Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

УДК 534.231

ЧИСЕЛЬНО АНАЛІТИЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ ДЛЯ НЕОДНОРІДНОГО

ГІДРОАКУСТИЧНОГО ХВИЛЕВОДА З СУТТЄВИМИ ЗМІНАМИ

ПАРАМЕТРІВ ПО ТРАСІ

01.04.06 _ Акустика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Папкова Юлія Ігорівна

Київ - 2003

АНОТАЦІЯ

Папкова Ю.И. Числено-аналітичні розв'язки для неоднорідного гідроакустичного хвилевода з суттєвими змінами параметрів по трасі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.04.06 - Акустика. - Інститут гідромеханіки НАН України, Київ, 2003.

Дисертація присвячена побудові числено-аналітичних розв'язків для гідроакустичних хвилеводів з параметрами, що мають суттєві зміни по трасі хвилеводу. У даних моделях використання обчислювальної схеми з малим параметром вже не є ефективним і, як правило, застосовуються чисельні методи. У роботі використовується метод нормальних мод для побудови загальних розв'язків у деяких елементарних областях, де розв'язки будуються у вигляді суми стоячих і поширюваних хвиль з невизначеними коефіцієнтами; використання умов на стінках хвилеводів і умов безперервності звукових полів приводять до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів у загальному розв'язку.

Досліджуються хвилевід з твердим східчастим дном, хвилевід з поміщеним усередину тілом циліндричної форми (плаваючим тілом циліндричної форми), хвилевід зі східчастим “рідким” дном на твердій підставі. У випадку, коли в хвилеводі є ребро акустично твердого тіла (виступ, циліндр усередині і на поверхні хвилеводу) асимптотичне поводження невідомих в нескінченних системах лінійних алгебраїчних рівнянь вдається визначити з умови Мейкснера. Знання асимптотики невідомих дозволяє застосувати у даних задачах метод поліпшеної редукції для визначення коефіцієнтів при нормальних модах. У загальному випадку застосовується метод редукції, збіжність якого досліджувалася чисельно. Проводиться чисельне дослідження звукових полів при варіюванні параметрів задачі. Зокрема, з розрахунків випливає, що внесення циліндричного тіла в хвилевід приводить до підвищення звукового тиску на низьких частотах (до другої резонансної частоти). Для хвилеводу, що має виступ, зміна параметрів “рідкого” дна і варіація швидкості звуку приводить на низьких частотах до невеликих варіацій потенціалу швидкості.

Наведено порівняння з експериментальними даними, що показало гарну відповідність у діапазоні частот, що відповідає невеликому числу поширюваних мод.

Ключові слова: гідроакустичний хвилевід, нормальні моди, нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, асимптотичне поводження, звуковий тиск.

АННОТАЦИЯ

Папкова Ю.И. Численно-аналитические решения для неоднородного гидроакустического волновода с существенно меняющимися параметрами по трассе. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.06 - Акустика. - Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена построению численно-аналитических решений для гидроакустических волноводов с параметрами, имеющими существенные изменения по трассе волновода. В данных моделях использование вычислительной схемы с малым параметром оказывается не эффективным и, как правило, применяются численные методы. В работе используется метод нормальных мод для построения общих решений в некоторых частичных областях, где решение ищется в виде суммы стоячих и бегущих волн с неопределенными коэффициентами. Использование условий на стенках волноводов и условий непрерывности звуковых полей приводят к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов в общем решении.

Исследуются волновод с жестким ступенчатым дном, волновод с помещенным внутрь телом цилиндрической формы (плавающим телом цилиндрической формы), волновод со ступенчатым “жидким” дном на жестком основании. В случае, когда в волноводе имеется ребро акустически жесткого тела (выступ, цилиндр внутри и на поверхности волновода) асимптотическое поведение неизвестных в соответствующих бесконечных системах удается определить из условия Мейкснера. Знание асимптотики неизвестных позволяет применить в данных задачах метод улучшенной редукции для определения коэффициентов при нормальных модах и улучшить сходимость рядов представляющих потенциал скоростей и колебательную скорость на границе раздела частичных областей. В случае моделей с “жидким” дном применяется метод простой редукции, сходимость которого исследовалась численно.

Проводится численное исследование звуковых полей при варьировании параметров задачи. В частности, из расчетов следует, что в случае “мелкой воды” (на длинах волн, сопоставимых с глубиной волновода) для волноводов со ступенчатым жестким дном и с помещенным внутрь жестким телом цилиндрической формы профиль скорости звука слабо влияет на звуковое поле, которое определяется главным образом формой волновода. В случае “глубокой воды” ( 0,1h) на звуковое поле оказывают существенное влияние как профиль скорости звука, так и форма дна. Анализ расчетов, проведенных для модели волновода с жестким ступенчатым дном, показал, что наличие подводного выступа не меняет факта существования подводного звукового канала для соответствующего профиля скорости звука, хотя и меняет в нем структуру звукового поля.

