Актуальність теми. Вивчення найбільш складних процесів взаємодії рідин і газів з деформівними твердими тілами показало необхідність одночасного урахування характеристик рідини та газу, властивостей твердих тіл і формулювання умов на поверхнях їхнього контакту. Тому у сучасній науковій літературі проблемі гідропружності, зокрема течії в'язкої рідини в пружних оболонках, приділяється особлива увага. Даний розділ науки має теоретичне і прикладне значення в різних областях людського знання: від проблем транспортування в'язких субстанцій по трубопроводах до руху крові по артеріях і венах.

Найбільш швидко розвивається в останні роки один з відносно нових і важливих розділів механіки - механіка біологічних об'єктів, зокрема механіка серцево-судинної системи людини, що вивчає взаємодію крові і судин, матеріал яких має сильно нелінійні властивості, анізотропію і велику податливість. При цьому вплив геометричної і фізичної нелінійності виявляється особливо яскраво.

Хоча основні ідеї і принципи аналізу нестаціонарного руху в'язкої рідини в податливих оболонках відомі, очевидно, що механізми ряду явищ, наприклад, нелінійного перекручування форми хвиль тиску, вивчені зовсім недостатньо. Також залишається маловивченим вплив деяких факторів (поздовжній розтяг, наявність товстої стінки, поступове звуження просвіту) на гідропружну взаємодію, напружено-деформований стан (НДС) стінки і характеристики потоку.

Таким чином, розробка методів розв'язання нелінійних задач взаємодії в'язкого рідкого середовища і циліндричних гіперпружних оболонок становить науковий та практичний інтерес і тому є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності до тематики досліджень, що проводились у відділі міцності тонкостінних конструкцій Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України в межах держбюджетної теми № 207 (№ ГР0197U0122)"Розробка фундаментальних основ і комплексу прикладного програмного забезпечення статичної та динамічної міцності, оптимального проектування, довговічності та діагностики залишкового ресурсу енергомашин з урахуванням початкових і набутих дефектів" (розділ 2 "Розвиток теорії, розробка методів, алгоритмів і програм статичного, динамічного аналізу та оптимізації конструкцій").

Мета дослідження - розробка ефективних способів розв'язання проблеми взаємодії в'язкої нестисливої ньютонівської рідини з гіперпружною оболонкою в умовах нестаціонарної течії.

Основні задачі дослідження включають:

– розробку уточненої моделі податливої оболонки, що враховує характерні особливості поширення в ній хвиль тиску;

– побудова нового ефективного чисельно-аналітичного методу розв'язання вихідної системи рівнянь;

– чисельне дослідження впливу зміни фізичних і геометричних параметрів системи на її напружено-деформований стан і характеристики потоку;

– розрахунок різних характеристик гідропружної взаємодії, отримання яких безпосередніми вимірюваннями неможливе чи пов'язане з великими труднощами.

Об'єкт дослідження - взаємодія податливих оболонок і нестаціонарного потоку рідини.

Предмет дослідження - деформування гіперпружних циліндричних оболонок під впливом періодичного потоку в'язкої рідини в них.

Методи дослідження. У роботі застосовано поєднання аналітичних і чисельних методів. Для математичного моделювання досліджуваного об'єкта використовувалась теорія великих деформацій, а також рівняння руху суцільного середовища класу рідин та газів. При аналізі та спрощенні вихідної системи рівнянь застосовувались методи теорії розмірностей. Розв'язання апроксимується за допомогою методу Гальоркіна і скінченнорізницевого методу. Отримана початкова задача Коші розв'язується однокроковим або багатокроковим методом в залежності від конфігурації системи.

Наукова новизна роботи полягає в розвитку теорії і методів розв'язання задач гідропружного деформування фізично нелінійних циліндричних оболонок.

– На основі теорії великих деформацій і рівнянь Нав'є-Стокса для нестисливої в'язкої ньютонівської рідини розроблена уточнена математична модель гіперпружної оболонки, що містить нестаціонарний потік рідини.

– Запропоновано новий ефективний чисельний метод розв'язання вихідної системи рівнянь, заснований на комбінуванні розкладання Гальоркіна і наближенні похідних невідомих функцій скінченними різницями.

– Вперше докладно вивчено вплив зміни фізичних і геометричних характеристик оболонки на її НДС, напруження зсуву, швидкість хвилі тиску, швидкість потоку рідини з використанням пружних потенціалів реальних біологічних матеріалів.

