Концентрація напружень в п’єзокерамічних тілах в околі еліптичного включення і гіперболоїдальної виточки

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. На теперішній час в елементах конструкцій широке застосування мають матеріали, в яких суттєва зв'язаність механічних та електричних полів. Найбільш сильно ця взаємодія виражена в п'єзокераміках, які традиційно використовуються у випромінювачах і приймачах звуку в гідроакустиці, елементах запалювання, п'єзотрансформаторах, різних вимірювальних приладах, тощо.

Вивченню ефектів взаємодії механічних полів з електромагнітними присвячено багато робіт таких відомих вчених, як В.А. Бєжанян, В.О. Борисейко, Я.Й. Бурак, О.Р. Гачкевич, В.Т. Грінченко, О.М. Гузь, О.Я. Григоренко, В.Є. Жиров, А.А. Ілюшин, С.О. Калоєров, В.Г. Карнаухов, О.С. Космодаміанський, Б.А. Кудрявцев, Л.Д. Ландау, В.М. Ложкін, У.П. Мезон, Л.В. Мольченко, В.З. Партон, Ю.М. Подільчук, Л.І. Сєдов, В. Смайт, А.Ф. Улітко, І.Ю. Хома, М.О. Шульга, Л.А. Фильштинський, Б. Яффе, Н.G. Baerwald, R. Holland, F. Pockels та інших. Однак на теперішній час ще недостатньо досліджені статичні та електричні ефекти в п'єзокерамічних тілах різної геометрії. Крім того, одним з основних недоліків п'єзокераміків є їх крихкість, вони схильні до розвитку тріщин і в них часто мають місце порожнини, включення та інші дефекти, а прилади з такими елементами працюють в умовах складних механічних та електричних навантажень. Тому виникає необхідність постановки та розв'язання нових задач електропружності для п'єзокерамічних тіл з концентраторами напружень.

Мета і задачі дослідження. В дисертаційній роботі за мету поставлено:

- поширити на нові задачі електропружності спосіб побудови точних аналітичних розв'язків задач статичної теорії пружності на основі узагальненого методу Фур'є;

- побудувати точні аналітичні розв'язки статичних задач електропружності для п'єзокерамічних тіл з еліптичним включенням та гіперболоїдальною виточкою при різних випадках статичного та електричного навантажень;

- розробити алгоритм чисельної реалізації отриманих аналітичних розв'язків на ЕОМ;

- шляхом якісного та порівняльного аналізів виявити характерні механічні ефекти.

1. Основні рівняння та співвідношення лінійної теорії п'єзоелектрики

Представлення розв'язку рівнянь рівноваги через гармонічні функції у вигляді:

; ; ; , (1)

де -функція, гармонічна в системі координат (, , ); параметри , зв'язані з коренями характеристичного рівняння рівностями:

. (2)

В кінці розділу наведено значення фізичних характеристик деяких промислових сплавів п'єзокераміки.

2. Вивчення напруженого стану при дії силових та електричних навантажень в нескінченному п'єзокерамічному тілі з тунельним еліптичним включенням, осі анізотропії яких співпадають між собою та з малою віссю еліпса

Припускається , що компоненти вектора переміщення і електричний потенціал є функціями та . Покладено, що на граничній поверхні включення виконуються умови ідеального механічного та електричного контактів. Наведено основні рівняння електропружності у випадку двомірної постановки та описано системи координат, які використовуються при ров'язанні конкретних задач:

; ; , (3)

де , ; на поверхні включення.

Системи координат (3) описують одну й ту ж граничну поверхню, якщо ; .

Побудовано точний аналітичний розв'язок задачі про напружений стан необмеженого п'єзокерамічного тіла з тунельним еліптичним включенням у випадку, коли на достатній відстані від включення вздовж його осей діють зусилля розтягу (стиску) і прикладено різницю електричних потенціалів. Спряжене електропружне поле включення є однорідним з невідомими сталими. Напружений стан у тілі поза включенням представлено сумою основного стану і збуреного, який визначається за допомогою представлення (1). Потенціальні функції при цьому підібрано у вигляді:

, ; ,(4).

Визначивши компоненти збуреного напруженого стану та задовольнивши граничним умовам, одержано скінчену систему для знаходження невідомих коефіцієнтів у представленні функцій та складових спряженого поля включення.

Знайдені компоненти електропружного поля в тілі поза включенням на осі набувають значень:

; ; ;

; ; .

