Асимптотична динаміка термопружної пластинки Кармана в потоці газу

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА

01.01.03 - математична фізика

УДК 517.94

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

АВТОРЕФЕРАТ

АСИМПТОТИЧНА ДИНАМІКА ТЕРМОПРУЖНОЇ ПЛАСТИНКИ КАРМАНА В ПОТОЦІ ГАЗУ

Рижкова Ірина Анатоліївна

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Чуєшов Ігор Дмитрович, Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, завідувач кафедри математичної фізики та обчислювальної математики

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, Таврійський національний університет імені В. І. Вернад-ського, завідувач кафедри математичного аналізу;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Шепельський Дмитро Георгійович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. Вєркіна, старший науковий співробітник математичного відділення.

Захист відбудеться 20.07.2008 року о 15-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 у Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 18.06.2008 р.

Учений секретар ссс секретар Вчений секретар Скорик В. О. спеціалізованої вченої ради

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У дисертації вивчається якісна поведінка розв'язків задач, що описують нелінійні коливання термопружної пластини в потенціальному потоці газу.

Дослідження коливань крила у потоці газу почалися ще в першій половині ХХ століття у зв'язку з потребами авіабудівництва. Вагомий внесок у дослідження цих задач був зроблений М. В. Келдишем, Е. П. Гроссманом, Я. М. Пархомовським та ін., але методи, що тоді застосовувалися, базувались на заміні крила механічною системою зі скінченною кількістю ступенів свободи.

Вивчення математичних моделей, які описують взаємодію пластини з потоком газу, було започатковано в другій половині ХХ століття В. В. Болотиним, А. А. Мовчаном, Е. Дауелом, А. С. Вольміром та іншими. Ці дослідження ґрунтувалися здебільшого на скінченновимірних апроксимаціях вихідних систем диференціальних рівнянь. У кінці 70-х років В. С. Колєсовим, Ю. С. Колєсовим та іншими було розпочато застосування методів функціонального аналізу до строгого дослідження аеродинамічних систем на стійкість.

Вивчення аеродинамічних систем з точки зору глобальної динаміки та атракторів було почато в 90-х роках І. Д. Чуєшовим. У випадку дозвукового потоку газу для повної системи, що описує динаміку як пластини, так і збуреного потоку газу, було розв'язано низку важливих математичних питань, зокрема, доведено коректну розв'язність та вивчено асимптотичну поведінку демпфованої системи, але у випадку надзвукового потоку газу дослідження цієї задачі виявилося набагато складнішим. У цьому випадку показав себе продуктивним підхід, при якому вплив газу на пластину враховується за допомогою доданка із запізненням, який залежить від прогину пластини за деякий попередній проміжок часу. Дослідження асимптотичної динаміки таких задач для ізотермічних пластин фон Кармана та Бергера, що підлягають сильній структурній дисипації, було здійснено в роботах І. Д. Чуєшова, О. В. Резуненка, Л. Буте де Монвеля.

Із математичної точки зору структурна дисипація є однією з самих сильних, і тому викликає інтерес питання, чи зберігаються результати щодо асимптотичної поведінки розв'язків вищевказаних задач за відмовлення від гіпотези про дисипацію взагалі, чи, принаймні, при її заміні припущенням про більш слабкий характер дисипації (наприклад, тепловий характер). Крім того, врахування дисипації енергії за допомогою "структурного доданку" в деяких випадках є достатньо грубим наближенням.

Для термопружної пластини, що взаємодіє з необмеженим об'ємом газу, це питання взагалі не було висвітлено в літературі, хоча взаємодія термопружної пластини з обмеженим об'ємом газу в лінеаризованому потенціальному наближенні вивчалися І. Лашецькою, К. Лебедзик та Дж. Авалосом на початку ХХІ століття. Проте використані ними методи виявилися непридатними у випадку необмеженого об'єму та ненульової швидкості руху незбуреного потоку газу.

Таким чином, актуальним є дослідження якісних аспектів взаємодії термопружної пластини, що не підлягає механічній дисипації, з потенціальним потоком газу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертаційної роботи проводилися на кафедрі математичної фізики та обчислювальної математики механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. Напрямок досліджень передбачено тематичним планом наукової роботи за темою "Асимптотична та якісна поведінка розв'язків еволюційних рівнянь з частинними похідними" (номер держреєстрації 0106U001535).