Для волновода с источником, расположенным под жестким цилиндром, звуковое давление в области под цилиндром практически всюду выше, чем для идеального волновода, на некотором удалении от цилиндра провести сравнительный анализ амплитудно-частотных характеристик однозначно нельзя. В волноводе, с расположенным на поверхности телом цилиндрической формы, звуковое давление достигает максимальных значений для источника у поверхности и у дна бассейна, в середине волновода имеется четко выраженный минимум.

Расчет звуковых полей для слоистого волновода, имеющего под источником звука цилиндрический выступ, показал, что вариация параметров “жидкого” дна приводит на низких частотах к небольшим изменениям потенциала скорости, в основном они наблюдаются под выступом около дна.

Приводится сравнение расчетных значений с экспериментальными данными, которое показало хорошее соответствие на частотах, соответствующих небольшому количеству незату хающих мод.

Ключевые слова: гидроакустический волновод, нормальные моды, бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, асимптотическое поведение, звуковое давление.

SUMMARY

Papkova J. I. Numerically - analytical solutions for an inhomogeneous hydroacoustic waveguide with essentially varying parameters on a line. - Manuscript.

The thesis for the Candidate of physical and mathematical science degree on speciality 01.04.06 - Acoustics. - Institute of Hydromechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2003.

The thesis concerns to developing numerically-analytical solutions for hydroacoustic waveguides with essential variation of parameters on the line of the waveguide. In the given models the use of computation scheme with small parameter is not efficient enough; thus the numerical methods are applied as a rule. In the thesis the author used the method of normal modes for developing general solutions in some elementary areas in which the solution is obtained as a sum of stagnant and progressive waves with uncertain factors. The application of conditions on the waveguide walls and conditions of sound-fields continuity results in infinite systems of linear algebraic equations related to the above-mentioned uncertain factors.

Waveguides with rigid graduated bottom, waveguides with intra-located cylindrical skew object (floating cylindrical skew object), waveguides with graduated “liquid” bottom on a rigid foundation are investigated in the thesis. The author studies the asymptotical behavior of unknown quantities in the appropriate infinite systems in the case models with a rigid bottom and the structure of sound velocity varying with the depth in elementary areas. If in a waveguide there is an edge of acoustically rigid skew object (protuberance, a cylinder inside the waveguide or on the waveguide surface), the asymptotical behavior of the unknown quantities can be defined with the help Makesnaire condition.

The numerical study of sound-fields in the case of varying of task parameters in carried out. In particular, the calculations show that the importation of a cylindrical skew object into a waveguide results in the increase of sound-pressure on low frequencies (up to the second resonance frequency). The comparison with experimental data is given, which has shown the proper correspondence in a range of frequencies corresponding to a small number of spread modes.

Key words: a hydroacoustic wave guide, normal styles, infinite systems of the linear algebraic equations, asymptotical behavior, sound pressure.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Севастопольському національному технічному університеті, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Ярошенко Олександр Олександрович Севастопольський національний технічний університет

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук старший науквий співробітник Городецька Наталія Сергіївна Інститут гідромеханіки НАН України, вчений секретар

кандидат фізико-математичних наук Маципура Володимир Тимофійович Національний технічний університет України “Київський політехнічний університет”, доцент кафедри акустики і акустоелектроніки

Провідна установа Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться “12” червня 2003 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 03 680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інститутут гідромеханіки НАН України за адресою: 03 680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.

Автореферат розісланий 7 травня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 доктор технічних наук С.І. Криль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Аналіз звукових полів, створених підвідними джерелами, широко використовується як при дослідженнях океану, так і при розв'язку багатьох прикладних задач в акустиці. Специфіка задач, пов'язаних з дослідженням виникаючих звукових полів в океані, полягає в необхідності комплексного обліку багатьох факторів, що впливають на процес поширення звукових хвиль: форми профілю швидкості звуку, геоакустичних властивостей дна, нерівностей дна, поверхневих хвиль, гідродинамічних процесів, внутрішніх локальних неоднорідностей середовища.

У зв'язку з труднощами математичного обліку усіх факторів і обчислювальної реалізації використовуються різні наближені моделі хвилеводів у залежності від ступеня впливу тих або інших факторів. Зокрема, моделі хвилеводів з горизонтально-неоднорідною швидкістю звуку , з нерівним дном, з підвідними, або плаваючими на поверхні хвилеводу тілами; моделі шаруватих хвилеводів із границями шарів відмінними від плоскопаралельних.

Для даних моделей у більшості випадків не існує аналітичних зображень звукового поля, тому поряд з побудовою чисельних розв'язків у даний час активно розвиваються і чисельно-аналітичні методи розрахунку звукових полів, що представляють істотний інтерес як перше наближення для багатьох практичних задач гідроакустиці. Зокрема, для плавно мінливого дна використовуються методи малого параметра, у більш складних випадках, як правило, застосовуються чисельні методи.

Таким чином, на даний момент подальший розвиток числено-аналітичних методів для хвилеводів, що мають локальні неоднорідності на дні й усередині, а також для шаруватих хвилеводів є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Наведені в дисертаційній роботі дослідження виконувалися відповідно до державних тем “Полум'я” (№ 0100V002312), “Фундамент” (№0100V005321).

