Чисельно-аналітичний метод розв'язання задач статики нетонких ортотропних оболонок з отворами довільних розмірів і форм

Розроблений метод може знайти ефективне застосування при проектуванні оболонкових елементів конструкцій у різних галузях техніки.

Ключові слова: варіаційний принцип Рейсснера, теорія R-функцій, оболонки з отворами, концентрація напружень, неоднорідні оболонки.

ABSTRACT

Salo V.A. Numerical - analytical method of solving the problems of statics non-thin orthotropical shells with holes of any sizes and forms. - Manuscript.

The thesis is presented for a Doctor Degree of Technical Sciences by speciality 01.02.04 - "Mechanics of Deformable Solids". - A.N. Podgorny Institute for Problems in Machinery National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2003. In this work the scientific and technical problem which consists in creation of scientifically proved, universal and effective numerical-analytical method of computation three-dimensional stress-strained state statically loaded homogeneous and continuously non-uniform on thickness non-thin orthotropical shells with holes of any sizes and forms is solved. On the basis of the mixed Reissner's variational principle and the general equations of the theory of elasticity the variational statement of the spatial boundary problems of the statics orthotropical shells of any thickness is given. It is formulated and the sufficient test of convergence of Ritz's method is proved when searching of a point of stationary non-extreme Reissner's functional. The posteriori two-sided estimation of exactitude of the approached solutions of the mixed variational problems is offered.

New structures of solutions, which take into account the change of the metrics on thickness of the orthotropical shells and precisely satisfy to all boundary conditions of the studied problems, are created. The geometrical information of problems for the shells with holes of any form is taking into account analytically with help of the R-functions theory.

The created method may be used when designing the shell elements of the structures in different areas of the engineering.

Key words: Reissner's variational principle, R-functions theory, shells with holes, concentration of stresses, non-uniform shells.

АННОТАЦИЯ

Сало В.А. Численно-аналитический метод решения задач статики нетонких ортотропных оболочек с отверстиями произвольных размеров и форм. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.02.04 - “Механика деформируемого твердого тела”.- Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2003.

В работе решена актуальная научно-техническая проблема, которая состоит в создании научно обоснованного эффективного численно-аналитического метода расчета трехмерного напряженно-деформированного состояния статически нагруженных однородных и непрерывно неоднородных по толщине нетонких ортотропных оболочек с отверстиями произвольных размеров и форм.

В диссертации на основе смешанного вариационного принципа Рейсснера и общих уравнений теории упругости дана вариационная постановка пространственных краевых задач статики ортотропных оболочек произвольной толщины; представлено в ортогональной криволинейной системе координат аналитическое выражение вариационного уравнения Рейсснера трехмерных задач статики оболочек произвольной гауссовой кривизны.

Сформулирован и с помощью теорем и вариационных неравенств теории операторов в гильбертовом пространстве математически доказан достаточный признак сходимости метода Ритца при отыскании точки стационарности неэкстремального функционала Рейсснера. Конструктивным следствием доказанного признака является то, что для улучшения сходимости процесса Ритца искомые функции целесообразно представить структурами, точно удовлетворяющими всем краевым условиям.

В работе на основе использования метода разложения функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра и теории R-функций созданы новые структуры решений, которые учитывают изменение метрики по толщине оболочек и точно удовлетворяют всем граничным условиям исследуемых краевых задач для оболочек с отверстиями произвольной формы.

В рамках разработанного метода дано развитие метода редукции трехмерных задач теории оболочек за счет предложенного алгоритма регулярного процесса уточнения моделей оболочки путем варьирования количеством удерживаемых членов в разложении по поперечной координате оболочки компонент вектора перемещения и тензора напряжений. Задание соответствующих параметров позволяет в алгоритме автоматизировать процесс перехода к разным двухмерным теориям оболочек, создает наглядную и логически стройную классификацию существующих в литературе и новых уточненных теорий оболочек.

Установлено, что уточнение модели оболочки требует повышения точности интегрирования коэффициентов Ритца; на конкретном примере показано, как для выбранной модели оболочки определить такое минимальное число узлов квадратурных формул Гаусса, при котором результаты имеют достоверный характер.

На базе метода двойственности теории выпуклого анализа предложена апостериорная двусторонняя оценка точности приближенных решений неэкстремальных вариационных задач и ее эффективность подтверждена численными исследованиями сходимости представленных в работе решений краевых задач различной сложности, а также удовлетворительным соответствием получаемых результатов с известными в литературе аналитическими, численными и экспериментальными данными. Для процедуры приближения к седловой точке функционала Рейсснера в работе предложен соответствующий алгоритм и показано, как при сравнении вычисляемых значений функционалов Лагранжа, Кастильяно и Рейсснера можно построить процесс уточнения решений за счет последовательного выбора количества аппроксимаций искомых величин, пока аналитическое выражение для интегральной оценки не будет выполнено с наперед заданной точностью (при совпадении значений функционалов полученные решения будут энергетически эквивалентны точному решению). В случае программной реализации апостериорная оценка может стать надежным средством проверки достоверности приближенных результатов.

В работе рассмотрена перспективная возможность применения созданного метода для расчета неоднородных оболочек в случае известных зависимостей упругих характеристик материала от координат точек тела. Непосредственная подстановка в вариационное уравнение Рейсснера этих зависимостей и полученных структур решений, использование предложенной апостериорной интегральной оценки численных результатов позволяют успешно исследовать НДС неоднородной оболочки.

На основе разработанного метода в работе выполнено большое число конкретных расчетов для односвязных и ослабленных отверстиями изотропных, транстропных и ортотропных цилиндрических и сферических оболочек при разных вариантах граничных условий на боковых поверхностях отверстий. Проведены оценки сходимости численных результатов, исследовано влияние на НДС однородных и неоднородных оболочек степени анизотропии материала, толщины, вида статической нагрузки и граничных условий. В результате выполненных в работе исследований найдены имеющие теоретический и практический интерес новые количественные и качественные закономерности статики ослабленных отверстиями нетонких ортотропных оболочек с неоднородной по толщине структурой.

Созданный новый численно-аналитический метод расчета нетонких оболочек с отверстиями, позволивший в уточненной математической постановке успешно решить ряд задач прикладного характера, может найти эффективное применение при проектировании ответственных оболочечных элементов конструкций в разных областях современной техники.

Ключевые слова: вариационный принцип Рейсснера, теория R-функций, оболочки с отверстиями, концентрация напряжений, неоднородные оболочки.

Размещено на Allbest.ru