Особливості реологічної поведінки розведених суспензій у рідинах з внутрішнім параметром

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми

Особливості реологічної поведінки розведених суспензій у рідинах з внутрішнім параметром

Грязнова Віра Олександрівна

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник _ Доктор фізико-математичних наук, професор Придатченко Юрій Вікторович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедрою математики та теоретичної радіофізики

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук, професор Забашта Юрій Федосійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри молекулярної фізики фізичного факультету, м. Київ

Доктор технічних наук, професор Криль Степан Іванович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділом стратифікованих течій, м. Київ

Провідна установа _ Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, м. Харків

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.

Анотація

Грязнова В.О. Особливості реологічної поведінки розведених суспензій у рідинах з внутрішнім параметром. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми. _ Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

У дисертаційній роботі в рамках структурно-феноменологічного підходу одержано реологічні рівняння стану розведених суспензій недеформівних видовжених частинок з урахуванням їх поперечних розмірів у анізотропному дисперсійному середовищі і реологічні рівняння стану розведених суспензій недеформівних видовжених магнітних частинок у полярному дисперсійному середовищі з урахуванням дії зовнішнього магнітного поля. Як гідродинамічна модель зважених частинок суспензії використовується осесиметрична тривісна гантель.

На основі отриманих реологічних рівнянь досліджено вплив неньютонівських властивостей дисперсійних середовищ на динаміку зважених частинок і реологічну поведінку суспензії у течіях простого зсуву і одновісного розтягу. Для простої зсувної течії суспензії з анізотропним дисперсійним середовищем встановлена можливість формування рідких анізотропних систем з двома переважними напрямками. Встановлено, що у течії простого зсуву у випадку зависання зважених частинок така суспензія виявляє пружнов'язку поведінку. Показано, що суспензія з полярним дисперсійним середовищем у простій зсувній течії у присутності зовнішнього магнитного поля поводить себе як псевдопластична або ділатантна в'язкопружна рідина в залежності від співвідношення гідродинамічних і магнітних сил.

Ключові слова: розведена суспензія, рідина з внутрішнім параметром, недеформівні зважені частинки, реологічні рівняння стану, реологічна поведінка, анізотропна система, магнітореологія.

Аннотация

Грязнова В.А. Особенности реологического поведения разбавленных суспензий в жидкостях с внутренним параметром. -- Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы. _ Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2003.

В диссертационной работе в рамках структурно-феноменологического подхода получены реологические уравнения состояния разбавленных суспензий недеформируемых вытянутых частиц с учетом их поперечных размеров в анизотропной дисперсионной среде и реологические уравнения состояния разбавленных суспензий недеформируемых вытянутых магнитных частиц в полярной дисперсионной среде с учетом действия внешнего магнитного поля. При этом используются следующие предположения:

1) предполагается, что суспензия разбавлена до такой степени, что гидродинамическим и магнитным взаимодействием между взвешенными частицами можно пренебречь;

2) размеры взвешенных частиц предполагаются значительно большими соответствующих размеров элементов микроструктуры дисперсионной среды, но достаточно малыми для того, чтобы скорость дисперсионной среды в окрестности взвешенной частицы была линейной функцией координат;

3) предполагается, что взвешенные частицы обладают нулевой плавучестью, на их поверхности выполняется условие прилипания, а движение дисперсионной среды относительно взвешенных частиц медленно. В качестве гидродинамической модели взвешенных частиц суспензии используется осесимметричная трехосная гантель.

При исследовании особенностей реологического поведения разбавленных суспензий недеформируемых взвешенных частиц в анизотропной дисперсионной среде в качестве реологической модели дисперсионной среды используется простая анизотропная жидкость Эриксена. Полученные реологические уравнения состояния разбавленной суспензии вытянутых взвешенных частиц в анизотропной дисперсионной среде позволяют изучать реологическое поведение соответствующих реальных суспензий, например, суспензий в жидких кристаллах нематического типа. При исследовании влияния анизотропии дисперсионной среды на динамику взвешенных частиц задача о вращательном движении взвешенной частицы сведена к исследованию качественного поведения динамической системы дифференциальных уравнений на плоскости. Для простого сдвигового течения суспензии с анизотропной дисперсионной средой установлена возможность формирования под действием только гидродинамических сил жидких анизотропных систем с двумя преимущественными направлениями, одно из которых создается стационарной ориентацией директора дисперсионной среды суспензии, а другое -- стационарной ориентацией взвешенных частиц. Это явление может быть использовано для армирования с помощью вытянутых одинаково ориентированных недеформируемых частиц (волокон) при формировании композитных материалов в матрицах, которые в жидком состоянии анизотропны. Установлено, что в простом сдвиговом течении в случае зависания взвешенных частиц суспензия с анизотропной дисперсионной средой проявляет упруговязкое поведение, которое выражается в существовании эффекта Вайссенберга, а неньютоновские свойства суспензии усиливаются по сравнению с неньютоновскими свойствами анизотропной дисперсионной среды.

