Основні задачі теорії пружності для півплощини з отворами і тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ І ОСВІТИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ПІВПЛОЩИНИ З ОТВОРАМИ ТА ТРІЩИНАМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

ВАКУЛЕНКО СЕРГІЙ ВІКТОРОВИЧ

Донецьк - 2002

Дисертація є рукопис.

Робота виконана у Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Калоєров Стефан Олексійович, Донецький національний університет

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор Приварников Аркадій Костянтинович, Запорізький державний університет, завідувач кафедри алгебри і геометрії

доктор фізико-математичних наук, професор Хома Іван Юрійович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, ведучий науковий співробітник відділу реології

Провідна установа - Львівський національний університет ім. Івана Франка, кафедра механіки та інформаційних систем, м. Львів

Захист відбудеться 17.10.2002 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої ради К 11.051.05.

Автореферат розісланий 16.09.2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

АНОТАЦІЇ

Вакуленко С.В.: Основні задачі теорії пружності для півплощини з отворами і тріщинами.- Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2002.

На основі отриманого в роботі методом інтегралів типу Коші замкнутого розв'язку задачі для пластинки з еліптичним отвором, знайдені нові уточнені вирази комплексних потенціалів для пластинки з отворами, включеннями і тріщинами, що містять у випадку тріщин виділені особливості функцій. З використанням цих виразів комплексних потенціалів і методу інтегралів типу Коші по нескінченній прямій отримані маючи сингулярності у випадку наявності тріщин загальні вирази комплексних потенціалів для багатозв'язної півплощини, що точно задовольняють умовам на завантаженій або жорстко підкріпленій границі півплощини. Вперше розроблений ефективний метод розв'язання змішаної задачі теорії пружності про дію жорстко зчеплених із границею багатозв'язної півплощини штампів, що заснований на використанні аналітичного продовження через незавантажені ділянки прямолінійної границі і зведенні граничних умов на іншій частині до задач Рімана-Гільберта (лінійного спряження) для розрізів у багатозв'язній розширеній площини. Розв'язанням цих задач отримані загальні вирази комплексних потенціалів, які точно задовольняють граничним умовам на прямолінійній границі, що містять виділені сингулярності в кінцях тріщин і основ штампів. Розв'язано ряд нових задач для багатозв'язної півплощини з отворами, включеннями і тріщинами. Це, у першу чергу, відноситься до півплощини з тріщинами і криволінійними отворами. Вперше проведені чисельні дослідження НДС у випадку змішаної задачі для півплощини з отворами, а також з отворами і тріщинами. Досліджено зміну НДС в залежності від геометричних розмірів і кількості отворів і тріщин, а також способів навантаження й підкріплення прямолінійної границі і контурів отворів та дії штампів, виявлено ряд нових механічних закономірностей.

Ключові слова: аналітичне продовження функції, включення, ізотропне тіло, задача лінійного спряження, комплексні потенціали, конформне відображення, концентрація напружень, коефіцієнти інтенсивності напружень, крайова тріщина, метод найменших квадратів, механіка руйнування, напружено-деформований стан, багатозв'язне тіло, отвір, пластинка, півплощина, щільність потенційної енергії, змішана задача, тріщина, штамп.

Вакуленко С.В.: Основные задачи теории упругости для полуплоскости с отверстиями и трещинами.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2002.

Рассматриваемая в диссертации проблема выявления влияния геометрических характеристик пластинки и полуплоскости с отверстиями, включениями и трещинами на их напряженно-деформированное состояние является актуальной фундаментальной и практической задачей механики деформированного твердого тела.

В диссертационной работе получили дальнейшее развитие методы решения краевых задач теории упругости изотропного тела и их приложения к проблеме изучения напряженно-деформированного состояния многосвязной пластинки и полуплоскости с отверстиями, включениями и трещинами.

На основе полученного в работе методом интегралов типа Коши замкнутого решения задачи для пластинки с эллиптическим отверстием, найдены новые уточненные представления комплексных потенциалов для пластинки с отверстиями, включениями и трещинами, содержащие в случае трещин выделенные особенности функций. С использованием этих представлений комплексных потенциалов и метода интегралов типа Коши по бесконечной прямой получены содержащие сингулярности в случае наличия трещин общие представления комплексных потенциалов для многосвязной полуплоскости, точно удовлетворяющие условиям на загруженной или жестко подкрепленной границе полуплоскости. Впервые разработан эффективный метод решения смешанной задачи теории упругости о действии жестко сцепленных с границей многосвязной полуплоскости штампов, который основан на использовании аналитического продолжения через незагруженные участки прямолинейной границы и сведении граничных условий на остальной части к задачам Римана-Гильберта (линейного сопряжения) для разрезов в многосвязной расширенной плоскости. Решением этих задач получены общие представления комплексных потенциалов, точно удовлетворяющие граничным условиям на прямолинейной границе, содержащие выделенные сингулярности в концах трещин и оснований штампов.

