Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧНИЙ АНАЛІЗ

ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ РЕЗОНАНСНИХ КОЛИВАНЬ І

ЕФЕКТИВНОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕНЕРГІЇ В П'ЄЗОКЕРАМІЧНИХ ТОНКОСТІННИХ ЕЛЕМЕНТАХ

КОНСТРУКЦІЙ

Карлаш Валерій Леонідович

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка Національної академії наук України, м. Київ

Науковий консультант - член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Шульга Микола Олександрович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу електропружності.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Лейко Олександр Григорович, Київський Державний науково-дослідний інститут гідроприладів Мінпромполітики України, заступник директора з наукової роботи;

доктор технічних наук, професор Савін Віктор Гурійович, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут” професор кафедри акустики і акустоелектроніки;

доктор фізико-математичних наук, професор Карнаухов Василь Гаврилович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділу термопружності.

Провідна установа: Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України.

Захист відбудеться “_28_”__вересня_2004 р. о_10___годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, Київ, вул. Нестерова,3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, за адресою: Київ, вул. Нестерова,3.

Автореферат розісланий “_07_”_липня_2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Жук О.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В механіці суцільного середовища протягом останніх десятиріч значна увага приділяється вивченню зв'язаних полів, коли механічні процеси тісно поєднані з тепловими, електромагнітними, оптичними, радіаційними тощо. Зв'язаність механічного поля деформацій або напружень з полем електричної напруженості та індукції, мабуть, найяскравіше за все проявляється в п'єзоелектричних тілах як природних, так і синтезованих. Дослідження електромеханічних процесів у п'єзоелектричних тілах, насамперед синтетичних п'єзокераміках, ведуться в рамках електропружності - істотної частини механіки зв'язаних полів.

Поряд з традиційним використанням п'єзоелектричних матеріалів для виготовлення електромеханічних перетворювачів енергії у передавачах і приймачах ультразвуку в морській навігації й локації, у фільтрах частот і п'єзотрансформаторах, у п'єзодвигунах і стабілізаторах радіочастот, з'явилися повідомлення про п'єзоелектричні датчики деформацій, про нові п'єзоелектричні трансформатори для комп'ютерних дисплеїв і люмінесцентних ламп, про створення нових досконаліших п'єзокерамік тощо. Тонкостінні п'єзокерамічні елементи конструкцій у вигляді пластин з круговим, криволінійним і полігональним контуром, оболонок обертання сферичної, циліндричної та конусоподібної форми і їхніх фрагментів є типовими активними компонентами багатьох пристроїв і широко застосовуються в приладобудуванні, гідроакустиці, електроакустиці, ультразвуковій технології. Працюють вони переважно на одному з резонансів коливальної системи, коли проявляються або можуть проявлятися супутні нелінійні й теплові ефекти, що супроводжуються явищами самонагрівання й ведуть (часом) до деполяризації.

Систематичний опис циклічного деформування матеріалів, встановлення взаємозв'язку з різними мірами їх дисипативних і пружних властивостей, використання цих результатів для кількісного аналізу поведінки елементів конструкцій можливе тільки в рамках комплексного експериментального і експериментально-теоретичного дослідження. До недавнього часу навіть для радіальних коливань тонкого диска з розділеними електродами та безелектродною областю узагальненого розв'язку не було, так само, як і для планарних коливань кругових кілець з розділеними електродами та прямокутних пластин-п'єзотрансформаторів. Та й наявні розв'язки проведені переважно без врахування втрат енергії, що утруднює або й унеможливлює їхнє порівняння з експериментальними даними. Тож врахування втрат енергії при аналізі коливань п'єзокерамічних тіл залишається актуальним.

Незважаючи на велику кількість опублікованих праць, чимало питань ще залишаються нерозв'язаними. До таких проблем належать, зокрема, пошуки методів дослідження форм коливань, напруженого стану та ефективності електромеханічного перетворення енергії п'єзокерамічними тілами різної форми.

Недостатньо опрацьованими залишаються і експериментальні методики дослідження напружено-деформованого стану елементів конструкцій технологічного призначення із п'єзокераміки в наближених до робочих режимах механічного або електричного навантаження, в тому числі з проявами фізичної нелінійності матеріалу. Тому дослідження електромеханічної поведінки п'єзокерамічних тіл скінченних розмірів, тонкостінних монолітних і складених конструкцій у резонансній області має значне наукове і практичне значення.

Таким чином, комплексне теоретично-експериментальне дослідження циклічно деформованих п'єзокерамічних тіл та розвиток простих експериментальних методів таких досліджень, постановка зв'язаних електров'язкопружних задач і розробка методів їх розв'язання, вивчення ефективності електромеханічного перетворення енергії на різних модах резонансних коливань п'єзокерамічних пластин, оболонок обертання і складених просторових елементів конструкцій, а також дослідження на цій основі закономірностей електромеханічної поведінки п'єзокерамічних тіл при гармонічному (резонансному) навантаженні є актуальною науковою проблемою сучасної механіки твердого деформівного тіла.

В дисертації на захист виносяться розвиток і реалізація комплексної методики експериментального та експериментально-теоретичного дослідження електромеханічних резонансних коливань і ефективності перетворення енергії в типових тонкостінних п'єзокерамічних елементах конструкцій у кілогерцовому й мегагерцовому діапазонах частот та результати таких досліджень, як розв'язання важливої для інженерної практики нової науково-технічної проблеми в галузі механіки зв'язаних полів у матеріалах і елементах конструкцій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких викладені в дисертації, передбачені програмами і планами наукових досліджень з природничих наук на 1983-2004 рр. НАН України, були виконані та увійшли до звітів науково-дослідних робіт, проведених у відділі електропружності Інституту механіки НАН України, зокрема: “Електромагнітопружні коливання та хвилі в шаруватих середовищах” (1983-1986 рр.) № д.р. 077896; “Електропружні коливання п'єзокерамічних тіл канонічної форми”(1986-1990), № д.р.01860 021615; “Електропружні коливання п'єзокерамічних перетворювачів сферичної форми” (1993-1994); “Поширення акустоелектричних хвиль в неоднорідних середовищах з циліндричними поверхнями розділу” (1994-1997), № д.р. 0194U015235; “Теоретико експериментальне дослідження особливостей деформування твердих тіл при взаємодії з електромагнітним полем” (1999-2000), № д.р. 0199U000899; “Побудова ефективних підходів до розрахунку полів напружень і динамічних характеристик оболонкових елементів конструкцій з неоднорідних композитних матеріалів” (2002-2006), № д.р. 0102U007024 та ін.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток і реалізація комплексної методики експериментально-теоретичного дослідження електромеханічних резонансних коливань і ефективності перетворення енергії в тонкостінних п'єзокерамічних типових елементах конструкцій у кілогерцовому і мегагерцовому діапазонах частот, як розв'язання важливої для інженерної практики нової науково-технічної проблеми в галузі механіки зв'язаних полів, включаючи:

