Квазістатичні задачі термопружності для плоско-шаруватих тіл при локальному нагріві

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ІМ. Я.С.ПІДСТРИГАЧА

ТУРЧИН ОЛЬГА ЮРІЇВНА

УДК 539.3

КВАЗІСТАТИЧНІ ЗАДАЧІ ТЕРМОПРУЖНОСТІ ПЛОСКО-ШАРУВАТИХ ТІЛ ПРИ ЛОКАЛЬНОМУ НАГРІВІ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, доцент

ГАЛАЗЮК Віталій Аполлонович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри механіки.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор

ГАЧКЕВИЧ Олександр Романович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу;

доктор фізико-математичних наук, ст. наук. співр.

КОЗЛОВ Володимир Ілліч Інститут механіки ім. С. Тимошенка НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа

Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, кафедра механіки суцільного середовища.

Захист відбудеться “25” грудня 2003 року о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м.Львів, вул Наукова, 3б.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м.Львів, вул Наукова, 3б.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 79060, м.Львів, вул Наукова, 3б, ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради.

Автореферат розіслано “24” листопада 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, Шевчук П.Р.

кандидат фізико-математичних наук, ст. наук. співр.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Застосування новітніх технологій в машино-, приладобудуванні, енергетиці та інших галузях вимагає створення та широкого використання принципово нових матеріалів з прогнозованими експлуатаційними можливостями та пристосовуваністю до змінюваних умов експлуатації. Особливе місце серед такого роду матеріалів займають стратифіковані матеріали, фізико-механічні властивості яких є функціями просторових координат та часу. Найпростішими з них є шаруваті структури, фізико-механічні властивості яких змінюються стрибкоподібно при збереженні відповідних умов спряження на поверхнях поділу. Незважаючи на відносну простоту цієї моделі дослідження перехідних процесів у кусково-однорідних елементах конструкцій, викликаних температурними та силовими чинниками є важливою науково-технічною проблемою. При цьому необхідно задовольнити прагнення до максимального спрощення математичних моделей складових конструкцій за умови збереження їх адекватності реальним процесам, що відбуваються під час виготовлення та функціонування таких об'єктів. Вивчення особливостей трансформації фізико-механічних полів та глобального поводження таких матеріалів, викликаних реальними умовами експлуатації, є актуальною проблемою сучасної механіки. Крім того існує проблема діагностики багатошарових конструкцій тривалої експлуатації, що полягає у обґрунтуванні прогнозу поведінки конструкції за збереження актуального стану та тенденцій розвитку процесу. Це стало причиною значного інтересу вітчизняних і зарубіжних вчених до таких досліджень, розробки ефективних методів їх проведення, а також використання при цьому сучасних засобів математичного моделювання і обчислювальної техніки.

Основні результати вирішення такого роду проблем відображені в низці монографій та статей, зокрема, у працях Я.Й.Бурака, В.М.Вігака, О.Р.Гачкевича, А.Д.Коваленка, В.І.Козлова, Ю.М.Коляно, Г.О.Мотовиловця, В.Новацького, Г.Паркуса, Я.С.Підстригача, Б.Ю.Победрі, Ю.М.Подільчука, Ю.С.Постольника, І.О.Прусова, В.Л.Рвачова, Ю.М.Шевченка, М.О.Шульги та інших.

Основи механіки композиційних матеріалів і розрахунку неоднорідних і, зокрема, шаруватих тіл та елементів конструкцій, розглядаються в працях С.А.Амбарцумяна, А.Т.Василенка, Я.М.Григоренка, О.М.Гузя, В.І.Лавренюка, В.О.Ломакіна, Л.П.Хорошуна та інших.

Поряд із традиційними підходами до розв'язування задач механіки кусково-однорідних тіл Ю.М.Коляно був запропонований для задач термопружності новий підхід, який ґрунтується на використанні апарату узагальнених функцій для їх опису як цілісних структур. Ним та його учнями і співробітниками О.М.Куликом, Р.М.Кушніром, І.М.Махоркіним, В.С.Поповичем, Б.В.Процюком та іншими цей підхід був розвинутий та апробований на багатьох класах задач термопружності неоднорідних тіл.

