Дослідження задач пружності двохкомпонентних стохастичних композитів на основі статичної моделі неоднорідного деформування

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П. ТИМОШЕНКА

УДК 539.3

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дослідження задач пружності двохкомпонентних стохастичних композитів на основі статичної моделі неоднорідного деформування

01.02.04 - Механіка деформованого твердого тіла

КАБИШ ЮРІЙ МИХАЙЛОВИЧ

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка та в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук, доцент Лавренюк Василь Іванович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра механіки суцільних середовищ.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАНУ, доктор фізико-математичних наук, професор Шульга Микола Олександрович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділом електропружності;

кандидат фізико-математичних наук, Назаренко Лідія Валентинівна, Інститут гідромеханіки НАН України, старший науковий співробітник.

Провідна установа Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться “ 28 ” вересня 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “ 19 ” серпня 2004 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

доктор фізико-математичних наукО.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом композитні матеріали все більше застосовуються у будівництві, в аерокосмічній, суднобудівній, автомобільній та інших галузях промисловості. Така тенденція пояснюється тим, що застосування сучасних технологій дозволяє виготовляти із композитних матеріалів конструкції необхідної форми з наперед заданими фізико-механічними властивостями, одночасно знижуючи вартість виробництва.

Створення нових матеріалів потребує розробки надійних методів розрахунків і прогнозування їх міцності. Потреби практики знайшли своє відображення у фундаментальних дослідженнях. Дослідження деформування і міцності композитних матеріалів а також конструкцій і споруд із них базується на певних математичних моделях, що враховують специфіку матеріалу і характер діючих навантажень. Композитні матеріали привернули до себе загальну увагу приблизно в 60-ті роки минулого століття. Публікації, присвячені дослідженню тіл неоднорідної структури, роботи по фізико-хімії, механіці та технологіям композитних матеріалів стали займати значну частину у наукових журналах. Серед авторів було багато відомих вчених, таких як Болотін В. В., Ванін Г. А., Гузь О. М., Коляно Ю. М., Нігматулін Р. І., Підстригач Я. С., Рущицький Я. Я., Тамуж В. П., Хорошун Л. П., Шермергор Т. Д., Шульга М. О., Achenbach J. D., Bedford A., Ben-Amoz M., Drumheller D. S., Hegemier G. A., McNiven H. D., Steel T. R., Weng G. J., Willis J. R. та інші.

За цей час було побудовано багато моделей і теорій, які розвивались і вдосконалювались. Однією з найбільш розповсюджених моделей є теорія ефективних модулів, яка базується на уявленні про елементарний макрооб'єм композитного матеріалу, що знаходиться в умовах однорідного напружено-деформованого стану. Проте область її застосування обмежена умовою малої зміни у просторі зовнішніх навантажень. При зростанні градієнтів зовнішніх навантажень похибка теорії ефективних модулів зростає. Більш точною порівняно з цією теорією вважається відома теорія пружних сумішей. Вона має велике теоретичне значення у розвитку побудови континуальних мікроструктурних теорій і розумінні механізму міжкомпонентної взаємодії, проте в рамках цієї теорії невирішеними залишаються питання коректного універсального теоретичного чи експериментального методу визначення пружних сталих, що входять в рівняння руху і співвідношення пружності. Існують деякі методи визначення цих коефіцієнтів, що поєднують теоретичний та експериментальний підходи, але вони справедливі для часткових випадків і не являються загальними. Відсутнє також строге обгрунтування загального вигляду рівнянь стану. Тому теорія пружних сумішей не стала в один ряд з теорією ефективних модулів для проведення на її основі систематичних розрахунків конструкцій із композитних матеріалів та струкруно-неоднорідних споруд.

Математична модель, яка усунула недоліки вищезгаданих теорій, була запропонована Хорошуном Л.П. Це математична модель неоднорідного статичного деформування стохастично-неоднорідних середовищ. Вона була реалізована для двохкомпонентних зернистих композитів. Тому актуальність теми пов'язана з необхідністю поширити метод побудови теорії неоднорідного статичного деформування стохастично-неоднорідних середовищ на композитні матеріали іншої структури, зокрема, на однонаправлені волокнисті композити.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках бюджетної науково-дослідницької теми на кафедрі механіки суцільних середовищ механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка „Чисельне та експерементальне моделювання і дослідження стаціонарних та динамічних процесів деформування пружних тіл” (№ державної реєстрації 0101U002476); її результати заплановані до звітів відділу механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за темою: „Зв'язні процеси деформування і мікропошкоджуваності фізично нелінійних композитних матеріалів” (№ державної реєстрації 0102U007021).

