Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ФІЗИЧНОЇ ОПТИКИ

УДК 535:517.519

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ФОРМУВАННЯ ТА АНАЛІЗУ ЗОБРАЖЕНЬ

В ОБЛАСТІ ДРОБОВОГО ФУР'Є-ПЕРЕТВОРЕННЯ

01.04.05 - оптика, лазерна фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КОЗЛОВСЬКИЙ Юрій Михайлович

Львів - 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті фізики конденсованих систем НАН України, м. Львів

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Шовгенюк Михайло Васильович Інститут фізики конденсованих систем НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Ушенко Олександр Григорович Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича, професор кафедри кореляційної оптики

доктор фізико-математичних наук, професор Болеста Іван Михайлович Львівський національний університет ім. І. Франка, завідувач кафедри радіофізики

Провідна установа: Інститут фізики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 9 березня 2004 р. о 15 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.071.01 при Інституті фізичної оптики за адресою: 79005, м. Львів, вул. Драгоманова, 23.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту фізичної оптики за адресою: 79005, м. Львів, вул. Драгоманова, 23.

Автореферат розісланий 7 лютого 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат фізико-математичних наук, доцент Климів І.М.

Козловський Ю. М. Теоретичні основи формування та аналізу зображень в області дробового фур'є-перетворення. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.05 - оптика, лазерна фізика - Інститут фізики конденсованих систем НАН України, Львів, 2004.

Робота присвячена дослідженню умов формування та аналізу зображень в області дробового фур'є-перетворення (ДФП). В роботі отримано явний вигляд ядра ДФП, до складу якого входять оптичні константи. Запрононована оптична інтерпретація ДФП як процес згортки та фільтрації оптичного сигналу з сферичними хвилями. На основі методу розподілу сигналів показано, що при ДФП відбувається поворот на інформаційній діаграмі спряжених різницевих координат розподілу вхідного сигналу. Запропоновано методологію спряжених зображень ДФП та отримано аналітичний вираз для розподілу інтенсивності складних оптичних сигналів в області ДФП. Розвинута теорія формування зображень в області ДФП від двох зміщених сигналів, промодульованих плоскими хвилями. Введено та досліджено узагальнений тип ДФП. Аналітично отримано розподіл інтенсивності кореляційного поля в області ДФП. Досліджено чотири області реалізації ДФП в реальних оптичних системах. Знайдено умови реалізації ДФП в одно- та дволінзовому оптичних каскадах. Запропоновано принципову схему нового корелятора спільного дробового фур'є-перетворення та показано, що кореляційне поле в області ДФП характеризується більшим співвідношенням сигнал\шум, ніж в випадку класичного корелятора спільного фур'є-перетворення.

Ключові слова: дробове фур'є-перетворення, метод розподілу сигналів, спряжені зображення, корелятор спільного дробового фур'є-перетворення, оптичні системи. оптичний перетворення ядро фільтрація

Козловский Ю. М. Теоретические основы формирования и анализа изображений в области дробного фурье-преобразования. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.05 - оптика, лазерная физика. - Институт физики конденсированных систем НАН Украины, Львов, 2004.

Работа посвящена исследованию условий формирования и анализа изображений в области дробного фурье-преобразования (ДФП). В работе получен явный вид ядра ДФП с учетом оптических постоянных и предложена методология сопряженных дробных фурье-преобразований. Предложено оптическое интерпретирование ДФП как процесса свертки и фильтрации оптического сигнала со сферическими волнами. Используя метод распределения сигналов показано, что при ДФП осуществляется поворот на информационной диаграмме сопряженных разностных координат распределения входящего сигнала. Предложено методологию сопряженных изображений ДФП и получено аналитическое выражение для распределения интенсивности света в области ДФП. Развита теория формирования изображений в области ДФП для двух совмещенных сигналов промодулированных плоскими волнами. Введен и исследован обобщенный тип ДФП. Путем аналитического рассчета получено распределение интенсивности корреляционного поля в области ДФП. Исследованы четыре области реализации ДФП в реальных оптических системах. Получены условия реализации ДФП в одно- и двухлинзовом оптических каскадах. Предложена схема принципиально нового коррелятора совместного дробного фурье-преобразования и показано, что корреляционное поле в области ДФП характеризуется большим соотношением сигнал\шум, чем в случае классического коррелятора совместного фурье-преобразования.

