Ефекти двофотонного обміну у електрон-нуклонному пружному розсіянні

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ефекти двофотонного обміну у електрон-нуклонному пружному розсіянні

Пружне розсiяння високоенергетичних електронiв є дієвим засобом вивчення внутрiшньої структури мікрочастинок, зокрема, протона та нейтрона. Саме за допомогою розсiяння електронiв було вiдкрито неточковiсть протона (Hofstadter et al., 1955). Вивчення розсiяння електронiв на протонi при малих передачах iмпульсу дозволяє визначити його розмiри, а при великих передачах iмпульсу - кварковий склад.

Завдяки малостi константи електромагнiтної взаємодiї 1/137 пружне електрон-протонне розсiяння можна описувати за допомогою теорiї збурень, в якiй звичайно обмежуються першим (борнiвським) наближенням - наближенням однофотонного обмiну. В цьому наближеннi взаємодiя протона з електромагнiтним полем описується двома функцiями - електричним та магнiтним формфакторами (ФФ).

В 2002-2005 рр. було виявлено, що вiдношення електричного та магнiтного формфакторiв протона, вимiряне двома рiзними методами (методом Розенблюта та методом передачi поляризацiї) в області переданих імпульсів Q2 > 2 ГеВ2 не узгоджуються одне з одним. Обидва методи вимірювань грунтуються на наближеннi однофотонного обміну. Таким чином, розходження мiж ними може були викликане неврахуванням наступного порядку теорiї збурень - двофотонного обмiну (ДФО). В зв'язку з цим почався активний пошук інших експериментальних проявів ДФО. Це, зокрема:

· Одночастинкова спiнова асиметрiя, тобто асиметрiя розсiяння у випадку, коли поляризована лише одна iз початкових частинок. В борнiвському наближеннi така асиметрія відсутня. Тим не менше, ефект вже спостерігався експериментально.

· Зарядова асиметрія, або різниця перерiзiв розсiяння електронiв та позитронiв в однакових кiнематичних умовах.

· Залежність результатiв вимірювання ФФ по методу передачi поляризацiї вiд енергiї пучка.

Крім цього, сьогодні вже зрозуміло, що точне визначення ФФ протона (особливо при великих переданих імпульсах) неможливе без врахування ДФО. Таким чином, задача теоретичного вивчення ДФО є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйна робота виконана у вiдповiдностi з державними науково-дослiдними програмами, що виконувались в Iнститутi теоретичної фiзики iм. М.М. Боголюбова НАН України: ''Дослiдження сильновзаємодiючої матерiї в умовах високих густин енергiї та барiонного заряду'', РК №0101U006428 (2002-2004 рр.) та ''Дослiдження сильновзаємодiючої матерiї у зiткненнях частинок та ядер при високих енергiях'', РК №0105U000431 (2005-2007 рр.).

Мета i завдання дослiдження.

Мета дослiдження - встановити, як змiнюється (кiлькiсно та якiсно) процес пружного електрон-нуклонного розсiяння при врахуваннi двофотонного обмiну.

Об'єкт дослiдження - електромагнiтна взаємодiя нуклонiв.

Предмет дослiдження - двофотонний обмiн у пружному розсiяннi електронiв на нуклонах.

Для досягнення поставленої мети необхiдно було розв'язати наступнi задачi:

1. Дослiдити одночастинковi спiновi асиметрiї для випадку поляризованої мiшенi та поляризованого пучка.

2. Обчислити амплiтуди двофотонного обмiну з урахуванням структури протона.

3. Вивчити вплив двофотонного обмiну на результати експериментiв по вимiрюванню формфакторiв протона.

Методи дослiдження - методи квантової теорiї поля та теорiї функцiй комплексної змiнної, теорiя збурень, комп'ютернi аналiтичнi обчислення та чисельне iнтегрування, метод найменших квадратiв.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основнi результати, що визначають наукову новизну i виносяться на захист, такi:

1. Обчислено асиметрiю розсiяння на поляризованiй мiшенi з урахуванням вкладу резонансiв у промiжному станi.

2. Вперше видiлено головний логарифмiчний вклад в асиметрiю розсiяння поляризованого пучка для довiльної кiнематики.

3. Розроблено метод точного обчислення дiаграми двофотонного обмiну з урахуванням формфакторiв протона.