Мета і задачі дослідження. В дисертаційній роботі за мету поставлено:

– побудувати математичну модель неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих композитів, що перебувають в стані плоскої деформації у площині, перпендикулярній до напрямку волокон;

– побудувати на основі статичної моделі неоднорідного деформування стохастично-неоднорідних середовищ фундаментальні розв'язки рівнянь рівноваги відносно середніх переміщень (математичних сподівань) і виявити характерні механічні ефекти в околі прикладання одиничної сили шляхом порівняльного аналізу отриманих результатів із фундаментальними розв'язками теорії ефективних модулів і теорії пружних сумішей;

– одержати аналітичні розв'язки простіших статичних задач пружності для композитів зернистої структури та однонаправлених волокнистих композитів в рамках моделі неоднорідного статичного деформування стохастично-неоднорідних середовищ і виявити характерні механічні ефекти.

Об'єкт дослідження: пружні двохкомпонентні зернисті і однонаправлені волокнисті композити стохастичної структури і простіші конструкції з них.

Предмет дослідження: модель неоднорідного статичного деформування двохкомпонентних пружних композитних матеріалів стохастичної структури, напружено-деформований стан простіших конструкцій із них.

Методи дослідження. Осереднення рівнянь статики двохкомпонентних однонаправлених волокнистих композитних матеріалів стохастичної структури при відмінних від нуля об'ємних силах методом умовних моментів, застосування двовимірного перетворення Фур'є по координатам та розклад ядер в ряди по параметрам перетворення Фур'є приводить до математичної моделі неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих композитів. При побудові фундаментальних розв'язків рівнянь рівноваги в переміщеннях для зернистих та однонаправлених волокнистих композитів застосовується метод тривимірного та двовимірного інтегрального перетворення Фур'є по координатам.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

– дістала подальший розвиток методика побудови моделі неоднорідного статичного деформування композитних матеріалів стохастичної структури, в результаті чого була побудована математична модель неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих композитів, що перебувають в стані плоскої деформації у площині, перпендикулярній до напрямку волокон;

– одержано фундаментальні розв'язки рівнянь рівноваги в переміщеннях для зернистих та однонаправлено-волокнистих композитів в рамках моделі неоднорідного статичного деформування стохастично-неоднорідних середовищ;

– досліджено напружено-деформований стан і виявлено механічні ефекти у простіших задачах статики двохкомпонентних пружних композитів.

Достовірність одержаних результатів забезпечується: при побудові математичної моделі строгими математичними перетвореннями і осередненням точних вихідних рівнянь механіки для кусково-однорідної області; при побудові фундаментальних розв'язків використанням добре апробованих методів функціонального аналізу та математичної фізики; при розв'язанні крайових задач відповідністю граничних умов фізичним міркуванням, явним виглядом аналітичних розв'язків досліджених задач, узгодженістю при відповідних умовах з результатами досліджень, одержаними в теорії ефективних модулів та теорії пружних сумішей.

Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що побудована в роботі математична модель може знайти ефективне використання при дослідженні напружено-деформованого стану у тілах, армованих стохастично розташованими однонаправленими волокнами за умов плоскої деформації. При практичному використанні цієї моделі її перевага перед іншими проявляється у тому, що вона справедлива при довільних градієнтах зовнішніх навантажень; всі коефіцієнти визначаються через геометричні параметри структури композиту та пружні сталі компонентів. На основі побудованих в роботі фундаментальних розв'язків при подальшому розвитку цієї моделі можна отримати формули типу формул Сомільяно, які лежать в основі перспективного числового методу граничних елементів.

Особистий внесок здобувача. В основу дисертаційної роботи покладено модель неоднорідного деформування стохастично-неоднорідних середовищ, методика побудови якої була запропонована Хорошуном Л.П. і реалізована ним для композитів зернистої структури. Автору належить побудова на основі цієї ідеї математичної моделі неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих пружних композитів та дослідження на основі одержаних рівнянь і співвідношень напружено-деформованого стану простіших конструкцій з таких матеріалів. Побудову фундаментальних розв'язків рівнянь рівноваги в переміщеннях в рамках моделі неоднорідного деформування двохкомпонентних пружних композитів стохастичної структури дисертант здійснив на основі методики, запропонованої Лавренюком В.І. У роботах [1, 2] співавтору належить формулювання системи рівнянь, яку повинні задовольняти тензори фундаментальних розв'язків в теорії двохкомпонентних пружних сумішей, обговорення та аналіз отриманих результатів. Автор здійснив побудову фундаментальних розв'язків, їх аналіз і дослідження на основі одержаних результатів полів переміщень при дії зосередженої сили та зосередженого момента.

Автор вважає своїм приємним обов'язком висловити щиру подяку Лавренюку Василю Івановичу та Хорошуну Леоніду Петровичу за наукове керівництво і всебічне сприяння при написанні дисертаційної роботи.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на VI Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2003). У повному обсязі робота доповідалась на науковому семінарі „Проблеми механіки” у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка та на секції „Механіка композиційних і неоднорідних середовищ” Інституту механіки НАН України.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи відображені у 4 публікаціях, з яких 3 опубліковано у наукових журналах, які входять до переліку фахових видань ВАК України [1 - 3].