Ключові слова: дробное фурье-преобразование, метод расспределения сигналов, сопряженные изображения, коррелятор совместного дробного фурье-преобразования, оптические системы.

Kozlovskii Yu. M. Theory of the images forming and analysis in the fractional Fourier transform domain. - Manuscript.

Thesis for a candidate degree in Physical and Mathematical Sciences. Speciality - 01.04.05 - Optics, Laser Physics. Institute for Condensed Matter Physics of the NAS of Ukraine, Lviv 2004.

Conditions of the forming and analysis of the optical images in the fractional Fourier transform domain are investigated. Analytical expression for the fractional Fourier transform kernel is obtained with taking into account optical constants which play important role in the problems of the fractional Fourier transform realization in the real optical systems. The methodology of the conjugate fractional Fourier transforms is first introdused and it is shown that using such approach it is easy to investigate mechanism of optical transition from coordinate plane to frequency plane and vice versa. The optical interpetation of the fractional Fourier transform is proposed. According to this interpretation the fractional Fourier transform can be interpetated as the prosess of input signal convolution with diverging spherical wave and filtering with converging spherical wave. It is show that Collins formula can be written in term of convolution and filtering and the fractional Fourier transform is only particular case of this general formula. For the fractional Fourier transform description we use optical signals distribution method. This method opens new possibilities in the information processing optical systems description. Using above mentioned method it is shown that fractional Fourier transform corresponds to the rotation of the input signal on the informational diagram. The general methodology of the fractional Fourier transform conjugate images is proposed. Based on this methodology analytical expression for the light intensity distribution in the fractional Fourier transform domain is given. The general theory of forming the fractional Fouier transform images of two shifted and modulated by the plane wave optical signals is given. Using this theory, it is shown that the parallel process of both cross shifting and modulation of the image by plane wave takes place, if the fractional Fouier transform is realized. The principal possibility of the fractional Fourier transform images optical superposition for an arbitrary value of the fractional Fourier transform parameter is determined. The influence of the interference term on forming the fractional fourier transform conjugate images is shown. Results of numerical calculations of two optical superimposed fractional Fourier transform images of the rectangular impulses are presented.

The properties of the intensity distribution of two shifted and modulated by the plane wave optical signals corresponding to the generalized fractional Fourier transform are investigated. The results of analytic and numerical calculations show the design possibilities of new systems for informational processing of information. As an example the correlator based on the generalized fractional Fourier transform is considered. The domains of the generalized fractional Fourier transform in the practicable optical systems is obtained and analysed. The principal possibility of the formation and recording of an interference pattern is demonstrated when the images of the fractional Fourier transform starting from the general form of the cascade matrix, are optically superimposed. Intensity distribution of the correlation field in the fractional Fourier transform domain is calculaded. It is shown that correlation field in the fractional fourier transform domain is characterized by the greater ratio signal/noise than it take place in the case of the joint transform correlator.

Key words: fractional Fourier transform, signal distribution method, conjugate images, joint fractional Fourier transform correlator, optical systems.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Серед відомих математичних перетворень, які використовуються в оптиці, перетворення Фур'є знайшло широке застосування в різноманітних галузях науки і техніки. Починаючи з 1993-1994 рр., в оптиці почали активно використовувати дробове фур'є-перетворення (ДФП) як узагальнення до звичайного перетворення Фур'є, що дозволяє розвинути існуючі концепції та виявити нові можливості опису формування зображень в оптичних системах. В більшості робіт, що були присвячені дослідженню властивостей дробового фур'є-перетворення використовується апарат лінійних інтегральних перетворень, а також функція розподілу Вігнера. На основі методології дробового фур'є-перетворення були сформульовані нові принципи та методи обробки оптичних зображень. На даний час інтенсивно розвиваються дослідження умов реалізації дробового фур'є-перетворення в оптичних системах, проте практичне використання цього перетворення в реальних оптичних системах знаходиться на початковій стадії. Це пов'язано з тим, що в відомих на даний час роботах, які присвячені опису властивостей дробового фур'є-перетворення, в основному приводяться теоретичні результати та результати, отримані на основі комп'ютерного експерименту. Такий підхід не дозволяє реалізувати ДФП в реальних оптичних системах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась в 2000-2003 рр. у рамках етапу “Використання методу розподілу оптичних сигналів для опису дробового фур'є-перетворення” бюджетної теми ІФКС НАН України (реєстаційний номер № 01024000218); в 2000-2001 рр. за науково-дослідною темою: ”Розроблення голографічних кореляційних систем автоматичного захисту та ідентифікації цінних паперів” (п. 9 додатку до розпорядження Кабміну України № 549-р від 07.06.1999 р.); в 2002 р. за темою: ”Договір № 12-019/207 про співробітництво в освоєнні інтелектуального продукту” з Національним банком України; а також з 2003 р. за темою ”Освоєння та впровадження технології та програмного забезпечення для захисту цінних паперів (Договір № 130-04/54)” науково-технічної програми Міністерства фінансів України. У цих тематичних дослідженнях здобувач був відповідальним виконавцем.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток теорії дробового фур'є-перетворення на основі методу розподілу оптичних сигналів, дослідження закономірностей формування зображень ДФП в реальних оптичних системах та обґрунтування можливості використання області дробового фур'є-перетворення для кореляційного аналізу зображень.

