Математичні аспекти теорії коливань рідини в басейні, частково вкритому кригою

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б.І.Вєркіна

УДК 517.9:532

МАТЕМАТИЧНІ АСПЕКТИ ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ РІДИНИ

В БАСЕЙНІ, ЧАСТКОВО ВКРИТОМУ КРИГОЮ

01.01.03 - математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

СОЛДАТОВ Максим Олександрович

Харків - 2003



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті ім. В.І. Вернадського, м. Сімферополь.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, завідувач кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук Котляров Володимир Петрович, керівник відділу, старший науковий співробітник, Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор Руткас Анатолій Георгійович, завідувач кафедри математичного моделювання Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна

Провідна установа Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 04.09.2003 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І.Вєркіна Національної Академії Наук України, 61103, м. Харків, проспект Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур.

Автореферат розісланий 02.08.2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат фіз.-мат. наук Горькавий В.О.



АНОТАЦІЇ

Солдатов М.О. Математичні аспекти теорії коливань рідини в басейні, частково вкритому кригою. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 - математична фізика. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України, Харків, 2003. розв'язність ортогональний простір рідина

Дисертація присвячена дослідженню задач про малі рухи і власні коливання ідеальної рідини в басейні, частково вкритому пружним і кришеним льодом. З використанням методу проектування рівнянь на підпростори ортогонального розкладання гільбертова простору вектор-функцій, заданих в області, заповненій рідиною, а також проектування граничних умов на підпростори ортогонального розкладання гільбертова простору скалярних функцій, заданих на рухомій поверхні, доведено теореми про сильну (за часом) розв'язність початково-крайових задач.

Досліджено спектральні задачі про власні коливання гідродинамічної системи. Вивчено структуру спектра частот власних коливань. Доведено базисність системи власних функцій. Отримано також асимптотичні формули для гілок власних значень.

Ключові слова: початково-крайова задача, диференціально-операторне рівняння, задача Коші, гільбертів простір, лінійний оператор, власні коливання, спектральна задача.



Soldatov M.A., Mathematical aspects oscillations theory of an fluid in а basin partially closed by ice. -- Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of physical and mathematical degree on the speciality 01.01.03 - mathematical physics. B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2003.

The dissertation deals with the investigation of the problems on small oscillations of an ideal fluid in а basin, partially closed by elastic and crumb ice. With usage functional analysis methods theorems on strong solvability of corresponding initial boundary value problems are proved.

The corresponding spectral problems are studied. Basis property of eigenfunctions system is proved. Asymptotic formulas are also investigated.

Key words: initial boundary value problem, operator-differential equation, Cauchy problem, Hilbert space, linear operator, eigen-oscillations, spectral problem.



Солдатов М.А. Математические аспекты теории колебаний жидкости в бассейне, частично покрытом льдом. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Физико-технический институт низких температур им. Б.И.Веркина НАН Украины, Харьков, 2003.

Диссертация посвящена исследованию задач о малых движениях и собственных колебаниях идеальной жидкости в бассейне, частично покрытом упругим и крошеным льдом. Получены формулировки начально-краевой задачи идеальной жидкости в произвольном бассейне с подвижной поверхностью, состоящей из участков упругого льда, крошеного льда и чистой воды. Эти формулировки приведены как в исходной постановке, содержащей поле скорости, поле давлений и поле вертикальных отклонений подвижной поверхности, так и в форме, содержащей потенциал скоростей. С использованием метода проектирования уравнений на подпространства ортогонального разложения гильбертова пространства вектор-функций, заданных в области, заполненной жидкостью, исходная начально-краевая задача приведена к окончательной форме, содержащей в качестве искомой функции лишь потенциал смещений. Приведена классификация всех возможных вариантов исследуемых задач на три уровня сложности, по принципу ”от простого к сложному”.

Разработан подход, основанный на применении теории операторных матриц, действующих в гильбертовом пространстве, и позволяющий перейти от исходной начально-краевой задачи к равносильной задаче Коши для дифференциально-операторного уравнения гиперболического типа специального вида. Для абстрактной формы этой задачи Коши доказана теорема о ее сильной разрешимости в энергетическом пространстве, отвечающем оператору кинетической энергии. Выбор вида абстрактной задачи определяется тем, что все задачи трех уровней сложности, рассмотренные в данной работе, сводятся к задаче такого вида. Отличие в задачах состоит в свойствах операторных коэффициентов, что приводит к различным условиям разрешимости эволюционных задач.

Для задач второго и третьего уровней сложности, когда на подвижной поверхности имеется не менее двух соприкасающихся сред, разработан метод проектирования граничных условий на ортогональные подпространства, естественно вводимые в каждой задаче. С использованием этого метода и теоремы разрешимости для абстрактной формы задачи Коши указанного вида доказаны теоремы о сильной (по времени) разрешимости начально-краевых задач.

