Групова класифікація та точні розв’язки нелінійних рівнянь гіперболічного типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ГРУПОВА КЛАСИФІКАЦІЯ ТА ТОЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ

Магда Олена Вікторівна

Київ -- 2004

Анотації

Магда О.В. Групова класифікація та точні розв'язки нелінійних рівнянь гіперболічного типу. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 -- математична фізика. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

В дисертації проведена повна групова класифікація загального нелінійного рівняння гіперболічного типу:

Знайдено всі рівняння досліджуваного вигляду з точністю до допустимих перетворень еквівалентності і описано їх симетрію. Таким чином, вперше здійснено повну групову класифікацію нелінійних рівнянь гіперболічного типу з довільним елементом, що залежить від чотирьох змінних. З використанням знайдених симетрій проведено редукції та побудовано точні розв'язки квазілінійних рівнянь гіперболічного типу.

Ключові слова: квазілінійні рівняння гіперболічного типу, групова класифікація, алгебра Лі, оператор симетрії, перетворення еквівалентності, точні розв'язки.

1. Загальна характеристика роботи

задача гіперболічний математичний симетрія

Актуальність теми. Теорія неперервних груп бере початок в роботах Софуса Лі. Дослідження таких об'єктів, уведених С.Лі в розгляд у зв'язку із здійсненням ним спроби побудови загальної теорії інтегрування диференціальних рівнянь, привели до створення апарату груп і Алгебр Лі, які широко використовуються в різноманітних областях математики.

Сьогодні, як і ранiше, одним з застосувань неперервних груп перетворень є теорія диференціальних рівнянь, як звичайних, так і з частинними похідними. Основи теоретико-групового підходу до аналізу диференціальних рівнянь були закладені Софусом Лі. Подальший розвиток теоретико-групових методів пов'язаний з іменами таких вчених, як Г. Біркгоф, Л.І. Сєдов, Н.Х. Ібрагімов, Л.В. Овсянніков, П. Вінтернітц, Д. Блумен та Ю. Коул i ряду інших. В результаті в математиці сформувався важливий напрямок, який за пропозицією Л.В. Овсяннікова було названо “Груповий аналіз диференціальних рівнянь”. Важливу роль цей напрямок відіграє в теорії рівнянь математичної фізики. Значний вклад в розвиток групового аналізу диферeнціальних рівнянь внесли В.І. Фущич та його учні -- А.Г. Нікітін, Р.З. Жданов, Л.Ф. Баранник, М.І. Сєров.

Однією з центральних задач сучасного групового аналізу є групова класифікація диференціальних рівнянь. Загальноприйняте формулювання задачі групової класифікації належить Л.В. Овсяннікову. Ця проблематика є дуже популярною і займає чільне місце в провідних журналах світу.

Групова класифікація дозволяє окреслити коло задач, до яких можна застосовувати потужні теоретико-групові методи. Одним із результатів такої класифікації є можливість побудови точних розв'язків складних нелінійних рівнянь.

Серед фундаментальних рівнянь математичної фізики важливе місце посідають диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку гіперболічного типу. Такі рівняння зустрічаються в задачах хвильової й газової динаміки, хімічної технології й хроматографії, в різних областях фізики (надпровідність, дислокації в кристалах, хвилі в феромагнетичних матеріалах, лазерні імпульси в двофазовому середовищі тощо), в диференціальній геометрії. При цьому, серед нелінійних рівнянь гіперболічного типу найбільш вживаними в різних моделях є досить обмежене коло рівнянь (Ліувілля, Гурса, д'Аламбера тощо).

Задача групової класифікації квазілінійних рівнянь гіперболічного типу є дуже складною, і до теперішнього часу в цій області отримано тільки окремі результати.

Дисертаційна робота присвячена розв'язуванню задачі повної групової класифікації найбільш загального одновимірного квазілінійного диференціального рівняння з частинними похідними другого порядку гіперболічного типу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у відділі прикладних досліджень Інституту математики НАН України в рамках теми “Теоретико-груповий аналіз нелінійних проблем математичної фізики, хімії, біології та економіки” (номер держреєстрації 0101U000098).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є повне розв'язання задачі групової класифікації для квазілінійних рівнянь гіперболічного типу найбільш загального вигляду у двовимірному просторі-часі, симетрійна редукція i побудова інваріантних розв'язків для ряду отриманих рівнянь.