Для досягнення поставленої мети вирішені наступні завдання:

розвинути математичний апарат дробового фур'є-перетворення оптичних сигналів із врахуванням оптичних констант, що дозволяє розраховувати параметри оптичних систем;

знайти вигляд просторово-частотного розподілу, який дає можливість отримати фізичні характеристики оптичних систем в області дробового фур'є-перетворення;

описати формування зображень в області дробового фур'є-перетворення та дослідити їхні властивості;

дослідити схеми реальних оптичних систем, які відповідають області дробового фур'є-перетворення та експериментально перевірити отримані результати;

розвинути теорію формування зображень дробового фур'є-перетворення від двох зміщених сигналів та дослідити умови суміщення в області дробового фур'є-перетворення;

розрахувати розподіл кореляційного поля в області дробового фур'є-перетворення.

Об'єктом дослідження є оптичні системи формування зображень та оптичної обробки інформації в області дробового фур'є-перетворення.

Предметом дослідження дисертаційної роботи є теоретичний аналіз та розрахунок умов формування зображень ДФП в оптичних системах та кореляційний аналіз зображень ДФП для задач розпізнавання образів.

Наукова новизна одержаних результатів.

В роботі вперше запропонована методологія спряжених дробових фур'є-перетворень. Встановлено механізм взаємопереходів дробового фур'є-перетворення та спряженого дробового фур'є-перетворення при неперервній зміні значень параметра ДФП .

Запропонована оптична інтерпретація дробового фур'є-перетворення. Це дозволило отримати аналітичний вигляд розподілу дробового фур'є-перетворення з характерною матрицею повороту, а також дати пояснення механізму повороту дробового фур'є-перетворення на інформаційній діаграмі спряжених різницевих координат.

Розвинута теорія формування зображень двох зміщених та промодульованих плоскою хвилею сигналів в області дробового фур'є-перетворення. Вперше введено та досліджено узагальнений тип дробового фур'є-перетворення і показано, що такий підхід суттєво розширює можливості використання оптичних систем. Шляхом аналітичних розрахунків показано принципову можливість оптичного суміщення зображень в області дробового фур'є-перетворення. Знайдені умови формування висококонтрастної інтерференційної картини суміщених сигналів та кореляційного поля в області спряженого дробового фур'є-перетворення.

Використовуючи результати аналітичних та числових розрахунків, в роботі запропоновано принципову оптичну схему корелятора спільноного дробового фур'є-перетворення. Встановлено, що розподіл інтенсивності кореляційного поля залежить від значень параметра ДФП .

Практичне значення одержаних результатів.

Розроблена методика визначення умов реалізації дробового фур'є-перетворення в реальних оптичних системах. Встановлено та досліджено чотири різні за своєю природою області, в яких реалізується дробове фур'є-перетворення та показано, що такі області характеризуються певними інваріантними параметрами, які пов'язані з коефіцієнтами матриці узагальненого дробового фур'є-перетворення.

