У вступі викладається актуальність теми та обґрунтовується необхідність виконання роботи, її зв'язок з науковими програмами та темами, сформульовані мета і основні задачі дослідження, визначені наукова новизна роботи та практичне значення отриманих результатів, а також області їх можливого застосування.

У першому розділі проведено аналітичний огляд літературних джерел за темою дисертації. Приведено кінетичну теорію фазового перетворення, що описується параметром порядку, спряженим до нього полем та керуючим параметром. Викладено аксіоматичний підхід, що дозволяє описати самоорганізацію нерівноважної системи як для термодинамічного, так і для кінетичного перетворень. Показано, що в першому випадку система описується внутрішнім параметром типу щільності середовища незмінної величини, спряженим до нього полем, що зводиться до дивергенції відповідного потоку, та керуючим параметром, зовнішнє значення якого фіксує стаціонарний стан. Порівняння зі стандартними співвідношеннями нерівноважної термодинаміки показує, що визначені таким чином поле та керуючий параметр відповідають ентропії та внутрішній енергії, а процес самоорганізації проявляється у негативному значенні ефективної температури. Для опису кінетичного перетворення роль параметра порядку відіграє узагальнений потік, а спряжене поле та керуючий параметр зводяться до градієнтів хімічного потенціалу та температури. Показано, що зростання останнього із вказаних градієнтів приводить до зменшення ентропії, що означає впорядкування потокового стану. В рамках теоретико-польового формалізму доводиться, що обидва вказані підходи отримуються із єдиної польової схеми, якій відповідає найбільш простий вибір лагранжіана та дисипативної функції. Виходячи з аналізу літературних даних, сформульовані задачі дисертаційної роботи.

Другий розділ присвячений дослідженню процесів самоорганізації структурованих фізичних систем на прикладі гранульованого середовища та тонкого шару змазки. Для визначеності досліджується плоска течія Куетта, що забезпечується рівномірним рухом границі середовища вздовж горизонтальної осі, тоді як неоднорідність розвивається в перпендикулярному напрямку. Самоузгоджене врахування ефектів самоорганізації досягається доповненням гідродинамічних доданків членами, що враховують мікроскопічний внесок взаємодії окремих частинок в процесі течії. В результаті перехід гранульованого середовища до потокового стану описується системою рівнянь

(1)

Тут вибрана фізична система одиниць, що дозволяє позбутися неістотних сталих, крапка означає диференціювання за часом, штрих - за координатою; роль параметра порядку відіграє амплітуда флуктуацій швидкості частинок, спряжене поле зводиться до середньої швидкості , а керуючий параметр - до зсувної компоненти напружень ; - відповідні часи релаксації, і - масштаби теплопровідності та в'язкості. В адіабатичному наближенні, коли максимальним є час зміни флуктуацій швидкості, кінетика системи визначається рівнянням Гінзбурга-Ландау-Халатнікова

, (2)

де - енергія флуктуацій, - зсувна компонента зовнішніх напружень.

В стаціонарному стані ліва частина першого з рівнянь (2) набуває нульового значення. Це дозволяє знайти аналітичні вирази для просторових профілів середньої швидкості течії та її флуктуацій, які співпадають з експериментальними даними.

Перехід до потокового стану за механізмом фазового переходу першого роду описаний на прикладі задачі про затвердіння тонкого шару змазки. Тут достатньо знехтувати внеском неоднорідних складових, а в якості параметра порядку, спряженого до нього поля та керуючого параметра вибрати зсувну компоненту напружень та деформацію , а також тиск, відрахований від критичного порогу, для якого динамічна в'язкість приймає нескінченне значення. Показано, що механізм перетворення першого роду досягається завдяки врахуванню деформаційного дефекту модуля зсуву згідно залежності

(3)

де - коефіцієнт зміцнення, - початкове значення модуля зсуву, - величина компонента напружень, за якої відбувається в'язкопружний перехід.

