиндрическая панель, замкнутая цилиндрическая оболочка) - в динамической постановке. При этих предположениях получены аналитические решения задач о колебаниях и диссипативном разогреве указаных вязкоупругих тел при полигармоническом деформировании, вызванном движением поверхностных нагрузок.
На основании численных результатов в соответствующих задачах о цилиндре и слое исследовано влияние на температурные поля их геометрических характеристик, условий нагружения, скорости движения нагрузки, тепловых граничных условий. Особое внимание при этом уделено задачам качения. В последнем случае использовалось точное решение соответствующей контактной задачи.
В задачах для стержня, пластины, цилиндрической панели и замкнутой цилиндрической оболочки получены формулы для нахождения резонансных скоростей движения поверхностных нагрузок. На конкретных примерах нагрузок для указаных тел рассчитаны кривые зависимости температуры от скорости движения нагрузки и показано, что максимальная температура достигается на резонансных скоростях. Показано, что для пластины и панели при малых значениях тангенса угла потерь, а в задаче для стержня при небольших значениях коэфициента постели при вычислении температуры на резонансе может быть использовано моногармоничес-кое приближение. Это позволяет при вычислении температуры на резонансе использовать приближенные методы, разработанные для моногармонического процесса колебаний. Исследовано влияние геометрических характеристик рассматриваемых тел, а в задаче для стержня еще и коэффициента постели на их первые резонансные скорости и температуру виброразогрева.
Для случая, когда свойства материала зависят от температуры, дана постановка задачи о тепловой неустойчивости вязкоупругих цилиндра и слоя. Получены приближенные формулы для критического параметра нагружения, при превышении которого стационарная задача теплопроводности не имеет решения и температура со временем быстро нарастает. При этом были использованы два метода. Первый метод состоит в приведении нелинейной задачи теплопроводности путем осреднения по толщине цилиндра (слоя) к нелинейному алгебраическому уравнению для температуры. Второй метод сводится к решению соответствующей линейной задачи на собственные значения методом Бубнова-Галеркина. Определены границы применимости каждого из этих методов. На основе численных результатов, полученных с применением первого метода, исследовано влияние толщины цилиндра и условий нагружения на критическое значение суммарной силы. При этом особое внимание уделялось контактным задачам качения с использованием решения Герца.
Kлючевые слова: вязкоупругость, полигармонические колебания, диссипативный разогрев, движущаяся поверхностная нагрузка, тепловая неустойчивость.
ABSTRACT
Revenko Yu. V. Oscillations and Dissipative Heating of Viscoelastic Bodies under Polyharmonic Deformation caused by a Motion of Surface Loads. - Manuscript.
Dissertation presented for Degree of Candidate of Science in Physics and Mathematics on the speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids. - Institute of Mechanics named after S.P. Timoshenko, Ukrainian National Academy of Sciences, Kyiv, 2002.
The dissertation is devoted to the development of models and methods of solution of problems about stationary polyharmonic oscillations and dissipative heating of viscoelastic bodies caused by moving surface loads. The problems have been solved under assumption that the material characteristics doesn't depend on temperature when coupled linear problem of thermoviscoelasticity have been divided on two separated problems - the problem of mechanics about stress and strain state and the problem of thermo conductivity with the known heat source. The solutions of quasi-static problems for cylinder and layer as well as the solutions of dynamic problems for thin-walled elements (rod, plate, cylindrical panel, closed cylindrical shell) have been obtained. The plane problem about the determining of critical parameter of loading has been solved with taking into account dependence of material characteristics on temperature.
The influence of main factors, such as the body sizes, the width of loading area, the velocity of load motion on the thermomechanical behavior of the bodies has been investigated.
Key words: viscoelasticity, polyharmonic oscillations, dissipative heating, moving surface load, heat instability.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Аналіз підходу до вивчення коливань, заснованого на спільності рівнянь, що описують коливальні закономірності і дозволяють виявити глибокі зв'язки між різними явищами. Вільні одномірні коливання. Змушені коливання. Змушені коливання при наявності тертя.
курсовая работа [811,5 K], добавлен 22.11.2010Енергія гармонічних коливань та додавання взаємно перпендикулярних коливань. Диференціальне рівняння затухаючих механічних та електромагнітних поливань і його рішення, логарифмічний декремент затухання та добротність. Вимушені коливання та їх рівняння.
курс лекций [3,0 M], добавлен 24.01.2010Гармонічні коливання однакового напрямку і однакові частоти та биття. Циклічні частоти, значення амплітуди. Додавання взаємно перпендикулярних коливань та фігури Ліссажу. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань та його розв’язування.
реферат [581,6 K], добавлен 06.04.2009Методика складання диференціального рівняння вимушених коливань. Амплітуда та фаза вимушених коливань (механічних і електромагнітних). Сутність і умови створення резонансу напруг у електричному ланцюзі. Резонансні криві та параметричний резонанс.
