Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

УДК 517.94

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Якісна поведінка розв'язків нелінійних параболічних рівнянь у тонких двошарових областях

01.01.03 - математична фізика

Рекало Андрій Михайлович

Харків - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Чуєшов Ігор Дмитрович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, завідувaч кафедри математичної фізики та обчислювальної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Шишков Андрій Євгенович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, виконувач обов'язків завідувача відділу рівнянь у частинних похідних;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Щербина Марія Володимирівна, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України, м. Харків, завідувач відділу статистичних методів математичної фізики.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ математичної фізики, м. Київ.

Захист відбудеться 27 серпня 2004 р. о 1530 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися у Центральній науковій бібліотеці Харківського

національного університету імені В.Н.Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 7 липня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Скорик В.О.

Загальна характеристика роботи

асимптотичний динаміка параболічний

Актуальність теми. Після засадничих робіт О.А. Ладиженської, Дж. Марсдена, Д. Хенрі, Ч. Фояша, Р. Темама, М.Й. Вішика, А.В. Бабіна та інших розпочалося інтенсивне дослідження асимптотичної динаміки нелінійних дисипативних рівнянь математичної фізики. Головна увага при цьому приділяється з'ясовуванню структури глобальних атракторів - скінченновимірних інваріантних множин, що асимптотично притягують усі траєкторії вихідної нескінченновимірної динамічної системи.

До цього часу найбільш змістовні результати щодо асимптотичної динаміки одержано для скалярних рівнянь реакції-дифузії. Цей важливий клас рівнянь містить задачі популяційної генетики (рівняння Колмогорова-Петровського-Піскунова), нейрофізіології (рівняння Фітцхью-Нагумо), прості моделі керування ядерними реакторами, нелінійні рівняння теплопровідності тощо. Математична теорія рівнянь реакції-дифузії розвивалась протягом останніх 30 років багатьма математиками, у тому числі Т.І. Зеленяком, Х. Матано, Дж. Хейлом, П.Л. Ліонсом, Д. Хенрі. У перебігу цих досліджень було одержано досить повний опис атракторів просторово-одновимірних рівнянь. У той же час, важливі питання щодо структури атракторів рівнянь реакції-дифузії у багатовимірних областях поки що залишаються відкритими.

Певного поступу в дослідженні цих проблем було досягнуто, починаючи з 1990-х років, у роботах Дж. Хейла - Ж. Рожель та М. Прицци - К. Рубаковського, де розглядаються нелінійні рівняння у тонких областях. Виявилося, що асимптотична поведінка розв'язків рівняння реакції-дифузії у достатньо тонкій двовимірній області може бути добре апроксимована динамікою якісно більш простої граничної задачі (що становить скалярне параболічне рівняння на відповідному графі).

У дисертації досліджуються атрактори системи рівнянь реакції-дифузії у тонкій двошаровій області з контактною внутрішньою межею. Подібна система може бути використана для моделювання хімічних та теплових процесів у тонких двошарових плівках. Необхідно зазначити, що у випадку нелінійних рівнянь у тонких складених областях з умовами сполучення на контактних межах вже на етапі виводу граничної задачі можуть виникати певні ускладнення. Крім того, для дослідження атракторів таких рівнянь необхідно модифікувати стандартні методи теорії нескінченновимірних дисипативних систем, які безпосередньо незастосовні до сингулярно збурених крайових задач. У математичній літературі поки що відсутні результати стосовно асимптотичної поведінки контактних задач у тонких областях для нелінійних рівнянь розглянутого в дисертації типу.

Отже, актуальним є подальше дослідження параболічних рівнянь у тонких складених областях із умовами сполучення. Важливо з'ясувати залежність асимптотичної поведінки розв'язків від параметрів, що визначають крайові умови, описати в явному вигляді структуру граничних рівнянь та строго обґрунтувати граничний перехід. З точки зору теорії динамічних систем важливою задачею є описання асимптотичної динаміки вихідної задачі (зокрема, глобальних атракторів) за допомогою граничної задачі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі математичної фізики та обчислювальної математики механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна в межах держбюджетної науково-дослідної теми "Якісні методи дослідження початково-крайових задач математичної фізики" (номер державної реєстрації 0100U003363).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є опис асимптотичної динаміки рівняння реакції-дифузії у тонкій двошаровій області з умовами сполучення на контактній межі.

