Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна

УДК 533.72

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Бімодальні наближені розв'язки рівняння Больцмана

01.01.03 - математична фізика

Гордевський Вячеслав Дмитрович

Харків 2004

Загальна характеристика роботи

бімодальна розв'язка рівняння Больцман

Актуальність теми. Проблема пошуку точних та наближених, в тому чи іншому сенсі, розв'язків нелінійного рівняння Больцмана посідає важливе місце серед різних напрямків досліджень в кінетичній теорії газів. Єдиним точним розв'язком, відомим на даний момент для моделей твердих куль та шершавих куль (G.H. Bryan, F.B. Pidduck), є максвелівський розподіл (максвеліан), який обертає обидві частини рівняння на нуль (L. Boltzmann, J.C. Maxwell). Найбільш загальний вигляд локального максвеліана, який, на відміну від глобального, може залежати не тільки від швидкості молекули, а також від іі просторової координати й часу, задає складний рух газу, який є суперпозицією обертання навколо своєї осі в цілому ( гвинтовий або вихровий розподіл), поступального руху та стиску - розширення (H. Grad, P. Carleman, О.Г. Фрідлендер). Інші, немаксвелівські точні розв'язки вдається знайти лише для окремих моделей взаємодії між частками газу - максвелівських молекул та деяких їх узагальнень (О.В. Бобильов, M. Krook, T.T. Wu, В.В. Веденяпін, H.M. Ernst, Д.Я. Петрина, О.В. Міщенко). Результати, що стосуються існування та єдиності розв'язків задачі Коші для рівняння Больцмана (T. Carleman, О.Я. Повзнер, L. Arkeryd, Н.Б. Маслова, Р.П. Чубенко, S. Ukai, А.Н. Фірсов, K. Asano, C. Cercignani, J. Polewczak, P.L. Lions, R.J. Di Perna, Д.Я. Петрина, В.І. Герасименко, К.Д. Петрина) дають недостатню інформацію про вигляд цих розв'язків при скінченних значеннях часу, просторових та швидкісних змінних. Те ж саме стосується й інших методів дослідженнь, таких, як розвинення в ряди Гільберта, Чепмена-Енскога та Греда (H. Grad, В.В. Струминський, В.С. Галкін, М.Н. Коган, Н.К. Макашев, О.В. Бобильов), або побудови модельних та дискретних варіантів рівняння Больцмана (F.A. Grunbaum, Г.Є. Скворцов, І.І. Моїсеєв-Ольховський, L. Sirowich, P.L. Bhatnagar, E.P. Gross, M. Krook, О.В. Бобильов, J.E. Broadwell, S. Kawashima, C. Cercignani, R. Illner, M. Shinbrot, Y. Shizuta, A. Watanabe, M. Maeji, A. Palczewski, J. Schneider, В.І. Герасименко, R. Monaco, H. Cornille, K. Uchiyama, G. Toskani, H. Cabannes, M. Lampis, В.В. Аристов).

Разом з тим, дуже важливою й актуальною є проблема опису взаємодії (перехідного режиму) між двома чи декількома максвелівськими потоками в розрідженому газі. Такі спроби були пов'язані з побудовою моделей ударних хвиль та задачами про випаровування - конденсацію (І.Є. Тамм, H.M. Mott-Smith, A. Sakurai, R. Caflish, B. Nicolaenko, H. Salwen, C. Grosh, S. Ziering, L.H. Holway, H. Grad, R. Narasimha, S.M. Deshpande, T. Ohwada, T. Ytrehus, C.A. Brau, G.A. Simans, H.K. Macomber, С.І. Анисимов, S. Takata, K. Aoki, C. Cercignani, S. Inage, I. Hosokawa, K. Yamamoto), але виявилося, що відповідні бімодальні розподіли не можуть задовольняти рівняння Больцмана не тільки точно, а навіть наближено з яким завгодно наперед заданим ступенем точності, внаслідок жорстких апріорних умов на гідродинамічні параметри потоків, що накладаються самою постановкою згаданих задач.

Усе це приводить нас до необхідності побудови таких бімодальних (та многомодальних) розподілів з довільними гідродинамічними параметрами мод, які б описували процес взаємодії між двома (або більше) максвелівськими потоками в газі з твердих або шершавих (тобто здатних обертатися навколо своєї осі з певною кутовою швидкістю) куль, і в той же час задовольняли рівняння Больцмана з яким завгодно ступенем точності.

Мета дослідження: побудова явних наближених розв'язків тривимірного нелінійного рівняння Больцмана, відмінних від максвеліанів, для моделей твердих та шершавих куль, з максвелівськими модами різних типів: глобальними, локальними стаціонарними або нестаціонарними. За числові характеристики ступеня точності цих розв'язків приймаються рівномірно-інтегральний або чисто інтегральний відхил між частинами рівняння.

Таким чином, основна задача дослідження полягає в пошуку таких нетривіальних умов на коефіцієнтні функції бімодальних розподілів та на поведінку всіх наявних параметрів, які були б достатніми для довільної мализни того чи іншого зі згаданих відхилів. Об'єктом та предметом дослідження відповідно є нелінійне інтегро-диференціальне кінетичне рівняння Больцмана та його явні наближені розв'язки бімодального вигляду з різноманітними максвелівськими модами.