Мета та задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є опис якісної поведінки розв'язків ряду задач, зв'язаних з нелінійними коливаннями термопружної пластини в потоці газу. Для досягнення цієї мети передбачається вирішити наступні задачі:

· довести коректну розв'язність для зв'язаної системи "термопружна пластина + газ" при різних значеннях параметрів, які описують швидкість незбуреного потоку газу та інерцію обертання елементів пластини;

· описати асимптотичну поведінку розв'язків повної системи "термопружна пластина + газ" в цілому;

· довести коректну розв'язність системи рівнянь із запізненням, одержаної за допомогою редукції повної системи "термопружна пластина + газ";

· довести існування компактного глобального атрактора для задачі із запізненням та встановити скінченновимірність асимптотичної динаміки.

Об'єкт дослідження. Початково-крайові задачі для повної зв'язаної системи рівнянь "термопружна пластина + газ" та для системи рівнянь із запізненням, що виникає за допомогою зведення повної системи.

Предмет дослідження. Коректна розв'язність вищезгаданих систем та асимптотична динаміка їх розв'язків, зокрема існування та властивості глобального атрактора для зведеної системи із запізненням.

Методи дослідження. Для визначення якісних властивостей розв'язків розглянутих у роботі задач використовуються фундаментальні методи функціонального аналізу, загальної теорії рівнянь з частинними похідними та теорії динамічних систем. Для доведення існування розв'язків усіх розглянутих задач використовуються різні варіанти метода компактності. Єдиність розв'язку доводиться за допомогою леми Гронуолла, окрім випадку нехтування інерцією обертання в повній системі "термопружна пластина + газ". У цій ситуації використовується часткове зведення вихідної задачі до рівняння із запізненням та методи теорії аналітичних півгруп. Стабілізація розв'язків повної системи до множини її нерухомих точок доводиться методом розщеплення розв'язку на компактну компоненту та компоненту, що прямує до нуля. Дисипативність динамічних систем, які відповідають зведеним системам із запізненням, встановлюється методом функцій Ляпунова. Для доведення скінченновимірності їх асимптотичної динаміки вживаються узагальнення теореми Ладиженської, метод стабілізаційних оцінок, запозичений з теорії керування, та загальні методи теорії динамічних систем.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше вивчена якісна поведінка розв'язків зв'язаної системи рівнянь "термопружна пластина + газ" та задачі із запізненням, яка була отримана зведенням вищезгаданої системи. Були отримані наступні нові результати:

· встановлено додаткову граничну гладкість розв'язків рівняння потенціального руху газу в півпросторі з нульовими граничними умовами Неймана;

· доведено коректну розв'язність зв'язаної системи "термопружна пластина + газ" для дозвукової швидкості потоку газу у випадку нехтування інерцією обертання елементів пластини та для будь-якої швидкості потоку газу, яка не дорівнює звуковій, у випадку врахування інерції обертання;

· показано стабілізацію розв'язків системи "термопружна пластина + газ" до нерухомих точок системи у випадку дозвукового потоку газу тільки за рахунок теплової дисипації;

· знайдено умови на параметри задачі із запізненням, за яких має місце існування компактного глобального атрактора та скінченність його фрактальної розмірності для відповідної динамічної системи;

· доведено, що кількість визначаючих функціоналів для розглянутої задачі із запізненням є скінченною, а також що асимптотична динаміка компонент її розв'язку (відхилення пластини, швидкості відхилення, температури пластини) повністю визначаються асимптотичною поведінкою першої компоненти.

Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретичний характер. Розвинуті у роботі методи можуть бути основою для подальшого якісного дослідження взаємодії термопружних пластин з потоком газу в різних постановках. Отримані у дисертаційній роботі нові результати щодо асимптотичної динаміки розв'язків розглянутих систем можуть стати основою для розробки ефективних чисельних методів наближеного дослідження граничних режимів таких задач. Крім того, встановлено неможливість панельного флатеру (нерегулярних граничних режимів) термопружної пластини у випадку дозвукового потоку газу, що може бути застосовано при розрахунках аеродинамічних властивостей літальних апаратів.

