Актуальність теми. В плазмі, особливо в магнітоактивній, існує величезне розмаїття хвиль. В багатьох випадках їх можна розглядати незалежно. Але якщо амплітуди хвиль значні, вже не можна нехтувати взаємодією між ними. В найнижчому порядку взаємодія хвиль відповідає трихвильовим процесам, зокрема параметричним нестійкостям розпаду. Розпадні параметричні нестійкості можуть суттєво вплинути на характер взаємодії інтенсивної хвилі із плазмою: енергія від хвилі накачки може переходити в кінетичну енергію частинок через лінійну або нелінійну трансформацію хвиль, які поглинаються сильніше за падаючу хвилю. Якщо при збільшенні потужності накачки інкременти параметричної нестійкості стають того ж порядку, що і частота однієї із взаємодіючих хвиль, має місце модифікована параметрична нестійкість. Взаємодія хвилі накачки як з червоними, так і з блакитними сателітами може призвести до розвитку модуляційної нестійкості, навіть якщо умови трихвильового розпаду не виконані. На нелінійній стадії розвитку модуляційної нестійкості, особливо поблизу плазмових резонансів, де процеси розпаду заборонені, можуть формуватись різноманітні когерентні структури обвідної - групові солітони. У лабораторних плазмових експериментах і в ході спостережень за допомогою супутників в іоносфері і магнітосфері Землі були відкриті когерентні хвильові структури практично на всіх гілках власних коливань: ленгмюрівські солітони, верхньогібридні солітони, нижньогібридні солітони та циклотронні солітони, самоіндуковані хвилеводи електромагнітних хвиль в широкому діапазоні частот.

Все більше фактів свідчать на користь того, що утворення когерентних структур і, зокрема, солітонів і вихорів є універсальною властивістю всіх відкритих систем, які обмінюються з оточенням речовиною або енергією. В сучасній літературі солітонами прийнято називати не лише розв'язки інтегровних нелінійних диференційних рівнянь, а також і будь-які самолокалізовані збурення, які поширюються без суттєвих змін форми і швидкості завдяки балансу між нелінійністю і лінійними ефектами (дисперсія, дифракція або дифузія). Властивості солітонних хвильових структур радикально відрізняються від властивостей лінійних хвильових пакетів. Особлива роль, що належить солітонам, зумовлена в першу чергу їх стійкістю щодо багатьох збурень, що було доведено в обчислювальних і лабораторних експериментах. Завдяки стійкості вони є придатними для передачі інформації в біологічних і нелінійних оптичних системах, а також в оптичних системах обробки інформації.

При врахуванні слабких нелінійних і дисперсійних ефектів еволюцію обвідної хвильового пакету будь-якої природи, як правило, можна описати в рамках так або інакше узагальненого нелінійного рівняння Шредінгера (УНРШ). Не зважаючи на значний інтерес як з теоретичного, так і з боку практичного застосування, більшість сучасних теорій не спроможні дати адекватне пояснення існуванню дво- і тривимірних когерентних структур, які спостерігаються на експерименті в лабораторній та космічній плазмі, передбачаючи їх колапс або взагалі заперечуючи існування локалізованих структур всупереч експериментальним даним. В реально існуючих системах колапс може зупиняти багато факторів, які зумовлені модифікацією нелінійності або дисперсійних властивостей вузької локалізованої структури великої амплітуди, причому в багатьох випадках необхідно враховувати одночасно декілька додаткових ефектів. З іншого боку, баланс між нелінійними і дисперсійними ефектами вищого порядку може пояснити існування локалізованих структур, які взагалі не описуються спрощеними моделями. Використання моделей, які більш адекватно описують когерентні структури і дослідження властивостей цих структур, є актуальною проблемою, яка має як чисто теоретичне значення, так і є важливою для пояснення експериментальних спостережень в багатьох нерівноважних диспергуючих середовищах та формуванні локалізованих структур.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась

За темою, затвердженою Президією НАН України "Колективні процеси в плазмі при поширенні, розсіянні та поглинанні електромагнітних хвиль". Номер держреєстрації 0197U016412 (2001-2003).