4. Вперше детально вивчено поведiнку амплiтуд двофотонного обмiну при малих передачах iмпульса.

5. Показано, що неспiвпадiння вiдношення формфакторiв протона, вимiряного двома методами (Розенблюта та передачi поляризацiї), пояснюється впливом двофотонного обмiну.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiйна робота носить теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використанi при плануваннi i обробцi даних експериментiв з пружного електрон-нуклонного розсiяння, зокрема при вимiрюваннi формфакторiв та радiуса протона.

Особистий внесок здобувача. В роботi отримано аналiтичні формули для асиметрiї розсіяння на поляризованій мішені, параметризовано амплiтуди електронародження резонансiв, проведено чисельні розрахунки. В роботi видiленно головний логарифмiчний вклад в асиметрію розсіяння поляризованого пучка, проведено чисельні розрахунки. В роботi отриманно вираз для амплiтуди двофотонного обміну через двократний iнтеграл, проведено чисельне iнтегрування. В роботi виведено аналiтичні формули для амплiтуд при малих переданих імпульсах. В роботi проведено аналiз формули для перерiзу розсiяння з урахуванням двофотонного обміну та параметризацiю експериментальних даних.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертацiї доповiдалися та обговорювалися на засiданнi семiнару з фiзики високих енергiй в Iнститутi ядерних дослiджень НАНУ та на конференції ''Боголюбовські читання'' в Iнститутi теоретичної фiзики НАНУ (4-5 грудня 2007р.) Поданi у роботi результати доповiдались на наукових семiнарах вiддiлу фiзики високих густин енергiї Iнституту теоретичної фiзики НАНУ.

Публiкацiї. За темою дисертацiї опублiковано 5 статей у наукових фахових журналах.

Структура i об'єм дисертацiї. Дисертацiя складається з вступу, 4 роздiлiв, висновкiв, 2 додаткiв, списку використаних джерел i мiстить 110 сторiнок друкованого тексту, в тому числi 1 таблицю та 27 рисункiв. Кiлькiсть посилань у списку використаних джерел - 68.

Перший роздiл роботи має оглядовий характер. В ньому наведено основнi формули для пружного розсiяння електронiв на протонах у борнiвському наближеннi, описано два методи вимiрювання ФФ протона - метод Розенблюта i передачi поляризацiї. Далi наведено загальну структуру амплiтуди розсiяння з урахуванням ДФО, а також визначено спостережуванi, якi буде розглянуто в наступних роздiлах.

Будемо позначати 4-імпульси частинок, що приймають участь в процесі пружного електрон-нуклонного розсіяння, відповідно до

високоенергетичний електрон нейтрон

і запровадимо позначення q = p-p = k-k, q2 = -Q2 = t, K = (k+k)/2, P = (p+p)/2, = 4PK. Масу електрона позначимо m, масу нуклона M.

Амплітуда процесу (1) в борнівському наближенні має вигляд

де - постійна тонкої структури, - матриці Дірака, u, u, U, U - біспінори початкових та кінцевих частинок,



де F1 та F2 - формфактори протона (нейтрона) і, як звичайно, використовується позначення. Переріз розсіяння в борнівському наближенні має вигляд

де E - енергія початкового електрона в лабораторній системі, = -t/4M2, , та

- відповідно електричний та магнітний формфактори. Величина у дужках в формулі (4) називається зведеним перерізом R.

Існують два основні методи вимірювання ФФ:

1) метод Розенблюта, в якому ФФ визначаються на основі аналізу перерізів розсіяння неполяризованих частинок

2) метод передачі поляризації, в якому вивчається передача поляризації від електрона до протона, що дозволяє визначити відношення ФФ GE/GM за одним вимірюванням.

З урахуванням ДФО амплітуда розсіяння набуває вигляду (Guichon, Vanderhaeghen, 2003):

де - узагальнені формфактори (інваріантні амплітуди), що є комплексними і залежать від та t.