Метою даної роботи є дослідження звукових полів точечного гармонійного джерела у гідроакустичних хвилеводах з довільним профілем швидкості звуку, що мають нерівне дно з радіальною симетрією, локальні неоднорідності у формі підвідних тіл, або тіл, що плавають на поверхні хвилеводу; а також у шаруватих хвилеводах із границями шарів відмінними від плоскопаралельних, що включає: звуковий гідроакустичний хвилевод

розробку алгоритму побудови у даних задачах вертикальних нормальних мод при довільному профілі швидкості звуку у середовищі;

зведення на основі теорії нормальних мод розглянутих крайових задач до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невизначених коефіцієнтів, що входять у загальний розв'язок даних задач;

аналіз асимптотичної поведінки розв'язків нескінченних систем;

оцінка збіжності методу редукції при розв'язанні нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

аналіз виникаючих звукових полів.

Об'єктом дослідження є модель гідроакустичного хвилеводу з локальними неоднорідностями.

Предметом дослідження є аналіз впливу локальних неоднорідностей на виникаючі звукові поля, виконаний на основі порівняння отриманих картин звукових полів для розглянутих хвилеводів при різних параметрах неоднорідностей середовища.

Методи дослідження. Розрахунки звукових полів точечного гармонійного джерела в розглянутих гідроакустичних хвилеводах проводяться за допомогою представлення полів у вигляді суми нормальних мод. При цьому застосування методу відноситься до випадку, коли змінні у рівнянні Гельмгольца розділяються в деяких областях декомпозиції хвилеводу (часткових областях). Коефіцієнти при нормальних модах у часткових областях визначаються з відповідних нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. При такому підході профіль швидкості звуку може змінюватися як із глибиною, так і з відстанню, дно хвилеводу може бути нерівним; враховується вплив тіл усередині хвилеводу і структура дна. Достоїнством даного підходу є можливість узагальнення його на випадок складного дна, яке складається із сукупності шарів, границі яких відмінні від плоскопаралельних. Обмеженням запропонованого підходу є вимога радіальної симетрії до неоднорідностей хвилеводу.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі використовується побудова загальних розв'язків розглянутих задач на областях декомпозиції хвилеводу з наступною зшивкою функцій і їхніх похідних на границях областей, такий підхід узагальнюється на випадок розривних функцій швидкостей звуку і щільності в інтервалах декомпозиції. Одним з істотних моментів розглянутих задач є можливість враховувати залежність швидкості звуку і щільності від відстані поширення, що дозволяє моделювати властивості середовища, що змінюються не тільки з глибиною, але і з відстанню. Запропонований алгоритм побудови розв'язку крайових задач дозволяє одержати аналітичне представлення звукового поля за допомогою зведення до відповідної нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невизначених коефіцієнтів у загальному розв'язку неоднорідного рівняння Гельмгольца. За допомогою вимоги Мейкснера визначена асимптотична поведінка невідомих в нескінченних системах, що відповідають моделям з абсолютно жорстким дном.

Проводиться чисельне моделювання з наступним порівняльним аналізом звукових полів у хвилеводах, що мають радіальний виступ (западину) під джерелом звуку, з плаваючим тілом циліндричної форми над або під джерелом звуку при варіації таких параметрів як частота поширення звуку, геометрія хвилеводу, швидкість звуку, характеристик шаруватого дна.

Обґрунтованість і вірогідність наукових положень, висновків і рекомендацій. Вірогідність отриманих у роботі результатів забезпечується:

використанням методу нормальних мод, що дає точні розв'язки акустичних рівнянь в областях декомпозиції хвилеводу;

чисельним дослідженням збіжності процесу редукції при розв'язку нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

перевіркою виконання умов безперервності звукового поля у фіксованому наборі точок хвилеводу на границях декомпозиції;

відповідність отриманих результатів фізичному змістові;

зіставленням результатів моделювання з експериментальними даними.

Практичне значення отриманих результатів. Запропонований у роботі підхід зведення розглянутих крайових задач до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь дозволяє одержати картину виникаючих звукових полів у залежності від вихідних параметрів середовища і границь хвилеводу. Отримані аналітичні представлення звукових полів можуть служити еталонними при налагодженні чисельних розв'язків.

Частина результатів дисертаційної роботи була використана при виконанні вищевказаних держбюджетних тем.

Особистий внесок здобувача:

алгоритм побудови вертикальних власних функцій і відповідних їм власних значень для довільного профілю швидкості звуку і довільного шаруватого дна натвердій підставі;

зведення розглянутих у дисертації крайових задач гідроакустиці до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що допускають розв'язок методом редукції;

побудова асимптотичних формул, що описують поводження невідомих у нескінченних системах лінійних алгебраїчних рівнянь для хвилеводу з жорстким східчастим дном і для хвилеводу з циліндричним тілом усередині;

дослідження збіжності методу редукції;

дослідження характеристик виникаючих звукових полів;

порівняльний аналіз отриманих розв'язків при варіації параметрів хвилеводів.