- опрацювання експериментальної методики дослідження гармонічних коливань тонкостінних п'єзокерамічних елементів конструкцій, яка містить метод п'єзотрансформаторного датчика, метод чотириполюсника Мезона, мостові схеми визначення характеристичних частот і провідностей, метод адмітансометра і кругових діаграм; обладнання метрологічно сертифікованими електровимірювальними приладами спеціалізованих дослідних стендів;

- розвиток і вдосконалення експериментального методу п'єзотрансформаторного датчика, які полягають у обґрунтуванні й ідентифікації експериментальних вимірювань у рамках концепції комплексних в'язкопружних модулів п'єзокераміки;

- експериментально-теоретичне дослідження частот і форм резонансних коливань та КЕМЗ елементів простої геометрії (чотириелектродні диски із закороченими, вільними і протифазними електродами, радіальні та несиметричні коливання кілець із товщинною поляризацією, поздовжні коливання вузьких прямокутних неоднорідних по довжині пластин);

- проведення експериментальних досліджень характеристик резонансних коливань і ефективності електромеханічного перетворення енергії в задачах динаміки п'єзокерамічних тонкостінних елементів конструкцій ускладненої форми (пластини з багатокутними контурами, пластини з криволінійними границями, циліндричні оболонки і складені тіла, кільцеві, циліндричні та сферичні сегменти, неоднорідні по меридіану замкнуті порожнисті тонкостінні кулі);

- аналіз одержаних експериментально-теоретичних результатів і опрацювання рекомендацій щодо можливостей їхнього використання.

Для досягнення мети в роботі розвинутий і вдосконалений оригінальний високоефективний експериментальний метод п'єзотрансформаторного датчика, котрий дає можливість визначати механічні характеристики у будь-якому місці тонкостінного п'єзокерамічного зразка по вимірюванню різниці потенціалів, що наводяться на резонансі прямим п'єзоефектом на невеликому електроді-датчику, відділеному від основного електродного покриття;

опрацьована нова методика експериментального визначення в'язкопружних параметрів поляризованої п'єзокераміки по вимірюванню характеристик повної провідності і резонансних частот тонкого диска із суцільними електродами на головних поверхнях і п'єзотрансформаторним датчиком у центрі;

проведені вимірювання характеристичних частот, повних провідностей і параметрів напруженого стану на зразках у формі тонких дисків і кілець із концентричними та діаметральними двосторонніми розрізами електродного покриття, а також некругових пластин трикутної, шестикутної, ромбічної, прямокутної форми та пластин із криволінійними границями;

досліджені особливості деформування оболонкових структур у вигляді зрізаних конусів, відкритих і закритих сферичних оболонок, циліндричних панелей, складених циліндричних оболонок, складених товстостінних порожнистих циліндрів тощо;

вивчена поведінка п'єзокерамічних зразків різної геометричної форми поблизу від їхніх товщинних резонансів та обертонів таких коливань;

досліджений вплив інтенсивних механічних, теплових та електричних полів на п'єзокерамічні зразки.

Об'єктом дослідження є зв'язані електромеханічні процеси в поляризованих п'єзоелектричних тілах та елементах конструкцій із них під дією гармонічного (включаючи резонансне) електричного навантаження. Вивчаються динамічні процеси в елементах конструкцій, що мають як просту форму (вузький плоский стержень, кругла або прямокутна пластинка, кільце, чотирикутник), так і об'єкти з ускладненими геометричними параметрами (складений циліндр, диск змінної товщини, зрізаний конус, кільцевий або сферичний сегмент тощо).

Предмет дослідження - резонансні зв'язані коливання п'єзокерамічних елементів конструкцій (однорідних і неоднорідних пластин, оболонок обертання і складених просторових тіл) під дією гармонічного електричного навантаження, вплив дисипативних явищ на характер напруженого стану і ефективність електромеханічного перетворення енергії.

Методи досліджень. Використовуються основні співвідношення лінійної теорії електров'язкопружності п'єзокерамічних тіл з врахуванням внутрішніх механічних, діелектричних і п'єзоелектричних втрат. Аналітичні розв'язки базуються на використанні комплексних модулів і концепції узагальненого плоского напруженого стану. Несиметричні коливання кругових кілець і пластин розглядаються з використанням апарату функцій Бесселя і розкладом напруженості електричного поля в ряд Фур'є по кутовій координаті. Електров'язкопружні коливання класичного п'єзотрансформатора вивчаються з врахуванням розбіжності електромеханічних деформаційних параметрів у його секціях.

Експериментальні дослідження напруженого стану, форм коливань і ефективності електромеханічного перетворення енергії ведуться з використанням методу п'єзотрансформаторного датчика, подальший розвиток якого проведений у дисертації. Застосовуються також методи резонансу-антирезонансу, адмітансометра, повної провідності. Обґрунтування методу п'єзотрансформаторного датчика проводиться зіставленням визначених з його використанням механічних напружень з розрахованими при розв'язанні тестових задач з радіальних коливань тонкої круглої пластинки.

Достовірність результатів виконаних досліджень забезпечується повторюваністю експериментальних даних, порівнянням експериментальних і аналітичних даних, зіставленням їх в окремих випадках з результатами інших авторів, прийняттям обґрунтованих механічних моделей і методів теоретичного і чисельного аналізу, а також тестуванням результатів обчислень для об'єктів типу тонких кругових дисків і вузьких прямокутних стержнів із п'єзокераміки експериментальними результатами .

