Поширення пружних хвиль в тілах з порожнинами неканонічної форми

Размещено на http://www.allbest.ru/

НаціональнА академіЯ наук України

Інститут прикладних проблем

механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

УДК 539.3

ПОШИРЕННЯ ПРУЖНИХ ХВИЛЬ В ТІЛАХ З

ПОРОЖНИНАМИ НЕКАНОНІЧНОЇ ФОРМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

МАТУС Валерій Володимирович

Львів - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Піддубняк Олекса Полікарпович, Національний університет “Львівська політехніка”.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Селезов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Михаськів Віктор Володимирович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа Львівський національний університет ім. Івана Франка, кафедри механіки та інформаційних систем, Міністерство освіти і науки України, Львів.

Захист відбудеться “31” жовтня 2003 року о “15.00” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79601, м. Львів, МСП, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79601, м. Львів, МСП, вул. Наукова, 3-Б.

Автореферат розісланий “26” вересня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук П. Р. Шевчук



АНОТАЦІЯ

Матус В.В. Поширення пружних хвиль в тілах з порожнинами неканонічної форми. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 “Механіка деформівного твердого тіла”. -- Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2003.

Дисертація присвячена проблемі взаємодії пружних хвиль з порожнинами криволінійної форми, що знаходяться в тілах, обмежених плоскими границями. На основі методу нульового поля розроблено методику розв'язування задач про коливання пружного півпростору з порожниною та двошарової тонкої пружної пластини з розшаруванням. Проведено аналіз впливу форми поверхні порожнини на спектр потоку енергії в півпросторі та розподіл напружень в околі порожнини, що перебуває під дією внутрішнього, змінного за часом тиску. Досліджено амплітудно-частотні характеристики прогину тонкої двошарової пластини з тріщиною, розташованою на границі розділу середовищ, в залежності від форми цього розшарування. пружний хвиля півпростір коливання

Ключові слова: пружне тіло, динаміка, метод нульового поля, півпростір, порожнина, двошарова пластина, розшарування, резонансна частота, концентрація напружень, згинні коливання.



ABSTRACT

Matus V.V. Propagation of elastic waves in solids with cavities of arbitrary form. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's Degree in Physics and Mathematics; a speciality: 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, L'viv, 2003.

The thesis is devoted to the problems of interaction between elastic waves and cavities in solids bounded by a parallel surfaces. Based of the null field approach, the procedure to study the vibration of elastic half-space with cavity and two-layered thin elastic plate with delaminating, is derived. The analysis is carried out of the effect of cavity form on the spectrum of power flow in a half space and stresses distribution around the time-depended pressurized cavity. The amplitude-frequency characteristics of deflection of two-layered thin plate with planar crack in the interface for various crack forms are investigated.

Key words: elastic body, dynamic, null field approach, half-space, cavity, delaminating, resonance frequency, stress concentration, flexural vibration.



АННОТАЦИЯ

Матус В.В. Распространение упругих волн в телах с полостями неканонической формы. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2003.

Диссертация посвящена проблеме взаимодействия упругих волн с полостями криволинейной формы, находящимися в телах, ограниченных плоскими поверхностями. Рассмотрены тела двух типов: упругое полупространство с объемной полостью и двухслойная тонкая упругая пластина с горизонтальной трещиной в верхнем слое или на границе раздела упругих свойств. Для решения задач разработана методика, базирующаяся на применении метода нулевого поля (Т-матричного метода).

В случае полупространства считается, что граница его свободна от напряжений, а поверхность полости пребывает под воздействием нестационарной нагрузки. Полость полностью находится в полупространстве и может иметь форму или бесконечного цилиндра с образующей, параллельной границе полупространства, или геометрического тела ограниченного поверхностью вращения. Вдоль образующей туннельной полости нагрузка однородна, т.е. полупространство находится в плоском деформированном состоянии. Решение задачи ищется с помощью преобразования Фурье по времени и метода нулевого поля с использованием функции Грина для упругого полупространства. С этой целью, тензорная функция Грина для упругого полупространства представлена в виде разложений по системе векторных волновых функций. На основе предложенной методики решены задачи о колебании полупространства с полостью, поверхность которой пребывает под воздействием внутреннего давления. Для плоской задачи рассмотрены эллиптическое, треугольное и квадратное с закругленными углами отверстия. В пространственной задаче расчеты проведены для сфероидальной, конусной, биконусной и кубической с закругленными вершинами полостей. Численный анализ показал, что спектр потока энергии, поступающей в полупространство через поверхность полости, имеет резонансный характер в случае, когда поверхность полости образует совместно с границей полупространства слой с почти параллельными границами. Проанализировано распределение напряжений на поверхности полости как при стационарных, так и нестационарных нагрузках.

