Математичні моделі та методи механіки тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях

У п'ятому розділі розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функції Гріна (у вигляді границі послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур'є) стосовно до динамічних задач теорії пологих оболонок. Розглядаються задачі про власні та вимушені коливання трансверсально-ізотропних пологих оболонок з отворами, масивними включеннями та вирізами, а також задачі про коливання кусково-однорідних оболонок. В основу досліджень напружено-деформованого стану оболонок покладено рівняння теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами, оскільки гіпотеза про нехтовну малість жорстких поворотів (відносно нормалі до серединної поверхні) співмірна з гіпотезою (прийнятою в теорії оболонок і у даній роботі) про переважаючий вплив на основні форми та частоти коливань інерційності елемента оболонки в напрямі нормалі до серединної поверхні в порівнянні з інерційністю в тангенціальних напрямах і кутовою інерційністю. Вихідна система рівнянь спрощеної теорії оболонок зводиться до системи трьох ключових рівнянь відносно прогину і двох потенціалів поля тангенціальних до серединної поверхні переміщень і кутів повороту нормалі, а відповідні крайові задачі для випадку однозв'язної границі серединної поверхні оболонок зводяться до системи трьох інтегральних рівнянь.

Дельтоподібна функція і розв'язок при , внаслідок оцінки зображуються рівномірно збіжними рядами. Гранична функція у співвідношеннях існує в усіх точках прямокутника, крім точки.

Наближений розв'язок інтегрального рівняння шукається методом колокацій. Крива L наближається ламаною лінією , складеною з прямолінійних відрізків кожний з яких задається середньою точкою , довжиною 2lr і нормальним вектором. Густина приймається сталою на всіх відрізках , , , а границя суми ряду апроксимується послідовністю узагальнених частинних сум цього ряду. Коефіцієнти Pr мають зміст рівнодійних “фіктивних” сил, прикладених до граничних елементів. Обчисливши інтеграли в рівнянні (після проведення відповідних спрощень) та мінімізувавши нев'язку наближеного розв'язку в контрольних точках , якими є середини граничних елементів, одержано систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів

За знайденими звідси значеннями величин Pr наближений розв'язок задачі шукається за відповідними дискретними аналогами інтегрального зображення розв'язку задачі.

Сформульована також спрощена числова схема (з фіктивним контуром) розв'язування задачі, за якою межова умова на контурі L замінюється аналогічною умовою на контурі , що знаходиться в області D на відстані від L. При цьому одержується система алгебраїчних рівнянь, що в порівнянні з системою не містить діагональних членів . Показано, що наближені розв'язки задач, одержані за двома числовими схемами, практично збігаються.

Встановлено залежність наближених розв'язків задач від параметрів дискретизації інтегральних рівнянь і параметрів узагальненого підсумовування рядів. Показано, що для задач про коливання квадратної мембрани з отвором, діаметр якої дорівнює половині її сторони, достатньо точні для практики результати (з похибкою не більшою 5%) одержуються при і K>300.

Розроблено також числові схеми розв'язування крайових задач для рівняння Гельмгольца в полігональних областях.

Метод граничних інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного підходу до подання функцій Гріна розвивається стосовно до нестаціонарних задач теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами і класичної теорії оболонок.

Побудовано функцію Гріна крайової задачі про усталені коливання шарнірно опертої оболонки, прямокутної у плані,

Частинні суми рядів у формулах і формули мають самостійний інтерес, тому що описують відповідно розв'язок задачі про локальне навантаження оболонки та локальну дію довільно розподілених у квадраті нормальних і тангенціальних до серединної поверхні приведених сил і моментів.

На основі співвідношень сформульовано інтегральні рівняння задач про усталені коливання оболонок і пластин з отворами. Розглядаються оболонки з шарнірно опертими зовнішніми краями (по контуру прямокутника) і довільно навантаженими або підкріпленими внутрішніми краями отворів. На краях отворів задаються три з шести величин _ нормальні компоненти векторів переміщення в серединній поверхні, кута повороту, мембранної сили та моменту, а також прогин і зрізуюча сила. Задачі зводяться до розв'язування системи трьох інтегральних рівнянь відносно трьох невідомих густин, розподілених вздовж внутрішнього контура.

Зведення інтегральних рівнянь до системи алгебраїчних рівнянь проводиться за схемою, аналогічною з задачею.