Наукова новизна результатів роботи визначається такими положеннями:

1. розробка і реалізація комплексної методики експериментально-теоретичного дослідження електромеханічних резонансних коливань і ефективності перетворення енергії в тонкостінних п'єзокерамічних елементах конструкцій, яка містить метод п'єзотрансформаторного датчика, метод чотириполюсника Мезона, мостові схеми визначення характеристичних частот і провідностей, метод адмітансометра і кругових діаграм; включаючи:

? розвиток і вдосконалення експериментального методу п'єзотрансформаторного датчика, що полягає в обґрунтуванні й ідентифікації експериментальних вимірювань в рамках концепції комплексних модулів і податливостей, у встановленні меж застосовності методу і його функціональних можливостей, в уточненні зв'язку виміряного потенціалу з електромеханічними параметрами системи, у побудові фазових характеристик і перехідних процесів, у використанні його як елемента розробленої нової методики визначення основних електров'язкопружних параметрів п'єзокераміки з радіальних коливань круглої пластинки;

? вивчення характеристик деформування елементів конструкцій у наближених до робочих режимах електричного навантаження, встановлення зв'язку між виміряним потенціалом і амплітудою радіальних зміщень на ободі диска та поздовжніх зміщень на торці стержня;

2. експериментально-теоретичне дослідження частот і форм резонансних коливань та КЕМЗ елементів простої геометрії (чотириелектродні диски із закороченими, вільними і проти-фазними електродами, радіальні та несиметричні коливання кілець із товщинною поляри-зацією, поздовжні коливання прямокутних неоднорідних по довжині пластин), у тому числі:

? вперше досліджені аналітично і експериментально резонансні коливання тонких п'єзокерамічних кругових кілець з розділеними електродами, побудовані спектри несиметричних коливань, вивчені напружений стан, ефективність електромеханічного перетворення енергії і характеристики повної провідності;

? розроблено спрощену методику визначення компонент механічних, діелектричних і п'єзоелектричних втрат енергії по вимірюванню характеристичних частот і повних провідностей п'єзокерамічних зразків стержневої і круглої пластинкової форми і проведено з використанням цієї методики вивчення поведінки матеріалу для випадку гармонічного деформування в залежності від амплітуди прикладеного електричного поля;

? виміряні з використанням МПТрД при радіальних коливаннях тонкого диска із суцільними електродами параметри втрат енергії використані для розрахунку амплітудно-частотних характеристик чотириелектродного диска із протифазними або закороченими електродами та п'єзокерамічного кільця;

? удосконалено теоретичний підхід до аналізу поздовжніх коливань тонкої прямокутної монолітної пластини з ділянками поперечної та поздовжньої поляризації і встановлені на цій основі особливості деформування плоского п'єзотрансформатора, котрі добре узгоджуються з експериментами;

3. експериментальні дослідження характеристичних частот і форм резонансних коливань та КЕМЗ п'єзокерамічних елементів ускладненої форми (пластини з багатокутними контурами, пластини з криволінійними границями, циліндричні оболонки і складені тіла, кільцеві, циліндричні та сферичні сегменти, неоднорідні по меридіану замкнуті порожнисті тонкостінні кулі), зокрема:

? вперше досліджені експериментально резонансні коливання тонких п'єзокерамічних пластин трикутної, ромбічної і шестикутної форми і встановлені особливості їхньої спорідненості з резонансними коливаннями круглих, квадратних і прямокутних пластин;

? вперше досліджені експериментально резонансні коливання тонких п'єзокерамічних чотирикутних пластин з криволінійним границями, складених тіл оболонкової та секціонованої форми, а також коливання пластин і оболонкових секторів біля їхніх товщинних резонансів;

? вивчені особливості динамічних резонансних коливань в'язкопружних п'єзокерамічних круглих пластин і кілець при гармонічному електричному навантаженні, досліджений вплив рівня електричного навантаження на частотні характеристики електромеханічних параметрів.

Практичне значення отриманих результатів полягає

· в розвитку підходів до розв'язання конкретних задач про резонансні електромеханічні коливання тонкостінних елементів конструкцій із п'єзокераміки при гармонічному електричному навантаженні;

· в можливості застосування розроблених методик для вивчення електромеханічних полів у інженерній практиці на моделях із п'єзокераміки при проектуванні циклічно деформованих елементів конструкцій;

· в можливості безпосереднього використання результатів конкретних задач при проектуванні елементів конструкцій із п'єзокерамічними складовими;

· в застосуванні отриманих результатів для контролю коливань тонкостінних елементів за допомогою п'єзоелектричних датчиків і вклейок;

· в опрацюванні рекомендацій щодо раціонального вибору параметрів п'єзокерамічних пристроїв різного функціонального призначення.

Апробація результатів дисертації.

Матеріали дисертації доповідались на наукових конференціях, симпозіумах, семінарах, зокрема, Ш Всесоюзному симпозиумі: “Теоретические вопросы магнитоупругости” (Цахкадзор, Вірменія, 1984); У Всесоюзній конференції: “Методика и техника ультразвуковой спектроскопи” (Вільнюс, 1984); Міжнародній конференції: “Применение ультразвука в промышленности и медицине” (Вільнюс, 1987); УІ Всесоюзній конференції з фізики діелектриків: “Диэлектрики в экстремальных условиях” (Томськ, -І988); ХІУ конференції з питань розсіяння енергії при коливаннях механічних систем (Калінінград, 1989); ІУ Симпозиумі: “Теоретические основы магнитоупругости” (Єреван, 1989); Всесоюзній нараді-семінарі: “Инженерно-физические проблемы новой техники” (Москва, 1990); Ш-ІУ Міжнародних нарадах-семінарах: “Инженерно-физические проблемы новой техники” (Москва, 1994,1996); Міжнародній науково-практичній конференції: “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2002); І-ІІ Всеросійських конференціях: “Необратимые процессы в природе и технике” (Москва, 2001, 2003);Семінарах відділу електропружності Інституту механіки ім. Тимошенка С.П. НАН України (1984-2004).

