Вплив протяжних домішок на закони скейлінгу для магнетиків та полімерів

Актуальність теми. Відомо, що деякі фізичні характеристики конденсованих систем визначаються законами скейлінгу відносно заданих керуючих параметрів. Значення критичних показників, які характеризують скейлінгову поведінку, виявляються універсальними залежними лише від ряду глобальних параметрів (вимірності та симетрії параметра порядку, типу взаємодії, вимірності простору), а не від деталей мікроскопічної структури систем. Системи, які характеризуються однаковими законами скейлінгу (однаковим набором значень критичних показників), належать до одного й того ж класу універсальності. Характерним прикладом слугує поведінка термодинамічних та структурних характеристик магнетиків в околі температури фазового переходу T_c із парамагнітного у феро- чи антиферомагнітний стан. Так, кореляційна довжина та магнітна сприйнятливість в околі T_c підлягають законам скейлінгу:

~, ~, (1)

із універсальними критичними показниками та .

Близька аналогія спостерігається у поведінці довгих гнучких полімерних макромолекул у добрих розчинниках. Вони характеризуються рядом конфігураційних характеристик, які описуються законами скейлінгу, де керуючим параметром виступає кількість мономерів полімерного ланцюга. Для опису цих характеристик зручно застосовувати граткову модель випадкових блукань без самоперетинів (self-avoiding walks SAWs). Для прикладу, для середньоквадратичної відстані між кінцями полімерного ланцюга та кількості конфігурацій випадкових блукань із N кроків справедливі такі закони скейлінгу:

, , (2)

де z неуніверсальна константа, та універсальні показники.

У задачах фізики конденсованого стану актуальним є дослідження впливу структурного безладу на різні фізичні характеристики систем, зокрема на значення показників законів скейлінгу та можливість появи їх анізотропії (залежності від певних характерних напрямів у системі). Зокрема, у дисертаційній роботі розглядається вплив слабкого нерівноважного розведення на універсальні характеристики магнетиків та полімерів. Вплив безладу у формі точкових нескорельованих дефектів на їх універсальні характеристики на сьогодні детально досліджено (див., наприклад, огляди Pelissetto A., Vicari E. // Phys. Rep, 2002, 368 549; Фольк Р., Головач Ю., Яворський Т.// УФН, 2003, 173). Встановлено, що такий тип безладу не змінює класу універсальності полімерних систем, в той час як наприклад серед моделей тривимірних магнетиків змінює критичну поведінку лише моделей типу Ізинга. Проте, на практиці часто доводиться мати справу із так званими протяжними домішками (extended impurities). Так, реальні магнітні кристали можуть містити дефекти у формі лінійних дислокацій, складних комплексів (кластерів), утворених точковими немагнітними домішками. Експериментальні дослідження чітко виявляють вплив лінійних та планарних дефектів на критичну поведінку магнітних матеріалів, особливо поблизу точки фазового переходу (Korzhenevskii A. L. et al.// Phys. Rev. B 1996, 53 14834). Прикладом полімерної системи із протяжними дефектами може служити розчин полімерних макромолекул у пористих середовищах із складною структурою пор (Barat K, Chakrabarti B. K. // Phys. Reports 1995, 258 377). Вплив протяжних дефектів на критичну поведінку далеко не тривіальний, недостатньо вивчений і все ще потребує подальшого теоретичного дослідження. Дану роботу присвячено кількісному теоретичному опису універсальних властивостей магнітних та полімерних систем із протяжними дефектами структури. Зауважимо також, що експериментальні та комп'ютерні дослідження таких властивостей лише розпочинаються.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дисертаційна робота виконана в Інституті фізики конденсованих систем НАН України згідно з планами робіт за темами: № 0199U000668 “Дослідження фазових переходів в об'ємних і просторово обмежених статистичних системах та опис на макроскопічному рівні їх термодинамічних та структурних характеристик” та № 0102U000218 “Розвиток кількісної теорії фазових переходів у конденсованих системах”, а також за часткової підтримки німецького бюро академічного обміну (Deutscher Akademischer Austausch Dienst) та МНТЦ “Укриття” (проект № 02/2001, № 01/2002).