Решен ряд новых задач для многосвязной полуплоскости с отверстиями, включениями и трещинами. Это, в первую очередь, относится к полуплоскости с трещинами и криволинейными отверстиями. Впервые проведены численные исследования НДС в случае смешанной задачи для полуплоскости с отверстиями, а также с отверстиями и трещинами. Исследовано изменение НДС в зависимости от геометрических размеров и количества отверстий и трещин, а также способов загружения и подкрепления прямолинейной границы и контуров отверстий и действия штампов, выявлен ряд новых механических закономерностей.

Установлено, что увеличение количества отверстий и трещин ведет к росту концентрации напряжений, плотности потенциальной энергии и КИН, за исключением, быть может, случаев, когда трещины располагаются вдоль границы растягиваемой полуплоскости. В последнем случае увеличение количества отверстий или трещин вдоль границы полуплоскости приводит к уменьшению напряжений и КИН.

При сближении отверстий и трещин с границей полуплоскости и друг с другом происходит значительное увеличение концентрации напряжений и упругого потенциала вблизи прямолинейной границы, около контуров отверстий и в зонах между границами, при этом значения КИН также существенно увеличиваются.

Подкрепление контуров отверстий приводит к уменьшению концентрации напряжений, упругого потенциала и КИН. Еще к более существенному уменьшению значений этих величин приводит жесткое подкрепление прямолинейной границы полуплоскости. При этом сближении отверстий и трещин с подкрепленной границей полуплоскости не приводит к значительным изменениям распределения напряжений около концентраторов напряжений, а значения КИН даже уменьшаются.

Выход трещин на контуры отверстий или границу полуплоскости приводит к значительному снижению концентрации напряжений и упругого потенциала в зоне, близкой к точке выхода трещины на контур с одновременным ростом концентрации напряжений вдали от этой зоны, а также значений КИН.

В случае действия на границе полуплоскости штампов сближение отверстий с прямолинейной границей приводит к снижению концентрация напряжений около отверстия и в точках перемычки. При этом около углов основания штампа происходит их резкое возрастание. Жесткое подкрепление контуров отверстий приводит к существенному уменьшению концентрации напряжений и изменению закономерностей их распределений и изменений.

Результаты, представленных в диссертационной работе исследований имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенная методика может использоваться для решения разнообразных инженерных задач.

Ключевые слова: аналитическое продолжение функции, включение, изотропное тело, задача линейного сопряжения, комплексные потенциалы, конформное отображение, концентрация напряжений, коэффициенты интенсивности напряжений, краевая трещина, метод наименьших квадратов, механика разрушения, напряженно-деформированное состояние, многосвязное тело, отверстие, пластинка, полуплоскость, плотность потенциальной энергии, смешанная задача, трещина, штамп.

Vakulenko S.V.: The basic problems of the theory of an elasticity for a half-plane with holes and cracks.- The manuscript.

The thesis for the Candidate of physical and mathematical sciences degree on specialty 01.02.04 - mechanics of a deformable solid body, Donetsk National University, Donetsk, 2002.

On the basis of a problem closed decision for a plate with an elliptic hole received in work by a method of integrals such as Cauchy, the new specified representations of complex potentials for a plate with holes, inclusions and the cracks containing in case of cracks the selected features of functions are found. By using these representations of complex potentials and a method of integrals such as Cauchy on an infinite straight line are received containing singularities in case of presence of cracks the general representations of complex potentials for the multiconnected half-plane, precisely satisfying conditions on the loaded or rigidly supported border of half-plane. For the first time the effective method of the mixed problem decision of the elasticity theory about action stamps rigidly linked with border the multiconnected half-plane, which is based on use of analytic continuation through unloaded sites of rectilinear border and restriction of boundary conditions on the other part to the Riman-Gilbert problems (linear conjugate) for cuts in the multiconnected expanded plane is developed. The decision of these problems receives the general representations of complex potentials precisely satisfying boundary conditions on rectilinear border, containing selected singularities at the end of cracks and the bases of stamps.

The series of the new problems for the multiconnected half-plane with holes, inclusions and cracks are solved. First of all it concerns to half-plane with cracks and curvilinear holes. For the first time numerical researches of the stress-deformed status are carried out in case of the mixed problem for half-plane with holes, as well as with holes and cracks. The stress-deformed status changing is investigated depending upon the geometrical sizes and amount of holes and cracks, the ways of loading and reinforcements of rectilinear border and holes contours, as well as actions of stamps; the series of the new mechanical regularities are detected.