На основе асимптотических методов, известных в литературе, задача о колебании бесконечной двухслойной тонкой пластины с расслоением, сведена к совместному решению трех уравнений изгибных колебаний. Два из них соответствуют классической теории изгиба Кирхгофа-Лява, но с усредненными значениями жесткости на изгиб и плотности. Считается, что колебания пластины обусловлены сосредоточенной силой, изменяющейся гармонически во времени и действующей перпендикулярно лицевой поверхности пластины. Решения указанных уравнений ищутся при условии непрерывности прогибов, углов наклона, обобщенных перерезывающих сил и изгибающих моментов на границе, которая совпадает с контуром трещины. Решение задачи найдено с помощью метода нулевого поля. Численно проанализирован прогиб пластины с трещиной на границе раздела пластин. Рассмотрены трещины, контур которых имеет форму эллипса, треугольника и квадрата с закругленными углами. Установлено, что спектр колебаний пластины имеет резонансный характер. Приведены зависимости резонансной частоты колебаний пластины от параметра, характеризирующего степень отклонения контура пластины от окружности.

Ключевые слова: упругое тело, динамика, метод нулевого поля, полупространство, полость, двухслойная пластина, расслоение, резонансные частоты, концентрация напряжений, изгибные колебания.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблеми механіки руйнування, дефектоскопії, явищ акустичної емісії, геофізики, сейсмології у багатьох випадках пов'язані з необхідністю вивчення закономірностей поширення хвиль і коливань в пружних тілах з неоднорідностями. Так, не зважаючи на сучасні наукові технології, які застосовуються при виготовленні різноманітних елементів конструкцій, не вдається запобігти виникненню дефектів типу тріщин, порожнин, включень. Такі недосконалості під дією нестаціонарних навантажень зумовлюють локальну концентрацію напружень, а отже, інформація про їх розподіл є важливою для механіки руйнування з точки зору прийняття рішень про можливість подальшої експлуатації відповідального обладнання. Особливо небезпечними є концентратори напружень, що розташовані поблизу чи на границі розділу середовищ. Виявлення та ідентифікація неоднорідностей за допомогою акустичних методів неруйнівного контролю вимагає попереднього розгляду відповідних модельних задач. В сейсмології модельна задача про поширення збурень від заглибленого джерела використовується при отриманні кількісної інформації про інтенсивність підземних вибухів. Вирішення всіх цих завдань можливе при застосуванні моделей та методів динамічної теорії пружності.

Основні результати з теорії та методів розв'язування задач динаміки тіл наведені в роботах Бреховских Л.М., Векслера Н.Д., Вікторова І.О., Головчана В.Т., Грінченка В.Т., Гузя А.М., Ємця В.Ф., Кіта Г.С., Кубенка В.Д., Купрадзе В.А., Космодаміанського А.С., Мелешка В.В., Метсавеера Я.О., Михаськіва В.В., Піддубняка О.П., Підстригача Я.С., Попова Г.Я., Сеймова В.М., Селезова І.Т., Улітка А.Ф., Фільштинського Л.А., Хая М.В., Шульги М.О., Янютіна Є.Г., Achenbach J.D., Banerjee P.K., Beskos D.E., Gaunaurd G, Pao Y.H., Ьberall H. та інших.

Keer L.M., Lin W., Achenbach J.D., Ворович Й.І., Бабешко В.А., Yang H.J., Симонов І.В., Рохлін С.І. розглянули випадки коливань напівобмеженого тіла з тріщиною, паралельною до вільної границі, двошарового півпростору або шару з тріщиною на границі розділу середовищ, а також однорідного шару з тріщиною. Дослідження показали, що коливання у таких тілах мають яскраво визначений резонансний характер, зумовлений, зокрема, присутністю вказаних дефектів. Однак, на сьогодні відсутні роботи, які б дали відповідь на питання, чи залежать резонансні частоти коливань від форми контуру тріщини, що міститься на границі розділу двох, зокрема тонких, шарів. Поширення хвиль в півпросторі з об'ємними дефектами вивчали Головчан В.Т., Селезов І.Т., Назаренко А.М., Бабешко В.А., Селезнев М.Г., Горшков А.Г., Gregory R.D., Datta S.K., Achenbach J.D., Itou S., Niwa Y., Hirose S., Bцstrom A., Kristensson G., Manolis G.D., Rizzo F.J. та інші. Проте не з'ясовано, чи мають резонансний характер коливання напівобмеженого тіла (півпростору) з об'ємною порожниною, і якщо мають, то як ці резонанси залежать від форми поверхні порожнини? Недостатньо вивчено також розподіл напружень як в усталеному, так і в нестаціонарному режимі поблизу порожнини, що відрізняється від циліндра та сфери і міститься у півпросторі.