Для цього, поряд з класичними методами групового аналізу диференціальних рівнянь та відомими методами їх інтегрування, використовується, запропонований Р.З. Ждановим і В.І. Лагно, новий підхід до групової класифікації диференціальних рівнянь, який досі застосовувався тільки для рівнянь параболічного типу.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше одержано такі результати:

· Проведено повну групову класифікацію квазілінійних рівнянь гіперболічного типу, лінійних відносно . Доведено, що найширшу симетрію серед розглянутих рівнянь має рівняння Ліувілля, яке інваріантне відносно нескінченно-параметричної групи локальних перетворень.

· Доведено теорему про структуру допустимих алгебр інваріантності квазілінійних гіперболічних рівнянь, нелінійних відносно . Показано, що такі рівняння можуть допускати лише розв'язні алгебри інваріантності.

· Проведено повну групову класифікацію квазілінійних гіперболічних рівнянь, нелінійних відносно . Зокрема, показано, що найбільш широка симетрія таких рівнянь визначається п'ятивимірними алгебрами Лі і знайдено всі нееквівалентні класи рівнянь з такою симетрією.

· Здійснено повну групову класифікацію загального квазілінійного рівняння гіперболічного типу.

· З використанням знайдених симетрій проведено редукцію та побудовані класи точних розв'язків квазілінійних рівнянь гіперболічного типу.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані для дослідження конкретних диференціальних рівнянь, побудови математичних моделей з заданою симетрією і знаходження їх точних розв'язків.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист, одержано здобувачем самостійно. В роботах, які були опубліковані разом з іншими авторами, особистий внесок дисертанта такий. У роботі [2] Р.З. Жданову і В.І. Лагну належить загальна постановка задачі, аналіз отриманих результатів, дисертанту-- доведення теорем і групова класифікація досліджуваного рівняння. У роботах [1, 8] В.І. Лагну належить загальна постановка задачі й уточнення деяких формулювань теорем і тверджень, дисертанту -- розв'язання задачі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на III, IV, V Міжнародних конференціях “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ 1999, 2001, 2003), Міжнародній конференції “Inverse Problem and Nonlinear Equations” (Харків, 2002).

Окрім цього, результати дисертації були предметом доповідей на наукових семінарах відділу прикладних досліджень (Інститут математики НАН України, керівник-- професор А.Г. Нікітін), об'єднаному семінарі з математичної фізики (Інститут математики НАН України, керівники семінару-- член-кореспондент НАН України Д.Я. Петрина, професор Є.Д. Білоколос, професор А.У. Клімик, професор А.Г. Нікітін), семінарі із статистичної механіки лабораторії теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова (Об'єднаний інститут ядерних досліджень, Дубна, Росія, керівник-- професор В.Б. Прієзжев).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у профільних виданнях [1-4, 6] та додатково висвітлені у [5, 7, 8].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі змісту, вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 87 найменувань, та одного додатку. Повний обсяг дисертації 148 сторінок, з них список використаних джерел та додатoк займають 15 сторінок.

2. Зміст роботи

У вступі наведено загальну характеристику, цілі роботи, стислий зміст дисертації, обгрунтовано її актуальність і наукову новизну.

У першому розділі дисертації подано огляд праць, які стосуються групової класифікації диференціальних рівнянь. Також була проведена повна групова класифікація квазілінійних гіперболічних рівнянь, лінійних відносно . У підрозділі 1.1 здійснюється постановка задачі, розглядаються відомі результати групової класифікації двовимірних хвильових рівнянь, обговорюються методи роз'язання задачі групової класифікації. Об'єктом досліджень дисертації є квазілінійні рівняння, які належать до класу хвильових рівнянь

(1)

де функція є довільною гладкою функцією своїх аргументів,

Тут і далі , , Рівняння вигляду (1) займають важливе місце серед диференціальних рівнянь математичної фізики. До таких рівнянь, зокрема, приводять задачі опису нелінійних хвиль з осьовою та центральною симетрією, задачі поширення нелінійних хвиль в неоднорідному середовищі, задачі хвильової та газової динаміки.

Симетрія рівняння (1) залежить від явного вигляду функції . Задача групової класифікації полягає в описі всіх нееквівалентних класів довільних елементів і знаходження відповідних алгебр інваріантності.