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку літератури. Загальний об'єм дисертації складає 133 сторінки. Робота містить 21 рисунок. Бібліографія складається із 112 найменувань та займає 12 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертайної роботи; сформульовано мету та задачі досліджень; охарактеризовано новизну, достовірність та практичну значимість одержаних результатів; наведено дані про апробацію результатів роботи та її зв'язок із науковими програмами та планами установи, де вона виконана; наведено кількість публікацій за темою дисертації і особистий внесок здобувача.

У першому розділі наведено огляд праць, присвячених побудові математичних моделей деформування композитних матеріалів різної структури. Вказано проблеми, які залишились невирішеними в рамках існуючих моделей при їх практичному використанні і можливі шляхи для їх розв'язання.

У другому розділі наведено методи та гіпотези, які використовуються у дисертаційній роботі для побудови математичної моделі неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих композитів, що перебувають у стані плоскої деформації у площині, перпендикулярній до напрямку волокон та для побудови фундаментальних розв'язків рівнянь рівноваги в переміщеннях.

В першому підрозділі розкрито суть проблеми побудови математичних моделей деформування композитних матеріалів стохастичної структури. Для демонстрації коротко описано методи побудови і подано основні співвідношення теорії ефективних модулів та теорії двохкомпонентних пружних сумішей. Проведено аналіз цих теорій і вказані їх основні недоліки, а саме: теорія ефективних модулів справедлива лише для невеликих градієнтів зовнішніх навантажень; у теорії двохкомпонентних пружних сумішей відсутнє строге обґрунтування рівнянь стану, а також спосіб коректного теоретичного або експериментального визначення сталих. На основі цього аналізу зроблено висновок, що для побудови континуальних моделей, які враховують більш тонкі ефекти, ніж теорія ефективних модулів, необхідно перш за все опиратися на строгі математичні перетворення і осереднення точних вихідних рівнянь механіки для кусково-однорідної області, а не тільки на фізичні гіпотези і міркування. Як приклад реалізації такого підходу наведено теорію неоднорідного статичного деформування зернистих композитів.

В другому підрозділі наведено алгоритм осереднення рівнянь рівноваги в переміщеннях, що описують неоднорідний напружено-деформований стан пружного тіла, виготовленого із N-компонентного композитного матеріалу стохастичної структури, методом умовних моментів. Його суть полягає в наступному. Область матеріалу приймається нескінченною. Використання тензорної функції Гріна, що задовольняє рівняння

, (1)

зводить вихідні стохастичні диференційні рівняння рівноваги в переміщеннях

(2)

до системи інтегральних рівнянь відносно переміщень та деформацій

(3)

де = л_pqmn(x) _ l_pqmn; l_pqmn _ тензор модулів пружності однорідного тіла порівняння.

Для осереднення системи (3), використовується двохточкова умовна щільність розподілу (u_i(о), е_ij(о), е_ij(x), F_i(x), л_pqmn(x)) (щільність розподілу відповідних параметрів в точках x та о при умові, що о знаходиться в v- компоненті). Нехтування флуктуаціями параметрів в межах компонента приводить до системи інтегральних рівнянь

(4)

де (v = 1,…,N) - математичні сподівання відповідних параметрів при умові, що точка x знаходиться в v - компоненті; p_vk(x,о) - імовірність знаходження точки о в k-компоненті при умові, що точка x знаходиться в v-компоненті; _ l_pqmn , тензор модулів пружності k - компонента.

Для розв'язання системи (4) необхідно задати умовну двохточкову щільність розподілу p_vk (x,о), яка в середньому характеризує форму і розташування структурних елементів, а також тензор модулів пружності тіла порівняння l_pqmn. Умовну щільність розподілу p_vk(x,о) можна знайти або експериментально по фотографіям зрізів композиту, або теоретично, задаючи розподіли розмірів структурних елементів в різних зрізах. Наявність тензора модулів пружності тіла порівняння в рівняннях двохточкового наближення обумовлена нехтуванням моментами вищого типу. Вибір цього тензора значно впливає на близкість обчислених пружних сталих композиту до їх справжнього значення.

В підрозділі 2.3 наведено основні положення та описано методи теорії узагальнених функцій, які використовуються в даній роботі для побудови математичної моделі неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих композитів, фундаментальних розв'язків рівнянь рівноваги в переміщеннях двохкомпонентних пружних композитів, а також при дослідженні полів переміщень при дії зосередженої сили та моменту.

Зокрема, висвітлено такі важливі аспекти, як диференціювання узагальнених функцій, перетворення Фур'є узагальнених функцій, техніка побудови фундаментальних розв'язків диференційних рівнянь з використанням перетворення Фур'є і представлення зосереджених навантажень узагальненими функціями в механіці деформівного твердого тіла.

В третьому розділі описано процес побудови математичної моделі неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих композитів. Розглядається ізотропний матеріал, армований однонаправленими хаотично розташованими ізотропними волокнами. Вважається, що такий композитний матеріал має повністю розупорядковану статистично ізотропну структуру в площині, перпендикулярній до напрямку волокон. Вісь x₃ направлено вздовж волокон.