Таким чином, актуальним як з практичної, так і теоретичної точок зору є дослідження, спрямоване на вирішення наукового завдання - визначення напружено-деформованого стану пружного півпростору з порожниною неканонічної форми, поверхня якої перебуває під дією усталених та імпульсних навантажень, а також отримання амплітудно-частотних залежностей прогину тонких двошарових пластин з горизонтальною тріщиною некругової форми.

Зв'язок роботи з науковими планами, темами і програмами. Вибраний напрям досліджень відповідає науковій тематиці відділу механіки деформівного твердого тіла Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України і виконаний в рамках бюджетних науково-дослідних тем, а саме:

“Розробка методу акустодіагностики пружно-деформованого стану і внутрішньої структури твердих тіл в рідині або газі з використанням ефекту недзеркального відбиття обмеженого звукового пучка” (I квартал 1993 р. - IV квартал 1996 р., шифр теми 1.1.3.193, № державної реєстрації 0193U033343), дисертант - виконавець теми;

“Розробка методів і алгоритмів побудови розв'язків прямих і обернених задач термопружності та гідропружності стосовно до оптимізації та відтворення напруженого стану в неоднорідних тілах” (IІІ квартал 1997 р. - IІ квартал 2002 р., шифр теми 1.1.3.257, № державної реєстрації 0197U017671), дисертант - виконавець теми.

Метою роботи є встановлення якісних і кількісних закономірностей взаємодії пружних хвиль з порожнинами криволінійної форми, що містяться в тілах, обмежених плоскими границями; розробка на основі методу нульового поля методики розв'язування динамічних задач для півпростору з порожнинами неканонічної форми та двошарової пластини з тріщиною в площині, паралельній поверхням пластини; розв'язування нових задач про коливання у півпросторі з порожнинами, поверхні яких перебувають під дією внутрішнього, змінного за часом тиску, та коливання тонкої двошарової безмежної пластини з горизонтальною тріщиною, спричинених дією на вільній поверхні пластини зосередженої сили, що змінюється гармонічно за часом.

Об'єкт дослідження - динамічний напружено-деформований стан пружного півпростору з порожниною і частотні залежності прогину тонких двошарових пластинах з розшаруванням.

Предмет дослідження - методика застосування алгоритму нульового поля до задач поширення хвиль в пружному півпросторі з порожниною та задачі про коливання тонких двошарових пластин з розшаруванням.

Методи досліджень: методи механіки суцільних середовищ, метод інтегрального перетворення Фур'є за часом і метод нульового поля для середовищ, деформації яких описуються динамічними рівняннями теорії пружності, метод нульового поля для середовищ, рух яких описується рівняннями згинних коливань тонких пластин в усталеному режимі.

Наукова новизна:

- вдосконалено методику застосування методу нульового поля до задач про коливання пружного півпростору з порожнинами;

- метод нульового поля розвинено стосовно задач про згинні коливання тонких пластин;

- проаналізовано вплив форми поверхні порожнини (з врахуванням відхилень цієї поверхні від канонічної) на частотні та почасові характеристики напружено-деформованого стану півпростору з порожниною та вплив форми контуру горизонтальної тріщини в двошаровій тонкій пластині на частотний спектр поперечних переміщень пластини.

Обґрунтованість і достовірність наукових результатів випливає з коректності математичної постановки задач, використання основних засад механіки суцільного середовища; узгодження окремих результатів з відомими в науковій літературі, застосування надійних аналітичних і числових методів до розв'язування крайових задач.

Практичне значення отриманих результатів роботи полягає у можливості проведення аналізу динамічного напружено-деформованого стану пружного півпростору з порожниною, оцінки залежності рівнів концентрації напружень біля порожнини від геометрії поверхні та фізико-механічних параметрів матеріалу півпростору. Отримані в дисертації чисельні результати можна використовувати як базові при розв'язуванні більш складних задач.

Апробація результатів роботи. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на: Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвяченій 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я. С. Підстригача та 25-річчя заснованого ним Інституту прикладних проблем механіки і математики (Львів, 1998), ІІ-му Міжнародному симпозіумі “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій” (Львів, 1996), Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” (м. Дрогобич, 2001 р.), Міжнародних наукових конференціях “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000; Львів 2003), Міжнародних семінарах “Прямі та обернені задачі теорії електромагнітних та акустичних хвиль” (Львів, 1995; Львів, 2001; Тбілісі, 2002).

У повному обсязі робота доповідалась на об'єднаному семінарі відділу механіки деформівного твердого тіла і відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, на проблемному семінарі з механіки цього ж Інституту під керівництвом члена-кореспондента НАН України Г.С. Кіта, на спільному семінарі кафедр механіки та інформаційних систем Львівського національного університету ім. І. Франка.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковані в 16-ти роботах [1-16], з них [1-8] - у рецензованих наукових журналах з Переліку фахових видань ВАК України.