При исследовании особенностей реологического поведения разбавленных суспензий недеформируемых взвешенных магнитных частиц в полярной дисперсионной среде в качестве реологической модели дисперсионной среды используется полярная жидкость Ковина. При исследовании реологического поведения разбавленной суспензии магнитных взвешенных частиц в жидкости Ковина показано, что в простом сдвиговом течении в присутствии внешнего магнитного поля такая суспензия ведет себя как псевдопластическая или дилатантная вязкоупругая жидкость в зависимости от соотношения гидродинамических и магнитных сил. Учет полярных характеристик дисперсионной среды делает более заметными неньютоновские свойства рассматриваемой суспензии по сравнению с суспензией в ньютоновской жидкости. Полученные реологические уравнения состояния разбавленной суспензии вытянутых взвешенных магнитных частиц в полярной дисперсионной среде с учетом действия внешнего магнитного поля позволяют исследовать реологическое поведение соответствующих реальных суспензий, например, суспензий недеформируемых вытянутых ферро- или ферримагнитных частиц в крови. Полученные результаты позволяют говорить об изменении реологических характеристик крови при добавлении к ней малых количеств лекарственных веществ или частиц, используемых для визуализации течения крови. Присутствие в крови взвешенных частиц изменяет не только ее вязкость, и, как следствие, течение крови в сосудах, но и давление крови на стенки сосудов в результате существования эффекта Вайссенберга в образованной суспензии. Показано, что для таких суспензий увеличение величины гематокрита крови или увеличение вытянутости взвешенной частицы при постоянной величине гематокрита крови приводит к увеличению внутренней вязкости суспензии и разностей нормальных напряжений в простом сдвиговом течении в сочетании с поперечным магнитным полем. Обнаруженная зависимость эффективной вязкости суспензии от интенсивности внешнего магнитного поля позволяет контролировать значение эффективной вязкости суспензии в крови и, таким образом, течение крови в сосудах и каналах устройств, которые используются при изучении крови вне человеческого организма.

Ключевые слова: разбавленная суспензия, жидкость с внутренним параметром, недеформируемые взвешенные частицы, реологические уравнения состояния, реологическое поведение, анизотропная система, магнитореология.

Summary

Gryaznova V.A. Features of rheological behaviour of dilute suspensions in fluids with internal parameter. - Manuscript.

Thesis submitted for obtaining of the Candidate of Sciences (Physics and Mathenatics) Degree in Mechanics of Fluid, Gas and Plasma (speciality 01.02.05). -- Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2003.

The rheological equations of state for dilute suspensions of rigid elongated particles taking account of their diametrical dimensions with anisotropic dispersive medium and the rheological equations of state for dilute suspensions of rigid elongated magnetic particles with polar dispersive medium taking account of external magnetic field are obtained in the thesis in the framework of the structure-phenomenological approach. As a hydrodynamic model of suspended particles a symmetric triaxial dumbbell is used.

The effect of non-Newtonian properties of dispersive media on the dynamics of suspended particles and rheological behaviour of suspensions is investigated in simple shear flow and uniaxial elongational flow on the basis of obtained rheological equations. The possibility of formation of liquid anisotropic systems with two principal directions is determined for the simple shear flow of suspension with anisotropic dispersive medium. Viscoelastic behaviour in simple shear flow in the case of hovering of suspended particles is discovered for such a suspension. Depending on relation between hydrodynamic and magnetic forces, pseudoplastic or dilatant viscoelastic behaviour is discovered in the simple shear flow in combination with external magnetic field for the suspension with polar dispersive medium.

Key words: dilute suspension, fluid with internal parameter, rigid suspended particles, rheological equations of state, rheological behaviour, anisotropic system, magnetorheology.

1. Загальна характеристика роботи

реологічний анізотропний енергетичний ейнштейн

Актуальність теми. Реологія суспензій зобов'язана своїм розвитком широкому використанню суспензій у виробництві пластиків, полімерів, скла, будівельних матеріалів, ліків, продуктів харчування, композитних матеріалів, рідких кристалів, тощо.

Основною задачею теоретичної реології суспензій є побудова їх реологічних рівнянь стану. Ці рівняння повинні замкнути систему рівнянь, яка описує поведінку рідини у ізотермічній течії і складається з математичних формулювань фундаментальних законів збереження. Реологічні рівняння стану встановлюють зв'язок між тензором напружень у рідині та її кінематичними властивостями з урахуванням особливостей конкретної рідини. Більшість результатів у реології суспензій при розв'язанні цієї проблеми отримані для суспензій з ньютонівським дисперсійним середовищем.

Використання у сучасній промисловості матеріалів зі складними властивостями (композитів, полімерів, рідких кристалів) викликає необхідність побудови реологічних моделей суспензій у так званих рідинах з внутрішніми параметрами, які характеризують поведінку мікроструктури середовища. Характерною особливістю таких рідин є явна залежність тензора напружень не тільки від кінематичних величин, які характеризують течію рідини, але й від внутрішніх параметрів. Cуспензії у рідинах з внутрішніми параметрами утворюються, наприклад, при формуванні композитних матеріалів шляхом армування анізотропних середовищ рідкокристалічного типу за допомогою видовжених недеформівних частинок (волокон). Інший приклад таких суспензій дає медицина: при доданні у кров невеликих кількостей макромолекул лікарських речовин або речовин, призначених для візуалізації течії крові у судинах у процесі діагностики або лікування певних захворювань, утворюються суспензії, які можуть бути змодельовані суспензіями у полярній або мікрополярній рідині.