Проте, при розгляді початково-крайових задач термопружності та пружності та застосуванні класичного методу інтегрального перетворення Лапласа виникають значні труднощі обчислювального характеру, оскільки дисперсійне рівняння та його корені, що використовуються при оберненні інтегрального перетворення Лапласа залежать від кількості шарів композита, а у випадку просторових задач ще й від параметра обраного інтегрального перетворення за просторовою змінною. Тому обернення інтегрального перетворення Лапласа та інтегрального перетворення за просторовою змінною (Фур'є, Ганкеля, тощо) в таких випадках доводиться здійснювати числовим способом, що може істотно впливати на точність та достовірність одержаних результатів.

У зв'язку з цим в дисертаційній роботі розроблено ефективну аналітичну методику визначення нестаціонарного температурного поля та перехідного напружено-деформованого стану у плоско-шаруватих композитних тілах і середовищах. Із використанням розробленої методики було проаналізовано перехідні температурні поля та напружено-деформовані стани у тришаровій плиті в осесиметричному випадку для різних випадків розташування шарів, розподіл термонапруженого стану у функційно-градієнтному шарі, вивчено характерні особливості термомеханічного поводження системи шар-півпростір в умовах рухомого теплового навантаження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася у межах планової наукової тематики кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка при виконанні робіт за держбюджетними темами: Мх-406Б “Задачі динамічної та квазістатичної термопружності для структурно-неоднорідних тіл і дослідження зв'язаних термомеханічних процесів при фрикційному контакті” (держреєстрація № 0199U003622) та Мх-104Б “Некласичні моделі та методи досліджень перехідних процесів у структурно-неоднорідних пружних середовищах” (держреєстрація №0102U003570). Особисто здобувачем, як виконавцем теми розроблено методику розв'язування квазістатичної задачі термопружності для плоско-шаруватих тіл та визначено нестаціонарне температурне поле й перехідний напружений стан у багатошаровій плиті та багатошаровому півпросторі в плоскому і осесиметричному випадках, розроблено методику наближеного розв'язування квазістатичних двовимірних задач термопружності для функційно-градієнтних середовищ, досліджено температурне поле і напружено-деформований стан у півпросторі і шарі для різних випадків залежності їх фізико-механічних властивостей від просторової змінної.

Метою дисертаційної роботи є розробка єдиного аналітичного підходу для дослідження нестаціонарного температурного поля та напружено-деформованого стану у плоско-шаруватих композитах викликаного локальним нагрівом його поверхонь.

Об'єктом дослідження є плоско-шаруваті тіла і середовища, що перебувають в умовах двовимірного осесиметричного та плоского нестаціонарного теплового навантаження.

Предметом дослідження є розподіл напружень та температур в багатошарових композитах, зумовлений локальним тепловим навантаженням їх граничної поверхні.

Методи досліджень. Вирішення поставлених у дисертаційній роботі завдань здійснювалося з використанням відомих моделей та рівнянь квазістатичної термопружності за допомогою методу інтегральних перетворень Фур'є, Ганкеля та методу поліномів Лагерра.

Наукова новизна одержаних результатів:

вперше до розв'язання квазістатичних задач термопружності для багатошарових тіл запропоновано застосувати метод поліномів Лагерра, що дало змогу звести початково-крайову задачу термопружності для шаруватих середовищ до трикутної послідовності крайових задач в просторі зображень та побудувати аналітичний розв'язок цієї послідовності у вигляді рекурентних співвідношень;

досліджено перехідні температурні поля і напружено-деформовані стани в багатошаровій плиті та багатошаровому півпросторі, зумовлені поверхневим тепловим навантаженням для осесиметричного та плоского випадків;

шляхом уведення кусково-сталої апроксимації фізико-механічних властивостей вперше побудовано наближений розв'язок квазістатичної задачі термопружності для функційно-градієнтного середовища;

з використанням інтегрального перетворення Лапласа-Фур'є та рівнянь квазістатичної термопружності в напруженнях вперше побудовано аналітичний розв'язок просторової квазістатичної задачі термопружності для півпростору, що нагрівається рухомим джерелом тепла прямокутної форми;

подальшого розвитку отримала методика сумісного використання методу інтегральних перетворень та методу поліномів Лагерра у квазістатичних задачах термопружності;

метод поліномів Лагерра було поширено на задачі з рухомими локальними областями навантаження.

Практичне значення одержаних результатів роботи зводиться до того, що отримані у ній результати можуть бути використані на підприємствах машино- та приладобудування при проектуванні нових композитних елементів конструкцій та приладів, застосовані під час неруйнівного контролю та діагностики багатошарових споруд та конструкцій тривалої експлуатації.