Вперше запропоновано принципову схему оптичного корелятора спільного дробового фур'є-перетворення, що принципово розширює можливості використання класичного корелятора спільного фур'є-перетворення (заявка на патент України № 2003087836 від 19 серпня 2003 року; міжнародна заявка PCT/UA03/00035 від 3 жовтня 2003 року

Показано, що площина реєстрації сигналів може знаходитися в будь-якій точці області ДФП. Встановлено, що розташування цієї площини однозначно визначається інваріантними параметрами оптичної системи. Значення останніх може бути вибрано відповідно до завдань, які необхідно вирішити при розпізнаванні різних типів об'єктів.

Особистий внесок здобувача в отриманні наукових результатів. Дисертантом проведено підбір та систематизацію літератури, що стосується даної проблеми. Розроблена методика розрахунку спряжених зображень в області дробового фур'є-перетворення та проведені числові розрахунки. Розраховано розподіл дробового фур'є-перетворення та показано, що йому відповідає поворот на інформаційній діаграмі спряжених різницевих координат [1,5,9]. Запропонована оптична інтерпретація дробового фур'є-перетворення. Знайдено реальні оптичні системи, в яких реалізується дробове фур'є-перетворення, зокрема, досліджено області реалізації в одно- та дволінзових оптичних каскадах [2,7,8]. На основі методу розподілу оптичних сигналів розроблено теорію суміщення двох зміщених та промодульованих плоскими хвилями оптичних сигналів в області дробового фур'є-перетворення. Проведено комп'ютерне моделювання та здійснені числові розрахунки параметрів оптичних систем, в яких реалізується дробове фур'є-перетворення [3,6,10]. Виявлено і досліджено узагальнений тип ДФП, а також розвинуто теорію суміщення двох оптичних сигналів в області дробового фур'є-перетворення та узагальненого дробового фур'є-перетворення. Знайдено та досліджено області реалізації дробового фур'є-перетворення для реальних оптичних систем, що лежить в основі першого каскаду оптичного корелятора спільного ДФП. Запропоновано принципову схему корелятора спільного дробового фур'є-перетворення [4]. Розраховано розподіл інтенсивності кореляційного поля в області ДФП. Автором роботи проведено комп'ютерне моделювання та здійснені числові розрахунки параметрів оптичних систем, в яких реалізується ДФП. Автор приймав участь разом з науковим керівником в інтерпретації та узагальненні теоретичних та числових результатів, в обговоренні та оформленні статей, а також підготовці доповідей для представлення результатів досліджень на конференціях.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на семінарах Інституту фізики конденсованих систем НАН України, на 19 конгресі Міжнародної Оптичної Комісії (Флоренція, Італія, 25-31 серпня 2002); 6-ій міжнародній конференції “Кореляційна оптика” (Чернівці, 16-19 вересня 2003); II Міжнародному Смакуловому симпозіумі (Тернопіль, 2000); III Робочій нараді-семінарі молодих вчених з статистичної фізики та теорії конденсованої речовини (Львів, 6 червня 2003); Міжнародній конференції “Сучасні проблеми в теорії м'якої речовини” (Львів, 27-31 серпня, 2000); Міжнародній конференції “Фізика процесів у середовищах для оптичного запису інформації” (Львів, 16 січня 2003).

Публікації. Основні матеріали дисертації викладені у 10 публікаціях, в тому числі 4 статтях в наукових журналах, 3 препринтах та 3 тезах доповідей на наукових конференціях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, розділу, присвяченому огляду літератури та постановці проблеми дослідження, чотирьох розділів з викладом оригінальних результатів, висновків та списку цитованої літератури. Повний обсяг дисертації становить 158 сторінки, в тому числі 49 рисунків та 102 бібліографічні назви.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, вказано мету й задачі дослідження, сформульовано висновки, які свідчать про наукову новизну отриманих результатів і їх практичне значення, зазначено особистий внесок здобувача, наведено відомості стосовно зв'язку роботи з науковими програмами, планами, темами, а також її апробації та кількості публікацій.

Перший розділ присвячено оглядові літератури за темою дисертації. В ньому сформульовано основні завдання дослідження, викладено основні вихідні означення ДФП та його властивості, описано його зв'язок з просторово-частотними розподілами та застосування до опису оптичних систем.