Усі результати, що стосуються основного змісту дисертації отримані здобувачем самостійно. Серед 16-ти наукових праць за темою дисертації три роботи опубліковані без співавторів. У публікаціях, які написані в співавторстві, особистий внесок здобувача складає: [2, 5] - побудова розв'язку задачі про коливання тонкої двошарової пластини з круговим розшаруванням [2] та розробка методу для розв'язування таких задач у випадку некругового розшарування [5], аналіз числових результатів; [8] - розв'язок задачі та аналіз отриманих результатів; [9] - методика розв'язування задачі про усталені коливання у пружному півпросторі з порожниною, числовий аналіз; [13, 15, 16] - розв'язування задач та числові розрахунки; [3, 6, 7, 11, 12, 14] - розробка алгоритму числових розрахунків та програмна реалізація його для розв'язування нестаціонарних задач розсіяння за допомогою перетворення Фур'є за часом та методу нульового поля.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти розділів, які містять 50 рисунків та дві таблиці, висновків, списку використаних джерел, що містить 187 найменувань, а також додатку. Загальний обсяг роботи становить 165 сторінок тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дослідження, визначено мету роботи, сформульовано наукову новизну й обґрунтовано достовірність отриманих у роботі наукових результатів та їх практичне значення. Визначено особистий внесок здобувача у публікаціях та рівень апробації результатів дисертації.

У першому розділі подано огляд робіт, присвячених проблемі поширення хвиль в тілах з дефектами. Вказано важливі для практики задачі, які залишились невирішеними.

У другому розділі подано методику розв'язування динамічних задач теорії пружності, побудовану на застосуванні методу нульового поля (Т-матричного методу), запропонованого вперше Баранцевим Р.Г. для задач розсіяння в середовищах, що описуються скалярним рівнянням Гельмгольца. Більш детально можливості цього методу дослідив Waterman P.C., застосувавши його також для пружних та електромагнітних середовищ. Bцstrom A., Kristensson G. розв'язок задач розсіяння акустичних та пружних хвиль на порожнинах, що містяться в півпросторі отримали за допомогою методу Т-матриць з використанням функції Гріна для безмежного простору.

В підрозділі 2.1 метод нульового поля застосовано до задач випромінювання хвиль в пружному півпросторі з порожниною. На відміну від згаданих вище робіт, для побудови розв'язку використано функцію Гріна для півпростору з плоскою границею. Порожнина може мати форму циліндра безмежної довжини або геометричного тіла скінченних розмірів. Твірна циліндричної поверхні порожнини паралельна до границі півпростору. Порожнина повністю міститься в півпросторі, а геометричний центр її віддалений на відстань h від границі півпростору. Півпростір є пружним ізотропним матеріалом, що характеризується коефіцієнтами Ляме л, м та густиною . Границя півпростору вільна від напружень, а поверхня порожнини перебуває під дією нестаціонарного навантаження (вздовж твірної тунельної порожнини зусилля однорідне). Задача полягає в знаходженні розв'язку рівнянь руху точок середовища при виконанні граничних умов та умов причинності.

Для знаходження розв'язку поставленої задачі використано перетворенням Фур'є за часом, внаслідок чого отримано відповідну задачу в усталеному режимі. Зміщення у випроміненому полі подано з використанням третьої формули Бетті та граничних умов у вигляді

,

де - вектор переміщень точок середовища, - радіус-вектор точки, в якій розглядається поле пружних деформацій, - декартові координати з початком О всередині порожнини на відстані h від границі півпростору, щ - параметр перетворення Фур'є, - задані зусилля, - стала, що має розмірність напружень

тензор переміщень Гріна для півпростору, а - відповідний йому тензор напружень ( - матриця фундаментальних розв'язків Купрадзе, - складова, що враховує наявність границі півпростору), V - область, обмежена границею півпростору S та поверхнею порожнини , - вектор зовнішньої нормалі до поверхні .

Функцію Гріна побудовано у вигляді розкладу

, , .

При цьому у двовимірному (плоскому) випадку - система векторних циліндричних хвильових функцій (ф=1,2; ; ), у тривимірному - система векторних сферичних хвильових функцій (ф=1,2,3; ; , )

Функції , які випливають з розв'язку задачі про відбиття хвиль від границі півпростору, досліджено в підрозділі 2.2. Представивши у вигляді інтегральних розкладів за системою векторних плоских хвиль, що набігають на границю півпростору, відбиті хвилі отримуємо як суперпозицію відбитих плоских хвиль.