Побудовано алгоритми числового розв'язування задач про усталені коливання пластин і оболонок, прямокутних у плані, з отворами, вирізами та масивними включенням, а також задач про усталені коливання кусково-однорідних оболонок та пластин. Досліджено напруження та власні частоти коливань прямокутної пластини з вільними від навантажень або підкріпленими отворами, прямокутної пластини з симетрично розміщеним масивним включенням і прямокутної пластини з симетричними круговими вирізами. Показано, що значення власних частот коливань прямокутної пластини з круговим отвором близькі до значень відповідних частот, одержаних методом скінчених елементів і методом Рітца.

Досліджено також основні частоти коливань квадратної пластинки, складеної із двох ізотропних пластин. Різке зменшення значень основних частот спостерігається при незначному збільшенні густини однієї з частин пластини. Значення частот (при незмінній її масі) суттєво залежить також від характеру розподілу густини матеріалу пластини. Наприклад, для однорідної квадратної пластини, що має однакову з кусково-однорідною пластиною масу, маємо при l1/l= 0,3 і d=4. У той час як приведена частота неоднорідної пластини при цих значеннях параметрів дорівнює .

Шостий розділ присвячений розробці методики дослідження контактних напру-жень при взаємодії тонкостінних елементів з абсолютно жорсткими і пружними тілами. В основу побудови узагальнених розв'язків контактних задач теорії оболонок Кірхгофа-Лява і різних варіантів теорій оболонок типу Тимошенка покладено послідовнісне подання функцій Гріна і метод інтегральних рівнянь. Розглядаються задачі про взаємодію оболонок з жорсткими тілами і взаємодію оболонок з жорсткими тілами через лінійно- і нелінійно-пружні проміжні шари.

Для опису напружено-деформованого стану проміжного шару побудовано математичну модель нелінійно-пружного шару, що узагальнює відомі моделі для випадку обмеження поперечного деформування шару. Приймається гіпотеза про незалежність нормальних напружень від товщинної координати і нехтується дотичними напруженнями в шарі.

Контактні задачі теорії оболонок про взаємодію оболонок з жорсткими тілами через нелінійно-пружний шар формулюються для випадку щільного прилягання оболонки і шару та відсутності дотичних напружень в області контакту . Контактні умови формулюються відносно переміщень. Прогин оболонки зображується через невідомі контактні напруження у вигляді інтегралів, ядерні функції яких задаються послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур'є з граничною функцією Гріна типу. При цьому вираз прогину при скінченій довжині відрізків рядів (скінченому досить великому ) описує прогин оболонки при дії контактних напружень в області (розширенні області S), границя якої знаходиться на відстані від границі області . Підставивши одержаний вираз прогину оболонки в умови контакту (умови рівності переміщень точок внутрішньої поверхні проміжного шару і прогину оболонки в області) і використавши залежність, яка розглядається для випадку h1 =h2 =1 і рівності нулю другого доданка, , одержано нелінійне інтегральне рівняння відносно контактних напружень

Числовий розв'язок рівняння будується методом колокацій. Область S апроксимується системою прямокутників , з центрами в точках і сторонами довжини паралельними до осей координат.

Дискретизація інтегрального рівнянні і мінімізація нев'язки наближеного розв'язку в N контрольних точках - серединах прямокутників , приводить до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. Стійкий числовий розв'язок цієї системи будується методом простої ітерації при умові .

Для випадку задачі про взаємодію оболонки з жорстким тілом через проміжний шар вздовж смуги S постійної ширини з серединною лінією L спочатку задається закон розподілу контактного напруження по ширині смуги (наприклад, близький до рівномірного) і рівняння зводиться до інтегрального рівняння відносно усередненого контактного напруження вздовж лінії L, а потім будується числовий розв'язок цього рівняння.

Побудовано розв'язок задачі про взаємодію циліндричного резервуара, заповненого рідиною, з двома жорсткими опорами через проміжний шар. Досліджено залежність контактних напружень від приведеної жорсткості проміжного шару; побудовано графіки розподілу контактних напружень.

Побудовано і досліджено розв'язки задач про взаємодію абсолютно жорстких гладких штампів постійної кривини з циліндричною оболонкою з вздовж смуги. Показано, що значення контактних напружень, знайдені за допомогою різних теорій оболонок, відрізняються тільки у приграничній зоні області контакту, співмірній з товщиною оболонки. Тому оптимальним при побудові числових розв'язків контактних задач є розбиття області контакту на відрізки, довжини яких співмірні з товщиною оболонки.