Зручно запровадити лінійні комбінації

через якi перерiз розсiяння виражається як

В другому роздiлi дослiджуються поляризаційні ефекти, що вiдсутнi у борнiвському наближеннi i пов'язанi з уявною частиною амплiтуд ДФО -- одночастинкові спінові асиметрії. Асиметрiя вимiрюється в умовах, коли поляризована лише одна з початкових частинок, а її спiн направлений перпендикулярно до площини реакцiї. Таким чином можливі дві протилежні орієнтації спіна. Позначивши вiдповiднi перерiзи i , визначимо асиметрiю як

причому якщо поляризований початковий протон (мішень), назвемо цю величину "асиметрія розсіяння на поляризованій мішені" (АРПМ) і позначимо An, а якщо поляризований електрон - "асиметрія розсіяння поляризованого пучка" (АРПП) і позначимо Bn.

За допомогою T-iнварiантностi електромагнiтної взаємодiї можна показати, що асиметрiя пропорцiйна уявнiй частинi амплiтуди розсiяння. Оскiльки амплiтуда борнiвського наближення дiйсна, асиметрiя дає безпосередню інформацію про уявну частину амплітуд ДФО. В свою чергу, уявну частину амплiтуди можна розрахувати за допомогою умови унiтарностi:



Проміжний стан n в першому наближенні складається з електрона (з імпульсом k) та деякої сукупності h сильновзаємодіючих частинок з сумарним імпульсом p. Це призводить до такого виразу для асиметрії розсіяння на поляризованій мішені:

де q1 = k-k, q2 = k-k, S - одиничний 4-вектор, що задає нормаль до площини реакції в лабораторній системі,

L та W - так звані лептонний та адронний тензори

де p та 'p - спіральність протона, J - оператор електромагнітного струму.

В формулi (14) для W сумування вiдбувається по h - всiм промiжним адронним станам, що можуть народитися при взаємодiї вiртуального фотона з протоном (це можуть бути p, p, p, p і т.п.).

Зрозумiло, що врахувати всi промiжнi стани практично неможливо. В лiтературi iснують розрахунки для випадку, коли промiжним станом є протон (так званий пружний вклад) та протон+пiон. Таке наближення є добрим за низьких енергiй, але стає все гiршим з ростом енергiї, оскiльки з'являється можливiсть народження бiльшої кiлькостi та/або бiльш важких частинок. В роботі було запропоновано використати в якості проміжних станів резонанси з першої, другої та третьої резонансних областей. При цьому асиметрія виражається через амплітуди електронародження резнансів, які, в свою чергу, були взяті з експерименту. Розраховувався вклад таких резонансів: P33(1232) - перша резонансна область, S11(1535) та D13(1520) - друга резонансна область, F15(1680) - з третьої резонансної області і резонанса Ропера P11(1440), а також пружний вклад, для енергій початкового електрона від 0.3 до 2 ГеВ.

Рис. 1. Вклади резонансів в АРПМ

Рис. 2. АРПМ (пружний та непружний вклад)

Результати розрахунків вкладу різних резонансів в асиметрію для E = 0.855 ГеВ зображено на рис. 1. Найбільший вклад серед усіх резонансів дає P33(1232). Вклади різних резонансів мають тенденцію скорочуватись і в результаті асиметрія визначається в основному пружним вкладом (рис. 2). Оскільки асиметрія пропорційна уявній частині амплітуд ДФО, звідси випливає, що пружний вклад добре описує уявну частину амплітуди. Але дійсна та уявна частини не є незалежними, а пов'язані дисперсійними співвідношеннями. Тому можна очікувати, що апроксимація пружним вкладом буде працювати і для дійсної частини (розділ 3).

АРПП відрізняється від АРПМ тим, що по-перше, строго дорівнює нулю за умови нехтування масою електрона, а по-друге, містить доданки, пропорційні першій та другій степеням великого логарифма ln Q2/m2. Тому при її розгляді потрібно вважати масу електрона ненульовою. АРПП легко виміряти в умовах експерименту з вивчення P-непарних ефектів. В цих експериментах вимірюється асиметрія розсіяння поздовжно-поляризованих електронів, яка може відрізнятись від нуля лише за умови незбереження просторової парності. Змінивши поляризацію пучка з поздовжної на поперечну, можна виміряти АРПП. До того ж, АРПП є джерелом систематичної похибки в цих експериментах.

