Поширення гідродинамічних хвиль у системах з неоднорідною структурою

,

,

представлена у вигляді

, , в , (20)

, ,

, , в (21)

, ,

,

, в (22)

, ,

де - вiдносна товщина; .

Умови спряження на поверхні

, , , (23)

, , ,

на поверхні

, , ,

, , . (24)

Початковi умови мають вигляд

, , (25)

кожна шукана функцiя має задовольняти умовам при . Iмпульс тиску задається таким, що моделює пульсовий тиск крові у великих артеріях.

Для розв'язання задачi (20)-(25) застосовується iнтегральне перетворення Лапласа. Пiсля виведення аналiтичних розв'язкiв в кожнiй iз областей гiдропружної системи та врахування граничних умов обернене перетворення виконується чисельно. Зроблено детальний кiлькiсний та якiсний аналiз впливу рiзних геометричних параметрiв оболонки на концентрацiю тиску, радiального перемiщення, згинаючих моментiв та перерiзуючих сил.

Розв'язування нової зв'язаної задачі гідропружності про поширення імпульсу в пружній кусково-однорідній оболонці, заповненій рідиною, з урахуванням згинаючих напружень методом інтегральних перетворень приводить до таких висновків (рис. 7) :

(а) в околі стику двох оболонок різних товщин та внутрішніх радіусів має місце сильна концентрація напружень зсуву та згинаючих напружень;

(б) відмінність в товщинах оболонок на 10% збільшує динамічні характеристики на 10% в порівнянні з однорідною оболонкою при проходженні імпульсу тиску;

(в) відмінність у внутрішніх радіусах оболонок на 10% збільшує динамічні характеристики на 10-20% в порівнянні з однорідною оболонкою при проходженні імпульсу тиску.

Дослідження впливу вставки скінченної довжини в пружній оболонці, заповненій рідиною, приводить до висновку про те, що у вставці, тоншій за основну оболонку, радіальне зміщення більше, чим в основній оболонці при проходженні імпульсу. При цьому більш товста вставка деформується менше, чим основна оболонка. В місцях стику вставки с основною оболонкою, динамічні характеристики змінюються аналогічно як у випадку, описаному вище.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової проблеми поширення хвиль у гідродинамічних та гідропружних системах з неоднорідною структурою геометричного та фізичного походження для всебічного аналізу глибинних нелінійних хвильових процесів на фоні широкого класу характерних задач гідродинаміки та гідропружності.

Основні результати теоретичного характеру:

Вперше отримано четверте наближення еволюційного рівняння та розв'язок у третьому наближенні слабко нелінійної задачі про еволюцію хвильових пакетів вздовж поверхні контакту двох рідких напівобмежених середовищ з різними густинами методом багатомасштабних розвинень. Еволюційні рівнянні отримано у формі нелінійного рівняння Шредінгера для випадків хвильових чисел далеких від критичного та близьких до критичного.

Нова слабко нелінійна задача про поширення хвильових пакетів на поверхні контакту рідкого напівобмеженого середовища та рідкого шару з твердою кришкою нагорі вперше досліджена у третьому та четвертому наближеннях методом багатомасштабних розвинень: отримано еволюційне рівняння обвідної хвильових пакетів - нелінійні рівняння Шредінгера - у третьому та четвертому наближеннях та розв'язки у всіх наближеннях до третього.

Виявлена та чисельно досліджена умова стійкості гравітаційно-капілярних хвиль у вищезгаданих задачах поширення хвильових пакетів, в яких враховано вплив поверхневого натягу у точній постановці. Зроблено висновок про те, що поверхневі гравітаційні хвилі стійкі за умови, якщо густина верхнього шару менша за густину нижнього півпростору. У загальному випадку площина розділяється на область лінійної нестійкості та область лінійної стійкості, яка у свою чергу розділяється на такі області: три області нелінійної стійкості та п'ять областей нелінійної нестійкості.

Наявність рідкого шару замість півпростору в верхній області викликає існування для кожної фіксованої товщини шару двох нових областей нестійкості капілярних хвиль та нової малої області нестійкості гравітаційних хвиль в околі початку координат у вигляді петлі, яка із зміною товщини обертається навколо початку координат. Зменшення товщини шару суттєво звужує області нелінійної нестійкості та розширює області нелінійної стійкості.