Розглядаються також задачі про взаємодію без відшарування циліндричної оболонки з підкріплюючими жорсткими елементами змінної кривини. Досліджено розв'язок задачі про підкріплення (вздовж смуги ширини ) шарнірно закріпленої замкнутої циліндричної оболонки (довжини ) жорстким бандажем, що має форму овалу з радіусами симетричних дуг . Показано, що різка зміна кривини кромки бандажа, навіть при неперервній зміні дотичної, спричиняє значну концентрацію контактних напружень при переході через точки зміни кривини.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено наукову проблему розвитку методів послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень та математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл, а також розвитку методу Фур'є та методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання узагальнених розв'язків стосовно задач про локальну силову дію та тепловий нагрів тонкостінних пружних тіл, контактних задач теорії оболонок, задач про власні та вимушені коливання кусково-однорідних оболонок, оболонок з вирізами, отворами та включеннями.

Отримано наступні наукові та практичні результати:

1. Сформульовано послідовнісний підхід до побудови математичних моделей механіки тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях, в основі якого лежить послідовнісне подання математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних елементів (теорій оболонок) та математичних моделей взаємодії з середовищем, а також послідовнісний підхід до побудови узагальнених розв'язків відповідних крайових задач. Практичною реалізацією підходу є наближення достатньо диференційованих розв'язків крайових задач послідовностями частинних сум рядів Фур'є (або послідовностями частинних сум степеневих рядів) і наближення узагальнених розв'язків крайових задач послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур'є (або слабко збіжними послідовностями функцій).

2. Систематизовано і строго викладено характерні в теорії пружності два методи редукції тривимірних задач для криволінійного шару до двовимірних, що ґрунтуються на апроксимації розв'язків послідовностями частинних сум рядів Фур'є за системою поліномів Лежандра від товщинної координати. Наведено рівняння для довільних наближень розв'язку, одержаних за першим і другим способами апроксимації, а також рівняння перших наближень, що відповідають математичній моделі деформування оболонки Тимошенка (для випадку умов першого роду на лицевих поверхнях) та модифікованій математичній моделі деформування оболонки Тимошенка (для випадку умов другого роду та змішаних умов на лицевих поверхнях).

3. Розвинуто у межах теорій оболонок Тимошенка метод послідовнісного подання математичних моделей деформування тонкостінних елементів, що ґрунтується на наближенні шуканих величин послідовностями частинних сум в ряди за введеними малими параметрами та побудовано спрощені математичні моделі деформування оболонок з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами; _ з відсутніми нормальними жорсткими поворотами; _ з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і нормальними жорсткими поворотами. Сформульовано інтегральні умови застосовності спрощених теорій оболонок.

4. Поширено математичний апарат методу потенціальних комплексних функцій на граничні задачі згину пластинки з відсутніми нормальними жорсткими поворотами (ключовими для якої є бігармонічне і гармонічне рівняння). Знайдено потенціальні комплексні функції для задач згину і кручення нескінченних пластин з отворами та жорсткими круговими включеннями.

5. За допомогою варіаційних методів доведено коректність побудови послідовнісним методом спрощених теорій оболонок типу Тимошенка. Методом множників Лагранжа сформульовано узагальнені варіаційні принципи спрощених теорій оболонок типу Тимошенка, що відповідає побудові методом гіпотез співвідношень і рівнянь цих теорій.

6. Досліджено умови існування розв'язків Фур'є (у вигляді сум рівномірно збіжних тригонометричних рядів з рівномірно збіжними рядами похідних, що містяться у рівняннях) крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка в залежності від властивостей вільних членів диференціальних рівнянь і на цій основі розвинуто теоретичні основи послідовнісного подання узагальнених розв'язків крайових задач.

7. Побудовано подібні фінітні функції з наперед заданими властивостями гладкості і відповідні їм подібні послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур'є і на цій основі побудовано функції Гріна крайових задач теорії пологих оболонок у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є.

8. Показано, що подібні фінітні функції є ефективними математичними моделями локальних поверхневих навантажень тонкостінних тіл, а також досліджено вплив параметрів, що характеризують гладкість густин локальних поверхневих навантажень і параметрів області локалізації, на розподіл напружень у шарі. Використання рівнянь модифікованої теорії оболонок Тимошенка для визначення напружено-деформованого стану шару при локальних поверхневих навантаженнях забезпечує достатню точність, якщо навантаження моделюється гладкою дельтоподібною фінітною функцією з діаметром області локалізації більшим ніж товщина шару.

