Реалізації алгебр Лі невисоких розмірностей та інваріантні системи нелінійних диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реалізації алгебр Лі невисоких розмірностей та інваріантні системи нелінійних диференціальних рівнянь

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Задачу класифікації реалізацій алгебр Лі векторними полями вперше розглянув Софус Лі. Він виконав класифікацію всіх можливих груп Лі точкових перетворень, що діють у двовимірному комплексному або дійсному просторі без фіксованих точок (1880, 1893), яка еквівалентна класифікації всіх можливих реалізацій алгебр Лі в класі векторних полів у двовимірному комплексному (дійсному) просторі. Цю класифікацію ефективно використано ним для групової класифікації звичайних диференціальних рівнянь.

Відомі реалізації алгебр Лі дозволяють ефективно розв'язувати задачі групової класифікації диференціальних рівнянь з частинними похідними (див., напр., роботи Л.В. Овсяннікова, Н.Х. Ібрагімова, П. Вінтерніца, В.І. Фущича, А.Г. Нікітіна, Р.З. Жданова, В.І. Лагна), класифікації гравітаційних полів загального вигляду відносно групи рухів та групи конформних перетворень (A.З. Петров, М.А. МакКаллум), інтегрування звичайних диференціальних рівнянь (С. Лі, П. Ліч), опису систем звичайних диференціальних рівнянь, що допускають нелінійний принцип суперпозиції (П. Вінтерніц, Ж. Карінена) та ін. Дослідженню реалізацій алгебр Лі груп Галілея, Пуанкаре, Евкліда та їх застосувань до групового аналізу диференціальних рівнянь приділено значну увагу у роботах В.І. Фущича, Р.З. Жданова, В.І. Лагна, І.А. Єгорченко, П. Олвера, П. Ліча, а також у роботах П. Вінтерніца зі співавторами. Не зважаючи на важливість застосувань, проблему повного опису реалізацій не розв'язано навіть у випадку алгебр малої розмірності.

Нещодавно опублікована робота C. Вафо Соха та Ф. Mахомеда (J. Phys. A, 2001, P. 2883-2911), у якій проводилась класифікація реалізацій три - та чотиривимірних дійсних алгебр Лі в просторі трьох змінних, була спробою розширити результати Лі щодо реалізацій алгебр малих розмірностей. Проте ця робота містить ряд помилок та некоректних тверджень [9].

Задача класифікації реалізацій алгебр Лі у векторних полях є важливою і актуальною проблемою на сучасному етапі розвитку групових методів дослідження рівнянь математичної фізики та має ряд застосувань. Зокрема, стандартний алгоритм Лі дозволяє за відомими реалізаціями алгебри Лі будувати диференціальні рівняння, інваріантні відносно відповідної групи перетворень.

Наприклад, у роботах В.І. Фущича, І.А. Єгорченко, Р.З. Жданова, В.І. Лагна описано загальний вигляд диференціальних рівнянь першого і другого порядку, інваріантних відносно знайдених реалізацій алгебр Евкліда, Пуанкаре, Галілея, конформної та проективної алгебри.

Дослідження підгрупової структури груп інваріантності (Л.В. Овсянніков, П. Вінтерніц, І. Патера, Х. Цассенхаус, В.І. Фущич, Л.Ф. Баранник, А.Ф. Баранник) дозволяють використовувати метод симетрійної редукції для побудови точних розв'язків важливих класів рівнянь математичної та теоретичної фізики. Для багатовимірних рівнянь це іноді єдиний ефективний спосіб отримання класів точних розв'язків. Зокрема, з використанням методу симетрійної редукції були отримані широкі класи точних розв'язків ряду нелінійних рівнянь, наприклад, рівнянь ейконала, д'Аламбера, Ліувілля, теплопровідності та Шредінгера, Монжа-Ампера, Борна-Інфельда та ряду інших нелінійних скалярних рівнянь. Використання вказаного методу дозволило також отримати розв'язки нелінійних систем диференціальних рівнянь: рівнянь газової динаміки, рівнянь Нав'є-Стокса та Дірака, рівнянь Янга-Міллса.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилася згідно із загальним планом досліджень відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України в рамках тем «Аналітичні та симетрійні методи досліджень диференціальних моделей математичної фізики» (номер держреєстрації 0198U001993) та «Теоретико-груповий аналіз нелінійних проблем математичної фізики, хімії, біології та економіки» (номер держреєстрації 0101U000098).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є класифікація реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірностей не вище чотирьох, комплексних реалізацій алгебри Пуанкаре та її важливих підалгебр - алгебри поворотів та алгебри Евкліда, побудова загального вигляду диференціальних рівнянь, що допускають деякі із знайдених реалізацій алгебр Лі, побудова нових розв'язків рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