У повному обсязі дисертація доповідалась і обговорювалась на семінарі відділу електропружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (керівник - д.ф.-м.н., професор, член-кор. НАН України М.О. Щульга, 2003, 2004); на науковому семінарі за напрямком “Механіка зв'язаних полів в матеріалах і елементах конструкцій” при Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (керівник - академік НАН України Ю.М. Шевченко, 2003); на загальноінститутському науковому семінарі з механіки Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (керівник - академік НАН України О.М. Гузь, 2003, 2004), на науковому семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (керівник - член-кор. НАН України Я.Й. Бурак, 2003), на науковому семінару відділу високочастотних методів дослідження міцності і дефектності матеріалів Інституту проблем міцності НАН України (керівник - д.т.н., проф. Г.Г. Писаренко, 2003), науковому семінарі з проблем механіки Національного університету ім. Тараса Шевченка (керівник - член-кор. НАН України А.Т. Улітко, 2003), науковому семінарі Київського Державного науково-дослідного інституту гідроприладів (керівник - д.т.н., проф. О.Г. Лейко, 2004), на науковому міжкафедральному семінарі “Проблеми механіки твердого тіла” кафедр теоретичної та прикладної механіки і опору матеріалів та машинознавства Національного транспортного університету (керівники - д.т.н., проф. О.О. Рассказов і д.т.н., проф. В.Г. Піскунов, 2004) і здобула позитивну оцінку.

Матеріали дисертації опубліковані в 58 наукових працях. В авторефераті наведено 40 праць, де викладений основний зміст дисертації, з них 28 праць опубліковані у фахових виданнях. Теоретичні та практичні результати дисертації належать здобувачу особисто, що відображено у 34 самостійних працях. У працях, опублікованих разом із член-кор. НАНУ М.О.Шульгою, співавторові належить участь у постановці задач і обговоренні їхніх результатів; у праці, опублікованій разом із член-кор. НАНУ А.Т. Улітком, співавторові належить постановка задачі; в роботі, опублікованій разом з Ю.Б. Євсейчиком i С.І. Рудницьким, співавторам належать теоретичні розрахунки; в роботі, опублікованій разом з інж. А.І.Мотовиловцем, співавтор брав участь у обробітку експериментальних даних; в роботі, опублікованій разом з Р.Ф. Кубяком, Е.Я. Філатовим і М.О. Шульгою, співавтори брали участь у обговоренні результатів експериментальних досліджень; в роботах, опублікованих разом з к.ф.-м.н. О.М. Болкісєвим, експериментальні дослідження та їх узагальнення велися спільно.

Основні положення, результати досліджень та висновки кандидатської дисертації на захист докторської дисертації не виносяться.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів основної частини, висновків та списку використаної літератури з 367 найменувань. Загальний об'єм дисертації становить 354 сторінки, разом із 100 рисунками, розміщеними на 95 сторінках, і 39 таблицями.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подана загальна характеристика дисертації; розкритий стан наукової проблеми, обґрунтована актуальність теми дисертації, її зв'язок з науковими програмами; сформульовані мета роботи і задачі дослідження; відзначені наукова новизна і практична цінність одержаних результатів; наведені дані про апробацію результатів дисертації та про публікацію результатів роботи, а також короткий опис структури дисертації.

У першому розділі проведений огляд літератури за темою дисертації. Проаналізовані основні моделі, методи й підходи, що використовуються при вивченні електропружної поведінки п'єзоелектричних елементів конструкцій при циклічних резонансних навантаженнях. Відзначено, зокрема, що відразу після відкриття явища п'єзоелектричного ефекту братами Кюрі (1880) В. Фойгтом були записані основні електромеханічні рівняння і включені до його підручників з кристалофізики. Пізніші теоретичні та експериментальні дослідження знайшли відображення в роботах М.М. Андреєва, О.А. Ільюшина, І.В. Курчатова, Л.І. Сєдова, С.Я. Соколова, Батерсворта, Валасека, Ван-Дайка, Вільямса, Дая, Кеді, Мезона, Мюллера та інших. В роботах Л.Я. Гутіна, І.В. Курчатова, І.Г. Русакова, О.О. Харкевича закладені основи феноменологічної теорії п'єзоелектричних процесів у природних п'єзоелектриках.

Після відкриття в середині 40-х років минулого століття сильного п'єзоефекту в поляризованій кераміці на основі титанату барію теорія знайшла свій подальший розвиток у роботах В.Л. Гінзбурга, А.В. Шубникова, У. Кеді, У. Мезона та ін. У.Мезон, зокрема, на основі загальних термодинамічних співвідношень для енергії адіабатичного процесу вивів основні рівняння електрострикції полікристалічної сегнетокераміки і запропонував експериментальну методику визначення пружних та п'єзоелектричних параметрів через вимірювання резонансних і антирезонансних частот тонких п'єзокерамічних пластинок-дисків. Пізніше ці пропозиції були використані при формуванні багатьох стандартів з дослідження п'єзокераміки. Частоти основного радіального резонансу та його обертони значною мірою залежать від коефіцієнта Пуассона . За відношенням виміряних резонансних частот першого обертону радіальних коливань і основного резонансу експериментально визначається цей важливий параметр п'єзокераміки і дотепер.

Вивчення електропружних і електров'язкопружних процесів у поляризованих керамічних зразках та елементах конструкцій із них займає чільне місце в механіці зв'язаних полів. Аналіз досягнень механіки зв'язаних полів у матеріалах і елементах конструкцій зроблений у відомих монографіях С.О. Амбарцумяна і М.В. Белубекяна; Я.Й. Бурака; В.Т. Грінченка, А.Т. Улітка і О.М. Шульги; О.М. Гузя і П.Г. Махорта; В.Г. Карнаухова; В.Г. Карнаухова і І.Ф. Киричка; М.Р. Короткіної; В.В. Матвеєва; В.З. Партона і Б.А. Кудрявцева; Я.С. Підстригача, Я.Й. Бурака і В.Ф. Кондрата; Г.Г. Писаренка; М.О. Шульги і О.М. Болкісєва тощо та оглядових статтях В.Г. Карнаухова і В.І. Козлова; В.Г. Карнаухова і В.В. Михайленка; Б.А.Кудрявцева, В.З.Партона і М.А.Сеника; І.К. Сенченкова і В.Г. Карнаухова; Ю.М.Шевченка і Р.Г. Терехова; Докмечі та ін.