Отримано співвідношення між хвильовим числом та малим параметром та відповідне розвинення хвильового числа за малим параметром, яке є узагальненням відповідних результатів для однієї рідини.

Дістало подальший розвиток висвітлення повної картини хвильових рухів у гідродинамічних системах з точки зору впливу на них наявності локальних та глобальних неоднорідностей. Отримані нові аналiтичні розв'язки задач поширення внутрiшнiх хвиль у стратифiкованих за глибиною рiдких шаруватих системах, а також чисельно - аналітичні розв'язки задач про внутрішні та поверхневі хвильові рухи: про поширення хвиль у дво- та тришарових стратифікованих рідких середовищах; про генерацію хвиль зсувом дна під шаром стисливої рідини; про генерацію хвиль осесиметричним зсувом дна під шаром нестисливої рідини з осесиметрично викривленим дном; про трансформацію гармонічних та імпульсних хвиль над локальною донною неоднорідністю.

Побудовано фізико-математичну модель та отримано чисельно-аналітичні розв'язки для широкого класу нових зв'язаних задач поширення імпульсу тиску у пружній геометрично неоднорідній оболонці зі стиком або зі вставкою скінченної довжини, заповненій рідиною.

Найбільш важливі нові механічні ефекти та закономірності:

Досліджено амплітуди вищих гармонік та структуру хвильових пакетів, виявлено можливість існування хвиль - образної та - образної форми. У випадку високих хвиль пакет має гострий гребінь та затуплену підошву, для пологих хвиль гребінь дещо затуплений, а підошва загострена. Зростання поверхневого натягу згладжує хвильову картину.

Підтверджено, що під час зсуву дна під шаром стисливої рідини відбуваються коливання вільної поверхні відносно кривої, яка відповідає часовій залежності відхилення дна, амплітуда відхилення вільної поверхні дещо запізнюється відносно амплітуди відхилення дна.

За умов генерації хвиль зсувом дна в шарі нестисливої рідини, з осесиметрично викривленим дном для більш гострого імпульсу вільна поверхня змінює форму швидше, проте в більш вузькому околі центра симетрії; значення відхилення вільної поверхні у околі центру збурення для скривленого дна в залежності від його форми є на 10-20% більшим у порівнянні з відхиленням вільної поверхні для нескривленого дна.

Трансформація гармонічних або імпульсних хвиль над локальною донною неоднорідністю проявляється в збільшенні амплітуди хвиль при виході на більш мілку воду. Підтверджено, що за визначених геометричних параметрах донної неоднорідності відбувається слабке відбиття хвиль і, відповідно, практично повна передача енергії хвилі, що проходить.

Показано, що дисперсійні криві та хвильові моди, які відповідають в неоднорідній системі "пружний однорідний або неоднорідний шар - рідкі півнескінченні середовища" квазісиметричним та квазіантисиметричним коливанням, істотно відрізняються від відповідних хвильових мод симетричних та антисиметричних коливань при контакті пружного шару з однаковими рідинами. Відмічено неможливість проходження гармонічних хвиль з фазовою швидкістю із проміжка між швидкостями хвиль Стоунлі, що відповідають різним рідинам, з якими контактує пружний шар.

З аналізу нової задачі гідропружності про поширення хвиль у пружному шарі з порожнинами, зануреному в рідину, випливає, що збільшення об'єму основного пружного матеріалу призводить до дисипації енергії, яка пояснюється внутрішніми процесами в матеріалі при збільшенні його об'єму.

Дослідження нового класу зв'язаних задач гідропружності про поширення імпульсу в пружній кусково-однорідній оболонці, заповненій рідиною, з урахуванням згинаючих напружень приводить до таких висновків: в околі стику двох оболонок різних товщин та внутрішніх радіусів має місце сильна концентрація напружень зсуву та згинаючих напружень. У вставці, що відрізняється за товщиною від основної оболонки, спостерігається аналогічне явище, що є однією з можливих причин відторгнення донорських або штучних вставок у великих судинах.