За темою, затвердженою Президією НАН України "Дослідження нелінійних явищ у відкритих плазмових системах під дією високочастотних електромагнітних полів". Номер держрєєстрації 0102U005197 (2002 - 2006)

Задачі і мета дослідження. Мета полягає у теоретичному описі процесів, пов'язаних із поширенням інтенсивних хвиль в магнітоактивній плазмі, зокрема, формування та еволюції двовимірних солітонів та вихорів обвідної у нерівноважних плазмових системах, а також у дослідженні розпадної нестійкості вістлерових хвиль в космічній та лабораторній плазмі.

Задача дослідження полягала у проведенні аналітичного дослідження в рамках моделі УНРШ умов формування та загальних властивостей двовимірних солітонів та вихорів із урахуванням дисперсії четвертого порядку і нелінійностей нелокального типу або конкуруючих алгебраїчних нелінійностей третього і п'ятого порядків, числового моделювання двовимірних стаціонарних та вихорових розв'язків УНРШ, лінійного аналізу стійкості стаціонарних структур щодо малих азимутальних збурень, обчислювальних експериментів по еволюції збурених стаціонарних розв'язків на основі УНРШ.

Аналітичного дослідження розпадної параметричної нестійкості високочастотної електромагнітної хвилі в широкому діапазоні частот хвилі накачки, яка поширюється під довільним кутом до зовнішнього магнітного поля.

Об'єктом дослідження є нелінійні хвилі і хвильові структури у нерівноважних плазмових системах. Предметом дослідження є вплив конкуруючих нелінійних взаємодій та дисперсійних властивостей плазми на формування локалізованих когерентних структур та визначення умов розвитку розпадної нестійкості потужних електромагнітних хвиль в широкому діапазоні частот. Метод дослідження полягає у застосуванні апарату математичного аналізу, математичної фізики, добре апробованих аналітичних методів теорії плазми та методів машинного розв'язку нелінійних рівнянь у частинних похідних.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна отриманих у дисертації результатів полягає в тому, що в роботі було вперше:

показано, що двовимірне УНРШ із одночасним врахуванням дисперсійних ефектів другого і четвертого порядків, а також локальних конкуруючих нелінійностей третього і п'ятого порядків має стійкі солітонні розв'язки в двох різних дисперсійних режимах. Отримані результати дозволили пояснити лабораторні експерименти по самофокусуванню вістлерових хвиль.

чисельно знайдені вихорові солітони в моделі УНРШ із дисперсійними ефектами четвертого порядку і фокусуючою локальною нелінійністю. Показано, що на відміну від звичайних солітонів, вихорові солітони є нестійкими за відсутності конкуруючої дефокусуючої нелінійності. За допомогою числового моделювання доведено, що вихорові солітони розпадаються на декілька звичайних солітонів і вільні хвилі. Солітони, які при цьому формуються, розлітаються тангенціально до вихорового кільця, зберігаючи повний кутовий момент системи.

показано, що в дисперсійному середовищі із додатковою дефокусуючою нелінійністю п'ятого порядку вище деякого порогу по інтенсивності хвильового пучка існують стійкі вихорові солітони як в аномальному, так і в нормальному дисперсійних режимах. Знайдено, що в нормальному дисперсійному режимі вихорові структури стають стійкими тільки під одночасним впливом нелінійних ефектів п'ятого порядку і дисперсії четвертого порядку.

знайдені двовимірні солітоноподібні структури у нелінійному середовищі при врахуванні дисперсійних ефектів четвертого порядку і нелокальної дефокусуючої нелінійності в умовах, коли дисперсія другого порядку і локальна нелінійність призводять лише до розпливання будь-якого локалізованого хвильового пакету. Аналітично і чисельно доведено стійкість солітонів щодо значних симетричних і асиметричних збурень. Продемонстровано, що характерні властивості знайдених структур якісно співпадають із результатами спостережень верхньогібридних квазідвовимірних структур у пучково-плазмових експериментах.

знайдені пороги і інкременти розпадних параметричних нестiйкостей вiстлерових хвиль на низькочастотну альфвенiвську (або iонно-звукову) та високочастотну хвилю вiстлерового (або нижньогібридного) типу в широкому діапазоні частот і в загальній тривимірний постановці, коли хвиля накачки поширюється пiд кутом до зовнiшнього магнiтного поля. Показано, що інкремент суттєво зростає при розпаді вістлера на хвилю, що знаходиться на межі між вістлером та нижньогібридною хвилею, тобто у випадку, який не був досліджений раніше.