Переміщення на поверхні порожнини представляються у вигляді розкладу за повною системою функцій :

, (3)

де - шукані коефіцієнти розкладу, а - характерний розмір порожнини, . При цьому в тривимірній задачі використовуються розклади за сферичними гармоніками , а в двовимірній задачі - розклади за тригонометричними функціями.

Вважаючи, що в (1) знаходиться всередині кола (для двовимірного випадку) або сфери (для тривимірного випадку), вписаних в та використавши співвідношення (2), (3) і ортогональність векторних хвильових функцій, отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь безмежного порядку для визначення невідомих коефіцієнтів розкладу (3).

В підрозділі 2.3 метод нульового поля поширено на задачі про коливання тонких необмежених пластин з отвором неканонічної форми та скінченних пластин з криволінійним контуром. У випадку дії нормального до поверхні тонкої пластини гармонічного за часом навантаження (залежність від часу оминаємо), рух пластини з врахуванням гіпотез Кірхгофа, описується рівнянням згинних коливань. Задача полягає у знаходженні розв'язку цього рівняння при виконанні крайових умов на контурі скінченної пластини або крайових умов на отворі та умов випромінювання на безмежності для необмеженої пластини.

Розв'язок поставлених задач знайдено за допомогою теореми взаємності робіт, яка у випадку скінченної пластини визначається співвідношенням:

,

де - замкнена лінія, що обмежує область S серединної поверхні пластини, V - узагальнена перерізуюча сила, M - згинний момент і - кут повороту нормального елемента до серединної поверхні пластини. Величини зі штрихом відповідають рівнянню згинних коливань з правою частиною .

Вважаючи, що

,

де - дельта-функція Дірака (в такому випадку - фундаментальний розв'язок рівняння згинних коливань), для поперечних переміщень пластини отримуємо наступне інтегральне представлення:



. (5)

В контурних інтегралах цього виразу дві з чотирьох величин M, V, , w задаються крайовими умовами. Решта дві невідомі величини визначаються із (4) при . При цьому прогини пластини є розв'язками однорідного рівняння згинних коливань, які вибираються у вигляді

, ,

де ; ; , (); - функції Бесселя і - модифіковані функції Бесселя l-го порядку; - полярні координати радіус-вектора ; - хвильове число згинних коливань пластини. Підставивши почергово функції (6) в (4), отримуємо рівняння моментів методу нульового поля:

,

де ; ; ; ; , , - кути повороту, згинні моменти та узагальнені перерізуючі сили, що відповідають безрозмірним переміщенням (6).

Невідомі величини на контурі пластини зображено у вигляді розкладів за тригонометричною системою функцій. Знаходження коефіцієнтів цих розкладів зводиться за допомогою рівняння моментів (7) до розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь безмежного порядку.

У випадку задачі про коливання безмежної пластини з отвором поперечні переміщення в пластині обчислюються з інтегрального зображення, подібного до (5). Рівняння моментів для визначення невідомих величин на контурі отвору отримано за допомогою теореми взаємності робіт та системи хвильових функцій

, ,

де - функції Макдональда l-го порядку.

Запропоновану в цьому розділі методику використано для розв'язування нових задач в наступних трьох розділах дисертації.

У третьому розділі розглянуто задачу про поширення хвиль у півплощині з отвором, контур якого перебуває під дією внутрішнього, змінного за часом тиску.

В підрозділі 3.1 подано основні співвідношення (коефіцієнти матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її вільні члени), необхідні для знаходження зміщень на контурі отвору.

В підрозділі 3.2 отримано вирази для вектора переміщень у півплощині ззовні кола мінімального радіусу, описаного навколо отвору.

З метою аналізу спектральної структури перевипроміненого хвильового поля в підрозділі 3.3 досліджено потік потужності W в пружній півплощині. Із закону збереження енергії випливає, що потік потужності через поверхню порожнини дорівнює потоку потужності через довільну замкнену поверхню, що охоплює порожнину.

Числові підрахунки виконано для випадку отворів, що описуються параметричними рівняннями

, ,



де a - характерний розмір отвору, , , N - ціле число.

Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь безмежного порядку відносно коефіцієнтів розкладу (3) знайдено за допомогою методу редукції, правомірність застосування якого доведено шляхом числового експерименту. Проаналізовано спектральні особливості потоку енергії, що надходить у півплощину через контури отворів трьох типів: еліптичний, трикутний з заокругленими кутами та квадратний з заокругленими кутами. На рис. 1 зображено криві безрозмірного потоку енергії через контур квадратного отвору в півплощині для різних глибин його розташування. Встановлено, що коливний характер енергетичного спектру обумовлений інтерференцією хвиль випромінених отвором і поздовжніх хвиль, перевідбитих від границі півплощини. Аналіз діаграми напрямленості потоку енергії показав, що різкі максимуми в енергетичному спектрі у випадку отворів, що розташовані на відносно невеликій відстані від границі півплощини і утворюють разом з нею прошарок з майже плоскопаралельними границями, обумовлені коливаннями цього прошарку. Про те, що ці максимуми відповідають резонансним частотам коливання півплощини з отвором, свідчить зміна фази вертикальних переміщень в точках на границі півплощини на величину в околі цих частот. Достовірність отриманих числових результатів підтверджена перевіркою виконання закону збереження енергії, а також порівнянням з результатами інших авторів.