Для досягнення цієї мети необхідно вирішити наступні задачі:

1) довести однозначну коректну розв'язність початково-крайової задачі, що розглядаєть-ся, одержати рівномірні за товщиною області апріорні оцінки розв'язків, довести дисипативність та компактність відповідної півгрупи;

2) обгрунтувати граничний перехід у рівнянні, коли товщина області прямує до нуля та явно описати структуру граничної системи, довести неперервну залежність атрактора задачі від товщини області;

3) спираючись на властивості граничної системи, одержати для задачі в тонкій області результати щодо асимптотичної динаміки, що можуть не виконуватися у довільних областях (існування інерціальних многовидів, стабілізація розв'язків тощо).

Об'єкт дослідження. Початково-крайові задачі для напівлінійних параболічних рівнянь у тонких областях із контактною внутрішньою межею.

Предмет дослідження. Асимптотична динаміка рівнянь реакції-дифузії у двошарових тонких областях, залежність якісної поведінки розв'язків від параметрів, що контролюють умови сполучення на контактній межі.

Методи дослідження. У дисертаційному дослідженні використано методи теорії лінійних та напівлінійних рівнянь у частинних похідних, метод локальної лініаризації, теорію збурень самоспряжених операторів, теорію глобальних інваріантних многовидів півгруп.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше досліджена якісна поведінка розв'язків контактних задач для рівнянь реакції-дифузії в тонких складених областях і одержані наступні нові результати:

1) Доведено коректну глобальну розв'язність вказаної задачі і одержано рівномірні за товщиною області апріорні оцінки розв'язків у класах Соболєва.

2) Доведено, що, коли товщина області прямує до нуля, розв'язки вихідної задачі збігаються на скінченних інтервалах часу до розв'язків деякої граничної системи, що задана в області меншої вимірності.

3) Одержано теореми про неперервність сукупності глобальних атракторів задачі у метриках Хаусдорфа; у випадку двовимірної тонкої області одержано достатні умови стабілізації кожного розв'язку до єдиного стаціонарного розв'язку, що узагальнюють відомі результати щодо рівнянь в одновимірних та одношарових двовимірних тонких областях.

4) Встановлено, що всі розв'язки вихідної системи з експоненціальною швидкістю притягуються до нескінченновимірного лінійного підпростору фазового простору, якщо область є достатньо тонкою і параметри задачі певним чином узгоджено. Як наслідок цього результату, доведено, що в цій ситуації глобальні атрактори вихідної та граничної задач можна ототожнити.

5) За умови, коли нелінійні члени, що входять до системи, є дійсними аналітичними, доведено існування двох лінійних функціоналів, що повністю визначають асимп-тотичну динаміку системи. Раніше результати стосовно існування малого числа функціоналів, що визначають динаміку, були відомі лише для просторово-одно-вимірних рівнянь.

6) Запропоновано нову модифікацію метода Ляпунова-Перрона, за допомогою якої у випадку системи в двовимірній тонкій області побудовано неперервно диференці-йовні інерціальні многовиди.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Методи, що розвиваються в дисертації, можуть скласти засади для подальших якісних досліджень контактних задач для складних нелінійних рівнянь та систем (у тому числі тривимірної системи Нав'є-Стокса) у тонких складених областях. Конкретні нові результати роботи стосовно асимптотичної динаміки можуть бути використані з метою з'ясування ефектів хаотизації розв'язків, що експериментально та чисельно спостерігаються у прикладних задачах, що моделюються за допомогою рівнянь реакції-дифузії.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації одержано автором самостійно. Науковому керівнику І.Д. Чуєшову належить постановка задачі, а також теореми 1.3 та 1.5 у роботі [1].