Keywords: an analytic continuation of function, inclusion, isotropic body, problem of linear conjugate, complex potentials, conformal mapping, concentration of stresses, stress intensity factors, boundary crack, method of the least squares, mechanics of destruction, stress-deformed status, multiconnected body, holes, plate, half-plane, density of the potential energy, mixed problem, crack, stamp.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У багатьох галузях сучасної промисловості, у гірничій справі, будівництві, судно-, ракето-, авіабудуванні й інших широко використовуються конструкції з елементами у вигляді пластинок, що з технічних міркувань мають отвори або включення, а з технологічних і експлуатаційних причин містять додаткові концентратори напружень типу тріщин або жорстких лінійних включень.

Під дією зовнішніх зусиль біля концентраторів виникають високі рівні концентрації напружень, що можуть привести до руйнування конструкцій. Особливо високий рівень напружень спостерігається, коли концентратори розташовані поблизу однієї з зовнішніх прямолінійних ділянок границі пластинки, яка у зв'язку з цим може розглядатися півплощиною з концентраторами напружень. Усе це потрібно враховувати при розрахунку конструкцій на міцність та тріщиностійкість.

У зв'язку з цим виникає необхідність розробки простих і в той же час досить надійних методів визначення напружено-деформованого стану (НДС) півплощини з концентраторами напружень типу отворів, включень та тріщин, що дозволяють знаходити не тільки коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для вершин тріщин або жорстких лінійних включень, але і напруження, деформації і щільність потенційної енергії в будь-якій точці півплощини.

Тому розробка високоефективних методів визначення напружено-деформованого і гранично-рівноважного станів півплощини з отворами, включеннями і тріщинами є однією з актуальних проблем теорії і практики розрахунків на міцність елементів різних конструкцій. Цій проблемі й присвячена дана дисертаційна робота.

Метою дисертації є вивчення впливу геометричних характеристик півплощини і концентраторів напружень у вигляді отворів, включень і тріщин на напружено-деформований і гранично-рівноважний її стан, встановлення закономірностей його якісних і кількісних змін. Для досягнення цієї мети необхідно було

- розробити і розвинути математичні методи стосовно розв'язання основних задач теорії пружності для ізотропної пластинки і півплощини з отворами, включеннями і тріщинами;

- із використанням цих методів одержати теоретичні розв'язки конкретних задач з їх алгоритмізацією;

- скласти комплекси програм по чисельній реалізації розроблених алгоритмів;

- провести чисельні дослідження з метою встановлення нових механічних закономірностей, що стосуються НДС півплощини з зазначеними концентраторами напружень.

Об'єктом дослідження є виникаюча при розрахунках на міцність проблема вивчення НДС півплощини з отворами, включеннями і тріщинами.

Предметом дослідження є розробка методів визначення НДС півплощини з отворами, включеннями і тріщинами з урахуванням їх взаємодії між собою та із прямолінійною границею, способів навантаження і підкріплення прямолінійної границі та контурів отворів.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі розвинуто і використано ряд підходів. Зокрема, з використанням методів конформних відображень і інтегралів типу Коші отримані загальні вирази комплексних потенціалів для пластинки та півплощини з отворами, включеннями і тріщинами; у випадку дії на границі півплощини штампів аналітичним продовженням через незавантажені частини прямолінійної границі задача зведена до задачі лінійного спряження для розрізів у багатозв'язній області, після розв'язання якої отримані загальні вирази комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничним умовам на границі півплощини. З застосуванням зазначених методів виділені сингулярності в кінцях тріщин і жорстких лінійних включень, у кутових точках основ штампів. Розроблено підхід використання дискретного методу найменших квадратів для знаходження невідомих постійних, що входять до комплексних потенціалів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальними науково-дослідними роботами, що фінансувалися Міністерством освіти і науки України: "Розробка методів дослідження напружено-деформованого стану композиційних анізотропних тіл з отворами, включеннями і тріщинами" (№ держреєстрації 0198U005565, 1998-2000 рр. на підставі рішення науково-експертної ради), "Розробка методів дослідження напружено-деформованого стану композиційних тіл з концентраторами напружень і їхнє застосування" (№ держреєстрації 0101U005377, 2001 р. на підставі рішення науково-експертної ради). Частина результатів дисертації була використана в звітах по зазначеним НДР.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що