1. Одержано повну класифікацію реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності не вище чотирьох в просторі довільної скінченної кількості змінних.

2. Побудовано повний перелік нееквівалентних комплексних реалізацій алгебри та реалізацій алгебри в просторі трьох незалежних та залежних комплексних змінних.

3. Проведено повну класифікацію комплексних реалізацій алгебри Лі груп Лоренца , які використано для опису одного важливого класу реалізацій алгебри Пуанкаре в просторі чотирьох дійсних незалежних та залежних комплексних змінних.

4. Отримано повний список диференціальних інваріантів першого порядку для реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності 3 та 4 в просторах з однією незалежною змінною. Описано загальний вигляд інваріантних відносно цих алгебр систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нормальні системи, що інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі розмірності 3 та 4.

5. На прикладі однієї з реалізацій алгебри Евкліда побудовано повний перелік диференціальних інваріантів першого порядку і знайдено загальний вигляд інваріантної системи диференціальних рівнянь.

6. Побудовано ряд нових точних розв'язків рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу. Проведено відокремлення змінних у системі рівнянь Шредінгера-Максвелла.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використаними для розв'язування ряду конкретних задач теорії диференціальних рівнянь та рівнянь математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист, одержано здобувачем самостійно. В роботах, які опубліковано разом з іншими авторами і результати яких виносяться на захист, особистий внесок дисертанта такий. У роботі [1] В.І. Лагну належить постановка задачі та визначення загального напрямку дослідження, дисертанту - доведення теореми та побудова розв'язків рівнянь.

В роботах [2,4] Р.З. Жданову належить постановка задачі, вибір методу дослідження та уточнення формулювань, доведення результатів проведено дисертантом.

У статті [7] дисертанту належить побудова реалізацій розглянутих алгебр, Р.О. Поповичу - введення поняття мегаідеалу та визначення плану дослідження. У роботі [9] Р.О. Поповичу належить удосконалення техніки класифікації реалізацій, поняття мегаідеалу та класифікація реалізацій простих алгебр Лі, В.М. Бойку - перевірка класифікації алгебр Лі, порівняння одержаних результатів з результатами інших авторів, М.О. Нестеренко виконала класифікацію алгебр Лі в просторах з чотирма змінними, дисертанту належить класифікація розв'язних алгебр в просторах з довільною скінченною кількістю змінних.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідалися і обговорювалися на Всеукраїнській конференції «Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях» (Львів, 1998), Міжнародній конференції «Modelling and Investigation of Systems Stability» (Київ, 1997), на II, III, IV та V Міжнародних конференціях «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Київ, 1997, 1999, 2001, 2003), науковому семінарі «Алгебраїчні проблеми математичної фізики» Інституту математики НАН України (2002, керівник - професор Ю.С. Самойленко), на наукових семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (1997-2004, керівник - професор А.Г. Нікітін).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйного дослідження опублiковано в десяти статтях [2,1,3,6,8,5,7,9,4,10] у фахових наукових виданнях. Додатково вони висвітлені у статтях [11,12] в збірниках наукових праць та матеріалах конференцій [14,13].

Структура та об'єм дисертації. Дисертація містить зміст, вступ, три розділи, висновки, список використаних джерел з 147 найменувань, три додатки та шість таблиць. Повний обсяг дисертації - 160 сторінок, з них список використаних джерел, додатки та таблиці займають 43 сторінки.