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на Міжнародній конференції "Теорія функцій і математична фізика", присвяченій 100-річчю Н.І. Ахієзера (м. Харків, 13-17 серпня 2001 р.), на Міжнародній конференції "Обернені задачі та нелінійні рівняння" (м. Харків, 12-16 серпня 2002 р.), на Міжнародній конференції "Нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних" (м. Алушта, 15-21 вересня 2003 р.), на семінарі групи чисельного аналізу та рівнянь у частинних похідних математичного факультету університету Париж-Південь (м. Орсе, Франція, керівник професор Д. Хільхорст), на семінарі математичного відділення Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (керівник академік Є.Я. Хруслов), на семінарі кафедри математичної фізики та обчислювальної математики Харківського національного університету (керівник професор І.Д. Чуєшов).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 8 роботах, у тому числі 5 статей у фахових наукових виданнях та 3 роботи в тезах доповідей.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації складає 143 сторінки. Список використаних джерел займає 10 сторінок і містить 102 найменування. Результати, що винесено на захист, наведені в розділах 2 - 4.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність наукової проблеми, що розглядається в дисертації, наведено мету і задачі дослідження, а також роз'яснено наукову новизну одержаних результатів.

Розділ 1 містить огляд літератури за темою дисертації та обгрунтування вибору напрямку досліджень.

У підрозділі 2.1 розділу 2 введено в розгляд початково-крайову задачу для напівліній-ного параболічного рівняння в двошаровій тонкій області , , з умовами спряження на внутрішній контактній межі (система (1)-(4)). Розділ 2 є попереднім для подальшого вивчення асимптотичної поведінки розв'язків задачі при , , якому присвячено основну частину роботи.

Нехай та є обмеженими областями в, , що мають вигляд де і - обмежена область в із межею класу . Надалі для спрощення позначень множини та не розрізняються.

Розглядається система рівнянь за початковими умовами

Припускається, що компоненти и задовольняють умову Неймана на зовнішній частині межі складеної області та умову спряження на вигляду

Тут - похідна функції за напрямком нормалі, зовнішньої до . Параметри та вважаються додатними. Щодо функцій припускається, що де , якщо і - довільне, якщо . Крім того, нехай існують такі числа , та , що для всіх справедливі нерівності

Припускається також, що виконано умови ( - стандартні простори Соболєва на області ) та для кожного

Задача (1)-(4) являє собою модель хімічної кінетики, що описує поведінку системи, яка складається з двох компонентів, що заповнюють тонкі стичні шари і . Реакція компонентів відбувається лише на поверхні , яка розділяє і . Інтенсивність реакції на залежить від товщини областей, що заповнені реагентами, та описується “коефіцієнтом обміну” .

У підрозділах 2.2, 2.3 введено необхідні функціональні простори і доведено коерцитивність та регулярність в самоспряженого оператора , що відповідає еліптичній частині задачі (1)-(4). Основні результати розділу 2 містяться в наступній теоремі, доведення якої наведено в підрозділі 2.4.

Теорема 1. Нехай виконано умови (5)-(8). Тоді для всіх і для будь-якого задача (1)-(4) має єдиний сильний розв'язок

де простір складається з усіх елементів простору , що задовольняють крайові умови (3), (4). Кожний розв'язок прямує в -нормі при до множини стаціонарних розв'язків задачі (1)-(4).

Для кожного задача (1)-(4) породжує компактну динамічну систему , . При цьому для будь-якого

Крім того, існує таке число , що для будь-якої кулі знайдеться таке , що тобто півгрупа є дисипативною у рівномірно за .

Відповідний глобальний атрактор (максимальна замкнена обмежена підмножина простору , що є інваріантною відносно для всіх ) лежить у просторі і збігається з нестійким многовидом , що виходить із . Інакше кажучи, являє собою об'єднання всіх повних траєкторій таких, що

У підрозділі 2.4, крім того, одержано рівномірні за товщиною області апріорні оцінки розв'язків, а також доведено диференційовність за Фреше операторів півгрупи .

У розділі 3 вивчаються граничні властивості розв'язків задачі (1)-(4) при (тобто при стоншенні області ). Починаючи з цього розділу, припускається, що “коефіцієнт обміну” в умові спряження (4) має вигляд

Нехай - відповідна півгрупа. У розділі досліджуються асимптотичні властивості її глобального атрактора , коли . З'ясовується, що ці властивості суттєво залежать від величини показника . Залежно від того, чи буде параметр набувати значення рівного одиниці, більшого за одиницю або меншого за одиницю, “асимптотичною границею” вихідної задачі буде система рівнянь в області , відповідно.

Підрозділ 3.1 містить формулювання основних результатів розділу. Для опису граничної поведінки півгруп та їх глобальних атракторів введено оператори

Нехай . Ясно, що неперервно відображує у та у .