Формула для АРПП має вигляд

де

де 1, 2 - кути між векторами та, то в разі нехтування масою електрона виникають сингулярності підінтегрального виразу при i = 0, і подвійна сингулярність при (для АРПМ сингулярності не виникали, оскільки лептонний тензор в цих точках дорівнював нулю). При врахуванні маси електрона сингулярності відсутні, а інтегрування в околах відповідних точок дає доданки, пропорційні m ln Q2/m2 та m ln2 Q2/m2. Отже асиметрія має таку структуру

В роботі було вперше коректно виділено в загальному вигляді головний логарифмічний вклад до асиметрії (члени, пропорційні ln2 Q2/m2) за довільної кінематики. Результат має вигляд

Двічі логарифмічний вклад (19) добре описує асимерію лише для не дуже малих кутів розсіяння. Річ у тому, що двічі логарифмічний вклад поводиться при Q2 0 як Q3 ln2 Q2/m2, в той час як однологарифмічний - як Q ln Q2/m2, тобто при малих Q2 починає переважати. Умова застосовності двічі логарифмічного наближення -

де - кут розсіяння в системі центра мас.

Асиметрію було розраховано чисельно за допомогою насичення проміжних станів резонансами (аналогічно випадку АРПМ). Цього разу асиметрія виражається через амплітуди фотонародження. В результаті проведених розрахунків виявилось можливим описати всі існуючі на теперішній час експериментальні дані (рис. 3).

Рис. 3. АРПП в залежності від кута розсіяння при різних енергіях електрона

В третьому розділі розглядається дійсна частина амплітуди ДФО, яка впливає на переріз розсіяння неполяризованих частинок і на результати метода передачі поляризації. Згідно з міркуваннями, що були висловлені при розгляді АРПМ, ми будемо апроксимувати амплітуди ДФО пружним вкладом, тобто вважати, що протон розповсюджується як дираківська частинка. Відповідно до цього пропагатор протона з імпульсом p запишемо як , і амплітуда ДФО матиме вигляд

де



де k = P+K-p, а в аналогічній формулі для потрібно поміняти місцями та і покласти k = K-P+p. Нескінченно малу "масу фотона" введено, як звичайно, для регуляризації інфрачервоної розбіжності.

В літературі обчислення цієі амплітуди проводилось з тими або іншими наближеннями, зокрема

а) вважаючи, що імпульс одного з віртуальних фотонів близький до нуля (що дозволяє точно отримати інфрачервоно-розбіжний вклад),

б) для ФФ спеціального вигляду.

До того ж, при обчисленні інтеграла в рівнянні (22) виникає наступна проблема. При інтегруванні 4-вектор p пробігає весь 4-простір, тому t1 = (p - p)2 і t2 = (p - p)2 можуть бути як від'ємними, так і додатніми. Але ФФ добре виміряні лише в каналі розсіяння, при t < 0. Їх поведінка при t > 0 відома тільки із загальних міркувань і майже не вивчена експериментально. Отже, виникає питання, які саме значення ФФ потрібно підставляти в інтеграл при t > 0 і як їх невизначеність вплине на кінцевий результат.

Цю проблему було вирішено в роботі , в якій було запропоновано метод точного обчислення амплітуди (22), придатний для ФФ довільного вигляду, причому для обчислень достатньо знати ФФ лише в просторовоподібній області t < 0. Сутність методу полягає в наступному.

Шляхом алгебраїчних перетворень обчислення амплітуди (22) можна звести до обчислення скалярних інтегралів чотирьох типів:

де Aij(t1,t2) - деякі поліноми



Продемонструємо ідею їх обчислення на прикладі інтеграла I4. Запишемо компоненти вектора p в системі Брейта з віссю z вздовж як

Оскільки ФФ є аналітичними функціями комплексного t, за винятком особливостей при дійсних t, то підінтегральний вираз буде аналітичною функцією за винятком деяких особливостей на дійсній осі, які при інтегруванні потрібно обійти відповідно до правил Фейнмана (рис. 4, ліворуч). Далі можна повернути контур інтегрування на 90o, щоб сумістити його з уявною віссю (рис. 4, праворуч).

Рис. 4. Поворот контура інтегрування

При цьому можуть виникнути нові доданки, пов'язані з обходом сингулярностей. Як можна показати, при інтегруванні вздовж нового контура t1 та t2 приймають лише від'ємні значення. Таким чином, для подальших обчислень не потрібно знати ФФ при t > 0. Далі, зробивши заміну змінних (, , ) (, t1, t2), можна виконати інтегрування по в аналітичному вигляді, отримуючи



Функції були знайдені в явному вигляді, але тут не наводяться через їхню громіздкість. Рівняння (26) може бути використано для чисельних розрахунків або для подальшого дослідження.