Автор висловлює вдячність своєму науковому керівнику, доктору фізико-математичних наук, професору Анатолію Глібовичу Нікітіну за постійну увагу та допомогу в роботі. Автор щиро вдячний доктору фізико-математичних наук Ренату Зуфаровичу Жданову та доктору фізико-математичних наук Віктору Івановичу Лагну за постановку ряду задач, розв'язання яких увійшло в дисертацію і постійну увагу до роботи.

Автор також вдячний усім учасникам наукового семінару відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України за цінні зауваження, зроблені під час обговорення результатів.

Основний зміст роботи

рівняння максвелл диференціальний алгебра

У вступі обґрунтовано актуальність, розкрито суть, мету і наукову новизну проведених досліджень та коротко викладено зміст основної частини роботи.

Розділ 1 містить огляд літератури за темою дисертаційного дослідження.

Розділ 2 присвячений побудові реалізацій деяких класів алгебр Лі.

У підрозділі 2.1 наведено основні поняття та твердження, які використовуються далі для дослідження реалізацій.

Нехай - -вимірний гладкий многовид, а  - алгебра Лі гладких векторних полів вигляду

(1)

із стандартним комутатором векторних полів.

Тут і далі , функції вважаємо нескінченно диференційовними. За індексами, що повторюються, проводиться підсумовування, якщо не вказано інше.

Означення 1. Реалізацією алгебри Лі в векторних полях на називається гомоморфізм .

Класифікацію реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі проводимо, починаючи з одновимірної алгебри. При класифікації реалізацій алгебр Лі більшої розмірності використовуються реалізації її підалгебр, ізоморфних вже дослідженим алгебрам меншої розмірності. При цьому розрізняємо сильно та слабо еквівалентні реалізації і використовуємо підхід, що базується на понятті мегаідеалу, запропонованому Р.О. Поповичем у [7, 9]. Це дозволяє значно зменшити громіздкість обчислень, ефективно доводити нееквівалентність отриманих реалізацій і, як наслідок, уникнути помилок в класифікації.

Сформулюємо відповідні означення.

Означення 2. Дві реалізації та називаються сильно еквівалентними, якщо існує дифеоморфізм з на такий, що для всіх Якщо такого дифеоморфізму не існує, то реалізації та називаються сильно нееквівалентними.

Тут - ізоморфізм з в , індукований В рамках локального підходу, який застосовується, можна розглядати як деяку відкриту підмножину і всі дифеоморфізми є локальними.

Нехай - група всіх автоморфізмів алгебри ,  - деяка підгрупа групи .

Означення 3. Мегаідеалом алгебри називаємо векторний підпростір алгебри , який є інваріантним відносно довільних перетворень з .

Означення 4. Реалізації та називаються -еквівалентними, якщо існує та дифеоморфізм з на такі, що для всіх Якщо , то реалізації та називаються слабо еквівалентними. Обмеження реалізації на підалгебру алгебри називається реалізацією, індукованою та позначається

У дисертації класифікація реалізацій алгебр Лі проводиться відносно слабкої еквівалентності, тому, що така класифікація має більше застосувань і може бути представлена в більш компактній формі. Сильна еквівалентність більш зручна для побудови реалізацій алгебр з використанням реалізацій їх підалгебр та перевіряється простіше, ніж слабка еквівалентність.

Нехай - підмножина і . Рангом підмножини  називається загальне значення на .

Нехай - мегаідеал і та - реалізації алгебри .

Лема 1. Якщо та є -нееквівалентними, то та є слабо нееквівалентними.

Наслiдок 1. Якщо та є слабо нееквівалентними, то та також є слабо нееквівалентними.

Наслiдок 2. Якщо алгебра має мегаідеал такий, що , то реалізації та є слабо нееквівалентними.

У підрозділі 2.2 проведена класифікація нееквівалентних реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності , спираючись на класифікацію Г.М. Мубаракзянова (Изв. высш. учебн. завед. Математика, 1963, №1, C. 114-123). Для цього використовуємо такий підхід.

Для кожної з розглядуваних алгебр знаходимо групу автоморфізмів та множину мегаідеалів алгебри (відповідні таблиці наведено в додатку A дисертації).

Вибираємо максимальну власну підалгебру алгебри . Найбільш простим є випадок, коли - мегаідеал . Серед розглянутих у цьому підрозділі алгебр тільки алгебри та не містять -вимірних мегаідеалів.