Теоретичне значення роботи полягає у тому, що розроблений метод дослідження перехідних процесів у шаруватих тілах і середовищах може бути поширений на нові широкі класи задач, у тому числі і динамічних, зокрема, для циліндрично- та сферично-шаруватих тіл і середовищ, а також для кусково-однорідних тіл з тонкими дефектами.

Вірогідність одержаних результатів забезпечується коректністю та строгістю математичної постановки задач, використанні для побудови їх розв'язків добре апробованих методів математичної фізики, контрольованою точністю обчислень, хорошим узгодженням окремих числових результатів з отриманими іншими підходами.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 8 наукових праць, у тому числі - 4 у наукових виданнях, які входять до переліку фахових видань ВАК України.

Результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. Роботи [4, 7] опубліковані у співавторстві з науковим керівником. Особистий внесок здобувача у цих працях такий: [4] - побудова розв'язку задачі, аналіз числових результатів; [7] - участь у постановці задачі, побудова розв'язку, розробка алгоритмів і програм числового аналізу, участь у формулюванні висновків.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати досліджень, викладені у дисертації, доповідалися і обговорювалися на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998); Четвертому міжнародному симпозіумі інженерів-механіків у Львові (Львів, 1999); Третій Українсько-Польській науковій конференції “Сучасні проблеми в механіці неоднорідних середовищ” (Львів, 1999); Науковій конференції “Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасні проблеми)” (Львів, 1999); Четвертій Польсько-Українській науковій конференції “Сучасні проблеми в механіці неоднорідних середовищ” (Лодзь, 2001).

У повному обсязі робота доповідалася на науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету імені Івана Франка, на семінарі відділу термомеханіки ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, на кваліфікаційному семінарі ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України, на семінарі із сучасних проблем механіки при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 5 розділів, що містять 32 рисунки та дві таблиці, висновків та списку літератури із 152 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 125 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; сформульовано мету та завдання досліджень; охарактеризовано новизну, вірогідність та практичну значимість отриманих результатів; наведено дані про апробацію роботи, її зв'язок із науковими програмами, особистий внесок здобувача та короткий огляд роботи за розділами.

У першому розділі наведено огляд робіт за темою дисертації, обґрунтовано важливість даної теми, визначено сучасний стан проблеми та місце даної роботи серед робіт такого напрямку.

У другому розділі роботи розглянуто основні співвідношення просторової квазістатичної задачі термопружності в загальній циліндричній системі координат. Розщеплення векторного рівняння рівноваги термопружного середовища здійснюється з використанням функцій об'ємної деформації , нормального переміщення та кручення . Одержано три рівняння Пуассона стосовно відокремлюючих функцій та запропоновано спосіб визначення компонент вектора пружного переміщення за відомими відокремлюючими функціями. В термінах цих функцій сформульовано першу та другу основні задачі термопружності та умови ідеального механічного контакту.

В кінці розділу подано основні співвідношення для інтегрального перетворення Лагерра та розглянуто методику його застосування на прикладі початково-крайової задачі теплопровідності:

; ; на ,(1)

де - шукане температурне поле, - оператор Лапласа, - початкова температура, - диференційний оператор, що визначає тип крайових умов на границі . Після застосування до задачі (1) інтегрального перетворення Лагерра

,(2)

де - поліноми Лагерра, одержується трикутна послідовність крайових задач

, , на , ,(3)

де і - відповідно диференційний оператор та функція , перетворені згідно формули (2). Показано, що загальний розв'язок послідовності (3) можна записати у вигляді алгебричної згортки

,(4)

де та - лінійно незалежні послідовності фундаментальних розв'язків систем (3), а та - набір сталих, що визначається з крайових умов. Тут же із використанням методу невизначених коефіцієнтів запропоновано спосіб побудови фундаментальних розв'язків і . За відомими функція відновлюється за допомогою формули обернення інтегрального перетворення Лагерра

.(5)

Параметр при цьому відіграє роль масштабного множника і слугує для оптимізації числового підсумовування ряду (5) на різних інтервалах, що пробігає змінна .