- розроблені засновані на уточнених виразах комплексних потенціалів і методі інтегралів типу Коші нові чисельно-аналітичні методи визначення НДС багатозв'язної пластинки, а також півплощини з отворами, включеннями і тріщинами, на прямолінійній границі якої задані напруження або переміщення;

- отримано заснований на методі аналітичного продовження функцій і розв'язку задачі лінійного спряження для розрізів у багатозв'язній області розв'язок змішаної задачі для півплощини з отворами, включеннями і тріщинами;

- розроблено підхід застосування методу найменших квадратів до розв'язання граничних задач для багатозв'язної ізотропної пластинки і півплощини;

- розв'язано ряд нових практично важливих задач із встановленням механічних закономірностей НДС досліджуваних тіл з отворами, включеннями і тріщинами.

Вірогідність отриманих результатів і висновків роботи забезпечується строгістю постановки задач і використовуваних математичних методів; контролем ступеня точності задоволення граничних умов у численних точках контурів; узгодженням отриманих результатів для ряду окремих випадків з відомими в літературі, знайденими іншими методами.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості застосування розробленої методики розв'язання задач і програмних засобів для її чисельної реалізації при розрахунках, пов'язаних із проектуванням і визначенням робочих параметрів елементів конструкцій, що містять отвори, включення і тріщини; в одержанні результатів, що дозволяють оцінювати взаємовплив отворів, включень, тріщин і прямолінійної границі в залежності від їхньої близькості, взаємного розташування і сполучення, а також впливу способів навантаження і підкріплення на розподіл напружень і пружного потенціалу.

Апробація результатів роботи. Основні положення роботи були повідомлені й обговорені на ряді наукових конференцій і семінарів, у тому числі на Міжнародній конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (м. Львів, 2000 р.), Міжнародній науково-практичній конференції "Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла" (м. Донецьк, 2001 р.), Міжнародній науково-практичній конференції "Актуальні проблеми механіки суцільних середовищ" (м. Донецьк, 2002 р.), наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького національного університету (м. Донецьк, 2000, 2001).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на науковому семінарі кафедр теорії пружності та обчислювальної математики, теоретичної і прикладної механіки Донецького національного університету і відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк), об'єднаному науковому семінарі по механіці руйнування відділів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ), науковому семінарі кафедри механіки й інформаційних технологій Львівського національного університету ім. І. Франка (м. Львів).

Публікації й особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані в 7 наукових працях [1-7], у наукових журналах, затверджених ВАК України фаховими виданнями [1, 2, 4-7].

Основні результати отримані автором самостійно. У роботах [2-7] співавтору С.О. Калоєрову належить участь у постановці розглянутих задач, виборі методу дослідження й обговоренні отриманих результатів. У роботі [3] автору належать результати, що стосуються ізотропної півплощини, співавтору О.В. Авдюшиній - анізотропної півплощини.

Особисто С.В. Вакуленко належать такі, включені в дисертаційну роботу і публікації наукові результати:

- одержання уточнених виразів комплексних потенціалів для багатозв'язної ізотропної пластинки з отворами і тріщинами [6];

- розв'язання задач для багатозв'язної ізотропної півплощини з отворами і тріщинами, коли на її прямолінійній границі задані зусилля або переміщення [1, 2, 5];

- розв'язання основної змішаної задачі про дію штампів на границі півплощини з отворами, включеннями і тріщинами [4, 7];

- складання комплексів програм для чисельної реалізації отриманих теоретичних розв'язків;

- чисельні дослідження НДС розглянутих багатозв'язних середовищ з виявленням механічних закономірностей [1-7].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 271 джерело, і двох додатків. У роботі 41 таблиця і 52 рисунки. Загальний обсяг дисертації складає 240 сторінок, з яких 25 сторінок займає список літератури, 80 сторінок - додатки.

пружність півплощина тріщина штамп

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

В вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані мета й основні наукові результати, що виносяться на захист; дається коротка анотація роботи і її зв'язок з науковими програмами, планами, темами; охарактеризовані наукова новизна, вірогідність та практична значимість отриманих результатів, особистий внесок автора в спільні публікації з теми дисертаційної роботи; зазначені дані про опублікування та апробацію результатів роботи.