Припустимо, що повний список сильно нееквівалентних реалізацій підалгебри вже побудовано. Якщо є мегаідеалом і реалізації алгебри класифікуємо тільки відносно слабкої еквівалентності, то достатньо використовувати тільки -нееквівалентні реалізації Для кожної реалізації з цього списку виконуємо таку процедуру. Знаходимо множину локальних дифеоморфізмів простору змінних , які зберігають реалізації Подаємо базисний вектор в найбільш загальному вигляді (1) і вимагаємо, щоб він задовольняв комутаційні співвідношення алгебри з базисними векторами з В результаті отримуємо систему диференціальних рівнянь з частинними похідними для коефіцієнтів і, проінтегрувавши її, розглядаємо всі можливі випадки. Для кожного випадку зводимо знайдений розв'язок до найпростішого вигляду, використовуючи дифеоморфізми з та автоморфізми алгебри .

Для перевірки нееквівалентності побудованих реалізацій співставимо -й реалізації алгебри впорядкований набір цілих чисел , де дорівнює рангу базису -гo мегаідеалу у реалізації з . Реалізації, яким відповідають різні набори рангів, нееквівалентні згідно наслідку 2. Нееквівалентність реалізацій, відповідні набори рангів яких збігаються, необхідно доводити іншим шляхом, наприклад, методом від супротивного.

Теорема 1. Нееквівалентні реалізації тривимірних розв'язних алгебр Лі у просторі довільної скінченної кількості змінних вичерпуються наведеними у таблиці 1.

Таблиця 1. Реалізації тривимірних розв'язних алгебр Лі

Алгебра		Реалізації
	1	, ,
	2	, ,
	3	, ,
	4	, ,
	5	, ,
	1	, ,
	2	, ,
	3	,
	4	, ,
	1	, ,
	2	, ,
	3	, ,
	1	, ,
	2	, ,
	3	, ,
	1	, ,
	2	, ,
	3	, ,
	4	, ,
	1	, ,
	2	, ,
	3	, ,
	1	, ,
	2	, ,
	3	, ,

Аналогічні результати щодо реалізацій дійсних чотиривимірних розв'язних алгебр Лі сформульовано у вигляді теореми 2.3 дисертації.

У підрозділі 2.3 прокласифіковано нееквівалентні коваріантні реалізації алгебри Лі в просторі комплексних змінних та . Змінні та розрізняємо як незалежні та залежні змінні, оскільки далі проводимо побудову диференціальних рівнянь з частинними похідними, інваріантних відносно .

Базис в та вибираємо таким чином, щоб комутаційні співвідношення мали вигляд:

(2)

(3)

де - абсолютно антисиметричний тензор порядку 3 із .

У різних задачах теоретичної та математичної фізики найбільш часто зустрічаються коваріантні реалізації, для яких оператори мають вигляд , (тут і надалі ), тоді

 (4)

де - довільні гладкі функції, задовольняють комутаційні співвідношення алгебри .

Теорема 2. Існують заміни змінних які зводять оператори до однієї з таких трійок операторів:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Наслiдок 3. Алгебра має 5 нееквівалентних реалізацій (6) - (10).

Теорема 3. Hехай диференціальні оператори та вигляду (4) задовольняють комутаційні співвідношення алгебри . Тоді існують заміни змінних , , які зводять оператори до однієї з шести трійок операторів, що визначаються формулами (2.59) - (2.64) дисертації.

Підрозділ 2.4 присвячено класифікації нееквівалентних реалізацій алгебри Лі групи псевдоповоротів , яка діє в просторі , де - простір дійсних змінних з метричним тензором - -вимірний простір комплексних змінних . (Тут і далі , .

Алгебра визначається комутаційними співвідношеннями

(11)

Для побудови реалізацій цієї алгебри можна використати результати теореми 2 оскільки розкладається в пряму суму в базисі

(12)

Теорема 4. Існує 28 нееквівалентних реалізацій алгебр у комплексному просторі .

Явний вигляд цих реалізацій наведено у формулах (2.85) - (2.112) дисертації.

