Чисельне моделювання динамічної поведінки тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача при нестаціонарних навантаженнях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київ 2003

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С.П. ТИМОШЕНКА НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

УДК 539.3

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІЧНОЇ ПОВЕДІНКИ ТРИШАРОВИХ ОБОЛОНОК ОБЕРТАННЯ З ВРАХУВАННЯМ ДИСКРЕТНОСТІ НАПОВНЮВАЧА ПРИ НЕСТАЦІОНАРНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

ШТАНЦЕЛЬ Сергій Едуардович

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка Національної академії наук України.

Науковий керівник - доктор фізико - математичних наук, професор Мейш Володимир Федорович, Провідний науковий співробітник Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України

Офіційні опоненти - доктор технічних наук, професор Заруцький Володимир Олександрович, завідувач відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України

кандидат технічних наук Соловйов Ігор Леонідович, асистент кафедри вищої математики Національного транспортного університету

Провідна установа: Інститут проблем міцності НАН України

Захист відбудеться “10”червня 2003 року о 12³⁰ годині на засіданні спеціалізованої Вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка Національної академії наук України за адресою: 03057, м.Київ-57, вул. Нестерова, 3, ауд. 201.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту механіки Національної академії наук України.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Д26.166.01 О.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Тонкостінні шаруваті елементи конструкцій у вигляді пластинок і оболонок різноманітної форми знаходять широке застосування в машинобудуванні, промисловому та громадському будівництві, авіаційній та космічній техніці, суднобудуванні. Значне поширення отримали тришарові оболонкові елементи, які складаються з двох несучих шарів та заповнювача, який забезпечує їх сумісну роботу. В ряді випадків заповнювач має дискретну структуру, що ускладнює розрахунок вказаних оболонкових елементів, зокрема при нестаціонарних навантаженнях. При розрахунку на міцність тришарових оболонкових структур з дискретним заповнювачем при динамічних навантаженнях виникає необхідність визначити напружено-деформівний стан як в області різкої зміни геометрії конструкції, так і на значній віддалі від неоднорідності. При цьому, однією з особливостей досліджуваного процесу являється хвильова природа і розподіл полів фізико-механічних параметрів у всій системі. Складність процесів, що при цьому виникають обумовлює необхідність застосування сучасних чисельних методів розв'язку динамічних задач поведінки тришарових оболонкових елементів з дискретним заповнювачем. У зв'язку з цим, визначення напружено-деформованого стану тришарових оболонок з дискретним наповнювачем при нестаціонарних навантаженнях і розвиток ефективного чисельного методу розв'язування задач даного класу являє собою актуальну задачу механіки деформівного твердого тіла. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження за темою дисертації проводилися згідно державної теми НДР по проекту № 01.07/00063 “Комп'ютерне моделювання розповсюдження ударних хвиль в шаруватих анізотропних структурах” згідно наказу Міносвіти і науки України від 20.07.2001 р. № 537. Мета і задачі дослідження полягають у вивченні нестаціонарних коливань тришарових оболонок з дискретним наповнювачем і включають:

– постановку динамічних задач тришарових оболонок з дискретним наповнювачем та вивід варіаційним способом рівнянь коливань та природних граничних умов;

– розвиток ефективного чисельного методу розв'язування задач нестаціонарних коливань тришарових оболонок з дискретним наповнювачем;

– розв'язування на основі розвинутого методу задач динамічної поведінки тришарових оболонок з дискретним наповнювачем при нестаціонарних навантаженнях та аналіз характерних закономірностей хвильових процесів в неоднорідних оболонкових структурах.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є тришарові оболонки обертання з врахуванням дискретності ребристого наповнювача.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є осесиметричні та неосесиметричні коливання тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача при дії на них нестаціонарних навантажень.