Достовірність одержаних у роботі результатів та висновків визначається строгістю і коректністю постановок задач; теоретичною обґрунтованістю аналітичних методів розв'язання та чисельних алгоритмів; тестуванням аналітичних результатів відомими розв'язками; апробацією розв'язків, отриманих з використанням чисельних методів, на модельних задачах, які мають точний аналітичний розв'язок; незаперечністю встановлених закономірностей якісного характеру загальним поглядам фізичної природи.

Дисертаційна робота в цілому має теоретичне значення, однак, у ній у великій мірі враховані сучасні потреби моделювання хвильових процесів, що виникають у практичній діяльність. В наслідок цього одержана інформація кількісного та якісного характеру, що дозволяє визначати умови генерації, поширення та трансформації хвиль в умовах, близьких до натурних в морському середовищі, в елементах підводних конструкцій та трубопроводів, у біомеханічних задачах поширення хвиль у кістках та деяких геологічних, синтетичних матеріалах з порожнинами, які не описуються класичною теорією, а також для вирішення актуальної проблеми гемодинаміки про поширення пульсового тиску у великих артеріях. Отримані результати та розроблені комп'ютерні програми були використані при виконанні науково-дослідницьких робіт держбюджетної теми та за договорами Інституту гідромеханіки НАН України з Міністерством освіти і науки, а також за міжнародним проектом INTAS.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ВИКЛАДЕНО В ПУБЛІКАЦІЯХ

Авраменко О.В., Селезов И.Т. Исследование влияния сжимаемости жидкости на генерацию волн в океане // Теоретическая и приклная механика.- 1992.- Вып.23.- С.102-106.

Селезов И.Т.,Авраменко О.В. Распространение гидроупругих волн в упругом или жидком слое, контактирующем с внешней средой // Гидромеханика.- 1993.- Вып.66. - С.15-20.

Авраменко О.В., Селезов И.Т. Аналитический и численный анализ сжимаемости жидкости при возбуждении волн подъемом дна // Гидромеханика.- 1994.- Вып.68.- С.3-8.

Avramenko O.V., Selezov I.T. Water wave propagation over a local topography // Доп. НАН України.- 1996.- №7.- С. 46-50.

Avramenko O.V., Selezov I.T. A new solution of the problem of wave propagation in stratified fluids // Доп. НАН України.- 1996.- №9. - P.59-65.

Selezov I.T., Avramenko O., Fratamico G., Pallotti G., Pettazzoni P, Mathematical modelling for a joint of implanted and host blood vessels // J.of theoretical and Appl. Mech.- 1996.- XXVI, №4.- P. 31-42.

Авраменко О.В., Селезов И.Т. Распространение волн вдоль упругого неоднородного слоя в жидкости // Изв. РАН. Механика твердого тела.- 1996.- №6.- С. 172-182.

Селезов И.Т., Авраменко О.В. Распространение волн в помещенном в жидкость в упругом слое с пустотами // Мат. методи та фiз.-мех. поля.- 1997.- 40, №1. - С. 90-96.

Avramenko O.V., Selezov I.T. Nonlinear wave propagation in a fluid layer based on a semi-infinite fluid // Доп. НАН України. - 1997.- №10. - С. 61-66.

Авраменко О.В. Некоторые новые решения задач распространения волн в двухслойной жидкости // Теоретическая и прикладная механика.- 1998.- Вып.27.- С.132-137.

Авраменко О.В. Исследование динамической и статической задач деформации упругой кусочно-однородной оболочки, заполненной жидкостью.// Динамические системы.- 1998.- Вып.14.- С.95-106.

Selezov I.T., Avramenko O., Fratamico G., Pallotti G., Pettazzoni P,, De Sanctis L.B., Coli L., Stefoni S., Bonomini V. Mechanical effects of heart pulse propagation on a vessel-graft suture line stress // The Int. Journal of Artificial Organs.- 1998.- Vol.21, №2. -P. 114-118.

Avramenko O.V. Pressure wave propagation in an elastic piece-wice shell filled in fluid // Доп. НАН України.- 1998.- №8.- С.51-59.

Авраменко О.В. Влияние сужения упругой оболочки, заполненной жидкостью, на распространение импульса давления // Доп. НАН України.- 1999.- №2.- С.48-55.

Селезов И.Т., Авраменко О.В. Трансформация поверхностных волн в жидкости при локальном изменении глубины // Теоретическая и прикладная механика.- 1999.- Вып.29.- С.131-142.