Мета і задачі дослідження. Об'єктом досліджень виступають магнітні та полімерні системи із трьома типами складних дефектів структури: протяжними дефектами паралельної орієнтації, далекосяжно скорельованими дефектами хаотичної орієнтації та дефектами у формі доповнення до перколяційного кластера. Предмет дослідження даної роботи становить вивчення впливу структурного безладу на закони скейлінгу систем. Мета проведених досліджень полягає в обчисленні кількісних універсальних характеристик критичної поведінки магнітних та полімерних систем із протяжними дефектами структури. Методом дослідження обрано метод теоретико-польової ренормалізаційної групи (РГ) із застосуванням пересумовування розбіжних рядів асимптотичної природи.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше обчислено надійні значення критичних показників тривимірних магнітних систем із безладом у формі протяжних дефектів структури паралельної орієнтації. Отримано числові значення граничної ефективної вимірності протяжної домішки _d, вище якої безлад приводить до зміни критичних показників та виникнення їх анізотропії при фазовому переході із пара- у феромагнітний стан. ренормалізаційний ізинг магнітний полімерний

Встановлено, що властивості гнучких полімерних макромолекул у середовищі із далекосяжно скорельованим безладом характеризуються новими законами скейлінгу і обчислено значення універсальних показників. Для такого ж типу безладу обчислено показники поправки до скейлінгу полімерних та магнітних систем із багатокомпонентним параметром порядку.

Вперше знайдено кількісні оцінки універсальних показників випадкових блукань без самоперетинів на перколяційному кластері у рамках теоретико-польової РГ в узгодженні із відомими досі результатами Монте Карло симуляцій та методів точного підрахунку.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані у дисертаційній роботі значення універсальних показників тривимірних магнітних систем із протяжними домішками можуть бути використані при експериментальному дослідженні магнітних кристалів із складними дефектами структури.

Проведені дослідження моделі випадкових блукань у середовищі із далекосяжно-скорельованим безладом та на перколяційному кластері сприяють розумінню конфігураційних властивостей полімерних макромолекул у пористих середовищах.

Отримані у роботі значення показників поправки до скейлінгу магнітних та полімерних систем із далекосяжно-скорельованим безладом можуть бути використані при проведенні симуляцій Монте Карло таких систем.

Особистий внесок здобувача. У роботах, виконаних із співавторами, автору належить:

· аналітичний розрахунок однопетлевих РГ функцій моделі полімера у середовищі із протяжними дефектами структури, вибір та застосування процедур пересумовування до РГ функцій моделі, отриманих у двопетлевому наближенні масивної схеми і отримання чисельних оцінок критичних показників [1-3].

· Вибір та застосування процедури пересумовування РГ функцій невпорядкованої тривимірної моделі Ізинга, отриманих у п'ятипетлевому наближенні схеми мінімального віднімання, обчислення критичних показників моделі [4-5].

· Вибір та застосування процедури пересумовування РГ функцій моделі магнетика із протяжними дефектами, отримання чисельних оцінок критичних показників моделі при довільній вимірності простору [6-7].

· В статті [8] участь у написанні розділу 6 про критичну поведінку систем із далекосяжно-скорельованим безладом, зокрема отримання кількісних значень критичних показників.

· Обгрунтування ефективного гамільтоніану задачі про випадкові блукання на перколяційному кластері та участь в обчисленні ренормгрупових функцій [9].

Автор брала безпосередню участь в аналізі та інтерпретації усіх результатів отриманих при дослідженні.

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на таких наукових зустрічах: Міжнародна конференція “MECO 25, Середньоєвропейська співпраця в статистичній фізиці”, (Понт--Музон, Франція, 9-11 березня, 2000р.) [10], Міжнародна робоча нарада з сучасних проблем м'якої речовини, (Львів, 27-31 серпня, 2000р.) [11], Міжнародна конференція із сучасних проблем фізики рідкої речовини “PLM MP 2001”, (Київ, Україна, 14-19 вересня, 2001р.), “PLM MP 2003”, (Київ, Україна, 12-16 вересня, 2003р.) [12, 13], “Різдвяні дискусії 2002” (Львів, 4-5 січня, 2002р.), 5-а міжнародна конференція із ренормалізаційної групи (Татранська Штрба, Словаччина, 10-16 березня, 2002р.), Міжнародна конференція “MECO 28, Середньоєвропейська співпраця в статистичній фізиці”, (Саарбрюкен, Німеччина, 20-22 березня, 2003р.) [14] а також на семінарах відділу статистичної теорії конденсованого стану Інституту фізики конденсованих систем Національної академії наук України та відділу “Теоретична фізика полімерів” Університету Альберта Людвіга м. Фрайбург, Німеччина.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 8 журнальних статей, 2 препринти та 5 тез конференцій. Перелік основних публікацій подано в кінці автореферату.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Робота викладена на 115 сторінках (разом з літературою 130 сторінок), включає бібліографічний список, що містить 151 найменування.