У першому розділі роботи наведений огляд відомих у літературі методів дослідження НДС багатозв'язних середовищ, критеріїв руйнування і методів визначення КІН, дано огляд літератури з дослідження напружено-деформованого і гранично-рівноважного станів скінченних і нескінченних багатозв'язних тіл, багатозв'язної півплощини і півпростору у випадку непідкріпленої або жорстко підкріпленої границі, дії штампів на скінченній частині границі півплощини та півпростору. Аналізом літератури охоплені численні роботи вітчизняних і закордонних авторів. Визначено ведучу роль робіт В.М. Александрова, О.Е.Андрейківа, Л.Т. Бережницького, І.І. Воровича, Л.А. Галіна, Д.В. Грилицького, О.М. Гузя, С.О. Калоєрова, А.О. Камінского, Г.С. Кіта, О.С. Космодаміанського, М.Я. Леонова, С.Г. Лехницького, Є.М. Морозова, Н.Ф. Морозова, В.І. Моссаковського, М.І. Мусхелішвілі, В.А. Осадчука, В.В. Панасюка, В.З. Партона, Г.Я. Попова, А.К. Приварникова, В.С. Проценка, І.О. Прусова, В.Л. Рвачова, К.М. Русинка, Г.М. Савіна, М.П. Саврука, Г.Т. Сулима, Л.А. Фільштинського, І.Ю. Хоми, Г.П. Черепанова, В.П. Шевченко, Ю.Н. Шевченоко, Д.І. Шермана, Ву, Ердогана, Ірвіна, Ісіди, Койтера, Орована, Райса, Сі, Снедона і багатьох інших вітчизняних і закордонних вчених на розвиток загальних методів розв'язання задач теорії пружності і теорії тріщин ізотропних і анізотропних пластин і півплощини.

За допомогою аналізу методів досліджень і розв'язання задач, яким охоплено більш 270 робіт, визначені області теорії і практики, що до теперішнього часу внаслідок наявності математичних труднощів залишилися мало дослідженими. Встановлено, що для ізотропної пластинки і півплощини проведені численні дослідження. Однак при цьому, особливо у випадку півплощини, як правило визначалися КІН для кінців тріщин і не проводились більш повні дослідження НДС; у випадку змішаних задач побудовані лише деякі теоретичні розв'язки, практичні ж дослідження проведені тільки для суцільної півплощини; недостатньо вивчені механічні закономірності впливу криволінійних контурів отворів на розподіл напружень і значення КІН у задачах теорії тріщин.

Виходячи з наведеного огляду літератури, у дисертаційній роботі визначена актуальність розробки нових ефективних чисельно-аналітичних методів дослідження НДС і визначення КІН для багатозв'язної півплощини при різних способах навантаження та підкріплення її прямолінійної границі, розв'язання на основі цих методів важливих практичних задач з виявленням нових механічних закономірностей.

В другому розділі дисертації наведені основні співвідношення для комплексних потенціалів плоскої теорії пружності ізотропного тіла; досліджений їх вигляд для ізотропної пластинки і півплощини з отворами довільної конфігурації; отримані загальні вирази уточнених комплексних потенціалів для багатозв'язної пластинки; розроблений підхід застосування методу найменших квадратів до розв'язання розглянутих класів задач; чисельно показана збіжність одержуваних результатів, їх вірогідність і високий ступінь точності.

На основі точного розв'язку плоскої задачі теорії пружності для пластинки з одним еліптичним отвором у цьому розділі отримані нові уточнені вирази комплексних потенціалів для багатозв'язної пластинки з отворами. При цьому розглядається нескінченна пластинка з скінченним числом довільно розташованих еліптичних отворів з контурами ; тріщини (жорсткі лінійні включення) розглядаються як еліптичні отвори (включення), у яких одна піввісь дорівнює нулю; вважається, що контури отворів можуть торкатися, перетинатися, утворювати контури криволінійних отворів. При такому підході для комплексних потенціалів у загальному випадку отримані формули

, , (1)

де

, ; ;

, (2)

;

, - постійні, що знаходяться з умов на нескінченності; , - компоненти головного вектора зовнішніх зусиль на контурі ; - афікс довільної точки усередині ; - змінні, що обчислюються з конформних відображень

(3)

зовнішності одиничного кола на зовнішність еліпса ; , , , - постійні, які залежать від розмірів і місць розташування еліпсів; , - невідомі коефіцієнти, які знаходяться з граничних умов на контурах отворів, що в роботі записуються в диференціальній формі. При цьому для визначення останніх коефіцієнтів використовується дискретний метод найменших квадратів, що приводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь і дозволяє задовольняти граничним умовам з досить високим ступенем точності. Так само отримано розв'язок періодичної задачі для пластинки з нескінченним рядом еліптичних отворів (тріщин).

