Аномальні явища релаксації та переносу при стохастичних впливах

Показник Леві для іонного струму насичення зменшується в міру віддалення від границі плазми. При цьому асимптотики розподілів стають більш положистими, а викиди (піки) в експериментальних вибірках - більш виразними. Була виявлена якісна відпо-відність у поведінці ексцесу і показника Леві зі зміною відстані R: більш положистим степеневим асимптотикам стійких розподілів відповідають великі позитивні значення ексцесу. З нижніх малюнків видно, що масштабний параметр зменшується до периферії плазми. Це означає зменшення інтенсивності флуктуацій. Оскільки при цьому показник Леві або майже не змінюється (для потенціалу), або зменшується (для струму), це означає відносне зростання впливу флуктуаційних викидів. Цей висновок знаходиться в повній відповідності з поведінкою типових сигналів, що спостерігаються на У-3М: ступінь переміжності турбулентності зростає до периферії плазми. Таким чином, для опису цього явища запропоновані кількісні характеристики - масштабний множник і показник Леві , а також метод оцінки їхніх величин.

У підсумку, “турбулентність Леві”, що спостерігається в торсатроні У-3М, стимулює, з одного боку, проведення подальших експериментальних досліджень, що дозволяють більш детально проаналізувати нетривіальні властивості флуктуацій у граничній плазмі, а з іншого, стимулює теоретичний пошук механізмів, що приводять до негауссівської статистики плазмової турбулентності.

У третьому розділі досліджуються процеси релаксації і дифузії, які описуються кінетичними рівняннями з дробовими похідними. У підрозділі 3.1 представлений огляд робіт з цієї тематики. Такі кінетичні рівняння служать математичним апаратом для опису руху Леві і є узагальненнями класичних кінетичних рівнянь теорії броунівського руху: рівняння Ейнштейна - Смолуховського для функції розподілу в координатному просторі і рівняння Фоккера - Планка для функції розподілу у фазовому просторі координат і швидкостей.

У підрозділі 3.2, виходячи з інтегрального рівняння Чепмена - Колмогорова для функції розподілу марківського процесу і рівнянь Ланжевена з випадковими джерелами, розподіленими за симетричними стійкими законами Леві, отримано дробове кінетичне рівняння Фоккера - Планка для функції розподілу і дробове кінетичне рівняння Ейнштейна - Смолуховського для функції розподілу :

У наступних трьох підрозділах розглянутий ряд принципових, з погляду статистичної фізики і її застосувань, задач теорії руху Леві, що є узагальненнями основних задач теорії лінійного броунівського руху.

У підрозділі 3.3 показано, що процес релаксації при умові відсутності зовнішнього поля відбувається у дві стадії, що описуються в рамках дробового рівняння Фоккера - Планка: перша (кінетична) стадія, на якій встановлюється стаціонарний стійкий розподіл за швидкістю, і друга (дифузійна) стадія, на якій відбувається процес релаксації в реальному просторі. Дифузійна стадія релаксації описується дробовим рівнянням Ейнштейна - Смолуховского. На цій стадії дифузія носить прискорений характер у порівнянні з броунівською дифузією (супердифузія), і зсув частинки зростає з часом як t^1/, 0 < < 2.

У підрозділі 3.4 досліджується релаксація двох типів лінійних осциляторів Леві: передемпфованого, / << 1, та слабкозатухаючого, / >> 1. Як і в теорії броунівського лінійного осцилятора, процеси релаксації протікають у цих двох випадках різним чином.

Релаксація передемпфованого осцилятора відбувається у дві стадії: швид-ка, на якій протягом інтервалу часу _v = 1/ установлюється стаціонарний стан за швидкістю зі стійким розподілом Леві, і повільна дифузійна стадія, на якій, протягом інтервалу часу _x = /², установлюється стаціонарний стан зі стійким розподілом у реальному просторі. На дифузійній стадії релаксація передем-пфованого осцилятора може бути описана за допомогою дробового кінетичного рівняння Ейнштейна - Смолуховського.