У роботах Є.Ю. Тарана, Ю.В. Придатченка, В.С. Волкова отримані реологічні рівняння стану суспензій одновісних гантелей у полярній, мікрополярній та анізотропній рідинах. Проте використання одновісної гантелі як моделі зважених частинок не дозволяє повною мірою врахувати особливості поведінки відповідних середовищ. У роботах Є.Ю. Тарана, Ю.В. Придатченка, І.Т. Селезова, Д.Є. Тарана отримані реологічні рівняння стану суспензій тривісних гантелей у ізотропних мікроструктурних рідинах. У цих роботах розглядається вплив на реологічну поведінку суспензії гідродинамічних кинематичних характеристик течії і обертального броунівського руху, але не враховується можливість впливу на поведінку суспензій зовнішніх силових полів (електричного або магнітного), хоча суспензії ферро- та феррімагнітних частинок у крові застосовуються у медицині при діагностуванні та лікуванні онкологічних захворювань. Таким чином, тема дисертаційної роботи є актуальною як у теоретичному, так і у практичному плані.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Відображені в дисертаційній роботі дослідження мали тісний зв'язок з НДР № 97042 (№ держреєстрації 0197 U 003431) програми Київського університету за темою “Математичне моделювання в реології суспензій та розчинів полімерів” (1997 - 2000 р.) і з НДР № 01БФ052-05 (№ держреєстрації 0101 U 006683) програми Київського університету за темою “Розробка нових радіофізичних методів для діагностики та лікування людей” (2001-2005 р.).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження є побудова реологічних рівнянь стану розведених суспензій недеформівних видовжених частинок з урахуванням їх поперечних розмірів у анізотропному дисперсійному середовищі і реологічних рівнянь стану недеформівних видовжених частинок, які мають сталий магнітний момент, у полярному дисперсійному середовищі з урахуванням дії зовнішнього магнітного поля, а також подальше дослідження на основі цих рівнянь вплива на реологічну поведінку відповідних суспензій особливостей дисперсійних середовищ, зважених частинок та зовнішніх силових полів. Як метод побудови реологічних рівнянь стану пропонується структурно-феноменологічний підхід з використанням енергетичного метода Ейнштейна у структурній частині.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше:

отримано реологічні рівняння стану розведеної суспензії осесиметричних недеформівних частинок з урахуванням їх поперечних розмірів у анізотропному дисперсійному середовищі. Як реологічна модель дисперсійного середовища суспензії при цьому використовується проста анізотропна рідина Еріксена, а як гідродинамічна модель зважених частинок -- осесиметрична тривісна гантель;

теоретично досліджена динаміка видовжених зважених частинок суспензії, довільно орієнтованих у просторі на момент початку течії, у простій зсувній течії та течії одновісного розтягу анізотропного дисперсійного середовища. При цьому для простої зсувної течії встановлена можливість утворення анізотропних рідких систем з двома переважними напрямками;

теоретично досліджений вплив параметрів анізотропного дисперсійного середовища та зважених частинок на реологічні характеристики суспензії у простій зсувній течії та течії одновісного розтягу;

отримані реологічні рівняння стану розведеної суспензії осесиметричних недеформівних магнітних частинок у полярному дисперсійному середовищі з урахуванням наявності зовнішнього магнітного поля. Як реологічна модель дисперсійного середовища суспензії при цьому використовується полярна рідина Ковіна, а як гідродинамічна модель зважених частинок -- осесиметрична тривісна гантель;

теоретично досліджена динаміка видовжених зважених частинок суспензії з урахуванням дії зовнішнього магнітного поля у простій зсувній течії та течії одновісного розтягу полярного дисперсійного середовища;

теоретично досліджений вплив параметрів зовнішнього магнітного поля, полярного дисперсійного середовища та зважених частинок на реологічні характеристики суспензії у простій зсувній течії та течії одновісного розтягу.

Практичне значення одержаних результатів. Реологічні рівняння стану, одержані у роботі, дозволяють вивчати реологічну поведінку суспензій у рідинах, які моделюються середовищами з внутрішнім параметром, у тому числі суспензій у рідких кристалах або суспензій у крові. Результати теоретичних досліджень реологічної поведінки розведених суспензій у неньютонівських рідинах з внутрішним параметром, одержані в роботі, можуть бути використані у реології композитних матеріалів у процесі їх формування, а також для дослідження магнітореологічної поведінки розведеної суспензії недеформівних частинок у крові.

Публікації і особистий внесок здобувача. За темою дисертаційної роботи опубліковано 10 наукових праць, у тому числі 5 -- у наукових журналах [1-5], 5 -- у тезах конференцій та симпозіумів [6-10].

Основні результати були отримані автором самостійно. У роботі [1] автору належить побудова рівнянь, які описують напружений стан суспензії, а також вибір метода розв'язання і розв'язання аналітичної частини математичної задачі. У роботі [2] автору належить побудова і аналіз рівнянь руху модельних частинок, а також розв'язання аналітичної частини і чисельний аналіз математичної задачі. У роботі [3] автору належить побудова реологічних рівнянь стану суспензії, а також вибір метода розв'язання, розв'язання аналітичної частини і чисельний аналіз математичної задачі. У роботі [4] автору належить побудова рівнянь напруженого стану суспензії, а також розв'язання аналітичної частини і чисельний аналіз математичної задачі. У роботі [5] автору належить побудова рівнянь, які описують дотичні та нормальні напруження у суспензії, а також розв'язання аналітичної частини і чисельний аналіз математичної задачі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, відображені в роботі, доповідались на таких міжнародних конференціях та симпозіумах: “Modelling and investigation of system stability” (Київ, 1997); 20-й симпозіум по реології (Карачарово, Росія, 2000); 11^th International Conference on Mechanics of Composite Materials (Ріга, Латвія, 2000); 9^th International Conference on Magnetic Fluids (Бремен, Німеччина, 2001); 13^th International Conference on Internal Friction and Ultrasonic Attenuation in Solids (Більбао, Іспанія, 2002); 21-й симпозіум по реології (Осташков, Росія, 2002); 13^th Conference of the European Society of Biomechanics (Вроцлав, Польща, 2002).

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 3 розділів основної частини, висновків, списку використаних джерел та двох додатків. Загальний обсяг дисертації становить 111 сторінок, список літературних джерел утримує 110 найменувань і розміщений на 10 сторінках, додатки займають 7 сторінок.

Автор вдячний своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Придатченку Ю.В. за постійну увагу до роботи, а також доктору фізико-математичних наук, професору Тарану Є.Ю. за наукові консультації при обговоренні отриманих результатів.

2. Основний зміст роботи

У вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема, обґрунтовується актуальність її теми, сформульована мета дослідження, визначені новизна та практичне значення отриманих результатів. Вказано на зв`язок роботи з науковими темами, наведено публікації автора, в яких викладено основний її зміст.

