Термодинамічні та структурні характеристики неоднорідного електронного газу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нацiональна академія наук України

Інститут фізики конденсованих систем

01.04.02 - Теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Термодинамічні та структурні характеристики неоднорідного електронного газу

Маркович Богдан Михайлович

Львів - 2003



Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Національному університеті “Львівська політехніка”

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, професор Костробій Петро Петрович, Національний університет “Львівська політехніка”, завідувач кафедри прикладної математики, проректор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Мельничук Степан Васильович, Чернівецький Національний університет імені Ю.Федьковича, проректор;

кандидат фізико-математичних наук Сов'як Євген Миколайович, старший науковий співробітник, відділ теорії нерівноважних процесів в рідинах і плазмі, Інститут фізики конденсованих систем НАН України

Провідна організація:

Інститут теоретичної фізики НАН України імені М.М. Боголюбова, відділ теорії та моделювання плазмових процесів, м. Київ

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту фізики конденсованих систем НАН України за адресою: 79026, м. Львів, вул. Козельницька, 4.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 35.156.01, кандидат фіз.-мат. Наук Т.Є. Крохмальський



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми досліджень. Сучасна фізика поверхні переживає швидкий розвиток як у теоретичному, так і експериментальному напрямках дослідження. Багато практично важливих явищ пов'язано з процесами, які відбуваються на поверхні поділу газ -- метал, газ -- рідина, рідина -- тверде тіло. Так, процеси адсорбції, десорбції, дифузії атомів, іонів, полярних та магнітних молекул чи кластерів на поверхні металів, діелектриків, напівпровідників відіграють одну з центральних ролей для розвитку наноструктурних, тонкоплівкових технологій у мікро- та оптоелектроніці. Такі процеси є важливими в отриманні тонкоплівкових структур, острівцевих ланцюжкових структур, квантових точок, надграток, самоорганізуючих адсорбатів (Кукушкин С.А., Осипов А.В. // Усп. физ. наук, 1998, 168, с.1083-1116).

Дифузійні процеси, механізми адсорбції, десорбції є визначальними також в каталітичних реакціях на активних поверхнях (Behm R.J. // Acta Phys. Polon. A, 1998, 93, p.259-272), структура, електронна будова яких у цих процесах відіграють центральну роль. Такі процеси та явища є об'єктами інтенсивних експериментальних досліджень (скануюча тунельна мікроскопія, скануюча тунельна спектроскопія, польова іонна мікроскопія та їх модифікації), які дають усе більш детальну інформацію про електронну будову, дифузійні процеси, структурні перетворення на поверхні металів, діелектриків, напівпровідників, високотемпературних надпровідників (Moriarty P. // Rep. Prog. Phys., 2001, 64, p.297-381). Неважко собі уявити як важливо було б детально розібратися у механізмах та характерах проходження цих процесів, а це неможливо зробити без вивчення електронної структури біля поверхні поділу. У представленій роботі досліджуються властивості поверхні поділу метал (модель “желе”) - вакуум, і вже тут виникають фундаментальні труднощі, пов'язані з сильною неоднорідністю електронної гутини у приповерхневій області.

На сьогоднішній день основними методами дослідження таких просторово неоднорідних систем є метод функціоналу густини та квантові методи Монте-Карло. За останні три з половиною десятиліття майже усі розрахунки електронної структури з перших принципів були виконані за допомогою методу функціоналу густини (Jones R.O., Gunnarsson O. // Rev. Mod. Phys., 1989, 61, p.689-746) у наближенні локальної густини та при різних модифікаціях градієнтних розкладів (Perdew J.P., Burke K., Ernzerhof M. // Phys. Rev. Lett., 1996, 77, p.3865-3868). Проте в методі функціоналу густини, який є адекватним для опису систем із плавною зміною електронної густини, що не є характерним для згаданих вище систем, існує відома проблема коректності розкладів за густиною та її градієнтів у випадку великих градієнтів електронної густини. Крім того, метод функціоналу густини не дає можливості знайти бінарну функцію розподілу електронів, а отже, неможливо коректно врахувати обмінно-кореляційні ефекти у просторово неоднорідному електронному газі.

Квантові методи Монте-Карло (Foulkes W.M.C., Mitas L., Needs R.J., Rajagopal G. // Rev. Mod. Phys., 2001, 73, p.33-83) є, по-суті, комп'ютерними експериментами, успішність яких у значній мірі залежить від адекватності вибраної пробної хвильової функції розглядуваній системі.