Для слабкозатухаючого осцилятора методом, аналогічним тому, який застосовується у теорії броунівського руху, отримано дробове кінетичне рівняння для функції розподілу, що залежить від повільно мінливих (на періоді коливань) змінних :

У підрозділі 3.5 досліджується рівняння Фоккера - Планка для частинок, які обертаються під дією шуму Леві:

У підрозділі 3.6 досліджено задачу про аномальну супердифузію на напівнескінченній осі. Показано, що варто розрізняти поняття часу прибуття в задану точку (заданий інтервал) і часу першого проходження. Для броунівського руху ці часи однакові. У випадку аномальної дифузії, для якої характерні великі стрибки (“польоти Леві”), ці часи розрізняються. Для розрахунку часу прибуття в початок координат використовується рішення просторового дифузійного рівняння методом потенціалів:

(“fa”= “first arrival”). Далі в підрозділі показано, що метод відображень, який застосовується при розрахунку часу першого проходження в теорії броунівського руху, у задачі про супердифузію приводить до наступної асимптотичної поведінки густини імовірності часу першого проходження: (“im” = “image”). Цей результат не узгоджується з теоремою Спарре Андерсена, відповідно до якої асимптотика густини імовірності часу першого проходження не залежить від показника Леві. Таким чином, метод відображень не може бути застосований для випадку аномальної дифузії Леві. Причиною цього є нело-кальний характер оператора дробової просторової похідної.

У підрозділі 3.7 дробове рівняння Фоккера - Планка отримано і дослі-джується для зарядженої частинки в постійному магнітному і стохастичному електричному полі, що розподілено за стійким законом Леві:

= eB/mc, , D = eD/m, D - інтенсивність шуму Леві, - коефіцієнт лінійного тертя, - дробова похідна Рисса по швидкості. Така задача є узагальненням задачі про броунівську заряджену частинку і була стимульована результатами обробки даних експериментів на торсатроні, що описані в підрозділі 2.5. Рівняння (4) дозволяє досліджувати особливості дифузії і релаксації, які зумовлені негауссівською статистикою Леві випадкового електричного поля. Отримано загальний розв'язок цього рівняння, вивчено властивості стаціонарних станів для дво - і тривимірних рухів. Знайдено немаксвелівські стаціонарні стани, для яких функції розподілу за швидкостями є стійкими розподілами Леві. Отримано функції розподілу за енергією, що мають степеневі асимптотики: , 0 < < 2. Вивчено дифузійну стадію релаксації, обчислені моменти просторового зсуву, і знайдено аномальну залежність характерного зсуву від часу і магнітного поля, , q < . Отже, дифузія, яка описується дробовим рівнянням Фоккера-Планка, є аномальною за часом і залишається класичною за магнітним полем. Представлено результати числового моделювання, яке засновано на розв'язку рівнянь Ланжевена для зарядженої частинки в постійному магнітному полі і випадковому електричному полі. Ці результати знаходяться в кількісному узгодженні з аналітичними розрахунками.

У підрозділі 3.8 розглядаються нові кінетичні рівняння, що містять дробові похідні, які проінтегровані по порядку дробової похідної (розподілені дробові похідні). Такі рівняння введені для дослідження складних дифузійних і релаксаційних явищ, що не можуть бути описані в рамках теорії самоафінних (фрактальних) процесів.

Дробове кінетичне рівняння Ейнштейна - Смолуховського із розподіленою часовою дробовою похідною має вид:

- позитивна константа, [] = сек, а оператор є оператором, що входить у праву частину рівняння Ейнштейна - Смолуховського. Дробова похідна в лівій частині розуміється у сенсі Капуто,

p() - безрозмірна невід'ємна функція порядку часової дробової похідної, що має значення функції розподілу, . У підрозділі доведено, що розв'язок рівняння (5) є функцією розподілу (тобто, розв'язок невід'ємний і нормований на 1), а випадковий процес, функція розподілу якого задовольняє дифузійному рівнянню з розподіленою часовою похідною, є підпорядкованим вінерівському процесу з використанням операційного часу.