Тут і далі використовуються позначення:

; .(5)

Побудовані графіки показали, що концентрація електромеханічних компонент спряженого поля виникає на поверхні включення, а їх величини суттєво залежать від кривизни еліпса та фізико-механічних констант матеріалу.

Розв'язання задачі електропружності для п'єзокерамічного тіла з еліптичним включенням у випадку, коли на нескінченності задані напруження зсуву. Спряжене поле включення є однорідним, а збурений напружений стан описується гармонічними функціями:

, ; ,(6)

де - невідомі сталі, які знаходяться в явному вигляді із граничних умов. Суперпозиція основного і збуреного станів визначає електропружне поле в середовищі, компоненти якого на осі мають вигляд:

; ; ; , .

Представлено графіки розподілу напружень та електричної індукції в середовищі та їх залежності від кривизни включення. Розглянуто задачу у випадку, коли на нескінченності діє момент, що згинає і задані напруження. Розв'язок будується як і в попередніх задачах. Напруження у включенні лінійно залежать від координат, а компоненти збуреного стану визначаються потенціальними функціями:

; . (7)

Вирази для механічних напружень та електричної індукції в середовищі поза включенням на осі мають вигляд:

; ; ;

, .

Проведено дослідження компонент електромеханічного напруженого стану тіла поза включенням в залежності від фізичних констант матриці та включення та геометричних характеристик включення. Зроблено кількісний і якісний аналіз одержаних результатів, представлених у вигляді графіків.

3. Розв'язання ряду просторових задач статики електропружності для п'єзокерамічного тіла з виточкою у вигляді однопорожнинного гіперболоїда обертання при силових та електричних навантаженнях

Описано обрану для розв'язання задачі систему еліпсоїдальних координат, зв'язану з декартовою рівностями:

; ; ;

; ; , (8)

де ; ; на граничній поверхні гіперболоїда.

Координатні поверхні систем координат (8) співпадають, якщо

, .

Побудова загального розв'язку задачі електропружності для однопорожнинного гіперболоїда обертання. При цьому покладено, що на поверхні гіперболоїда зусилля і нормальна складова вектора індукції задаються у вигляді розкладу:

;;

;

. (9)

Розв'язок задачі побудовано за допомогою представлення (1), при цьому потенціальні функції підібрано наступними:

;

.(10)

Тут ; - приєднана функція Лежандра першого роду. Такий вигляд функцій напружень дозволив точно задовольнити граничним умовам в задачах про напружений стан п'єзокерамічного тіла обертання з гіперболоїдальною виточкою при різних умовах статичного та електричного навантажень, розглянутих далі.

Шляхом громіздких перетворень, знайшовши переміщення та електричний потенціал, механічні напруження та нормальну складову вектора індукції і задовольнивши граничним умовам (9), одержано скінчену систему алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів. Це дає можливість розв'язувати задачі електропружності для тіл з гіперболоїдальною виточкою при конкретних значеннях зусиль та електричної індукції на її поверхні.

Із знайденого загального розв'язку виділені частинні, що описують спряжене електропружне поле в п'єзокерамічному тілі в околі гіперболоїдальної виточки при силових та електричних навантаженнях у випадку, коли зусилля і нормальна складова вектора індукції на поверхні виточки рівні нулю. Розглянуто задачу про концентрацію напружень в п'єзокерамічному циліндрі з виточкою, коли на його торцях задано напруження рівномірного розтягу і до них прикладено різницю потенціалів. Розв'язок задачі одержано за допомогою загального розв'язку в припущенні, що , . Знайшовши формули для переміщень та електричного потенціалу, знайдено значення компонент спряженого електропружного поля. В найменшому (найбільш напруженому) поперечному перерізі S циліндра ці величини набувають значень:

; ; .

Визначивши за відомими формулами проекції рівнодіючих сил та моментів, електричного потенціалу, нормальної складової вектора індукції в поперечному перерізі S через напруження та задовольнивши граничним умовам, одержимо систему для знаходження невідомих коефіцієнтів.

По результатам числових розрахунків побудовано графіки розподілу нормальних напружень та нормальної складової вектора електричної індукції по найбільш вузькому поперечному перерізу гіперболоїда при розтязі і при заданій різниці електричних потенціалів та графіки їх залежності від кривизни виточки.

Для дослідження впливу п'єзоефекту на напружений стан тіла в околі гіперболоїдальної виточки при різних випадках механічних та електричного навантажень, розглянутих в задачах четвертого розділу, проведено обчислення для тестового гіпотетичного матеріалу на основі п'єзокераміка PZT - 4, у якого електричні властивості наближено до нуля.