Исследованы спектральные задачи о собственных колебаниях гидродинамической системы. Изучена структура спектра частот собственных колебаний. Доказана базисность системы собственных функций. Получены также асимптотические формулы для ветвей собственных значений.

Для задачи о малых движениях идеальной жидкости в бассейне, частично покрытом крошеным льдом и имеющем на подвижной поверхности участки чистой воды в соответствующей спектральной задаче доказаны свойство дискретности спектра с двумя предельными точками: в конечной точке положительной полуоси и на бесконечности. Получены асимптотические формулы для двух ветвей собственных значений с этими предельными точками, объяснен физический смысл этих ветвей. Доказано свойство ортогональной базисности системы собственных функций.

В проблеме малых движений идеальной жидкости в бассейне, частично покрытом упругим и крошеным льдом для соответствующей спектральной задачи доказано существование двух ветвей собственных значений. Установлено свойство базисности системы собственных функций, дано физическое объяснение полученным результатам.

В задаче о малых колебаниях идеальной жидкости в бассейне, частично покрытом упругим льдом и имеющим участки чистой воды, доказано, что соответствующая спектральная задача имеет дискретный спектр с одной предельной точкой на бесконечности, а система собственных функций образует ортогональный базис в энергетическом пространстве функций, описывающих отклонение подвижной поверхности, и отвечающем кинетической энергии системы.

Для задачи третьего уровня, когда на подвижной поверхности имеется упругий и крошеный лед, а также участки чистой воды, в спектральной задаче доказана дискретность спектра, существование двух ветвей собственных значений (с конечной предельной точкой на положительной полуоси и на бесконечности), свойство ортогональной базисности системы собственных функций. Дана общая физическая трактовка полученных результатов.

В проблеме о малых колебаниях идеальной жидкости в бассейне с подвижной поверхностью, состоящей из участков крошеного льда различной постоянной плотности и из участков чистой воды, установлено, что соответствующая спектральная задача имеет дискретный положительный спектр, состоящий из стольких ветвей собственных значений с предельными конечными точками на положительной полуоси, сколько имеется участков крошеного льда разной плотности, а также из ветви с предельной точкой на бесконечности. Установлено свойство ортогональной базисности системы собственных функций. Дано физическое объяснение результатов, полученных в спектральной задаче.

Ключевые слова: начально-краевая задача, дифференциально-операторное уравнение, задача Коши, гильбертово пространство, линейный оператор, собственные колебания, спектральная задача.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачі механіки суцільних середовищ і гідродинаміки завжди служили стимулом розвитку нових напрямів математики й математичної фізики.

Останні десятиріччя характеризуються проникненням методів функціонального аналізу в механіку суцільного середовища. У джерел цього процесу знаходилися Г. Вейль, Ж. Лере, С.Л.Соболєв, К.О.Фрідріхс. Надалі в розробку цих питань включився великий колектив вітчизняних і зарубіжних вчених.

Задачі про рух твердих тіл з порожнинами, наповненими рідинами, є класичними. Початок їх досліджень сходить до робіт Д. Стокса, Г. Гельмгольца, Г.Ламба, М.Є. Жуковського. Вивчення таких задач у другій половині XX ст. особливо привертає увагу як вітчизняних, так і зарубіжних вчених. Ці задачі пов'язані, зокрема, з розвитком ракетної та космічної техніки, з проблемами геології, геофізики, астрофізики, океанології і фізики атмосфери. У багатьох випадках математичні моделі таких проблем істотно нелінійні та піддаються дослідженню лише чисельними методами. Однак ряд цікавих і корисних задач можна розглядати в рамках лінійних моделей, що приводять до нетрадиційних початково-крайових задач. Це безумовно визначає самостійний математичний інтерес до таких проблем.

Однією з найважливіших складових загальної задачі динаміки тіла з порожниною, що містить рідину, є задача про рух рідини в нерухомій судині. Цій проблемі присвячено досить багато робіт, а також монографій відомих вчених (Н.Н.Моїсеєв, І.О.Луковський, М.Д.Копачевський, С.Г.Крейн та ін.).

Крижаний покрив є важливим компонентом гідрологічного режиму замерзаючих морів і океанів. Наявність плаваючого льоду на поверхні морів і океанів істотним чином впливає на характер їх поведінки. Розгляд таких проблем є одним з важливих розділів океанології, практична ефективність якого безперечна.

Розгляд задач динаміки рідини в областях з пружними кордонами (окремим випадком є пружний лід на поверхні рідини) проводився в роботах А.В. Андронова, М.Д. Копачевського, Р.Ю. Амен-заде, М.П. Петренко.

Близьку до задачі про динаміку рідини в областях, вкритих кришеним льодом, яка називається задачею про флотацію, досліджували С.О. Габов і О.Г. Свешников, а також А.С. Пітерс, Б.Н. Мандал. Досі дана область є недостатньо вивченою і, що стосується розгляду кінцевих областей, новою.