Зміст роботи

У вступі висвітлено актуальність теми дослідження, сформульовано мету роботи та відзначено її наукову новизну.

У першому розділі проведено огляд робіт, присвячених дослідженню як магнітних, так і полімерних систем із різними типами безладу. Відзначено, що у той час як вплив точкового безладу на універсальні характеристики полімерних та магнітних систем детально висвітлено в літературі, експериментальні дослідження універсальних властивостей систем із протяжними дефектами структури лише розпочинаються, і теоретичних робіт у цьому напрямі також небагато.

У другому розділі досліджується критична поведінка d-вимірних магнітних систем із протяжними дефектами у формі вимірних об`єктів паралельної орієнтації (Дороговцев С. Н. // Физ. Тверд. Тела, 1980, 22 321). Випадок значення =0 відповідає точковим нескорельованим дефектам, а протяжні дефекти у вигляді ліній (площин) описуються відповідними значеннями параметра (). Нецілі значення параметра відповідають фрактальним вимірностям комплексів (кластерів) складних дефектів.

Перший підрозділ присвячено опису моделі та її теоретико-польовому формулюванню. Універсальні характеристики систем із протяжними дефектами досліджуються на підставі ефективного польового гамільтоніана, отриманого із використанням методу реплік для усереднення за відповідним розподілом заморожених домішок (Boyanovsky D., Cardy J. // Phys. Rev. B, 1982, 26 154 ):

(3)

тут ={, …, } m - компонентне векторне поле, ₀² неперенормована маса, лінійна функція відхилення температури від критичної, u₀ константа зв'язку чистої моделі, a₀ константа, що параметризує просторову анізотропію, оператори та _|| відповідають диференціюванню за координатами x_|| вздовж напрямків та x вздовж (d-) напрямків, константа, пропорційна концентрації домішок. Останній доданок з'являється за рахунок присутності у системі домішок і описує ефективну взаємодію між репліками. В усіх кінцевих результатах необхідно перейти до реплічної границі .

Завдяки просторовій анізотропії у системі існує дві кореляційні довжини, перпендикулярна та паралельна до напрямку розташування домішок: та , які розбігаються при наближенні до критичної температури із різними показниками:

, . (4)

Коли в системі присутні протяжні домішки, звичний критерій Гаріса, що передбачає вплив присутнього у системі безладу на критичну поведінку, модифікується: безлад змінить критичні показники, якщо виконується нерівність : , де - показник кореляційної довжини відповідної чистої моделі. Ця нерівність визначає для кожного значення вимірності параметра впорядкування m нижню граничну вимірність протяжної домішки, вище якої безлад змінить критичні показники.

Досі такі системи досліджувались у рамках теоретико-польової ренормалізаційної групи лише на базі подвійного, _d - розкладу, що приводило лише до якісних результатів. У нашому дослідженні поставлено за мету отримати кількісні оцінки критичних показників безпосередньо при вимірності простору із застосуванням методів пересумовування розкладів рядів теорії збурень, що дозволить отримати надійну інформацію про поведінку систем із таким типом безладу.

У другому підрозділі описано підхід методу теоретико-польової ренормалізаційної групи (РГ), що є на сьогодні стандартним і потужним методом знаходження кількісних характеристик критичної поведінки фізичних систем (див. наприклад D. J. Amit, Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena (World Scientific, Singapore, 1984)) і використовується в наших дослідженнях. У залежності від умов усунення виникаючих розбіжностей в рамках даного методу існують різні схеми перенормування. У наших розрахунках використовуються масивна схема та схема мінімального віднімання.

Об'єктом дослідження тут виступають одночастинково незвідні (one particle irreducible, 1PI) вершинні функції , які означаються як середні N полів параметра порядку та L вставок за відповідним польовим гамільтоніаном системи. Це функції неперенормованих констант зв'язку вихідного ефективного гамільтоніану {}, зовнішніх імпульсів {p}, {k}, квадрату неперенормованої маси та - параметра обрізання. Вершинні функції розбіжні у асимтотичній границі . Ці розбіжності усуваються у процесі перенормування шляхом введення множників перенормування поля і вставки , переходячи до перенормованої маси та перенормованих констант зв'язку {}. У масивній схемі накладаються додаткові умови нормування при нульових зовнішніх імпульсах та ненульовій масі. Така процедура керується ренорм-груповими функціями, що виступають коефіцієнтами рівняння Каллена-Симанціка, якому задовільняють перенормовані вершинні функції.