Усі вище наведені чинники, а також відсутність загальної методологічної бази для теоретичного дослідження просторово неоднорідного електронного газу, зумовлюють актуальність досліджень у цьому напрямі. Зокрема, важливим є розгляд термодинамічних та структурних функцій напівобмеженого металу в найпростішій моделі -- моделі “желе”, оскільки ця система може бути використана як базова при дослідженні більш складних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дисертаційна робота виконана в Національному університеті “Львівська політехніка” згідно з планами науково_дослідних робіт за темами:

“Розробка математичних моделей для опису електронних властивостей надграток і структур з квантовими ямами на основі напівпровідників з вузькою забороненою зоною”, шифр ДБ/34_Куб, №д.р. 0100U000497;

“Математичне моделювання явищ електронного і атомного переносу в низькорозмірних металевих і напівпровідникових структурах”, шифр ДБ/Адсорбат, №д.р. 0102U001167.

Мета дослідження.

Об'єктом досліджень є просторово неоднорідний електронний газ.

Предмет досліджень дисертаційної роботи -- термодинамічні та структурні характеристики напівобмеженого металу в моделі “желе”.

За метод досліджень обрано метод функціонального інтегрування.

Метою роботи є розрахунок термодинамічних та структурних характеристик просторово неоднорідного електронного газу для випадку напівобмеженого металу, який описується в рамках моделі “желе”.

Це передбачає: побудову представлення для великої статистичної суми у вигляді функціонального інтегралу та розроблення підходу для його розрахунку, розрахунок ефективного потенціалу міжелектронної взаємодії, побудову представлення для _частинкової функції розподілу електронів у вигляді функціонального інтегралу та отримання загального виразу для неї.

Чисельний розрахунок унарної та бінарної електронних функцій розподілу, порівняльний аналіз розрахованих значень поверхневих характеристик напівобмеженого металу (дипольний бар'єр, поверхнева енергія) із експериментальними даними та відомими результатами, які отримані за допомогою інших методів також становить мету виконаних досліджень.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному: запрoпоновано новий підхід для обчислення термодинамічного потенціалу, який полягає у зведенні відповідного негаусівського функціонального інтегралу до гаусівської форми із перенормованим корелятором “густина-густина”; показано, що в такому підході для розрахунку цього потенціалу достатньо знати ефективний потенціал міжелектронної взаємодії. Отримано рівняння для ефективного потенціалу міжелектронної взаємодії та знайдено його аналітичні розв'язки у наближенні Томаса_Фермі для кореляційної функціїї “густина-густина” при використанні наближення “постійної густини” для електронної квантово-механічної імовірності. Чисельно розв'язано інтегральне рівняння для ефективного потенціалу у наближенні Томаса-Фермі без використання наближення “постійної густини” та показано, що це наближення є добрим при великих (, - імпульс в площині паралельній до поверхні) імпульсах передачі між електронами.

Знайдено аналітичний вираз для екранованого потенціалу, що побудований на двочастинковій кореляційній функції “густина-густина”, в якій враховано кулонівську взаємодію між електронами. Для цієї кореляційної функції отримано інтегральне рівняння типу згортки та знайдено його аналітичний розв'язок у випадку низьких температур.

Методом функціонального інтегрування знайдено загальний вираз для s-частинкової функції розподілу електронів просторово неоднорідної системи. Показано, що для розрахунку цієї функції достатньо знати s-частинкову функцію розподілу ідеальної системи (тобто без врахування кулонівської взаємодії) та ефективний потенціал міжелектронної взаємодії розглядуваної системи.

Отримано аналітичні вирази для унарної та бінарної функцій розподілу електронів у граничних випадках низьких та високих температур. Показано, що отримані вирази для унарної та бінарної функцій розподілу при високих температурах узгоджуються із відомими виразами; у загальному випадку для бінарної функції розподілу електронів виконується принцип ослаблення кореляцій. При низьких температурах для певних значень електронних концентрацій чисельно розраховано унарну та бінарну функції розподілу електронів. Результати розрахунків унарної функції розподілу порівняно із отриманими за допомогою методів функціоналу густини та Монте_Карло.