Методи дослідження. В дисертації використовуються методи математичного та функціонального аналізу, зокрема - теорія узагальнених функцій, асимптотичні методи, теорія нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних, спеціальних функцій, а також елементи теорії вимірності та векторного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Для моделі твердих куль побудовано двопотоковий наближений розв'язок рівняння Больцмана у випадку глобальних максвелівських мод як зі співпадаючими, так і з різними температурами та густинами потоків, що взаємодіють. Коефіцєнтні функції є одновимірними за просторовими змінними та нестаціонарними. Здобутий розв'язок принципово відрізняється від відомого розподілу Тамма Мотт-Сміта та його модифікацій тим, що саме перпендикулярні компоненти масових швидкостей максвелівських потоків залишаються довільними, в той час як паралельні прямують до нуля. Доведено, що оцінка зверху для рівномірно - інтегрального відхилу між частинами рівняння має скінченну границю, коли температури максвеліанів прямують до нуля, та знайдено достатні умови довільної мализни цієї границі в термінах асимптотичної поведінки інших параметрів, причому знайдений розподіл не є малим відхиленням від максвеліана.

2. У випадку однакових температур потоків знайдено границю самого відхилу, і показано, що отримані раніше оцінки зверху для нього є точними, тобто їх не можно вдосконалити за наявністю згаданих припущень.

3. Розв'язано аналогічну задачу в просторі узагальнених функцій, коли модами в бімодальному розподілі є -функції, зосереджені в двох різних точках простору швидкостей. Зокрема, вдається виділити випадки, в яких “слабкий” відхил між частинами ріняння Больцмана прямує до нуля швидше, ніж сам бімодальний розподіл прямує до однієї зі своїх мод.

4. Знайдено широкий клас неодновимірних за просторовими змінними явних наближених розв'язків з глобальними модами та коефіцієнтними функціями типу розбиття одиниці. Для системи двох нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних з однією невідомою функцією, що виникають при цьому, побудовано загальний розв'язок.

5. Для найбільш загального випадку неодновимірних наближених розв'язків задачу про довільну мализну рівномірно-інтегрального відхилу зведено до системи двох нелінійних диференціальних рівнянь відносно двох невідомих функцій, що задовольняють певні додаткові вимоги. Знайдено деякі досить широкі класи розв'язків цієї системи.

6. Здобуті результати частково розповсюджено на випадок трьох або більше потоків, що взаємодіють. Побудовано відповідні тримодальні та многомодальні наближені розв'язки, які забезпечують довільну мализну як рівномірно - інтегрального, так і чисто інтегрального відхилу за наявності певних умов. У випадку останнього відхилу описані цілком нові типи коефіцієнтних функцій вигляду фінітних “плато”, які приводять до інших достатніх умов його прямування до нуля як при досить великих, так і при довільних значеннях числа Кнудсена за рахунок неповної просторової вимірності або стратифікації об'єктів (потоків) в середовищі. Знайдено деякі можливі кореляції між поведінкою таких об'єктів та середовища, а також окремі (досить вузькі) класи розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь, які тут виникають.

7. Для моделі шершавих куль побудовано аналоги згаданих двох відхилів, дещо модифіковані згідно зі специфікою рівняння Бріана-Піддака. У випадку глобальних мод із нульовими масовими кутовими швидкостями молекул на цю модель перенесено більшість результатів, здобутих для моделі твердих куль.

8. Побудовано наближені бімодальні розв'язки рівняння Больцмана для твердих куль, коли максвелівські моди є стаціонарними, але неоднорідними (рівноважні розподіли Максвела-Больцмана). Вони описують взаємодію між двома гвинтовими потоками, що обертаються навколо нерухомих осей як тверде тіло. Із застосуванням обох типів відхилів здобуто декілька достатніх умов їх довільної мализни, які формулюються в термінах поведінки температур та кутових швидкостей гвинтів, що відповідає газу, який нерівномірно вичахає при уповільненні обертання (з різною швидкістю), причому їх густини можуть або взагалі не залежати від температур, або залежати цілком визначеним чином.

9. Запропоновано вихроподібні нестаціонарні розподіли, як модель потоків в газі з твердих куль, що здатні не тільки обертатися навколо своїх осей, а й рухатись поступально разом з ними з довільною лінійною швидкістю. Побудовано бімодальні наближені розв'язки з вихровими модами, і для обох відхилів знайдено умови їх довільної мализни. При цьому важливу роль відіграють нові вимоги “самоузгодженості” кожного з потоків та їх взаємної “когерентності”, а на відміну від випадку гвинтів всі стаціонарні розв'язки стають неможливими.

10. Здійснено розповсюдження результатів, які стосуються взаємодії гвинтових або вихрових максвеліанів, на випадок моделі Бріана-Піддака, для чого побудовано аналоги таких розподілів в газі з шершавих куль, причому середні кутові швидкості молекул в кожному з потоків є ненульовими константами і співпадають з кутовими швидкостями обертання самих потоків як цілих навколо своїх осей.