У третьому розділі дисертації розглянуто квазістатичну осесиметричну задачу термопружності для плоско-шаруватого композиту, що складається з плоско-паралельних шарів різної товщини та з різними фізико-механічними властивостями, на поверхнях поділу яких виконуються умови ідеального теплового та механічного контакту. Вважається, що композит, початкова температура якого дорівнювала нулю з моменту часу нагрівається потоком тепла осесиметрично розподіленим на одній із граничних поверхонь в крузі радіуса . Після обезрозмірювання задача теплопровідності формулюється таким чином:

; ;(6)

; ;(7)

,(8)

де - температурне поле в му шарі; - безрозмірні змінні циліндричної системи координат; - безрозмірний час (критерій Фур'є); - безрозмірні коефіцієнти температуро- і теплопровідності го шару; - координати поверхонь поділу шарів; , , - деякі “опорні” характеристики; - лінійний розмір (вибираються з міркувань зручності при числовому аналізі задачі).

Застосуванням до рівнянь теплопровідності (6) інтегрального перетворення Ганкеля за змінною та Лагерра за часовою змінною одержано трикутну послідовність звичайних диференційних рівнянь

,(9)

де , - зображення за Ганкелем-Лагерром.

З використанням результатів попереднього розділу розв'язок послідовності (8) подано у вигляді

,(10)

де а коефіцієнти задовольняють рекурентним співвідношенням

.(11)

Безпосередня підстановка розв'язку (10) у транспоновані за Ганкелем-Лагерром крайові умови (7) та умови ідеального теплового контакту (8) після певних перетворень приводить до систем лінійних рівнянь

,(12)

в яких матриця не залежить від номера , а стовпчик вільних членів з ростом поповнюється попередніми розв'язками. Елементарними перетвореннями систему рівнянь (12) у роботі зведено до трикутного вигляду і записано її точний розв'язок для довільної кількості шарів

У формулах (13) коефіцієнти та пов'язані рекурентними співвідношеннями із відповідними коефіцієнтами та з систем (12).

Остаточний розв'язок задачі теплопровідності (6)-(9) подається у вигляді

.(14)

За відомим температурним полем (14) знаходився напружено-деформований стан в композиті. В термінах відокремлюючих функцій в припущенні, що поверхня, на якій відбувається нагрів вільна від навантаження, а інша гранична поверхня композита - жорстко закріплена, задача формулюється так:

Після застосування до рівнянь (15), (16) інтегрального перетворення Ганкеля-Лагерра транспоновані розв'язки відповідних рівнянь одержано у вигляді

,(19)

,

де .

Після врахування крайових умов та умов спряження шарів (18) одержано систему лінійних рівнянь стосовно невідомих ,:

,(20)

яка, в свою чергу, зводиться до трикутного вигляду, що дає можливість записати її точний розв'язок для довільної кількості шарів. Після визначення усіх невідомих остаточний розв'язок задачі (15)-(18) має вигляд

,(21)

а радіальні переміщення визначаються формулами

.(22)

Числовий аналіз здійснювався для періодичних композитів, виготовлених з Al2O3 та алюмінієвого стопу. При цьому враховувалося два основних порядки розміщення шарів: коли шари з парними індексами виготовлені з алюмінієвого стопу, а з непарними із Al2O3 та коли шари з непарними індексами виготовлені з алюмінієвого стопу, а з парними - із Al2O3. Розрахунки проводилися при заданні постійного теплового потоку на границі композита . Виявилося, що при утриманні 30 членів ряду за Лагерром відносна похибка в розрахунках не перевищує 1%. За результатами обчислень безрозмірних дотичних напружень на поверхні поділу першого і другого шару в тришаровому композиті можна зробити висновок, що максимального за модулем значення дотичні напруження на поверхні поділу матеріалів набувають в стаціонарному режимі в області поблизу краю зони нагріву (), хоча окремі області ділянки контакту шарів зазнають найбільшого за модулем навантаження під час перехідного періоду. Так, дотичні напруження в областях поблизу точок та під час перехідного процесу приблизно удвічі перевищують відповідні напруження в стаціонарному режимі, причому як у першому, так і в другому випадку розміщення шарів. Під час всього перехідного процесу у двох випадках зберігаються ділянки зміни знаку дотичних напружень. З часом розмір ділянки, де діють максимальні за модулем дотичні напруження збільшується. Крім того, у другому випадку розміщення шарів максимальні за модулем розмірні дотичні напруження перевищують відповідні напруження з першого випадку приблизно в рази, причому тривалість перехідного процесу у другому випадку значно менша ніж у першому.