– Запропоновано новий метод оцінки глобальних параметрів кровоносної системи за даними експериментів; метод використаний для уточненого формулювання граничних умов.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблена в дисертації математична модель дозволяє визначати механічні та гідродинамічні параметри систем, що включають у себе пружні трубки, заповнені в'язкою рідиною, яка рухається. Отримані алгоритм і програма чисельного розв'язання задач гідропружності можуть бути використані в практиці проектування технічних систем (перекачування в трубопроводах в'язких рідин), а також у біомеханіці та медицині для удосконалювання методів діагностики і лікування.

деформування циліндрична оболонка нелінійна

Результати дослідження використовуються в науковій роботі та в учбовому процесі на механіко-математичному факультеті та факультеті фундаментальної медицини Харківського національного університету ім.В.Н. Каразіна.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати, отримані в дисертації, доповідалися й обговорювалися на міжнародних конференціях: "Нові підходи в розробці і клінічних застосуваннях електро - та ехокардіографії" (Харків, 1997), "Проблеми медичної біомеханіки" (Харків, 1997), "11th Conference of the European Society of Biomechanics" (Toulouse, France, 1998), "Медичні застосування математичних та інженерних наук" (Харків, 1998), "Фізичні та комп'ютерні технології в народному господарстві" (Харків, 2002).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 7 статтях у наукових журналах [1-7].

Особистий внесок автора полягає в розвитку основних положень теорії гідропружного деформування фізично нелінійних циліндричних оболонок, в розробці алгоритмів, програм, побудові поліпшеної математичної моделі великої кровоносної судини, проведенні чисельних досліджень. Всі основні положення дисертації отримані автором особисто. В роботах, написаних у співавторстві, автору належать математична модель [1], метод та чисельні результати розрахунку гідропружної взаємодії [3], чисельні результати розрахунку розповсюдження хвилі тиску [6], метод та алгоритм розрахунку параметрів пружного резервуара та наведені чисельні дані [7].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 127 найменувань (на 10 сторінках) і додатку (на 2 сторінках). Загальний обсяг дисертації - 133 сторінки, включаючи 49 рисунків, 4 таблиці.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність проблеми, викладені мета і задачі досліджень, визначена практична цінність отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд досліджень, присвячених гідропружному деформуванню оболонок. Розглянуті найбільш відомі задачі, рівень їхньої складності, а також існуючі шляхи розв'язання.

У різний час питаннями нестаціонарної гідропружності займалися Г.Б. Атабек, А.Е. Бабаєв, Д.М. Ванг, Н. Вестергоф, А.С. Вольмир, Б.Я. Кантор, К. Каро, В.А. Касьянов, Ю.Я. Кисляков, Д.А. Кліп, В.Д. Кубенко, Д.К. Макдональд, І.В. Мирський, Дж.В. Морган, Л.В. Нікітін, Т. Педлі, Б.Я. Пуріня, С.А. Регірер, Н. Стергіопулос, Дж.М. Тарбелл, Дж.Р. Уомерслі, Д. Юнг, Я.Ч. Фанг, Є.Г. Янютін та інші.

У загальному вигляді в систему рівнянь для розглянутого кола задач входять тривимірні рівняння руху рідини, НДС оболонки, закон збереження маси рідини і матеріалу стінки, а також граничні умови (умови безперервності компонент швидкості і напружень на границях середовищ). Складність розв'язання системи рівнянь, що описують рух рідини в трубках, залежить від допущень, зроблених щодо властивостей самої рідини і стінок трубки.

При використанні системи рівнянь Нав'є-Стокса для моделювання течії біологічних рідин (зокрема, крові) у нормальних умовах уводяться припущення щодо нестисливості рідини та її ньютонівських властивостей. Також звичайно вважається, що рух рідини ламінарний та вісесиметричний. Дані припущення обґрунтовані і застосовані в роботах Е. Белардинелли, Д.М. Ванга, С. Кавальканті, Дж.М. Тарбелла, Дж.Р. Уомерслі.