В дисертації застосовується метод, що є синтезом методу Овсяннікова, методу апріорної специфікації алгебр Лі, які можуть виникнути при класифікації рівнянь, та перетворень еквівалентності. Основна ідея цього методу полягає в тому, що замість безпосереднього розв'язування визначальних рівнянь ми спочатку будуємо реалізації алгебр Лі, які можуть допускатися нашим рівнянням. Саме такий підхід дає змогу розв'язати до кінця задачу групової класифікації дуже складних нелінійних рівнянь.

Стосовно класу рівнянь (1) алгоритм методу групової класифікації передбачає виконання таких кроків.

Знаходимо групу еквівалентності рівняння (1), тобто сукупність перетворень, що зберігають форму рівняння, але можуть міняти конкретну форму функції .

Використовуючи метод Лі, знаходимо систему визначальних рівнянь для коефіцієнтів інфінітезимального оператора та знаходимо загальний вигляд цього оператора.

Виходячи з загального вигляду інфінітезимального оператора будуємо відповідні реалізації алгебр Лі , . Як доведено в дисертації, за одним винятком, усі такі алгебри повинні бути розв'язні. При цьому, наявність у розв'язної алгебри Лі так званого композиційного ряду дозволяє проводити поетапну групову класифікацію рівнянь вигляду (1), збільшуючи кожного разу розмірність алгебри інваріантності на одиницю.

Завершення групової класифікації полягає в знаходженні всіх не еквівалентних рівнянь вигляду (1) та відповідних максимальних алгебр інваріантності. Результатом виконання цього алгоритму є перелік нееквівалентних рівнянь, що належать до класу (1), для яких наведено їхні максимальні алгебри симетрії.

У підрозділі 1.2 була проведена попередня групова класифікація досліджуваного класу рівнянь. Загальна задача класифікації рівняння (1) розпадається на задачі класифікації таких частинних випадків цього рівняння:

(2)

(3)

(4)

та рівняння (1) з

У підрозділі 1.3 проведена повна групова класифікація рівняння (2). Групу інваріантності рівняння (2) генерує інфінітезимальний оператор:

де дійсні сталі , , та функції , , , задовольняють систему двох рівностей:

Групу еквівалентності рівняння (2) складають такі невироджені перетворення:

(5)

де , , , , , -- довільні гладкі функції своїх аргументів.

Основний результат з класифікації рівнянь (2), що допускають однопараметричні групи Лі, дає така теорема.

Теорема 1. Існують п'ять нееквівалентних рівнянь вигляду (2), які допускають однопараметричні групи локальних перетворень. Відповідні реализації інфінітезимальних операторів та функцій і в рівняннях (2)мають вигляд:

Було доведено, що не існує нелінійних рівнянь вигляду (2), алгебри інваріантності яких ізоморфні напівпростим алгебрам Лі або містять їх як підалгебри. Згiдно з теоремою Леві-Мальцева, це означає, що нелінійні рівняння вигляду (2) можуть мати тільки такі алгебри інваріантності, які є розв'язними. Це дозволяє ефективно проводити поетапну класифікацію рівнянь вигляду (2) відносно двох, трьох і більш високорозмірних алгебр Лі. Так, наступному вивченню підлягають нелінійні рівняння(2), алгебри інваріантності яких є двовимірними розв'язними алгебрами Лі. Доведено існування чотирьох рівнянь вигляду (2), які інваріантні відносно алгебри , та шести рівнянь вигляду (2), які інваріантні відносно алгебри (тут і далі ми використовуємо позначення алгебр Лі, введені Мубаракзяновим). Дослідження показали також, що серед рівнянь(2) є вісім, максимальними алгебрами інваріантності яких є тривимірні розв'язні алгебри Лі. Рівнянь, що допускають алгебри інваріантності розмірності вище трьох, не існує. Всі ці рівняння в дисертації знайдені в явному вигляді, чим і завершено групову класифікацію рівнянь(2). Нижче, для прикладу, наведено деякі з цих рівнянь та вказані базисні елементи відповідних алгебр інваріантності.

-інваріантне рівняння

-інваріантне рівняння

-інваріантне рівняння

У підрозділі 1.4 проведено групову класифікацію рівняння (3). Показано, що група інваріантності рівняння (3) генерується інфінітезимальним оператором

Групу еквівалентності рівняння (3) складають такі перетворення:

Подальші дослідження показали, що серед рівнянь вигляду (3) існують три рівняння, інваріантні відносно одновимірних алгебр Лі. Опис рівнянь, інваріантних відносно двовимірних алгебр, подано в такій теоремі.