Дана робота присвячена вивченню задач динаміки рідини в басейні, частково вкритому пружним і кришеним льодом.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, що увійшли в дисертацію, пов'язані з такими плановими науковими дослідженнями кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.I. Вернадського: бюджетна тема "Математичний аналіз i його застосування" (1997-2000 рр., 2000-2005 рр.); бюджетна тема 0198U005792 "Операторнi методи в лiнiйнiй гiдродинамiцi й суміжні питання в теорії оператор-функцiй" (1996-2000 рр.); 0197000426 "Операторнi методи, аналіз в шкалах просторів та їх застосування в механіці суцільних середовищ" (1997-1999 рр.); 205/00 "Операторнi блок-матрицi й шкали й проблеми малих рухів суцільних середовищ" (2000-2002 рр.).

Мета роботи. Дослідження задач математичної фізики, породжених проблемою малих рухів рідини у басейні, частково вкритому пружним льодом і льодовою кригою. Вивчення питань сильної розв'язності відповідних початково-крайових задач. Дослідження проблеми власних коливань указаних гідросистем.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі розглянуто новий клас задач гідродинаміки та математичної фізики.

1) Для задач, коли на рухомій поверхні є не менш двох дотичних середовищ, розроблено метод проектування граничних умов на ортогональні підпростори, що природно вводяться в кожній задачі.

2) Розроблено підхід, що заснований на застосуванні теорії операторних матриць, які діють у гільбертовому просторі, і дозволяє перейти від вихідної початково-крайової задачі до рівносильної задачі Коші для диференціально-операторного рівняння гіперболічного типу спеціального виду.

3) Доведено теореми про сильну (за часом) розв'язність початково-крайових задач, коли на рухомій поверхні є тільки одне, а також два та всі три (пружний лід, кришений лід, чиста вода) середовища.

4) Досліджено структуру спектра частот власних коливань, отримано асимптотичні формули для гілок власних значень, доведено властивість ортогональної базисності власних функцій.

Практична цінність. Результати роботи мають теоретичний та практичний характер. Вони можуть бути використані в подальших дослідженнях різних задач гідродинаміки, зокрема, метод проектування граничних умов може застосовуватись у задачах, де на різних ділянках межі завдано різні умови.

Проведена в дисертації робота доповнює теорію хвильових процесів i може бути використана в подальших дослідженнях задач гідродинаміки. На основі одержаних результатів можуть бути проведені розрахунки частот i форм коливань досліджуваних гідродинамічних систем.

Особистий внесок здобувача.

Постановка задач i обговорення результатів належать М.Д. Копачевському, доведення всіх тверджень -- автору.

Апробація роботи. Результати дисертації докладалися на X, XI, XIII Кримських Осінніх Математичних Школах-симпозіумах зі спектральних і еволюційних задач (Севастополь, 1999, 2000, 2002 рр.), XXV - XXXI наукових конференціях професорсько-викладацького складу Сімферопольського державного університету -- нині Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського (Сімферополь, 1996-2002 рр.), на конференції з теорії операторів та її застосувань, присвяченій М.Г. Крейну (Одеса, 1997 р.), на семінарі відділу теорії хвиль Морського гідрофізичного інституту НАН України (Севастополь, зав. відділом чл.-корр. НАНУ Л.В. Черкесов, 2001 р.), на конференції з функціональному аналізу та його застосувань, присвяченій С.Банаху (Львів, 2002 р.), на семінарі "Математичні проблеми механіки та обчислювальної математиці" Інституту математики НАН України (під керівництвом академіка НАНУ І.О. Луковського, чл.-корр. НАНУ В.Л. Макарова, Київ, 2003 р.), на семінарі Фізико-технічного Інституту Низьких Температур НАН України (під керівництвом чл.-корр. НАНУ Е.Я. Хруслова, Харків, 2003 р.)

Структура i обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 206 сторінках i складається зі вступу, чотирьох розділів основного змісту, списку цитованої літератури (6 сторінок, 58 назв) i двох додатків (50 сторінок).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у п'яти статтях, в одному збірнику наукових праць та одній тезі.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ ДИСЕРТАЦIЇ

У вступі подається коротка історична довідка з кола питань, що мають відношення до теми роботи. Проведено огляд одержаних результатів, видiленi положення, що виносяться на захист. Нумерація тверджень у дисертації та авторефераті спільна.

У даній роботі при дослідженні коливань гідродинамічних систем систематично застосовуються методи функціонального аналізу, зокрема, методи теорії операторних блок-матриць, метод проектування рівнянь системи на підпростори ортогонального розкладання гільбертова простору, а також методи спектральної теорії операторних жмутків. При вивченні початково-крайових задач істотно використовуються методи теорії диференціальних рівнянь у часткових похідних і диференціально-операторних рівнянь у гільбертовому просторі.