Механічне поводження стінки судини визначає її будова - у випадку великої кровоносної судини це еластинові та колагенові волокна. Перші роботи з опису механічних властивостей судинної стінки та її поводження під навантаженням засновані на припущенні, що матеріал стінки судини є однорідним, ізотропним і підпорядковується закону Гука. Незважаючи на достатню простоту класичної теорії пружності, для опису поводження кровоносних судин ряд авторів (Д.Х. Бергель, Б.М. Ліаройд), використовуючи різні допущення, будує моделі на її основі.

Більш зручною для опису поводження кровоносних судин є теорія пружних оболонок, у якій судина розглядається як тонка оболонка і враховуються осьові деформації та напруження. Такий підхід використаний у роботах Г.Б. Атабека. Деякі автори (А.С. Вольмир, М.С. Герштейн, Ю.Я. Кисляков) шляхом ускладнення розрахункових моделей враховують анізотропію властивостей матеріалу стінки.

Незважаючи на широку поширеність уявлення про будову стінки великої кровоносної судини як оболонки, дана модель є, очевидно, надто спрощеною. Ряд авторів зазначає, що матеріал кровоносних судин за своїм поводженням подібний до еластомірів; крім того, встановлено, що великі кровоносні судини піддаються великим деформаціям. Підкреслюється також, що допущення про сталість напружень по товщині невірне і тільки з позицій теорії великих деформацій і тривимірного уявлення напружено-деформованого стану стінки можна описати реальне поводження судин. У зв'язку з цим при описі пружного поводження стінки судин набула популярності теорія великих деформацій, при якій матеріал стінки судини приймається пружним чи гіперпружним.

Існуючі дослідження задач у різній (здебільшого спрощеній) постановці не дозволяють вважати питання про опис механіки кровообігу цілком вивченим. Одна з головних невирішених проблем біомеханіки полягає в створенні достовірних моделей окремих елементів системи кровообігу й описі механіки системи в цілому. Разом з тим, з аналізу публікацій випливає, що деякі аспекти гідропружної взаємодії (поздовжній розтяг, звуження просвіту) залишаються вивченими недостатньо.

У другому розділі здійснена постановка задачі й отримані розв'язувальні рівняння періодичної течії в'язкої рідини в товстостінній гіперпружній оболонці.

Математична модель руху крові в сегменті артерії заснована на рівняннях руху суцільного середовища класу рідин і газів. Передбачається, що рідина є однорідним ньютонівським середовищем. Для нестисливої в'язкої рідини дана система має вигляд

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

де - вектор швидкості суцільного середовища; с - щільність; t - час; - вектор об'ємних сил; P - гідростатичний тиск; м - коефіцієнт динамічної в'язкості; E - внутрішня енергія; н_ik - тензор швидкостей; л - коефіцієнт теплопровідності; c_v - коефіцієнт теплоємності; T - температура суцільного середовища.

Якщо в середовищі відбуваються ізотермічні процеси і коефіцієнти в'язкості м і теплопровідності л є константами, то система рівнянь розпадається на рівняння нерозривності і Нав'є-Стокса (1) й (2) та рівняння енергії і теплопровідності (3) й (4). Виходячи з припущення, що течія є вісесиметричною, запишемо основні рівняння (1) й (2) у циліндричній системі координат r, и, x (вісь x спрямована уздовж осі симетрії судини)

, (5)

, (6)

, (7)

де u = u (r,x,t) - радіальна компонента швидкості; w = w (r,x,t) - поздовжня компонента швидкості; н - кінематична в'язкість рідини.

Розв'язання будується на припущенні, що відсутнє чи нехтовно мале поздовжнє переміщення стінки судини, і на її внутрішній поверхні осьова компонента швидкості перетворюється в нуль, а радіальна збігається зі швидкістю переміщення стінки.

Далі проводиться обезрозмірювання системи (5) - (7) по характерних масштабах зміни перемінних. Однією з основних безрозмірних характеристик системи є параметр Уомерслі б, що показує, як сильно відрізняється профіль швидкості при ламінарній течії в трубці від пуазейлівського.

Якщо зіставити радіус судини і довжину хвилі тиску, що проходить у ній, то з'ясується, що їхнє відношення для великих кровоносних судин значно менше одиниці. Використовуючи дане припущення, називане припущенням "довгої хвилі", з рівняння для радіальної компоненти швидкості (5) отримуємо незалежність тиску від радіальної координати

.

Математична модель ускладнюється тим, що течія відбувається в області з рухливими границями.