У другому розділі отримано ядро ДФП з врахуванням оптичних констант та розглянуто основні його властивості. За означенням дробове фур'є-перетворення записується у вигляді інтегрального перетворення

(1)

Для знаходження явного вигляду ядра ДФП сформульована задача на власні значення оператора ДФП. На відміну від робіт інших авторів, в розгляд явним чином включено оптичні константи та . Останні мають фундаментальне значення при застосуванні ДФП до опису оптичних систем, а їхній фізичний зміст з'ясовано в наступних розділах. Отримано явний вигляд ядра ДФП. При реалізується звичайне фур'є-перетворення. Поряд із звичайним ДФП в роботі вперше введено спряжений дробовий фур'є-образ.

Це дозволило повніше дослідити властивості дробового фур'є-перетворення в залежності від параметра ДФП та встановити, що при такому підході відбуваються взаємопереходи дробового фур'є-перетворення у спряжене перетворення і навпаки. Базові (координатні) представлення спряжених дробових фур'є-образів і в граничних точках мають свої особливості. Вони пов'язані з тим, що в даних точках ядро ДФП вироджується в - функцію. Для усунення цих особливостей в роботі пропонується використовувати частотне представлення ДФП.

В роботі введена та обгрунтована оптична інтерпретація ДФП, згідно якої таке перетворення можна інтерпретувати як процес згортки і фільтрації

для координатного представлення ДФП

(2)

Таким чином, ДФП інтерпретується як процес згортки вхідного оптичного сигналу чи його фур'є-спектру з функцією Френеля і одночасно фільтрації з другою комплексно-спряженою функцією Френеля. Показано, що формула Колінса також може бути записана опрераторним рівнянням згортки і фільтрації.

Третій розділ присвячений опису властивостей оптичних систем в області ДФП на основі методу розподілу оптичних сигналів, який за означенням записується в вигляді базового функціоналу у формі функції невизначеності

(3)

В дисертаційній роботі зроблений висновок, що дробовому фур'є-перетворенню відповідає лінійне перетворення на інформаційній діаграмі спряжених різницевих координат розподілу вхідного сигналу , яке описується матрицею

(4)

Ця матриця описує поворот розподілу вхідного сигналу на кут

Слід відмітити, що дана матриця може бути отримана, використовуючи функцію розподілу Вігнера. Таким чином, незалежно від вибору форми розподілу ДФП можна інтерпретувати як поворот на інформаційній діаграмі розподілу вхідного сигналу, що є його фундаментальною властивістю.

В роботі досліджено механізм повороту розподілу ДФП на інформаційній діаграмі. Запропоновано розкривати його суть з позицій послідовного застосування операцій згортки і фільтрації оптичного сигналу.

Досліджено випадок двох зміщених сигналів, промодульованих плоскими хвилями з ненульовими просторовими частотами

(5)

де - величина зміщення,

просторова частота падаючої хвилі, - кут падіння плоскої хвилі. Приведені результати розрахунку на інформаційній діаграмі () типового розподілу двох зміщених та промодульованих плоскою хвилею з частотою нескінченних щілин.

Центральний розподіл характеризує автокореляційні розподіли двох сигналів, які промодульовані гармонічним сигналом. Симетричні бокові розподіли є кроскореляційними розподілами двох сигналів. У випадку базовий розподіл двох зміщених щілин змінюється внаслідок деформації поперечного зсуву вздовж осі : на центральному розподілі змінюється орієнтація модулюючих смуг і, відповідно, бокові розподіли взаємозміщуються. Представлений розподіл ДФП при значенні параметра . Як і у випадку одного сигналу, в процесі ДФП відбувається поворот на інформаційній діаграмі вихідного розподілу на кут, пропорційно до параметра ДФП .

У четвертому розділі представлені результати розрахунку розподілу інтенсивності оптичних сигналів в області дробового фур'є-перетворення. Використання методу оптичних сигналів відкриває можливість знаходження фізичних характеристик оптичних систем, зокрема розподілу інтенсивності. Показано, що розподіл інтенсивності зображення ДФП

(6)

характеризує неперервний перерозподіл вхідного сигналу від координатної до частотної площини. Введене також частотне представлення зображення ДФП, яке дозволяє уникнути особливостей, які характерні для координатного представлення. Запропоновано методологію спряженого зображення ДФП, яка характеризує перерозподіл від частотної до координатної площин. Для спряженого зображення також знайдене частотне представлення. Отже, два зображення в координатному та два в частотному представленнях взаємодоповнюються та характеризують зустрічні процеси перерозподілу дифрагованого світла від координатної до частотної площин і навпаки. Важливо відмітити, що при зображення ДФП вироджуються в тотожні. Показано, що описаний вище механізм перетворень справедливий для будь-якого оптичного сигналу. Для ілюстрації даного механізму в дисертаційній роботі наведені результати розрахунку спряжених зображень двох прямокутних імпульсів, один з яких є промасштабований.