Роботи [1, 3, 4, 5, 6, 7, 9] були опубліковані в співавторстві з О.О. Ярошенко; роботи [2, 8] - у співавторстві із С.О.Папковим і О.О.Ярошенко. У даних роботах О.О.Ярошенко належить постановка задач, С.О. Папков приймав участь у реалізації чисельного алгоритму на ЕОМ.

Апробація результатів дисертації.

Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на

_IV Українська науково-технічна конференція “Гідроаеромеханіка в інженерній практиці”, Київ, “КПІ”, 3-6 червня 1999 р;

_ Міжнародної науково-технічної конференції "Прикладні проблеми механіки рідини і газу", Севастополь, 25 - 29 вересня 2000 р;

_International Сonference "Modelling and investigation of systems stability", Kiev, May 22 25, 2001;

Міжнародної науково-технічної конференції "Прикладні проблеми механіки рідини і газу", Севастополь, 17 22 вересня 2001 р;

_Міжнародної науково-технічної конференції “Проблеми математичного моделювання сучасних технологій (ПММ - 2002)”, Хмельницький, 2 - 4 жовтня 2002 р.

Дисертаційна робота доповідалася на Республіканському семінарі по акустиці під керівництвом академіка НАН України В.Т. Грінченка (Інститут гідромеханіки НАН України, Київ - жовтень 2002 р.), обговорювалася на наукових семінарах кафедри вищої математики Севастопольського національного технічного університету.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 14 робіт. З них: 6 _ статті в наукових виданнях (три з них у затверджених по переліку ВАК України для спеціальності 01.04.06 _ Акустика), 8 - тези та матеріали доповідей.

Структура дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків і списку використаної літератури. Вона містить 121 сторінку машинописного тексту, 29 ілюстрацій і 6 таблиць. Бібліографія містить 133 джерела.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність теми дисертаційної роботи; зазначено її зв'язок із науковими програмами, планами, темами; сформульовані ціль і задачі дослідження; дана характеристика наукової новизни, теоретичного і практичного значення отриманих результатів; відзначено особистий внесок здобувача; стисло викладено зміст дисертації.

У першому розділі дисертації робиться огляд досліджень, присвячених питанням теорії хвильових процесів у гідроакустиці й суміжних областях знань.

Розвиткові сучасної теорії акустики поклали початок роботи Рэлея і Лэмба, що обґрунтували в строгій математичній формі питання випромінювання, поширення і прийому звуку. Велика частина теоретичних досліджень звукових полів в океані полягає в побудові математичних наближень до реального середовища. Дослідження з різних аспектів даного напрямку проводилися Пекерисом С., Бреховских Л.М., Толстим І., Клеєм К.С., Кампом Л., Шендеровим Е.Л., Де Санто Дж., Келлером Дж.Б., Пападакисом Дж., Флаттэ С., що внесли великий вклад у розвиток теорії хвильових процесів. При цьому розглядаються різні моделі хвилеводів і використовувалися різні методи розв'язку відповідних задач. Наприклад, розвитку теорії хвильових процесів в нескінчених хвилеводах або в напівобмеженому середовищі присвячені роботи Бреховских Л.М., Вовка І.В., Гомілка О.М., Грінченка В.Т., Космодаміанського О.С., Мелешка В.В., Улітка А.Ф., Шендерова Е.Л. та ін.

Точні розв'язки хвильових рівнянь у безперервно-шаруватих хвилеводах, отримані за допомогою зведення до аналітично розв'язуваного (опорного) диференціального рівняння існують лише для деяких типів хвилеводів, тому в даний час широке поширення одержали наближені методи розрахунку звукових полів у гідроакустичних хвилеводах з параметрами, що є гладкими функціями глибини і мало змінюються на відстанях порядку довжини хвилі в неоднорідному хвилеводі (слабко залежними від відстані для горизонтально-неоднорідного хвилеводу, і з малим нахилом дна у випадку хвилеводу перемінної глибини), зокрема, Бреховских Л.М., Толстим І., Клеєм К.С. і ін. на основі геометричної акустики і наближення ВКБ; Бреховских Л.М., Де Санто, Бером з використанням параболічного наближення хвильового рівняння; DiNapoli F.R., Deavenport R.L. був запропонований матричний метод побудови поперечної функції Гріна; Булдирєв В.С., Буслаєв В.С. узагальнили метод нормальних мод за допомогою адіабатичних конструкцій.

У той же час, для хвилеводів з різкою зміною рельєфу дна і горизонтальної складової швидкості звуку, як правило, використовуються чисельні методи. Так, у роботах Завадського Ю.В. використовується метод сіток до обчислення звукових полів, що дозволяє враховувати в моделях хвилеводів зміни параметрів середовища і границь, заснований на апроксимації диференціального рівняння кінцево-різницевим рівнянням. Kalinowski A.J. розглядався метод кінцевих елементів до горизонтально-неоднорідних моделей хвилеводів, що враховує вплив геоакустичних властивостей дна і його рельєфу; надалі метод кінцевих елементів одержав бурхливий розвиток. Слід зазначити, що погрішність чисельних методів виявляється поблизу джерел, кутових точок і ребер у випадку складного рельєфу дна і при описі звукового поля на великих відстанях (для необмеженої області).