Для спрощення формулювання умов на границі вводиться трансформація координати , де a (x,t) = R_i (t) / R_0i - безрозмірний внутрішній радіус судини. Після перетворення координат рівняння (6) і (7) набувають такого вигляду:

, (8)

. (9)

Помножимо рівняння на з та проінтегруємо результат по радіальній координаті від 0 до з. З урахуванням умов на внутрішній границі судини з рівняння нерозривності (9) отримуємо

(10)

і рівняння Нав'є-Стокса (8) для поздовжньої компоненти швидкості після підстановки виразу (10) запишемо у вигляді

. (11)

Для чисельного інтегрування системи рівняння нерозривності зручно переписати в інтегральній формі. Після обезрозмірювання, перетворення координат отримуємо рівняння для частинної похідної a (x,t) за часом

, (12)

де функція Q характеризує об'ємний потік рідини через циліндричну судину

. (13)

Граничні умови, виражені в безрозмірних перемінних, приймають таку форму:

, , , .

Математична модель артерії будується на припущенні, що вона являє собою товстостінний циліндр з ортотропного однорідного нестисливого гіперпружного матеріалу. Інерція стінки не враховується, згинними напруженнями нехтуємо в силу припущення "довгої хвилі". Властивості матеріалу стінки судини описуються функцією потенціальної енергії пружного деформування, конкретний вигляд і параметри якої визначаються, виходячи з результатів експерименту. Розглянемо кругову циліндричну трубку, що знаходиться під дією внутрішнього тиску і поздовжнього розтягу. Нехай тіло оболонки в недеформованому стані визначається в такий спосіб:

, , ,

де R_0i - внутрішній радіус до деформації; R_0e - зовнішній радіус до деформації; L₀ - довжина сегмента до деформації.

Трубка деформується під впливом внутрішнього надлишкового тиску P і осьового розтягу так, що

, , .

Компоненти тензора напружень визначаються на основі теорії великих деформацій виразом, що містить функцію питомої енергії деформації W. Використовуючи величини головних подовжень л_k (k = 1, 2,3), вираз для напружень, що виникають у сегменті оболонки, запишемо у вигляді

,

де напруження у₁, у₂, у₃ - фізичні компоненти істинних напружень на елементарній площадці, перпендикулярній до поздовжнього, колового і радіального напрямків відповідно; q - невідома скалярна функція.

Виходячи з рівняння рівноваги суцільного середовища, записаного в циліндричній системі координат для сегмента оболонки, і з умови нестисливості матеріалу стінки (л₁л₂л₃ = 1), отримуємо таку залежність для у₃:

,

де л_x ? л₁; л ? л₂; л_e - значення л на зовнішній поверхні оболонки; .

Компоненти у₁ і у₂ визначаються аналогічно. Використовуючи виведені співвідношення з урахуванням граничних умов

, ,

отримуємо вираз для визначення тиску як функції від ступенів подовження

, (14)

де л_i - значення л на внутрішній поверхні оболонки.

Дане співвідношення при відомих параметрах матеріалу, що входять у функцію питомої енергії деформації, є рівнянням для визначення невідомої величини л при заданих значеннях внутрішньосудинного тиску і л_x.

Таким чином, вихідна задача моделювання течії нестисливої в'язкої рідини в гіперпружній циліндричній оболонці зведена до системи диференціальних рівнянь (11) і (12). Вираз для потоку (13), рівняння стану стінки (14) і функція потенціальної енергії замикають систему, яку необхідно проінтегрувати по осьовій, радіальній координатам і часу.

Третій розділ присвячений опису чисельної методики розв'язання задачі гідропружного деформування циліндричних оболонок, заснованої на методі Гальоркіна, розробці алгоритмів розв'язання досліджуваного класу задач і апробації методики. Проведено порівняння із результатами аналітичних і чисельних розв'язань ряду задач теорії деформівного твердого тіла і гідродинаміки.

Розкладемо поздовжню компоненту швидкості w у ряд по функціях радіальної координати:

, (15)

де в_i - невідомі функції; {ц_i} - ортонормована послідовність функцій, породжена процесом ортогоналізації Грама-Шмідта з послідовності (з^{2i -} 1), i = 1, …, N.

Підставимо дане наближення в рівняння (11), (12), помножимо обидві частини рівнянь на ц_k і проінтегруємо по з від 0 до 1, враховуючи ортогональність послідовності функцій ц_i. У результаті отримуємо систему з N + 1 рівнянь відносно a ₍x,t) і в_{k (}x,t):

, (16)

, (17)

(k = 1, …, N).