Особистий вклад здобувача. Усі результати, які винесені до захисту, отримані автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на Х міжнародній науковій конференції ім. академіка Кравчука (м. Київ, 2004), на міжнародній конференції "Конференція з опуклої геометрії та явища великих розмірностей" (м. Відень, Австрія, 2005), на міжнародній конференції "Нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними" (м. Алушта, 2005), на Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій сторіччю Я. Б. Лопатинсько-го (м. Львів, 2006), на семінарі з диференціальних рівнянь математичного факультету Університету імені Й. В. Гьоте, м. Франкфурт-на-Майні, Германія, (керівник - доктор Штефан Зігмунд), на семінарі кафедри математичної фізики та обчислювальної математики механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна (керівник - професор І. Д. Чуєшов), на міжкафедральному семінарі факультету математики та інформатики Таврійського національного університету імені В. І Вернадського (керівник - професор М. Д. Копачевський).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 7 роботах, у тому числі в 4-х статтях у фахових виданнях та у 3-х тезах доповідей конференцій. Усі роботи виконані без співавторів.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та переліку використаних джерел. Повний об'єм дисертації складає 136 сторінок, перелік використаних джерел займає 10 сторінок та складається з 89 найменувань. Результати роботи, які подані до захисту, формулюються та доводяться в розділах 2-4.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, наукову новизну роботи, викладено мету та задачі, предмет, об'єкт дослідження та методологічну базу, проаналізовано сучасний стан проблеми.

У першому розділі роботи подано огляд літератури за темою дисертації та порівняно результати та методи оглянутих робіт з результатами та методами дисертаційної роботи. Також наведено основні визначення, які використано в наступних розділах. Результати дисертаційної роботи наведено в другому, третьому та четвертому розділах.

У другому розділі розглянуто хвильове рівняння в півпросторі

, (1)

(2)

(3)

(4)

Рівняння такого типу зустрічаються в теорії потенціального руху ідеального газу. Головною метою розділу 2 є одержання оцінок для розв'язку задачі (1)-(3), які необхідні при вивченні повної системи "термопружна пластина + газ". Хоча розділ 2 носить допоміжний характер, його основні результати (теореми 1 та 2) мають самостійний інтерес. У підрозділі 2.1 введено основні функціональні простори, в яких розглядається розв'язок задачі (1)-(3), а саме:

, (5)

з нормою

. (6)

Для введено локальну енергію

, (7)

де , її базою є система множин

, (8)

де пробігає , пробігає , а пробігає .

У підрозділі 2.2 вводяться додаткові функціональні простори, які необхідні для доведення основних результатів розділу 2, та доводиться низка результатів про їх інтерполяцію. Зокрема, встановлено, що

, коли , (9)

, коли , (10)

де - комплексний інтерполяційний функтор. Будемо позначати

, (11)

У підрозділі 2.3 розглядається питання про існування та єдиність розв'язку задачі

(12)

(13)

за умов, що початкові данні , . Доведено, що для будь-якого існує єдиний розв'язок задачі (4)-(5) , норма якого в просторі не зростає, а для будь-якого .Також доведено неперервність розв'язку задачі (4)-(5) за початковими даними в просторах та , де - множина , споряджена локально-енергетичною топологією.

У підрозділі 2.4 доведено головний результат розділу 2 щодо граничної гладкості розв'язків задачі (4)-(5).

Теорема 1. Нехай -- розв'язок (4)-(5) з початковими умовами та . Тоді:

, (14)

та має місце оцінка

, (15)

для будь-якої обмеженої множини ;

, (16)

де , (17)

для будь-якого , , та виконуються нерівності

, (18)

для будь-якої обмеженої множини .

При доведенні цієї теореми використовується наступний результат, який встановлено в пункті 2.4.2.

Теорема 2. Розглянемо систему

, (19)

, (20)

Якщо

, (21)

то , (22)

, (23)

та має місце оцінка

, (24)

Якщо , (25)

то , (26)

де , , , (27)

та виконуються нерівності

, (28)

Для доведення пункту (і) використовується перетворення Фур'є-Лапласа величини . У пункті (іі) цієї теореми запропонована нова ідея представлення у вигляді суми двох функцій, гладкість яких вивчається окремо. Оцінки п. (іі) виявилися найбільш трудомісткими в доведенні теореми 2.