Виходячи із знайдених нееквівалентних наборів операторів що задовольняють комутаційні співвідношення алгебри AO (1,3), в дисертації побудовано всі нееквівалентні коваріантні реалізації алгебри Пуанкаре AP (1,3) в класі операторів

де J, .

Третій розділ присвячено деяким застосуванням алгебраїчних методів до групової класифікації та побудови точних розв'язків систем диференціальних рівнянь.

У підрозділі 3.1 розв'язується задача опису найбільш загального вигляду систем  звичайних диференціальних рівнянь першого порядку інваріантних відносно розв'язних дійсних алгебр Лі розмірності ( або ). Тут - деякі гладкі функції, . Змінну вважaємо незалежною, а змінні  - залежними. Похідну за позначаємо крапкою над символом , .

При побудові систем диференціальних рівнянь, інваріантних відносно тривимірних розв'язних алгебр Лі, що наведені в таблиці 1, вважаємо функціями від , а - незалежною змінною. Для кожної з цих реалізацій знайдено функціональний базис диференціальних інваріантів (див. табл. Б.1 дисертації), що дає змогу описати системи трьох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, інваріантних відносно тривимірних дійсних розв'язних алгебр Лі.

Теорема 5. Нехай система трьох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку є інваріантною відносно деякої реалізації дійсної -вимірної розв'язної алгебри Лі рангу . Тоді така система інтегрується в квадратурах, причому невироджені заміни змінних, які зводять відповідну реалізацію до однієї з реалізацій, наведених у таблиці 1, зводять систему рівнянь до одного із таких випадків:

Далі проводимо побудову диференціальних інваріантів чотиривимірних розв'язних дійсних алгебр Лі. Розглядаємо лише реалізації, які існують у просторі змінних , , , , . При цьому вважаємо, що у побудованих реалізаціях цих алгебр  - незалежна змінна,

, , ,  - функції від . Повний перелік диференціальних інваріантів наведено у таблицях Б.2, Б.3 дисертації.

Аналогічний до теореми 5 результат для систем чотирьох рівнянь, інваріантних відносно чотиривимірних розв'язних дійсних алгебр Лі сформульовано у теоремі 3.2 дисертації.

У підрозділі 3.2 знайдено загальний вигляд диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку, інваріантних відносно реалізації

(13)

алгебри Евкліда .

Побудовано базис диференціальних інваріантів для цієї реалізації алгебри Евкліда у просторі трьох незалежних та залежних змінних :

Тут верхній індекс позначає номер залежної змінної, а нижні індекси позначають похідні, наприклад, .

Функціональний базис диференціальних інваріантів першого порядку реалізації розширеної алгебри Евкліда, утвореної операторами (13) і оператором ділатації де у просторі трьох незалежних та залежних змінних складають функції



У підрозділі 3.3 повністю розв'язано задачу симетрійної редукції узагальнень рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу електромагнітного поля в просторі Мінковського :

(14)

до систем звичайних диференціальних рівнянь за підалгебрами розширеної алгебри Пуанкаре , які не спряжені підалгебрам алгебри . Cиметрійну редукцію за підалгебрами алгебри виконала І.А. Єгорченко.

Для симетрійної редукції рівнянь (14), використовуємо лінійну конструкцію -інваріантних анзаців, запропоновану у роботах В.І. Фущича, Р.З. Жданова, В.І. Лагна. Для системи (14) вона має вигляд

(15)

де - нові невідомі функції змінної ,

(16)

Тут  - компоненти векторів , , , функції , , визначаються тривимірними підалгебрами розширеної алгебри Пуанкаре , що не спряжені підалгебрам алгебри Пуанкаре .

Коваріантна форма -інваріантних анзаців (15) - (16) дозволяє здійснити симетрійну редукцію рівнянь Максвелла (14) у загальному вигляді. Побудовано редуковані системи звичайних диференціальних рівнянь і знайдено 11 класів точних розв'язків рівнянь (14).

У підрозділі 3.4 отримано загальний вигляд потенціалів , для яких двовимірне рівняння Шредінгера

(17)

допускає відокремлення змінних. Одержано чотири класи потенціалів, які задовольняють рівняння Максвелла у вакуумі без струмів, і для яких рівняння (17) допускає відокремлення змінних.