11. Досліджено фізичні та геометричні особливості максвелівських розв'язків рівняння Больцмана найбільш загального вигляду, невідомі раніше. Ці результати уточнюють і доповнюють результати Г. Греда, Т. Карлемана та О.Г. Фрідлендера. Виявлено, що при сталій температурі газу можливим є такий нестаціонарний і неоднорідний його рух, як смерч (“деформований вихор”), який має дві осі - швидкостей та густин, розташованих цілком визначеним чином одна відносно одної. Описано й інші типи можливих рухів як при сталій, так і при змінній температурі, такі як стиск - розширення або „прискорення” газу вздовж його осі обертання. Побудовано модель взаємодії між двома смерчами в газі з твердих куль, причому умови мінімізації рівномірно-інтегрального відхилу виявляються дещо відмінними від аналогічних умов, знайдених раніше у випадку вихорів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має, здебільшого, теоретичне значення. Ії результати можуть бути використаними для подальшого вивчення кінетичних рівнянь та властивостей їх розв'язків, а також в навчальному процесі на старших курсах фізико-математичних спеціальностей в університетах України. Їх передбачається застосовувати в науковій діяльності спеціалістів з Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, Фізико- технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Інституту теоретичної фізики ННЦ „Харківський фізико-технічний інститут”, Інституту математики НАН Україні, Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України тощо.

Разом з тим результати дисертації можуть знайти застосування і в деяких прикладних галузях, таких як гідро- та аеродинаміка, метеорологія та океанологія і т.ін. при побудові та дослідженні математичних моделей різних процесів, пов'язаних із взаємодією тих чи інших потоків часток, зокрема при вивченні еволюції гвинтових та вихрових течій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано згідно з тематичними планами науково-дослідних робіт, що фінансуються з коштів державного бюджету Міністерством освіти і науки України за темами “Аналітичні методи в теорії диференціальних рівнянь та теорії керування” в рамках НДР № 4-11-97 (держ. регістр. № 0197U015781), № 4-11-00 (держ. регістр. № 0100U00350), та “Аналітичні та алгебраїчні методи в теорії диференціальних рівнянь та теорії керування” в рамках НДР № 4-11-03 (держ. регістр. № 0103U004226), які виконувались згідно з планами науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати роботи одержані здобувачем самостійно. У вивченні наближених бімодальних розв'язків рівняння Больцмана для твердих куль в просторі узагальнених функцій (див. роботу [4]) особистий внесок здобувача полягає в постановці задачі, виборі методу досліджень, а також в формулюванні та ідеї доведення теореми. При описанні процесу взаємодії між двома гвинтовими течіями в газі з шершавих куль з використанням змішаного відхилу у випадку ненульових масових кутових швидкостей молекул (див. роботи [13, 16]) дисертанту належить постановка задачі, вибір моделі та методу досліджень, формулювання та ідея доведень теорем 1 і 2. У вивченні бімодальних розподілів з вихровими модами для випадку моделі Бріана-Піддака і чисто інтегрального відхилу (див. роботу [19]) внесок дисертанта полягає в постановці задачі, виборі моделі та методу досліджень, побудові вихроподібного максвеліану для даної моделї, а також в ідеї всіх здобутих оцінок та висновків.

Апробація результатів дисертації. Результати доповідались на Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю Н.І. Ахієзера “Теорія функцій і математична фізика” (Харків, серпень 2001 р.), Міжнародній конференції з функціонального аналізу, присвяченій 200-річчю М.В. Остроградського (Київ, серпень 2001 р.), Міжнародній конференції, присвяченій 90-річчю О.І. Ахієзера “Квантова електродинаміка та статистична фізика” (Харків, жовтень-листопад 2001 р.), ІХ Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, травень 2002 р.), Міжнародній конференції “Обернені проблеми та нелінійні рівняння” (Харків, серпень 2002 р.), Міжнародній конференції з комплексного аналізу, диференціальних рівнянь та пов'язаних питань (Єреван, вересень 2002 р.), V Міжнародному конгресі з математичного моделювання (Дубна, вересень-жовтень 2002 р.), Міжнародній конференції “А.М. Колмогоров та сучасна математика” (Москва, червень 2003 р.), Всеукраїнській конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, вересень 2003 р.), та на таких семінарах: з математичних методів в статистичній механіці при Інституті математики НАН України (керівник - член-корр. НАН України, зав. відд. Д.Я.Петрина), з моделювання фізичних процесів і математичної фізики при Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (керівник академік НАН України, зав. відд. Є.Я. Хруслов), з диференціальних рівнянь та теорії керування при механіко-математичному факультеті Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (керівник - д.ф.-м.н., проф., зав. каф. В.І. Коробов), з фундаментальних та прикладних проблем механіки суцільних середовищ при механіко-математичному факультеті Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (керівник - д.ф.-м.н., проф., зав. каф. І.Є. Тарапов), з теоретичної фізики при Інституті магнетизму НАН України (керівник - д. ф.-м. н., проф., зав. відд. Є.Д. Білоколос), з нелінійного математичного аналізу при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (керівник - д. ф. -м. н., проф., зав. відд. А.К. Прикарпатський) та ін.

Публікацію основних результатів здійснено в статтях [1 - 21] та тезах доповідей.

Обсяг і структура роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. У списку використаних джерел 243 найменувань. Загальний обсяг дисертації - 285 сторінок. Кількість ілюстрацій - 10.

Основний зміст роботи

У вступі описано стан і обґрунтовано актуальність проблеми, визначено мету, методи, задачі, предмет та об'єкт дослідження, висвітлено наукову новизну, теоретичне та практичне значення одержаних результатів, подано відомості про апробацію результатів дослідження та публікації автора за темою дисертації.

У першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертації.

У першому підрозділі наведено класичні роботи, монографії, оглядові статті та роботи, що стосуються питань обґрунтування кінетичної теорії газів і, зокрема, рівняння Больцмана.