У розділі 1 розглянута постановка задачі про малі рухи ідеальної рідини в басейні, частково вкритому пружним і кришеним льодом. Наведена початково-крайова задача про малі рухи цієї гідромеханічної системи в трьох постановках: у вихідній, що містить поле швидкостей, тиску та вертикальних відхилень рухомої поверхні, у проміжній, що містить потенціал поля швидкостей, і в підсумковій, що містить лише одну шукану функцію -- потенціал поля зміщень потенційних рухів рідини. Введена класифікація задачі за трьома рівнями складності. Розділ складається з параграфів 1.1 і 1.2.

Параграф 1.1 присвячений фізичній і математичній постановці задачі про малі рухи ідеальної рідини в басейні , частково вкритому пружним льодом (області ), кришеним льодом (області ), а також що має області рухомої поверхні без льоду (область ). Межа області складається з твердої стінки і рухомої поверхні (). Вводяться фізичні параметри, які визначають систему, такі як щільність рідини в області , поверхнева щільність пружного льоду і кришеного льоду, а також коефіцієнти жорсткості крижин . Малі рухи рідини описуються наступними функціями: -- поле малих швидкостей рідини, -- динамічний тиск, -- поле вертикальних відхилень рухомої поверхні від рівноважного стану.

Далі в цьому параграфі виводиться система рівнянь, початкових і граничних умов, яка описує малі рухи рідини, близькі до стану рівноваги. Вона має вигляд:



Тут - оператор потенційної енергії пружної частини системи, за допомогою білінійної форми якого в зручній формі записується закон балансу повної енергії для класичного розв'язку. Оператор діє згідно із законом

(2)

на (первинній у класичній постановці) області визначення

.

Тут - межа жорсткого закріплення (межа контакту пружного льоду з ),

,

,

де -- i-а координата одиничного вектора зовнішньої нормалі до межі , а -- так звана постійна Пуассона, що характеризує пружну пластинку, яка задовольняє нерівностям . Дослідження задачі в роботі проводиться за принципом "від простого до складного", в зв'язку з чим в параграфі 1.1 вводиться класифікація задачі за трьома рівнями складності: задачам першого рівня відповідають випадки, коли рухома поверхня є область лише одного типу (три задачі); до задач другого рівня належать задачі, коли на стикаються дві середи (три задачі); до третього рівня віднесена найбільш загальна задача, коли на є ділянка чистої води, пружного льоду і кришеного льоду: .

У параграфі 1.2 вводиться в розгляд простір , в якому проводиться дослідження задачі, а також його розкладання в ортогональну суму підпросторів:

, (6)

, , (7)

,

,

Далі в цьому параграфі після застосування методу проектування першого рівнянь системи (1) на підпростори ортогонального розкладання гільбертова простору початкова задача переформулюється в проміжну задачу для функцій -- потенціалу швидкостей, -- компонента поля тиску з підпростору і :

Далі задача (8) переформульована в початково-крайову задачу для однієї шуканої функції -- потенціал поля зміщень частинок рідини з підпростору , який визначається таким чином:



.

При цьому початково-крайова задача набуває вигляду:

У кінці параграфа вивчено властивості оператора потенційної енергії пружної частини системи.

Теорема 1.2.3 Оператор після його розширення за Фрідріхом -- необмежений самоспряжений додатно означений оператор з дискретним спектром, його спектр складається з скінченнократних додатних власних значень з граничною точкою , а власні функції утворять ортогональний базис у :

Обернений оператор є компактним і додатним у . Енергетичний простір оператора складається з тих елементів з , для яких кінцева квадратична форма , причому .

У розділі 2 розглянуто три задачі першого рівня з наведеної класифікації. Вивчено відповідні початково-крайові задачі, для всіх задач доведено теореми про сильну розв'язність. Досліджено також відповідні спектральні задачі. Розділ складається з параграфів 2.1-2.3.

Параграф 2.1 присвячений вивченню задачі про малі коливання ідеальної рідини в басейні з вільною поверхнею, тобто коли на рухомій поверхні немає ні пружного, ні кришеного льоду. Задача є класичною і досліджувалася раніше багатьма авторами. Однак нарівні з відомими фактами в даному параграфі отримано нові результати, пов'язані з умовами сильної розв'язності початково-крайової задачі.

С цією ціллю вихідна початково-крайова задача (10) для потенціалу зміщень , який є розв'язком задачі Неймана

(11)

(тут -- функція відхилень рухомої поверхні від її рівноважного положення), зведена в гільбертовому просторі до еквівалентної задачі Коші наступного вигляду:

(12)

де оператор є лінійним компактним самоспряженим додатним оператором, що діє в просторі .

Далі в цьому параграфі досліджена абстрактна задача Коші для лінійного диференціального рівняння другого порядку в довільному гільбертовому просторі наступного вигляду:

Тут -- простір лінійних обмежених операторів, що діють у просторі .

Означення 2.1.1. Будемо говорити, що функція , , є сильним розв'язком задачі Коші (13) зі значеннями в , якщо виконані наступні умови:

і ,

функція двічі неперервно диференційовна,

і виконано рівняння (13) при будь-якому .