Висновки

1. Одержано повну класифікацію реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності не вище чотирьох в просторах довільної скінченної кількості змінних.

2. Побудовано повний перелік нееквівалентних реалізацій алгебри

3. в просторі комплексних змінних, повний перелік реалізацій алгебри в просторі 3 незалежних та залежних комплексних змінних.

4. Прокласифікованo комплексні реалізації алгебри Лоренца . Описано важливий клас реалізацій алгебри Пуанкаре в просторі 4 дійсних незалежних та залежних комплексних змінних.

5. Отримано функціональні базиси диференціальних інваріантів першого порядку для реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності 3 та 4 в просторах з однією незалежною змінною. Oписано загальний вигляд інваріантних відносно цих алгебр систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нормальні системи, що інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі розмірності 3 та 4.

6. Для однієї з реалізацій алгебри Евкліда побудовано повний перелік функціонально-незалежних диференціальних інваріантів першого порядку і знайдено загальний вигляд відповідної інваріантної системи диференціальних рівнянь.

7. Побудовано ряд нових точних розв'язків рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу. Проведено відокремлення змінних у системі рівнянь Шредінгера-Максвелла.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Лагно В.І., Лутфуллін М.В. Редукція рівнянь Максвелла для векторного потенціалу за підалгебрами розширеної алгебри Пуанкаре // Доп. НАН України. - 1998. - №7. - C. 31-36.

2. Жданов Р.З., Лутфуллін М.В. Відокремлення змінних у рівнянні Шрьодінгера з потенціалом, який залежить від часу / Симетрійні та аналітичні методи в нелінійній математичній фізиці // Праці Інституту математики НАН України. - 1998. - 19. - С. 100-105.

3. Лутфуллін М.В. Про зображення алгебри Лі групи Евкліда в класі векторних полів Лі // Вісник державного університету «Львівська політехніка». - 1998. - №337. - C. 44-46.

4. Zhdanov R., Lutfullin M. On separable Schrцdinger-Maxwell equation // J. Math. Phys. - 1998. - 39, №12. - P. 6454-6458.

5. Lutfullin M. Realization of the Euclidian algebra within the class of complex Lie vector fields // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2000. - 30, Part 1. - P. 151-156.

6. Лутфуллін М.В. Реалізації групи Пуанкаре в класі комплексних векторних полів Лі / Групові та аналітичні методи в математичній фізиці // Праці Інституту математики НАН України. - 2001. - 36. - С. 177-186.

7. Lutfullin M., Popovych R. Realizations of real 4-dimensional solvable decomposed Lie algebras // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2002. - 43, Part 2. - P. 466-469.

8. Lutfullin M. On covariant realizations of the Poincarй group  // Rep. Math. Phys. - 2002. - 50, №2. - P. 195-209.

9. Popovych R., Boyko V., Nesterenko M., Lutfullin M. Realizations of real low-dimensional Lie algebras // J. Phys. A: Math. Gen. - 2003. - 36. - P. 7337-7360.

10. Lutfullin M. On integrable systems of ODEs // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2004. - 50, Part 1. - 2004. - P. 176-178.

11. Лутфуллін М.В. Про зображення алгебри Лі групи поворотів та групи Лоренца // Збірник наукових праць Полтавського державного педагогічного інституту ім. В.Г. Короленка, cерія «Фізико-математичні науки». - 1998. - Випуск 3. - С. 41-44.

12. Лутфуллін М.В. Реалізації розв'язних алгебр Лі та інтегрування систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь // Збірник наукових праць Полтавського державного педагогічного університету ім. В.Г. Короленка, cерія «Фізико-математичні науки». - 2000. - Випуск 1 (9). - С. 65-72.

13. Лутфуллін М.B. Підгрупи розширеної групи Пуанкаре та точні розв'язки рівнянь Максвелла для векторного потенціалу / Thesis of Conference Reports «Modelling and Investigation of System Stabiliti». - Kiev, 1997. - P. 67.

14. Lutfullin M. Symmetry reduction of nonlinear equations of classical electrodynamics / Proc. of the Second International Conf. «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics». - Kyiv, 1997. - 1. - P. 232-236.

Размещено на Allbest.ru

...