Визначається концентрація напружень в тілі обертання в околі виточки, коли на достатній відстані від виточки діє зусилля зсуву. Розв'язок одержано із розв'язку загальної задачі у припущенні, що , , . При цьому в перерізі S циліндра величини спряженого поля набувають значень:

;

;

.

Побудовано графіки, які показують розподіл напруження та електричної індукції в перерізі S та їх залежність від кривизни виточки. Обчислення, проведені аналогічним до попередньої задачі способом, показали характер впливу п'єзовластивостей матеріалу на напружений стан тіла.

Як показують графіки, при зсуві п'єзовластивості несуттєво впливають на механічні напруження.

Визначено концентрацію напружень в тілі в околі гіперболоїдальної виточки, на яке діє згинаючий момент. Розв'язок одержано із розв'язку загальної задачі у випадку, коли , . Шляхом громіздких перетворень, як і у попередніх задачах, знайдено компоненти спряженого електропружного поля, які у перерізі S набувають значень.

; ; .

За результатами числових розрахунків виявлено ділянки концентрації електричних та механічних напружень та їх залежність від кривизни виточки.

електропружність п'єзокерамічний гіперболоїдальний еліптичний

Висновки

Основні результати дисертаційної роботи зводяться до наступних висновків:

Набув подальшого поширення на задачі електропружності спосіб побудови точних аналітичних розв'язків задач статичної теорії пружності на основі узагальненого методу Фур'є.

Одержано точні розв'язки задач електропружності про напружений стан необмеженого середовища із впаяним тунельним еліптичним включенням при розтязі та заданій різниці електричних потенціалів, чистих зсуві та згині у випадках, коли середовище та включення є різними трансверсально-ізотропними п'єзокерамічними тілами, осі анізотропії яких співпадають між собою та з малою віссю еліпса.

Показано, що коли на нескінченності напруження однорідні або є довільними лінійними функціями координат, то компоненти напружень у включенні також є відповідно однорідними або лінійно залежать від координат. Встановлено, що при наявності включення збурення напруженого стану носить сильно локальний характер.

Розподіл напружень в п'єзокерамічному тілі з еліптичним включенням визначається характером та величиною прикладених навантажень, а саме:

- концентрація нормальних механічних напружень та електричної індукції при розтязі або при заданій різниці потенціалів виникає на поверхні включення. Так, у випадку, коли до тіла прикладено різницю електричних потенціалів 1 В, а силові навантаження відсутні, на осі біля дна включення напруження досягають величини ?13,46 Па і швидко затухають із віддаленням від нього. При цьому індукція змінюється від 1,46*10-8 Кл/м2 на поверхні включення до 1,2*10-8 Кл/м2 на відстані великої півосі еліпса від включення (розрахунки проведено, коли матеріалом тіла є п'єзокерамік PZT - 4, а матеріалом включення - п'єзокерамік PXE - 5; кривизна еліпса 25).

- при дії на нескінченності згинаючого моменту збурення напруженого стану найбільше на поверхні включення. Наприклад, на осі в тілі (п'єзокерамік PZT -4) на поверхні включення (п'єзокерамік PXE - 5), що має кривизну 25, напруження в 1,1 рази перевищує задане.

- при дії зсуву концентрація дотичних напружень має місце біля поверхні включення, а електричної індукції - на його поверхні. Так, на осі , при кривизні включення 30 дотичне напруження в точці, дуже близькій до включення, в 1,014 рази перевищує задане, а значення нормальної складової вектора індукції змінюється від 5,11*10-10 Кл/м2 на поверхні до 4,96*10-10 Кл/м2 на відстані двох півосей від включення (матеріал тіла - п'єзокерамік PZT -4, матеріал включення - п'єзокерамік PXE - 5; =1 Па).

В кожному з випадків кількісний та якісний характер розподілу компонент спряженого електропружного поля середовища залежить від електромеханічних властивостей матриці і включення та від кривизни включення. При цьому зміна максимальних напружень та електричної індукції в середовищі із зміною кривизни включення найбільш швидка при .

Одержано загальний розв'язок просторової задачі теорії електропружності для трансверсально-ізотропного п'єзокерамічного однопорожнинного гіперболоїда обертання у випадку, коли зусилля на поверхні гіперболоїда задані по одній змінній у вигляді суми приєднаних функцій Лежандра другого роду від уявного аргументу, по іншій - тригонометричним рядом. На основі загального розв'язку знайдено розв'язки часткових задач, що описують напружений стан в трансверсально-ізотропному п'єзокерамічному тілі обертання в околі глибокої гіперболоїдальної виточки при різних механічних та електричних навантаженнях.