Методи дослідження. В основу покладено співвідношення теорії тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача, що базуються на гіпотезах геометрично нелінійної теорії оболонок та стержнів типу Тимошенка. Основою розробленої чисельної методики дослідження нестаціонарних коливань є застосування явних скінченно-різницевих схем до розв'язування вихідних диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Наукова новизна одержаних результатів полягає

– в постановці двовимірних динамічних задач теорії тришарових оболонок з дискретним наповнювачем в рамках теорії оболонок і стержнів типу Тимошенка;

– в розвитку ефективного чисельного методу розв'язування задач нестаціонарних коливань тришарових пружних структур з дискретним ребристим наповнювачем;

– вперше розв'язано одновимірні та двовимірні нестаціонарні задачі теорії тришарових оболонок з дискретним наповнювачем в широкому діапазоні зміни геометричних та фізико-механічних параметрів елементів неоднорідних пружних структур при різних видах граничних умов та типах нестаціонарного навантаження і виявленні характерних закономірностей, що присутні при дослідженні хвильових процесів у вказаних об'єктах.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені методики, алгоритми та програми розрахунку розв'язку задач та одержані результати дослідження нестаціонарних коливань тришарових оболонок з дискретним наповнювачем можуть бути використані в науково-дослідних організаціях та конструкторських бюро при проектуванні тришарових елементів конструкцій за умов нестаціонарного навантаження, для проведення розрахунків з оцінки меж міцності елементів конструкцій, для оцінки меж застосування більш простих теорій.

Достовірність одержаних в роботі результатів визначається коректністю постановок задач; контрольованою точністю числових розрахунків; відповідністю встановлених закономірностей загальним властивостям коливань тонкостінних елементів конструкцій.

Апробація результатів дисертації. Викладені в роботі результати були обговорені на наукових конференціях та семінарах:

– ІІ Всеукраїнська молодіжна науково-практична конференція з міжнародною участю “Людина і космос” (Дніпропетровськ, 2000);

– Наукова конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2000);

– УІІІ Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2000);

– ІІІ Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос” (Дніпропетровськ, 2001);

– Всеукраїнська наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ, 2001);

– International Conference. Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation (Kyiv, 2001);

– ІV Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос” (Дніпропетровськ, 2002).

Окремі положення дисертації, а також дисертація в цілому доповідалися на семінарах відділу динаміки та стійкості механіки суцільних середовищ Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2002-2003), на семінарі за науковим напрямком “Механіка композитних та неоднорідних середовищ” Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2003); на об'єднаному семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки та кафедри вищої математики Національного транспортного університету Міністерства освіти та науки України (Київ, 2003).

Публікації. По матеріалах дисертації опубліковано 12 наукових робіт [1-12], серед яких статті [1-5] опубліковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України.

Особистий внесок здобувача. В дисертаційній роботі особисто автору належать вивід рівнянь коливань, розробка методів їх розв'язання, створення алгоритмів і програм, проведення чисельних розрахунків на ПК і аналіз отриманих результатів. В статтях написаних у співавторстві з науковим керівником професором В.Ф. Мейшем [1, 3 - 8, 10, 11], співавтору належить загальний задум проведення досліджень, загальна постановка диференціальних задач, обговорення і аналіз отриманих результатів; в роботі [1] доценту А.П.Мукоєду належить обговорення та аналіз отриманих результатів. Структура роботи та осяг дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літературних джерел. Повний обсяг дисертації становить - 158 сторінок, серед яких 26 сторінок займають 26 рисунків, список літературних джерел із 125 найменувань розташовано на 14 сторінках. Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору В.Ф. Мейшу за постійну увагу, допомогу та корисні поради при написанні дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі характеризується сучасний стан проблеми, яка розглядається в дисертаційній роботі, обґрунтовується актуальність вибраної теми. Сформульовано мету та задачі дослідження, розкривається наукова новизна та практичне значення одержаних результатів.