Рівняння (5) дозволяє описати різні повільні кінетичні процеси. У підрозділі докладно розглядаються два випадки:

1. Субдифузія з уповільненням. При цьому в (5) , де 0 < ₁ < ₂ 1, B₁ > 0, B₂ > 0. Середньоквадратичне зміщення

де = ₂ при малих t і = ₁ при великих t. Показано, що така поведінка реалізується в моделях випадкового блукання з двома типами пасток для частинок, у яких випадкові часи захоплення зв'язані з випадковою висотою бар'єра законом Ареніуса і розподілені за степеневими законами з показниками, відповідно, -1- ₂ і -1- ₁.

2. Ультраповільна дифузія і релаксація. При цьому , . Закон дифузії при великих t має вид

Часові моди, що відповідають власним функціям і власним значенням _n оператора Фоккера-Планка, затухають за логарифмічним законом:

Показано, що такі ультраповільні процеси реалізуються в системах з “глибокими” пастками, що мають дуже широкі функції розподілу часу перебування в пастці: .

У підрозділі також запропоновано і розглянуто інше кінетичне рівняння - дробове дифузійне рівняння з розподіленою просторовою похідною:

, l і D - розмірні позитивні константи, [l] = см, [D] = см²/сек, A - безрозмірна ненегативна функція . Доведено позитивність розв'язку рівняння (6) і розглянуто процес супердифузії з прискоренням, при якому характерний зсув росте як при малих часах і як при великих часах, q<₁<₂.

У підрозділі 3.9 запропоновано кінетичне рівняння для опису “обрізаних” (“truncated”) процесів Леві, розподіли яких мають швидко спадаючі асимптотики. Таке рівняння є окремим випадком рівняння з розподіленою просторовою дробовою похідною:

C - масштабний фактор. Отримано розв'язок цього рівняння і доведено, що він є функцією розподілу. Рівняння описує процес нормальної дифузії: . Однак, у проміжному діапазоні часів і масштабів поведінка цього процесу цілком аналогічна звичайному руху Леві. Асимптотика розв'язку при великих x має вид де , і, отже, дисперсія скінченна. Таке рівняння може бути застосовано для опису еволюції функції розподілу флуктуацій потенціалу та електричного поля в граничній плазмі токамака ADITYA. В експерименті, проведеному на цій установці, було показано, що на малих часових інтервалах функції розподілу флуктуацій мають степеневі асимптотики і відносяться до областей притягання стійких розподілів з показниками Леві в діапазоні від 1 до 2, а при великих часових інтервалах ці розподіли стають гауссівськими. На рис.3 ліворуч приведено приклад часової

Рис.3. Ліворуч - ймовірність повернення в початок координат, яка отримана із рівняння (7). Праворуч - аналогічна величина, отримана в експерименті на токамаці ADITYA (малюнок з роботи Jha R. et al. // Phys. Plasmas. - 2003. - Vol.10, №3. - P.699-704).

залежності величини f(0,t) (імовірність повернення в початок координат) для параметрів = D = C = 1. Така поведінка аналогічна експериментальним за-лежностям, наведеним праворуч з оригінальної роботи. В експерименті на ADITYA ці параметри, також, як і в експерименті на У-3М, змінюються в залежності від положення зондів. Зважаючи на те, що за останні два роки аналіз експериментів на інших установках (Heliotron J, Л-2М, TJ-II) також дозволив зробити висновок про статистику Леві флуктуацій, можна заключити, що кінетичні рівняння із розподіленими похідними можуть бути застосовані для опису еволюції функцій розподілу флуктуацій потенціалу та електричного поля, вимірюваних у граничній плазмі різних термоядерних пристроїв.