Коефіцієнти A_ik, D_ijk, E_k, G_i визначаються інтегро-диференціальними співвідношеннями через ц_i і б.

Частинні похідні невідомих функцій по осьовій координаті апроксимуються центральними скінченними різницями другого порядку точності. Записуючи рівняння (16) і (17) для кожного вузла сітки і увівши вектор невідомих X, що містить в_ij і a_i, отримуємо задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь

Для інтегрування розв'язувальної системи диференціальних рівнянь застосовувалися однокрокові або багатокрокові чисельні методи в залежності від характеристик поставленої задачі.

Представлений чисельний алгоритм реалізований у програмі мовою Паскаль у середовищі Borland Delphi. На початку роботи програми обнуляється вектор швидкості й обчислюється конфігурація системи, що відповідає початковому тиску. На кожнім кроці інтегрування відбувається контроль помилки зрізання з видачею її на екран, а також обчислення значень невідомих функцій. Результати розрахунків зберігаються у вигляді текстових файлів, що дозволяє використовувати їх у різних програмних продуктах для подальшого аналізу й інтерпретації.

Побудована теорія і методика розрахунку апробована на ряді відомих задач гідродинаміки і теорії пружності. Розглянуто течію в'язкої нестисливої ньютонівської рідини під впливом періодично змінного градієнта тиску в оболонці з твердими стінками. Виконано розрахунок профілів поздовжньої швидкості і проведене порівняння з аналітичним розв'язанням задачі. На основі розрахунків отримані дані про збіжність розв'язання в залежності від кількості членів ряду (15). Також проведений аналіз напружено-деформованого стану вісесиметричної циліндричної оболонки, що зазнає початкових поздовжніх та колових деформацій. Обчислено компоненти тензора напружень у серединній поверхні оболонки і показано, що для досить тонкої стінки результати розрізняються не більше ніж на 5 % з даними інших авторів.

У четвертому розділі проведене дослідження течії в'язкої нестисливої рідини, породжуваної періодично змінним градієнтом тиску, у товстостінній оболонці з гіперпружними стінками на прикладі течії крові у великих кровоносних судинах.

Використано функцію потенціальної енергії, яка запропонована для черевної аорти людини. Умовно відсічена частина кровоносної системи моделюється за допомогою елемента Кельвина-Фойгта. Отримано графіки поширення хвилі тиску уздовж досліджуваної ділянки судини. Дисипація енергії потоку внаслідок наявності в рідини в'язкості викликає невелике падіння амплітуди тиску на виході у порівнянні зі входом. Величина падіння складає приблизно 2-3 % на розрахунковій ділянці (30 см). Форма кривих тиску, зареєстрованих на вході і виході, майже однакова, але та з них, що знаходиться нижче за потоком, трохи запізнюється за часом. Розглянуто також розподіл поздовжньої швидкості потоку в часі. Пульсівний тиск обумовлює пульсівний характер кровотока, причому показано, що після кінця систоли (0,4 с) спостерігається ефект протитечії, коли біля стінок судини кров починає рухатися в зворотному напрямку (рис.1).

Явище зворотної течії пояснюється тим, що швидкість поширення пульсової хвилі перевищує швидкість кровотока. Тому в якийсь момент часу тиск у дистальній ділянці перевищує тиск у проксимальному відділі, тобто утворюється негативний градієнт тиску, що і викликає зворотний кровотік. Відбиття пульсової хвилі від периферії артеріального дерева і пружне коливання стінок судини після проходження положення рівноваги позначаються також і на коливаннях величини осьової швидкості, і, як наслідок, - на напруженні зсуву на стінці судини (рис.2).