В першому розділі подано огляд досліджень з механіки шаруватих оболонок. В даній роботі розглядаються тришарові оболонки з врахуванням дискретності ребристого наповнювача при вимушених динамічних навантаженнях. Відомо, що при побудові варіантів багатошарових оболонок існує два основних підходи використання математичної моделі, які базуються на застосуванні гіпотез до всього пакету і гіпотез, які враховують кінематичні і статичні гіпотези до кожного шару. Очевидно, що оболонки з врахуванням дискретності наповнювача можна віднести до другого підходу побудови моделей багатошарових оболонок. З іншого боку, ці неоднорідні оболонкові структури з врахуванням дискретності ребристого наповнювача можна розглядати як оболонки з дискретним розміщенням ребер. Виходячи з цього, при розгляді сучасного стану теорії і чисельного дослідження тришарових оболонок акцентується увага як на сучасних теоріях багатошарових оболонок, так і на теоріях дискретно підкріплених оболонок.

Важливу роль у розробці теорії багатошарових оболонок і розв'язанні задач їх коливань внесли С.О.Амбарцумян; Н.А.Алфутов, П.А.Зиновьєв, Б.Г.Попов; В.А.Баженов, Е.А.Гоцуляк, О,В.Гондлях, В.І.Гуляєв, О.І.Оглобля, О.С.Сахаров; В.В.Болотін, Ю.М.Новічков; В.В.Васильєв; І.І.Ворович; Е.І.Григолюк, Ф.А.Коган, Г.М.Куліков, П.П.Чулков; Я.М.Григоренко, А.Т.Василенко; О.М.Гузь, А.Е.Бабаєв, В.Д.Кубенко; М.А.Ільгамов, В.А.Іванов, Б.В.Гулін; В.Г.Карнаухов; В.І.Корольов; Б.Л.Пелех; В.Г.Піскунов, В.Є.Веріженко; О.О.Рассказов, І.І.Соколовская, М.О.Шульга; Р.Б.Рікардс, Г.А.Тетерс; О.Ф.Рябов; Л.П.Хорошун; A.K.Noor; J.N.Reddy; Y.C.Wu, T.Y.Yang; O.C.Zienkiewicz та інші вітчизняні та зарубіжні дослідники.

Найбільш повно сучасний стан досліджень в області динаміки підкріплених оболонок викладено в монографіях та оглядових роботах І.Я.Аміро, В.О.Заруцького, В.Г.Паламарчука. Згідно вказаних робіт, практична більшість досліджень проводилася з використанням розрахункової схеми, що грунтується на рівняннях прикладної теорії оболонок Кірхгофа-Лява і теорії стержнів Кігхгофа-Клебша. В основному розглянуто задачі на власні коливання. Вимушені коливання підкріплених оболонок розглядаються при гармонічних навантаженнях. Задачі динамічної поведінки підкріплених оболонок в рамках класичної теорії при нестаціонарних навантаженнях розглянуто в роботах А.Е.Богдановича, Т.Б.Кошкіної, О.К.Мишонкова. Застосування моделі оболонок і стержнів типу Тимошенка в задачах підкріплених оболонок з врахуванням дискретності розміщення ребер розглянуто в роботах П.З.Лугового, В.Ф.Мейша (чисельне моделювання осесиметричних та неосесиметричних коливань підкріплених оболонок обертання при нестаціонарних навантаженнях в лінійній та геометрично нелінійній постановках); Л.Г.Романенка, І.Т.Філіпова, Є.Т.Янютіна (чисельно-аналітичні розв'язки задач динамічної поведінки дискретно підкріплених циліндричних та сферичних оболонок).

В більшості робіт розглядаються задачі статичного або квазістатичного деформування неоднорідних оболонкових структур. Публікації присвячені вивченню динамічних процесів в неоднорідних оболонках в літературі зустрічаються значно менше і в основному в них розглядаються усталені коливання.

Таким чином, наведений аналіз дослідження нестаціонарних коливань неоднорідних шаруватих оболонок обертання показав, що задача вивчення вимушених осесиметричних та неосесиметричних коливань тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача при нестаціонарних навантаженнях, як з теоретичної так і з прикладної точки зору, являється актуальною.