(5)

Схема мінімального віднімання дає можливість уникати накладання додаткових умов нормування, тут перенормування проводиться при нульовій масі та довільних зовнішніх імпульсах. Константи зв'язку даної моделі та множники і представляються як степеневі ряди за перенормованими константами зв'язку , означені наступним чином:

(6)

Коефіцієнти цих рядів визначаються таким чином, що перенормовані вершинні функції не містять розбіжностей у кожному порядку за константами . Ренормгрупові функції у цій схемі означаються аналогічно до виразів (5), де роль маси відіграє тепер масштабний параметр , що визначає масштаб зовнішніх імпульсів у схемі мінімального віднімання.

Основною задачею є знаходження нерухомої точки РГ перетворень {}, яка визначається як спільний нуль -функцій. Нерухома точка є стійкою, якщо власні значення матриці стійкості, складеної із похідних -функцій у цій точці, мають додатні дійсні частини. У стійкій фізично досяжній нерухомій точці, яка відповідає критичній точці системи, РГ функції визначають значення критичних показників:

(7)

Використовуючи відомі співвідношення скейлінгу, можна знайти решту критичних показників.

Відзначимо, що РГ функції мають вигляд рядів теорії збурень за перенормованими константами зв'язку, і ці ряди за своєю природою асимптотично розбіжні. Тому, щоб отримати на їх основі надійну інформацію про поведінку систем, необхідно застосовувати спеціальні техніки пересумовування. Зокрема, у наших розрахунках використано техніки типу Паде-Бореля та Чізгольма-Бореля. Подамо процедуру пересумовування на прикладі функції як степеневого ряду за двома змінними u, v. Спершу будується образ Бореля вихідного розкладу, вводячи параметр наступним чином: , де гама-функція Ейлера. Далі борелівський образ екстраполюється раціональною апроксимантою Паде чи Чізгольма . Апроксиманти конструюються як відношення двох поліномів порядку M та N таким чином, щоб їх розклад в ряд Тейлора до відповідного порядку збігається із Борелівським образом функції f(u,v). Пересумовану функцію отримуємо наступним чином:

У третьому підрозділі увага звертається до проблеми, яка виникла при дослідженні тривимірної невпорядкованої моделі Ізинга (random Ising model - RIM) і прямо пов'язана із методикою досліджень, яку ми використовуємо надалі. У схемі мінімального віднімання значення критичних показників RIM було отримано недавно у роботі (Folk R., Holovatch Yu., Yavors'kii T. // Phys. Rev. B 2000, 62 12195) до 4-петлевого наближення. Проте, у випадку 5-ти петель спостерігалась картина відсутності стійкої нерухомої точки; це привело до припущення, що у даному випадку 4-петлеве наближення є “оптимальним обрізанням”.

Таблиця 1

Координати стійких нерухомих точок та критичні показники тривимірної невпорядкованої моделі Ізинга

У недавній роботі (Alvarez G. et al. // J. Phys. A 2000, 33 841) було аналітично показано, що РГ функції -вимірної RIM підсумовні за Борелем, за умови, що застосовується специфічна техніка пересумовування - так зване послідовне пересумовування. Застосування цієї техніки до РГ рядів тривимірної моделі уже дало можливість відновити збіжність результатів, отриманих у масивній схемі. У нашій роботі цей метод застосовано до 5-ти петлевих функцій, отриманих у схемі мінімального віднімання. Наше дослідження фокусується в основному на збіжних властивостях рядів РГ. Використання послідовного пересумовування справді дало нам можливість отримати стійку нерухому точку при зростанні порядку наближення включно до 5-петлевого, а також отримати кількісні оцінки критичних показників, які наведено у табл. 1.

У четвертому підрозділі досліджується критична поведінка магнітних систем із протяжними дефектами шляхом аналізу двопетлевих РГ функцій, отриманих у схемі мінімального віднімання, безпосередньо при значенні вимірності простору і різних фіксованих значеннях параметра . Зауважимо, що у даній задачі за рахунок перенормування константи анізотропії з'являється нова ренормгрупова функція: . Таким чином, у рамках даної моделі критичні показники виражаються через ренормгрупові функції наступним чином:

. (8)

Застосовуючи описану вище методику пересумовування Чізгольма-Бореля, нами отримано чисельні значення критичних показників моделей, поданих у табл. 2.