Другий підрозділ містить огляд робіт, в яких була введена або застосовувалась модель шершавих куль.

У третьому підрозділі розглядаються роботи, присвячені моделі максвелівських молекул та її узагальненням.

Четвертий підрозділ дає огляд деяких інших методів та напрямків досліджень в теорії кінетичних рівнянь (питань існування та єдиності розв'язків, методів Гільберта, Чепмена-Енскога та Греда, лінеаризації рівняння Больцмана, моделі Бхатнагара-Гросса-Крука, одновимірних та дискретних моделей цього рівняння, узагальнених та модифікованих кінетичних рівнянь або моделей взаємодії між молекулами газу, чисельні методи та пошук і описання максвелівських розв'язків найбільш загального вигляду повного рівняння Больцмана).

У п'ятому підрозділі проведено аналіз робіт, які стосуються бімодального розподілу Тамма - Мотт-Сміта та деяких його узагальнень.

Шостий підрозділ містить посилання на роботи автора за темою дисертації.

У сьомому підрозділі наведено інші джерела, які використовувались автором під час роботи над дисертацією.

Другий розділ обґрунтовує вибір напрямку досліджень.

У першому підрозділі введено основні означення та позначення, необхідні при подальшому викладенні матеріалу дисертації. Так, рівняння Больцмана розглядається у вигляді:

D(f) = Q(f,f), (1)

D(f) = , (2)

Q(f,f) = B(vv₁,)[f(t,,x)f(t,v,x) - f(t,v₁,x) f(t,v,x)], (3)

де f(t, v, x) функція розподілу молекул, яка шукається, d > 0 їх диаметр.

Для моделі твердих куль маємо:

v = v (v v₁,), = v + (v v₁,), (4)

B(v v₁,)=(v v₁,). (5)

У випадку моделі шершавих куль інтеграл зіткнень Q(f,f) дещо модифікується згідно з формулами:

Q(f,f) = h((v₁ v,))[f(t,v^*,x,^*) f(t,,x,) - f(t,v,x,) f(t,v₁,x,₁)], (6)

h((v v₁,)) = ((v₁ v,)+(v₁ v,)), (7)

v^* = v {b(v v₁) + (v v₁,) + bd[ ( + ₁)]},

= v₁ + {b(v v₁) + (v v₁,) + bd[ ( + ₁)]},

^* = + {[ (v v₁)] + d[(, + ₁) ₁]},

= ₁ + {[ (v v₁)] + d[(, + ₁) ₁]}, (8)

I = . (9)

Максвелівські розподіли (максвеліани), для моделей твердих та шершавих куль відповідно, мають вигляд:

M = M(t,v,x) = , (10)

M = M(t,v,x,) = . (11)

де гідродинамічні параметри с (густина), = 1/2T (обернена температура), (масова швидкість),

(масова кутова швидкість молекул) для глобальних максвеліанів є сталими, а в локальному випадку певним чином залежать від часу t та просторових координат x R³ . Зокрема, гвинтові максвелівські розв'язки (стаціонарні, але неоднорідні) для твердих куль мають вигляд:

M(v,x) = , (12)

r² = , (13)

, (14)

x₀ = . (15)

а для шершавих - такий:

M(v,x,) = , (16)

де с₀ густина газу на осі обертання, R³ кутова швидкість обертання гвинта як цілого, r² - квадрат відстані від точки x до осі, - лінійна масова швидкість в початку координат, x₀ R³ деяка точка на осі обертання.

У другому підрозділі наведено строгу постановку задачі пошуку явних наближених розв'язків рівнянь Больцмана та Бріана-Піддака у вигляді бімодальних розподілів:

f = ₁M₁ + ₂M₂ = , (17)

_i = _i(t,x), i = 1,2, (18)

_i const, i = 1,2 (19)

_i C¹(R⁴), i = 1,2, (20)

_i 0, i = 1,2, (21)

де максвеліани M_i, i = 1,2 можуть бути як глобальними, так і локальними (різних типів), а коефіцієнтні функції _i, i = 1,2 треба знайти (разом з асимптотичною поведінкою числових та векторних параметрів) так, щоб забезпечувалась довільна мализна “змішаного” або “чисто інтегрального” відхилів ?, ?₁, які для твердих куль вводяться так:

? = , (22)

?₁ = , (23)

а для шершавих так:

? = , (24)

Теорема 5.1. Нехай всі параметри бімодального розподілу f, крім _i , довільні й фіксовані. Тоді:

а). Для будь-яких гладких ₁, ₂ 0, які обмежені на R⁴ разом зі своїми похідними по t, x, існує величина така, що виконується (44), причому

2d²₁₂. (128)

б). Якщо ₁, ₂, крім зазначених в пункті а) властивостей, задовольняють ще й таку умову:

= 1,2

то існує величина , для якої вірно (57), причому

2d²₁₂. (129)

Цей результат показує, що з точки зору поведінки величин та ₁ при _i , i = 1, 2 обертання молекул навколо їх осей (але за умови = 0, i = 1,2) та перехід поступальної й обертальної енергій одне в одного в момент зіткнення часток газу, а також розподіл (ізотропний) речовини всередині кожної молекули (який характеризується параметром b) не є суттєвими. Таким чином, подальша мінімізація відхилів та ₁ може бути забезпеченою для рівняння Бріана-Піддака за рахунок тих самих факторів, що й для рівняння Больцмана. Але в цьому випадку порядок здійснення граничних переходів за різними параметрами, який був дуже суттєвим і для результатів розділів 3, 4 (див., скажімо, (33), (47) тощо), стає особливо важливим ще й тому, що, наприклад, прямування d до нуля навіть формально стає неможливим в виразах (8), а в (9) призводить до тривіальної ситуації: I 0, тобто f 0.