Наступна теорема, доведення якої наведено в підрозділі 3.2, описує асимптотичну поведінку оператора при у випадку .

Теорема 2. Нехай , , - еволюційний оператор задачі, відповідно, (10) при і (11) при . Нехай при , при . Тоді для кожного існують сталі та такі, що для будь-якого елемента такого, що .

Крім того, для будь-якого справедлива оцінка

Основні результати дисертації про близькість атракторів дограничної та граничної задач містяться в двох наступних теоремах, доведенням яких присвячено, відповідно, підрозділи 3.3 та 3.5.

Теорема 3. Для будь-яких справедливе співвідношення

де - глобальний атрактор задачі (1)-(4) і - глобальний атрактор задачі, відповідно, (10) при та (11) при .

Теорема 4. Нехай . Припустимо, що всі нерухомі точки задачі, відповідно, (10) (), (11) () є гіперболічними. Тоді для деяких , , справедливе співвідношення

де та - ті ж самі, що і в теоремі 3, а відстань від множини до множини визначено рівністю

Теореми 3 і 4 показують, що випадок відповідає слабкій взаємодії компонентів та розв'язку задачі (1)-(4). Їх гранична динаміка описується парою незалежних рівнянь (11) і асимптотично ці компоненти еволюціонують незалежно один від одного. При гранична задача (10) містить обмінний член , тобто на границі компоненти та продовжують взаємодіяти. При І.Д. Чуєшовим (див. [1]) були доведені твердження, аналогічні до теорем 2, 3. З цих результатів випливає, що випадок відповідає сильній граничній взаємодії компонентов (граничною системою є (12)). Фактично при спостерігається гранична синхронізація компонентів та , тобто при маємо суміш компонентів (із середніми коефіцієнтом дифузії та реактивним членом ).

Підрозділ 3.4 присвячено питанню про стабілізацію траєкторій півгруп до нерухомих точок. В силу теореми 1 всі розв'язки задачі (1)-(4) при наближаються до множини стаціонарних розв'язків. Виникає питання: чи стабілізується кожний розв'язок до єдиної нерухомої точки? У 1968 р. Т.І. Зеленяк одержав позитивну відповідь у випадку просторово-одновимірних квазілінійних параболічних рівнянь із крайовими умовами Діріхле або Неймана. Проте в 1996 р. П. Полачик і К. Рубаковський Polбиik P., Rybakowski K.P. Nonconvergent bounded trajectories in semilinear heat equations // J.. Diff. Eqs. - 1996. - Vol. 124. - P. 472-494. побудували приклад рівняння реакції-дифузії, заданого в крузі, з умовами Діріхле на межі, такого, що деякий його розв'язок

“навивається” на множину нерухомих точок, гомеоморфну колу. В теоремі 5 наведено достатню умову стабілізації кожного розв'язку задачі (1)-(4) до єдиного стаціонарного розв'язку. При цьому використовується загальна схема доведення стабілізації розв'язків абстрактних еволюційних рівнянь, яку Дж. Хейл і Ж. Рожель Hale J., Raugel G. Convergence in gradient-like systems with applications to PDE // Zeitschrift angew Math Phys. - 1992. - Vol. 43. - P. 63-124. раніше застосовували у випадку рівнянь у тонких одношарових областях.

Теорема 5. Нехай у задачі (1)-(4) та має місце рівність (9) з . Тоді існує число таке, що при всіх для будь-якого елемента знайдеться єдина нерухома точка півгрупи така, що

У розділі 4 розглядаються інваріантні многовиди для півгруп , що з експоненціальною швидкістю притягують при усі траєкторії. Підрозділ 4.1 присвячено випадку, коли існує нескінченновимірний інваріантний підпростір. Припустимо, що параметри і функції , ( ) в задачі (1)-(4) задовольняють наступні умови узгодження:

Розглянемо замкнений підпростір простору , який складається із функцій, що не залежать від змінної :

Легко впевнитись в тому, що , тобто підпростір є додатно інваріантним відносно . При цьому, якщо , то функція задовольняє рівняння (12). Основний результат підрозділу 4.1 міститься в наступній теоремі, з якої випливає, що асимптотична динаміка півгрупи може бути повністю описана в термінах рівняння (12), якщо вихідна область є достатньо тонкою і виконуються умови узгодження (13).