В першому розділі проведено огляд наукових праць за темою дисертації. Зокрема, розглянуті неньютонівські властивості суспензій, а також підходи, які можуть бути використані при побудові реологічних рівнянь стану суспензій і розчинів полімерів.

При феноменологічному підході суспензія або розчин моделюється суцільним середовищем (континуумом) без урахування структурних особливостей або структурним континуумом, який враховує мікроструктуру середовища. При структурному (мікроскопічному) підході поведінка складних матеріалів визначається за допомогою відомих реологічних властивостей їх елементів. При цьому макроскопічні властивості виражаються через осереднені мікроскопічні характеристики.

Основоположними в дослідженнях реології суспензій були роботи А. Ейнштейна по вивченню розведеної суспензії сферичних частинок у ньютонівській рідині. Саме у цих роботах був запропонований структурний енергетичний підхід реологічного моделювання суспензій. За допомогою цього метода можна визначити швидкість дисипації механічної енергії у градієнтних течіях рідини або ефективну в'язкість (скалярну функцію), але не можна відповісти на основне питання реології: який вигляд має реологічне рівняння стану суспензії або розчину, що розглядається. Використання структурного динамічного метода Л.Д. Ландау дозволило В.Н. Покровському одержати реологічне рівняння стану розведеної суспензії еліпсоїдальних частинок у ньютонівській рідині. Але у випадках достатньо складної мікроструктури зважених частинок розведеної суспензії та/або її дисперсійного середовища метод Ландау призводить до дуже складних обчислень, що значно знижує ефективність його використання.

В рамках феноменологічного підходу була побудована реологічна модель простої анізотропної рідини Еріксена-Леслі, яка використовується для моделювання нематичних рідких кристалів з метою дослідження їх динамічних властивостей. Адекватність такого моделювання є загальновизнаною і доведена, зокрема, у роботі B.L. Van Horn, H.H. Winter з використанням результатів експериментальних досліджень D.M. Boudreau, H.H. Winter, C.P. Lillya, R.S. Stein. Також у рамках феноменологічного підходу була побудована реологічна модель полярної рідини Ковіна, реологічна поведінка якої є подібною до реологічної поведінки крові при її течії по кровоносних судинах, і яка використовувалася для моделювання крові з метою дослідження її динамічних властивостей, зокрема, у роботах T. Ariman, M.A. Turk, N.D. Sylvester та P. Chaturani, D. Biswas з використанням результатів експериментів G. Bugliarello, J. Sevilla. Але загальний недолік феноменологічних реологічних моделей полягає в тому, що феноменологічні сталі, які входять до складу реологічних рівнянь, повинні визначатися в експериментах, причому кількості можливих незалежних віскозиметричних експериментів часто не вистачає для того, щоб визначити всі необхідні сталі.

У роботах G.L. Hand, Ю.І. Шмакова, Є.Ю. Тарана і Ю.В. Придатченка для вивчення суспензій еліпсоїдальних частинок у ньютонівській рідині був запропонований структурно-феноменологічний підхід, який об'єднує сильні сторони феноменологічного і структурного підходів. Він істотно спрощує процес побудови реологічних рівнянь стану суспензії, а у деяких випадках (а саме, коли мікроструктура дисперсійного середовища або зважених частинок є порівняно складною) є єдино можливим методом на теперішній час. У рамках структурно-феноменологічного підходу як гідродинамічна модель зважених частинок суспензії можуть використовуватись не тільки класичні моделі (сфера, еліпсоїд, одновісна гантель), але і моделі більш складної геометрії, зокрема, запропоновані Ю.В. Придатченком та Є.Ю. Тараном симетрична і асиметрична тривісні гантелі.

Огляд літературних джерел свідчить про те, що більшість результатів при дослідженні реологічної поведінки суспензій отримані для суспензій з ньютонівським дисперсійним середовищем, на той час як сьогоденні потреби вимагають досліджень реологічної поведінки матеріалів зі складними властивостями або суспензій у крові, які можуть бути змодельовані суспензіями у рідинах з внутрішніми параметрами. Незважаючи на результати, отримані Є.Ю. Тараном, Ю.В. Придатченком, В.С. Волковим, І.Т. Селезовим, Д.Є. Тараном, ці питання досі не можна вважати достатньо вивченими.

У другому розділі отримані реологічні рівняння стану розведених суспензій недеформівних видовжених частинок у анізотропному рідкому середовищі, які використовуються для дослідження особливостей реологічної поведінки таких суспензій. Як реологічна модель дисперсійного середовища суспензії при цьому використовується проста анізотропна рідина Еріксена. Для опису поведінки мікроструктури в цій моделі використовується одиничний вектор, який називається директором і характеризує орієнтацію частинок рідини у процесі течії. Тензор напружень t_ij у простій анізотропній рідині Еріксена є функцією тензора швидкостей деформації d_ij і директора u_i:

t_ij = - p_ij + 2 d_ij + (_{1 + 2} d_km u_k u_m) u_i u_j + 2₃ (d_ik u_k u_j + d_jk u_k u_i), , (1)

де _ij -- символ Кронекера; , ₁, ₂, ₃ -- феноменологічні сталі. Визначальне рівняння для директора має вигляд

Du_i / Dt = (d_ij u_j - d_jk u_k u_i u_j), (2)

де Du_i / Dt=_i - _iju_j -- яуманівська похідна по часу; _ij -- тензор вихора швидкості; -- феноменологічна стала. Предметом дослідження у цій роботі є суспензії з анізотропним дисперсійним середовищем, для якого || 1 і напруження у стані спокою співпадає з ізотропним гідростатичним тиском, тобто ₁ = 0. Саме у такому випадку проста анізотропна рідина Еріксена використовується для моделювання рідких кристалів нематичного типу.