Взявши в (6) функцію спеціального вигляду та застосувавши теорію синус та косинус-операторів, отримаємо теорему 2. Ці міркування проведені в пункті 2.4.3.

У підрозділі 2.5 доводяться необхідні в розділі 3 оцінки для розв'язків задачі

(29)

(30)

Зокрема, якщо функція має компактний носій в та , де , а , то при довільних та для розв'язку (8)-(9) виконується оцінка:

, (31)

Доведення цієї нерівності спирається на отримані С. Міятаке оцінки для розв'язків (8)-(9) та теорію інтерполяційних просторів.

Основні результати другого розділу опубліковані в роботі [4].

У третьому розділі розглядається наступна система рівнянь, яка описує коливання термопружної пластини фон Кармана в потенціальному потоці ідеального газу, що рухається в напрямку осі зі швидкістю :

, (32)

, (33)

, (34)

, (35)

де - функція напруження, яка є розв'язком задачі

, (36)

Потенціал швидкості збуреного потоку газу задовольняє рівнянню

, (37)

, (38)

, (39)

 -- гладка обмежена область в , -- зовнішня одинична нормаль до , -- оператор Лапласа, дужки Кармана визначаються як . Функція описує поперечне відхилення пластини, -- температуру пластини, , - відомі функції. Якщо параметр , то інерція обертання враховується, якщо , то не враховується. Параметр пропорційний інтенсивності взаємодії між газом та пластиною.

У третьому розділі вивчається коректна розв'язність та асимптотична поведінка розв'язків задачі (11)-(18).

У підрозділі 3.1 сформульовані основні результати. Введено простір станів пластини, де , якщо , та , якщо , та простір станів газу . Символом позначено простір з локально-енергетичною топологією. пластина газ обертання метан

Наступна теорема про існування та єдиність розв'язку задачі (11)-(18) встановлена в підрозділі 3.2.

Теорема 3. Нехай виконується або ( та ), або ( та ). Тоді для будь-якого та існує єдиний слабкий розв'язок задачі (11)-(18) на інтервалі , що має наступні властивості.

· Розв'язок має гладкість

, (40)

· Для розв'язку має місце енергетична рівність

, (41)

де енергетичний функціонал визначається як

, (42)

де - енергія термопружної пластини, що дорівнює

, (43)

означає енергію потоку газу та визначається формулою

, (44)

та - енергія взаємодії пластини з потоком газу, яка визначена формулою

· Задача (11)-(18) породжує еволюційний оператор таким чином: , де - слабкий розв'язок (11)-(18) з початковими даними . Оператор є неперервним в та в в такому сенсі. Нехай , , - слабкі розв'язки (11)-(18) з початковими умовами , відповідно, такими, що . Тоді для всіх виконуються оцінки

, (45)

де залежить тільки від , , , .

Зауважимо, що випадки урахування інерції обертання елементів пластини () та нехтування інерцією обертання () виявилися істотно різними. У пункті 3.2.1 теорема 3 доведена для випадку . Для цього використовується реґуляризований метод Гальоркіна, який спирається на розв'язність задачі (11)-(18) з фіксованими крайовими умовами з простору . У пункті 3.2.2 теорема 3 встановлена для випадку . Оскільки в цьому випадку апріорні оцінки дають лише , то реґуляризований метод Гальоркіна, використаний у пункті 3.2.1, є непридатним. Існування розв'язку при доводиться за допомогою стандартного методу Гальоркіна, а єдиність - шляхом часткового зведення задачі (11)-(18) до рівняння із запізненням на пластині з використанням аналітичності відповідної лінійної термопружної півгрупи.

У підрозділі 3.3 вивчена асимптотична поведінка розв'язків задачі (11)-(18), а саме, отримано наступне твердження щодо стабілізації розв'язків цієї задачі, яке є основним результатом розділу 3.

Теорема 4. Нехай та . Тоді для будь-яких початкових даних

, (46)

, (47)

, (48)

розв'язок задачі (11)-(18) прямує до множини її нерухомих точок в локально-енергетичній топології, тобто

, (49)

для будь-якої обмеженої множини . Множина складається з пар , які є розв'язками задачі

, (50)

, (51)

, (52)

, (53)

де є розв'язком рівняння (15).