У даному розділі розв'язанням деяких окремих задач, порівнянням результатів з даними інших авторів і аналізом задоволення граничних умов досліджена ефективність розробленого методу і вірогідність результатів, одержуваних при його використанні; розв'язано ряд нових задач. При цьому для кожної задачі проводились докладні чисельні дослідження розподілу напружень, щільності потенційної енергії і зміни КІН у залежності від геометричних характеристик отворів, включень і тріщин. Отримані результати наведені в численних таблицях і на рисунках. Встановлено нові механічні закономірності зміни НДС.

Зокрема, для розтягу пластинки прикладеними на нескінченності зусиллями чисельні дослідження проведені у випадку кругового отвору або жорсткого ядра, при наявності, крім того, тріщини або лінійного жорсткого включення. З наведених у дисертації численних результатів на рис. 1 зображені лише графіки розподілу нормальних напружень біля контуру отвору (ядра) на площадках, перпендикулярних до контуру. При цьому довжина перемички між контуром отвору (ядра) і тріщиною (лінійним жорстким включенням) c=0,1; під тут і далі розуміється центральний кут отвору, який відлічувався від напрямку осі проти годинної стрілки. Криві 1, 2, 3, 4 відповідають випадкам, коли пластинка має отвір і тріщину, жорстке ядро і тріщину, отвір і лінійне жорстке включення, жорстке ядро і лінійне жорстке включення. На рис. 2 зображені графіки зміни КІН (суцільні лінії) і (пунктирні лінії) для вершин тріщини. Криві 1 і 2 відповідають випадкам пластинки з тріщиною при наявності кругового отвору та жорсткого ядра.

З рис. 1, 2 і інших наведених у роботі результатів випливає, що при зближенні отвору з тріщиною концентрація напружень біля контуру отвору й в точках перемички зростає. При цьому збільшується і КІН. При виході тріщини на контур відбувається зменшення концентрації напружень у зоні виходу тріщини на контур отвору. Встановлено, що підкріплення контурів отворів або тріщин приводить до істотного зменшення концентрації напружень і КІН. При цьому підкріплення отвору знижує концентрацію напружень і КІН, тоді як підкріплення тріщини (випадок лінійного жорсткого включення) істотно розвантажує тільки зону, близьку до перемички, і зменшує КІН.

Аналогічні дослідження в роботі описані для пластинки з еліптичним отвором або жорстким ядром; із двома круговими отворами і тріщиною між ними, в тому числі, коли тріщина переходить в щілину, що з'єднує контури отворів; з скінченним або нескінченним рядами тріщин і лінійних жорстких включень.

Третій розділ роботи присвячений розв'язку задач теорії пружності для багатозв'язної півплощини з отворами, включеннями і тріщинами, прямолінійна границя якої завантажена зусиллями або жорстко підкріплена. З використанням уточнених виразів комплексних потенціалів для багатозв'язної пластинки та застосуванням методу інтегралів типу Коші по нескінченній прямій отримані наступні загальні вирази потенціалів для багатозв'язної півплощини:

;

. (4)

У третьому розділі роботи описані результати досліджень НДС і КІН і для випадків інших форм отворів, включень і тріщин, їх сполучень і розташувань. Так, вони наведені для півплощини з одним концентратором напружень у вигляді еліптичного отвору або тріщини, у тому числі коли вони виходять на границю півплощини, у вигляді виїмки або крайової тріщини; півплощини з круговим отвором і крайовою тріщиною, що виходить на границю півплощини, із круговим отвором і щілиною між отвором і прямолінійною границею; півплощини з круговою виїмкою і тріщиною, з скінченним або нескінченним числом тріщин уздовж границі півплощини. В якості криволінійних отворів в півплощині з тріщиною розглядалися отвори в формі квадрата, трикутника, ромба. У якості зовнішніх навантажень для випадків непідкріпленої границі півплощини розглядалися розтяг півплощини на нескінченності, рівномірний внутрішній тиск на контурах отворів або берегах тріщин, рівномірно розподілені зусилля на ділянці прямолінійної границі. У випадку жорстко підкріпленої границі півплощини, як навантаження, розглядався рівномірний внутрішній тиск на контурах отворів або берегах тріщини. При цьому в багатьох задачах замість отвору розглядалось також жорстке ядро, замість тріщини - жорстке лінійне включення. Усі зазначені задачі, крім випадків крайових отворів і тріщин, що виходять на прямолінійну границю, розв'язувалися і для випадку жорсткого підкріплення границі півплощини. Виявлено ряд нових механічних закономірностей. Зокрема, встановлено, що при зближенні отворів і тріщин із границею півплощини та одне з одним відбувається значне збільшення концентрації напружень і пружного потенціалу поблизу прямолінійної границі, біля контурів отворів і в зонах між ними. Значення КІН також істотно збільшуються. Підкріплення прямолінійної границі приводить до значного зниження концентрації напружень і зменшення значень КІН. Особливо істотне це зниження поблизу прямолінійної границі і біля перемичок. Підкріплення ж отворів приводить до зниження концентрації напружень біля контуру отвору і зменшення КІН.