9. Побудовано математичну модель деформування тонкого криволінійного шару (покриття) при локально-імпульсному нагріві, в основу якої покладено послідовнісний підхід до моделювання навантажень і рівняння модифікованої теорії оболонок Тимошенка для випадку нехтування нормальними жорсткими поворотами.

10. Проведено теоретичний і числовий аналіз розв'язків задачі про локальне навантаження шарнірно опертої оболонки, прямокутної в плані, одержаних за допомогою рівнянь теорії оболонок Тимошенка, рівнянь класичної теорії оболонок Кірхгофа-Лява і спрощених рівнянь теорії оболонок типу Тимошенка, в основу спрощення яких покладено гіпотези про нехтовну малість нормальних жорстких поворотів. Показано, що деформований стан шарнірно закріпленої пологої оболонки за умов потенціальності поля зовнішніх тангенціальних сил та моментів і близькості кривин () характеризується нехтовно малими жорсткими поворотами відносно нормалі до серединної поверхні. Для випадку оболонки з різними головними кривинами жорсткий поворот відносно нормалі до серединної поверхні не змінюється по товщині оболонки і хоч не дорівнює нулеві, однак, як показує числовий аналіз, не суттєво впливає на напружено-деформований стан оболонки.

11. Розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь стосовно динамічних задач теорії пологих оболонок типу Тимошенка, що ґрунтується на зображенні функцій Гріна у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є. При цьому крайові задачі для випадку однозв'язної границі серединної поверхні оболонки зводяться до системи трьох інтегральних рівнянь.

12. Розроблені числові схеми розв'язування граничних інтегральних рівнянь од-наково ефективні у застосуваннях до крайових задач як теорій оболонок типу Тимошенка, так і теорії оболонок Кірхгофа-Лява. Досліджено власні коливання шарнірно опертих прямокутних оболонок з підкріпленими або вільними від навантажень круговим і прямокутним отворами, а також оболонок з вирізами. Показано, що числові розв'язки задач про власні та вимушені коливання прямокутної пластинки з вільним від навантажень круговим отвором близькі до відомих розв'язків відповідних задач, одержаних методом скінчених елементів та методом Рітца.

Побудовано числові схеми розв'язання та знайдено розв'язки задач про власні та вимушені коливання оболонки з масивними включеннями.

13. Розроблено методику побудови розв'язків задач про вимушені та власні коливання кусково-однорідних пластин та оболонок. Досліджено власні коливання неоднорідної пластинки, складеної з двох однорідних частин, в залежності від густин її частин.

14. Розроблено методику розв'язування методом інтегральних рівнянь контактних задач теорії оболонок, що ґрунтується на послідовнісному зображенні функції Гріна. Вона полягає у _ побудові сингулярних розв'язків вихідних систем рівнянь у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є; _ формулюванні інтегральних рівнянь; _ побудові дискретних аналогів інтегральних рівнянь, що ґрунтуються на лінійній дискретизації області контакту і апроксимації функцій послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур'є. У межах послідовнісного подання узагальнених розв'язків контактних задач одержано наближені їх розв'язки, які узгоджуються з відповідними гіпотезами теорій оболонок.

15. Побудовано математичну модель нелінійно пружного проміжного шару, що узагальнює відомі математичні моделі на випадок обмеження поперечного деформування шару. Сформульовано задачі про взаємодію пологих оболонок з жорсткими тілами через лінійно- та нелінійно-пружні шари і побудовано розв'язок задачі про взаємодію циліндричного резервуара з опорами через нелінійно-пружний шар.

16. Запропоновано нові формулювання і побудовано розв'язки контактних задач про взаємодію оболонок з жорсткими тілами і задач про підкріплення оболонок. Розглянуто задачі про взаємодію оболонок з жорсткими елементами змінної кривини і досліджено розподіл контактних напружень при підкріпленні циліндричної оболонки жорстким бандажем овальної форми.