Наукове та практичне значення роботи. Розвинена у дисертації теорія застосовна до пояснення експериментально спостережуваних двовимірних нелінійних когерентних структур а також параметричних нестійкостей вістлерів в лабораторній плазмі і в іоносфері Землі. Універсальність розробленої моделі дозволяє використовувати отримані результати також для дослідження двовимірних локалізованих структур солітонного та вихорового типів в багатьох інших фізичних системах: нелінійних оптичних середовищах, рідких кристалах, Бозе-Ейнштейнівських конденсатах, одновимірних та двовимірних молекулярних системах, тощо.

Особистий внесок здобувача У всіх роботах, які лягли в основу дисертації, здобувач приймав участь на всіх етапах роботи. В роботах [1,2,8,11,13,15] дисертант брав участь у постановці задачі і аналізі результатів разом з Т.О. Давидовою, здобувач самостійно розробив схеми та реалізував числові коди для машинного знаходження солітонних розв'язків та дослідження їх стійкості, а числові експерименти по еволюції двовимірних солітонів і вихорів проведені здобувачем разом з Ю.О. Залізняком. В роботах [3-7,9,10,12,14] дисертант самостійно провів числові розрахунки, йому належить безпосередня участь у постановці задачі, в обговоренні методів дослідження, у проведенні аналітичних розрахунків, інтерпретації результатів та підготовці рукописів статей.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на наступних конференціях: на щорічних наукових конференціях ІЯД НАН України (м. Київ) у 2000, 2002 та 2003 роках, на першій українській конференції по перспективним космічним дослідженням (м. Київ, 2001), на міжнародній конференції "Сучасні проблеми теоретичної фізики" (м. Київ, 2002), на міжнародній конференції "International Conference on Physics of Low Temperature Plasma" (м. Київ, 2003), на міжнародній конференції "NATO Advanced Research Workshop Singlular Optics 2003" (м. Київ, 2003), на IV Науковій конференції молодих вчених і спеціалістів ОІЯД (м. Дубна, Росія, 2000), на Всеукраїнській конференції молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики "Евріка-2002" (м. Львів, 2002), на міжнародній школі "6-th Carolus Magnus Summer School on Plasma and Fusion Energy Physics" (м. Брюссель, Бельгія, 2003), на міжнародній школі "Autumn College on Plasma Physics: Long-Lived Structures and Self Organization in Plasmas" (м. Трієст, Італія, 2003). Результати роботи також обговорювалися на об'єднаних семінарах відділів теорії плазми та фізики плазми ІЯД НАН України в 1999-2003 роках, на розширеному семінарі кафедри квантової теорії поля Київського Національного університету імені Тараса Шевченка (2003 р.).

Публікації. Основні результати дисертації було опубліковано в 8 статтях, 6 з яких задовольняють вимогам ВАК до публікацій. Всього за темою дисертації опубліковано 15 робіт, перелік яких наведено у заключній частині автореферату.

Структура дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 115 найменувань. Робота написана на 122 сторінках машинописного тексту, включає 19 рисунків.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність обраної теми, сформульована мета та задачі дослідження, показана наукова та практична цінність отриманих результатів, представлено критичний огляд літератури, присвяченої теоретичному і експериментальному дослідженню нелінійних когерентних структур в магнітоактивній пламзі.

В першому розділі "Двовимірні солітони і вихори в середовищі з конкуруючими алгебраїчними нелінійностями третього і п'ятого порядків" [1, 2, 8, 10, 11] було розв'язано задачу про стаціонарне самофокусування потужної вістлерової хвилі з частотою поблизу екстремуму групової швидкості, в двох різних дисперсійних режимах, які відповідають частоті вістлера більше половини електронної циклотронної частоти (аномальний дисперсійний режим) і менше половини електронної частоти. В передмові, що міститься в першому підрозділі першого розділу сформульовано модель, яку було використано при розв'язанні поставленої задачі, обговорені нелінійні і дисперсійні ефекти, які слід враховувати при аналізі дрібномасштабних самоіндукованих хвилеводів вістлерових хвиль. Запропоновано узагальнене нелінійне рівняння Шредінгера (УНРШ)