Четвертий розділ присвячений аналізу стохастичних систем, що знаходяться в зовнішніх нелінійних полях під впливом шумів Леві з показниками в діапазоні 1 < 2, що становить інтерес з погляду застосувань. Нелінійні задачі є новими для теорії руху Леві і являють собою природне узагальнення нелінійного броунівського руху. Дослідження їх важливе з погляду розвитку теорії плазмових явищ переносу в турбулентній плазмі у наближенні ведучих центрів у схрещених неоднорідному електричному та магнітному полях, а також з точки зору статистичної фізики відкритих систем з негауссівською статистикою. Такі нелінійні системи представляють також інтерес для радіофізичних застосувань (пристрої, піддані впливу шумів, що містять великі викиди).

У підрозділі 4.1 досліджуються властивості стаціонарних функцій розподілу в полях з потенціалами виду . Унаслідок негауссівської статистики шуму стаціонарні розподіли не будуть розподілом Больцмана. Задача зводиться до дослідження розв'язків звичайного диференціального рівняння порядку 2m + 1 для характеристичної функції :

Для шуму Леві, показник якого дорівнює 1 (розподіл Коші) були отримані стаціонарні функції розподілу f(x) для m = 1, 2. З виразу для m = 1 випливає, що стаціонарний розподіл демонструє дві незвичайні властивості: по - перше, він має швидко спадаючі степеневі асимптотики так, що дисперсія існує, на відміну від дисперсії шуму Леві; по - друге, ця функція бімодальна, тобто, має два максимуми і локальний мінімум у нулі. Для випадку довільних і m були отримані часткові розв'язки рівняння (8) для характеристичної функції і степеневі асимптотики функції розподілу:

Загальний розв'язок рівняння (8) отримано аналітично для випадку m = 1 і довільних . Обернене числове перетворення Фур'є продемонструвало швидко спадаючі степеневі асимптотики і бімодальність розподілів для всього розглянутого діапазону значень .

Найбільш яскраво властивість бімодальності виражена в розподілі з = 1. Зі збільшенням бімодальні профілі ``згладжуються'', і при = 2 розподіл стає унімодальним.

Нарешті, у цьому підрозділі дві характерних властивості стаціонарних функцій розподілу сформульовані та аналітично доведені для потенціалів більш загального виду , а саме, 1) стаціонарні функції розподілу не є унімодальними при c > 2, і

2) при c 2 стаціонарні функції розподілу мають степеневі асимптотики , де = + c - 1, а C є універсальна константа (9), що не залежить від c. Таким чином, для кожного значення показника Леві існує “критичне” значення c_cr = 4 - таке, що при c < c_cr дисперсія <x²> нескінченна, а при c > c_cr дисперсія скінченна. Твердження 1) доводиться з використанням “гіперсингулярного” зображення дробової похідної Рисса, а твердження 2) - за допомогою зображення через ліво - і правобічні похідні Римана - Ліувілля.

Унаслідок того, що стаціонарна функція розподілу в полі унімодальна, а стаціонарна функція в полі бімодальна, для нелінійної системи з потенціалом виду , повинний існувати перехід у стаціонарному стані з унімодального в бімодальний стан при збільшенні степеня ангармонічності. У підрозділі 4.2 знайдено критичне значення параметра b для такого переходу. Бімодальність виникає як результат комбінації двох умов: аномальності шуму, розподіленого за стійким законом Леві, і ангармонічності функції потенціальної енергії.

Унаслідок того, що стаціонарні функції розподілу бімодальні, існує біфуркація з унімодального в бімодальний стан у процесі еволюції, якщо в початковий момент часу розподіл зосереджений на початку координат. У цьому підрозділі побудовано загальний розв'язок нестаціонарного рівняння для ха-рактеристичної функції:

- характеристична функція стійкого процесу Леві (звичайного руху Леві), символ означає згортку, U_k - оператор, що визначається видом потенціальної енергії U і, у загальному випадку, виражається через дробові похідні Римана - Ліувілля в k - просторі. За допомогою (10) знайдено аналітично час біфуркації t₁₂ з унімодального в бімодальний стан для випадку c = 4, коли .