Досліджено особливості реалізації ДФП в конкретних оптичних системах. Показано, що ДФП реалізується в дволінзовому каскаді за означенням, а в однолінзовому каскаді реалізується тип ДФП, який є промасштабований відносно звичайного ДФП.

Вперше досліджено умови суміщення двох зміщених сигналів в області ДФП. Принципова різниця використаних в дисертації розрахунків від інших робіт полягає в тому, що вхідні сигнали додатково промодульовані плоскими хвилями з ненульовими просторовими частотами. Запропонована загальна формула, яка описує формування зображень ДФП двох зміщених і промодульованих плоскими хвилями оптичних сигналів, та описується виразом

(7)

де узагальнений параметр зміщення та частота модуляції. Отже, формування зображень ДФП двох зміщених промодульованих вхідних сигналів інтерпретуються як сукупність паралельних процесів зміщення окремих сигналів пропорційно до величини та модуляції ДФП плоскою хвилею з частотою . Знайдено умову оптичного суміщення зображень в області ДФП, яка підтверджує, що при нормальному падінні плоскої хвилі () - оптичне суміщення реалізується лише в фур'є-площині (), а при () - в будь-якій точці області ДФП. Представлені результати числового розрахунку формування зображень двох зміщених гаусових сигналів в області ДФП. У загальному випадку косого падіння двох плоских хвиль () умова суміщення досягається в області ДФП при довільному значенні параметра .

П'ятий розділ присвячений узагальненню дробового фур'є-перетворення. Коефіцієнти матриці є обмежені величини, оскільки вони пропорційні до тригонометричних функцій. Це суттєво обмежує можливість опису оптичних систем. Для вирішення цієї проблеми в роботі пропонується використовувати узагальнену матрицю

(8)

елементи якої можуть приймати довільні значення. Такий підхід суттєво розширює можливості опису оптичних систем обробки інформації. Матриця повороту є частковим випадком загальної матриці . На основі використання матриці (8) в роботі вводиться узагальнений тип ДФП. Показано, що розподіл інтенсивності світла, який формується в площині узагальненого типу ДФП і реєструється експериментально, виражається формулою

(9)

В роботі вводяться дві величини, що характеризують узагальнене ядро ДФП. Перша з них - “ефективний” кут повороту, який характеризує кут повороту узагальненого ДФП відносно звичайного, та масштабний множник, який показує масштабування узагальненого ДФП. Отже, ці два параметри пов'язують узагальнене та звичайне ДФП. Умова оптичного суміщення зображень у випадку узагальненого ДФП має вигляд

(10)

При цій умові частота модуляції набуває максимального значення, а вхідні зображення суміщуються в точці, яка відповідає куту .

Проведені вище розрахунки дозволили запропонувати схему корелятора, який працює в області ДФП. Реєстрація двох оптично суміщених зображень в області ДФП досягається за рахунок того, що еталонне та досліджуване зображення освітлюються двома взаємокогерентними пучками з плоскими хвильовими фронтами, що поширюються під заданим кутом один до одного. Функціональна схема оптичного корелятора складається з двох основних частин. Перша з них - система запису інтерференційної картини суміщених зображень в області дробового фур'є-перетворення двох сигналів, друга - система розпізнавання (ідентифікації) вхідних образів. За рахунок зміщення на відстань оптичних осей пар лінз на виході освітлювальної системи 12 формуються дві опорні плоскі монохроматичні хвилі, які поширюються симетрично до осі оптичного корелятора під кутом . Таким чином, в освітлювальній системі 12 шляхом зміни поперечного зміщення досягається формуванням із заданим кутом двох симетричних опорних плоских хвиль. Особливістю освітлювальної системи 12 є те, що в ній можна змінювати знак кута поширення опорних плоских хвиль. При умові формуються дві збіжні опорні плоскі хвилі, які характеризуються кутом . Коли , то формуються дві розбіжні опорні плоскі хвилі, які, відповідно, характеризуються кутом .