Доведення цієї теореми базується на декомпозиції розв'язку (11)-(18) в суму , де прямує до нуля в просторі , а послідовність -- компактна в для будь-якої послідовності . Таким чином, з будь-якої послідовності вигляду , , можна виділити збіжну підпослідовність. Те, що така підпослідовність збігається до деякої нерухомої точки задачі (11)-(18), витікає з того факту, що прямує до нуля вздовж траєкторії, що, в свою чергу, є наслідком енергетичної рівності (19).

Основна складність полягає в знаходженні вищезгаданої декомпозиції та доведенні компактності . Для випадків та використовуються різні декомпозиції на компактну та спадаючу компоненти.

У підрозділі 3.3.1 теорема 4 доведена для випадку . Використовується наступна декомпозиція розв'язку задачі (11)-(18)

:, (54)

,, (55)

Де ,, (56)

,, (57)

та компоненти є розв'язками наступних систем:

, (58)

де - розв'язок (15), а задовольняють граничним умовам (13), та

, (59)

Компонента . Прямування компоненти до нуля є наслідком добре відомих результатів про експоненціальну стійкість лінійної термопружної системи та спадання локальної енергії для хвильового рівняння в необмеженій області. Компактність в просторі встановлено за допомогою принципу Дюамеля, теорії інтерполяційних просторів та наступного твердження.

Лема 1. Позначимо , , та нехай - розв'язок лінійної системи термопружності з початковими даними . Тоді має місце оцінка

, (60)

Доведення компактності спирається на ознаку компактності в просторі , встановлену в підрозділі 2.2.

Лема 2. Нехай послідовність обмежена в , , та нехай константа , . Якщо для будь-якого існують та такі, що

(61)

де , то є компактною в .

Отже, завдяки лемі 2 та оцінці (10), достатньо довести обмеженість в необхідних просторах, що випливає з оцінки

, (62)

яка має місце для усіх . Ця нерівність є наслідком теореми 1. У пункті 3.3.2 теорема 4 доведена для випадку . Використовується наступна декомпозиція розв'язку задачі (11)-(18):

,, (63)

де ,, (64)

, (65)

а компоненти задовольняють наступним рівнянням:

, (66)

де - розв'язок (15) та функції задовольняють крайовим умовам (13), та

, (67)

Те, що компонента прямує до нуля, коли , витікає з добре відомого результату про спадання локальної енергії для хвильового рівняння в необмеженій області.

Завдяки аналітичністі півгрупи, яка відповідає лінійній термопружній системі з , доведено, що траєкторія є компактною в просторі для будь-якого , та

, (6)

Подібно до пункту 3.3.1, компактність , встановлюється за допомогою леми 2, нерівності (10) та наступної оцінки, що виконується для будь-яких , та :

, (70)

Ця оцінка є наслідком теореми 1.

Основні результати третього розділу опубліковані в роботах [1, 3].

У четвертому розділі розглядається задача із запізненням, яка виникає після зведення повної системи (11)-(18) до системи інтегро-диференціальних рівнянь, заданих на області, яку займає пластина, а саме

, (71)

, (72)

, (73)

де - функція напружень, яка є розв'язком (15), , - гладка обмежена область в , - зовнішня нормаль до , - оператор Лапласа. Функція описує поперечне відхилення пластини, функція означає температуру; - відома функція, а - аеродинамічний тиск, що задається формулою

, (74)

де , (75)

- продовження нулем функції зовні , . Початкові умови задаються у вигляді

, (76)

У підрозділі 4.1 введено необхідні визначення та сформульовано основні результати розділу 4.

У підрозділі 4.2 вивчається коректна розв'язність задачі (20)-(25). Доведено, що для будь-яких початкових даних , де

, (77)

а , (78)

де , (79)

якщо , та , якщо , та для будь-якого інтервалу часу існує єдиний слабкий розв'язок задачі (20)-(25) такий, що та . Також доведено неперервність розв'язку за початковими даними. Отже, задача (20)-(25) породжує динамічну систему таким чином:

, (80)

, (81)

де - розв'язок задачі (20)-(25) з початковими даними .