Проведено аналіз одержаних аналітичних розв'язків та числових результатів та виявлено характерні механічні та електричні ефекти, що виникають в тілі. Зокрема, встановлено наступне:

- концентрація електромеханічних напружень в найбільш вузькому перерізі п'єзокерамічного циліндра у випадку, коли на достатній відстані від виточки діє сила розтягу, а електричні навантаження відсутні, виникає біля дна виточки. Коли ж до торців циліндра прикладено лише різницю електричних потенціалів, нормальні механічні напруження в найвужчому перерізі досягають свого найбільшого значення в безпосередньому околі виточки, а електрична індукція - на її поверхні;

- концентрація напружень спряженого поля в найбільш вузькому перерізі п'єзокерамічного тіла з гіперболоїдальною виточкою під дією сили зсуву має місце в точці перетину контуру перерізу тіла з віссю, перпендикулярною напрямку дії сили. Зокрема для п'єзокераміки ЦТС - 19 при кривизні виточки 40 напруження на поверхні виточки у 3.95 рази більше за номінальне, а електричне зміщення дорівнює 0,165*10-8 Кл/м2 проти 0,21*10-9 Кл/м2 в центрі перерізу (величина прикладеного напруження дорівнює 1 Па).

- концентрація електричних та механічних напружень в найбільш вузькому перерізі п'єзокерамічного тіла з гіперболоїдальною виточкою під дією згинаючого моменту виникає в точках перетину контуру перерізу з площиною, в якій діє прикладений момент. Так, для п'єзокераміки ЦТС - 19 напруження та індукція дуже близькі до нуля в центрі перерізу та набувають значень 4,43 Па та 1,16*10-9 Кл/м2 відповідно на поверхні виточки (кривизна виточки 40, напруження згину =1 Па).

На прикладі п'єзокераміки PZT-4 досліджено вплив п'єзовластивостей матеріалу на напружений стан тіла і встановлено, що електричні властивості матеріалу зменшують максимальні механічні напруження в тілі з виточкою при розтязі та при згині у межах 10 % і збільшують їх (до 3%) при дії зусиль зсуву.

Кількісна картина розподілу нормальних і дотичних напружень та електричної індукції в п'єзокерамічному тілі з бічною гіперболоїдальною виточкою при дії механічних та електричних навантажень визначається електромеханічними властивостями матеріалу та кривизною виточки.

Побудовані в роботі точні розв'язки та виведені аналітичні формули дозволяють проводити обчислення напружень в п'єзокерамічних тілах з бічною гіперболоїдальною виточкою та тунельним еліптичним включенням при різних випадках електромеханічних навантажень і тому можуть бути використані в ряді прикладних та інженерних розробок. А оскільки одним з основних недоліків п'єзокераміків є крихкість та наявність в них різного роду дефектів, то виявлені механічні та електричні ефекти повинні враховуватись при використанні елементів із п'єзокераміки в приладах та конструкціях.

Література

1. Подильчук Ю.Н., Прощенко Т.М. Общая задача электроупругости для трансверсально-изотропного однополостного гиперболоида вращения // Теоретическая и прикладная механика. - 2001. - № 32. - С. 16-27.

2. Прощенко Т.М. Задача электроупругости для пьезокерамической среды с туннельным эллиптическим включением // Теоретическая и прикладная механика. - 2001. - № 34. - С. 57-62.

3. Подильчук Ю.Н., Прощенко Т.М. О концентрации напряжений в трансверсально-изотропном пьезокерамическом цилиндре в окрестности гиперболоидальной выточки // Прикладная механика. - 2001. - Т. 37, № 8. - С. 80-90.

4. Подильчук Ю.Н., Прощенко Т.М. Концентрация напряжений в пьезокерамической среде в окрестности гиперболоидальной выточки при чистом сдвиге // Теоретическая и прикладная механика. - 2002. - № 35. - С. 20-28.

5. Подильчук Ю.Н., Прощенко Т.М. Концентрация напряжений в трансверсально-изотропном пьезокерамическом цилиндре в окрестности гиперболоидальной выточки при изгибе // Прикладная механика. - 2003. - Т. 39, № 4. - С. 80-91.

Размещено на Allbest.ru