На даний час існує ряд аналітичних методів, що зводять крайові задачі для хвилеводів з складною конфігурацією до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь (до систем змішаного типу). Зокрема, у роботах Вовка І. В., Городецької Н.С., Грінченка В.Т., Мелешка В.В. при роз'вязанні граничних задач для різних типів хвилеводів використовувався метод суперпозиції (для акустичних хвилеводів - метод часткових областей). Дослідження асимптотичних властивостей розв'язку нескінченної системи на підставі відомого характеру особливості у характерних точках хвилеводу (як правило, кутових), дозволяє значно покращити чисельний розв'язок нескінченної системи.

Дослідження пружних хвилеводів на основі методу однорідних розв'язків проводиться у роботах Сторожєва В.І., де отримані нескінченні системи розв'язуються методом редукції.

Таким чином, на основі аналізу літературних джерел зроблений висновок, що побудова розв'язків в аналітичній формі для гідроакустичних хвилеводів з суттєво змінними параметрами становить інтерес як при дослідженнях характеристик звукового поля, так і в якості модельних при налагодженні чисельних алгоритмів.

У першому розділі також наводяться короткі відомості про основні рівняння гідроакустиці, типи граничних умов і класичні гідроакустичні хвилеводи. Для подальшого використання даються основні відомості з теорії нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

У другому розділі описано дослідження, присвячені неоднорідному гідроакустичному хвилеводу, який має локальні неоднорідності та жорстке дно. Звукове поле у гідроакустичному хвилеводі буде повністю визначене якщо є відомим потенціал швидкості _ розв'язок рівняння Гельмгольца:

( _ частота звуку, c(z) - профіль швидкості звуку), задовольняючий відповідним крайовим умовам на стінках хвилеводу та умовам випромінювання.

Будується алгоритм визначення власних чисел і власних функцій диференціального оператора крайової задачі для неоднорідного хвилеводу (швидкість звуку відмінна від постійної) з вільною границею й акустично твердим дном постійної глибини. Заданий системою опорних точок профіль швидкості звуку c(z) апроксимується відрізками c_k(z), що допускають аналітичні розв'язки диференціального рівняння. Таким чином, на відрізку апроксимації профілю швидкості звуку загальний розв'язок диференціального рівняння має наступний вигляд: . Використовуючи умови безперервності тиску і нормальної складовий коливальної швидкості на кінцях відрізків апроксимації, одержуємо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих констант із загальних розв'язків диференціального рівняння на даних відрізках; дорівнюючи до нуля визначник системи, маємо дисперсійне рівняння для визначення власних чисел {_n}. Після визначення власних чисел з однорідної системи знаходяться відповідні їм ненульові розв'язки , що дозволяють побудувати власні функції крайової задачі, при цьому побудована система власних функцій є повною й ортогональною у функціональному просторі L₂[0; h] у силу того, що дана крайова задача є задачею Штурма-Ліувілля. У результаті амплітуду потенціалу швидкості можна представити у вигляді суми нормальних мод

.

Побудовані вертикальні власні функції для гідроакустичного хвилеводу постійної глибини дозволяють використовувати метод нормальних мод при розв'язанні задачі про звукове поле точечного гармонійного джерела у неоднорідному хвилеводі з акустично твердим східчастим дном, що має радіальну симетрію (рис. 1.)

Тут передбачається можливість декомпозиції області хвилеводу на елементарні області, у яких можливе побудова загального розв'язку рівняння Гельмгольца методом поділу змінних. До умов на дні і поверхні хвилеводу додаються також умови дна при r=r_j, викликані перепадом глибини між сусідніми елементарними областями h_j і h_j+1 і умови безперервності звукового поля. Процедура “зшивки” розв'язку на границях елементарних областей приводить до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невизначених коефіцієнтів у загальних розв'язках:

,

де , - невизначені коефіцієнти.

Зокрема, для случаю одного виступу нескінченна система має вигляд:

, m = 0,1, 2…

де ; (j = 0, 1);

.

Інтеграли ; , у випадку , можна взяти інтегруванням по частинам:

;

.

Для аналізу асимптотичної поведінки невідомих у нескінченній системі лінійних алгебраїчних рівнянь використовується підхід, запропонований В.Т.Грінченко. А саме, на ребрі циліндричного виступу (r₀, h₀) повинна виконуватися умова Мейкснера, що дозволяє описати особливість у поводженні коливальної швидкості

.

Розкладаючи різницю у ряд Фур'є по системі власних вертикальних функцій нульової частинної області, і з огляду на те, що її коефіцієнти Фур'є в наслідку леми Рімана-Лебега повинні убувати як , одержуємо наступні асимптотичні формули для невідомих (таким же чином вони будуються і у загальному випадку):

;

.