Проведено розрахунки дипольного бар'єру, електростатичного потенціалу та поверхневої енергії напівобмеженого металу у моделі “желе”. Для розрахунку цих поверхневих характеристик використано попередньо розраховані унарну та бінарну електронні функції розподілу. Величину дипольного бар'єру порівняно із результатами інших дослідників (метод функціоналу густини) та напівемпіричними даними; виявлено, що метод функціоналу густини дає завищені значення (у порівнянні з напівемпіричними даними та розрахованими у представленій роботі) в області , де -параметр Бракнера. В області результати розрахунків непогано узгоджуються із розрахованими методом функціоналу густини. Порівняння розрахованих значень поверхневої енергії із результатами інших дослідників та експериментальними даними показало, що в області спостерігається добре узгодження із експериментом та отриманими даними за допомогою методу функціоналу густини; в області результати відносно добре узгоджуються із експериментальними даними, тоді як для поверхневої енергії всі відомі розрахунки дають занижені, а в області нефізичні від'ємні значення.

Теоретичне та практичне значення отриманих результатів. Знайдені аналітичні вирази для ефективних потенціалів та функцій розподілу електронів мають фундаментальне значення та можуть бути використані у теоретичному та експериментальному вивченні взаємодії заряджених частинок біля поверхні металу, електронної структури у приповерхневій області, а це є важливим при дослідженні процесів адсорбції, десорбції. Отримані результати в моделі “желе” можуть бути використані як базові при врахуванні дискретності іонної підсистеми, а також при дослідженні слабонерівноважних дифузійно-реакційних процесів. У методичному плані отримані результати є корисними з точки зору численних застосувань до інших більш складних систем, наприклад, “метал -- адсорбат -- газ”.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних працях автору належить:

розробка підходу для розрахунку негаусівського функціонального інтегралу [3];

знаходження загального виразу для функцій розподілу електронів [7];

розрахунок ефективного потенціалу міжелектронної взаємодії та двочастинкової кореляційної функції “густина-густина” при врахуванні кулонівської взаємодії між електронами [3,4,6];

розрахунок бінарної функції розподілу [5];

розрахунок електронної густини та дипольного бар'єру [1];

розрахунок поверхневої енергії [2].

Автор приймав безпосередню участь в аналізі та інтерпретації усіх отриманих результатів.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на наступних конференціях:

5-й міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 16-18 травня 2001).

6^th International conference on intermolecular interactions in matter (Gdaсsk-Jelitkowo, Poland, 10-13 September, 2001).

20^th European conference on surface science (Krakуw, Poland, 4-7 September, 2001).

Наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету "Львівська політехніка" (Львів, 6-7 червня 2002).

Наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету "Львівська політехніка" (Львів, 15-16 травня 2003).

Матеріали роботи також доповідалися на семінарах кафедри прикладної математики Національного університету “Львівська політехніка” та на семінарах Інституту фізики конденсованих систем НАН України.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 12 робіт, а саме: 5 статей в наукових журналах, визначених переліком ВАК України, 5 тез конференцій та 2 препринти. Перелік публікацій подано в кінці автореферату.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, двох додатків, списку використаних джерел. Кожний розділ дисертації розпочинається зі вступу та завершується висновками. Робота викладена на 115 сторінках (разом з літературою - 131 сторінка машинописного тексту). Список використаної літератури містить 156 найменувань наукових публікацій у вітчизняних та закордонних виданнях

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність досліджень, що проводяться у дисертації, формулюється мета роботи, відзначається наукова новизна отриманих результатів.

У першому розділі коротко аналізуються основні праці, які стосуються експериментальних та теоретичних досліджень просторово неоднорідного електронного газу. Обговорюються різні сучасні підходи, що використовуються для теоретичного опису таких систем, а саме: метод функціоналу густини, метод функцій Гріна та квантові методи Монте-Карло. Відзначено необхідність коректного врахування обмінно-кореляційних ефектів при розрахунку структурних функцій та термодинамічних характеристик просторово неоднорідних систем. Приведено основні теоретичні співвідношення та результати для моделі “желе”.

У другому розділі проведено розрахунок термодинамічного потенціалу просторово неоднорідного електронного газу методом функціонального інтегрування; показано, що для розрахунку достатньо знати ефективний потенціал міжелектронної взаємодії такої системи.