(тут) для обвідної повздовжної компоненти електричного поля вістлера, який поширюється вздовж напрямку зовнішнього магнітного поля. В моделі враховані дисперсійні (дифракційні) ефекти другого і четвертого порядків (доданки пропорційні D і P) а також конкуруючі (BK < 0) алгебраїчні нелінійності третього і п'ятого порядків. В другому підрозділі першого розділу проаналізовані загальні властивості локалізованих структур в середовищі із конкуруючими алгебраїчними нелінійностями третього і п'ятого порядків. На основі аналізу інтегралів руху базового УНРШ, а також аналізу віріального співвідношення, яке отримане в пункті 1.2.1, зроблено висновок про можливість балансу між дисперсійними і нелінійними ефектами, що в свою чергу, уможливлює існування стаціонарних хвильових пакетів в обох дисперсійних режимах вістлерів. Властивості стаціонарних структур в аномальному дисперсійному режимі досліджені в третьому підрозділі першого розділу як аналітично, за допомогою наближенного варіаційного аналізу, проведеного в пункті 1.3.1, так і за допомогою числового моделювання, на основі оригінального методу, розвиненого в дисертаційній роботі для інтегрування нелінійної крайової задачі, що відповідає солітонним і вихоровим розв'язкам стаціонарного УНРШ (1). Результати числових досліджень наведені в пункті 1.3.2 Приклади чисельно знайдених профілів для солітонних і вихорових розв'язків наведені на Рис.1 при різних значеннях обезрозміреного нелінійного зсуву частоти л і певного значення параметру к = KD/PB. Питання стійкості стаціонарних розв'язків щодо малих азимутальних збурень було розв'язане за допомогою лінійного аналізу стійкості. На основі лінеаризованої системи рівнянь в пункті 1.3.3 було досліджено еволюцію малих збурень з різними азимутальними періодами. В результаті було підтверджено стійкість солітонних розв'язків щодо будь-яких двовимірних збурень і показано, що вихорові солітони є стійкими лише до малих радіально-симетричних збурень, але азимутальні збурення зростають, що призводить до модуляційної нестійкості обвідної вихора. Нестійкі вихорові розв'язки розпадаються на декілька стійких солітонів, що розлітаються тангенційно до вихорового кільця в такий спосіб, щоб зберігався кутовий момент повної системи (див. Рис.2). Однак вище деякого порогового значення для числа квантів вихори стають стійкими. При цьому профілі вихорів стають більш плоскими і розподіл енергії в середині пучка перетворюється на майже однорідний з різкою границею [див. Рис. 1 (с), (d)]. Всі результати лінійного аналізу щодо стійкості були підтверджені навіть кількісно в пункті 1.3.4 за допомогою безпосереднього числового інтегрування нестаціонарного УНРШ, із збуреними стаціонарними розв'язками в якості початкових умов.

В четвертому підрозділі першого розділу розглянуті солітони і вихори в нормальному дисперсійному рижимі. На основі варіаційного аналізу, що враховує осциляції солітонного профілю, які є дуже суттєвими в цьому режимі, в пункті 1.4.1 досліджені основні характеристики солітонів. Результати варіаційного аналізу знаходяться в добрій відповідності із числовим моделюванням. Результати числового інтегрування стаціонарної крайової задачі а також лінійного аналізу стійкості і інтегрування нестаціонарного УНРШ (1) в нормальному дисперсійному режимі наведені в пункті 1.4.2 Розвинена модель була застосована для теоретичного пояснення існування локалізованих хвилеводів із зниженою густиною плазми, які спостерігались в лабораторних експериментах в обох дисперсійних режимах вістлерів. В п'ятому підрозділі першого розділу наведене детальне виведення базового двовимірного УНРШ (1) і проводиться порівняння із експериментами. Показано, що розглянута теорія якісно правильно описує результати спостережень.

Рисунок. Стаціонарні розв'язки УНРШ в аномальному дисперсійному режимі (к = 0.3): (a) солітони (m = 0); (b) асимптотична поведінка солітонів поблизу їх центру і на великих відстанях від центру;

(c) вихори (m = 1); (d) вихори (m = 2). Числа біля кривих відповідають значенням нелінійного зсуву частоти л.