В другому розділі викладені рівняння коливань тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача. Тришарова оболонка з врахуванням дискретності внутрішньо-го наповнювача представляє собою пружну структуру, яка складається з внутрішньої та зовнішньої обшивок і набору ребер, що жорстко з'єднані з вказаними обшивками. Схематичне зображення елемента вказаної структури представлено на рис.1. Приймається, що напружено-деформований стан обшивок може бути визначений в рамках геометрично нелінійної теорії оболонок типу Тимошенка в квадратичному наближенні. Для розрахунку ребер приймається геометрично нелінійний варіант теорії стержнів Тимошенка.

Деформований стан внутрішньої і зовнішньої обшивок може бути визначений через компоненти узагальнених векторів переміщень відповідних серединних поверхонь - і Деформований стан ребра, направленого вздовж вісі , будемо визначати вектором переміщення лінії центру ваги поперечного зрізу . Відповідно ребра, направленого вздовж вісі - вектором

Для виводу рівнянь коливань тришарової пружної структури з дискретним наповнювачем використовується варіаційний принцип стаціонарності Гамільтона-Остроградського, згідно якого

(1)

де К - повна кінетична енергія пружної системи, П- повна потенціальна енергія пружної системи, А- робота зовнішніх сил, і - фіксовані моменти часу.

При виводі рівнянь коливань тришарових оболонок з врахуванням дискретності ребристого наповнювача незалежному варіюванню підлягають компоненти узагальнених векторів обшивок , та компоненти узагальнених векторів переміщень лінії центру ваги поперечного зрізу відповідно повздовжнього дискретного наповнювача і поперечного дискретного наповнювача

Після стандартних перетворень в варіаційному рівнянні (1), з врахуванням інтегральних характеристик напружень для відповідних обшивок та ребер і співвідношень деформації - переміщення, отримано чотири системи рівнянь:

- рівняння коливань внутрішньої і зовнішньої гладких оболонок;

– рівняння коливань і-го ребра, направленого вздовж вісі ;

– рівняння коливань j-го ребра, направленого вздовж вісі .

Зв'язок між компонентами векторів переміщень, що описують напружено-деформований стан обшивок, і відповідними величинами узагальнених векторів переміщень елементів наповнювача представлено згідно наступних формул, зокрема для обшивок і повздовжніх ребер

(2)

В співвідношеннях (2) ; - висоти і-го елемента дискретного наповнювача; - товщини обшивок, - координатна лінія проектування центрів ваги поперечного зрізу і-го повздовжнього дискретного елемента наповнювача, направленого вздовж вісі на відповідну серединну поверхню обшивки. Аналогічно записуються умови контакту для відповідних обшивок і поперечних ребер.

Рівняння коливань неоднорідної пружної структури доповнюються природними граничними і початковими умовами, що витікають з варіаційного принципу (1).

В тpетьому розділі pозглядаються чисельні алгоpитми pозв'язування нестаціонаpних динамічних задач для тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача. Чисельний алгоpитм pозв'язування нестаціонаpних задач теоpії неоднорідних тришарових оболонок гpунтується на застосуванні інтегро - інтерполяційного методу побудови скінченно - різницевих схем по просторовим координатам та явній скінченно-pізницевій схемі типу "хpест" по часовій координаті. В силу вихідної постановки задач шукається чисельний розв'язок в гладкій області пружної структури (для обшивок між дискретними елементами заповнювача) та на лініях просторових розривів (для відповідних елементів заповнювача).