При цьому константи, що входять в асимптотичні формули, є невизначеними і чисельно знаходяться в процесі використання методу поліпшеної редукції до нескінченної системи, де при згортанні залишків рядів використовується функція узагальненого полілогарифма з наступним чисельним інтегруванням у кінцевих межах:

m = 0,1, … N

Де

,

,

.

Відзначимо, що використання методу поліпшеної редукції дозволяє значно покращити чисельний розв'язок нескінченної системи, що ілюструє наступна таблиця.

Відомо, що найбільш погано ряди з загального розв'язку збігаються на межі розподілу частинних областей. Зокрема, в околі перетину хвилеводу ряди для потенціалу швидкості з ростом убувають як О(), для коливальних швидкостей, як О(). Збіжність даних рядів можна поліпшити по методу В.І.Крилова. Нижче наведено приклад поліпшення збіжності ряду для потенціалу швидкості у випадку одного виступу на межі розподілу частинних областей :

Після аналогічного поліпшення збіжності рядів коливальної швидкості локальна особливість у поведінки коливальної швидкості поблизу ребра акустично жорсткого тіла знаходиться у аналітично звернутих залишках рядів, що дає можливість для її опису.

Обчислення проведені згідно з описаним вище алгоритмом показали, що у випадку мілководдя (кількість незатухаючих нормальних мод є невеликою, до 3-4) варіації профілю швидкості звуку призводять до незначних змін звукового поля. При цьому відміни найбільш помітні біля дна, де досягається максимальний звуковий тиск. Таким чином тут визначальну роль має геометрія дна хвилеводу.

На рис. 2 наведені ізолінії модулю потенціалу швидкості для хвилеводу з одним виступом при варіації параметрів виступу: (а) _ , , , c₀= c₁= 1520 м/с (); (б) _ , , , c₀= c₁= 1520 м/с (); (в) _ , , , c₀=c₁=1450 м/с (); = 100 Гц, h₁ = h = 100м; (в) _ , , , c₀=c₁=1450 м/с (); = 100 Гц, h₁ = h = 100м.

З ростом частоти звуку істотними виявляються як геометрія дна, так і вигляд швидкості звуку у частинних областях. Відзначимо, що ефекти, пов'язані з підводним звуковим каналом для даного профілю швидкості звуку залишаються і при наявності підводного виступу, хоч локальна неоднорідність і змінює структуру звукового поля у каналі.

Запропонований вище підхід до побудови розв'язків граничних задач для неоднорідного рівняння Гельмгольца в областях з вільною границею й акустично твердим дном поширюється і на хвилеводи, усередині яких знаходиться абсолютно тверде тіло циліндричної форми. У цьому випадку початок циліндричної системи координат обрано на поверхні радіально-симетричного хвилеводу, а вісь Oz спрямована вертикально вниз і збігається з осьовою лінією циліндра (рис. 3).

Побудова розв'язку граничної задачі для даного хвилеводу також зводиться до розв'язання нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих із загальних розв'язків в областях декомпозиції хвилеводу.

Для хвилеводу з розташованим усередені циліндричним тілом на основі відомого характеру особливості коливальної швидкості на ребрі, знаходиться асимптотична поведінка невідомих у відповідних нескінченних системах, що дозволяє використовувати метод поліпшеної редукції, аналогічно хвилеводу з виступом. При цьому критерієм точності є чисельна перевірка умов, з яких були отримані відповідні нескінченні системи.

На рис. 4 дається порівняльний аналіз амплітудно-частотних характеристик для хвилеводу з розташованим усередені циліндром (r₀ = 0,3h; h₁ = 0,25h; h₂= 0,4h; с₀ = 1550 м/с) і для ідеального хвилеводу з постійною швидкістю звуку с₀ = 1550 м/с і z₀ = 0,5h; h=100 м.

На рис. 5 наведені залежності амплітуд потенціалів швидкості від частоти звуку у точках M₁(0,5r₀, z₀), M₂(5r₀, z₀) для хвилеводу з плаваючим на поверхні циліндром, (h = 100 м_; h₀=0,1h_; r₀ = 0,5h_; z₀ = 0,5h_; c₀ = 1550 м/с) і для ідеального хвилеводу при h=100 м; z₀ = 0,5h; c₀ = 1550 м/с.

Наведені криві показують, що циліндричне тіло усередині хвилеводу приводить до зміни звукового поля на всьому діапазоні частот. При цьому до другої резонансної частоти ідеального хвилеводу звуковий тиск для джерела розташованого під циліндром виявляється у цілому вище, ніж у ідеальному хвилеводі .

У третьому розділі узагальнюється числено-аналітичний алгоритм розрахунку акустичних характеристик, запропонований у другому розділі, на випадок плоскошаруватого хвилеводу з кусочно-безперервною залежністю щільності і швидкості звуку від глибини, що відповідає моделі “рідкого” дна. У цьому випадку крім граничних умов додаються умови безперервності на границі шарів хвилеводу:

.

При розв'язанні передбачається можливість апроксимації неоднорідного профілю швидкості звуку аналогічно другому розділу кривими, що дозволяють одержати точний розв'язок вертикального хвильового рівняння, при цьому побудована система власних функцій є ортогональною у функціональному просторі L₂[0; h] з вагою .