17. Розглянуті у дисертаційній роботі крайові задачі і відповідні їм інтегральні рівняння є типовими для інших галузей математичної фізики. Тому розвинуті методи послідовнісного підходу до побудови узагальнених функцій і математичних моделей локальних збурень фізичних полів, узагальнені методи підсумовування рядів, модифікації методу Фур'є та методу інтегральних рівнянь стосовно крайових задач мають значно ширшу область застосування. Вони ефективно можуть бути використані для розв'язування задач гідродинаміки, термодинаміки, в'язкопружності, дифракції та інших наук.

РОБОТИ, У ЯКИХ ОПУБЛІКОВАНІ ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Контактные задачи теории упругих

анизотропных оболочек. - К: Наук. думка, 1980. - 216 с.

2. Рівняння математичної фізики. Узагальнені розв'язки крайових задач: Навч. посібник / Рудавський Ю.К., Костробій П.П., Сухорольський М.А., Зашкільняк І.М., Колісник В.М., Микитюк О.А., Мусій Р.С. - Львів: Національний ун-т „Львівська політехніка”, 2002. - 226 с.

3. Сухорольский М.А. Про штучне введення малих параметрів у задачах теорії

пружності // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Диф. рівняння і їх застосування. - 1990. _ № 242. - С. 93-94.

4. Сухорольський М.А. Про підсумовування тригонометричних рядів // Вісн.

держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Диф. рівняння та їх застосування. _ 1992.

_ № 261. _ С. 140-143.

5. Сухорольський М.А. Спрощені математичні моделі напруженого стану тонкого шару // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикл. математика. - 1997._ № 320. - С 140-141.

6. Сухорольський М.А. Про порядок локального наближення функцій тригонометричними поліномами - частинними сумами операторів усереднення // Укр. мат. журн. - 1997. _ № 5. - С. 706-714.

7. Сухорольський М.А. Редукція тривимірної задачі теорії пружності для криволінійного шару до двовимірної // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикл. математика. - 1998. _ № 346. - С. 115-119.

8. Сухорольський М.А. Підсумовування за Ейлером степеневих і тригонометричних рядів // Мат. методи і фіз.-мат. поля. - 1999. -Т. 42, № 3. - С. 106-113.

9. Сухорольський М.А. Узагальнений розв'язок динамічної задачі для оболонки Тимошенка // Вісн. Львів. ун-ту. Серія механіко-математична. - 2000. -Вип. 57._ С. 162-165.

10. Сухорольський М.А. Тонке покриття під локальним навантаженням // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2000. - Т. 36, № 6. _ С. 33-38.

11. Сухорольський М.А. Метод граничних елементів розв'язування динамічних задач для оболонки з отвором // Машинознавство. _2000. _ № 3. _ С. 27-32.

12. Сухорольський М.А. Неявні малі параметри в граничних задачах теорії оболонок // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2000. -Т. 42. _№3. - С. 126-130.

13. Сухорольський М.А. Узагальнені граничні інтегральні рівняння в теорії оболонок Тимошенка // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2000. -Т. 42, № 4. - С. 40-46.

14. Сухорольський М.А. Згинні коливання прямокутної ортотропної пластинки з масивним включенням // Машинознавство. _ 2001. _ № 1. _ С. 8-12.

15. Сухорольський М.А., Колісник В.М. Про представлення дельтоподібних послідовностей // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Диф. рівняння та їх застосування. - 1993. _ № 269. _ С. 188-192.

16. Сухорольский М.А., Костенко И. С. Секвенциальное представление решений контактных задач теории оболочек // Теорет. и прикл. механика. - 2002. - Вып. 36.

- С. 108_115.

17. Сухорольський М.А., Костенко І.С., Микитюк О.А., Зашкільняк І. М. Послідовнісний підхід до моделювання локальних збурень фізичних полів // Вісн. Запорізького держ. ун-ту. - 2002. _ №1. - С. 106_110.

18. Бурак Я.Й., Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А. Узагальнені розв'язки Фур'є крайових задач теорії оболонок // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, №4. - С. 57-62.

19 Бурак Я.Й., Сухорольський М.А. Взаємодія пружної оболонки і жорсткого тіла через нелінійно-пружний шар // Машинознавство. - 2001. _ № 11. - С. 10_13.

20. Бурак Я.Й., Сухорольський М.А. Коливання кусково - однорідних оболонок і пластин // Машинознавство. - 2002. _№ 12. - С. 3_8.

21. Зашкильняк И.М., Костенко И. С., Сухорольский М.А. Исследование изгибных колебаний прямоугольной ортотропной пластины с отверстием методом граничных элементов // Теорет. и прикл. механика. - 2001. - Вып. 34. _ С. 152-158.