Мета підрозділу 4.3 полягає у встановленні існування глобального атрактора динамічної системи , тобто замкненої компактної строго інваріантної множини, що рівномірно притягує усі обмежені підмножини фазового простору . Відомо, що для існування глобального атрактора достатньо довести дисипативність та асимптотичну компактність динамічної системи. У пункті 4.3.1 встановлено умови на параметри задачі, які гарантують дисипативність динамічної системи , тобто існування такої обмеженої множини , що для будь-якої обмеженої множини існує момент часу такий, що для будь-якого . Доведння проводиться методом функцій Ляпунова. У пункті 4.3.2 за умов дисипативності динамічної системи доведена її асимптотична компактність, тобто існування компактної множини , яка рівномірно притягує усі обмежені множини фазового простору . Доведення здійснюється методом розщеплення. Отже, мають місце наступні дві теореми, які є одними з основних результатами розділу 4.

Теорема 5. Нехай . Тоді динамічна система має компактний глобальний атрактор .

Теорема 6. Нехай . Тоді існує таке , що для усіх (і, відповідно, ) динамічна система має компактний глобальний атрактор .

Існує два незалежні підходи до визначення "скінченновимірності" асимптотичної динаміки: один використовує поняття фрактальної розмірності компактної множини, а інший -- поняття визначаючих функціоналів. У підрозділі 4.4 обидва підходи застосовуються для вивчення атрактора динамічної системи . Основою для обох підходів є наступна стабілізаційна нерівність, доведена в пункті 4.4.1.

Лема 3. Нехай виконуються припущення теореми 5 у випадку чи теореми 6 у випадку . Припустимо, що , - два розв'язки (20)-(25) такі, що , , . Позначимо . Тоді для будь-яких у випадку та для будь-яких у випадку виконується оцінка:

, (82)

За допомогою леми 3 та узагальненої теореми Ладиженської в пункті 4.4.2 доведена наступна

Теорема 7. Нехай виконуються припущення теореми 5 у випадку та припущення теореми 6 у випадку . Тоді глобальний атрактор системи має скінченну фрактальну розмірність, тобто

(83)

де - мінімальна кількість замкнених куль радіуса , що покриває .

Результатом пункту 4.4.3 є наступна теорема, яка теж є наслідком леми 3.

Теорема 8. Нехай , , та виконуються припущення теореми 5 у випадку та припущення теореми 6 у випадку . Тоді існує таке, що будь-яка множина функціоналів на з дефектом повноти є множиною асимптотично -визначаючих функціоналів для задачі (20)-(25), тобто з того, що для будь-яких двох її розв'язків виконується

 (84)

витікає, що

(85)

Дефектом повноти множини лінійних функціоналів на відносно простору називається величина

, (86)

З теореми 8 витикає, що асимптотична динаміка розв'язку задачі (20)-(25) повністю визначається асимптотичною динамікою першої компоненти. Теореми 7 та 8 також є головними результатами розділу 4.

Основні результати четвертого розділу опубліковані в роботі [2]

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглядалися наступні початково-крайові задачі, які описують коливання термопружної пластини фон Кармана в потенціальному потоці газу:

· повна система (11)-(18), що описує як нелінійні коливання термопружної пластини, так і збурення потоку газу, який займає верхній півпростір та рухається вздовж осі зі швидкістю ;

· система із запізненням (20)-(25), отримана в результаті редукції повної системи (11)-(18), якщо початкові дані для газу мають компактні носії; ця система описує тільки коливання термопружної пластини.

Ці задачі виникають при моделюванні коливань обшивки літального апарату при його русі в атмосфері.

Метою дисертаційної роботи був опис якісної поведінки розв'язків вищезгаданих задач при великих значеннях часу. Задачі про коливання нелінійної термопружної пластини в потенціальному лінеаризованому потоці газу на строгому математичному рівні вивчаються вперше.