Розглядається система електронів у полі додатного однорідно розподіленого заряду, який обмежений площиною (площина поділу). В силу симетрії задачі вважаємо, що рухові електрона в площині, яка паралельна до поверхні поділу, відповідають плоскі хвилі. Внаслідок притягання додатний заряд створює деякий потенціал (поверхневий потенціал) для електронів, що робить енергетично невигідним покидання електроном металу. У дисертаційній роботі цей поверхневий потенціал моделюється потенціальним бар'єром

,

для якого існують точні розв'язки. Гамільтоніан розглядуваної системи у представленні вторинного квантування, яке побудоване на хвильових функціях електрона (що розв'язками рівняння Шредінгера із потенціалом ), має такий вигляд:

, (1)

де змішане фур'є-представлення локальної густини електронів,

індекс відповідає за розклад Фур'є по нормальній координаті до поверхні поділу,

двовимірний вектор за розклад Фур'є у площині паралельній до поверхні поділу;

та відповідно три- та двовимірний фур'є-образ кулонівської взаємодії,



, відповідно оператори народження та знищення електрона в стані ;

імпульс електрона у площині поділу,

деяке квантове число, яке характеризує нормальний до поверхні поділу рух електрона,

енергія електрона,

площа поверхні поділу,

визначає область зміни нормальної координати. Перший доданок гамільтоніану (1) відповідає ідеальній системі (не враховано кулонівську взаємодію між електронами), решта враховують електронні кореляції за рахунок кулонівської взаємодії.

Велика статистична сума у представленні взаємодії має вигляд:

, (2)

де велика статистична сума ідеальної системи (тобто без врахування кулонівської взаємодії між електронами, перший доданок гамільтоніану). Розрахунок у методі функціонального інтегрування зводиться до розрахунку негаусівського інтегралу:

,

, (3)

де -частинкова кореляційна функція “густина-густина”, , , , бозівська частота, . Внаслідок негаусівської форми функціонального інтегралу (3) його розрахунок є нетривіальною задачею. Нами запропоновано апроксимувати підінтегральну функцію гаусівською формою:

,(4)

де невідомий оператор, який шукаємо з рівняння:

,(5)

де введено такі позначення:

.(6)

Розв'язок рівняння (5) у матричному вигляді є таким:

,(7)

де , ,

одинична матриця,

двочастинкова кореляційна функція “густина-густина”, причому, на відміну від кореляційної функції , усереднення проводиться по усій системі (а не по ідеальній). У цьому випадку термодинамічний потенціал можна представити так:

,(8)

де термодинамічний потенціал невзаємодіючої системи, ефективний потенціал міжелектронної взаємодії:

.(9)

Як бачимо із виразу (8), для розрахунку термодинамічного потенціалу достатньо знати ефективний потенціал парної міжелектронної взаємодії.

Для розрахунку кореляційної функції у дисертаційній роботі використано метод, який запропоновано у праці: Вакарчук И.А., Рудавский Ю.К., Понедилок Г.В. // Препринт АН УССР ИТФ-81-34P (1981). Знайдено аналітичний вираз для двочастинкової кореляційної функції, обмежившись врахуванням чотиричастинкових кореляцій. Така кореляційна функція у наближенні ідеального обміну має дельтаподібний пік при снівпаданні координат електронів, врахування кулонівських кореляцій призводить до розмиття цього піку: електрони відчувають один одного вже на деякій віддалі. У граничних випадках низьких та високих температур у наближенні “постійної густини” знайдено аналітичні вирази для ефективних потенціалів.

Проведено дослідження коректності наближення “постійної густини” шляхом порівняння цих аналітичних виразів із чисельним розв'язком інтегрального рівняння для ефективного потенціалу без використання наближення “постійної густини”. Порівняння показало, що при великих імпульсах передачі () результати практично співпадають що і фізично зрозуміло: збільшення імпульсу передачі між електронами призводить до розмиття квантово-механічної густини імовірності та встановлення певного квантово-статистичного розподілу, який добре описується таким простим наближенням яким є наближення “постійної густини”. Крім цього у другому розділі розглянуто взаємодію двох заряджених частинок біля поверхні металу та показано, що у викладеному підході коректно враховано сили зображення, що є проблемою в інших підходах (зокрема, використання методу функціоналу густини в наближенні локальної густини дає неправильну асимптотику сил зображення).