Рис.1, 2 містять рузультати розрахунку безрозмірних колових напружень відповідно для першого і другого випадків розміщення шарів. Видно, що вказані напруження на поверхнях поділу матеріалів шарів отримують стрибки, причому абсолютна величина цих стрибків з часом зростає. Максимальне за модулем значення цих напружень істотно залежить від порядку розташування шарів. У другому випадку розміщення шарів максимальне за модулем значення колових напружень з урахуванням обезрозмірення більш ніж удвічі перевищує аналогічні значення першого випадку, причому область максимальних за модулем напружень із зовнішнього шару переходить у внутрішній. Від порядку розміщення шарів істотно залежить і рівень розтягуючих напружень в композиті. Якщо у першому випадку він відносно незначний і область дії розтягуючих напружень зосереджена в першому шарі поблизу поверхні поділу, то в другому випадку розтягуючі напруження переважно виникають у середньому шарі, а в третьому шарі під час перехідного періоду переходять у стискуючі.

В останньому підрозділі розглядається квазістатична осесиметрична задача термопружності для плоско-паралельного шару, фізико-механічні властивості якого довільно залежать від нормальної координати (функційно-градієнтний шар). З використанням кусково-сталої апроксимації фізико-механічних властивостей задача зводиться до відшукання температурного поля та напружено-деформованого стану у композитній плиті, кількість шарів у якій залежить від кількості апроксимаційних розбиттів. З урахуванням результатів перших двох підрозділів записано аналітичний розв'язок задачі. Результати числових експериментів свідчать про хорошу збіжність запропонованого підходу. Так, для досить різних залежностей фізико-механічних характеристик від змінної (лінійної, квадратичної, експоненціальної) результати обрахунку температури співпадають з точністю до 1% вже при 15-20 рівномірних розбиттях, а компоненти вектора пружних переміщень - при 25-30 .

У четвертому розділі роботи розглядається квазістатична задача термопружності для багатошарового півпростору, що нагрівається розподіленим у смузі поверхневим потоком тепла. При цьому передбачається, що потік тепла з часом довільно змінює свою інтенсивність (імпульс, рухомий потік тепла, тощо). Розв'язок задачі будується з використанням інтегрального перетворення Лагерра за часовою змінною та інтегрального перетворення Фур'є за просторовою змінною, після застосування яких одержується аналогічна до попереднього розділу задача в трансформантах. У першому підрозділі з урахуванням результатів третього розділу одержано аналітичний розв'язок нестаціонарної задачі теплопровідності. В другому підрозділі у припущенні, що поверхня півпростору вільна від навантаженння, а між елементами композита реалізуються умови ідеального механічного контакту будується розв'язок задачі термопружності. Як і в попередньому розділі задача зводиться до розв'язування систем лінійних алгебричних рівнянь, порядок яких визначається кількістю елементів в композиті; будується їх точний розв'язок, а компоненти вектора переміщення та тензора напружень подаються у вигляді рядів за поліномами Лагерра. Третій підрозділі містить результати числового аналізу перехідного температурного поля та напружено-деформовного стану в системі шар-півпростір для рухомого потоку тепла. За результатами числового аналізу виявлено, що дотичні напруження на поверхні поділу матеріалів шару і півпростору кілька разів змінюють свій знак і набувають максимального за модулем значення після проходження над зоною вимірювання центральної частини області нагріву. Це можна пояснити суттєвою різницею градієнта температурного поля у шарі та у півпросторі саме після проходження центра плями нагріву - у той час, коли матеріал шару починає охолоджуватися, матеріал півпростору ще продовжує нагріватися. Подібну закономірність можна спостерігати і для безрозмірних напружень - під час перехідного періоду вони змінюють знак і досягають максимального за модулем значення і максимального стрибка на поверхні поділу у місці проходження джерела тепла. Одержано співвідношення між інтенсивністю та швидкістю руху потоку тепла, що дозволяють досягнути певної температури в композиті за умов обмеженості рівня напружень на поверхні між шаром і півпростором (покриття та основа).