У підрозділі 3.4 проаналізовано розподіл кільцевих напружень вздовж контуру отвору. Числові розрахунки проведено для усталених та нестаціонарних коливань у півплощині з порожниною, згаданих вище трьох форм. Модуляція в часі заданого на контурі отвору тиску вибиралась у формах слабкої ударної хвилі, синусоїдального імпульсу або ж гармонічного навантаження з несучою частотою, що відповідає довжині поздовжньої хвилі, співрозмірної з характерним розміром отвору. Встановлено, що наявність границі півплощини, розташованої на відстані півтора характерного розміру отвору від його геометричного центру, суттєво впливає на максимум розтягуючих напружень у випадку, коли контур отвору перебуває під дією слабкої ударної хвилі.

У четвертому розділі досліджено динамічний напружено-деформований стан пружного півпростору з осесиметричною порожниною, поверхня якої перебуває під дією внутрішнього тиску. Поверхня порожнини в довільному меридіональному перетині визначалась параметричними рівняннями (8). В підрозділі 4.1 подано основні величини, необхідні для знаходження переміщень на поверхні порожнини. У випадку, коли вісь симетрії порожнини нахилена під деяким кутом до поверхні півпростору, а форма її незначно відрізняється від сферичної, для розв'язку задачі використано метод збурення форми границі. В підрозділі 4.2 отримано вирази для вектора переміщень у півпросторі ззовні сфери мінімального радіусу, описаної навколо порожнини. Досліджено складові частини поля переміщень в дальній зоні. Проведений в підрозділі 4.3 аналіз потоку енергії у півпросторі з порожниною, вісь симетрії якої перпендикулярна до границі півпростору, показав, що енергетичний спектр має резонансний характер для випадків, коли поверхня порожнини сумісно з поверхнею півпростору утворює шар з майже плоскопаралельними границями.

В підрозділі 4.4 проаналізовано розподіл напружень на поверхні порожнини на площинці, нормаль якої співпадає з дотичним вектором до поверхні порожнини. На рис. 2 та 3 подано максимальні значення нестаціонарних напружень в залежності від розміщення точки на поверхні видовженої та сплюснутої сфероїдальної порожнин, відповідно, що перебувають під дією раптово прикладеного тиску. Відношення осей сфероїда дорівнює 0.75. Суцільні лінії відповідають порожнині в півпросторі, розташованій на безрозмірній відстані від границі півпростору, а штрихові - в безмежному просторі. Наведені залежності свідчать, що наявність границі півпростору значним чином впливає на максимум розтягуючих напружень у передніх по відношенню до границі півпростору, точках поверхні порожнини.

У п'ятому розділі дисертації проаналізовано спектральні особливості коливання тонкої двошарової пластини з розшаруванням (тріщиною).

В підрозділі 5.1 подано розклади фундаментального розв'язку рівняння згинних коливань за системою хвильових функцій. З використанням цих розкладів та інтегральних зображень, отримано вирази для прогину в безмежній пластині з отвором зовні кола, описаного навколо цього отвору і у скінченній пластині всередині кола, вписаного в область пластини.

В підрозділі 5.2 розглянуто задачу про коливання безмежної двошарової пластини з тріщиною у верхній пластині (покритті) або ж на границі розділу шарів. Вважається, що загальна півтовщина двошарової пластини - мала величина порівняно з характерним розміром a тріщини і довжиною хвиль, поширюваних в пластині, а відношення модулів Юнга і густин матеріалів, а також товщин шарів пластини не утворюють додаткових великих або малих параметрів. Механічні властивості покриття характеризуються модулем Юнга E₁ густиною с₁ і коефіцієнтом Пуассона н₁. Відповідні величини нижньої пластини (основи) - . Контур тріщини, в загальному, відмінний від кола. До зовнішньої поверхні покриття прикладено зосереджену вертикальну силу, що змінюється гармонічно з часом. Протилежні береги тріщини не взаємодіють між собою. Декартову систему x, y, z координат вибрано так, що площина Оxy паралельна до зовнішніх поверхонь пластини, а вісь z перпендикулярна до них. Початок системи координат розташований в площині тріщини.