У другому підрозділі розглядається випадок гвинтових мод вигляду (16) із збереженням (13) - (15), параметри яких є різними й апріорі довільними (тепер = const 0, i = 1,2 задають водночас і середню масову швидкість обертання молекул газу навколо своїх осей, і кутову швидкість обертання гвинта як цілогго).

У випадку змішаного відхилу вигляду (24) доведено такі твердження.

Теорема 5.2. Нехай мають місце припущення (75), (77), і (105). Тоді справедливо (89) в будь-якій з таких ситуацій:

I. Вірно (107) і виконується хоча б одна з умов 1) - 6) наслідку 4.1.

II. Вірно (110) і виконуються умови наслідку 4.2.

III. Вірно (82), виконується хоча б одна з умов 1) - 6) наслідку 4.1, і, крім того, або

m_i (1/4, 1/2), i = 1,2, (130)

або (95) та (112).

Теорема 5.3. Нехай коефіцієнтні функції бімодального розподілу _i, i = 1,2 не залежать від _i, i = 1,2, і добутки виразів

(131)

для кожного i = 1, 2 на величини (121) при та на є обмеженими на R⁴ при _i , i = 1,2, і виконується (105), (82), а також або (107), або (110). Нехай функції

, i = 1,2 (132)

задовольняють одне з припущень пункта I теореми 5.2 з підстановкою _i замість _i. Тоді справедливо (89).

Теорема 5.4. Нехай виконуються всі вихідні припущення теореми 5.2 і рівність (112). Нехай, крім того, справедливо співвідношення (87). Тоді при виконанні (90) та (95) має місце (89).

При переході до дослідження відхилу ₁, заданого в (25), одразу ж покладається, що всі розглядувані тут коефіцієнтні функції є невід'ємними, гладкими та обмеженими.

Теорема 5.5. В припущеннях теореми 5.2 з заміною вимоги обмеженості функцій (77) на умову їх належності L₁(R⁴) (в стаціонарній ситуації L₁(R³)) твердження (96) справедливо в будь-якій з таких ситуацій:

I. Вірно (107) і виконується або (90), або умови пункта 2) наслідку 4.6.

II. Вірно (110), хоча б одне з припущень пункта I, і, крім того, або (95), або (82).

III. Вірно (130) або (112), виконується (95), і, крім того, (82) разом хоча б з одним з припущень пункта I даної теореми.

Теорема 5.6. Нехай виконуються всі припущення теореми 5.3 з заміною вимоги обмеженості зазначених там добутків функцій на вимогу їх належності L₁(R⁴) (в стаціонарній ситуації L₁(R³)). Тоді, якщо функції (132) задовольняють одне з припущень пункта теореми 5.5 (замість _i), то справедливо твердження (96).

Теоорема 5.7. Нехай виконано всі вихідні припущення теореми 5.5 за умови (112), і, крім того, рівність (87). Тоді справедливо (96), якщо виконується вимога (95), а функції _i, i = 1,2 мають вигляд фінітних “плато” з нескінченно малими мірами проекцій множин supp_i, i = 1, 2 на гіперплощину t = 0.

Третій підрозділ присвячено вивченню взаємодії між вихровими потоками в газі х шершавих куль. Вони теж відповідають максвеліанам вигляду (16), але і r_i², i = 1,2 обчислюються тепер згідно з (101), (102).

При вивченні поведінки змішаного відхилу (24) як спільні для всіх результатів приймаються припущення (75), де r_i², i = 1,2 мають вигляд (102), а також (105).

Теорема 5.8. Нехай функції _i, i = 1,2 мають вигляд (92). Тоді:

1). Якщо виконується (108), а також або (114), або (115) разом з (94), то справедливо (74) при m = 2.

2). Якщо виконуються (108) і (115), то вірно (47).

3). Якщо має місце (112) і або (114), або (115) разом з (94), то

> 0; s_0i > 0: s_i : 0 < s_i < s_0i (i = 1,2); N : ₁, ₂ > N; < .. (133)

4). Якщо виконуються (112) та (115), то

> 0; > 0, s_0i > 0: d, s_i: 0 < d < ; 0 < s_i < s_0i (i = 1,2); N : ₁, ₂ > N; < .. (134)

В наступній теоремі не вимагається виконання жодної з рівностей (114) чи (115).

Теорема 5.9. Нехай функції _i, i = 1,2 мають вигляд або (92), або (116), причому виконується умова (109). Тоді:

1). Якщо вірно (108), а також або (94), або (98), то справедливо твердження (74) при m = 2.

2). Якщо має місце тільки (108), то виконується (47).

3). Якщо вірно (112) і (98), то справедливо (133).

4). Якщо має місце тільки (112), то виконується (134).

Для випадку чисто інтегрального відхилу (25) доведено такі твердження (попередні умови на функції _i, _i, i = 1, 2 залишаються такими ж, як для теорем 5.5 - 5.7).