Теорема 6. Нехай виконуються умови (9) з та (13). Тоді існують такі додатні сталі , що для всіх , має місце співвідношення

При цьому глобальний атрактор півгрупи та атрактор півгрупи , що породжується в просторі задачею (12), пов'язані співвідношенням

Теорема 6 узагальнює відомий раніше результат Конвея, Хоффа і Смоллєра Conway E., Hoff D., Smoller J. Large time behavior of solutions of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // SIAM J. Appl. Math. - 1978. - Vol. 35, No. 1. - P. 1-16., які довели, що кожний розв'язок загальної системи рівнянь реакції-дифузії в обмеженій області з крайовими умовами Неймана з експоненціальною швидкістю прямує до підпростору функцій, що не залежать від просторових змінних, якщо область є достатньо малою. Вказаний підпростір є скінченновимірним і інваріантним відносно півгрупи, що відповідає задачі. Отже, асимптотична динаміка вихідної нескінченновимірної системи може бути описана за допомогою скінченновимірної системи звичайних диференціальних рівнянь. У подальшому виявилося, що такий підпростір є частковим випадком інерціального многовиду для півгрупи, тобто скінченновимірного інваріантного многовиду, що притягує кожну траєкторію. Особливістю теореми 6 є те, що інваріантний підпростір є нескінченновимірним, отже в даному випадку не можна безпосередньо застосувати теорію інерціальних многовидів. Доведення теореми 6 спирається на наступний результат про стабілізацію для загальних параболічних рівнянь.

Лема 1. Нехай - самоспряжений додатно визначений оператор із дискретним спектром у сепарабельному дійсному гільбертовому просторі з нормою . Нехай для деяких задано відображення простору в таке, що із деякою сталою . Припустимо також, що де - проектор в такий, що та лінійний многовид є замкненим в , -півгрупа, що породжується в просторі сильними розв'язками задачі Коші

Тоді, якщо справджується нерівність , де - спектр відповідного оператора, то існують такі сталі , що

У підрозділі 4.2 в двовимірній області (з ) розглянуто систему за початковими умовами та крайовими умовами

Припускається, що , коефіцієнт обміну задовольняє умови (8) і для функцій виконуються наступні умови:

із деякою константою (глобальна умова Ліпшиця);

(умова існування інваріантного підпростору);

для будь-якого та деякого (умова дисипативності). Із використанням леми 1 і теорії визначальних функціоналів для нескінченновимірних дисипативних систем Чуешов И.Д. Теория функционалов, однозначно определяющих асимптотическую динамику бесконечномерных диссипативных систем // УМН. - 1998. - Т. 53, № 4. - С. 77-124. встановлено наступну теорему.

Теорема 7. Нехай і виконуються умови (17)-(19). Припустимо, що функція , яка визначена співвідношенням (18), є дійсною аналітичною. Тоді існують додатні числа , такі, що для всіх , , , та будь-яких двох розв'язків задачі (14)-(16) зі співвідношення

випливає, що .

Даний результат означає, що відповідна нескінченновимірна динамічна система є в певному сенсі асимптотично двовимірною. Раніше аналогічна властивість була відома лише для деяких просторово-одновимірних задач. Зазначимо, що у випадку задачі (1)-(4) можна довести аналогічне твердження, причому лише з одним визначальним функціоналом.

У підрозділі 4.3 доведено існування і неперервну диференційовність інерціальних многовидів для задачі (1)-(4). Нагадаємо, що підмножина гільбертового простору називається інерціальним многовидом для півгрупи , що діє в , якщо є додатно -інваріантною, притягує з експоненціальною швидкістю всі обмежені підмножини та має вигляд, де - скінченновимірний проектор в , а - відображення підпростору в таке, що

Якщо компактна півгрупа має інерціальний многовид, то він містить у собі її глобальний атрактор. Инерціальний многовид є скінченновимірним ліпшицевим многовидом, вимірність якого дорівнює . Основний результат підрозділу міститься в наступній теоремі.

Теорема 8. Нехай у задачі (1)-(4) та має місце рівність (9) з . Тоді існують числа , такі, що при всіх півгрупа має n-вимірний інерціальний многовид класу .