Якщо умовно провести циліндричну поверхню, напрямний контур якої співпадає з контуром тріщини, а твірна - перпендикулярна до вільної поверхні пластини, то область, яку займає двошарова пластина поділиться цією поверхнею і протилежними поверхнями тріщини на три області: Щ₁ - область, яку займає однорідна скінченна пластина над тріщиною; Щ₂ - безмежна область, яку займає неоднорідна пластина поза тріщиною; Щ₃ - скінченна область, яку займає неоднорідна пластина під тріщиною (рис. 4). Шукані функції у кожній з областей Щ_j, згідно з роботою І.В. Симонова, можна подати у вигляді подвійних розкладів: асимптотичних за степенями малого параметра та скінченних за змінною z [2].

Ці розклади повинні задовольняти рівняння динамічної теорії пружності, умови в напруженнях на вільних поверхнях та умови спряження між шарами.

З використанням першого асимптотичного наближення встановлено, що вертикальні переміщення пластини в області задовольняють класичному рівнянню згинних коливань, а переміщення у двошарових пластинах в областях Щ₂ і Щ₃ описуються подібними рівняннями, але з усередненими значеннями жорсткості та густини. Вирази для моментів та перерізуючих сил в пластинах з двох останніх областей аналогічні до описаних теорією Кірхгофа, але з усередненими коефіцієнтами Пуассона. Вихідні тривимірні умови узгодженості розв'язків в областях задовольняються інтегрально. В кінцевому рахунку отримуються звичайні умови неперервності переміщень, кутів повороту, згинних моментів та узагальнених перерізуючих сил на контурі .

Задача, яка полягає в знаходженні розв'язків рівнянь згинних коливань при виконанні крайових умов та умов випромінювання на безмежності, розв'язана за допомогою методики, описаної в підрозділі 2.3. Отримана при цьому система лінійних алгебраїчних рівнянь безмежного порядку відносно коефіцієнтів розкладів невідомих величин на контурі тріщини за тригонометричними функціями розв'язувалась чисельно за допомогою методу редукції. Збіжність цього методу досліджувалась теж чисельно. Числовий аналіз розглядуваної задачі виконано для випадку, коли контур тріщини задано в параметричній формі (8). Встановлено, що спектральні залежності прогину двошарових пластин з еліптичною, трикутною та квадратною (із заокругленими кутами) тріщиною, мають резонансний характер. Резонансна частота коливань пластини залежить від форми контуру тріщини. Приклад такої поведінки амплітуди прогину пластини в залежності від безрозмірного хвильового числа наведено на рис. 5 для випадку тріщини трикутноподібної форми, що знаходиться на границі розділу шарів. Переміщення обчислено в точці над геометричним центром тріщини (зосереджена сила прикладена в цій же точці). Пружні параметри вибрані такими, що , , , , а відношення товщини покриття до товщини основи складає 3/2. На рис. 6 зображено залежність безрозмірного резонансного хвильового числа від параметра для різних значень N. При цьому прийнято, що , а решта параметрів такі ж.

В підрозділі 5.3 розглянута задача про коливання двошарової пластини з тріщиною у випадку, коли матеріал основи набагато жорсткіший від матеріалу покриття. Тоді можна припустити, що , , . Розв'язок в кожній з однорідних пластин, що заповнюють області W_j (рис. 4), шукається у вигляді асимптотичних розкладів за малим параметром h/a. За допомогою методу узгоджених асимптотичних розкладів [2], встановлено, що в усій пластині, за винятком області W₁, переміщення будуть незначними. В області ж W₁ переміщення визначаються рівнянням згинних коливань тонкої пластини при жорсткому закріпленні її контуру. Розв'язок такої задачі отримано методом, наведеним в підрозділі 2.3. Контур тріщини визначався співвідношеннями (8). Проаналізовано коливання двошарової пластини з тріщиною, контур якої має форму еліпса, трикутника та квадрата (з заокругленими кутами). Числові розрахунки виконано для власної частоти основного тону коливань пластини в залежності від параметра е, що характеризує міру відхилення контуру тріщини від кругової. Приведено порівняння з результатами, відомими в літературі.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА висновки

У дисертації подано нове вирішення наукового завдання - визначення напружено-деформованого стану пружного півпростору з порожниною неканонічної форми, поверхня якої перебуває під дією усталених та імпульсних навантажень, а також отримання амплітудно-частотних залежностей прогину тонких двошарових пластин з горизонтальною тріщиною некругової форми.

Для досягнення поставленої мети в роботі:

1. Побудовано тензорну функцію Гріна для пружного півпростору з вільною границею у вигляді розкладів за системою векторних хвильових функцій. Застосовано метод нульового поля з використанням цих розкладів для розв'язування задач про коливання пружного півпростору з порожниною, поверхня якої перебуває під дією змінного з часом тиску.