Принципова новизна такого типу оптичного корелятора полягає в тому, що в одно- чи дволінзовому оптичному каскаді при довільних відстанях і у вихідній площині оптичним шляхом реалізується загальний тип дробового фур'є-перетворення вхідного сигналу. Принципова відмінність даної схеми оптичного корелятора від класичних схем полягає в тому, що за рахунок наявності двох опорних плоских хвиль формування висококонтрастної інтерференційної картини з просторовою частотою досягається в точці оптичного суміщення зображень ДФП. Інтерференційна картина реєструється експериментально для заданого значення параметра узагальненого дробового фур'є-перетворення.

Перевагою запропонованої схеми корелятора на основі дробового фур'є-перетворення є те, що значення “ефективного” кута повороту можна реалізувати при різних значеннях відстаней та . Це означає, що на стадії запису можна формувати інтерференційну картину заданої просторової частоти.

Блок дробового фур'є-перетворення такого корелятора має різні варіанти реалізації, зокрема, це може бути одно- чи дволінзова система. В роботі описані чотири області реалізації ДФП в обох типах систем. Встановлено, що області ДФП, спряженого ДФП, інверсного ДФП реалізуються як в одно- так і в дволінзовому оптичних каскадах. Область спряженого інверсного ДФП реалізується лише в дволінзовому оптичному каскаді.

Заключна частина роботи присвячена розрахунку розподілу інтенсивності кореляційного поля в області ДФП. В 0-ому порядку дифракції формуються автокореляційні функції спряженого дробового фур'є-перетворення вхідних образів, які, однак, не несуть корисної інформації про вхідні образи. Інформаційними є -ий порядки дифракції, в яких формуються крос-кореляційні функції спряжених дробових фур'є-перетворень досліджуваного та еталонного сигналів. У випадку, коли сигнали і, відповідно, їхні дробові фур'є-образи є ідентичними, тоді в точках формуються інтенсивні кореляційні максимуми, які є критерієм розпізнавання вхідних сигналів.

Представлені результати числового розрахунку розподілу інтенсивності кореляційного поля в області ДФП. Крива, яка формується при відповідає випадку класичного корелятора спільного фур'є-перетворення. При зміні цього кута ми переходимо в область ДФП, в якій півширина кореляційної функції зменшується при зменшенні параметра ДФП. Останнє дозволяє зробити важливий висновок, що кореляційне поле в області ДФП характеризується більшим співвідношенням сигнал/шум, ніж в класичному випадку. В роботі показано, що ДФП можна виконувати і в другому каскаді спільного корелятора ДФП. Виявлено, що кореляційна функція зазнає розмиття і не має чітко вираженого максимуму. Лише при умові фур'є-перетворення в другому каскаді корелятора спільного дробового фур'є-перетворення формується кореляційне поле максимального контрасту.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. На основі розв'язку задачі на власні значення оператора дробового фур'є- перетворення знайдений аналітичний вигляд його ядра, до складу якого входять оптичні константи. Ці константи мають фундаментальне значення як при визначенні параметрів оптичних систем, в яких реалізується ДФП, так і при розрахунку розподілу інтенсивності вхідного сигналу в області ДФП. Запропонована методологія спряжених дробових фур'є-перетворень. Встановлено механізм взаємопереходів дробового фур'є-перетворення та спряженого дробового фур'є-перетворення для всіх можливих значень параметра ДФП . Концепція спряжених дробових фур'є-перетворень дозволила розкрити загальні закономірності переходу від координатної до частотної площини і, навпаки, від частотної площини до координатної.

2. Запропонована оптична інтерпретація дробового фур'є-перетворення як процес згортки і вхідного сигналу з функцією Френеля, що описує розбіжну сферичну хвилю та фільтрацію цього сигналу з другою комплексно-спряженою функцією Френеля, яка описує збіжну сферичну хвилю. Згортка тут особлива тим, що вхідний оптичний сигнал масштабується параметром ДФП . Це дозволило записати операторне рівняння згортки розподілів і отримати аналітичний вигляд розподілу дробового фур'є-перетворення з характерною матрицею повороту, а також дати пояснення механізму повороту дробового фур'є-перетворення на інформаційній діаграмі спряжених різницевих координат. Показано, що такий процес можна інтерпретувати як послідовність трьох операцій: масштабування (операція фур'є-перетворення), поперечний зсув по просторовій координаті (згортка з функцією Френеля), поперечний зсув по частотній координаті (фільтрація з функцією Френеля). Досліджено характер розподілу двох зміщених та промодульованих плоскою хвилею сигналів в області дробового фур'є-перетворення.