реферат [415,2 K], добавлен 06.04.2009Коливання ребристих оболонок на пружній основі з використанням геометрично нелінійної теорії стержнів і оболонок типу Тимошенка. Взаємодія циліндричних та сферичних оболонок з ґрунтовим середовищем. Чисельні алгоритми розв'язування динамічних задач.
автореферат [103,4 K], добавлен 10.04.2009Характеристика споживачів електричної енергії. Вихідні дані і визначення категорії електропостачання. Розрахунок електричних навантажень підприємства і побудова графіків навантажень. Економічне обґрунтування вибраного варіанту трансформаторів.
курсовая работа [283,4 K], добавлен 17.02.2009Поняття гармонічних коливань, їх сутність та особливості, основні характеристики та відмінні риси, необхідність вивчення. Різновиди гармонічних коливань, їх характерні властивості. Гармонічний осцилятор як диференційна система, різновиди, призначення.
реферат [529,1 K], добавлен 06.04.2009Характеристика об'єкта електропостачання, електричних навантажень, технологічного процесу. Класифікація будинку по вибуховій безпеці, пожежній електробезпечності. Розрахунок електричних навантажень, вибір трансформаторів, розподільних пристроїв.
курсовая работа [97,8 K], добавлен 28.11.2010Розгляд історії фізики та вклад видатних вчених в її розвиток. Ознайомлення з термодинамікою випромінювання, класичною електронною теорією, явищем фотоефекту, відкриттям періодичної системи хімічних елементів, теорією відносності, радіоактивністю.
разработка урока [52,8 K], добавлен 22.04.2011Вибір напівпровідникового перетворювача, розрахунок параметрів силового каналу вантажопідйомного візка. Вибір електричного двигуна та трансформатора. Розрахунок статичних потужностей механізму, керованого перетворювача, параметрів механічної передачі.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 01.03.2013Розрахунок електричних навантажень. Визначення потужності та кількості трансформаторів знижувальних підстанцій. Перевірка електричної мережі на коливання напруги під час пуску електродвигунів. Вибір плавких запобіжників, автоматів та перерізу проводів.
методичка [456,9 K], добавлен 10.11.2008Огляд схем сонячного гарячого водопостачання та їх елементів. Розрахунок основних кліматичних характеристик, елементів геліосистеми та кількості сонячних колекторів, теплового акумулятора, розширювального бачка, відцентрового насоса, теплообмінників.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.01.2012Огляд сучасного стану енергетики України. Розробка системи електропостачання підприємства. Розрахунок графіків електричних навантажень цехів. Вибір компенсуючих пристроїв, трансформаторів. Розрахунок струмів короткого замикання. Вибір живлячих мереж.
курсовая работа [470,0 K], добавлен 14.11.2014Закони електромагнітної індукції. Демонстрування явища електромагнітної індукції та самоіндукції. Роль магнітних полів у явищах , що виникають на Сонці та у космосі. Електромагнітні коливання. 3.2 Умови виникнення коливань. Формула гармонічних коливань.
учебное пособие [49,2 K], добавлен 21.02.2009Опис технологічного процесу проектування системи електропостачання машинобудівного заводу. Визначення розрахункових електричних навантажень. Вибір системи живлення електропостачання та схем розподільних пристроїв вищої напруги з урахуванням надійності.
дипломная работа [446,9 K], добавлен 21.02.2011Поняття простору й часу у механістичній картині миру, принцип відносності в класичній механіці. Принципи спеціальної теорії відносності та її роль у науці. Умови перетворення просторових координат і часу при переході від однієї системи відліку до іншої.
реферат [21,1 K], добавлен 02.03.2010Монтаж відкритих електропроводок у трубах. Розмітка трас електричних мереж. Монтаж сталевих труб. Способи з'єднування відкрито прокладуваних тонкостінних сталевих труб. Вигляд освітлювальної електропроводки, виконаної тонкостінними сталевими трубами.
реферат [1,9 M], добавлен 28.08.2010Використання фізичного маятника з нерухомою віссю обертання античними будівельниками. Принцип дії фізичного маятника. Пошук обертаючого моменту. Період коливань фізичного маятника та їх гармонійність. Диференціальне рівняння руху фізичного маятника.
реферат [81,9 K], добавлен 29.04.2010Аналіз задачі автоматизованого управління електропостачанням на підприємстві. САПР в системах електропостачання. Програма вибору потужності трансформатора. Комплекс технічних засобів автоматизованих систем управління. Контроль стану елементів мережі.
реферат [86,8 K], добавлен 31.07.2011Математичний маятник та матеріальна точка. Перевірка справедливості формули періоду коливань математичного маятника для різних довжин маятника і різних кутів відхилення від положення рівноваги. Механічні гармонічні коливання та умови їх виникнення.
лабораторная работа [89,0 K], добавлен 20.09.2008