Амплітуди ДФО були розраховані вищевикладеним способом з використанням різних параметризацій ФФ. Залежність результату від вибору параметризації виявилась незначною. Важлива властивість отриманих амплітуд ДФО (рис. 5) - характер їх залежності від . Як видно з графіка, амплітуди близькі до лінийних функцій від . Саме через це присутність двофотонного вкладу дуже важко помітити в експериментальних даних (див. обговорення в розділі 4).

Аналогічно можна розрахувати двофотонні поправки до амплітуди розсіяння електронів на інших частинках зі спіном 1/2, зокрема нейтронах та ядрах 3He.

В четвертому розділі досліджується вплив ДФО на результати експериментів, в яких вивчається структура протона, зокрема

а) пружне розсіяння електронів на протонах та нейтронах при малих передачах імпульса, яке дозволяє виміряти їх радіуси

б) вимірювання формфакторів протона в області Q2 > 2 ГеВ2, де спостерігається розходження результатів метода Розенблюта і передачі поляризації.

Електричний та магнітний середньоквадратичні радіуси - важливі низькоенергетичні характеристики протона, що визначаються як



Рис. 5. Розраховані амплітуди двофотонного обміну

де = GM(0) - магнітний момент протона. Отже для того, щоб знайти радіуси, необхідно досить точно виміряти формфактори при малих Q2. З метою встановлення ролі ДФО в цих вимірюваннях в роботі було проведено дослідження амплітуд ДФО при малих передачах імпульса, 4m2 << Q2 << 4M2 (ліва частина нерівності гарантує можливість нехтувати масою електрона). Крім мас електрона та протона в задачі є ще одна характерна величина - масштаб відстаней, на якому суттєво змінюються формфактори, t0 = 6/r2 0.3 ГеВ2 для протона. Було отримано наближені аналітичні формули для амплітуд ДФО, які виконуються за умов

При нехтуванні масою електрона і Q2 0 амплітуди ДФО зводяться до



де величина пов'язана з кутом розсіяння в системі Брейта: = 1/sin/2. Формула для відповідає відомій поправці другого порядку до розсіяння в кулоновому потенціалі, дві інші були отримані вперше. В результаті чисельних розрахунків амплітуд ДФО і поправок до перерізу розсіяння було знайдено, що

1) при Q2 = 0 величина амплітуд ДФО значна, а з ростом Q2 швидко спадає (рис. 6). Особливо це стосується магнітної амплітуди . Таким чином, двофотонні поправки будуть важливими при визначенні електричного і особливо магнітного радіусів протона.

2) Магнітна поправка до перерізу виявилась того ж порядку величини, що і електрична (рис. 7), в той час як нею звичайно нехтують при аналізі експериментальних даних.

Рис. 6. Амплітуди ДФО при малих Q2 та = 0.5



Рис. 7. Двофотонні поправки до перерізу розсіяння при = 0.5

Тепер розглянемо роль ДФО при переданих імпульсах порядка маси протона. З урахуванням ДФО зведений переріз розсіяння неполяризованих частинок можна записати як

де та - дійсні частини амплітуд ДФО (величини порядка ). Нас буде цікавити кінематична область > 1. Відповідно до експериментальних даних метода Розенблюта відношення GE/GM залишається приблизно постійним, рівним 1/ 1/2.79, в усьому дослідженому інтервалі переданих імпульсів (відповідно до результатів метода передачі поляризації, воно навіть зростає з ростом Q2, що лише покращить наші оцінки). Тому вклад магнітного формфактора у переріз майже на порядок більше, ніж електричного: .