Масові сили та зовнішні зусилля діють у площині, паралельній до x₁O x₂ і не залежать від координати x₃, тіло перебуває у стані плоскої деформації. Випадкові поля переміщень, напружень та деформацій, які виникають під дією таких навантажень, також є випадковими функціями координат x₁ та x₂. Із припущення про статистично ізотропну структуру композиту випливає, що умовна двохточкова щільність розподілу p_vk(x,о) має вигляд

(v, k = 1,2) (5)

де c_k (k = 1,2) - об'ємна концентрація k-компонента, причому c₁ + c₂ = 1; 1/б - масштаб кореляції; r(x,о) = (i = 1,2) - відстань між точками x та о.

Для побудови статичної моделі неоднорідного деформування композитів до системи (4) додаються осереднені рівняння рівноваги та співвідношення Коші. Вони подаються у вигляді

(6)

До такого вигляду їх можна звести, використавши відомі співвідношення, що пов'язують середні по компонентам і по композиту переміщення, деформації, напруження та об'ємні сили у відповідних точках двохкомпонентного пружного композиту

(7)

Застосування до систем (4) та (6) двовимірного перетворення Фур'є по координатам

F[f(x)] = g(q) = f(x) e^{i qx} dS(x) F^-1[g(q)] = (2р)^-2g(q) e^{-i qx} dS(q) (8)

і введення позначеннь

(9)

приводить до системи рівнянь в просторі Фур'є-зображень

(10)

Розв'язки цієї алгебраїчної системи рівнянь при поверненні до простору оригіналів в загальному випадку представляють собою інтегро-диференційні рівняння рівноваги відносно середніх по композиту переміщень (математичних сподівань) та інтегральні співвідношення, що дозволяють визначити середні по компонентам переміщення і деформації через середні по композиту переміщення та різницю середніх по компонентам масових сил .

При розвиненнні ядер перетворення Фур'є (q), (q), (q), (q) у ряди по параметрам перетворення Фур'є q отримано відповідні диференційні рівняння та співвідношення.

В нульовому наближенні одержано теорію ефективних модулів; перше наближення дає уточнену теорію ефективних модулів.

Врахування квадратів параметрів перетворення Фур'є приводить до диференційних рівнянь рівноваги четвертого порядку відносно середніх переміщень

(11)

і формул для визначення середніх по компонентам параметрів

(v=1,2) (12)

(v=1,2) (13)

При цьому отримано формули для визначення всіх коефіцієнтів, що входять в (11) - (13) через пружні сталі компонентів та геометричні параметри структури. Ефективні модулі пружності л^*, м^* і коефіцієнти L₁, L₂, які з'являються в нульовому наближенні, виражаються через модулі пружності компонентів л^v, м^v і їх об'ємні концентрації c_v. Всі інші коефіцієнти виражаються через ці ж параметри та масштаб кореляції 1/б, тобто вони враховують мікроструктуру матеріалу.

На основі формул (7) та (13) можна записати вирази для середніх по компонентам напружень

(v = 1,2) (14)

де л_v, м_v, в_v, г_v, д_v, - постійні, що виражаються через пружні сталі компонентів л^v, м^v (v = 1,2) і коефіцієнти L_i (i = 1,…,5) та M_i (i = 1,2), які входять в (13). Таку ж структуру, як це випливає із (7), мають і формули для визначення середніх по композиту напружень. Формули (12), (14) дозволяють задавати на границі переміщення та напруження для кожного компонента.

Відомо, що рівняння статики двохкомпонентних пружних сумішей при відсутності масових сил зводяться до рівнянь четвертого порядку відносно середніх переміщень.

З іншої сторони, нехтування у співвідношеннях (12) _ (14) другими похідними об'ємних сил і деформацій приводить до рівнянь стану теорії пружних сумішей із повністю визначеними сталими. Це означає, що рівняння рівноваги (11) та стану (14) і співвідношення (12), (13) являються більш загальними порівняно із відповідними рівняннями статики і співвідношеннями пружності двохкомпонентних пружних сумішей.

В четвертому розділі на основі моделі неоднорідного статичного деформування композитів побудовано фундаментальні розв'язки рівнянь рівноваги в переміщеннях для двохкомпонентних пружних композитних матеріалів.

Отримані результати проаналізовані і порівняні з відомими фундаментальними розв'язками, одержаними в рамках більш простої теорії ефективних модулів, а також із фундаментальними розв'язками в теорії пружних сумішей.

Окремо побудовано фундаментальні розв'язки для однонаправлених волокнистих композитів, що перебувають у стані плоскої деформації у площині, перпендикулярній до напрямку волокон, і для зернистих композитів.

Тензор є фундаментальним розв'язком рівнянь рівноваги (11), якщо він задовольняє рівняння

(15)

і умови регулярності на нескінченності для тривимірної задачі.