У третьому розділі побудовано функціональне представлення для -частинкової функції розподілу електронів та отримано загальний вираз для неї. Розраховано унарну та бінарну функції розподілу електронів для напівобмеженого металу в моделі “желе”. Результати розрахунків порівняно із результатами інших дослідників, які використовували метод функціоналу густини та квантові методи Монте-Карло.

Виходячи з означення -частинкової функції розподілу згідно Боголюбова:

,(10)

де радіус-вектор -ої частинки,

об'єм системи,

хімічний потенціал, та скориставшись функціональним представленням, вперше отримано загальний вираз для неї:

,(11)



де -частинкова функція розподілу електронів без врахування кулонівської взаємодії між ними,

термодинамічний електронний напівобмежений метал

Показано, що у класичному випадку вираз (11) узгоджується із відомими результатами. Проведено чисельні розрахунки унарної функції розподілу при концентраціях електронів, які характерні для металів у випадку , хімічний потенціал невзаємодіючого електронного газу. Наведено результати розрахунків згідно формули (11) у порівнянні із отриманими за допомогою методу функціoналу густини у наближенні локальної густини (Zhang Z.Y., Langreth D.C., Perdew J.P. // Phys. Rev. B, 1990, 41, p.5674-5684) та методу Монте-Карло (Acioli P.H., Ceperley D.M. // Phys. Rev. B, 1996, 54, p. 17199-17207) для (графіки приведені до системи координат, яка використовується в цих працях, тобто додатний заряд знаходиться при , потенціальний бар'єр у точці , де деякий параметр, який визначається з умови електронейтральності системи). Як бачимо із порівняння, розрахунки згідно формули (11) добре узгоджуються із розрахунками, які виконані методами Монте-Карло та функціоналу густини. Крім того, наведено результати розрахунків згідно формули (11) для випадку нескінченно високого та скінченого потенціальних бар'єрів у порівнянні із розрахунками Ленга (Lang N.D., Kohn W. // Phys. Rev. B, 1970, 1, p.4555-4567). З рис.4 видно, що зростання висоти потенціального бар'єру призводить до більш швидкого спадання електронної густини за межами додатного заряду. Розрахунки для потенціального бар'єру скінченої висоти добре узгоджуються із розрахунками Ленга.

Проведено чисельні розрахунки бінарної функції розподілу ,

де відстань між електронами у площині поділу,

та нормальні координати електронів

Подано бінарну функцію розподілу електронів у випадку коли один електрон знаходиться в точці (, ) та (, ) відповідно, а інший - в області (, ). Бінарна функція розподілу електронів має мінімум при , , що є наслідком кулонівського відштовхування між електронами та неможливості перебування двох електронів в одній точці. Спадання функції у цій області є більш різким, ніж у випадку врахування лише обмінних ефектів. З рис.5b та рис.5d видно, що при наближенні одного із електронів до потенціального бар'єру (площина ) бінарна функція розподілу електронів в області (, ) деформується, тоді як в області (,) вона є аксіально симетричною, оскільки це відповідає однорідній системі (два електрони знаходяться в глибині металу). Тобто, електрон при підході до поверхні розділу відчуває не лише ефективне відштовхування з боку інших електронів, а й починає відчувати потенціальний бар'єр. Фізично це означає, що електрону енергетично невигідно покидати метал.

У четвертому розділі представлено результати розрахунків дипольного бар'єру та поверхневої енергії з використанням унарної та бінарної функцій розподілу електронів, які отримані у попередньому розділі.

Електростатичний потенціал , який створюється електронами та додатним зарядом, задовольняє рівняння Пуассона (- концентрація електронів)

,



розв'язок якого є таким:

,

де .

Внаслідок тунелювання електронів за межі додатного заряду виникає дипольний електричний шар, заряд якого заважає подальшому виходу електронів. є потенціалом такого дипольного бар'єру, а - його величиною.