Для оцінки впливу геоакустичних властивостей дна на звукове поле пропонується модель шаруватого хвилеводу на твердій підставі з радіально-симетричним виступом (западиною), що задається варіюванням параметрів шарів (рис. 6). Зображення для звукових потенціалів у відповідних областях мають вигляд:

,

.

Відповідні умови безперервності для звукового поля на границях декомпозиції хвилеводу приводять до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

(m = 0, 1, 2…)

де

.

При обчисленні коефіцієнтів нескінченної системи основні труднощі представляє обчислення інтегралів I_m,n. Дані інтеграли, у загальному випадку, можна розрахувати за допомогою чисельних методів. У деяких окремих випадках дані інтеграли беруться точно, наприклад, коли (С₁ - деяка константа) при й в іншій області хвилеводу. Це припущення є вірним, якщо швидкість звуку в морському середовищі на рівні виступу (чи усередині западини) є постійною. У даному випадку інтегруванням по частинам одержуємо:



де при .

Чисельні розрахунки показали кращу збіжність методу простої редукції в порівнянні з розв'язком відповідної нескінченної системи в моделі з ідеальними граничними умовами на дні. Для одержання необхідної точності в представлених нижче прикладах (рис. 7) досить узяти N_r =25. Отриманий розв'язок дозволяє провести порівняльний аналіз звукових полів, зокрема, на рис. 6 представлені ізолінії модуля потенціалу швидкості з різними варіаціями дна хвилеводу (джерело розташоване в точці (0,1h; 0); частота = 100 Гц).

У розділі також дається порівняльний аналіз обчислених значень з експериментальними даними для випадку, коли на поверхні хвилеводу розташований циліндричний буй; при цьому у якості моделі хвилеводу, використаного для порівняння з експериментальними даними, береться окремий випадок розглянутої вище моделі з лінійним джерелом звуку, розташованим на відрізку [z₀₁; z₀₂].

На рис. 8 наведені значення модуля амплітуди звукового тиску, розраховані відповідно до запропонованого вище алгоритму, і апроксимація сплайнами експериментальних даних при варіації частоти випромінювання звуку; параметр h₃, що задає висоту шару опадів на акустично абсолютно твердій підставі, підбирався з кроком 0,1 м таким чином, щоб нев'язання отриманого теоретичного розв'язку з експериментальними даними було найменшим.

ВИСНОВКИ

На підставі методу часткових областей будується числено-аналітичний алгоритм розрахунку звукових полів у неоднорідних гідроакустичних хвилеводах з радіальною симетрією для різної геометрії хвилеводів. Даний підхід дозволяє одержати аналітичну форму розв'язку з наперед заданою точністю (невизначені коефіцієнти у вираженні потенціалу швидкості знаходяться з відповідних нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь) на досить широкому діапазоні частот ( 0,1h). Для хвилеводів із твердим східчастим дном і з поміщеним усередину твердим циліндричним тілом відомий характер особливості в поводженні коливальної швидкості на ребрі акустично твердого тіла дозволив знайти асимптотику для невідомих у відповідних нескінченних системах і застосувати метод поліпшеної редукції.

Проведені розрахунки дозволили установити, що у випадку мілководдя (на довжинах хвиль, порівнянних із глибиною хвилеводу):

для хвилеводів зі східчастим твердим дном і з поміщеним усередину твердим тілом циліндричної форми профіль швидкості звуку слабо впливає на звукове поле, що визначається головним чином формою хвилеводу;

максимальний тиск досягається біля дна хвилеводу зі східчастим дном, де найбільш помітні відмінності при варіації профілю швидкості звуку. Аналіз по положенню джерела звуку в даному хвилеводі показав, що чим нижче розташовано джерело, тим більш великих значень досягає звуковий тиск;

для хвилеводу з джерелом, розташованим під твердим циліндром, звуковий тиск в області під циліндром практично усюди вище, ніж для ідеального хвилеводу. На деякім видаленні від циліндра провести порівняльний аналіз амплітудно-частотних характеристик однозначно не можна. Для хвилеводу з розташованим на поверхні тілом циліндричної форми звуковий тиск досягає максимальних значень для джерела у поверхні і у дна басейну, у середині хвилеводу мається чітко виражений мінімум.

У випадку “глибокої води” ( 0,1h) на звукове поле впливають як профіль швидкості звуку, так і форма дна. Розрахунки, проведені для моделі хвилеводу з твердим східчастим дном, показали, що наявність підвідного виступу не змінює факту існування звукового каналу для відповідного профілю швидкості звуку, хоча і змінює структуру звукового поля.