При || 1 директор u_i у стаціонарних течіях набуває стаціонарної орієнтації. Зокрема, у простій зсувній течії

V_x = 0, V_y = Kx, V_z = 0 (K=const) (3)

рівняння (2) має стаціонарний розв'язок

ctg² = ( - 1)/( + 1), = / 2, (4)

де і -- кути, які визначають положення вектора u_i у лабораторній системі координат Oxyz:

u_x =cos sin , u_y = sin sin , u_z = cos,

-- кут між проекцією вектора u_i на площину Oxy і віссю Ox; -- кут між віссю Oz і вектором u_i. Орієнтація директора при цьому залежить від величини сталої : при 1 кут змінюється у межах /4 /2, при - 1 -- у межах - /4 0.

Орієнтація вектора u_i змінюється в залежності від геометрії течії. Так, у течії одновісного розтягу

V_x = - (K₁ / 2) x, V_y = - (K₁ / 2) y, V_z = K₁ z (K₁=const) (5)

вектор u_i орієнтується колінеарно до вісі Oz при 1 і паралельно до площини Oxy при - 1. Стаціонарна орієнтація вектора u_i при цьому не залежить від величини швидкості розтягу K₁.

Ефективна в'язкість анізотропної рідини (1), (2) при ₁ = 0 і | | 1 у стаціонарних течіях не залежить від градієнтів швидкості течії, але, на відміну від ньютонівських рідин, залежить від орієнтації директора u_i. Це призводить до наявності різних коефіцієнтів поступального тертя і сферичної частинки під час її руху у рідині (1), (2) вздовж директора і перпендикулярно до нього. На сферичну частинку, яка рухається зі швидкістю U_i у анізотропній рідині (1), (2), діє сила опору -_ij U_i, де тензор поступального тертя _ij сферичної частинки в анізотропній рідині.

В першому підрозділі отримуються реологічні рівняння стану розведених суспензій недеформівних видовжених частинок у анізотропному рідкому середовищі.

Задача розв'язується в рамках припущень Ейнштейна. Припускається, що суспензія розведена і зважені частинки мають нульову плавучість. Розміри зважених частинок вважаються значно більшими за відповідні розміри елементів мікроструктури, які формують анізотропію дисперсійного середовища, а отже, останнє взаємодіє із зваженими частинками як із гідродинамічними тілами. В той же час, розміри зважених частинок вважаються досить малими для того, щоб швидкість дисперсійного середовища в околі кожної зваженої частинки була лінійною функцією координат. Припускається також, що рух дисперсійного середовища відносно зважених частинок є повільним, а на поверхні зважених частинок виконується умова прилипання.

Як гідродинамічна модель недеформівних непротічних зважених частинок суспензії, які є осе- та центрально-симетричними, використовується симетрична тривісна гантель з осями L₁, L₂ = L₃. При цьому якщо кінець осі гантелі обтікається анізотропним дисперсійним середовищем зі швидкістю, то на нього з боку дисперсійного середовища діє сила, де _ij -- тензор поступального тертя сферичної частинки в анізотропній рідині (6). Припускається, що осі гантелі гідродинамічно не взаємодіють з дисперсійним середовищем.

Для отримання реологічного рівняння стану суспензії, що розглядається, використовується структурно-феноменологічний підхід. На першому (структурному) етапі отримується визначальне рівняння для вектора n_i, який характеризує орієнтацію гантельної частинки, а саме, рівняння обертального руху зваженої частинки під дією тільки гідродинамічних сил.

На цьому ж етапі отримано вираз для швидкості дисипації механічної енергії в одиниці об'єму суспензії. Осереднення при переході з мікро- на макрорівень у цьому виразі проводиться за допомогою функції розподілу F кутових положень вектора n_i.

Вид і структура отриманого в рамках структурної теорії виразу для швидкості дисипації механічної енергії дозволяє на другому етапі побудувати феноменологічне рівняння для тензора напружень у суспензії, а також, за допомогою цього рівняння, феноменологічний вираз для швидкості дисипації механічної енергії в одиниці об'єму суспензії з невідомими реологічними сталими.

При порівнянні структурного і феноменологічного виразів для швидкості дисипації механічної енергії в одиниці об'єму суспензії на третьому етапі визначаються невідомі реологічні сталі і отримується остаточний вигляд реологічного рівняння стану для тензора напружень T_ij у суспензії недеформівних осесиметричних зважених частинок з анізотропним дисперсійним середовищем.

Одержані реологічні рівняння стану розведеної суспензії видовжених частинок у анізотропному дисперсійному середовищі (7), (9) дозволяють вивчати реологічну поведінку відповідних суспензій, зокрема, суспензій у рідких кристалах.

У другому підрозділі досліджується динаміка видовжених зважених частинок суспензії в основних віскозиметричних течіях -- течії простого зсуву (3) і течії одновісного розтягу (5). При цьому задача про обертальний рух зваженої частинки зводиться до дослідження якісної поведінки динамічної системи диференціальних рівнянь на площині. Дослідження обертального руху зважених частинок під дією гідродинамічних сил показало, що при певних значеннях параметрів і , які характеризують зважені частинки і анізотропне дисперсійне середовище, у простій зсувній течії розведеної суспензії осесиметричних видовжених недеформівних частинок з анізотропним дисперсійним середовищем можливе формування рідкокристалічних анізотропних структур під дією лише гідродинамічних сил, які діють з боку дисперсійного середовища на зважені частинки.

Зважені частинки суспензії, довільно орієнтовані на момент початку течії простого зсуву (3), під дією гідродинамічних сил повертаються до положення, перпендикулярного до площини зсуву, і у суспензії виникає анізотропна система з двома взаємноперпендикулярними переважними напрямами, один з яких утворює стаціонарна орієнтація директора анізотропного дисперсійного середовища, а другий - однакова стаціонарна орієнтація зважених частинок під дією гідродинамічних сил у градієнтній течії простого зсуву дисперсійного середовища суспензії.