В роботах Шульги М.О. і Болкісєва О.М.; Б.Яффе, У.Кука і Г.Яффе; Р. Холланда; Р. Холланда і Е. ЕрНіссе; Р. Лейкса; Г.Е.Мартіна та ін. відзначається, що коректний аналітичний розгляд електропружних процесів у п'єзокерамічних тілах можливий тільки з врахуванням внутрішніх втрат енергії в матеріалі, в тому числі особливих п'єзоелектричних втрат, сумірних по величині з іншими втратами. В роботі А.А. Бондаренка, М.І. Карася і Г.В. Куценка концепція втрат енергії в об'ємі тіла поширюється на певне місце пластини і постулюється, що втрати мають залежати від місця спостереження.

Методика і набір відповідних формул для визначення дійсних і уявних частин електромеханічних сталих п'єзокераміки по вимірюванню характеристичних частот і повних провідностей описані в монографії М.О. Шульги і О.М. Болкісєва. Вони основані на розв'язанні найпростіших задач електров'язкопружності, а саме: 1)товщинно-зсувних коливань поздовжньо поляризованої пластини; 2)товщинних коливань тонкої пластини з товщинною поляризацією; 3) поздовжніх коливань стержня з поздовжньою поляризацією; 4)поздовжніх коливань стержня з поперечною поляризацією.

Порівняння методик визначення п'єзоелектричних втрат різними авторами зроблене Р. Лейксом, ним показано також, що механічні та п'єзоелектричні втрати в п'єзокерамічних зразках залежать від їхньої форми та моди коливань.

Кілька робіт М.О. Шульги присвячені вимушеним коливанням в'язкопружного п'єзокерамічного циліндра, зокрема, підкреслюється, що при вивченні граничних режимів роботи електромеханічних випромінювачів оцінка їхньої ефективності, так само як і електричної та механічної міцності неможлива без розрахунку напружено-деформованого стану на резонансних частотах, у зв'язку з чим істотне значення має вивчення дисипативних властивостей матеріалу.

Згинові коливання прямокутних і круглих п'єзоелектричних пластин та біморфів досліджувалися в роботах І.А. Вековищевої, А. Пятраускаса, С. Приалгаускаса і А. Мажонаса, Й. Раманаускаса, В.М. Шарапова. Зроблений висновок, що для підвищення ефективності роботи біморфного електромеханічного перетворювача на другій згиновій моді необхідно видаляти центральний електрод аж до першого вузлового кола.

Поздовжні коливання вузьких і тонких прямокутних пластин досліджувалися на кварцових пластинах У.Кеді та Е. Гібе і Е. Блехшмідтом. Було виявлено, що добором положення і розмірів електродного покриття можна управляти ефективністю електромеханічного перетворення енергії на основних модах коливань і їхніх обертонах.

В цілому, поданий огляд літератури та аналіз основних етапів розвитку зв'язаної електропружності при циклічному деформуванні показав, що багато питань або зовсім не сформульовано, або досліджено недостатньо. Відсутня комплексна експериментально-теоретична методика дослідження зв'язаних електропружних процесів у п'єзокерамічних пластинах і оболонках обертання при гармонічному електричному навантаженні; недостатньо розроблена методика експериментального визначення характеристик втрат енергії при коливаннях п'єзокерамічних елементів і недостатньо оцінений вплив цих втрат на резонансні режими їхньої роботи; не виявлені загальні закономірності динамічної поведінки складених просторових п'єзокерамічних тіл при гармонійному навантаженні. Ця робота присвячена розв'язанню названого кола проблем механіки зв'язаних полів.

У першому розділі також наведені основні співвідношення лінійної теорії електров'язкопружності для п'єзокерамічних тіл, а саме:

Механічні рівняння руху суцільного середовища (1) рівняння квазістатичного електричного поля в діелектриках (2) останнє з яких має загальний градієнтний розв'язок через скалярний потенціал, співвідношення Коші для деформацій

(3)

Система рівнянь (1) - (3) замикається матеріальними співвідношеннями різної форми і характеру.

Для багатьох випадків, таких як статичні навантаження, нерезонансні режими роботи, при визначенні власних частот і форм коливань з високою добротністю, а також при певних типах вимушених коливань матеріальні співвідношення достатньо брати в електропружному наближенні (4) При циклічному деформуванні визначити електров'язкопружний стан на резонансних частотах можливо при врахуванні в матеріальних співвідношеннях дисипативних ефектів. Такі теорії будуються при лінійних спадкових властивостях середовища, користуючись лінійними спадковими операторами (5) При гармонічних коливаннях і в залежності (5) для амплітудних значень величин використовується концепція комплексних модулів - матеріальні співвідношення по формі запису приймають вигляд (4), проте матеріальні параметри приймають комплексні значення.

У рівняннях (1)-(5) позначено: компоненти тензора напружень, - компоненти тензора деформацій, компоненти вектора пружних зміщень, складові напруженості електричного поля, складові електричної індукції, - потенціал електричного поля, - пружні податливості, визначені при постійній напруженості електричного поля, п'єзоелектричні модулі, - діелектричні сталі, визначені при постійному механічному напруженні, - густина матеріалу, - кругова частота. Для п'єзокерамічних матеріалів, за напрямок попередньої поляризації яких візьмемо вісь х₃, відмінними від нуля будуть п'ять механічних параметрів два діелектричні параметри три п'єзоелектричні параметри .

Для тонких п'єзокерамічних пластин з товщинною поляризацією використовуються двомірні рівняння планарних коливань. Відповідно до гіпотез плоского напруженого стану і тому для напружень маємо

(6)

(7)

де коефіцієнт Пуассона, причому Поперечна деформація при цьому виражається через суму головних напружень та осьову напруженість електричного поля формулою (8) Вважається також, що зсувні деформації по всій товщині пластини, а для компонентів внутрішнього електричного поля справедливі рівності (9) З рівнянь коливань у напруженнях (10) одержуємо рівняння коливань відносно зміщень

.