Рисунок. Просторово-часова еволюція розподілу інтенсивності нестійкого вихора в аномальному дисперсійному режимі (m = 2, к =0.3): (a) л = - 0.05; (b) л = - 0.54 (поблизу до границі нестійкої області) вихор розпадається на двогорбі структури.

В останньому, шостому підрозділі першого розділу наведені висновки та обговорення. Зокрема запропоноване теоретичне пояснення стабілізації вихорів на основі концепції ефективного поверхневого натягу, що виникає внаслідок дії конкуруючих нелінійностей. Вказано на можливі застосування розвиненої теорії до проблеми поширення електромагнітних хвиль в нелінійних оптичних середовищах і теорії бозе-ейнштейнівських конденсатів.

Другий розділ дисертації "Локалізовані когерентні структури в середовищі із нелокальною нелінійністю" [3, 6] присвячено вивченню динаміки двовимірних локалізованих хвильових пакетів та можливості існування стійких двовимірних солітонів обвідної в середовищі із нелокальною нелінійністю. Дослідження еволюції обвідної хвильового пакету було проведено на основі моделі УНРШ

із врахуванням дисперсійних ефектів другого і четвертого порядків а також локальної кубічної (доданок пропорційний до B) і нелокальної нелінійності (доданок пропорційний С). В першому підрозділі другого розділу, що містить передмову, обгрунтована потреба врахування нелокальної нелінійності поруч із дисперсійними ефектами вищого порядку для достатньо вузьких хвильових пакетів. Доведено, що нелокальність нелінійності, яка є характерною рисою нелінійної взаємодії хвиль в плазмі, призводить не лише до стабілізації двовимірних хвильових пакетів щодо колапсу, а також до якісно нових ефектів. Зокрема до появи нових стійких солітонних розв'язків із викривленим фазовим фронтом. В другому підрозділі другого розділу розкриті умови існування стійких стаціонарних структур в середовищі із нелокальною нелінійністю. На основі узагальненого віріального співвідношення, отриманого в цьому підрозділі, продемонстрована можливість стійкого балансу між лінійними і нелінійними ефектами, розкрита роль дисперсійних ефектів вищого порядку і нелокальної нелінійності в динаміці хвильового пакету із різними масштабами локалізації. Доведено обмеженість гамільтоніана УНРШ знизу для довільних локалізованих пакетів коли D<0, P<0, B>0, C>0, що гарантує існування принаймні одного стійкого по Ляпунову розв'язку. За допомогою числового моделювання крайової задачі знайдені двопараметричні солітонні розв'язки (див. Рис.3.) із параметрами л і у, де л - нелінійний зсув частоти, а у = СD/PB. В третьому підрозділі другого розділу детально досліджені властивості стаціонарних хвильових структур в середовищі з нелокальною нелінійністю. Варіаційний аналіз, проведений в пункті 2.3.1 дав можливість якісно описати головні властивості солітонів і вихорів. Для аналізу була використана пробна функція, де, ціле число m - топологічний заряд і, - варіаційні параметри. Пробна функція описує локалізовані структури солітонного (m = 0) і вихорового типу (m ? 0) із урахуванням можливої варіації фази. Варіаційний аналіз передбачає існування нового типу стаціонарних розв'язків із викривленим хвильовим фронтом.

Рисунок. Профілі солітонів в середовищі з нелокальною нелінійністю з у = СD/PB = 0.1 для різних значень нелінійного зсуву частоти л.

Рисунок. Варіаційний параметер м₃ в залежності від числа квантів при різних значеннях параметру. Суцільні лінії відповідають звичайним солітонам, штрихові - солітонам з нелінійно змінною фазою.