3. Розроблена методика розрахунку спряжених зображень дробового фур'є-перетворення оптичного сигналу за відповідними розподілами та отримано аналітичні вирази для розподілу інтенсивності світла в області дробового фур'є-перетворення. Виведені аналітичні вирази зображень ДФП для ізольованої щілини та гаусового сигналу. Розвинута теорія формування зображень двох зміщених та промодульованих плоскою хвилею сигналів в області дробового фур'є-перетворення та досліджено умови їхнього суміщення.

4. Введено та досліджено узагальнений тип дробового фур'є-перетворення та показано, що такий підхід суттєво розширює можливості опису оптичних систем. Встановлено зв'язок елементів узагальненої матриці , на основі якої будується узагальнений тип дробового фур'є-перетворення, із параметрами оптичної системи. Запропоновано узагальнену форму ядра ДФП, яке (на відміну від відомого ядра) характеризується ефективним кутом та деяким масштабним множником. Знайдені аналітичні вирази для цих величин. Аналітично виведена умова оптичного суміщення зображень дробового фур'є-перетворення, при якій формується висококонтрастна інтерференційна картина суміщених сигналів.

5. Запропоновано принципову оптичну схему корелятора сумісного дробового фур'є-перетворення. Експериментально перевірено перший каскад такого корелятора, на виході якого (область дробового фур'є-перетворення) реєструється інтерференційна картина двох оптично суміщених зображень. Аналітично розраховано розподіл інтенсивності кореляційного поля в області дробового фур'є-перетворення. Шляхом числових розрахунків показано, що кореляційне поле в цій області характеризується більшим співвідношенням сигнал/шум, ніж в площині фур'є-перетворення.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ВИКЛАДЕНІ В РОБОТАХ

Шовгенюк М. В., Козловський Ю. М. Самоподібність спряжених зображень при дробовому фур'є-перетворенні // Доповіді НАН України, 2000, №6, С.92-97.

Шовгенюк М. В., Козловський Ю. М. Оптична інтерпритація дробового фур'є-перетворення //Фізичний збірник НТШ, 2001, Том 4, С.289-305.

Shovgenyuk M.V., Kozlovskii Yu.M., Muravskii L.I., Fitio V.M. Optical Superposition of the Modulated Images in the Fractional Fourier Transform Domain // Ukr.J.Phys.Opt., 2002 vol.3, p.106-114.

Kozlovskii Yu.M. Generalized fractional Fourier transform in optical systems // Ukr.J.Phys.Opt., 2003 vol.4, p.124-134.

Шовгенюк М. В., Козловський Ю. М. Дробове фур'є-перетворення оптичних сигналів // Інститут фізики конденсованих систем, Препринт ICMP-01-06U, Львів 2001, 42 С.

Козловський Ю. М., Шовгенюк М. В. Теорія поперечного зміщення та модуляції зображень дробового фур'є-перетворення// Інститут фізики конденсованих систем, Препринт ICMP-02-20U, Львів 2002, 21 С.

Козловський Ю. М., Шовгенюк М. В., Фітьо В. М. Поперечне зміщення зображень в області дробового фур'є-перетворення: математичне моделювання та експеримент // Інститут фізики конденсованих систем, Препринт ICMP-02-27U, Львів 2002, 22 С.

M.V. Shovgenyuk and Yu.M. Kozlovskii. // Methodology of the fractional Fourier transform in optics. / Abstracts of the Workshop “Modern problems of soft matter theory”. August 27-31, 2000, Lviv, Ukraine, P.65.

Шовгенюк М. В., Козловський Ю. М. Перерозподіл спряжених зображень при дробовому фур'є-перетворенні. // Тези II-го міжнародного Смакулового симпозіуму. 2000, Тернопіль, Україна.

Shovgenyuk M.V., Kozlovskii Yu.M. Forming of the fractional Fourier transform conjugate images: approach on the basis of a signal distribution method. // Abstracts of the 19-th Congress of the International Commission for Optics. August 25-31, 2002, Firenze, Italy.

Размещено на Allbest.ru