22. Колесник В.М., Сухорольский М.А. О взаимосвязи перемещения и внешнего усилия для одного класса контактных задач теории пластин // Вестн. Львов. политехн. ин-та. Диф. уравнения и их приложения. - 1986. _ № 202. - С. 54-56.

23. Мартинович Т.Л., Сухорольський М.А. Комплексні функції напружень для задач згину пластинок тимошенківського типу // Крайові задачі термомеханіки. Частина 2. - К.: Ін-т математики НАН України, 1996. _ С. 18-22.

24. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Про один підхід до побудови теорії оболонок з врахуванням граничних умов на поверхнях // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1978. -№ 5. - С. 444-446.

25. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Про один метод апроксимації функції і її першої похідної поліномами Лежандра та його застосування // Доп. АН УРСР. Серія А. _ 1980. _№ 3. - C. 25-28.

26. Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А., Микитюк О.А. Метод Фур'є стосовно до динамічних задач для оболонок з отворами // Машинознавство. - 2003. _ № 1. - С. 15_19.

27. Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А., Микитюк О.А., Колісник В.М. Поперечні коливання пологої оболонки постійної кривини з жорстким включенням // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикл. математика. - 1998. _ № 337. - С. 389-392.

28. Шопа В.М., Сухорольский М.А. Про один клас контактних задач теорії оболонок // Доп. АН УРСР. Сер. А. _ 1987. _ № 9. _ С. 41-44.

29. Шопа В.М., Сухорольский М.А., Полевой Б.Н. Математическая модель нелинейной механической системы с упорами // Прикл. механика. - 1990. _ Т. 26, № 4. _ С. 109-113.

АНОТАЦІЯ

Сухорольський М.А. Математичні моделі та методи механіки тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях. _ Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. _ Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригала НАН України, Львів, 2003.

Сформульовано послідовнісний підхід до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл (пластин, оболонок, шарів, покрить), який включає послідовнісне подання математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних тіл та узагальнених розв'язків відповідних крайових задач. Розвинуто метод послідовнісного подання двовимірних математичних моделей деформування тонкостінних тіл і на цій основі побудовано теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами. Побудовано дельтоподібні фінітні функції з заданими властивостями гладкості та відповідні їм дельтоподібні послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур'є. На цій основі сформульовано математичні моделі локальних навантажень і побудовано узагальнені розв'язки крайових задач теорії оболонок з сингулярними вільними членами рівнянь. Розвинуто метод інтегральних рівнянь стосовно до крайових та контактних задач теорії оболонок, що ґрунтується на послідовнісному поданні функцій Гріна. Побудовано розв'язки задач про вимушені та власні коливання кусково-однорідних оболонок, оболонок з отворами, вирізами та масивними включеннями. Побудовано узагальнені розв'язки контактних задач про взаємодію оболонок з жорсткими тілами через лінійно та нелінійно-пружні шари.

Ключові слова: тонкостінне тіло, оболонки з отворами, кусково-однорідні оболонки, контактні задачі, узагальнений розв'язок, метод інтегральних рівнянь, послідовнісний підхід, дельтоподібна послідовність, узагальнена сума ряду.

ABSTRACT

Sukhorolsky M.A.

Mathematical Models and Methods in Mechanics of Thin-Walled Elastic Bodies under Local Loadings. - Manuscript.

A thesis for the Doctor Degree in Physics and mathematics (speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids). _ Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2003.

The sequential approach to defining stress-strained states of locally loaded thin-walled

bodies (plates, shells, layers, coverings) has been formulated. It includes sequential representation of mathematical models of local loadings and thin-walled bodies deforming, as well as generalized solutions to corresponding boundary problems. The method of sequential representation of mathematical models of shell deforming is developed and the theory of shells, in which normal rigid turnings are neglected, is constructed. Delta-like finite functions with the given properties of smoothness and corresponding to them delta-like sequences of generalized partial sums of Fourier series are also constructed. On this basis mathematical models of local loadings are formulated and generalized solutions to boundary problems of the theory of shells with the singular right parts of equations are constructed. The method of integral equations applicable to the boundary and contact problems of the theory of shells, based on the sequential representation of Green functions, has been developed. The solution of problems on forced and proper oscillations of piece-homogeneous shells and those with holes, cuts and massive inclusions are constructed. Generalized solutions of contact problems on shell interaction with rigid bodies through linear and non-linear elastic layers are constructed.