Однак пробна функція не враховую іншого важливого фактору, а саме осциляцій профілю обвідної хвильового пакету, які є дуже суттєвими в дисперсійному режимі, що розглядається. Для усунення цього недоліку в пункті 2.3.2 для знаходження наближених солітонних розв'язків був проведений узагальнений варіаційний аналіз із пробною функцією

де J₀ (x) - функція Бесселя нульового порядку. Функція (4) містить три варіаційні параметри, та, які дозволяють врахувати просторову локалізацію, варіацію фази і осциляції солітонного профілю. Результати узагальненого варіаційного аналізу підтверджують існування стійких солітонів із нелінійно змінною фазою. На Рис.4 представлено залежність варіаційного параметру від числа квантів. Якщо параметр у перевищує деяке критичне значення порядку одиниці, виникає ще одна стійка солітонна гілка, що відповідає солітонам з нелінійно змінною фазою. Для випадку, коли дисперсійні ефекти другого порядку відсутні (D = 0), в середовищі, для якого характерні як конкуруючі локальні нелінійності, розглянуті в першому розділі дисертації, так і нелокальні нелінійності, але фокусуючого типу, УНРШ має точний розв'язок у вигляді алгебраїчного солітону, який було розглянуто в четвертому підрозділі другого розділу. В п'ятому підрозділі другого розділу розвинену модель застосовано для аналізу можливості експериментального спостереження формування дактів в іоносфері Землі, досліджено вплив нелокальності нелінійності на самоузгоджені геліконні хвилеводи в лабораторних плазмових експериментах а також на верхньогібридні квазідвовимірні структури у пучково-плазмових експериментах.

В третьому розділі дисертації "Розпадні параметричні нестійкості вістлерів у космічній та лабораторній плазмі" [4, 5, 7, 9] вивчені основні розпадні нестійкості потужної вістлерової хвилі. Задачу розв'язано в загальній постановці поширення хвилі накачки під кутом до зовнішнього магнітного поля без суттєвих обмежень на частоту вістлера. В передмові, що міститься в першому підрозділі третього розділу проводиться обгрунтування актуальності і доцільності узагальненого аналізу розпадних параметричних нестійкостей, а також перелічені основні параметричні нестійкості вістлерів. В другому підрозділі третього розділу наведені загальні умови виникнення розпадної параметричної нестійкості вістлерів. Проаналізовані дисперсійні властивості лінійних вістлерів, отримане дисперсійне співвідношення для цих хвиль. Обраховано пондоромоторний потенціал для сили, що виникає внаслідок нелінійного зв'язку між ВЧ полем вістлера і НЧ збуренням густини плазми, зумовленим наявністю іонно-звукової, або альфвенівської хвилі. Проаналізовані розпадні умови для частот і хвильових векторів хвилі накачки і дочірніх хвиль і знайдені області значень хвильових векторів ВЧ хвиль, які задовольняють цим умовам. В третьому підрозділі третього розділу знайдені умови розвитку, пороги та інкременти розпадної параметричної вістлерівської хвилі на вістлер та альфвенівську хвилю. Для альфвенівських хвиль було отримане узагальнене дисперсійне співвідношення, яке у випадку, коли фазова швидкість набагато більша за теплову швидкість електронів (), переходить у дисперсійне співвідношення для ширових альфвенівських хвиль, в протилежному випадку - у дисперсію кінетичних альфвеніських хвиль. В цьому підрозділі отримано пороги і інкременти, які придатні і для опису розпаду поблизу значень параметрів, які відповідають для дочірньої ВЧ хвилі () границі між вістлерною і верхньогібридною гілками, коли. Отримані теоретичні результати проаналізовані для плазмових параметрів, що відповідають іоносфері Землі. Показано, що в реальних умовах пороги нестійкості достатньо легко подолати і розпад вістлера на ВЧ хвилю і альфвенівську хвилю можна спостерігати. Проаналізовано можливість застосування отриманих результатів для пояснення низькочастотних геомагнітних пульсацій, що реєструються за допомогою супутників. У четвертому підрозділі третього розділу розглянуто розпадну параметричну нестійкість вістлерів за участю іонно-звукових хвиль. Цей процес особливо ефективний в лабораторній неізотермічній плазмі, де іонно-звукові хвилі слабко затухають. Знайдені пороги і інкременти з урахуванням слабкого затухання вістлерів та іонно-звукових хвиль. Отримані теоретично значення узгоджуються з даними лабораторних експериментів.

Наприкінці, у Висновках, викладено основні результати дисертаційної роботи.

магнітоактивна плазма двовимірний солітон

Висновки