Теорема 2.1.6. Якщо виконані умови

(15)

то задача Коші (13) має єдиний сильний розв'язок (зі значеннями в ) на відрізку .

Нарівні із задачею (13) виявляється також корисною задача вигляду

(16)

з тими ж умовами (14) на операторні коефіцієнти. Осібно вивчені окремі випадки задач (13) і (16), коли і . Для них отримано відповідні умови сильної розв'язності. Далі введене поняття узагальненого розв'язку задачі Коші (13) з неперервною повною енергією і отримано умови його існування.

Вибір абстрактної задачі у вигляді (13)-(14) визначається тим, що всі задачі трьох рівнів складності, розглянуті в даній роботі, зводяться до задачі такого вигляду. Відмінність в задачах складається у властивостях операторних коефіцієнтів, що приводить до різних умов розв'язності еволюційних задач. Однак схема дослідження зберігається і результати для абстрактних задач Коші (13) і (16) істотно використовуються надалі.

Означення 2.1.5. Сильним (за змінною ) розв'язком задачі (1) (для випадку поверхні рідини без льоду) на проміжку назвемо набір функцій , і , для яких виконані наступні умови: 1. , і при будь-якому справедливе перше рівняння (1); 2.

,

виконана гранична умова на :

;

4. виконані початкові умови (1).

.

Аналогічно вводяться означення сильних (за змінною ) розв'язків задач (10) і (8).

Теорема 2.1.16. Якщо виконані умови

, ,



, ,

о кожна із задач (10), (8) і (1) (випадок поверхні рідини без льоду) має єдиний сильний за розв'язок в значенні означення 2.1.5.

Для початково-крайової задачі (1) доведена також теорема про існування узагальненого розв'язку з неперервною повною енергією. Наведено прості достатні умови сильної розв'язності, в яких вказується гладкість початкового поля швидкостей і функції відхилень рухомої поверхні від її рівноважного стану, а також поля зовнішніх впливів.

Зауваження 2.1.17. Якщо виконані умови , ,

,

то задача (1) (випадок поверхні рідини без льоду) має єдиний сильний за розв'язок.

Далі розглянуто так звані нормальні коливання, тобто розв'язки задачі (12) (), що залежать від часу згідно із законом ( -- частота власних коливань). Як відомо, відповідна спектральна задача Стеклова

(17)

має дискретний додатний спектр , , з асимптотичною поведінкою



, (18)

при цьому система власних елементів , що відповідає власним значенням , утворює ортонормований базис у .

У параграфі 2.2 розглянуто задачу про малі коливання ідеальної рідини, вкритої пружним льодом. Пружний лід моделюється пружною пластинкою. Близька задача розглядалася раніше, наприклад, в монографії М.Д. Копачевського, С.Г. Крейна, Нго Зуй Кана. У даному параграфі нарівні з відомими фактами отримано умови сильної розв'язності початково-крайової задачі (1) в цьому випадку.

Тут задача (10) зведена до еквівалентної задачі Коші наступного вигляду:

(19)

Для оператора встановлено (лема 2.1.1), що він є додатно означеним необмеженим оператором у з компактним додатним оберненим. Оператор , як і в попередній задачі, є додатним і компактним.

Відповідна спектральна задача

(20)

має дискретний додатний спектр з граничною точкою і з асимптотичною поведінкою

, (21)



а система власних елементів утворює ортогональний базис в . Формула (21) не містить інформації, пов'язаної з наявністю рідини в контейнері, тобто великі за номером моди коливань рідини визначаються головним чином коливаннями пружної рухомої поверхні.

Теорема 2.2.5. Якщо виконані умови ,

,

то кожна із задач (10), (8) і (1) (випадок пружного льоду) має єдиний сильний за розв'язок.

Для початково-крайової задачі (1) в цьому випадку доведена теорема про існування узагальненого розв'язку з неперервною повною енергією.

Параграф 2.3 присвячений розгляду третьої задачі першого рівня, коли рухома поверхня повністю вкрита кришеним льодом. Під кришеним льодом тут розуміються вагомі частинки деякої речовини, які в процесі коливань поверхні один з одним не взаємодіють або їх взаємодія зневажливо мала. Перші дослідження задач подібного виду, пов'язані з вивченням явища флотації, проведені С.О. Габовим і О.Г. Свешниковим.

У даній роботі початкова задача зведена до рівносильної задачі Коші в гільбертовому просторі:

(22)



Тут оператор той, що і в (12) та (20).

Теорема 2.3.2. Нехай виконані умови

.

Тоді кожна із задач (10), (8) і (1) (випадок кришеного льоду) має єдиний сильний за розв'язок.

Ця теорема посилює відповідну теорему про розв'язність з роботи С.О. Габова і О.Г. Свешникова.