Авраменко О.В., Селезов И.Т Трансформация импульса давления в упругой неоднородной оболочке, заполненной жидкостью // Динамические системы.- 1999. -Вып.15.- С.74-84.

Авраменко О.В., Селезов И.Т. Распространение волн в упругом слое, помещенном между различными жидкими средами // Акустичний вісник.- 1999.- T.2, №3.- C.3-10.

Авраменко О.В., Селезов И.Т. Влияние неоднородности упругого слоя, помещенного между различными жидкими средами, на распространеие волн // Акустичний вісник.- 2000.- Т.3, №1.- C. 4 - 9.

Селезов И.Т., Авраменко О.В. Нелинейное распространение волновых пакетов при околокритических волновых числах в кусочно-неоднородной по глубине жидкости // Теоретическая и прикладная механика.-2000.- Вып.31.- С.151-157.

Селезов И. Т., Авраменко О. В. Эволюция нелинейных волновых пакетов с учетом поверхностного натяжения на поверхности контакта // Мат. методи та фіз.-мех. поля.- 2000.- 44, №2. - С. 113-122.

Авраменко О.В. Резонанс и форма волнового пакета на поверхности контакта жидких сред // Вісник ХНУ. Сер. “Математика, прикл, метематика і механіка”.- 2001.- Вип.50, №514.- С.122-128

Селезов И. Т., Авраменко О. В. Эволюционное уравнение третьего порядка для нелинейных волновых пакетов при околокритических волновых числах // Динамические системы.- 2001. -Вып.17.- С. 58-67.

Селезов И.Т., Авраменко О.В. Устойчивость волновых пакетов в слоистых гидродинамических системах с учетом поверхностного натяжения // Прикладна гідромеханика.- 2001.- Т.3(75), №.4.- C.38-46.

Авраменко О.В., Селезов И.Т. Структура нелинейных волновых пакетов на поверхности контакта жидких сред // Прикладна гідромеханика.- 2002.- Т.4(76), №4.- C.3-13.

АНОТАЦІЇ

Авраменко О.В. Поширення гідродинамічних хвиль у системах з неоднорідною структурою. - Рукопис. Дисертація на здобуття ступеня доктора фізико-математичних наук зі спеціальності 01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми. - Інститут гідромеханіки НАН України, Київ, 2003.

Дисертацію присвячено проблемі поширення хвиль у гідродинамічних та гідропружних системах з неоднорідною структурою геометричного та фізичного походження для всебічного аналізу глибинних нелінійних процесів на фоні широкого класу характерних задач гідродинаміки та гідропружності. Отримано вище наближення еволюційних рівнянь для обвідної хвильового пакету на поверхні контакту гідродинамічних середовищ з різними властивостями з застосуванням методологічно обґрунтованого алгоритму методу багатомасштабних розвинень у вищих наближеннях при активному використані сучасних пакетів символьних обчислень. Досліджено основні класи задач стосовно гідропружних та гідродинамічних систем, отримані нові аналітичні розв'язки та дисперсійні співвідношення, проведено їх чисельний аналіз. Виявлені нові властивості, закономірності та механічні ефекти, характерні для хвильових процесів, що вивчаються, та обумовлені наявністю фізичних та геометричних неоднорідностей. Результати мають теоретичне та практичне значення у океанології, біомеханіці, гемодинаміці, гідравліці, гідроакустиці, машино- та суднобуванні та ін.

Ключові слова: еволюційне рівняння, метод багатомасштабних розвинень, поширення хвиль, системи з неоднорідною структурою.

Авраменко О.В. Распространение гидродинамических волн в системах с неоднородной структурой.- Рукопись. Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы.- Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена проблеме распространения волн в гидродинамических и гидроупругих системах с неоднородной структурой геометрического и физического происхождения для всестороннего анализа глубинных нелинейных процессов на фоне широкого класса характерных задач гидродинамики и гидроупругости.