Цей час визначається з умови існування точки перегину у функції f(x,t) при x = 0: . На рис.5 крапками показана “точна” залежність часу біфуркації від , яка отримана з числового розв'язку дробового рівняння, у якому використано зображення Грюнвальда - Лєтнікова для дробової похідної Рисса, пунктирною лінією показана теоретична крива, отримана з урахуванням членів n = 0, 1 у (10), а суцільною лінією - крива з урахуванням n = 0, 1, 2. Слід зазначити, що друге наближення, як і “точна” залежність, демонструє мінімум на кривій t₁₂().

Числовий аналіз дозволив також знайти метастабільний стан у процесі еволюції, у якому функція розподілу має три максимуми (тримодальний стан). Такі стани спостерігалися в сильно нелінійних полях з показниками c > 4. При цьому в процесі релаксації спочатку спостерігається біфуркація з унімодального в тримодальний стан, а потім - друга біфуркація з тримодального в бімо-дальний стан. Різні режими еволюції і стаціонарних станів зображені на рис.6.

Область значень, для яких дисперсія нескінченна, заштрихована. В області c 4 відбувається одна біфуркація. В області c > 4 відбуваються дві біфуркації. У стаціонарному стані функція розподілу бімодальна.

магнітоактивний плазма стохастичний спіральний

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

На основі проведеного в дисертації теоретичного і числового аналізу аномальних явищ релаксації і переносу при інтенсивних випадкових впливах, можна зробити наступні найбільш важливі висновки.

1. Уперше побудована лінійна теорія генерації дрейфовою турбулентністю і турбулентністю хвиль Росбі великомасштабних полів шляхом механізму негативної в'язкості. Показано, що турбулентність градієнтно-дрейфових хвиль у плазмі і турбулентність хвиль Росбі в атмосфері (і/чи океані) приводить до ефектів негативної в'язкості, аналогічним нестійкості колмогорівської течії та ефекту негативної в'язкості в звичайній (не провідній) рідині. При цьому в середовищі розвивається нестійкість і генеруються структури з характерними розмірами набагато більшими за характерні розміри турбулентних хвильових рухів. Цей ефект виникає, коли інтенсивність хвильових рухів перевищує критичне значення, зумовлене іонною в'язкістю в плазмі чи молекулярною в'язкістю в атмосфері. У провідній рідині виникають ефекти негативної кінематичної в'язкості і негативної магнітної в'язкості, що приводять до генерації великомасштабних рухів рідини і великомасштабного магнітного поля. Анізотропні дрібномасштабні поля, що є магнітогідродинамічними аналогами колмогорівської течії в звичайній рідині, приводять до генерації великомасштабних полів, якщо амплітуди дрібномасштабних полів перевищують критичні значення, зумовлені кінематичною і магнітною в'язкістю провідної рідини.

2. Виявлено ефекти аномального переносу в середовищах зі спіральною турбулентністю. Показано, що в середовищі з неоднорідною осередненою течією внаслідок наявності спіральності турбулентності виникає ефект аномального конвективного переносу пасивної домішки, швидкість якого визначається густиною спіральності турбулентності, а напрямок аномального потоку перпендикулярний напрямку осередненої течії. Стохастичне ізотропне електромагнітне поле, що має спіральність, генерує кутовий момент у плазмі, що має середній імпульс. Електронний потік з неоднорідним профілем швидкості, що знаходиться під впливом випадкового спірального електромагнітного поля, генерує поперечний електронний потік, що має спіральність.

3. Отримано вирази для внеску інтеграла великомасштабних флуктуацій у явища переносу в магнітоактивній плазмі. Вони дозволяють проаналізувати аномальні потоки частинок і тепла, а також, турбулентні частоти зіткнень уздовж і впоперек зовнішнього магнітного поля, викликані низькочастотними довгохвильовими електростатичними флуктуаціями в слабко - і сильнозіткненній плазмі для умов різних експериментів.