Key words: thin-walled body, shells with holes, piece-homogeneous shells, contact problem, generalized solution, method of integral equations, sequential approach, delta-like sequence, generalized sums of series.

АННОТАЦИЯ

Сухорольский М.А. Математические модели и методы механики тонкостенных упругих тел при локальных нагружениях. _ Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. _ Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2003.

Развит последовательностный подход к определению напряженно-деформированного состояния локально нагруженных тонкостенных тел (пластин, оболочек, слоев, покрытий). В его основу положены последовательностные представления математических моделей локальной нагрузки, математических моделей деформирования тонкостенных тел и обобщенных решений соответствующих краевых задач.

Систематизированы и строго изложены два способа редукции трехмерных задач теории упругости для тонкостенного тела к двумерным, в основу которых положено приближение искомых величин последовательностями частичных сумм рядов по полиномам Лежандра от толщиной координаты. Уравнения первых приближений решений трехмерных задач соответствуют теории оболочек Тимошенко и модифицированной теории оболочек Тимошенко, которые соответственно используются для решения краевых задач с условиями первого рода и второго рода на лицевых поверхностях тонкостенных тел (оболочек). С целью упрощения двумерных математических моделей деформирования тонкостенных тел развит метод приближения искомых величин краевых задач теорий оболочек Тимошенко последовательностями частичных сумм рядов по степеням введенных малых параметров и построены теории оболочек, в которых пренебрегается нормальными (к срединной поверхности оболочки) жесткими поворотами. При этом вместо двух тангенциальных перемещений и двух улов поворота нормали вводятся соответствующие им потенциальные функции. В рамках этих теорий сформулированы взаимно двойственные вариационные принципы.

Построены дельтообразные финитные функции с заданными свойствами гладкости и соответствующие им дельтообразные последовательности обобщенных частичных сумм рядов Фурье. На этой основе развит математический аппарат последовательностного представления математических моделей локальных нагрузок и обобщенных решений задач о локальном нагружении пологой оболочки и тонкого слоя. Построены численные решения задачи о локальном поверхностном нагружении плоского слоя с использованием уравнения теории упругости и уравнения модифицированной теории оболочек Тимошенко. Исследовано влияние параметров математических моделей локальной нагрузки на точность определения напряжений в слое при использовании уравнений теории оболочек. Построена двумерная математическая модель деформирования тонкого покрытия (слоя), находящегося под локально-импульсным температурным и силовым воздействиями. Исследованы также перемещения цилиндрической панели, локально нагруженной объемными силами, с использованием уравнений различных теорий оболочек.

Развит метод интегральных уравнений применительно к краевым и контактным задачам теории оболочек, основанный на представлении функций Грина в виде пределов последовательностей обобщенных частичных сумм тригонометрических рядов Фурье. Подробно изложено решение методом граничных уравнений краевых задач для уравнения Гельмгольца, а также исследована устойчивость и сходимость численных решений задач колебания полигональной мембраны и прямоугольной мембраны с отверстием. Алгоритмы численного решения этих задач легко обобщаются на задачи различных теорий оболочек. В рамках теорий оболочек типа Тимошенко сформулированы интегральные уравнения и построены решения задач о собственных и вынужденных колебаниях кусочно-однородных оболочек, оболочек с отверстиями, вырезами и массивными включениями.

Рассмотрены также контактные задачи о взаимодействии оболочек с жесткими телами через линейно- и нелинейно-упругие слои. Построена математическая модель нелинейно-упругого слоя, обобщающая известные модели на случай ограничения поперечной деформации слоя. Вследствие последовательностного представления функций Грина среди соответствующих вариант, образующих обобщенные решения контактных задач, выделены те из них, которые не противоречат принятым в теории оболочек гипотезам. Исследованы контактные напряжения при взаимодействии цилиндрических резервуаров с опорами, а также контактные напряжения при подкреплении цилиндрической оболочки бандажом овальной формы.

Диссертация состоит из введения, шести разделов, выводов, списка литературы и двух приложений.

Ключевые слова: тонкостенное тело, оболочки c отверстиями, кусочно-однородные оболочки, контактные задачи, обобщенное решение, метод интегральных уравнений, последовательностный подход, дельтаобразная последовательность, обобщенная сумма ряда.

Размещено на Allbest.ru