Получено высшее приближение эволюционных уравнений для огибающей волнового пакета на поверхности контакта гидродинамических сред с разными свойствами с применением методологически обоснованного алгоритма метода многомасштабных разложений в высших приближениях при активном использовании современных пакетов символьных вычислений. Анализ устойчивости волновых пакетов, распространяющихся вдоль поверхности контакта двух жидких полупространств или жидкого слоя и полупространства приводит к таким выводам: (і) поверхностные гравитационные волны устойчивы при условии, что плотность верхнего слоя меньше плотности нижнего полупространства; (іі) выявлены такие отношения плотностей жидких сред, общие для всех толщин слоя и значений коэффициента поверхностного натяжения, при которых дестабилизируются капиллярные волны; (ііі) в общем случае диаграмма устойчивости на плоскости "отношение плотностей - волновое число" разделяется на области линейной неустойчивости и область линейной устойчивости, которая в свою очередь разделяется на три области нелинейной устойчивости и пять областей неустойчивости. Наличие жидкого слоя приводит к появлению новой области неустойчивости гравитационных волн в форме малой петли в окрестности начала координат и узкой области устойчивости капиллярных волн для систем с близкими плотностями. Исследование формы волнового пакета обнаружило возможность существования волн - образной и - образной формы, выявлены характерные особенности резонансной области второй гармоники. Исследованы амплитуды высших гармоник и структуру волновых пакетов. В случае высоких волн пакет имеет острый гребень и затупленную подошву, для пологих волн гребень несколько затуплен, а подошва заострена. Возрастание поверхностного натяжения сглаживает волновую картину. Этот эффект поясняется сильным влиянием поверхностного натяжения, которое выражается в стремлении жидкости к уменьшению своей поверхности.

Исследованы основные классы задач относительно гидроупругих и гидродинамических систем, получены новые аналитические решения и дисперсионные соотношения, произведен их численный анализ. В частности, получены численно - аналитические решения новых задач о внутренних и поверхностных волновых движениях: о распространении волн в двух- и трехслойных стратифицированных жидких средах; о генерации волн сдвигом дна под слоем сжимаемой жидкости; о генерации волн осесимметричним сдвигом дна под слоем несжимаемой жидкости с осесимметрично искривленным дном; о трансформациях гармоничных и импульсных волн над локальной донной неоднородностью. Получены дисперсионные соотношения, отвечающие неоднородным системам "упругий однородный, неоднородный по толщине или с пустотами слой - жидкие среды", представлены выражения для мод колебания и групповых скоростей, рассмотрены предельные случаи, сделана оценка диссипации энергии при наличии пустот. Исследован широкий класс задач распространения импульса давления в упругой оболочке, заполненной жидкостью, в рамках двух моделей: первая учитывает цепные напряжения, вторая - изгибающие напряжения. Аналитическое и численное решения получены методом интегральных преобразований. Выявлены новые свойства, закономерности и механические эффекты, характерные для исследуемых волновых процессов, обусловленных наличием физических и геометрических неоднородностей. Результаты имеют теоретическое и практическое значение в океанологии, биомеханике, гемодинамике, гидравлике, гидроакустике, машино- и судостроении и др.

Ключевые слова: эволюционное уравнение, метод многомасштабных разложений, распространение волн, системы с неоднородной структурой.

Avramenko O.V. Hydrodynamic wave propagation in systems of non-homogeneous structure .- Manuscript. Thesis for the second doctor's degree on speciality 01.02.05 - Mechanics of fluids, gas and plasma.- Institute of Hydromechanics. Ukrainian National Academy of Sciences, Kyiv, 2003.

The dissertation is devoted to the problem of wave propagation in hydrodynamic and hydroelastic systems with non-homogeneous structure of geometric and physical nature for detailed analysis of non-linear processes with a wide class of characteristic problems of hydrodynamics and hydroelasticity. A higher approximation of the evolution equation for wave-packet envelope at the interface of two fluids of different properties with methodologically valid algorithm of the method of multiple scale expansions with active exploiting of computer algebra. Main classes of the problems corresponding to hydrodynamic and hydroelastic systems, the analytical solutions and dispersion equations are obtained and numerically analysed. New regularities, pecularities and mechanical effect characteristics for investigation of wave processes, due to physical and geometric non-homogeneous structure are established. The results are of theoretical and practical importance in oceanology, hydraulics, hydroacoustics, biomechanics, gemodynamics, machine- and shipbuilding and so on.

Key words: evolution equation, the method of multiple scales expansions, wave propagation, systems of non-homogeneous structure.

Размещено на Allbest.ru