У дисертації отримано низку нових результатів щодо якісних властивостей розв'язків розглянутих задач, а саме:

· доведена коректна розв'язність повної системи рівнянь "термопружна пластина + газ" (11)-(18) для будь-яких значень швидкості потоку газу у випадку урахування інерції обертання () та для дозвукового потоку газу у випадку нехтування інерцією обертання ();

· встановлено коректну розв'язність системи рівнянь із запізненням (20)-(25), яка є редукцією вихідної задачі;

· показано, що розв'язки повної системи "пластина + газ" притягуються до множини нерухомих точок системи в локально-енергетичній топології; при цьому стабілізація має місце тільки за рахунок теплової дисипації на пластині та спадання локальної енергії для хвильової компоненти системи; присутності будь-якої механічної дисипації в моделі не припускається;

· встановлено додаткову граничну регулярність розв'язків хвильового рівняння в півпросторі;

· доведено існування компактного глобального атрактора скінченної фрактальної розмірності для зведеної системи із запізненням (20)-(25) для будь-яких при та для достатньо великих при ;

· показано, що асимптотична поведінка усіх трьох компонент розв'язку задачі із запізненням (20)-(25) повністю визначається асимптотичною поведінкою першої компоненти та, крім того, може бути описано скінченним числом параметрів.

Зокрема, ці результати означають, що у випадку дозвукового потоку газу розглянуті задачі мають тільки регулярні граничні режими, тобто теплова дисипація в пластині робіть панельний флатер неможливим при дозвукових швидкостях.

Отримані в дисертаційній роботі результати можуть слугувати основою для побудови ефективних алгоритмів чисельного дослідження граничних режимів розглянутих задач.

ПУБЛІКАЦІЇ

1. Ryzhkova I. Stabilization of von Kбrmбn plate in the presence of thermal effects in the subsonic flow of gas // J. Math. Anal. Appl. - 2004. - Vol. 294/2. - P. 462-481.

2. Ryzhkova I. On a retarded PDE system for a von Karman plate with thermal effects in the flow of gas // Matematicheskaja fizika, analiz, geometrija. - 2005. - Vol. 12, № 2. - P. 173-186.

3. Ryzhkova I. Dynamics of a thermoelastic von Karman plate in a subsonic gas flow // Zeitschrift fьr Angewandte Mathematik und Physik. - 2007. - Vol. 58. - P. 246-261.

4. Ryzhkova I. On Trace Regularity of Solutions to a Wave Equation with Homogeneous Neumann Boundary Conditions // Журнал математической физики, анализа, геометрии. - 2007. - Т. 3, № 4. - C. 468-489.

5. Рыжкова И. А. Стабилизация пластины фон Кармана с тепловыми эффектами в дозвуковом потоке газа // Десята міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 2004. - C. 217.

6. Ryzhkova I. Nonlinear oscillations of a plate in a potential gas flow in the presence of thermal effects // 1st Annual Conference of EU-Network "Phenomena in High Dimentions": Conference on Convex Geometry and High Dimesional Phenomena. Proceedings. Vien(Austria). -2005. - P. 24-25.

7. Ryzhkova I. Qualitative behaviour of von Karman thermoelastic plate in a gas flow // International conference on differential equations. Proceedings. Lviv (Ukraine). - 2006. - P. 141-142.

АНОТАЦІЯ

Рижкова І. А. Асимптотична динаміка термопружної пластинки Кармана в потоці газу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 -- математична фізика. Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню зв'язаної системи рівнянь "термопружна пластина + газ", що описує поведінку як термопружної пластини фон Кармана, так і збуреного потоку газу, та її редукції до системи рівнянь із запізненням, що описує поведінку тільки пластини.

Доведено коректну розв'язність повної системи "пластина + газ" для будь-якої швидкості потоку газу у випадку урахування інерції обертання елементів пластини та для дозвукової швидкості потоку газу у випадку нехтування інерцією обертання. Показано, що у випадку дозвукової швидкості потоку газу будь-який розв'язок системи прямує до множини її нерухомих точок.

Проведено зведення повної задачі до системи рівнянь із запізненням та доведена коректна розв'язність отриманої системи. Встановлено умови на параметри задачі, за яких відповідна динамічна система має компактний глобальний атрактор скінченної фрактальної розмірності.

Ключові слова: термопружність, аеропружність, пластина фон Кармана, стабілізація, хвильове рівняння, гранична гладкість, рівняння із запізненням, глобальний атрактор.

Рыжкова И. А. Асимптотическая динамика термоупругой пластины Кармана в потоке газа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 -- математическая физика. Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, Харьков, 2008.