Відповідна спектральна задача має вигляд:

(23)

Доведено, що вона має дискретний додатний спектр з граничною точкою , а система власних елементів утворює ортогональний базис в . Показано, що наявність кришеного льоду на поверхні рідини породжує новий тип хвиль з частотами, близькими до частоти вільних коливань часток кришеного льоду на поверхні. Для цих хвиль встановлена асимптотична поведінка власних значень має вигляд

. (24)



У розділі 3 розглянуто три задачі другого рівня складності. Тут для отримання операторного диференційного рівняння виду (13) використано метод проектування граничних умов на підпростори спеціальним чином побудованого ортогонального розкладання гільбертова простору . Досліджені початково-крайові та спектральні задачі. Отримані достатні умови сильної розв'язності вихідної початково-крайової задачі. Розділ складається з параграфів 3.1-3.3.

У параграфі 3.1 розглянутий випадок, коли рідина вкрита кришеним льодом і є ділянки чистої води. Перші дослідження цієї задачі у проблемі флотації здійснені С.О. Габовим і О.Г. Свєшниковим. В цієї роботі для отримання операторного диференційного рівняння виду (13) застосований новий підхід -- граничні умови на рухомій поверхні проектуються на підпростори ортогонального розкладання :

, , (25)

, (26)

, (27)

де функція відхилення рухомої поверхні від її рівноважного стану представлена у вигляді пари функцій: , и . (Зазначимо, що ортогональне розкладання (25) природним чином пристосоване до застосування методу ортогонального проектування для вихідної задачі, тобто для випадку, коли на різних ділянках рухомої межі задані різні граничні умови.)

Операторне рівняння задачі тут має вигляд

(28)



де , -- це операторні блок-матриці. Для виводу рівняння (28) розглядаються три допоміжні задачі для потенціалу зміщення, пов'язані з проектуванням граничних умов на поверхні .

Доведено, що -- самоспряжена компактна і додатна операторна матриця, що діє в просторі . Оператор -- самоспряжений обмежений і невід'ємний (з нескінченновимірним ядром).

З застосуванням методу операторних блок-матриць, а також загальної схеми розгляду еволюційних задач, яка викладена в параграфі 2.1, доведено теореми про сильну розв'язність задачі (28) (теорема 3.1.5) і вихідної початково-крайової задачі:

Гілці власних значень з граничною точкою відповідає інший тип хвиль, зумовлених наявністю кришеного льоду на поверхні. Ці власні значення мають асимптотичну поведінку

. (31)

Сукупність всіх власних елементів утворює ортогональний базис в просторі .

Наявність рухомих поверхонь двох типів, а саме області з кришеного льоду і області поверхні рідини без льоду, приводить до появи двох гілок частот власних коливань з поведінкою, характерною для кожної з поверхонь окремо.

У параграфі 3.2 розглянута задача, коли рідина повністю вкрита пружним і кришеним льодом. Для отримання операторного рівняння цієї задачі, як і раніше, використовується метод ортогонального проектування граничних умов на рухомій поверхні на підпростори ортогонального розкладання



, (32)

, (33)

, (34)

а для підпросторудоведено, що воно є одномірним.

Операторне рівняння задачі в цьому випадку має вигляд

(35)

Тут , , -- це операторні блок-матриці. Досліджено властивості цих операторів. Доведено, що -- самоспряжена компактна і додатна операторна матриця, що діє в просторі . Оператор є необмеженим самоспряженим додатно означеним оператором з обмеженим додатним оберненим. Оператор є обмеженим додатно означеним оператором.

Для виводу (35) розглядаються дві допоміжні задачі для потенціалу зміщення, пов'язані з проектуванням граничних умов на поверхні .

Далі в параграфі досліджена відповідна спектральна задача

(36)

На основі властивостей операторів задачі показано, що задача (36) має дискретний додатний спектр, який складається з двох гілок власних значень з граничними точками на нескінченності і в точці . Доведена базисность сукупності всіх власних елементів задачі (36) в просторі .

Отримано також достатні умови сильної розв'язності задачі (35) (теорема 3.2.8) і вихідної початково-крайової задачі про малі рухи рідини в басейні, повністю вкритому пружним і кришеним льодом (теорема 3.2.9).

У параграфі 3.3 розглянута остання із задач другого рівня складності, коли рідина частково вкрита пружним льодом і є області поверхні рідини без льоду. Близька задача про коливання рідини в частково заповненому контейнері з пружним днищем розглядалася М.Д. Копачевським, С.Г. Крейном, Нго Зуй Каном в їх монографії. Однак питання про сильну розв'язність еволюційної задачі там не розглядалося.

З використанням методу ортогонального проектування граничних умов на рухомій поверхні і введенням двох допоміжних задач для потенціалу зміщень вихідна початково-крайова задача зводиться до рівносильної задачі Коші

(37)

Доведено наступні леми про властивості операторних блок-матриць: -- самоспряжена компактна і додатна операторна матриця, що діє в просторі ; оператор є необмеженим самоспряженим додатно означеним оператором з обмеженим додатним оберненим; оператор є обмеженим і невід'ємним оператором (з нескінченновимірним ядром).