Для розв'язання рівнянь (15) застосовується n - вимірне експоненційне перетворення Фур'є (n = 2 для однонаправленого волокнистого композиту, n = 3 для зернистого композиту). Тоді в просторі зображень рівняння (15) зводяться до системи алгебраїчних рівнянь. Розв'язок цієї системи представляється у вигляді суми

(16)

При поверненні до простору оригіналів на основі двовимірних обернених перетворень Фур'є отримано фундаментальні розв'язки для однонаправлених волокнистих композитів, що перебувають у стані плоскої деформації

(17)

де , , K₀(•) _ модифікована функція Бесселя другого роду і нульового порядку.

Похідні, що входять у одержані фундаментальні розв'язки, записані в термінах теорії узагальнених функцій. Тоді, згідно з теоремою про диференціювання однорідних узагальнених функцій, другі похідні від функцій ln(1/r) та K₀(•) утримують сингулярну дельта-функцію Дірака д(x). Для дослідження впливу цих доданків на розв'язок у виразах (17) виділено сингулярні складові.

Враховуючи те, що сингулярні складові функіцй K₀(•) та ln(1/r) співпадають і дорівнюють _рд_ikд(x), сингулярна складова

.

Рівність сингулярної складової нулеві означає, що похідні у (17) є похідними в звичайному смислі.

В роботі проведено дослідження характерних механічних ефектів, що виникають у двохкомпонентних пружних композитах в околі прикладання одиничної сили. Для цього фундаментальні розв'язки, отримані в рамках моделі неоднорідного статичного деформування композитів порівняно із відомими розв'язками для пружних композитів, напружено-деформований стан яких описується теорією ефективних модулів. Оскільки напружено-деформований стан композитів в теорії ефективних модулів описується класичними рівняннями рівноваги другого порядку із приведеними (ефективними) пружними сталими, то фундаментальні розв'язки, одержані в рамках цієї теорії, надалі будуть називатися „класичними”.

Перші два доданки у формулі (17) співпадають із „класичним” розв'язком. Фундаментальні розв'язки (17) крім „класичного” розв'язку містять доданки, які мають порядок (друга похідна від ln[1/r] )та модифіковані функції Бесселя другого роду нульового, першого та другого порядків (похідні від модифікованої функції Бесселя другого роду нульового порядку).

Досліджено вплив цих „некласичних” доданків поблизу точки прикладання одиничної сили. Фундаментальні розв'язки (17) при r << 1 приймають вигляд

(i,k = 1,2).

Аналіз останнього виразу показує, що фундаментальні розв'язки в околі прикладання одиничної сили мають особливість того ж порядку, що і в „класичному” випадку, тобто особливість типу ln(1/r).

Фундаментальні розв'язки (17) досліджено при великих значеннях радіус-вектора. Як відомо, модифіковані функції Бесселя другого роду дійсного додатного аргументу при зростанні аргумента спадають по показниковому закону. Доданки, які мають порядок r^-2, також швидко спадають при r > ?. Враховуючи ці факти, можна стверджувати, що при збільшенні відстані між точкою прикладання одиничної сили і точкою, в якій обчислюються значення фундаментальних розв'язків, вплив „некласичних” доданків на весь розв'язок зменшується і при r > ? ними можна знехтувати.

При застосуванні до (16) тривимірного оберненого перетворення Фур'є одержано фундаментальні розв'язки для композиту зернистої структури

(18)

Аналіз фундаментальних розв'язків (18) проводиться за тією ж схемою, що і для однонаправлених волокнистих композитів. В роботі показано, що сингулярна складова, яка виникає у формулах (18) завдяки наявності похідних в розумінні теорії узагальнених функцій, дорівнює нулю. Аналогічними є висновки і щодо поведінки цих розв'язків в околі точки прикладання одиничної сили (вони мають особливість того ж порядку, що і „класичні” розв'язки). При великих значеннях радіус-вектора отриманий розв'язок наближається до „класичного”.

В цьому розділі побудовано також фундаментальні розв'язки в рамках теорії двохкомпонентних пружних сумішей. Вони порівняні із фундаментальними розв'язками (17), (18). Виявлено, що в обох моделях розв'язки описуються однаковими функціями.

На основі одержаних фундаментальних розв'язків проведено дослідження полів переміщень при дії в деякій точці необмеженого пружного середовища зосередженої сили та зосередженого момента. Внаслідок відзначених вище властивостей фундаментальних розв'язків, поля переміщень, які виникають під дією таких навантажень в околі їх прикладання, мають особливості того ж порядку, що і „класичні” поля переміщень. При цьому переміщення, обчислені на основі моделі неоднорідного статичного деформування композитів кількісно відрізняються від переміщень в теорії ефективних модулів і пружних сумішей. При великих значеннях аргументу знайдені розв'язки наближаються до своїх „класичних” відповідників.

У п'ятому розділі з метою демонстрації можливості практичного застосування теорії неоднорідного статичного деформування композитів і виявлення на її основі нових механічних ефектів розв'язано задачі про напружено-деформований стан зернистого та однонаправленого волокнистого композитів.