Теорему 8 доведено за допомогою методу Ляпунова-Перрона. Зазначимо, що стандартні варіанти цього методу не дозволяють безпосередньо довести -гладкість инерціальних многовидів для розглянутої задачі. З цією метою в дисертації запроваджено необхідну його модифікацію. До цього часу лишається невідомим, чи існують інерціальні многовиди для рівняння реакції-дифузії у довільних обмежених дво- або тривимірних областях (відомі приклади рівнянь у чотиривимірному кубі, що не мають інерціальних многовидів Mallet-Paret J., Sell G.R., Shao Z. Obstructions to the existence of normally hyperbolic inertial manifolds // Indiana Univ. Math. J. - 1993. - Vol. 42, No. 3. - P. 1027-1055.).

Висновки

У дисертації міститься нове теоретичне вирішення наукової проблеми, що полягає в якісному описанні асимптотичної динаміки нелінійного параболічного рівняння в тонкій двошаровій області. У роботі побудовано еволюційну півгрупу, що відповідає вихідній задачі, та із залученням теорії нескінченновимірних дисипативних систем досліджено її асимптотичну поведінку (існування і властивості відповідних глобальних атракторів, інваріантних многовидів тощо). Основні результати, одержані в дисертації, полягають у наступному:

1. Доведено коректну глобальну розв'язність вихідної задачі і одержано рівномірні за товщиною області апріорні оцінки розв'язків у соболєвських просторах. Показано, що еволюційна півгрупа, яка відповідає задачі, є дисипативною і компактною.

2. Доведено, що якщо товщина області прямує до нуля, то розв'язки задачі збігаються на скінченних інтервалах часу до розв'язків деякої граничної системи, заданої в області меншої вимірності. З'ясовано, що структура граничної системи суттєво залежить від параметра, який контролює умову спряження на контактній межі.

3. Досліджено асимптотичні властивості (при ) півгрупи та її лініаризацій в околі нерухомих точок. На засаді цих результатів одержано теореми про неперервність у метриках Хаусдорфа глобальних атракторів задачі, а також теорему про стабілізацію траєкторій півгрупи до нерухомих точок.

4. Встановлено, що всі траєкторії півгрупи з експоненціальною швидкістю притягуються до нескінченновимірного лінійного підпростору фазового простору, якщо область, у якій задане рівняння, є достатньо тонкою, і параметри задачі певним чином узгоджено. Як наслідок цього результату, доведено, що в цій ситуації глобальні атрактори дограничної і граничної задач фактично співпадають. Це дає принцип зведення, який дозволяє зменшити просторову вимірність задачі.

5. За умови, якщо нелінійні члени, що входять до рівняння, є дійсними аналітичними, доведено існування двох лінійних функціоналів, які цілком визначають асимптотичну динаміку півгрупи. Це твердження узагальнює раніше відомі результати для просторово-одновимірних рівнянь.

6. Запропоновано нову модифікацію методу Ляпунова-Перрона, за допомогою якої для задачі у двовимірній тонкій області побудовано инерціальні многовиди класу . Стандартні версії методу Ляпунова-Перрона не дозволяють довести диференційовність інерціальних многовидів для задачі, що розглядається.

Результати роботи узагальнюють низку тверджень, що раніше були встановлені для просторово-одновимірних задач та задач в одношарових тонких областях. Вони можуть бути використані у дослідженнях якісної динаміки контактних задач для нелінійних параболічних систем (у тому числі, тривимірних рівнянь Нав'є-Стокса) у тонких складених областях. Результати дисертації щодо нескінченновимірних інваріантних підпросторів та інерціальних многовидів можуть також знайти застосування при побудові глобальних інваріантних многовидів для еволюційних рівнянь в областях, що не є тонкими.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

Рекало А.М., Чуешов И.Д. Глобальный аттрактор контактной параболической задачи в тонкой двухслойной области // Математический сборник. - 2004. - Т. 195, № 1. - С. 103 - 128.

Rekalo A.M. Stabilization of solutions of nonlinear parabolic equations on thin two-layer domains // Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. - 2002. - Vol. 9, No. 3. - P. 446 - 454.

Rekalo A.M. Asymptotic behavior of solutions of nonlinear parabolic equations on two-layer thin domains // Nonlinear Analysis, TMA. - 2003. - Vol. 52. - P. 1393 - 1410.