Електростатичний потенціал відраховуємо від значення , результати розрахунків . Як видно, при зростанні висоти потенціального бар'єру (який відіграє роль поверхневого потенціалу) дипольний бар'єр зменшується, оскільки функція розподілу електронів швидше спадає до нуля (електронам стає менш енергетично вигідно тунелюватися крізь потенціальний бар'єр). Суцільна лінія модель скінченого потенціального бар'єру, штрихова нескінченно високий потенціальний бар'єр, штрихпунктирна - розрахунки Ленга (Lang N. D., Kohn W. // Phys. Rev. B, 1973, 3, p.6010-6012), напівемпіричні дані Хейне і Ходжеса (Достижения электронной теории металлов В 2 т. / Под ред. П. Цише, Г. Леманна. -М.: Мир, 1984.). З рис.7 видно, що наші розрахунки добре узгоджуються із напівемпіричними даними. Метод функціоналу густини дає занадто великі значення дипольного бар'єру в області високих електронних концентрацій у порівнянні із напівемпіричними даними.

Поверхневу енергію можна представити як суму трьох доданків (Lang N. D., Kohn W. // Phys. Rev. B, 1970, 1, p.4555-4567):

,

де кінетична складова поверхневої енергії,

електростатична,

обмінно-кореляційна.

де , - імпульс Фермі;

Найбільшу проблему складає розрахунок величини

,

де обмінно-кореляційна енергія (з розрахунку на одну частинку) у точці , оскільки для її розрахунку необхідно знати двочастинкову функцію розподілу електронів. Саме через це недоліком розрахунків, які проведені за допомогою методу функціоналу густини, є використання наближення локальної густини для величини , тоді, як відомо, її необхідно розраховувати на основі парної функції розподілу електронів, тобто

, де

,

функція відрізняється від бінарної функції розподілу заміною на . Проведено розрахунок величини поверхневої енергії як функції параметра , у випадку скінченого потенціального бар'єру. Приведено наші розрахунки (суцільна лінія), розрахунки Ленга та Кона (штрихова лінія), результати праці (Pitarke J. M., Eguiluz A. G. // Phys. Rev. B, 2001, 63, p.045116-1 - 045116-11) та експериментальні дані для деяких металів (Kiejna A. // Prog. Surf. Sci., 1999, 61, p.85-125). Як видно наші розрахунки краще узгоджуються із експериментальними даними для простих металів. Крім того поверхнева енергія є додатною в усій області електронних концентрацій (що є фізично правильно) на відміну від усіх попередніх результатів для моделі “желе”. В області низьких електронних концентрацій наші результати добре узгоджуються із отриманими за допомогою методу функціоналу густини. Отже, використання потенціального бар'єру скінченої висоти в якості поверхневого потенціалу та коректне врахування обмінно_кореляційних ефектів дозволяє навіть у простій моделі “желе” отримати не лише фізично правильну поведінку поверхневої енергії, а й розумне узгодження із експериментом.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Побудовано функціональне представлення для термодинамічного потенціалу просторово неоднорідного електронного газу для випадку напівобмеженого металу, який описується в рамках моделі “желе”, та отримано загальний вираз для нього. Показано, що в цьому підході для розрахунку термодинамічного потенціалу необхідно знати ефективний потенціал міжелектронної взаємодії.

Отримано інтегральне рівняння для ефективного потенціалу міжелектронної взаємодії та знайдено його аналітичні розв'язки у випадку моделювання поверхневого потенціалу потенціальним бар'єром. Показано, що наближення “постійної густини” для електронної квантово-механічної імовірності при розрахунку кореляційної функції “густинагустина” є добрим при великих імпульсах передачі () між електронами.

Побудовано функціональне представлення для s-частинкової функції розподілу електронів та знайдено загальний вираз для неї. Для розрахунку цієї функції достатньо знати s-частинкову функцію розподілу електронів без врахування кулонівської взаємодії та ефективний потенціал міжелектронної взаємодії .

Отримано вирази для унарної та бінарної функцій розподілу електронів. Показано, що при високих температурах ці вирази узгоджуються із відомими. Розрахунки унарної функції розподілу електронів порівняно із результатами, які отримані за допомогою методів Монте-Карло та функціоналу густини і виявлено узгодженість.

Розраховано дипольний бар'єр та електростатичний потенціал. Показано, що врахування кулонівської взаємодії між електронами призводить до пониження дипольного бар'єру. В області низьких електронних концентрацій (які характерні для металів) розрахунки узгоджуються із результатами, які отримані за допомогою методу функціоналу густини.

Розраховано поверхневу енергію напівобмеженого металу, який описується в рамках моделі “желе”. Отримано добре узгодження із експериментальними даними в усій області характерних для металу концентрацій електронів. Вперше отримано фізично правильну поведінку поверхневої енергії у всій області електронних концентрацій.



РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ РОБОТАХ:

Костробій П.П., Маркович Б.М. Розрахунок електронної густини та дипольного бар'єра для металів з плоскою поверхнею поділу // Укр. фіз. журн. -2002. -Т.47, №9. -С.884-889.

Костробій П.П., Маркович Б.М. Поверхнева енергія напівобмеженого металу у моделі “желе” // Укр. фіз. журн. -2002. -Т.47, №12. -С.1180-1184.

Kostrobij P.P., Markovych B.M. A new approach to the calculation of the thermodynamic potential of inhomogeneous electron gas // Condens. Matter Phys. -2003. -Vol.6, No.2(34), p.347-362.

Костробій П.П., Маркович Б.М. Статистична теорія просторово-обмежених систем заряджених фермі-частинок: I. Метод функціонального інтегрування та ефективні потенціали // Журн. фіз. досл. -2003. -Т.7, №2. -С.195-206.

Костробій П.П., Маркович Б.М. Бінарна функція розподілу електронів напівобмеженого металу у моделі “желе” // Науковий вісник Чернівецького університету. Фізика. Електроніка. -2002. -Вип.151. -С.51-53.

Костробій П.П., Маркович Б.М. Статистична теорія просторово-обмежених систем заряджених фермі-частинок: I. Метод функціонального інтегрування та ефективні потенціали. -Львів: 2002. -38 c., (Препр./ НАН України. Інститут фізики конденсованих систем; ICMP-02-02U).

Костробій П.П., Маркович Б.М. Статистична теорія просторово-обмежених систем заряджених фермі-частинок: II. Функції розподілу. -Львів: 2002. -32c., (Препр./ НАН України. Інститут фізики конденсованих систем; ICMP-02-03U).

Маркович Б. Розрахунок залежності дипольного бар'єру від густини електронів для деяких неперехідних металів // П'ятий міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові: Тези доповідей. -Львів: КІНПАТРІ ЛТД. -2001. -С.127-128.

Kostrobiy P.P., Markovych B.M. Electron density distributions in the space-limited electron system // Europhysics conference abstracts. -2001. -V.25J. -P.143.

Rudavskii Yu.K., Kostrobii P.P., Markovych B.M. Effective potentials of interaction of the particles in the space limited fermi-systems // 6th International Conference on Intermolecular Interactions in Matter: Abstract Book. -2001. -O7.

Костробій П.П., Маркович Б.М. Дослідження бінарної функції розподілу електронів в металах при наявності плоскої поверхні розділу // Наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук: Тези доповідей. -Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2002. _С.99.

Костробій П.П., Маркович Б.М. Новий підхід для розрахунку термодинамічного потенціалу неоднорідного електронного газу // Наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук: Тези доповідей. -Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2003. -С.56.



АНОТАЦІЇ

Маркович Б.М. Термодинамічні та структурні характеристики неоднорідного електронного газу. - Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - Теоретична фізика. Національний університет “Львівська політехніка”, Львів, 2003.

Дисертація присвячена теоретичному дослідженню термодинамічних та структурних характеристик неоднорідного електронного газу в полі напівобмеженого додатного заряду (модель “желе”). Запрoпоновано новий підхід для обчислення термодинамічного потенціалу, який полягає у зведенні відповідного негаусівського функціонального інтегралу до гаусівської форми із перенормованою кореляційною функцією “густина-густина”; показано, що в такому підході для розрахунку цього потенціалу достатньо знати ефективний потенціал міжелектронної взаємодії. У цьому ж підході знайдено загальний вираз для -частинкової функції розподілу електронів. Розраховано унарну та бінарну функції розподілу електронів у випадку моделювання поверхневого потенціалу потенціальною сходинкою. На їх основі проведено розрахунок поверхневих характеристик напівобмеженого металу: дипольного бар'єру та поверхневої енергії. Порівняння із результатами інших дослідників та експериментальними даними показало: в області спостерігається добре узгодження із експериментом та отриманими за допомогою методу функціоналу густини даними; в області результати відносно добре узгоджуються із експериментальними даними, тоді як для дипольного бар'єру метод функціоналу густини дає завищені значення, а для поверхневої енергії занижені, а в області нефізичні від'ємні значення.