Для значень , і, які визначаються співвідношеннями зважені частинки, довільно орієнтовані на момент початку течії простого зсуву (3), так повернуться після її початку під дією гідродинамічних сил, що врешті решт головні осі L₁ частинок опиняться у площині зсуву, і вказані стаціонарні переважні напрямки будуть лежати в одній площині - площині зсуву простої зсувної течії (3).

Видовжена тривісна гантель, головна вісь якої L₁ знаходиться в площині зсуву, періодично обертається в анізотропному дисперсійному середовищі, якщо її осьове відношення менше за деяке критичне значення, яке, в свою чергу, залежить від властивостей дисперсійного середовища, визначених параметрами і . У випадку обертальний рух зваженої частинки припиняється. В цьому випадку стаціонарна орієнтація зваженої частинки під дією гідродинамічних сил в простій зсувній течії (3) не залежить від швидкості зсуву K, але залежить від і . Зі збільшенням видовженості зважених частинок і/або збільшенням кут * зависання частинок у площині зсуву наближається до кута орієнтації директора, який характеризує анізотропію дисперсійного середовища у його простій зсувній течії.

Явище стаціонарної орієнтації осесиметричних видовжених частинок () у простій зсувній течії суспензії під дією тільки гідродинамічних сил є характерним виключно для суспензій з анізотропним дисперсійним середовищем. Це явище може бути використане для армування за допомогою видовжених однаково орієнтованих недеформівних дисперсних частинок (волокон) при формуванні композитних матеріалів у матрицях, які в рідкому стані є анізотропними.

У випадку течії одновісного розтягу (5) дисперсійного середовища суспензії анізотропія дисперсійного середовища не виявляє значного впливу на динаміку зважених частинок, хоча і може впливати на форму траекторій зважених частинок під час їх руху до стаціонарного положення, паралельного вісі розтягнення.

У третьому підрозділі на основі реологічного рівняння стану для напружень (9) досліджується вплив параметрів дисперсійного середовища та зважених частинок на реологічні характеристики суспензії. При цьому при стаціонарній орієнтації зважених частинок у течіях простого зсуву (3) та одновісного розтягу (5) функція розподілу їх кутових положень перетворюється на -функцию Дірака, сконцентровану в куті зависання * зважених частинок. На основі визначальних компонент тензора напружень у суспензії T_ij знайдені вирази для безрозмірного збільшення ефективної в'язкості суспензії, а також для безрозмірних збільшень різниць нормальних напружень, у течії простого зсуву. У приведених формулах _a = (T_xy + T_yx) / (2K) -- ефективна в'язкість суспензії; -- ефективна в'язкість анізотропного дисперсійного середовища (1), (2); де ₁ = T_yy - T_zz, ₂ = T_xx - T_zz -- перша і друга різниці нормальних напружень у суспензії, відповідно;, -- перша і друга різниці нормальних напружень у анізотропному дисперсійному середовищі (1), (2), відповідно.

При дослідженні реологічних характеристик суспензії для течії простого зсуву встановлено, що у випадку зависання зважених частинок така суспензія виявляє пружнов'язку поведінку, що виражається у прояві ефекта Вайссенберга (нерівності нормальних напружень), а неньютонівські властивості суспензії посилюються порівняно з неньютонівськими властивостями анізотропного дисперсійного середовища.

У третьому розділі отримані реологічні рівняння стану розведених суспензій осесиметричних недеформівних магнітних частинок у полярному дисперсійному середовищі з урахуванням наявності зовнішнього магнітного поля, які використовуються для дослідження особливостей магнітореологічної поведінки таких суспензій. Як реологічна модель дисперсійного середовища суспензії при цьому використовується полярна рідина Ковіна, напружений стан у якій визначається реологічними рівняннями стану.

В (12), (13), тензор моментних напружень _ij розглядається разом з тензором в'язких напружень _ij. Цей останній визначається градієнтами _{i,j ij} власної кутової швидкості _i частинок рідини. У загальному випадку, _m не дорівнює місцевій кутовій швидкості _i = (1/2)_ijkk,j рідини (тут _ijk -- символ Леві-Чівіта). Зауважимо, що _ij у (12) є асиметричним на відміну від ньютонівської рідини. Асиметрія тензора _ij зумовлена його залежністю від тензора. У (12), (13) , k*, *, *, * -- реологічні сталі, решта позначень співпадає з відповідними позначеннями другого розділу. У рівняннях (12), (13) відсутня явна залежність між векторними полями _i і _i, тому дослідження впливу моментних напружень _ij на реологічну поведінку полярної рідини можливе лише за умови розв'язання відповідних рівнянь руху. Ефективна в'язкість полярної рідини не залежить від кінематичних величин, а визначається лише геометрією течії і реологічними сталими моделі (12), (13). Ефект Вайссенберга для простої зсувної течії полярної рідини не спостерігається.

На сферичну частинку, яка рухається зі швидкістю U_i у полярній рідині (12), (13), діє сила опору - U_j, де = _N (1 + B); _N 6 r -- коефіцієнт тертя бусинки гантелі у повільному поступальному русі ньютонівської рідини з динамічною в'язкістю .

Припускається, що зважені частинки суспензії є осесиметричними і мають сталий магнітний момент p_i = qn_i, де q -- величина сталого магнітного момента; n_i -- одиничний вектор, який характеризує орієнтацію осесиметричної зваженої частинки. Розглядається рух зважених частинок під дією гідродинамічних сил, а також сил зовнішнього магнітного поля H_i. При цьому вважається, що на модельну частинку у магнітному полі H_i діє зовнішній магнітний момент.