У першому підрозділі розв'язано задачу про рівновагу пружного шару, виготовленого із композиту зернистої структури. Розглядається задача про рівновагу нескінченного в двох напрямках шару, що обмежений площинами z = 0 та z =h. Відмінними від нуля приймаються лише переміщення w вздовж осі z, причому w = w(z). Шар знаходиться під дією власної ваги. Загальний розв'язок задачі записується у вигляді

(19)

де A² = (л^*+2м^*)/(д+г), B = (c₁с₁+ c₂с₂) /(д+г), C_i (i = 1,..,4) - невідомі сталі, що визначаються з граничних умов, а (i = 1,2) - щільності компонентів.

Оскільки формули (12), (14) дозволяють задавати на границі переміщення та напруження для кожного компонента, то існує декілька варіантів постановки граничних умов. В роботі розглянуті такі варіанти

– на нижній та верхній площинах шару для обох компонентів задані переміщення;

– на нижній площині для першого компонента задані переміщення, для другого - напруження, а на верхній навпаки: для першого компонента задані напруження, а для другого - переміщення;

– на нижній площині для обох компонентів задані переміщення, а на верхній для обох компонентів задані напруження.

Останній варіант наведених граничних умов розглянуто детальніше. На нижній площині для обох компонентів переміщення задаються нульовими (шар лежить на абсолютно твердому півпросторі), а на верхній для обох компонентів задані однакові напруження (рівномірно розподілене навантаження). З цих граничних умов визначаються невідомі сталі, які входять в (19). За формулами (12) та (14) обчислюються середні по компонентам переміщення і напруження. Співвідношення (7) дозволяють визначити середні по композиту напруження. З лінійності задачі випливає, що вплив силових навантажень і вплив сили власної ваги можна аналізувати окремо.

Середнє по композиту напруження, що виникає під дією рівномірно розподіленого навантаження, має постійне значення по всій товщині шару і величину номінально прикладеного навантаження, тобто його поведінка відповідає напружено-деформованому стану однорідного тіла для відповідної задачі. Перерозподіл середніх по компонентам напружень відбувається у тонкій приповерхневій зоні товщиною 1 - 2 масштаби кореляції біля площини z = h. Далі ці напруження набувають сталого значення і утримують його по всій товщині шару.

При z = h середні по компонентам напруження не відрізняються від середнього по композиту і між собою, а при просуванні вглиб композиту різниця між ними збільшується і досягає максимального значення на основі.

Величина відхилення парціальних напружень від середніх по композиту для обох типів навантаження залежить від пружних властивостей компонентів, їх концентрації та від того, наскільки товщина шару перевищує розміри мікроструктури.

Другий підрозділ присвячено дослідженню напружено-деформованого стану однонаправлених волокнистих композитів. Розв'язано задачу про товстостінний циліндр із внутрішнім та зовнішнім радіусами a та b відповідно, що перебуває під впливом внутрішнього та зовнішнього тисків. Волокна направлені вздовж твірної. Тіло перебуває у стані плоскої деформації, тому розв'язується двовимірна задача і надалі розглядається кільце із внутрішнім радіусом a та зовнішнім b. Задача є осесиметричною, тому з усіх компонент векторів середніх по компонентам напружень на поверхні кільця ненульовими будуть лише їх нормальні складові. Тоді крайові умови записуються так:

(v = 1,2) (20)

Загальний розв'язок цієї задачі має вигляд

(21)

де , - модифіковані функції Бесселя першого порядку, першого та другого роду відповідно. Постійні A, B, C, D визначаються із граничних умов (20). Формули (21) та (12) - (14) дозволяють визначити всі необхідні середні по композиту та по компонентам параметри.

Як відзначалося раніше, модель неоднорідного статичного деформування стохастичних композитів справедлива для довільних градієнтів зовнішніх навантажень. Для демонстрації цього розглянуто випадок, коли на внутрішній границі для волокон задано нульові напруження, а для матриці відмінні від нуля; на зовнішній границі задано нульові напруження для матриці і для волокон. На практиці такі граничні умови реалізувати важко, проте таке дослідження має теоретичне значення.

Середні по компонентам переміщення відрізняються від середнього по композиту і між собою у тонкому примежовому шарі товщиною 1- 2 масштаби кореляції. При просуванні вглиб композиту ця різниця зникає і стає відмінною від нуля біля зовнішньої границі. Слід відзначити, що різниця переміщень біля внутрішньої границі на декілька порядків більша, ніж біля зовнішньої.

Проведено також дослідження розподілу радіальних та окружних напружень у композиті

Чим жорсткіші волокна і менша їх концентрація, тим більші у волокнах напруження. Те ж саме стосується і окружних напружень. Різниця полягає лише у кількісних показниках.

Як частковий випадок в цьому підрозділі розв'язано задачу про всесторонній розтяг безмежної пластини із коловим отвором.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню актуальної наукової задачі, яка полягає у дослідженні напружено-деформованого стану двохкомпонентних пружних композитів на основі моделі неоднорідного деформування стохастично-неоднорідних середовищ.