Теорема 5.10. Нехай функції _i, i = 1, 2 не залежать від _i, i = 1, 2, і мають вигляд фінітних “плато”, для яких виконано припущення (97) та (117). Нехай також мають місце співвідношення (82) і (105), причому вірно або (107), або (110) разом з (95). Тоді справедливо (96), якщо виконується хоча б одна з таких умов: (93), або (98), або (99) (зокрема, (94)) з заміною функцій _i на _i, i = 1, 2.

Теорема 5.11. Нехай виконується рівність (75), де r_i² обчислено згідно з (102), причому _i, i = 1, 2 не залежать від _i, i = 1, 2 і мають вигляд фінітних “плато”, для яких вірно (97) і (117). Нехай має місце співвідношення (105), причому вірно або (107), або (108) і (109), або (110) разом з (109) чи (95), або (112) разом з (109) та (95). Тоді справедливо (96) при виконанні хоча б однієї з умов: (93), або (98), або (99) (зокрема, (94)).

Висновки

У дисертації запропоновано і розвинуто новий аналітичний підхід до пошуку явних наближених розв'язків нелінійного інтегро-диференціального рівняння Больцмана для випадків моделей твердих та шершавих куль. Такі розв'язки описують процес взаємодії між максвелівськими потоками газу і шукаються у вигляді бімодальних (або многомодальних) розподілів, які забезпечують довільну мализну того чи іншого відхилу між частинами цього рівняння. Проведені дослідження дають можливість сформулювати такі висновки.

1. Знайдено одновимірні бімодальні наближені розв'язки у вигляді двопотокових розподілів з глобальними максвелівськими модами як у випадку рівних, так і довільних температур та густин потоків з використанням рівномірно-інтегрального та “слабкого” відхилів.

2. Описано декілька широких класів неодновимірних бімодальних розв'язків цієї ж задачі, для чого знайдено і розв'язано (повністю або частково) відповідні системи нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних.

3. Досліджено розподіли з більшою кількістю мод, ніж дві, з застосуванням як змішаного, так і чисто інтегрального відхилив. Довільна мализна останнього потребує нових умов, таких як стратифікація об'єктів (взаємодія між собою та з середовищем по множинам досить малої міри) та їх неповна просторова вимірність. Це дозволяє, зокрема, позбавитись вимоги навколосвободномолекулярності течій, але приводить до появлення нетривіальних кореляцій між поведінкою об'єктів та середовища.

4. Отримано умови довільної мализни відхилів у випадку бімодальних розподілів з локальними максвелівськими модами різних типів: гвинтовими (що обертаються як ціле навколо нерухомої осі) та вихровими (які здатні не тільки обертатися, а й рухатись поступально з довільною лінійною швидкістю). При цьому вимагається, щоб обертання потоків уповільнювалось певним чином разом зі спаданням їх температур, а густини в різних випадках можуть бути або залежними від температур, або сталими. Важливу роль при дослідженні випадку локальних максвеліанів відіграють також такі нові умови, як когерентність гвинтів або вихорів та самоузгодженість останніх.

5. Виділено деякі нові важливі класи можливих рухів, які описуються нестаціонарними максвелівськими розв'язками рівняння Больцмана найбільш загального вигляду. Зокрема, досліджено геометричні та фізичні особливості смерчеподібних розв'язків, які мають дві різні осі: обертання та густини, і рухаються поступально строго визначеним чином. Для таких розподілів існують “зони згущення” та “зони розрідження”, розташовані певним чином відносно вказаних осей. Побудовано бімодальні наближені розв'язки з модами у вигляді смерчів в газі з твердих куль.

6. Розповсюджено на випадок більш складної моделі шершавих молекул більшість з результатів, здобутих у випадку твердих куль. З'ясовано, що ні внутрішня структура цих молекул, ні ускладнений вигляд інтегралу зіткнень, пов'язаний з наявністю кутових швидкостей молекул, окрім лінійних, не відбивається принципово на сукупності факторів, які приводять до довільної мализни зазначених вище відхилів.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

Гордевский В.Д. Приближенное бимодальное решение уравнения Больцмана для твердых сфер // Матем. физика, анализ, геом. - 1995. - Т. 2, №2. - С. 168-176.

Гордевский В.Д. Критерий малости невязки для бимодального решения уравнения Больцмана // Матем. физика, анализ, геом. - 1997. - Т. 4, №1/2. - С. 46-58.

Гордевский В.Д. Приближенное двухпотоковое решение уравнения Больцмана // Теорет. и мат. физ. - 1998. - Т. 114, №1. - С. 126-136.

Гордевский В.Д., Сысоева Ю.А. Бимодальное приближенное решение уравнения Больцмана в пространстве обобщенных функций // Матем. физика, анализ, геом. - 1999. - Т. 6, №1/2. - С. 22-29.

Гордевський В.Д. Загальний вигляд наближених бімодальних розв'язків рівняння Больцмана типу розбиття одиниці // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. - К.: Ін-т математики НАН України. - 1997. - Вип. 15. - С. 30-39.

Гордевський В.Д. Деякі класи наближених бімодальних розв'язків нелінійного рівняння Больцмана // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. - К.: Ін-т математики НАН України. - 1997. - Вип. 16. - С. 54-64.

Gordevsky V.D. Trimodal Approximate Solutions of the Non-linear Boltzmann Equation // Math. Meth. Appl. Sci. - 1998. - Vol. 21. - P. 1479-1494.