В першому підрозділі отримуються реологічні рівняння стану розведених суспензій осесиметричних недеформівних магнітних частинок у полярному дисперсійному середовищі з урахуванням наявності зовнішнього магнітного поля. Як гідродинамічна модель недеформівних непротічних зважених частинок суспензії, які є осе- та центрально-симетричними, знову використовується симетрична тривісна гантель (Рис.1). Аналогічно до попереднього розділу, припускається, що осі тривісної гантелі під час течії не зазнають впливу гідродинамічного тертя.

Реологічні рівняння стану отримуються за умов виконання припущень Ейнштейна в рамках структурно-феноменологічного підходу. Аналогічно до попереднього розділу, на першому (структурному) етапі отримується визначальне рівняння для вектора.

При порівнянні структурного і феноменологічного виразів для швидкості дисипації механічної енергії в одиниці об'єму суспензії, отриманих на перших двох етапах структурно-феноменологічного підходу, на третьому етапі визначаються невідомі реологічні сталі і отримується остаточний вигляд реологічного рівняння стану для тензора напружень у суспензії недеформівних осесиметричних магнітних зважених частинок з полярним дисперсійним середовищем з урахуванням дії зовнішнього магнітного поля.

У другому підрозділі реологічні рівняння стану (14), (15) використовуються для дослідження вплива моментних напружень і обертальної в'язкості дисперсійного середовища на реологічну поведінку суспензії в простій зсувній течії (3) за наявності зовнішнього магнітного поля

H_x = H, H_y = H_z = 0 (H=const). (16)

При дослідженні динаміки видовжених зважених частинок у простій зсувній течії (3) отримано, що при _cr, де = KW / (qH), , зважені частинки стаціонарно зависають у площині зсуву і орієнтуються під кутом до вісі Ox. При > _cr зважені частинки обертаються в площині зсуву з кутовою швидкістю.

З урахуванням отриманих результатів для суспензії в крові знайдені залежності внутрішньої в'язкості та різниці нормальних напружень, від _N = KW_N / (qH), і гематокріта крові C_b. При цьому використовуються експериментальні дані G. Bugliarello, J. Sevilla.

Показана залежність ефективної в'язкості для розведеної суспензії осесиметричних недеформівних частинок у крові від параметра _N при різних видовженнях зважених частинок і різних значеннях величини гематокріта крові C_b.

Псевдопластична поведінка суспензії, тобто зменшення зі збільшенням _N, що має місце при при неперервній зміні стаціонарного кута зависання зважених частинок. Проте існує критичне значення, коли стаціонарне зависання зважених частинок перестає спостерігатися і починається обертальний рух зважених частинок. Ділатантна поведінка суспензії, тобто збільшення зі збільшенням _N, яке спостерігається на кожній з кривих Рис. 5, відповідає обертальній дінаміці зважених частинок.

Показані залежності різниць нормальних напружень і для розведеної суспензії осесиметричних недеформівних частинок у крові від параметра _N при різних видовженнях зважених частинок і різних значеннях величини гематокріта крові C_b.

Таким чином, показано, що збільшення величини гематокріта крові C_b призводить до збільшення внутрішньої в'язкості суспензії і різниць нормальних напружень і в простій зсувній течії суспензії в крові у поєднанні з поперечним магнітним полем.

Отримані результати виявляють зміни реологічних характеристик крові при додаванні до неї у малих кількостях ліків або частинок, які використовуються для візуалізації течії крові. Теоретично виявлено, що присутність зважених частинок у крові змінює не тільки в'язкість крові і, як наслідок, течію крові у судинах, але і тиск крові на стінки судин в результаті існування ненульових різниць нормальних напружень і (ефекта Вайссенберга) у створеній суспензії.

Залежність ефективної в'язкості суспензії від параметра _N, тобто від інтенсивності зовнішнього магнітного поля H, дозволяє контролювати значення ефективної в'язкості суспензії у крові і, таким чином, течію крові у судинах і каналах пристроїв, які використовуються при вивченні крові поза організмом людини.

У третьому підрозділі реологічні рівняння стану (14), (15) використовуються для дослідження вплива моментних напружень, і обертальної в'язкості дисперсійного середовища на реологічну поведінку суспензії, у течії одновісного розтягу (5) за наявності зовнішнього магнітного поля

H_x = 0, H_y = H sin, H_z = H cos (H=const), (17)

де кут може набувати будь-яких значень.

При дослідженні динаміки видовжених зважених частинок у течії одновісного розтягу (5) отримано, що у випадку, коли параметр ₁ = K₁W / (qH), який характеризує відношення гідродинамічних і магнітних сил, діючих на зважену частинку, не перевищує деякого критичного значення, яке залежить від кута між напрямком магнітного поля і віссю розтягнення течії (5), зважені частинки стаціонарно зависають без обертання в площині Oyz, і орієнтуються під деяким кутом ₀ до вісі розтягнення Oz. При зважені частинки можуть займати одне з двох стійких стаціонарних положень у площині Oyz, тобто зависати під одним з двох кутів ₁ або ₂ до вісі Oz.

Результат, який свідчить про можливе існування двох стаціонарних положень зважених частинок, може бути пояснений таким чином. З точки зору гідродинамічної взаємодії зваженої частинки і дисперсійного середовища суспензії положення n_i і - n_i головної вісі зваженої частинки не розрізняються. Зовнішне магнітне поле (17) є спрямованим у певному напрямку і взаємодіє зі зваженою частинкою, яка має сталий магнітний момент p_i = qn_i, з урахуванням того, у який бік напрямлений цей сталий магнітний момент. Отже, при порівняно малих значеннях параметра ₁, що відповідає більшій інтенсивності магнітних сил, зважені частинки можуть набувати тільки одного стаціонарного положення, оскільки гідродинамічні сили не можуть суттєво вплинути на орієнтацію частинки. Коли ж значення параметра ₁ збільшується, тобто зростає інтенсивність гідродинамічних сил порівняно з магнітними, починає даватися взнаки симетрія гідродинамічної взаємодії, і зважені частинки можуть набувати двох стаціонарних положень.