Четвертий розділ роботи присвячений розв'язанню змішаної задачі для півплощини з отворами, включеннями і тріщинами, коли на відрізках скінченної частини границі , що складають у сукупності лінію , діють жорстко зчеплені з границею жорсткі штампи; інша частина прямолінійної границі вільна від зусиль; контури отворів незавантажені або жорстко підкріплені; на нескінченності напруження й обертання дорівнюють нулю.

Для розв'язання зазначеної змішаної задачі комплексний потенціал через незавантажені ділянки прямолінійної границі аналітично продовжується на всю розширену багатозв'язну площину, граничні умови на лінії контактів штампів із границею зводяться до задачі лінійного спряження

У четвертому розділі для випадку дії одного штампа проведені такі ж докладні чисельні дослідження НДС багатозв'язної півплощини, як і в розділі 3.

Для півплощини з одним круговим отвором на рис. 6 представлені графіки розподілу нормальних напружень біля контуру отвору при різних значеннях відстані між контуром отвору і границею півплощини. Для цього ж випадку на рис. 7 зображені поверхні розподілу пружного потенціалу, коли c=0,1. З рис. 6, 7 та інших даних роботи випливає, що наближення кругового отвору до границі півплощини приводить до зменшення значень напружень в точках перемички, але до їх росту поблизу кутових точок основи штампу і біля отвору для кутів , що змінюються від до .

Аналогічні дослідження НДС наведені для півплощини з одним еліптичним або криволінійним отвором, жорстким ядром, півплощини з двома круговими отворами, а також із круговим або криволінійним отвором при наявності тріщини, у тому числі і крайовій, що виходить на контур отвору.

Встановлено, що при переміщенні отвору щодо штампу по горизонталі відбувається зменшення концентрацій напружень біля кутів основи штампу, причому якщо отвір знаходиться дуже близько до границі, то концентрація цих напружень зі збільшенням зсуву спочатку росте, потім зменшується. Поява тріщини в перемичці півплощини з круговим отвором приводить до незначного збільшення значень напружень. При цьому істотне зростання концентрації напружень спостерігається тільки в точках перемички поблизу прямолінійної границі. Підкріплення отвору приводить до перерозподілу напружень і зміні закономірностей їх розподілу. Так, при зближенні жорсткого ядра з границею півплощини на відміну від випадку непідкріпленого контуру отвору, спостерігається зростання концентрації напружень і пружного потенціалу в перемичці, причому найбільші напруження виникають біля контуру ядра. При цьому значення напружень і пружного потенціалу біля прямолінійної границі в точках поза перемичкою зменшуються.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У результаті проведених у роботі досліджень одержали подальший розвиток методи розв'язання крайових задач теорії пружності ізотропного тіла і їх застосування до проблеми вивчення НДС багатозв'язної пластинки і півплощини з отворами, включеннями і тріщинами.

Основні наукові результати і висновки, отримані в роботі, наступні:

1. Розроблено методи розв'язання крайових задач теорії пружності у випадку багатозв'язної ізотропної пластинки та півплощини. Зокрема, на основі замкнутого розв'язку для нескінченної пластинки з одним еліптичним отвором, отриманого з використанням інтегралів типу Коші й конформних відображень, отримані загальні вирази комплексних потенціалів для пластинки з скінченним числом еліптичних отворів, включень і тріщин, що містять у випадку тріщин виділені особливості функцій. З використанням цих виразів комплексних потенціалів і методу інтегралів типу Коші по нескінченній прямій отримані загальні вирази комплексних потенціалів для багатозв'язної півплощини, що мають сингулярності в кінцях тріщин та точно задовольняють умовам на завантаженій або жорстко підкріпленій границі півплощини.

2. Вперше розроблений ефективний метод розв'язку змішаної задачі теорії пружності про дію жорстко зчеплених із границею багатозв'язної півплощини штампів, що заснований на використанні аналітичного продовження через незавантажені ділянки прямолінійної границі і зведенні граничних умов на іншій частині до задач Рімана-Гільберта (лінійного спряження) для розрізів у багатозв'язній розширеній площині. Розв'язанням цих задач отримані загальні вирази комплексних потенціалів, які точно задовольняють граничним умовам на прямолінійній границі, що містять виділені сингулярності в кінцях тріщин і основ штампів.