Гордевський В.Д. Явні наближені розв'язки рівняння Больцмана для моделі шершавих куль // Доповіді НАН України. - 2000. - №4. - С. 10-13.

Gordevsky V.D. Approximate Biflow Solutions of the Kinetic Bryan-Pidduck Equation // Math. Meth. Appl. Sci. - 2000. - Vol. 23. - P. 1121-1137.

Гордевский В.Д. О многомодальных приближенных решениях нелинейного уравнения Больцмана // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. - К.: Чернівецький державний університет ім. Ю. Федьковича. - 1999. - Вип. 4. - С. 33-51.

Гордевский В.Д. Двухпотоковое распределение с винтовыми модами // Теорет. и мат. физ. - 2001. - Т. 126, №2. - С. 283-300.

Gordevsky V.D. Transitional Regime Between Spiral Equilibrium States of a Gas // Вісн. Харк. націон. унів., Сер. мат., прикл. мат., мех. - 2001. - №514. - С. 17-33.

Gordevskyy V.D., Sysoyeva Yu.A. Interaction between non-uniform flows in a gas of rough spheres // Matem. fiz., analiz, geom. - 2002. - Vol. 9, №2. - P. 285-293.

Gordevskyy V.D. Bimodal distributions with the spiral-type Maxwellians for the Bryan-Pidduck model // J. Math. Anal. Appl. (YJMAA 8607). - 2003. - Vol. 283. - P. 192-201.

Гордевский В.Д. Взаимодействие вихреобразных потоков газа твердых сфер // Доповіді НАН України. - 2002. - №9. - С. 7-12.

Gordevsky V.D., Sysoyeva Yu.A. Some approximate solutions of the Boltzmann equation // Probl. Atomic Sci. and Technol. - 2001. - №6(2). - P. 306-308.

Gordevskyy V.D. Transitional Regime Between Vortical States of a Gas // Nonl. Analysis (NA 3752). - 2003. - Vol. 53, №3-4. - P. 481-494.

Гордевский В.Д. Вихри в газе из твердых сфер // Теорет. и мат. физ. -2003. - Т. 135, №2. - С. 303-314.

Gordevskyy V.D. Buznitska E.M. Non-stationary States of a Gas for the Bryan-Pidduck Model // Вісн. Харк. націон. унів., Сер. мат., прикл. мат., мех. - 2003. - №582. - С. 3-9.

Gordevskyy V.D. On the non-stationary Maxwellians // Math. Meth. Appl. Sci.(MMA 455) - 2004. - Vol. 27, №2. - Р. 231-247.

Gordevskyy V.D. Vortical flows in a gas of rough spheres // Вісн. Харк. націон. унів., Сер. мат., прикл. мат., мех. - 2003. - №602. - С. 3-12.

Анотація

Гордевський В.Д. Бімодальні наближені розв'язки рівняння Больцмана. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2004.

Дисертацію присвячено пошуку бімодальних наближених розв'язків нелінійного кінетичного рівняння Больцмана. Побудовано двопотокові розподіли з глобальними максвелівськими модами, які забезпечують довільну мализну рівномірно-інтегрального, чисто інтегрального та слабкого відхилів між частинами рівняння при відповідному виборі коефіцієнтних функцій і граничної поведінки числових і векторних параметрів. Знайдено неодновимірні аналоги двопотокових розподілів. Досліджено взаємодію гвинтових потоків, які обертаються як ціле навколо своїх нерухомих осей, в газі з твердих куль. Побудовано модель вихрового потоку, який має як кутову, так і поступальну швидкість, і вивчено бімодальні розподіли з вихровими модами. З'ясовано геометричні та фізичні особливості структури нестаціонарних максвелівських розв'язків рівняння Больцмана найбільш загального вигляду, описано розподіли типу смерчу, і побудовано бімодальну модель взаємодії двох таких потоків. Доведено, що більшість з результатів, здобутих для моделі твердих куль, зберігають свою силу і для моделі шершавих молекул, які здатні обертатися навколо своїх осей.

Ключові слова: тверді кулі, шершаві кулі, рівняння Больцмана, максвеліан, відхил, бімодальний розподіл, гвинти, вихорі, смерчі.

Аннотация

Гордевский В.Д. Бимодальные приближенные решения уравнения Больцмана. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2004.

Диссертация посвящена построению явных приближенных решений трехмерного нелинейного уравнения Больцмана для моделей твердых и шероховатых сфер в виде бимодальных (или многомодальных) распределений с максвелловскими модами разных типов: глобальными, стационарными неоднородными, либо нестационарными. Главной задачей работы является поиск условий, достаточных для произвольной малости равномерно-интегральной либо чисто интегральной невязок между частями уравнения. На данный момент известно лишь одно точное решение уравнения Больцмана для упомянутых моделей - максвеллиан (J.C. Maxwell, L. Boltzmann). Наиболее общий вид локального максвеллиана получен в середине XX-го столетия (H. Grad, T. Carleman, О.Г. Фридлендер). Другие точные решения удалось найти лишь для специального случая модели максвелловских молекул и некоторых ее обобщений (А.В. Бобылев, M. Krook, T.T. Wu, В.В. Веденяпин, H.M. Ernst, Д,Я. Петрина, А.В. Мищенко). С другой стороны, важной и актуальной является проблема описания взаимодействия двух или нескольких максвелловских потоков. Известное бимодальное ТМС-распределение и его модификации (И.Е. Тамм, H.M. Mott-Smith, H. Grad, T. Ytrehus, С.И. Анисимов, C. Cercignani) были предложены с целью описать ударные волны в газах, процессы испарения и т. п., однако оказалось, что оно не может удовлетворять этому уравнению даже приближенно с произвольной степенью точности, что связано с жесткими условиями на гидродинамические параметры, накладываемые самой постановкой указанных задач (R. Narasimha, S.M. Deshpande, R. Caflish, B. Nicolaenko, I. Hosokawa, K. Yamamoto). В настоящей работе ищутся приближенные, в смысле обеспечения произвольной малости той или иной невязки за счет соответствующего выбора коэффициентных функций и предельного поведения параметров, бимодальные решения уравнения Больцмана, на гидродинамические параметры которых (плотности, температуры, массовые скорости) априори не налагаются никакие ограничения, кроме физически необходимых (положительность и т. п.).