Кожна група рівнянь для елементів неоднорідної пружної структури представляє собою дві системи рівнянь. Одна з них являє собою pівняння коливань елементів тришарових оболонок (для обшивок, повздовжніх та поперечних елементів заповнювача), дpуга - співвідношення узагальненого закону Гука для кожного з вказаних елементів. Пеpехід від непеpеpвної системи pівнянь до скінченно-pізницевої виконується в два етапи. Пеpший етап полягає в скінченно-pізницевій апpоксимації дивеpгентних pівнянь коливань в зусиллях-моментах, що базується на застосуванні інтегpо-інтеpполяційного методу апpоксимації pівнянь коливань. Дpугий етап апpоксимації pівнянь полягає у вибоpі енеpгетично погоджених скінченно-pізницевих апpоксимацій величин зусиль-моментів і відповідних величин дефоpмацій, щоб виконувався скінченно-pізницевий аналог енеpгетичного pівняння.

В цьому розділі представлені алгоритми розв'язку задач осесиметричних коливань для тришарових циліндричних оболонок та оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача при нестаціонарних навантаженнях. Виходячи з того, що явні скінченно-різницеві схеми є умовно стійкими, то для випадку циліндричних оболонок проведено дослідження стійкості відповідних різницевих рівнянь і отримано необхідну умову стійкості скінченно-різницевих рівнянь. Випадок неосесиметричних коливань розглянуто для циліндричних оболонок з врахуванням повздовжньо-поперечного дискретного наповнювача. Відповідно побудовано алгоритми знаходження розв'язку в гладкій області серединних поверхонь обшивок та алгоритми для знаходження розв'язку по лініям просторових розривів (лінії центру ваги поперечного перерізу повздовжніх та поперечних дискретних елементів наповнювача). Для цього випадку проведено дослідження на стійкість різницевих рівнянь та отримано необхідну умову стійкості.

В четвертому розділі приведено розв'язки конкретних задач динамічної поведінки тришарових оболонок різної геометрії при нестаціонарних навантаженнях та досліджено закономірності протікання хвильових процесів в оболонкових структурах з врахуванням дискретності ребристого наповнювача. Викладено результати і аналіз чисельного розв'язку задач осесиметричних коливань тришарових оболонок обертання (циліндричних, сферичних та конічних) при нестаціонарних навантаженнях. Розглянуто задачі динамічного деформування циліндричних оболонок при різних граничних умовах (випадок жорсткого закріплення торців оболонки при внутрішньому осесиметричному розподіленому навантаженні та випадок коли до вільного краю прикладається повздовжнє крайове навантаження). Проведено порівняння чисельних результатів коливань циліндричних оболонок згідно викладеної в дисертації теорії з результатами згідно конструктивно ортотропної моделі тришарових оболонок. Розглядалася задача динамічної поведінки тришарової циліндричної оболонки з наповнювачем, який представляє собою набір дискретних кільцевих ребер, при внутрішньому нормальному осесиметричному імпульсному навантаженні згідно рівнянь коливань з врахуванням дискретності наповнювача та рівнянь коливань згідно конструктивно-ортотропної теорії тришарових циліндричних оболонок. Покладалося, що краї оболонок жорстко защемлені. Початкові умови нульові.

Осесиметричні коливання тришарових циліндричних оболонок згідно вказаних теорій розглядалася при наступних геометричних та фізико-механічних параметрах

Па; кг/м³.

Нормальне імпульсне навантаження задавалося у вигляді

,

де - амплітуда навантаження; - тривалість навантаження. В розрахунках покладалося Па; с. Підкріплюючі елементи розташовані в точках , , . Отримані чисельні результати дозволяють характеризувати напружено - деформований стан тришарової пружної структури циліндричного типу в будь-який момент часу на досліджуваному часовому інтервалі згідно вищевказаних постановок. Розрахунки проводилися в інтервалі часу . Зокрема, на рис. 2 приведені залежності величин прогину від просторової координати х в моменти часу (момент досягнення величиною максимального значення в інтервалі розрахунку по часу ). Крива з індексом 1 відповідає теорії з дискретним розміщенням ребер (внутрішній шар), з індексом 2 - (зовнішній шар), з індексом 3 - конструктивно-ортотропній теорії тришарових оболонок з наповнювачем. Згідно приведених чисельних даних спостерігається якісна і кількісна різниця в отриманих результатах. Врахування дискретності розміщення ребер (на рисунках це точки з'єднання кривих з індексом 1 і 2) приводить до більш густого хвилеутворення величини по довжині конструкції. Розрахунки згідно конструктивно ортотропної моделі дають деякі інтегральні криві, які знаходяться в межах зміни величин внутрішнього і зовнішнього шарів згідно теорії з врахуванням дискретності ребер. Аналізуючи кількісний характер приведених результатів бачимо, що розходження по максимальним величинам згідно приведених теорій сягає до 40%.