4. Показано, що врахування нелінійної взаємодії флуктуацій параметра порядку в шаруватих високотемпературних надпровідниках у зовнішньому магнітному полі, уперше проведений методом наближення прямої взаємодії, приводить до пригнічення флуктуаційної провідності вище критичної температури.

5. За допомогою моделей звичайного руху Леві, дробового броунівського руху і дробового руху Леві, що є інструментом для моделювання природних процесів, а також для тестування та удосконалення методів аналізу та інтерпретації експериментальних даних, в дисертації були уперше виявлені аналітично і підтверджені в числовому моделюванні ефекти “помилкової мультиафінності” і “псевдогауссівські” співвідношення.

6. Уперше у фізиці плазми для аналізу функції розподілу флуктуацій іонного струму насичення і потенціалу, що плаває, виміряних ленгмюрівськими зондами в граничній плазмі торсатрона УРАГАН-3М, був застосований метод процентилей і уперше виявлено, що ці функції розподілу відносяться до класу стійких розподілів Леві. Два параметри симетричних стійких розподілів - показник Леві і масштабний множник, - є кількісними характеристиками переміжності турбулентності в граничній плазмі торсатрона.

7. На основі дробових кінетичних рівнянь Фоккера - Планка і Ейнштейна - Смолуховського у дисертації уперше побудовано послідовну теорію лінійних стохастичних систем під дією негауссівських шумів Леві і систематично досліджено дві стадії релаксації - кінетична і дифузійна для процесу релаксації при відсутності зовнішнього поля, а також, для різних типів осциляторів і для обертального руху. Проведений у дисертації аналіз підбиває підсумок етапу розвитку лінійної теорії звичайного руху Леві і демонструє роль випадкових взаємодій з навколишнім середовищем, що моделюються шумом Леві і не можуть бути описані в рамках теорії броунівського руху.

8. Уперше показано, що метод відображень, який широко використується у теорії броунівського руху, не може бути застосований в теорії аномальної супердифузії в обмеженому просторі, що описується дробовим дифузійним рівнянням із просторовою дробовою похідною. Виявлено, що для супердифузії варто також розрізняти час першого прибуття в задану точку (заданий інтервал) і час першого проходження через цю точку. Причиною цих відмінностей аномальної дифузії від нормальної дифузії є нелокальний характер дробової просторової похідної, що відбиває існування великих стрибків (“польотів Леві”) у процесі дифузії.

9. Уперше для опису руху зарядженої частинки в постійному магнітному полі і стохастичному електричному полі запропоновано дробове рівняння Фоккера-Планка. Це рівняння дозволяє досліджувати особливості процесу релаксації, які зумовлені негауссівською статистикою Леві випадкового електричного поля. Аномальний процес релаксації характеризується стійкими немаксвеллівськими стаціонарними розподілами Леві за швидкістю, повільно спадаючими степеневими асимптотиками функції розподілу за енергією, а також аномальною залежністю від часу і класичною залежністю від магнітного поля для характерного зсуву пробної зарядженої частинки.

10. Для опису аномальних релаксаційних процесів, часовий показник яких сам залежить від часу, уперше запропоновані кінетичні рівняння, у яких дробові похідні по простору і часу інтегруються по порядку похідної (розподілені дробові похідні). Показано, що дифузійне рівняння з розподіленою часовою дробовою похідною описує субдифузійний випадковий процес, часовий показник якого зменшується з часом (субдифузія з уповільненням), а також, ультраповільні випадкові процеси, що характеризуються логарифмічними законами дифузії і релаксації. Дано вивід цього рівняння з моделі випадкового блукання частинок у середовищі з “пастками”. Показано, що дифузійне рівняння з розподіленою просторовою похідною описує супердифузійний випадковий процес, часовий показник якого зростає з часом (супердифузія з прискоренням).