Механічні граничні умови для рівняння руху (10), (11) збігаються з відомими умовами в задачах теорії пружності, щодо електричних граничних умов, то вони задаються або прикладеною на поверхнях різницею електричного потенціалу , або на поверхнях п'єзоелемента механічним полем (зовнішнім або внутрішнім) наводиться п'єзозаряд Q,, який є інтегралом по площі S верхнього або нижнього електродів, а похідна в часі від цього інтегралу є електричним струмом I через п'єзоелемент.

На основі аналізу характеристик дисипації енергії при коливаннях п'єзокерамічних елементів конструкцій у розділі наведені основні співвідношення між компонентами пружних, діелектричних і п'єзоелектричних втрат (подвійними штрихами позначені уявні частини відповідних комплексних величин)

 (12)

З цих обмежень випливає важливий для практики висновок, якщо в п'єзокераміці певного хімічного складу є низькими механічні або діелектричні втрати (), то низькими будуть і п'єзоелектричні втрати, тобто досконалий в одному відношенні матеріал є досконалим і в іншому. Ігнорування цих обмежень, яке іноді має місце, призводить до грубих помилок.

У другому розділі проаналізовані основні експериментальні методи дослідження вимушених коливань п'єзокерамічних тіл, в тому числі деталізовано методику вимірювання характеристичних частот у схемі Мезона. На прикладі виміряних частот і відповідних до них електричних провідностей сфероїдальної оболонки оцінена точність використаних методик.

Експериментальні дослідження у реферованій роботі велись комплексно і включали в себе такі етапи: виготовлення дослідного зразка, моделі або макета; спостереження фігур Хладні (для плоских конструкцій); вимірювання характеристичних частот f_m, f_n у схемі чотириполюсника Мезона та обчислення відповідних до них провідностей Y_m,Y_n і коефіцієнтів електромеханічного зв'язку k²_d; нанесення вимірювальних п'єзотрансформаторних датчиків у певному напрямку або на частину поверхні; вимірювання ємностей і потенціалів п'єзотрансформаторних датчиків на вибраних резонансах; оцінку можливих похибок вимірювань; побудову та аналіз графіків. Достовірність одержаних результатів підтверджувалась порівнянням їх із відомими аналітичними розв'язками тестових задач, а також із результатами інших авторів. Дослідні зразки або бралися готовими серед елементів конструкцій стандартних п'єзокерамічних пристроїв, або виготовлялися самотужки із тих же елементів, або замовлялися у виробників п'єзокераміки. Досліди повторювалися на кількох елементах.

У методі чотириполюсника Мезона п'єзоелемент Пе1 виконує роль ланки зв'язку між генератором та вольтметром. Резистори R1, R2 утворюють узгоджувальний подільник електричної напруги. Їхній сумарний опір наближається до вихідного опору генератора R1+R2= R_вих, крім того R1 10 R2. Вольтметр V1 вимірює спад електричної напруги на п'єзоелементі, а вольтметр V2 - спад напруги на одному з резисторів навантаження R3 або R4. Один із них повинен мати опір, набагато менший від резонансного опору п'єзоелемента, тоді як опір іншого мусить бути досить значним.

У експериментах автора вибрані такі величини опорів: R1=56, R2=5,6; R3=3; R4=300 Омів. Подільник приєднувався до виходу генератора Г3-56/1 у положенні перемикача вихідного опору 50 Омів. Паралельно вмикався частотомір Ч3-38. Роль вольтметра V1 виконував цифровий прилад В2-27/1А, а V2 - мілівольтметр В3-38. У процесі перестроювання генератора показання обох вольтметрів змінюються. На частоті f_m максимальної вхідної провідності Y_m, яка наближається до резонансної частоти f_r, спад напруги U_m на резисторі R3 досягає максимуму, а на частоті f_n мінімуму повної провідності Y_n, яка наближається до антирезонансної f_a, спад напруги U_n на резисторі R4 досягає мінімуму. Знаючи ці величини, можна вирахувати квадрат динамічного коефіцієнта електромеханічного зв'язку к²_д та характеристичні провідності за формулами

. (13)

Перше з цих співвідношень відоме, як “формула Мезона”, останні два легко виводяться за законом Ома для ділянки кола.

В розділі проведене фізико-математичне обґрунтування опрацьованого автором оригінального експериментального методу п'єзотрансформаторного датчика, встановлені амплітудно-фазові співвідношення між електропружними змінними, зокрема, між підведеним та виміряним електричними потенціалами. Порівняння розрахованих і виміряних фазових зсувів зроблене для тестової задачі про радіальні коливання тонкої круглої п'єзокерамічної пластинки.

Суть методу п'єзотрансформаторного датчика пояснимо на прикладі радіальних коливань тонкої круглої пластинки. На одній із поверхонь пластинки виділяється певна кількість невеличких круглих або прямокутних електродів рівної площі, відділених від основного електрода ізоляційними проміжками та розміщених на заданій відстані один від одного. При збудженні в пластинці радіальних коливань внаслідок прямого п'єзоефекту на кожному додатковому електроді виникає заряд, що заряджає кожен елементарний конденсатор. Різниця потенціалів між кожним додатковим електродом і нижньою поверхнею пластинки вимірюється високоомним електронним вольтметром за допомогою голкоподібного щупа. Подані узагальнені амплітудно-фазові співвідношення, котрі дають можливість за амплітудами і фазами виміряного потенціалу датчика розрахувати амплітуду і фазу суми головних напружень

(14) (15)

Тут через позначено зсув фаз між сумою головних напружень і вхідним потенціалом ₁, а через - між виміряним потенціалом ₃ та підведеним ₁.

Приклад розподілу амплітуд |₃| і фаз потенціалів п'єзотрансформаторних датчиків та розрахованих за формулами (14) і (15) амплітуд |_r+| і фаз суми головних механічних напружень на основному радіальному резонансі тонкого круглого диска наведений у табл.1.