У п'ятому розділі розглядається просторова квазістатична задача термопружності для півпростору, що нагрівається джерелом тепла у формі прямокутника, яке з постійною швидкістю рухається по його вільній поверхні. Розв'язок задачі будується із використанням інтегрального перетворення Лапласа за часовою змінною та інтегральних перетворень Фур'є за просторовими змінними. При розгляді задачі термопружності використовується система рівнянь у напруженнях. При цьому показано, що достатньо розглянути лише три рівняння сумісності деформацій стосовно компонент тензора напружень, для яких існують крайові умови (), рівняння стосовно першого інваріанту тензора напружень

; (23)

та три рівняння рівноваги, одне з яких слугує додатковою крайовою умовою, а два інші дають можливість знайти решту компонент тензора напружень. При цьому одержані розв'язки тотожно задовольняють решті рівнянь сумісності деформацій. Проведено числовий аналіз задачі, в результаті якого виявлено, що абсолютне значення напружень під час перехідного періоду зростає практично в усіх точках поверхні півпростору, досягаючи максимуму в області, розташованій поблизу кінця ділянки нагрівання. На локалізацію напружень саме в цій ділянці впливає і значення безрозмірної швидкості, хоча абсолютне значення напружень зі збільшенням швидкості зменшується.

Для порівняння результатів одержаних з використанням методу поліномів Лагерра та методу інтегрального перетворення Лапласа, в даному розділі граничним переходом (спрямуванням одного з розмірів прямокутника до безмежності) отримано розв'язок нестаціонарної задачі теплопровідності для півпростору, що нагрівається рухомим джерелом тепла у формі смуги. Отримані числові значення для температури у початку системи координат порівнювалися з відповідними значеннями, одержаними методом поліномів Лагерра для задачі четвертого розділу за умов тотожності матеріалів шару і півпростору. У табл. 1. наведено результати такого порівняння при утриманні в ряді за поліномами Лагерра 20-ти членів розкладу. Як видно, похибка при цьому становить близько 1%. При збільшенні кількості членів ряду похибка зменшується і при утриманні 50-ти членів не перевищує 0,1%.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

В дисертації подано вирішення актуального наукового завдання - побудови аналітичних розв'язків квазістатичних задач термопружності багатошарових тіл та дослідження нестаціонарного температурного поля і викликаного ним напружено-деформованого стану плоско-шаруватих тіл при локальному нагріванні в осесиметричному та плоскому випадках.

Для досягнення поставленої мети у роботі:

Із застосуванням некласичного розщеплення векторного рівняння рівноваги термопружного середовища в загальній циліндричній системі координат, що використовує фізичні функції - об'ємне розширення, нормальну компоненту вектора переміщення та компоненту вектора кручення сформульовано першу та другу основні задачі термопружності для шаруватих тіл за умов ідеального механічного контакту.

Розвинуто метод поліномів Лагерра для квазістатичних просторових задач термопружності плоско-шаруватих тіл та розроблено аналітичну методику визначення двовимірного температурного поля та напружено-деформованого стану багатошарових композитів за умов локального температурного навантаження. Із застосуванням цієї методики побудовано точний розв'язок систем лінійних рівнянь, що виникають при задоволенні крайових умов та умов спряження елементів за довільної кількості елементів неоднорідного тіла.

Проаналізовано перехідні температурні поля та напружено-деформовані стани у тришаровій плиті в осесиметричному випадку для різних випадків розташування шарів. Виявлено, що порядок взаємного розміщення шарів істотно впливає на розподіл напружено-деформованого стану, максимальні за модулем значення напружень та їх стрибків на поверхнях поділу шарів протягом усього перехідного періоду.

Вивчено характерні особливості термомеханічного поводження системи шар-півпростір при рухомому тепловому навантаженні. Одержано співвідношення між інтенсивністю та швидкістю руху потоку тепла, що дають можливість досягнути певної температури у композиті за умов обмеженості рівня напружень на поверхні між шаром і півпростором.

Застосовуючи кусково-сталу апроксимацію фізико-механічних властивостей та використовуючи розроблену методику розв'язування квазістатичних задач термопружності багатошарових тіл побудовано аналітичний розв'язок осесиметричної квазістатичної задачі термопружності для функційно-градієнтного шару. Встановлено, що для досить різних залежностей фізико-механічних характеристик від нормальної змінної (лінійної, квадратичної, експонеціальної) результати обчислення температури сбігаються з точністю до 1% вже при 15-20, а компоненти вектора пружних переміщень при 25-30 рівномірних розбиттях.

З використанням інтегрального перетворення Фур'є-Лапласа та рівнянь квазістатичної термопружності в напруженнях побудовано аналітичний розв'язок просторової квазістатичної задачі для півпростору, що нагрівається рухомим джерелом тепла у формі прямокутника. При цьому показано, що достатньо розглянути лише три рівняння сумісності деформацій та три рівняння рівноваги, одне з яких слугує додатковою крайовою умовою. Здіснений порівняльний аналіз результатів засвідчив хорошу збіжність методу поліномів Лагерра. Одержаний розв'язок може слугувати тестовим при розгляді складніших тривимірних квазістатичних задач для плоско-шаруватих тіл і середовищ.