Теорема 2. З точністю до еквівалентності, існують три нелінійні рівняння вигляду (3), що інваріантні відносно двовимірних алгебр Лі. Відповідні реалізації інфінітезимальних операторів та функцій і в рівняннях (2)мають вигляд:

Нееквівалентні нелінійні рівняння вигляду (3), які мають нетривіальну симетрію, вичерпуються трьома рівняннями, які інваріантні відносно одновимірних алгебр Лі, та трьома рівняннями, що наведені в теоремі2.

У підрозділі 1.5 дається повна групова класифікація рівняння (4). Знайдено, що група інваріантності рівняння (4) генерується інфінітезимальним оператором

де стала та функції , , , задовольняють рівність

Групу еквівалентності рівняння (4) складають перетворення

Було доведено, що існують два нееквівалентні нелінійні рівняння вигляду (4), які інваріантні відносно однопараметричних груп локальних перетворень. Опис нелінійних рівнянь, які допускають алгебри інваріантності розмірності вищої ніж 1, ми розпочинаємо з класифікації рівнянь, алгебри інваріантності яких є напівпростими алгебрами Лі або містять такі алгебри як підалгебри. Виявляється, з точністю до еквівалентності, нелінійні рівняння (4), алгебри інваріантності яких є напівпростими алгебрами Лі або містять їх як підалгебри, вичерпуються такими рівняннями:

останнє з яких є рівняння Ліувілля. Це єдине рівняння з класу (1), що допускає нескінченнопараметричну групу локальних перетворень. Також існують ще дев'ять нееквівалентних рівнянь вигляду (4), максимальнi алгебри інваріантності яких мають розмірність вищу ніж одиниця. Вигляд функцій у цих рівняннях, оператори симетрії, що складають базис максимальних алгебр інваріантності цих рівнянь та тип цих алгебр наведено в таблиці 1.

Таблиця 1.

У другому розділі розглядається задача групової класифікації хвильових рівнянь, права частина яких нелінійна відносно , тобто рівнянь вигляду

(6)

У першому підрозділі проведено попередню групову класифікацію рівняння (6). Знайдено, що група інваріантності рівняння (6) генерується таким інфінітезимальним оператором

При цьому дійсні сталі , , та функції , ,

задовольняють умову:

Групу еквівалентності рівняння (6) складають перетворення

де , , ,

Доведено, що існуює сім нееквівалентних класів нелінійних рівнянь вигляду (6), максимальними алгебрами інваріантності яких є одновимірні алгебри Лі. Нижче, для прикладу, наведено деякі з цих рівнянь та вказано базисні елементи відповідних алгебр інваріантності:

Також було доведено, що нелінійні рівняння вигляду (6) допускають тільки розв'язні алгебри інваріантності. Тому подальшому вивченню підлягають нелінійні рівняння (6), алгебри інваріантності яких є двовимірними розв'язними алгебрами Лі. Було знайдено, що існують 14 нееквівалентних нелінійних рівнянь вигляду(6), максимальними алгебрами інваріантності яких є двовимірні алгебри Лі, ізоморфні алгебрі та 16 нееквівалентних нелінійних рівнянь вигляду (6), максимальними алгебрами інваріантності яких є двовимірні алгебри Лі, ізоморфні алгебрі . Наведемо деякі з цих рівнянь і вкажемо відповідні реалізації алгебр інваріантності:

У підрозділі 2.3 проведено групову класифікацію рівняння

(7)

де , , -- довільні гладкі функції своїх аргументів. Групова класифікація наведеного вище рівняння виконана з використанням методу Овсяннікова. Виявляється, що в цьому випадку саме цей метод дозволяє відносно просто розв'язувати задачу групової класифікації до кінця. Проведено класифікація цього рівняння відносно алгебр, що мають розмірність більшу ніж два. Подальші дослідження показали, що існують 26 нееквівалентних класів рівнянь, інваріантних відносно тривимірних алгебр Лі, 36 нееквівалентних класів рівнянь, інваріантних відносно чотиривимірних алгебр Лі, та одне рівняння, інваріантне відносно п'ятивимірної алгебри Лі.