Таблиця 1

r/R	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
|3|, B	0.3	0.28	0.25	0.18	0.12	0.05
,(o)	115	115	115	115	110	90
|r + |.10-4 Па	8.5	8.0	7.2	5.2	3.5	1.5
, (o)	114	114	114	116	119	86

Фазові зсуви вимірювалися з використанням методу фігур Ліссажу. До основних електродів пластинки підводилася змінна електрична напруга 0,1 В від генератора Г3-56/1 через резистивний подільник напруги. Одночасно ця напруга подавалася на X-вхід електронного осцилоскопа СИ-1, на Y-вхід якого подавалася виміряна напруга одного з датчиків. Підсилення в каналах осцилоскопа добиралося так, що на його екрані з'являлося зображення найпростішої з фігур Ліссажу - еліпса. За відношенням осей цього еліпса і визначалися фазові зсуви.

У випадках, коли механічна складова виміряного потенціалу п'єзотрансформаторного датчика значно вища від ємнісного наведення (на сильних модах коливань) між сумою головних напруженьі потенціалом існує спрощений зв'язок

, (16)

в якому вираз у дужках є ємністю вимірювального кола, тобто сумою вхідної ємності вольтметра, а також ємностей датчика відносно нижнього та навколишнього основних електродів зразка. Ступінь точності вимірювання суми головних напружень у методі п'єзотрансформаторного датчика визначається точністю задавання п'єзомодуля та обчислення площі електродної плями і становить (за цими оцінками) 5-10%. Експериментально визначена за формулами (15) і (16) сума головних напружень дає можливість порівнювати її з теоретичними значеннями та оцінювати достовірність і неспотворюваність вимірювання існуючого в тонкостінних п'єзокерамічних елементах електров'язкопружного стану при використанні МПТрД.

В роботі опрацьована і випробувана методика експериментального визначення комплексних електропружних модулів п'єзокераміки на основі дослідження радіальних коливань тонкої круглої п'єзокерамічної пластинки з поляризацією по товщині. Отримані розв'язки задачі про радіальні коливання тонкої круглої пластини дали можливість визначати компоненти втрат на основі аналітичних співвідношень і виміряних провідностей на будь-якій із частот поблизу від резонансних. На частоті першого радіального резонансу ( ) одержана проста формула (17) яка забезпечує точність, вищу від існуючих стандартів, і дає можливість експериментаторові за допомогою використання МПТрД визначати дуже важливий для аналізу планарний КЕМЗ по виміряних максимальній провідності Y_m1, відповідній до неї частоті f_m1, статичній ємності С₀ і механічній добротності Q_M. Знаючи f_m і можна визначити поперечний КЕМЗ k₃₁, п'єзомодуль d₃₁, пружну податливість s₁₁ і п'єзоконстанту g₃₁ за формулами

(18)

Наприкінці розділу наведені формули зв'язку виміряного потенціалу п'єзотрансформаторних датчиків або їхніх коефіцієнтів трансформації з сумою головних напружень або поперечною деформацією у вигляді коефіцієнтів пропорційності, а також формули перерахунку виміряної в центрі тонкого диска або вузького стержня суми головних напружень у амплітуду радіальних зміщень на ободі чи поздовжніх зміщень на торці. Встановлено, зокрема, що для п'єзокераміки типу ЦТС-19 1МПа напружень відповідають зміщення 0,16-0,19 мкм.

У третьому розділі наведені приклади розрахунку амплітудно-частотних характеристик повної провідності п'єзокерамічного диска із чотирма концентричними електродами та кільця при зміні співвідношення внутрішнього та зовнішнього діаметрів з використанням одержаних на основі запропонованих вище методик експериментальних даних. На основі аналітичного розгляду та експериментального дослідження вивчені радіальні й несиметричні коливання тонких круглих пластин і кругових кілець із поляризованої п'єзокераміки для різних відношень діаметра отвору до діаметра пластини, встановлені основні закономірності електромеханічного перетворення енергії, знайдено зв'язок квадратів динамічних КЕМЗ із геометричними параметрами кільця.

Побудований загальний розв'язок задачі про радіальні коливання тонкого п'єзокерамічного диска з електродним покриттям у вигляді концентричної кільцевої області, який доповнює зроблені раніше автором розв'язки й завершує загальну теорію круглих пластин з електродованими та безелектродними кільцевими ділянками.

Вперше розв'язана задача про несиметричні коливання тонкого п'єзокерамічного кругового кільця з розділеними електродами. Розв'язок є узагальненням відомого розв'язку Лява для несиметричних коливань круглої суцільної пластинки і має вигляд

(19)

Довільні сталі A_n1 - B_n2 визначаються із умови відсутності радіальних і зсувних напружень на внутрішньому та зовнішньому контурах пластини .(20)

Користуючись відомими рекурентними формулами при диференціюванні функцій Бесселя та позначивши , для визначення сталих інтегрування отримуємо систему рівнянь

(21)

з якої маємо частотний визначник для знаходження резонансних частот несиметричних коливань кругових кілець із будь-якими радіальним m та кутовим n індексами

(22)

В частинному випадку, коли механічні змінні не залежать від кутової координати (n = 0), це рівняння спрощується =0 (23) і розпадається на два незалежних рівняння, одне з яких (24) описує відомі радіальні коливання тонкого пружного кільця, а друге (25) є частотним визначником для зсувних коливань пружного кільця.

В роботі показано, що окремі обертони зсувних коливань мають резонансні частоти, які наближаються до резонансних частот обертонів радіальних коливань кільця. Цей новий результат є важливим. Він пояснює експериментально зареєстровану автором раніше кутову залежність суми головних механічних напружень у кільці з отвором 70% і суцільними електродами на торцях. деформування п'єзокераміка коливання поле

За формулою (22) вирахувані частотні спектри перших 12 резонансних частот кільця з кутовим індексом від 1 до 8 при зміні відношення внутрішнього та зовнішнього радіусів од 0 до 0,9. Експериментально досліджені спектри радіальних і несиметричних коливань та ефективність електромеханічного перетворення енергії тонких п'єзокерамічних кілець з товщинною поляризацією при зміні кутового індексу від 0 до 6, виявлені точки, в яких КДКЕМЗ досягає на окремих модах максимальних значень. Побудовані і проаналізовані діаграми азимутальних і радіальних розподілів динамічних механічних напружень у кільцях. Показано, зокрема, що найінтенсивніші несиметричні моди мають такі радіальні розподіли суми головних напружень, які нагадують за формою півхвильові коливання стержня. Поблизу від резонансних частот, де сталі інтегрування досягають максимальних значень, динамічні напруження вздовж радіуса визначаються комбінацією функцій Бесселя першого та другого роду, а по азимуту - підкоряються синусоїдальним залежностям.