Дослідження впливу на потік рідини початкового натягу судин проводилося для трьох функцій потенціальної енергії W, розроблених для моделювання грудної артерії собаки (модель А), черевної аорти людини (модель В) і грудної артерії кролика (модель С). Для всіх трьох випадків геометричні параметри досліджуваної ділянки судини, а також фізіологічні властивості крові припускалися тими самими: L = 1 м - довжина ділянки артерії; R_0i = 6,0 мм - внутрішній радіус артерії; h = 1,0 мм - товщина стінки судини; м = 410^-3 Пас - в'язкість крові; с = 1060 кг/м³ - щільність крові; Q_max = 2,510^-6 м³/с - максимум вхідного потоку; T = 0,03 с - довжина імпульсу вхідного потоку; P₀ = 80 мм рт. ст. = 10,6 кПа - початковий тиск. Розрахунки проводились для значень відносного подовження судини від 1,0 (судина не розтягнута) до 1,8. Як показують експерименти, л_x для більшості судин in vivo лежить у межах від 1,2 до 1,8. На вході в судину подавався дуже короткий (30 мс) імпульс потоку. Протилежний кінець судини закритий відбивною площиною. Досить велика довжина досліджуваної судини не дозволяє відбитій хвилі спотворити форму вихідної хвилі. Тому значення швидкості хвилі, обчислені для фіксованих ділянок її фронту (наприклад, для підніжжя), можна використовувати як міру власної швидкості поширення хвилі тиску в артеріях.

На рис.3 наведені зміни швидкості хвилі тиску C₀ при збільшенні поздовжнього натягу з 1,0 до 1,8. Характерно, що для всіх трьох використовуваних функцій потенціальної енергії швидкість C₀ падає. Найбільш помітний цей ефект для моделі А.

Важливою характеристикою потоку є величина напруження зсуву на стінці судини. Експериментами підтверджено, що області зі зниженим напруженням зсуву добре корелюються з ділянками, що мають ушкоджений ендотелій. Наявність таких областей веде до утворення жирового шару на стінках судини і, як наслідок, - до атеросклерозу. При значеннях натягу від 1,2 до 1,6, характерних для більшості судин, амплітуда напруження зсуву змінюється незначно (менше 5 %) для артерії собаки (модель А) і грудної артерії кролика (модель С), а для черевної аорти людини (модель B) її збільшення склало понад 75 % (рис.4). При збільшенні л_x амплітуда напруження зсуву зростає нелінійно (рис.5).

Розроблена математична модель, що дозволяє враховувати поздовжній розтяг артерії й товщину її стінки, використана також для аналізу впливу локального звуження просвіту судини (стеноз) на характеристики гідропружного деформування. Сегмент артерії моделюється як товстостінний циліндр із круговим перерізом з ортотропного однорідного нестисливого гіперпружного матеріалу. Товщина стінки є функцією поздовжньої координати і змінюється за законом косинуса, отже, податливість стінки і величина просвіту міняються уздовж судини. Дослідження впливу стенозу на потік крові в артерії проводилися для різних величин звуження просвіту судини: максимум звуження складав 5 %, 10 %,20 %, 30 % від площі. Вплив невеликого звуження просвіту судини на потік крові в ньому є локальним; профіль швидкості удалині від нього не зазнає помітних змін. Поблизу стовщення стінки спостерігається досить сильне збурення кровоносного потоку, що відповідає експериментальним спостереженням. У фазі систоли під час піка швидкості потоку кров в області стенозу отримує додаткове прискорення через звуження судини. В області стенозу, що передує його максимальному значенню, швидкість часток рідини, розташованих поблизу осі симетрії судини, злегка зменшується, у той час як швидкість поблизу стінок збільшується таким чином, що потік через поперечний переріз залишається приблизно попереднім відповідно до закону збереження маси. У пост-стенозній зоні, навпаки, додаткове прискорення отримують частки поблизу центральної осі артерії, так що профіль поздовжньої швидкості стає більш схожим на параболу. При збільшенні ступеня стенозу відбувається зростання швидкості, що досягається кров'ю в момент проходження точки звуження: зменшення просвіту судини на 30 % приводить до прискорення потоку більш ніж на 20 %. Разом з тим стає помітна різниця між профілями швидкості крові до і після стенозу: чим більш близьким до параболи він стає після проходження звуження, тим більш плоским він стає в перед-стенозній області, і на тривимірному графіку з'являється характерний провал перед сплеском швидкості (рис.6). Це спричиняє значне зростання амплітуди напруження зсуву на стінці кровоносної судини.