2. Проведено числовий аналіз концентрації динамічних напружень на поверхні порожнини та спектра потоку енергії в пружному півпросторі. За допомогою числових розрахунків встановлено, що енергетичний спектр має резонансний характер для форм поверхонь, що утворюють разом з границею півпростору прошарок з майже плоскопаралельними поверхнями.

3. Розвинено метод нульового поля стосовно до задачі про згинні коливання тонких пластин.

4. Застосовано метод нульового поля до задачі про усталені коливання тонкої двошарової пластини з горизонтальною тріщиною у верхньому шарі або ж на границі розділу шарів. Проаналізовано тонку структура резонансної частини спектру поперечних коливань пластини, зокрема, залежність резонансу основного тону від параметра, що характеризує міру відхилення форми контуру тріщини від кругової.



ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Матус В.В. Спектральні характеристики акустичних сигналів, випромінених порожнинами неканонічної форми в пружному середовищі // Доп. АН УРСР. Сер.А. - 1989. - № 9. - С. 49-51.

Байса В.Д., Кунец Я.И., Матус В.В., Поддубняк А.П. Стационарные колебания двухслойного пакета с расслоением // Техн. диагн. и неразрушающий контроль. - 1993. - № 4. - С. 30-35.

Кунець Я.І., Матус В.В. Розсіяння акустичного імпульсу жорсткою сферою в осадочному (рідкому) дні // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1997. - 40, № 2. - С. 137-141.

Матус В. В. Застосування методу нульового поля для розрахунку згинних коливань тонких пластин // Машинознавство. - 1998. - № 3. - С. 27-29.

Матус В. В., Пороховський В. В. Усталені коливання двошарової пластини з розшаруванням // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1998. - 41, № 2. - С. 83-89.

Кунець Я.І. Матус В.В., Пороховський В.В. Метод нульового поля у задачі розсіяння на тонкостінному пружному криволінійному включенні // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - 43, № 2. - С. 167-170.

Кунець Я.І. Матус В.В., Пороховський В.В. Розсіяння імпульсів пружних SH-хвиль на тонкостінному пружному криволінійному включенні // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - 43, № 4. - С. 150-154.

Кунець Я.І. Матус В.В., Пороховський В.В. Концентрація динамічних напружень поблизу отвору довільної форми в півплощині // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - 44, № 4. - С. 123-128.

Матус В. В., Павич Н. Я., Грилицький М. Д. Моделювання процесу поширення ультразвукових хвиль в пружному півпросторі з порожниною // Вісник Держ. ун-ту “Львівська політехніка”: Комп'ютерна інженерія та інформаційні технології. - 1999. - № 370. - С. 60-67.

Матус В.В. Поширення хвиль в пружному півпросторі з циліндричною порожниною // Збірник наукових доповідей аспірантів та здобувачів - учасників семінару, присвяченого пам'яті академіка Я.С. Підстригача. - Львів. - 1994. - С. 33-37.

Піддубняк О.П., Кунець Я.І., Ємець В.Ф., Матус В.В. Деякі питання акустодіагностики елементів конструкцій, послаблених тріщинами // Матеріали ІІ міжнар. симпоз. “Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій”. - Львів. - 1996. - С. 372-376.

Кунець Я.І., Матус В.В., Міщенко В.О. Дифракція імпульсів пружних хвиль на тонкостінному пружному включенні // Фізичні методи та засоби контролю середовищ, матеріалів та виробів: Збірник наукових праць. - Київ; Львів. - 1999. - С. 53-55.

Піддубняк О., Пороховський В., Матус В. Динамічна концентрація напружень поблизу порожнини неканонічної форми в пружному півпросторі. - Мат. проблеми мех. неоднор. структур. В 2-х т. - Львів, 2000. - Т. 2. - С. 158-161.

Kunets Ya. I., Matus V.V., Mischenko V.O., Poroshovsky V.V. Diffraction of elastic waves from a 2D thin elastic inclusion: null field approach // Proc. VI Int. Seminar/Workshop “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory”. - Lviv, 2001. - P. 166-169.

Kunets Ya. I., Matus V.V., Poroshovsky V.V. Dynamic stress concentration in the vicinity of arbitrary form hole in half-space // Proc. VI Int. Seminar/Workshop “Direct and inverse problems of electromagnetic and acoustic wave theory”. - Lviv, 2002. - P. 154-157.

Кунець Я.І. Матус В.В., Пороховський В.В. Концентрація напружень в півплощині з отвором при імпульсних навантаженнях // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. - Львів. - 2003. - С. 358-361.

Размещено на Allbest.ru

...