Ефективність електромеханічного перетворення енергії в п'єзокерамічному кільці по мірі розширення діаметра отвору змінюється. Ефективність основної радіальної моди ((1,0)) знижується по КДКЕМЗ приблизно удвічі при збільшенні діаметра отвору до 0,6R, а першого обертону ((2,0)) зростає більше ніж у три рази. До аналогічних висновків прийшли й інші автори. На несиметричних модах інтенсивність найнижчої по частоті моди ((1,1)) плавно зростає. КЕМЗ моди ((2,1)) в точці = 0,15 досягає максимального рівня, потім різко спадає. В цій же точці мода ((3,1)) не спостерігається, а частоти мод ((2,1)) та ((3,1)) зближуються. У точці = 0,35 КЕМЗ моди ((3,1)) сягає максимуму, а моди ((4,1)) спадає до нуля. Найнижча по частоті мода ((3,1)) тут настільки слабка, що розподіл потенціалів п'єзотрансформаторних датчиків для неї не знімався й не будувався, тому криві 1-3 відповідають модам ((3,2)) - ((3,4)). Лінія початку відліку тепер збігається з одним із діаметральних розрізів, тому криві зберігають кутову симетрію настільки, наскільки це можливо з огляду на різні фази ємнісних наведень в окремих секторах.

Запропоновано також нову методику експериментального визначення основних електропружних параметрів п'єзокерамічних кілець на основі вивчення їхніх радіальних коливань.

У четвертому розділі розглянуті задачі планарних електропружних коливань п'єзокерамічних пластин чотирикутної, шестикутної та трикутної форми з суцільними електродами на основних поверхнях, а також неоднорідних прямокутних пластин із поперечно-поздовжньою поляризацією. Досліджені резонансні частоти та ефективність електромеханічного перетворення енергії в початковій ділянці спектру коливань, вивчений напружено-деформований стан по розподілу потенціалів п'єзотрансформаторних датчиків у вибраних напрямках на поверхні пластин. Проведені експерименти зі згиновими та планарними коливаннями чотирикутних п'єзокерамічних пластин із криволінійними границями в широкому діапазоні резонансних частот.

Між планарними коливаннями багатокутних п'єзокерамічних пластин та радіальними коливаннями тонкого круглого диска із п'єзокераміки є дещо спільне - у всіх типах пластин спостерігаються такі форми коливань, при яких деформування відбувається синфазно по всьому об'єму тіла. Вони мають найвищі КЕМЗ.

У випадку прямокутних пластин найвищий КЕМЗ притаманний квадратові. По мірі збільшення відношення сторін прямокутника інтенсивність коливань на різних модах змінюється. Найсильніша в прямокутнику квазіпоперечна мода “стежить” за шириною пластини. З усіх розглянутих пластин тільки шестикутник має дві найнижчі за частотою планарні моди з однаково високими КДКЕМЗ, котрі відрізняються по частоті менше, ніж на 6%.

На основі розв'язання електров'язкопружної задачі про поздовжні коливання прямокутної п'єзокерамічної монолітної пластини з двома ділянками різної поляризації виведена уточнена формула коефіцієнта передачі класичного п'єзотрансформатора поперечно-поздовжнього типу. Встановлено, що у фізично-неоднорідній прямокутній п'єзокерамічній пластині ефективно збуджуються електричним шляхом коливання на другому поздовжньому резонансі, котрих не буває в однорідному прямокутнику з суцільними електродами.

На виході генераторної секції виникає різниця потенціалів

(29)

а у вхідній секції протікає струм

Вище введені позначення

(31)

Якщо вираз (29) розділити на вхідну різницю потенціалів V_1, то отримаємо формулу для коефіцієнта трансформації пластинкового п'єзотрансформатора. В режимі холостого ходу, котрий характеризує потенційні можливості п'єзокераміки, електростатичну індукцію в генераторній секції прийнято вважати рівною нулю, тому (32) Цей показник тим більший, чим вищі п'єзомодулі обох секцій, тонша пластина й більше відношення . Знаменник цього дробу на резонансних частотах обертається в нуль, так що K₁₂ прямує до нескінченності. Уникнути цього можна введенням в аналіз механічних втрат енергії .Після проведених у роботі перетворень тригонометричних функцій маємо уточнену формулу для коефіцієнта трансформації в режимі холостого ходу, котра враховує розбіжність пружних податливостей в секціях пластини і добре узгоджується з експериментальними даними автора ( - відношення довжин вхідної й вихідної секцій).

(33)

Якщо покласти то отримаємо формулу , (34) яка збігається з формулою, виведеною в роботі Катца. Формула (33) справедлива для будь-якого поздовжнього резонансу неоднорідної пластинки і для будь-якої п'єзокераміки, тоді як формула (34) придатна тільки для першого резонансу і кераміки типу титанату барію, коли розбіжністю пружних податливостей у секціях пластини можна знехтувати.

Посередині секції збудження в напрямку її довжини були відділені 12 п'єзотрансформаторних датчиків діаметром 3,1 мм кожний на відстанях 3,2 - 3,5 мм (між центрами) один від одного. Графік зміни потенціалів датчиків повторює розподіл механічних напружень під ними. Хід перших трьох ліній повністю відповідає модам L1-L3, тоді як четверта мода має незвичне зростання динамічних напружень до торця пластини і ототожнена в дисертації з крайовим резонансом прямокутника Е1. На вихідному електроді п'єзотрансформатора ця мода не реєструється, вихідної напруги на її частоті немає. Проаналізовані в розділі й електропружні згинові та планарні коливання чотирикутних п'єзокерамічних пластин з криволінійними границями і встановлено, що в таких елементах також має місце поступове перетворення симетричних радіальних коливань тонких дисків на симетричні та несиметричні форми, котрі різняться КЕМЗ і характером напруженого стану.

...