3. На основі загальних виразів комплексних потенціалів і методу найменших квадратів розв'язано ряд задач для багатозв'язної ізотропної півплощини з отворами, включеннями і тріщинами, більшість з яких є новими, раніше не розв'язаними. Це, в першу чергу, відноситься до півплощини з криволінійними отворами і тріщинами; уперше дані числові результати у випадку змішаної задачі теорії пружності для півплощини з отворами, не кажучи про півплощину з отворами і тріщинами.

4. Для чисельної реалізації отриманих теоретичних розв'язків розроблені програмні комплекси алгоритмічною мовою Фортран.

5. Чисельними дослідженнями продемонстрована висока ефективність розробленої методики і стійкість одержуваних результатів.

6. Для раніше вирішених іншими методами задач показане гарне узгодження одержаних для окремих випадків розв'язання задач з відомими раніше результатами. Це поряд із застосуванням строгих математичних методів підтверджує вірогідність одержуваних результатів.

7. Дослідженнями напружено-деформованого стану в залежності від геометричних розмірів і кількості отворів і тріщин, а також способів навантаження та підкріплення прямолінійної границі й контурів отворів та дії штампів виявлений ряд нових механічних закономірностей.

Встановлено, що збільшення кількості отворів і тріщин веде до зростання концентрації напружень, потенційної енергії і КІН, за винятком, може бути, випадків, коли тріщини розташовуються уздовж границі півплощини, що розтягується. В останньому випадку збільшення кількості отворів або тріщин уздовж границі півплощини приводить до зменшення напружень і КІН.

При зближенні отворів і тріщин із границею півплощини та одне з одним відбувається значне збільшення концентрації напружень і пружного потенціалу поблизу прямолінійної границі, біля контурів отворів і в зонах між границями, при цьому значення КІН також істотно збільшуються.

Підкріплення контурів отворів приводить до зменшення концентрації напружень, пружного потенціалу і КІН. Ще до більш істотного зменшення значень цих величин приводить жорстке підкріплення прямолінійної границі півплощини. При цьому зближення отворів і тріщин з підкріпленою границею півплощини не приводить до значних змін розподілу напружень біля концентраторів напружень, а значення КІН навіть зменшуються.

Вихід тріщин на контури отворів або границю півплощини приводить до значного зниження концентрації напружень і пружного потенціалу в зоні, близькій до точки виходу тріщини на контур з одночасним зростанням концентрації напружень у далині від цієї зони, а також значень КІН.

У випадку дії на границі півплощини штампів зближення отворів із прямолінійною границею приводить до зниження концентрація напружень біля отвору й в точках перемички. При цьому біля кутів основи штампу відбувається їхнє різке зростання. Жорстке підкріплення контурів отворів приводить до істотного зменшення концентрації напружень і зміні закономірностей їх розподілів і змін.

8. Результати, представлених у дисертаційній роботі досліджень мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропонована методика може використовуватися для розв'язання різноманітних інженерних задач.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ ВІДОБРАЖЕНО В ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Вакуленко С.В. Первая основная задача для многосвязной изотропной полуплоскости отверстиями и трещинами // Теорет. и прикладная механика.- 2001.- Вып.33.- С.91-99.

2. Вакуленко С.В., Калоеров С.А. Приближенный метод определения напряженного состояния многосвязной изотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами // Теорет. и прикладная механика.- 2002.- Вып.35.- С.65-76.

3. Калоеров С.А., Авдюшина Е.В., Вакуленко С.В. Растяжение полуплоскости с отверстием и краевой трещиной // Мат. проблеми механiки неоднорiдних структур. В 2-х т.- Львiв, 2000.- Т.2.- С.27-30.

4. Калоеров С.А., Вакуленко С.В. Смешанная задача теории упругости для изотропной полуплоскости с круговыми отверстиями // Прикладная механика.- 2000.- Т.36, №12.- С.99-107.

5. Калоеров С.А., Вакуленко С.В. Исследование напряженного состояния в подкрепленной по прямолинейной границе многосвязной полуплоскости с отверстиями и трещинами // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. Природничі науки.- 2001.- Вип. 2.- С.66-73.

6. Калоеров С.А., Вакуленко С.В. Об общих представлениях комплексных потенциалов для изотропных пластинок с отверстиями, трещинами и включениями // Теорет. и прикладная механика.- 2001.- Вып.32.- С.79-93.

7. Калоеров С.А., Вакуленко С.В. Смешанная задача теории упругости для полуплоскости с отверстиями и трещинами // Теорет. и прикладная механика.- 2002.- Вып. 36.- С.42-57.

Размещено на Allbest.ru