Для плоскошаруватого хвилеводу з кусочно-безперервною залежністю щільності і швидкості звуку від глибини в часткових областях, що відповідає моделі “рідкого” дна, нескінченні системи щодо невизначених коефіцієнтів при нормальних модах розв'язувались методом простої редукції. Для даної моделі хвилеводу метод простої редукції показав кращу збіжність, чим для хвилеводів із твердим дном. Проведені чисельні дослідження для шаруватого хвилеводу на твердій підставі, що має під джерелом звуку циліндричний виступ, дозволили встановити, що:

на низьких частотах варіація параметрів “рідкого” дна приводить до невеликих змін потенціалу швидкості у хвилеводі з циліндричним виступом під джерелом звуку, головним чином вони спостерігаються біля дна;

для звукового тиску в шаруватому хвилеводі на абсолютно твердій підставі, на поверхні якого знаходиться буй, збіг розрахункових даних з експериментальними даними виявилося досить гарним, що дозволяє зробити висновок про застосовність числено-аналітичного методу на частотах, що відповідають невеликій кількості незатухаючих мод;

Таким чином, запропонований підхід до розрахунку звукових полів у гідроакустичних хвилеводах дозволяє значно розширити коло задач, що допускають аналітичну форму розв'язку. Розглянуті моделі гідроакустичних хвилеводів дають можливість описати досить складний рельєф дна з радіальною симетрією системою ступіней довільної ширини і глибини; також враховується структура донних опадів і вплив тіл поміщених у хвилевід. Коефіцієнти при нормальних модах визначаються з відповідних нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом редукції (поліпшеної редукції). Чисельний аналіз збіжності даного методу дозволяє встановити, що дані коефіцієнти можуть бути знайдені з наперед заданою точністю, що гарантує задану точність і для розв'язку крайової задачі. Отримані результати можуть бути корисні як для чисельного моделювання фізичних процесів в океані, так і для налагодження чисельних алгоритмів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

Папкова Ю.И., Ярошенко А.А. Поле акустического точечного источника в гидроакустическом волноводе с выступом // Динамические системы. - 2002. - Вып. 17 - С. 115 - 119.

Папкова Ю.И., Папков С.О., Ярошенко А.А. Моделирование неровностей донных слоев в гидроакустическом волноводе на основе метода нормальных мод // Акуст. вісн. - 2002. - Т.5, №3. - С. 61-71.

Папкова Ю.И., Ярошенко А.А. Горизонтально-неоднородная гидроакустическая трасса с радиальной симметрией// Вісник Донецького національного університету, сер. А: природні науки. - Донецк, 2001. - В.2 - С.104 - 114.

Папкова Ю.И., Ярошенко А.А. Распространение звуковых волн в неоднородном слое жидкости// Вестник национального технического университета Украины КПИ: Машиностроение. _ Киев, 2000. - Т.2. - С. 120-123.

Папкова Ю.И., Ярошенко А.А. Представление звукового поля точечного источника в непрерывно-слоистой среде// Вестник национального технического университета Украины КПИ: Машиностроение. _ Киев, 2002. - Т.1. - С. 17-19.

Папкова Ю.И., Ярошенко А.А. Звуковое поле точечного гармонического источника в слоистой морской среде с подводной возвышенностью// Вісник Запорізького державного університету. - 2002. _ № 1. - С. 80 - 84.

Папкова Ю.И., Ярошенко А.А. Поле давления точечного источника звука при аппроксимации профиля скорости звука ломаной// Прикладные проблемы механики жидкости и газа. _ Севастополь, СевГТУ, 1999. - С. 30-34.

Папкова Ю.И., Ярошенко А.А. Анализ спектральных кривых для неоднородного гидроакустического волновода// Прикладные проблемы механики жидкости и газа. _ Севастополь, СевГТУ, 2000. _ С. 9-11.

Папкова Ю.И., Папков С.О., Ярошенко А.А. Акустическое поле точечного источника, расположенного над подводной возвышенностью// Прикладные проблемы механики жидкости и газа. _ Севастополь, СевНТУ, 2001. _ С.45-48.

Папкова Ю.И., Ярошенко А.А. Моделирование неровностей дна в гидроакустическом волноводе// Dynamical systems modeling and stability investigation, Modeling & stability. _ Kyiv, 2001. _ С. 315.

Папкова Ю.И. Представление звукового поля линейного источника в гидроакустическом волноводе с буйком// Тез. докл. ХХ международной конференции “Дисперсные системы”. - Одесса, 2002. - С. 21-22.

Папкова Ю.И. Акустическое поле точечного подводного источника в случае наклонного дна // Прикладные задачи математики и механики. - Севастополь, СевНТУ, 2002. - С. 57-61.

Папкова Ю.И. Звуковое поле, порождаемое гармоническим источником в морской среде с неровным дном// Молодые ученые Крыма в решении актуальных вопросов современности: Материалы I Межвузовской науч.-практич.конф. г. Севастополь, 14 - 17 октября 2002г. - Севастополь: Изд-во СевНТУ. - 2002. - С.19.

Папкова Ю.И. Влияние неровностей дна на звуковое поле, порождаемое точечным гармоническим источником в морской среде// Проблеми математичного моделювання сучасних технологій: Міжнародна конференція (Хмельницький, 2 - 4 жовтня 2002р.): Тезиси доповідей. - Хмельницький: ТУП. - 2002. - С.106

Размещено на Allbest.ru

...