Результати роботи можуть бути основою для розрахунку деталей машин та елементів конструкцій шаруватої структури, що працюють у різноманітних умовах теплового навантаження, особливо у випадку, коли необхідно враховувати реальну товщину шарів. Отримані результати можна поширити на нові класи задач, у тому числі з урахуванням динамічних ефектів, зокрема, для циліндрично- та сферично-шаруватих тіл і середовищ. Поширення розробленої методики на задачі для кусково-однорідних тіл з тонкими дефектами може знайти широке застосування у неруйнівному діагностуванні композитних тіл як на стадії їх виготовлення, так і під час їх тривалої експлуатації.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Турчин О.Ю. Температурні напруження в півпросторі, обумовлені рухомим локальним джерелом тепла // Крайові задачі термомеханіки - Київ: Ін-т математики НАН України, 1996. - Ч.2. - С.136-140.

Турчин О. Дослідження осесиметричної нестаціонарної задачі теплопровідності для плоско-шаруватого тіла // Матеріали Міжнародної наукової конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”. Львів.- 1998. - С. 167.

Турчин О.Ю. Перехідні осесиметричні температурні напруження у багатошаровому півпросторі // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1999.-Вип. 55. - С.119-122.

Галазюк В.А., Турчин О.Ю. Перехідні температурні напруження у багатошаровій плиті // Четвертий міжнародний симпозіум інженерів-механіків у Львові.: Тези доповідей. - Львів: Кінпатрі ЛТД. - 1999. - 22с.

Турчин О. Нестаціонарне температурне поле в системі шар-півпростір, зумовлене рухомим джерелом тепла // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 2000. Вип. 57.- С. 186-189.

Турчин О. Температурні напруження в системі “шар-півпростір”, зумовлені рухомим джерелом тепла // Тези доповідей секції “Сучасні проблеми механіки” наукової конференції “Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасні проблеми)” (24-28 листопада 1999 р.).- Львів, 1999.- С. 32.

Halazyuk V., Turchyn O. Axisymmetric transient thermal stress analysis of a functionally gradient layer bodies // The Fourth Polish-Ukrainian Conference „Current Problems in Mechanics of Nonhomogeneous Media“. Abstracts. Lodz, 4-8 September 2001. P. 23.

Турчин О.Ю. Квазістатичний термонапружений стан у півпросторі, зумовлений рухомим прямокутним джерелом тепла // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат., 2002, № 60, С. 173-178.

задача просторовий квазістатичний півпростір

АНОТАЦІЯ

Турчин О.Ю. Квазістатичні задачі термопружності для плоско-шаруватих тіл при локальному нагріві. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, Львів, 2003.

В дисертаційній роботі досліджуються нестаціонарні температурні поля та напружено-деформовані стани у плоско-шаруватих тілах і середовищах, що перебувають в умовах осесиметричного та плоского теплового навантаження. Розв'язки відповідних початково-крайових задач одержано в аналітичному вигляді із використанням інтегрального перетворення Лагерра за часовою змінною та інтегрального перетворення Ганкеля чи Фур'є за просторовою змінною. Шляхом кусково-сталої апроксимації фізико-механічних властивостей побудовано аналітичний розв'язок осесиметричної квазістатичної задачі термопружності для функційно-градієнтного шару.

З використанням інтегрального перетворення Фур'є-Лапласа та рівнянь квазістатичної термопружності в напруженнях побудовано аналітичний розв'язок просторової квазістатичної задачі для півпростору, що нагрівається рухомим джерелом тепла у формі прямокутника.

Ключові слова: плоско-шаруваті тіла, квазістатичні задачі термопружності, локальне теплове навантаження, метод інтегральних перетворень, поліноми Лагерра, трикутні послідовності крайових задач.

АННОТАЦИЯ

Турчин О.Ю. Квазистатические задачи термоупругости для плоско-слоистых тел при локальном нагреве. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача НАН Украини, Львов, 2003.

В диссертации представлено решение актуальной научной задачи - построение аналитических решений квазистатических задач термоупругости многослойных тел и исследование нестационарного температурного поля и обусловленного им напряженно-деформированного состояния плоско-слоистых тел при локальном нагреве в осесимметрическом и плоском случаях.