Далі доведено, що відповідна спектральна задача

(38)

має дискретний додатний спектр з граничною точкою на нескінченності. Доведена також ортогональна базисность сукупності всіх власних елементів задачі в просторі .

Із застосуванням загальної схеми розгляду еволюційних задач, яка викладена в параграфі 2.1, доведено теореми про сильну розв'язність задачі (37) (теорема 3.3.8) і вихідної початково-крайової задачі (теорема 3.3.10).

У розділі 4 розглядається найбільш загальний випадок, коли на поверхні рідини є області кришеного і пружного льоду, а також ділянки поверхні рідини без льоду. Вивчено також випадок, коли на рухомій поверхні є ділянки кришеного льоду різної постійної щільності. Для кожного випадку досліджено відповідні еволюційні і спектральні задачі. Розділ складається з параграфів 4.1-4.2.

У параграфі 4.1 розглянута задача, коли рухома поверхня складається з трьох областей: поверхні рідини без льоду , ділянки пружного льоду і ділянки кришеного льоду . Для застосування методу ортогонального проектування граничних умов на рухомій поверхні в цьому випадку використовується розкладання на три підпростори:

(39)

, (40)

, (41)

, (42)

де функція відхилення рухомої поверхні від її рівноважного стану зображена у вигляді трійки функцій , , Доведено, що є двомірний підпростір (лема 4.1.1).

Після проектування граничних умов на підпростори , і , вихідна початково-крайова задача була зведена в гільбертовому просторі до еквівалентної задачі Коші наступного вигляду:

(43)

Для виводу (43) розглядаються три допоміжні задачі для потенціалу зміщення, пов'язані з проектуванням граничних умов на поверхні на підпростори . Для операторних коефіцієнтів доведено наступні властивості: -- самоспряжена компактна і додатна операторна матриця, що діє в просторі ; оператор є обмежений невід'ємний оператор (з нескінченновимірним ядром); оператор є необмеженим самоспряженим додатно означеним оператором з обмеженим додатним оберненим.

Далі досліджена відповідна спектральна задача

(44)

Теорема 4.1.9. Задача (44) має дискретний додатний спектр з двома граничними точками на нескінченності і в точці . Сукупність всіх власних елементів задачі утворює ортогональний базис в просторі і за формою оператору :

, .

У параграфі 4.2 вивчено одне з узагальнень задачі параграфа 3.1, а саме, досліджено випадок, коли на рухомій поверхні рідини є декілька (а саме ) областей кришеного льоду різної постійної щільності.

Для цієї задачі отримано систему рівнянь, граничних і початкових умов для потенціалу зміщень , яка описує малі рухи рідини в басейні.

Для отримання операторного рівняння задачі розглядається ортогональне розкладання простору

на підпростори:

. (45)



Тут підпростори визначаються таким чином. Функцію відхилення рухомої поверхні від її рівноважного стану розглядаємо у вигляді набору функцій, заданих на відповідних областях і , , де , , ; при цьому

,

.

Для підпростору доведено (лема 4.2.1), що воно є -мірним підпростором простору .

Операторне рівняння задачі тут має вигляд

(46)

Оператор -- самоспряжений компактний і додатний оператор, що діє в просторі . Оператор -- самоспряжений обмежений і невід'ємний.

Спектральна задача, відповідна задачі Коші (46), має наступний вигляд:

(47)

Теорема 4.2.6. Задача (47) має дискретний додатний спектр, що складається з гілок власних значень з граничними точками на нескінченності і в точках , . Сукупність всіх власних елементів оператора утворює ортогональний базис в просторі .

Наявність на поверхні рідини областей кришеного льоду різної щільності приводить до наявності нового типу хвиль з частотами, близькими до частот вільних коливань частинок кришеного льоду для кожної з областей.



ВИСНОВКИ

У роботі розглянуто новий клас задач гідродинаміки та математичної фізики. Основні результати, що одержані в дисертації і виносяться на захист, такі:

1) Отримано формулювання початково-крайової задачі ідеальної рідини в довільному басейні з рухомою поверхнею, що складається з ділянок пружного льоду, кришеного льоду і чистої води. Ці формулювання наведено як в початковій постановці (див. (1)), що містіть поле швидкості, поле тиску і поле вертикальних відхилень рухомої поверхні, так і в формі, що містить потенціал швидкостей (див. (8)), а також в остаточній формі, що містить за шукану функцію лише потенціал зміщень (див. (10)). Наведено класифікація всіх можливих варіантів досліджуваних задач на три рівні складності, за принципом "від простого до складного".

2) Для задач другого і третього рівнів складності, коли на рухомій поверхні є не менш двох дотичних середовищ, розроблено метод проектування граничних умов на ортогональні підпростори, що природно вводяться в кожній задачі.