Рекало А.М. Визначальні функціонали для неавтономної системи сполучених параболічних рівнянь у двошаровій тонкій області // Доповіді НАН України - 2002. - № 10. - С. 22 - 27.

Rekalo A.M. Inertial manifolds for reaction-diffusion equation on thin two-layer domains // Вісник Харківського національного університету, серія “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2003. - № 582. - С. 162 - 178.

Рекало А.М. Определяющие функционалы для неавтономной параболической системы в двухслойной тонкой области // Тезисы докладов Международной конференции “Теория функций и математическая физика”. - Харьков. - 2001. - С. 83 - 84.

Rekalo A. Global attractor of reaction-diffusion equation on thin two-layer domains // Тезисы докладов Международной конференции “Обратные задачи и нелинейные уравнения”. - Харьков. - 2002. - С. 76 - 77.

Rekalo A. Asymptotic behavior of solutions to nonlinear parabolic interface problems on thin domains // in: Book of abstracts, International Conference “Nonlinear partial differential equations”. - Donetsk. - 2003. - P. 177.

Анотація

Рекало А.М. Якісна поведінка розв'язків нелінійних параболічних рівнянь у тонких двошарових областях. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2004.

Дисертацію присвячено опису асимптотичної динаміки рівнянь реакції-дифузії у тонкій двошаровій області з умовами спряження на контактній межі. Основними об'єктами дослідження є глобальні атрактори та інваріантні многовиди дисипативної компактної півгрупи, що відповідає задачі. Одержано теореми про неперервність у метриках Хаусдорфа глобальних аттракторів. Встановлено достатню умову стабілізації кожної траєкторії до єдиної нерухомої точки. Доведено, що всі траєкторії з експоненціальною швидкістю прямують до нескінченновимірного лінійного підпростору фазового простору, якщо область, в якій задано рівняння, є достатньо тонкою і параметри задачі певним чином узгоджено. Як наслідок цього результата, доведено, що в цій ситуації глобальний атрактор вихідної півгрупи співпадає з атрактором граничної півгрупи, заданої на інваріантному підпросторі. Крім того, за умови, якщо нелінійні члени, що входять до рівняння, є дійсними аналітичними, встановлено існування двох лінійних функціоналів, які цілком визначають асимптотичну динаміку півгрупи. Для задачі у двовимірній тонкій області побудовано скінченновимірні інваріантні многовиди класу , що експоненціально притягують усі розв'язки.

Ключові слова: рівняння реакції-дифузії, умова спряження, тонка область, півгрупа, глобальний атрактор.

Аннотация

Рекало А.М. Качественное поведение решений нелинейных параболических уравнений в тонких двухслойных областях. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Харьковский национальный университет имени В.Н.Каразина, Харьков, 2004.

Диссертация посвящена описанию асимптотической динамики системы уравнений реакции-диффузии в тонкой двухслойной области с условиями сопряжения на контактной границе и условиями Неймана на внешней части границы. Здесь - положительная функция (“коэффициент обмена”) на , - толщина области . Данная задача может использоваться для моделирования нестационарных процессов химической кинетики и теплообмена, протекающих в тонких пленках с контактной внутренней границей. К настоящему времени в работах Дж. Хейла, Ж. Рожель, П. Рубаковского, М. Прицци и других математиков достаточно полно изучено качественное поведение решений уравнений реакции-диффузии, заданных в однослойных тонких областях. В случае задач рассматриваемого типа в составных областях результаты об асимптотической динамике отсутствуют.

С использованием стандартных методов теории линейных и полулинейных дифферен-циальных уравнений в частных производных в диссертации устанавливается корректная глобальная разрешимость задачи в подходящих соболевских пространствах. Показано, что соответствующая эволюционная полугруппа является диссипативной и компактной, а также, что операторы этой полугруппы дифференцируемы по Фреше. Полученные при этом априорные оценки решений являются равномерными по толщине области.