Для досягнення поставленої мети в роботі:

– Побудовано математичну модель неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих композитів, що перебувають в стані плоскої деформації у площині, перпендикулярній до напрямку волокон. Модель зводиться до системи диференційних рівнянь рівноваги четвертого порядку відносно середніх по композиту переміщень (математичних сподівань) та формул для обчислення середніх по компонентам переміщень, деформацій та напружень. З останніх можна отримати і формули для визначення середніх по композиту деформацій та напружень. На границі можна задавати переміщення та напруження для кожного компонента. Побудована модель є більш загальною порівняно з теорією двохкомпонентних пружних сумішей і дозволяє обчислити всі коефіцієнти через пружні постійні компонентів , їх об'ємні концентрації та масштаб кореляції.

– В рамках цієї моделі побудовано фундаментальні розв'язки рівнянь рівноваги в переміщеннях, а також досліджено їх поведінку при великих значеннях радіус-вектора і в околі прикладання одиничної сили. Для цього проведено порівняльний аналіз отриманих результатів із фундаментальними розв'язками теорії ефективних модулів та фундаментальними розв'язками, отриманими в рамках теорії двохкомпонентних пружних сумішей. На основі побудованих фундаментальних розв'язків проведено дослідження полів переміщень, що виникають під дією зосередженої сили та зосередженого моменту.

– З метою демонстрації можливості практичного застосування моделі неоднорідного статичного деформування композитів і виявлення на її основі нових механічних ефектів розв'язано простіші задачі: задачу про рівновагу необмеженого в двох напрямках пружного шару, виготовленого із композиту зернистої структури та задачу про товстостінний циліндр, що виготовлений із однонаправленого волокнистого композиту, і який перебуває під впливом внутрішнього та зовнішнього тисків. Циліндр знаходиться у стані плоскої деформації. Одержано аналітичні розв'язки цих задач, на основі яких проведено дослідження напружено-деформованого стану композитів. Виявлено граничні ефекти: розподіл середніх по компонентам переміщень і напружень в примежовому шарі композиту; якісна і кількісна залежність розподілу (і перерозподілу) цих параметрів від пружних властивостей, концентрації компонентів та мікроструктури композиту.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лавренюк В.І., Кабиш Ю.М. Фундаментальні розв'язки для двохкомпонентних пружних сумішей // Мат.методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - 44, № 1. С. 161 - 168.

2. Лавренюк В.І., Кабиш Ю.М. Дослідження поля переміщень двохкомпонентного пружного композиту при різних видах зосереджених навантажень. // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2002.- № 4. - С. 63 _ 69.

3. Кабиш Ю.М. Математична модель неоднорідного деформування однонаправленого волокнистого двохкомпонентного композиту // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2003. - № 2. - С. 71 _ 80.

4. Кабиш Ю.М. Всебічний розтяг безмежної пластини з коловим отвором, яка виготовлена з пружного двохкомпонентного волокнистого однонаправленого композиту // VI Міжнародна наукова конференція „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. - Львів: Ін-т прикл. проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАНУ, 2003. - С. 173-175.

композит деформування математичний

АНОТАЦІЯ

Кабиш Ю.М. Дослідження задач пружності двохкомпонентних стохастичних композитів на основі статичної моделі неоднорідного деформування. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - Механіка деформованого твердого тіла. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2004.

У дисертації побудовано математичну модель неоднорідного статичного деформування однонаправлених волокнистих композитів, що перебувають в стані плоскої деформації у площині, перпендикулярній до напрямку волокон. Модель зводиться до системи диференційних рівнянь рівноваги четвертого порядку відносно середніх по композиту переміщень (математичних сподівань) та формул для обчислення середніх по компонентам переміщень, деформацій та напружень через середні по композиту переміщення, різницю середніх по компонентам масових сил і їх похідні. Побудовано фундаментальні розв'язки рівнянь рівноваги в переміщеннях в рамках цієї моделі. На основі одержаних фундаментальних розв'язків проведено дослідження полів переміщень, що виникають під дією зосередженої сили та зосередженого моменту. Розв'язано дві задачі: задачу про рівновагу нескінченного в двох напрямках пружного шару, виготовленого із композиту зернистої структури та задачу про товстостінний циліндр, виготовлений із однонаправленого волокнистого композиту, і який перебуває під впливом внутрішнього та зовнішнього тисків. Циліндр знаходиться у стані плоскої деформації. Досліджено розподіл середніх по композиту і по компонентам переміщень і напружень всередині композиту і в його примежових областях. Досліджено залежність розподілу механічних параметрів між компонентами від пружних властивостей, концентрації компонентів і мікроструктури композиту.

Ключові слова: двохкомпонентний пружний композит стохастичної структури, модель неоднорідного деформування композитів, метод умовних моментів, перетворення Фур'є, фундаментальні розв'язки рівнянь рівноваги в переміщеннях, розподіл середніх по компонентам переміщень і напружень.

АННОТАЦИЯ

Кабыш Ю.М. Исследование задач упругости двухкомпонентных стохастических композитов на основе статической модели неоднородного деформирования. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2004.