Досліджено вплив зміни фізичних характеристик циліндричної оболонки на характеристики гідропружної взаємодії на прикладі процесу старіння артерії людини. Математична модель містить у собі локальне стовщення внутрішньої стінки, відбиття хвиль тиску від периферії й врахування початкового натягу судини. Вікова зміна жорсткості стінки судини приводить до того, що в діапазоні найбільш ймовірних радіальних подовжень (1,6-1,8) потенціальна енергія пружного деформування для старшої вікової групи перевищує в 2-4 рази цю ж величину для молодих пацієнтів. Дана зміна характеристик стінок судини приводить до збільшення систолічного тиску від 120 мм рт. ст. до 140 мм рт. ст. при практично незмінному діастолічному тиску і до росту максимального значення поздовжньої швидкості потоку на 40 %. Відбувається також зміна нахилу профілю швидкості, що спричиняє ріст максимального значення напруження зсуву в районі стенозу.

Проведено аналіз впливів, спричинених звуженням судини, на поширення хвилі тиску. Для цього введений експоненціальний закон зміни зовнішнього радіуса судини по довжині (при постійній її товщині), параметр в в якому характеризує швидкість звуження судини. Використовувалися функція W для ортотропної артерії грудного відділу кролика і відповідні біологічному об'єкту геометричні параметри. Показано, що наявність навіть невеликого звуження приводить до серйозного перекручування картини поширення хвилі тиску уздовж судини (рис.7,8).

Також вивчений розподіл напружень у стінці гіперпружної оболонки при різних значеннях тиску. Показано, що величини напружень у₁, у₂, у₃ і функції W мають нелінійний характер зміни по товщині стінки (рис.9). Максимуму згадані величини досягають на внутрішній поверхні оболонки. З ростом тиску відбувається помітне підвищення значень напружень і функції W на внутрішній поверхні оболонки стосовно значень у серединному шарі і на зовнішній поверхні.

Вивчено різні моделі "пружної камери", що застосовуються для опису поводження умовно відсіченої частини кровоносної системи, а також представлений метод розрахунку параметрів, виходячи з лабораторних даних. Класична двохелементна модель "пружного резервуара" являє собою розтяжну камеру, об'єм якої пропорційний надлишковому тиску в ній. Рівняння, що зв'язує тиск і величину потоку, виглядає таким чином:

,

де C - податливість кровоносної системи; R - її периферичний опір.

Розглянуті також трьох - і чотирьохелементні моделі, що отримуються введенням у вихідну модель додаткових елементів опору R₁ та інерційності L. Відповідні диференціальні рівняння набувають вигляду

,

.

Для знаходження значень параметрів, застосування яких дозволяє щонайкраще наблизити розрахункові функції тиску і потоку до даних вимірів, розроблений програмний модуль, що реалізує метод нелінійної оптимізації. Середні значення за один період серцевого циклу тиску і потоку використовуються для обчислення периферичного опору системи. Отримане значення R підставляється в диференціальне рівняння для двохелементної моделі, розв'язання якого P (t) використовується при оптимізації параметра С. Обчислені значення R і C використані як стартові при розв'язанні трьох-, а потім чотирьохелементної моделі з подальшою оптимізацією параметрів цих систем. Для розглянутої біологічної системи (аорта пацюка) трьохелементна модель більш точно відтворює хвилю тиску, ніж двохелементна. Введення додаткового четвертого параметра не приводить до помітного поліпшення результатів.

Основні результати і висновки

Кунделев А.Ю. Гидроупругое деформирование физически нелинейных цилиндрических оболочек. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт проблем машиностроения им.А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2003.

В диссертации изучено деформирование гиперупругих цилиндрических оболочек под воздействием нестационарного потока вязкой жидкости в них.

На основе теории больших деформаций и уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости разработана уточненная математическая модель толстостенной гиперупругой оболочки, содержащей нестационарный поток жидкости.

Предложен новый эффективный численный метод решения поставленной задачи, основанный на комбинировании разложения Галеркина по радиальной координате и приближении производных неизвестных функций по продольной координате конечными разностями.

Разработанные методика и программа применялись для решения ряда задач гемодинамики крупных кровеносных сосудов. На примере течения крови в артерии человека численно изученно НДС стенки сосуда, распределение во времени давления, скорости потока и напряжения сдвига на стенке. Показано, что влияние некоторых физических и геометрических характеристик стенок сосуда (продольное натяжение, постепенное сужение и др.) на механические и гидродинамические параметры системы может быть существенным.

Ключевые слова: гидроупругость, цилиндрическая оболочка, гиперупругость, напряженно-деформированное состояние, вязкая жидкость, волна давления.

Summary