Дается строгое обоснование предельного перехода в уравнениях на конечных интерва-лах времени, когда толщина области стремится к нулю. При этом был обнаружен новый эффект, связанный с тем, что в зависимости от значений параметров, входящих в условие сопряжения на контактной границе, в качестве предельной задачи могут выступать три различные системы уравнений. Точнее говоря, предельная задача может: быть системой связанных параболических уравнений, распадаться на два невзаимодействующие между собой уравнения, либо представлять собой единственное скалярное уравнение на предельной области. Метрика, в которой удается доказать сходимость решений допредельной задачи к решениям предельной системы, определяется поведением “коэффициента обмена” при .

Основные результаты диссертации относятся к качественному поведению при больших временах траекторий полугруппы . Главными объектами исследования являются глобальные аттракторы и инвариантные многообразия полугруппы. В работе показано, что асимптотическая динамика исходной задачи в тонкой области существенно зависит от вида предельной системы.

В общем случае (при всех значениях параметров задачи) установлена полуне-прерывность сверху в метриках Хаусдорфа при семейства глобальных аттракторов полугрупп, отвечающих задаче. Изучены асимптотические свойства при полугруппы и ее производной Фреше в окрестности невырожденных неподвижных точек. На основании этих результатов получена теорема о полунепрерывности снизу аттракторов для случая, когда глобальный аттрактор соответствующей предельной задачи регулярен (ситуация “общего положения”).

Для задачи в двумерной тонкой области получено достаточное условие стабилизации каждого решения к единственному стационарному решению при . Подобное свойство решений, вообще говоря, нарушается для уравнений реакции-диффузии в областях, не являющихся тонкими.

Доказано, что все траектории полугруппы с экспоненциальной скоростью притяги-ваются к бесконечномерному линейному подпространству фазового пространства, если об-ласть, в которой задано уравнение, является достаточно тонкой и параметры задачи под-ходящим образом согласованы. Этот результат служит аналогом принципа сведения, позволяющим понизить пространственную размерность задачи. В качестве следствия данного утверждения доказано, что в этой ситуации глобальные аттракторы допредельной и предельной задач можно отождествить.

При условии, что нелинейные члены, входящие в уравнения, вещественно аналитичны, для задачи в двумерной тонкой области установлено существование двух линейных функ-ционалов, полностью определяющих ее асимптотическую динамику. Таким образом, в этом случае исходная бесконечномерная динамическая система является в определенном смысле асимптотически двумерной. Ранее аналогичный результат был известен только для некоторых пространственно-одномерных уравнений и систем.

Предложена новая модификация метода Ляпунова-Перрона, с помощью которой для задачи в двумерной тонкой области построены инерциальные многообразия класса , т.е. конечномерные инвариантные многообразия, экспоненциально притягивающие все решения. Стандартные версии метода Ляпунова-Перрона не позволяют доказать непрерывную диффе-ренцируемость инерциальных многообразий для рассматриваемой задачи. Известны примеры уравнений реакции-диффузии, заданных в многомерных областях, которые обладают глобальными аттракторами, но не имеют инерциальных многообразий.

Ключевые слова: уравнение реакции-диффузии, условие сопряжения, тонкая область, полугруппа, глобальный аттрактор.

Abstract

Rekalo A.M. Qualitative behaviour of solutions of nonlinear parabolic equations in thin two-layer domains. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics by speciality 01.01.03 - mathematical physics. - Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2004.

The thesis is devoted to description of asymptotic dynamics of reaction-diffusion equations in a thin two-layer domain with a junction condition on the interface. Global attractors and invariant manifolds of the dissipative compact semigroup corresponding to the problem are basic objects of the research. Theorems concerning continuity of the global attractors with respect to Hausdorff metrics are obtained. A sufficient condition of stabilization of every trajectory to a single equilibrium point is established. It is proved that all trajectories converge with an exponential rate to an infinite-dimensional linear subspace of the phase space, provided that the domain is thin enough and parameters of the problem satisfy a consistency condition. As a corollary of the result, it is proved that the global attractor of the initial semigroup coincides with the attractor of a limiting semigroup defined on the invariant subspace. Moreover, under the condition of real analyticity of the equation's nonlinear terms it is shown that there are two linear functionals which completely determine asymptotic behaviour of the semigroup. For a problem in a two-dimensional thin domain, finite-dimensional invariant manifolds of class which attract exponentially every solution are constructed.

Keywords: reaction-diffusion equation, junction condition, thin domain, semigroup, global attractor.

Размещено на Allbest.ru

...