Що стосується амплітуд ДФО, то як і з загальних міркувань, так і з результатів розрахунку в розділі 3 видно, що мають місце оцінки

Тому член нехтовно малий, а натомість

Тобто магнітна двофотонна поправка може значно спотворити результати вимірювання електричного ФФ по методу Розенблюта. В усіх експериментах по цьому методу спостерігалась лінійна залежність зведеного перерізу від . Щоб не порушувати таку лінійність, величина має бути теж лінійною функцією :

що, як видно з рис. 5, справді наближено виконується для розрахованих амплітуд. В роботі було показано, що комбінуючи відношення ФФ, визначене по методу Розенблюта (RLT) та по методу передачі поляризації (RPT), можна визначити коефіцієнт b:

На рис. 8 зображена пружна частина амплітуди , обчислена як описано в роздiлi 3, та пряма лiнiя вiдповiдно до рiвняння (33) з коефiцiєнтом b, що був щойно отриманий (оскільки коефіцієнт a майже не впливає на результати вимірювань і таким чином не піддається визначенню, його було обрано довiльно). Видно, що при всiх значеннях Q2 пряма та крива щонайменше якiсно узгоджуються одна з одною. Нарешті, розглянуто випадок розсіяння позитронів замість електронів. В цьому разі двофотонні поправки до перерізу змінюють знак. Тому відношення GE/GM, визначене методом Розенблюта за допомогою розсіяння позитронів, довірнюватиме.



де b визначається формулою (34).

Рис. 8. Порівняння амплітуди , видобутої із експериментальних даних, і розрахованої теоретично

Рис. 9. Відношення формфакторів протона, визначене різними методами

Обчислення показують, що ця величина має швидко спадати при Q2 > 2 ГеВ2 і перетворюватись на нуль при Q2 3 ГеВ2, як показано на рис. 9 штрих-пунктирними лініями.

Таким чином, вивчення перерізу пружного розсіяння позитронів в області Q2 = 2-3 ГеВ2 може дати яскраве свідчення наявності двофотонного обміну. Такі експерименти вже заплановані.

Висновки

В роботi дослiджено процес пружного електрон-нуклонного розсiяння iз врахуванням двофотонного обмiну. Отримано наступнi результати.

1. Розраховано асиметрiю пружного розсiяння на поляризованiй мiшенi. Для обчислення асиметрiї використано умову унiтарностi, в якiй врахованi в промiжному станi протон (пружний вклад) та резонанси з першої, другої та третьої резонансних областей. При енергiях 0.8 ГеВ та вище домiнуючим є пружний вклад.

2. Розглянуто асиметрiю пружного розсiяння поляризованого пучка. Видiлено головний логарифмiчний вклад в асиметрiю для довiльної кiнематики. Асиметрiю розраховано шляхом насичення промiжних станiв резонансами. Результати узгоджуються з наявними експериментальними даними.

3. Запропоновано метод точного обчислення дiаграми двофотонного обмiну з протоном в промiжному станi. Розрахунки не потребують знання формфакторiв у часоподiбнiй областi.

4. Проведено повне дослiдження двофотонного обмiну при малих передачах iмпульса. Отримано аналiтичнi формули для амплiтуд. Вiдповiднi поправки необхiдно враховувати при визначеннi радiуса протона.

5. Показано, що неспiвпадiння вiдношення формфакторiв протона, вимiряного двома методами (Розенблюта та передачi поляризацiї), можна пояснити впливом двофотонного обмiну. Двофотоннi амплiтуди, визначенi виходячи з експериментальних даних, узгоджуються iз розрахованими теоретично.

Список опублікованих праць

1. Borisyuk D., Kobushkin A. Target normal spin asymmetry of the elastic ep scattering at resonance energy // Phys. Rev. C. - 2005. - Vol. 72, №3. - P. 035207-1-7.

2.Borisyuk D., Kobushkin A. Beam normal spin asymmetry of elastic eN scattering in the leading logarithm approximation // Phys. Rev. C. - 2006. - Vol. 73, №4. - P. 045210-1-8.

3. Borisyuk D., Kobushkin A. Box diagram in the elastic electron-proton scattering // Phys. Rev. C. - 2006. - Vol. 74, №6. - P. 065203-1-9.

4. Borisyuk D., Kobushkin A. Two-photon exchange at low Q2 // Phys. Rev. C. - 2007. - Vol. 75, №3. - P. 038202-1-4.

5. Borisyuk D., Kobushkin A. Phenomenological analysis of two-photon exchange effects in proton form factor measurements // Phys. Rev. C. - 2007. - Vol. 76, №2. - P. 022201-1-3.

Размещено на Allbest.ru

...