Таблиця 2

Критичні показники тривимірних магнітних систем із протяжними дефектами при різних значеннях параметра із протяжними - вимірними дефектами при різних значеннях параметра впорядкування m

При , що відповідає присутності у системі точкових нескорельованих дефектів, відтворюються відомі результати (Jug G.// Phys. Rev. B, 1983, 27 609), у цьому випадку паралельні компоненти критичних показників не мають змісту. При кожному значенні вимірності параметра впорядкування m існує граничне значення вимірності домішки , вище якого безлад із протяжними дефектами стає суттєвим і відбувається перехід до нового класу універсальності із новими критичними показниками. Важливо відмітити, що при завжди має місце нерівність: , цьому можна надати наступну фізичну інтерпретацію: протяжні дефекти перешкоджають міжспіновій взаємодії у напрямку, перпендикулярному до їх поширення, а отже у паралельному напрямку флуктуації сильніші і розбіжність кореляційної функції більш різка. В межах нашого методу спостерігалась відсутність стійкої нерухомої точки при значенні трохи вище за одиницю. Із фізичних міркувань зрозуміло, що протяжні дефекти великої вимірності (для прикладу, планарні дефекти із =2), що простягаються вздовж усієї системи, поділяють її на невзаємодіючі між собою області і таким чином перешкоджають феромагнітному впорядкуванню. Зауважимо, що при зміні параметра від 0 до 1 результуючі зміни значень критичних показників достатні, щоб бути експериментально спостережуваними (для прикладу, значення моделі Ізинга зростає на 13 відсотків). Отже, вплив протяжних дефектів на критичну поведінку тривимірних магнітних систем можна спостерігати експериментально.

У третьому розділі досліджуються універсальні характеристики полімерних систем у середовищі із далекосяжно-скорельованими безладом. Перший підрозділ присвячено опису та теоретико-польовому формулюванню моделі, запропонованої у роботі (Weinrib A., Halperin B.I. // Phys. Rev. B, 1983, 27 413), де вважалося, що парна кореляційна функція домішок, розташованих у точках із координатами та спадає на великих віддалях згідно закону:

, , (9)

де - деяка константа. Цілим значенням параметра надається пряма фізична інтерпретація: кореляційна функція із описує лінії (площини) домішок, випадково орієнтованих в об' ємі системи, в той час як значення відповідає точковим нескорельованим дефектам. Магнітні системи із таким типом безладу вже досліджувались як теретичними методами, так і методами комп'ютерних симуляцій. Було встановлено, що клас універсальності таких систем є новим. Вплив такого типу безладу на універсальні характеристики полімерних систем ще не досліджувався і становить предмет нашої роботи. Враховуючи, що фур'є-образ кореляційної функції (9) при малих значеннях хвильового вектора k має вигляд: , де , додатні константи, ефективний польовий гамільтоніан моделі містить три константи зв'язку: , , , остання з яких власне характеризує вплив далекосяжно-скорельованого безладу на поведінку системи. Нас цікавить така модель у полімерній границі , що відповідає моделі полімерного ланцюга у середовищі із далекосяжно-скорельованим безладом. Така границя нетривіальна, як було зауважено у роботі (Kim Y.// J. Phys. C, 1983, 16 1345), у подвійній реплічній та полімерній границі ( ) доданки із константами зв'язку , стають однакової симетрії, їх можна об'єднати, перейшовши таким чином до задачі лише із двома константами +, (надалі позначатимемо їх , ). Ефективний польовий гамільтоніан у результаті має вигляд:

, . (10)

У другому підрозділі модель (10) досліджувалась у рамках теоретико-польової РГ як із застосуванням подвійного , -розкладу, що привів до якісних вказівок на існування нетривіального впливу далекосяжно-скорельованого безладу на закони скейлінгу полімерних ланцюгів, так і у випадку фіксованої вимірності простору . Зокрема, у першому порядку , -розкладу ми отримали наступний результат для показника, що керує законом скейлінгу для середньоквадратичної відстані між кінцями полімерного ланцюга (2):

(11)

Досліджуючи задачу із ефективним гамільтоніаном (10) у другому порядку теорії збурень безпосередньо при вимірності простору та фіксованих значеннях параметра ми отримали результати для координат стійких нерухомих точок та відповідні значення універсальних показників подані у табл. 3.