Ключові слова: функціональне інтегрування, модель “желе”, функції розподілу, ефективний потенціал, дипольний бар'єр, поверхнева енергія.

Маркович Б.М. Термодинамические и структурные характеристики неоднородного электронного газа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.04.02 - Теоретическая физика. Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, 2003.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию термодинамических и структурных характеристик неоднородного электронного газа в поле полуограниченного положительного заряда (модель “желе”). Предложен новый подход к расчету термодинамического потенциала, который состоит в приведении соответствующего негауссовского интеграла к гауссовой форме из перенормированой корреляционной функцией “плотность - плотность”; показано, что в этом подходе для расчета этого потенциала достаточно иметь эффективный потенциал межэлектронного взаимодействия. В этом же подходе получено общее выражение -частичной функции распределения электронов. Рассчитано унарную и бинарную функции распределения электронов в случае моделирования поверхностного потенциала потенциальной ступенькой. На их основании проведен расчет поверхностных характеристик полуограниченого металла: дипольного барьера и поверхностной энергии. Сравнение с результатами других исследователей и экспериментальными данными показало: в области наблюдается хорошее согласие с экспериментом и полученными с помощью метода функционала плотности данными; в области результаты относительно хорошо согласуются с экспериментальными данными, тогда как для дипольного барьера метод функционала плотности дает слишком большие значения, а для поверхностной энергии слишком маленькие, а в области нефизические отрицательные значения.

Ключевые слова: функциональное интегрирование, модель “желе”, функции распределения, эффективный потенциал, дипольный барьер, поверхностная энергия.

Markovych B.M. Thermodynamic and structural characteristics of an inhomogeneous electron gas. - Manuscript

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.04.02 - Theoretical Physics. Lviv Polytechnic National University, Lviv, 2003.

The work deals with a theoretical study on thermodynamic and structural characteristics of an inhomogeneous electron gas in the field of a semi-bounded positive charge (jellium model). To calculate the thermodynamic potential a new approach based on reducing the relevant non-Gaussian functional integral to the Gaussian form with a renormalized “density-density” correlator has been proposed. Knowledge on the effective potential of the inter-electronic interactions is shown to be sufficient to calculate the thermodynamic potential within the advanced approach. Analytic solutions have been found to the integral equation for the effective potential under low temperatures in a “constant density” approximation for an electronic quantum-mechanical probability, within the framework of an ideal exchange for the “density-density” correlator when modeling the surface potential by means of a potential barrier of finite height.

An integral equation has been obtained for a double-particle “density-density” correlator taking into account the Coulomb interactions between electrons within the system of averaging, and its analytical solution has been found for a low-temperature case. An analytical expression for the screened potential has been found, which is constructed on this correlator.

A general expression for the s-particle electron distribution function of a spatially bounded system has been obtained by means of the functional integration method. Analytical expressions for the one-particle and two-particle electron distribution functions are obtained in the low- and high-temperature limits. The calculation results of the one-particle distribution function have been compared with those obtained by means of the density functional and the Monte-Carlo methods, agreement being revealed.

Calculations have been made of the dipole barrier, the electrostatic potential and the surface energy of a semi-bounded metal within the jellium model. The dipole barrier value has been compared with the results of other researchers (density functional method) and with semi-empirical data; the density functional method has been revealed to yield somewhat high values (as compared to the semi-empirical data and those calculated in this paper) in domain where r_s is Brueckner's parameter. In domain , the calculation results are in good agreement with those calculated by means of the density functional method.

The comparison of the calculated surface energy values with the results of other researchers and with experimental data has revealed that in domain there is a good agreement with the experiment and with the data obtained by means of the density functional method; in domain the results are in a relatively good agreement with the experimental data, whereas for the surface energy all the known calculations yield somewhat low values, and non-physical negative values in domain .

The analytical expressions found for screened potentials and electron distribution functions are of basic importance and can be used in theoretical and experimental study of charged particles interaction near to the surface domain, of electron structure in a near-surface domain, which is important when studying adsorption and desorption processes. The results obtained in a jellium model can be used as assumption data in studying weakly non-equilibrium diffusion-reaction processes. Methodically the results obtained are useful from point of view of numerous applications to other more complex systems, such as the “metal-adsorbat-gas” system.

Key words: functional integration, jellium model, distribution function, effective potential, dipole barrier, surface energy.

Размещено на Allbest.ru

...