Опис переривчастого режиму самоорганізації досягається введенням у останнє рівняння (1) стохастичного джерела, що характеризується білим шумом. В результаті поведінка системи описується просторово залежним рівнянням Ланжевена, стаціонарний розподіл однорідних рішень якого має квазігібсовий вигляд. Дослідження цього розподілу показує, що двофазний стан, який відповідає режиму переривчастої течії, обумовлений флуктуаціями внутрішніх напружень, завдяки яким система може випадковим чином переходити із твердого стану до плинного.

Опис особливостей переривчастої течії досягається введенням до рівняння самоорганізації стохастичних джерел і фрактального зворотного зв'язку. Це дозволяє описати степеневий хвіст розподілу інтервалів течії, показник якого визначається інтенсивністю зворотного зв'язку. З іншого боку, такий підхід відповідає використанню дробово-диференціального рівняння Фоккера-Планка, форма якого визначається динамічним показником та показником похідної за часом. Дослідження самоподібних рішень цього рівняння показує, що поведінка системи характеризується режимом субдифузії, який відповідає переривчастій течії середовища. Цей висновок підтверджується дослідженням рівняння Фоккера-Планка у нелінійній формі Цалліса, де величини показника похідної за часом і динамічного показника фіксуються значенням показника неадитивності стохастичної системи.

В третьому розділі розглянута самоорганізація статистичних ансамблів, флуктуації яких дозволяють пояснювати еволюцію систем економічного типу. Спочатку досліджується вплив коливань зовнішніх умов на вибір стратегії стохастичної системи, що становить найпростішу модель фінансового ринку. Еволюція такої системи описується самоузгодженими рівняннями типу (1), де роль параметра порядку відіграє корелятор інформації, що поступила, з подальшою зміною цін, спряжене до нього поле зводиться до наявної інформації, а керуючий параметр - до числа гравців , діючих згідно певної стратегії. Використання адіабатичного наближення показує, що стан фінансового ринку задається числом стратегічно орієнтованих гравців, віднесеним до критичного значення. Величина останнього фіксується інтенсивностями зворотних зв'язків, які визначають вплив спряженого поля на швидкість зміни параметра порядку, з одного боку, і взаємний вплив параметра порядку та керуючого параметра на швидкість зміни спряженого до нього поля, з іншого боку. Суттєва перебудова фінансового ринку, коли всі гравці дотримуються певної стратегії, відбувається, якщо їх початкове число перевищує критичний поріг, що задається середнім геометричним від повного та критичного значень числа гравців.

Статистичний розподіл системи, що самоорганізується, розглянуто на прикладі економічної структури суспільства, яка ґрунтується на самоузгодженому описі попиту , виробничої функції та умовної ціни . Якщо згідно з принципом ієрархічної підпорядкованості дві останні величини слідують за еволюцією першої, то система переходить до впорядкованого стану для закритичних значень керуючого параметра, що задається зовнішньою дією. В результаті економічна структура суспільства зображається розподілом попиту, вигляд якого задається стаціонарним рішенням синергетичних рівнянь, доповнених стохастичними джерелами з адитивними шумами (див. рис. 1).

Рис. 1. Залежність функції розподілу системи, що самоорганізується, від значень параметра порядку для різних співвідношень між інтенсивністю флуктуацій керуючого параметра та його значенням , що задається зовнішньою дією (а - ; б - ; в - ).

Такий розподіл визначається співвідношенням між інтенсивністю флуктуацій керуючого параметра та його значенням , що задається зовнішньою дією: для малих значень цих величинах параметр порядку обмежений невеликими значеннями, що відповідають невпорядкованому стану (бідному населенню та низькопродуктивному стану економіки); із зростанням або з'являється максимум, який відповідає впорядкованому стану (середньому класу), і розподіл набуває бімодального характеру; при великих значеннях керуючого параметра, що задається зовнішньою дією, і малих флуктуаціях функція розподілу має єдиний максимум, який відповідає кінцевим значенням параметра порядку (впорядкованому або високопродуктивному стану). Розподіл попиту набуває степеневої асимптотики, відому як закон Парето, якщо коливання керуючого параметра переважають над випадковими змінами спряженого поля та параметра порядку. Дослідження самоподібної економічної системи показує, що існування надбагатого прошарку можливо тільки за наявності кризових явищ, які перешкоджають економічному розвитку протягом довгого часу.