В диссертации получила дальнейшее развитие методика построения статической модели неоднородного деформирования стохастически-неоднородных сред, в результате чего построена математическая модель неоднородного статического деформирования однонаправленных волокнистых композитов, которые находятся в состоянии плоской деформации в плоскости, перпендикулярной к направлению волокон. В основу построения положены стохастические уравнения статики упругой микронеоднородной двухкомпонентной среды при отличных от нуля объемных силах. Применение метода условных моментов и двумерного преобразования Фурье приводит к модели нелокальной теории деформирования, которая представляется в виде интегродифференциальных уравнений относительно средних по композиту перемещений (математических ожиданий) и интегральных соотношений, определяющих средние по компонентам перемещения и деформации через средние по композиту перемещения, разницу средних по компонентам массовых сил и их производные. Разложение ядер в ряды по параметрам преобразования Фурье позволяет получить соответствующие дифференциальные уравнения и соотношения, порядок которых зависит от количества членов ряда. В нулевом приближении следует теория эффективных модулей. Первое приближение приводит к уточненной теории эффективных модулей. Во втором приближении, учитывающем квадраты параметров преобразования Фурье, получена теория неоднородного статического деформирования композитов. Она сводится к дифференциальным уравнениям равновесия четвертого порядка относительно средних по композиту перемещений и формул для вычисления средних по компонентам перемещений и деформаций. Как следствие, получены также выражения для вычисления средних по компонентам и по композиту напряжений. Это позволяет задавать на границе перемещения и напряжения в каждом компоненте. Получены выражения всех коэффициентов через упругие постоянные компонентов и геометрические параметры структуры. Построенная математическая модель справедлива для произвольных градиентов внешних нагрузок. Она является более общей по сравнению с теорией двухкомпонентной упругой смеси.

В рамках модели неоднородного статического деформирования композитов стохастической структуры построены фундаментальные решения уравнений равновесия в перемещениях для зернистых и однонаправленных волокнистых композитов. Проведены исследования полученных решений вблизи точки приложения единичной силы, а также при удалении от этой точки. На основе полученных фундаментальных решений проведены исследования полей перемещений, которые возникают под действием сосредоточенной силы и сосредоточенного момента.

С целью демонстрации возможности практического применения теории неоднородного статического деформирования композитов и выявления на ее основе новых механических эффектов решено две задачи: задачу о равновесии бесконечного в двух направлениях упругого слоя, изготовленного из композита зернистой структуры и задачу о напряженном состоянии толстостенного цилиндра, изготовленного из однонаправленного волокнистого композита, который находится под действием внутреннего и внешнего давлений. Цилиндр находится в состоянии плоской деформации. Получены аналитические решения этих задач, на основе которых проведены исследования напряженно-деформированного состояния композитов. Выявлены характерные эффекты: распределение средних по компонентам перемещений и напряжений внутри композита и в его приграничном слое; качественная и количественная зависимость распределения (и перераспределения) этих параметров от упругих свойств, концентрации компонентов и микроструктуры композита.

Ключевые слова: двухкомпонентный упругий композит стохастической структуры, модель неоднородного деформирования композитов, метод условных моментов, преобразование Фурье, фундаментальные решения уравнений равновесия в перемещениях, распределение средних по компонентам перемещений и напряжений.

SUMMARY

Kabysh Y.M. Investigation of elasticity problems of two-component stochastic composites on the base of static model of inhomogeneous deformation. - Manuscript.

Thesis for Candidate's Degree in Physics and Mathematics in speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solids. - Kyiv national university by name Taras Shevchenko, S. P. Timoshenko Institute of Mechanics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

The thesis is devoted to construction of the mathematical model of inhomogeneous static deformations of unidirectional fibre-reinforced composites which are in a condition of a plane deformation in a plane, perpendicular to a grain flow. It is assumed that the distribution of the fibres is random. The model includes fourth order differential equilibrium equations with respect to the mean displacements (mathematical expectation) and formulas for determining component-wise displacements, strains and stresses through the mean displacements and strains. All coefficients are determined by elastic constants of components and geometric parameters of the structure. The model is correct for arbitrary gradients of external loading.

On the base of the model of inhomogeneous static deformations of stochastic composites the fundamental solutions of equilibrium equations in terms of displacements for granular and unidirectional fibre-reinforced composites are built. On the base of obtained results the displacement fields under the action of point force and point moment are found.

With the purpose of illustration of practical application of the model of inhomogeneous static deformations of stochastic composites two boundary problems are solved

– problem of equilibrium of layer, manufactured from granular composite;

– problem of stressed state of thick-walled cylinder manufactured from unidirectional fibre-reinforced composite which is under the action of internal and external pressures. The cylinder is in a condition of a plane deformation in a plane, perpendicular to a grain flow.

The distributions of component-wise displacement and stresses in these problems are investigated. Boundary-layer effects are analysed.

Keywords: two-component elastic stochastic composite, model of inhomogeneous deformations of composites, fundamental solutions of equilibrium equations in terms of displacements, distribution of component-wise displacements and stresses .

Размещено на Allbest.ru

...