Для достижения поставленной цели в работе:

Проведено неклассическое разделение векторного уравнения равновесия термоупругой среды в общей цилиндрической системе координат с использованием физически обоснованных функций - объемного расширения, нормальной компоненты вектора упругого перемещения и компоненты вектора кручения. С использованием разделяющих функций сформулированы первая и вторая основные задачи термоупругости для слоистых тел при условиях идеального механического контакта.

Развит метод полиномов Лагерра на квазистатические пространственные задачи термоупругости плоско-слоистых тел и разработана аналитическая методика определения двумерного температурного поля и напряженно-деформированного состояния многослойных композитов при условиях локальной температурной нагрузки. В рамках этой методики построены точные решения систем линейных уравнений, возникающих при удовлетворении краевых условий и условий сопряжения для произвольного количества элементов неоднородного тела.

Проанализированы переходные температурные поля и напряженно-деформированные состояния в трехслойной плите в осесиметрическом случае для разных расположений слоев. Установлено, что порядок взаимного размещения слоев существенно влияет на распределение напряженно-деформированного состояния и максимальные по модулю значения напряжений и их разрывов на поверхностях раздела слоев на протяжении всего переходного периода.

Изучены характерные особенности термомеханического состояния системы слой-полупространство в условиях движущейся тепловой нагрузки. Получены соотношения между интенсивностью и скоростью движения потока тепла, позволяющих достичь определенной температуры в композите при условии ограниченности уровня напряжений на поверхности между слоем и полупространством.

Путем кусочно-постоянной аппроксимации физико-механических свойств и использования разработанной методики решения квазистатических задач термоупругости многослойных тел построено аналитическое решение осесимметрической квазистатической задачи термоупругости для функционально-градиентного слоя. Установлено, что для довольно различных зависимостей физико-механических характеристик от нормальной переменной результаты рассчета температуры совпадают с точностью до 1% уже при 15-20, а компоненты вектора упругих перемещений при 25-30 равномерных разбиениях.

С использованием интегрального преобразования Фурье-Лапласа и уравнений квазистатической термоупругости в напряжениях построено аналитическое решение пространственной квазистатической задачи для полупространства, нагревающегося движущимся по его поверхности источником тепла в форме прямоугольника. При этом показано, что достаточно рассмотреть лишь три уравнения совместимости деформаций и три уравнения равновесия, одно из которых служит дополнительным краевым условием. Проведенный сравнительный анализ результатов удостоверил хорошую сходимость метода полиномов Лагерра. Полученное решение может служить в качестве тестового при рассмотрении более сложных трехмерных квазистатических задач для плоско-слоистых тел и сред.

Результаты работы могут стать основанием для расчета деталей машин и элементов конструкций слоистой структуры, работающих в различных условиях тепловой нагрузки, в особенности, когда необходимо учитывать реальную толщину слоев. Полученные результаты можно распространить на новые классы задач, в том числе с учетом динамических эффектов, в частности, для цилиндрически- и сферически-слоистых тел и сред. Распространение результатов на задачи для кусочно-однородных тел с тонкими дефектами может найти широкое применение при неразрушающей диагностике композитных тел как на стадии их изготовления, так и в процессе продолжительной эксплуатации.

Ключевые слова: плоско-слоистые тела, квазистатические задачи термоупругости, локальная тепловая нагрузка, метод интегральных преобразований, полиномы Лагерра, треугольные последовательности краевых задач.

ABSTRACT

Turchyn O.Yu. The quasi-static problems of thermoelasticity for the plain-layered solids under the local heating. - Manuscript.

The thesis presented for Degree of the Candidate in Phisics and Mathematics by speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids. - Pidstrygach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2003.

In the thesis the non-stationary thermal fields and stress-strain states of plain-layered solids and environments under the axis-symmetrical and plain heat loading are investigated. The solutions of the initial-boundary problems are analytically obtained using Laguerre's integral transformation for time and Hankel's or Fourier's integral transformation for space value. Using piece-constant approximation of physics and mechanical properties the solution of axis-symmetrical quasi-static problem of thermoelasticity for functionally gradiental layer is constructed.

Using Fourier's integral transformation and equations of quasi-static thermoelasticity in the terms of stresses the solution of space quasi-static problems for half-space heating by the moving rectangular source is also construct.

Key words: plain-layered solids, quasi-static problems of thermoelasticity, local heat loading, integral transformation method, Laguerre's polinoms.

Размещено на Allbest.ru

...