Розглядалася динамічна поведінка незамкнених з вільним отвором тришарових напівсферичних оболонок при внутрішньому розподіленому навантаженні . Покладалося, що один край оболонки при вільний, а інший край оболонки при защемлений. Граничні умови для вільного края при мають наступний вигляд - Для випадку жорсткого защемлення при покладалося Нестаціонарне імпульсне навантаження задавалося у вигляді

деформований тришаровий оболонка навантаження

 ,

де - амплітуда навантаження, - тривалість навантаження. В розрахунках покладалося Па; с. Покладалося, що обшивки виготовлені з ортотропного матеріалу. Розрахунок проводився при наступних геометричних та фізико - механічних параметрах:

Па;

Па; кг/м³,

Дискретні підкріплюючі елементи розташовані в точках

,

Отримані чисельні результати дозволяють проводити аналіз напружено-деформованого стану тришарової пружної структури сферичного типу в довільний момент часу (розрахунки проводилися на часовому інтервалі ) згідно приведеної постановки задачі. Зокрема, на рис. 3 приведено залежності величин від просторової координати . На рис. 3 крива з індексом 1 відповідає величині внутрішньої сферичної оболонки, крива з індексом 2 відповідає величині зовнішньої сферичної оболонки в момент часу . Точки з'єднання кривих 1 и 2 вказують на розміщення дискретних ребер.

Розглядалася задача про осесиметричні коливання жорстко защемленої по краям тришарової конічної оболонки при дії внутрішнього розподіленого навантаження. Досліджено чисельну збіжність отриманих результатів на прикладі динамічної поведінки жорстко защемленої по краям тришарової циліндричної оболонки з врахуванням дискретного ребристого наповнювача при розподіленому навантаженні. Неосесиметричні коливання циліндричних оболонок при розподіленому динамічному навантаженні розглядалися для випадків циліндричних структур з врахуванням повздовжнього дискретного наповнювача та повздовжньо-поперечного дискретного наповнювача.

Зокрема, задача неосесиметричних коливань тришарової циліндричної оболонки з врахуванням повздовжньо-поперечного дискретного наповнювача при нормальному внутрішньому навантаженні розглядалася для випадку жорсткого закріплення країв вихідної структури. Задача розглядалася при наступних геометричних і фізико-механічних параметрах:

Па; кг/м³,

де - радіус серединної поверхні і товщина відповідно внутрішньої та зовнішньої оболонок; - довжина конструкції. Розглядався випадок повздовжньо-поперечного дискретного заповнювача при та , коли дискретні елементи рівномірно розташовані по просторовим координатам між внутрішньою і зовнішньої обшивками. Центри ваги поперечного перерізу дискретних елементів заповнювача проектуються на відповідні серединні поверхні обшивок по лініям та . Нормальне імпульсне навантаження задавалося у вигляді

,

де - функція Хевісайда, - амплітуда навантаження, - тривалість навантаження. В розрахунках покладалося Па;с.