Таблиця 3

Координати стійких нерухомих точок та відповідні критичні показники моделі полімера у середовищі із далекосяжно-скорельованим безладом при і різних фіксованих значеннях кореляційного параметра

Існує певне граничне значення кореляційного параметра (у межах наших обчислень ), нижче якого стійка нерухома точка у системі відсутня. Це може служити вказівкою на можливість колапсу полімерного клубка у середовищі, де безлад скорельований надто сильно.

Третій підрозділ присвячено обчисленню показників поправок до скейлінгу магнітних систем із далекосяжно-скорельованим безладом. Як відомо з теорії РГ, лише в асимптотичній області, де константи зв'язку відповідного ефективного гамільтоніана досягли значень, відповідних стійкій нерухомій точці, значення критичних показників є універсальними і виконуються співвідношення скейлінгу між ними. У неасимптотичній області присутні відхилення від значень показників у критичній точці, які спадають згідно степеневого закону із показником поправки до скейлінгу . Зокрема, для магнітної сприйнятливості маємо так зване розвинення Вегнера (Wegner F. J. // Phys. Rev. B, 1972, 5 4529):

(12)

де неуніверсальні амплітуди, асимптотичні значення критичних показників магнітної сприйнятливості та кореляційної довжини. У нашому дослідженні ми обчислили показники моделі із далекосяжно-скорельованим безладом (див. табл. 4) у рамках двопетлевого наближення методу теоретико-польової РГ, вони означаються як менше із власних значень матриці стійкості, складеної із похідних -функцій у стійкій нерухомій точці. У недавній роботі (Ballesteros H. G., Parisi G. // Phys..Rev. B, 1999, 60 12912) методом симуляцій Монте-Карло було отримано критичні показники моделі Ізинга у середовищі із далекосяжно-скорельованим безладом, показники поправки до скейлінгу відіграють важливу роль при інтерпретації таких симуляцій.

Таблиця 4

Показники поправки до скейлінгу тривимірних -компонентних моделей із далекосяжно-скорельованим безладом

У четвертому розділі досліджується поведінка випадкових блукань без самоперетинів на перколяційному кластері, що має фрактальну структуру. Відомо, що слабкий безлад середовища не змінює універсальних характеристик випадкових блукань без самоперетинів, це підтверджено як аналітичними дослідженнями, так і комп'ютерними симуляціями. Проте, для моделі на перколяційному кластері ситуація більш контраверсійна. Існують багаточисленні симуляційні дослідження такої моделі, а також розвинено теорії типу Флорі, які одностайно вказують на те, що клас універсальності такої моделі є новим порівняно із чистою моделлю, однак на сьогодні існував єдиний результат дослідження моделі у рамках теоретико-польової РГ, перший порядок - розкладу (Meir Y., Harris A. B.// Phys. Rev. Lett., 1989, 63 2819).

Перший підрозділ присвячено теоретико-польовому формулюванню моделі випадкових блукань без самоперетинів на гратці із випадковими зв'язками, концентрація яких дорівнює перколяційній, так що випадкові блукання можуть здійснюватись лише на перколяційному кластері. Ефективний польовий гамільтоніан моделі отримується із вихідного граткового гамільтоніана у спінових змінних , де спінові індекси, реплічні індекси шляхом узагальненого перетворення Стратоновича-Хаббарда до тензорних полів із компонентами спряженими до добутків компонент реплікованих спінів.

Рисунок 1: Універсальний показник , що визначає середньоквадратичну відстань між кінцями траєкторії випадкових блукань без самоперетинів на перколяційному кластері. Трикутнички: результати, отримані на базі формули типу Флорі (Kim Y. // J. Phys. A: Math. Gen. 1990, 20 1293), кружечки результати точного підрахунку (Meir Y., Harris A. B. // Phys. Rev. Lett. 1989, 63 2819), квадратики наші результати.

У результаті отримується ефективний гамільтоніан моделі:

(13)

де: , - символічне представлення добутку трьох полів , тут дозволені лише такі кубічні члени, для яких пара реплічних індексів виникає лише двічі. Маємо систему взаємодіючих полів із різними масами , так що в системі виникає мультикритичність.

У наступному підрозділі проведено дослідження моделі у рамках теоретико-польової ренормалізаційної групи у двопетлевому наближенні. Відзначимо, що мультикритичність задачі приводить до існування спектру показників. Для показника, що визначає середньоквадратичну відстань між кінцями траєкторії випадкових блукань на перколяційному кластері, нами отримано наступний вираз:

, (14)

Blavats'ka V. B. Influence of extended impurities on the scaling laws for polymers and magnets. - Manuscript.