У підрозділі 2.4 досліджено інваріантність нелінійних рівнянь (6) відносно тривимірних алгебр Лі. При цьому достатньо обмежитися розглядом дійсних розв'язних алгебр Лі. З точністю до ізоморфізму розрізняють дев'ять тривимірних розв'язних алгебр Лі над полем дійсних чисел, серед яких дві розкладаються в пряму суму алгебр Лі нижчої розмірності (розкладні алгебри Лі). Під час подальшої класифікації було вилучено із розгляду ті з отриманих рівнянь, які належать до класу рівнянь (7) і групову класифікацію яких проведено в попередній частині роботи. Під час розгляду нелінійних рівнянь, інваріантних відносно тривимірних розв'язних алгебр Лі, було отримано ряд рівнянь, максимальними алгебрами інваріантності яких є чотиривимірні розв'язні алгебри Лі. Усі ці рівняння містять довільні функції одного аргумента, що дає можливість для їх подальшої класифікації використовувати стандартні методи. Знайдено, що існує 43 рівняння вигляду (6), інваріантних відносно тривимірних розв'язних алгебр Лі, та 15 рівнянь розглядуваного виду, максимальними алгебрами інваріантності яких є чотиривимірні розв'язні алгебри Лі. Для прикладу наведемо кілька рівнянь та відповідні їм реалізації алгебри інваріантності:

У підрозділі 2.5 завершено групову класифікацію рівняння (6). Групову класифікацію рівнянь, що містять довільні функції однієї змінної проведено з використанням стандартних методів. Отримано повний перелік таких рівнянь (6), інваріантних відносно чотиривимірних та п'ятивимірних розв'язних алгебр Лі. Цей перелік наведено нижче.

Результати підрозділу 2 завершують повну групову класифікацію загального квазілінійного рівняння вигляду (1). У підрозділі 2.6 побудовані приклади точних розв'язків квазілінійних рівнянь (6). Деякі класи отриманих точних розв'язків винесено в додаток.

Висновки

1. Проведено повну групову класифікацію квазілінійних рівнянь гіперболічного типу, лінійних відносно . Доведено, що найширшу симетрію серед розглянутих рівнянь має рівняння Ліувілля, яке інваріантне відносно нескінченно параметричної групи локальних перетворень.

2. Доведено теорему про структуру допустимих алгебр інваріантності квазілінійних гіперболічних рівнянь, нелінійних відносно . Показано, що такі рівняння можуть допускати лише розв'язні алгебри інваріантності.

3. Проведено повну групову класифікацію квазілінійних гіперболічних рівнянь, нелінійних відносно . Зокрема, показано, що найбільш широка симетрія таких рівнянь визначається п'ятивимірними алгебрами Лі, і знайдено всі нееквівалентні класи рівнянь з такою симетрією.

4. Здійснено повну групову класифікацію загального квазілінійного рівняння гіперболічного типу.

5. З використанням знайдених симетрій проведено редукцію та побудовані класи точних розв'язків квазілінійних рівнянь гіперболічного типу.

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах

1. Лагно В.И., Магда Е.В. Групповая классификация одного класса // Вісник Харківського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”.--2003.-- № 582.-- С.179-191.

2. Лагно В., Магда О., Жданов Р. Про інваріантність квазілінійних рівнянь гіперболічного типу відносно тривимірних алгебр Лі// Праці Інституту математики НАН України: Групові та аналітичні методи в математичній фізиці. -- 2001. --. -- C.136-158.

3. Магда О.В. Тривимірні алгебри Лі квазілінійних рівнянь гіперболічного типу // Наукові вісті Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”. -- 2003. -- № 2(28). -- С.151-156.

4. Магда О.В. Чотиривимірні алгебри Лі та точні розв'язки квазілінійних рівнянь гіперболічного типу // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки.-- 2002.-- №4. -- С.89-101.

5. MagdaO. Invariance of quasilinear equations of hyperbolic type with respect to three-dimensional Lie algebras // Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine: Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. -- 2002. --, Part1. -- P.167-170.

6. MagdaO. The group classification of nonlinear wave equations invariant under two-dimensional Lie algebras// Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine:/ Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. -- 2000. --, Part1. -- P.165-169.

7. Magda O. Group classification of one class of quasi-linear hyperbolic-type differential equations // Материалы Междунар. науч. конф./ Обратные задачи и нелинейные уравнения, Харьков, 12-16августа. 2002 г. -- Харьков, 2002. -- C.58-59.

Размещено на Allbest.ru