Получены следующие основные результаты.

1. Построены двухпотоковые распределения в газе из твердых сфер с глобальными максвелловскими модами, обеспечивающие произвольную малость равномерно-интегральной и слабой (в пространстве обобщенных функций) невязок как при равных, так и при различных температурах потоков. Они являются одномерными по пространственным переменным, но каждая из массовых скоростей потоков имеет две произвольные компоненты.

2. Найдены неодномерные аналоги двухпотоковых распределений, для которых коэффициентные функции ищутся уже не из соображений разделения пространственно-временных и скоростных переменных, а из некоторых систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одной из таких систем найдено общее решение; в более общем случае описаны отдельные классы решений, подчиненных тем или иным дополнительным условиям.

3. Изучены многомодальные аналоги указанных выше решений, причем при использовании равномерно-интегральной невязки ее произвольная малость достигается за счет совершенно иных факторов, чем для смешанной, таких как неполная пространственная размерность объектов (потоков) в газе, их специфическая пространственно-временная (в стационарной ситуации - пространственная) конфигурация, корреляция в поведении объектов и среды.

4. Исследовано взаимодействие винтовых потоков в газе из твердых сфер. Такие потоки вращаются вокруг своих неподвижных осей, и могут двигаться поступательно лишь вдоль них. При этом существенными оказываются связи между угловыми скоростями винтов, их температурами и плотностями, а также условие когерентности, т. е. совпадения потоков в окрестности начала координат.

5. Предложена модель вихревого потока, имеющего как угловую, так и поступательную скорость в любом направлении. Изучены приближенные бимодальные решения с вихревыми модами, причем новым, по сравнению со случаем винтов, оказывается условие самосогласованности каждого из потоков.

6. В дополнение и уточнение результатов Г. Грэда, Т. Карлемана, О.Г. Фридлендера и др. выяснены новые геометрические и физические особенности структуры нестационарных максвелловских решений уравнения Больцмана наиболее общего вида. Выделены возможные типы движений газа, такие как смерч (“деформированный вихрь”, имеющий как ось вращения, так и ось плотности, а также зоны уплотнения и разрежения), “сжатие-расширение”, “торможение-ускорение”. Построена приближенная модель взаимодействия между двумя смерчами в газе из твердых сфер, причем оказалось, что условия произвольной малости смешанной невязки для случаев смерчей и вихрей несколько отличаются между собой.

7. Доказано, что большинство результатов, полученных для модели твердых сфер, сохраняют свою силу и для модели шероховатых молекул, которые имеют не только поступательную, но и вращательную степень свободы (G.H. Bryan, F.B. Pidduck). При этом оказывается, что распределение вещества внутри каждой молекулы, а также более сложная структура интеграла столкновений, связанная с появлением новых параметров - угловых скоростей соударяющихся молекул - принципиально не отражаются на тех условиях, которые позволяют сделать обе невязки сколь угодно малыми.

Ключевые слова: твердые сферы, шероховатые сферы, уравнение Больцмана, максвеллиан, невязка, бимодальное распределение, винты, вихри, смерчи.

Abstract

Gordevskyy V.D. Bimodal approximate solutions of the Boltzmann equation. - Manuscript.

Thesis for doctor's degree by speciality 01.01.03 - mathematical physics. - B. Verkin Institute for Low Temperatures Physics and Engeneering, NAS of Ukraine, Kharkov, 2004.

The thesis is devoted to the searching of bimodal approximate solutions of the nonlinear kinetic Boltzmann equation. Biflow distributions with the global Maxwell modes, which ensure the infinitesimality of the uniform-integral, the pure integral and the weak remainders between the sides of the equation by the accordant choice of coefficient functions and the limiting behaviour of numerical and vector parameters are constructed. Non-one-dimensional analogies of the biflow distributions are also obtained. The interaction between screw flows, which rotate on whole about their immovable axes, is investigated in a gas of hard spheres. A model of the vortex-type flow, which has both the angular and the translational velocities, is constructed, and the bimodal distributions with vortical modes are considered. Geometrical and physical peculiarities of the structure of non-stationary Maxwell solutions of the Boltzmann equation of the most general form are found, the distributions of the eddy-type are described, and bimodal model of the interaction between two such the flows is constructed. It is proved that the principal part of the results, obtained for the model of hard spheres, holds true for the model of rough molecules, which can rotate about their axes, too.

Key words: hard spheres, rough spheres, Boltzmann equation, Maxwellian, remainder, bimodal distribution, screws, vortecies, eddies.

Размещено на Allbest.ru

...