3) Розроблено підхід, що заснований на застосуванні теорії операторних матриць, що діють у гільбертовому просторі, і дозволяє перейти від вихідної початково-крайової задачі до рівносильної задачі Коші для диференціально-операторного рівняння гіперболічного типу спеціального виду. Для абстрактної форми цієї задачі Коші доведено теорему про її сильну розв'язність в енергетичному просторі, що відповідає оберненому оператору кінетичної енергії.

4) Для задач першого рівня складності, коли на рухомій поверхні є або чиста поверхня, або кришений лід, або пружний лід, доведено теореми про сильну (за часом) розв'язність початково-крайових задач у трьох формулюваннях. У спектральній задачі про власні коливання рідини в басейні з кришеним льодом на рухомій поверхні доведено теореми про дискретність спектра, про існування кінцевої граничної точки спектра, про асимптотичну поведінку власних значень, а також властивість ортогональної базисності власних функцій. Пояснено фізичне значення кінцевої граничної точки.

5) У задачі про малі рухи ідеальної рідини в басейні, що частково вкритий кришеним льодом і має на рухомій поверхні ділянки чистої води, доведено теореми про сильну (за часом) розв'язність початково-крайової задачі в трьох постановках. У відповідній спектральній задачі доведено властивість дискретності спектра з двома граничними точками: в кінцевій точці додатної півосі і на нескінченності. Отримано асимптотичні формули для двох гілок власних значень з цими граничними точками, пояснено фізичне значення цих гілок. Доведено властивість ортогональної базисності системи власних функцій.

6) У проблемі малих рухів ідеальної рідини в басейні, частково вкритому пружним і кришеним льодом, доведено теореми про сильну (за часом) розв'язність початково-крайових задач (у трьох формулюваннях). У спектральній задачі доведено існування двох гілок власних значень. Встановлено властивість базисності системи власних функцій.

7) У задачі про малі коливання ідеальної рідини в басейні, що частково вкритий пружним льодом і має ділянки чистої води, доведено теорему про сильну (за часом) розв'язність початково-крайових задач у трьох формулюваннях. Доведено, що відповідна спектральна задача має дискретний спектр з однією граничною точкою на нескінченності, а система власних функцій утворює ортогональний базис в енергетичному просторі функцій, які описують відхилення рухомої поверхні, і що відповідає кінетичній енергії системи.

8) Для задачі третього рівня, коли на рухомій поверхні є пружний і кришений лід, а також ділянки чистої води, доведено існування сильного (за часом) розв'язку початково-крайової задачі (в трьох формулюваннях). У спектральній задачі доведено дискретність спектра, існування двох гілок власних значень (з кінцевою граничною точкою на додатної півосі та на нескінченності), властивість ортогональної базисності системи власних функцій. Подано загальне фізичне трактування отриманих результатів.

9) У задачі про малі коливання ідеальної рідини в басейні з рухомою поверхнею, що складається з ділянок кришеного льоду різної постійної щільності і з ділянок чистої води, доведено теорему про сильну (за часом) розв'язність початково-крайової задачі. У спектральній задачі встановлено, що вона має дискретний додатний спектр, що складається зі стількох гілок власних значень з граничними кінцевими точками на додатної півосі, скільки є ділянок кришеного льоду різної щільності, а також з гілки з граничною точкою на нескінченності. Встановлено властивість ортогональної базисності системи власних функцій. Подано фізичне пояснення результатів, отриманих в спектральній задачі.



ПУБЛІКАЦІЇ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. [1] Солдатов М.А. Колебания жидкости в бассейне, частично покрытом льдом // Ученые записки СГУ. -- 2000. -- Т. 12, н. 2. -- С. 80-83.

2. [2] Солдатов М.О. Малі рухи ідеальної рідини в басейні, покритому льодом // Київ, Вісник Київського Університету. -- 2000. -- Вип. 1. -- С. 140-144.

3. [3] Солдатов М.О. Про спектр частот власних коливань ідеальної рідини в басейні, покритому льодом // Київ, Вісник Київського Університету. -- 2000. -- Вип. 2. -- С. 131-135.

4. [4] Солдатов М.О. Про асимптотику частот власних коливань ідеальної рідини в басейні, частково вкритому кришеним льодом // Київ, Вісник Київського Університету. -- 2000. -- Вип. 4. -- С. 112-116.

5. [5] Солдатов М.О. Про одну спектральну задачу, породжену проблемою коливань ідеальної рідини в басейні, покритому льодом // Київ, Вісник Київського Університету. -- 2001. -- Вип. 1. -- С. 173-177.

6. [6] Soldatov M.A. Oscillations of an ideal fluid in a basin partially closed by ice // Mark Krein Intern. Conference. Operator Theory and Appl. Book of Abstracts. -- August 18-22, 1997, Odessa, Ukraine. -- P. 111-112.

7. [7] Soldatov M. Small movements and proper oscillations of an ideal fluid in a basin partially closed by ice // Intern. Conference on Functional Analysis and its Applications. Book of Abstracts. -- May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine. -- P. 191.

Размещено на Allbest.ru

...