Диссертация посвящена исследованию взаимодействующей системы уравнений "термоупругая пластина + газ", которая описывает поведение как термоупругой пластины фон Кармана, так и возмущенного потока газа, и ее редукции к системе уравнений с запаздыванием, которая описывает поведение только пластины. В работе рассматривается защемленная по контуру термоупругая пластина, лежащая в плоскости , над которой движется потенциальный поток газа со скоростью в направлении оси .

Доказана корректная разрешимость полной системы "пластина + газ" при следующих значениях параметров задачи: при любой скорости потока газа в случае учета инерции вращения элементов пластины и при дозвуковой скорости потока газа () в случае пренебрежения инерцией вращения.

Показано, что при дозвуковой скорости потока газа () любое решение полной системы стремится к множеству неподвижных точек. То есть, тепловой диссипации в пластине и убывания локальной энергии решений волнового уравнения достаточно для стабилизации системы в целом. Полученный результат означает, что флаттер термоупругой пластины в дозвуковом потоке газа невозможен.

Одним из ключевых вопросов при доказательстве корректной разрешимости и исследовании асимптотического поведения решений предыдущей задачи является вопрос о граничной гладкости решений волнового уравнения, описывающего движения газа. В работе установлены новые результаты, результаты, имеющие самостоятельный интерес, а именно, что величина , где -- потенциал скорости возмущенного потока газа, имеет большую гладкость, чем дает стандартная теория оператора следа. Кроме того, использовано разложение в сумму , где гладкость первого слагаемого дополнительно улучшена по времени, а второго -- по пространственным переменным.

В связи с тем, что изучение асимптотического поведения решений полной системы "термоупругая пластина + газ" в случае сверхзвукового потока газа не удается, в диссертационной работе проведена редукция исходной задачи к системе уравнений с запаздыванием, заданных на области, занимаемой пластиной. Установлено, что эта система порождает динамическую систему при любых скоростях набегающего потока газа. Эта динамическая система обладает компактным глобальным аттрактором при следующих условиях: при любой скорости потока газа в случае учета инерции вращения элементов пластины и при достаточно большой скорости потока газа в случае пренебрежения инерцией вращения. Доказано, что аттрактор имеет конечную фрактальную размерность. Установлено, что асимптотическое поведение всех трех компонент решения (смещение пластины, скорость смещения, температура пластины) определяется асимптотическим поведением первой компоненты.

Ключевые слова: термоупругость, аэроупругость, пластина фон Кармана, стабилизация, волновое уравнение, граничная гладкость, уравнение с запаздыванием, глобальный аттрактор.

Ryzhkova I. A. Asymptotic dynamics of a thermoelastic von Karman plate in a gas flow. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of science in physics and mathematics by specialty 01.01.03 -- mathematical physics. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2008.

The thesis is devoted to analysis of interactive PDE's system "thermoelastic plate + gas" that describes the behaviour of both thermoelastic von Karman plate and perturbed gas flow and its reduction to the retarded system that describes the behaviour of the plate only.

Well-posedness of the full system "plate + gas" is proved for any velocity of the gas flow in the case of accounting for rotational inertia of plate elements and for subsonic velocity of the gas flow in the case of rotational inertia neglected. It is shown, that in the case of the subsonic gas flow every solution to the system tends to its set of stationary points.

Reduction of the full system to the retarded equation system is carried out, and well-posedness of the problem obtained is proved. Conditions on the problem parameters, under which the corresponding dynamical system has a compact global attractor of finite fractal dimension, are found.

Key words: thermoelasticity, aeroelasticity, von Karman plate, stabilization, wave equation, trace regularity, retarded equation, global attractor.

Підписано до друку 21.03.08. Формат 60х84/16.

Папір офсетний. Гарнітура Times ET. Друк ризографія.

Умов.друк. арк. 0,85. Наклад 100 прим.

Замов. №

Надруковано ФОП “Петрова І.В.”.

Свідоцтво про внесення суб'єкта видавничої справи до державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції.

Серія ВОО № 948011

61144, м. Харків, вул. Гв. Широнінців, 79 Б, кв. 137.

Размещено на Allbest.ru

...