Економічна еволюція системи для переходів між низько - та високопродуктивним станами подається фазовими портретами, які визначають поведінку параметра порядку , спряженого поля і керуючого параметра для різних співвідношень між часами їх зміни. Для несумірних масштабів зміни двох перших величин критичне зростання часу зміни величини приводить до коливного режиму (див. рис.2, а), який означає, що високопродуктивний стан (точка О) досягається через послідовність криз і підйомів економіки.

Рис. 2. Фазові портрети для випадку, коли найменшим є час зміни спряженого поля: а) переривчастий перехід (); б) неперервний перехід ().

У протилежному випадку еволюція системи визначається універсальною ділянкою фазової траєкторії (рис.2, б), положення якої визначається значенням , що задається зовнішньою дією. Якщо останнє не набагато перевищує критичне значення, а керуючий параметр змінюється набагато повільніше за інші величини, то система переходить до режиму дивного аттрактора, де її еволюція стає зовсім непередбачуваною. Кореляційна вимірність аттрактора, що відповідає дробовій системі синергетичних рівнянь, набуває стрибкоподібних змін для екстремальних значень , що відповідають деградації аттрактора до лінійної множини та стаціонарного стану. Встановленню нерегулярного режиму еволюції сприяє прискорення змін параметра порядку та уповільнення зростання керуючого параметра.

Четвертий розділ присвячений статистичній теорії активних частинок, що характеризуються корельованим шумом. Синергетичне зображення колективного руху таких частинок досягається, якщо у якості параметра порядку мати на увазі середню швидкість, а під спряженим до нього полем і керуючим параметром - далекосяжну силу хімічного типу та параметр внутрішнього стану, який визначає реакцію частинок на цю силу. Використання системи рівнянь самоорганізації типу (1) дозволяє отримати самоузгоджену картину спонтанного переходу групи живих організмів до режиму поступального руху. Введення стохастичних джерел показує, що залежно від ступеня збудження та інтенсивностей флуктуацій далекосяжної сили і параметра внутрішнього стану система може обертатися навколо порожнього центру мас (при цьому він залишається нерухомим), виконувати поступальний рух (утворюючи щільну групу) і рухатися переривчасто (послідовно чергуючи вказані режими).

Якщо в ролі активних частинок виступають керовані транспортні засоби, то характер колективного руху задається змінами у відхиленнях від оптимальних значень інтервалу та швидкості руху, а також внутрішнім параметром транспортного потоку, величина якого визначається умовами руху. Врахування кореляцій здійснюється введенням в останнє рівняння системи типу (1) стохастичного джерела, що зображає процес Орнштейна-Уленбека:

(4)

де - інтенсивність шуму керуючого параметра, - час кореляції. Припускаючи, що керуючий параметр підпорядковується змінам параметра порядку та спряженого до нього поля, еволюційне рівняння системи набуває канонічної форми стохастичного зображення осцилятора Ван дер Поля. Перехід до гамільтонового представлення з використанням розкладу за кумулянтами приводить до функції розподілу, форма якої задається зовнішньою дією. Виявляється, що основну роль в розкиді параметрів транспортного потоку відіграють скорельовані флуктуації його внутрішнього параметра. Зменшенню граничного значення цього параметра, величина якого визначає оптимальний режим руху, сприяє зростання низькочастотної складової інтенсивності шуму, а також збільшення характерного часу зміни інтервалу руху стосовно до відповідного масштабу зміни швидкості.

Висновки