У додатках наведені додаткові варіанти графічного подання залежностей безрозмірних збільшень ефективної в'язкості і різниць нормальних напружень ₁ і ₂ суспензії з анізотропним дисперсійним середовищем від параметрів анізотропного дисперсійного середовища і зважених частинок у простій зсувній течії (3).

Висновки

В рамках структурно-феноменологічного підходу отримано реологічні рівняння стану розведеної суспензії осесиметричних недеформівних частинок з урахуванням їх поперечних розмірів у анізотропному дисперсійному середовищі. Як реологічна модель дисперсійного середовища суспензії при цьому використовується проста анізотропна рідина Еріксена, а як гідродинамічна модель зважених частинок -- осесиметрична тривісна гантель.

За допомогою цих рівнянь теоретично досліджено динаміку видовжених зважених частинок суспензії у простій зсувній течії та течії одновісного розтягу анізотропного дисперсійного середовища. Задачу про обертальний рух зваженої частинки зведено до дослідження якісної поведінки динамічної системи диференціальних рівнянь на площині. Для простої зсувної течії встановлена можливість формування рідких анізотропних систем з двома переважними напрямками.

Теоретично досліджено вплив параметрів анізотропного дисперсійного середовища та зважених частинок на реологічні характеристики суспензії у простій зсувній течії та течії одновісного розтягу у випадку зависання зважених частинок суспензії. Встановлено, що у течії простого зсуву у випадку зависання зважених частинок така суспензія виявляє пружнов'язку поведінку.

В рамках структурно-феноменологічного підходу отримано реологічні рівняння стану розведеної суспензії осесиметричних недеформівних магнітних частинок у полярному дисперсійному середовищі з урахуванням дії зовнішнього магнітного поля. Як реологічна модель дисперсійного середовища суспензії при цьому використовується полярна рідина Ковіна, а як гідродинамічна модель зважених частинок -- осесиметрична тривісна гантель.

За допомогою цих рівнянь теоретично досліджено динаміку видовжених зважених частинок суспензії з урахуванням дії зовнішнього магнітного поля у простій зсувній течії та течії одновісного розтягу полярного дисперсійного середовища.

Теоретично досліджено вплив параметрів зовнішнього магнітного поля, полярного дисперсійного середовища та зважених частинок на реологічні характеристики суспензії у простій зсувній течії та течії одновісного розтягу. Показано, що така суспензія в простій зсувній течії у присутності зовнішнього магнитного поля поводить себе як псевдопластична або ділатантна в'язкопружна рідина в залежності від співвідношення гідродинамічних і магнітних сил.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

1. Pridatchenko Yu.V., Taran E. Yu., Gryaznova V.A. Constitutive equations of a dilute suspension with anisotropic dispersive medium // Доповіді НАН України. -- 1999. -- № 7. -- С. 82-85.

2. Грязнова В.О., Придатченко Ю.В., Таран Є.Ю. Динаміка зважених частинок суспензії в анізотропному дисперсійному середовищі // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. -- 2001. -- Вип. 2. -- С. 125-137.

3. Таран Е.Ю., Придатченко Ю.В., Грязнова В.А. Особенности формирования композитных материалов в анизотропных жидких системах с помощью вытянутых взвешенных частиц // Механика композитных материалов. -- 2001. -- Т. 37, № 3. -- С. 399-406.

4. Taran E.Yu., Pridatchenko Yu.V., Gryaznova V.A. Features of magnetorheology of suspension with the Cowin polar carrier fluid // J. Magn. Magn. Mater. -- 2002. -- Vol. 252. -- P. 229-231.

5. Taran E.Yu., Pridatchenko Yu.V., Gryaznova V.A. Structure-phenomenological rheology of dilute suspension in blood // Acta Bioeng. Biomech. -- 2002. -- Vol. 4, Suppl. 1. -- P. 507-508.

6. Грязнова В.А., Придатченко Ю.В., Таран Е.Ю. Динамика взвешенных частиц суспензии в простом сдвиговом течении анизотропной дисперсионной среды // Intern. Conference “Modelling and Investigation of Systems Stability. Systems Simulation”. Thesis of Conference Reports. May 19-23, 1997, Kіev. -- 1997. -- P. 36.

7. Таран Е.Ю., Придатченко Ю.В., Грязнова В.А. Магнитореология суспензий в жидкостях с моментными напряжениями // XX Symposium of Rheology. Collection of Abstracts. May 22-27, 2000, Karacharovo, Russia. -- 2000. -- P. 177.

8. Taran E.Yu., Pridatchenko Yu.V., Gryaznova V.A. Features of the formation of composite materials in anisotropic liquid systems with elongated suspended particles // Eleventh International Conference “Mechanics of Composite Materials”. June 11 - 15, Riga, Latvia, Book of Abstracts. -- Riga. -- 2000. -- P. 202-203.

9. Таран Е.Ю., Придатченко Ю.В., Грязнова В.А. Формирование двухосной анизотропии в градиентных течениях суспензий // 21 симпозиум по реологии. Тезисы докладов. 24-29 июня, 2002, г. Осташков. -- 2002. -- С. 99.

10. Taran E.Yu., Pridatchenko Yu.V., Gryaznova V.A. Formation of composite materials in gradient flows of suspension // 13-th International Conference on Internal Friction and Ultrasonic Attenuation in Solids (ICIFUAS-13). July 8-12, 2002, Bilbao, Spain. Abstracts Book. -- 2002. -- P. 154.

Размещено на Allbest.ru

...