На рис. 4 та рис. 5 приведено залежності величин та між повздовжніми ребрами по осі симетрії по просторовій координаті х в момент часу . Криві з індексом 1 відповідають величинам внутрішньої обшивки (прогин, напруження), а криві з індексом 2 відповідають величинам зовнішньої обшивки. Виходячи з представленого графічного матеріалу чітко спостерігається місце розташування поперечних дискретних підкріплюючих ребер () - це точки з'єднання кривих з індексами 1 та 2. Проводився аналіз отриманих результатів по величинам по лінії симетрії між повздовжніми ребрами та по лінії знаходження повздовжнього ребра для внутрішньої та зовнішньої обшивок на досліджуваному часовому інтервалі (зокрема для моментів часу, коли відповідні кінематичні та статичні величини досягають максимальних значень). Порівняльний аналіз величини вздовж ребра та величини по лінії симетрії ребра показує, що різниця по максимальним величинам сягає порядку 1,8 рази. Аналогічна закономірність спостерігається для величин . Характерною особливістю величин є їх пилкоподібний вигляд в місцях розташування поперечних ребер , що представлено на рис. 5. Це пояснюється особливістю моделі та алгоритму розв'язку задач динамічної поведінки тришарових оболонок з врахуванням дискретності повздовжньо-поперечного заповнювача - знаходження розв'язку в гладкій області обшивок та на лініях просторових розривів (вздовж ліній центра ваги поперечного перерізу і-го ребра по осі ОХ та j-го ребра по осі ОУ).

Зазначені закономірності розповсюдження хвильових процесів в тришарових оболонках з врахуванням дискретності наповнювача наведені в дисертації на відповідних графіках.

У висновках коротко сформульовані основні результати дисертаційної роботи.

Основні результати дисертації полягають в наступному:

Проведено постановку динамічних задач теорії тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача та вивід рівнянь коливань та відповідних природничих умов на основі варіаційного принципу Гамільтона - Остоградського в рамках геометрично нелінійної теорії оболонок та стержнів типу Тимошенка в квадратичному наближенні.

Розвинено ефективний чисельний метод та розроблено алгоритми розв'язку задач нестаціонарних осесиметричних та неосесиметричних коливань тришарових оболонок обертання з врахуванням дискретності наповнювача. Чисельний метод, що застосовувався для розв'язку динамічних задач теорії тришарових оболонок, базується на використанні інтегро-інтерполяційного методу побудови різницевих схем по просторовим координатам та явній скінченно-різницевій схемі по часовій координаті.

На основі вихідної розрахункової моделі та розроблених чисельних алгоритмів отримано роз'язки динамічних задач для випадків осесиметричних та неосесиметричних коливань та проведено аналіз напружено - деформованого стану тришарових оболонок обертання при нестаціонарних навантаженнях в широкому діапазоні зміни геометричних та фізико - механічних параметрів. Розглянуто задачі динамічної поведінки тришарових оболонок обертання різної геометрії з врахуванням дискретності наповнювача для випадку осесиметричних коливань при різних граничних умовах та типах навантаження (циліндричні оболонки при осьовому та розподіленому нормальному навантаженнях, сферичні оболонки з отвором, конічні оболонки при розподіленому внутрішньому нормальному навантаженні). Неосесиметричні коливання розглянуто в задачах динамічної поведінки тришарових циліндричних оболонках для випадків повздовжнього дискретного наповнювача та повздовжньо - поперечного дискретного наповнювача. Проведено аналіз числових результатів, закономірностей та механічних ефектів, які характерні для хвильових процесів в розглянутих тришарових оболонках.

Для випадку циліндричних оболонок проведено порівняння чисельних результатів для величин прогину згідно теорії тришарових оболонок з врахуванням дискретності наповнювача та конструктивно - ортотропної теорії тришарових оболонок. Розрахунки показують, що величина прогину згідно конструктивно - ортотропної моделі знаходиться в межах зміну величини прогину внутрішнього та зовнішнього шарів згідно теорії з врахуванням дискретності ребер. Зокрема, при конкретних геометричних та фізико - механічних параметрах циліндричних оболонок, приведених в роботі, кількісна різниця по величинам максимальних прогинів сягає порядка 40% (прогини згідно розрахункової моделі з врахуванням дискретності наповнювача більші).

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