11. Уперше запропоновано і досліджено дифузійне рівняння з розподіленою просторовою похідною для опису “обрізаних” процесів Леві. Показано, що на малих часах і масштабах це рівняння описує процес, властивості якого цілком збігаються з властивостями звичайного руху Леві, а на великих масштабах функції розподілу цих процесів мають швидко спадаючі степеневі асимптотики. На великих часах це рівняння описує гауссівський випадковий процес. На прикладі експериментів у плазмі токамака ADITYA продемонстровано, що такі кінетичні рівняння можуть бути застосовані для опису еволюції функцій розподілу флуктуацій потенціалу та електричного поля, вимірюваних у граничній плазмі термоядерних пристроїв.

12. Уперше поставлено і розв'язано задачі про процеси релаксації і стаціонарні стани для нелінійних стохастичних систем під дією негауссівських шумів Леві з показником , 1 < 2, у потенціалах виду . Виявлено, що стаціонарні функції розподілу є бімодальними при c > 2, і мають степеневі асимптотики , де = + c - 1, а C₁() є “універсальна” константа, що не залежить від c. Тому дисперсія є скінченною при .

13. Уперше виявлено перехід з унімодального в бімодальний стан для стаціонарної функції розподілу в полі з потенціальною енергією , при зміні параметрів a і b. Бімодальність виникає як результат комбінації двох умов: аномальності шуму, розподіленого за стійким законом Леві, і ангармонічності функції потенціальної енергії.

14. Уперше показано, що в нелінійних стохастичних системах, які описуються дробовим просторовим кінетичним рівнянням Ейнштейна - Смолуховського з потенціалом , відбувається біфуркація з унімодального в бімодальний стан у процесі релаксації при 2 < c 4. У процесі релаксації в потенціалах із c > 4 існує метастабільний стан, що характеризується трьома максимумами функції розподілу (тримодальний стан).

Одержані наукові результати дозволили сформувати новий напрямок в нерівноважній статистичній фізиці - “Теорія явищ релаксації та переносу в стохастичних системах з негауссівськими шумами Леві”.

ОСНОВНІ МАТЕРІАЛИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В РОБОТАХ

1. Чечкин А.В. К теории аномальной проводимости и диффузии слабоионизованной плазмы в магнитном поле // Изв. вузов. Радиофизика. - 1990. - Т. 32, №1. - С. 35-42.

2. Чечкин А.В. Аномальные потоки частиц и тепла в слаботурбулентной столкновительной плазме // Физика плазмы. - 1990. - Т. 16, №6. - С. 710-716.

3. Сергеева Г.Г., Чечкин А.В. Нелинейные флуктуации параметра порядка и подавление парапроводимости в магнитном поле // Физика низких температур. - 1991. - Т. 17, №2. - С. 210-215.

4. Tur A.V., Chechkin A.V., Yanovsky V.V. Negative Viscosity and Generation of Dissipative Solitons and Zonal Dossipative Structures by Drift Waves // Physics of Fluids B. - 1992. - V.4, №11. - P. 3513-3523.

5. Chechkin A.V., Tur A.V., Yanovsky V.V. Kinetic Effects in Stochastic Topologically Nontrivial Field // Physica A - 1994. - V.208, №3-4. - P. 510-522.

6. Chechkin A.V., Tur A.V., Yanovsky V.V. Plasma Kinetic Effects in Stochastic Helical Field // Physics of Plasmas. - 1994. - V.1, №8. - P.2566-2573.

7. Chechkin A.V., Schertzer D., Tur A.V., Yanovsky V.V. Generalized Fokker-Planck Equation for Anomalous Diffusion // Український фізичний журнал. - 1995. - Т. 40, №5. - С. 434-439.

8. Chechkin A.V., Kopp M.I., Tur A.V., Yanovsky V.V. Negative Viscosity for Rossby Wave and Drift Wave Turbulence // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1998. - Т. 113, №2. - С. 646-663.

9. Chechkin A.V., Tur A.V., Yanovsky V.V. Anomalous Flows of Passive Admixture in Helical Turbulence // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. - 1998. - V.88. - P.187-213.

10. Chechkin A.V. Generation of Magnetic Fields in a 2D Magnetic Fluid in the Presence of Small - Scale Spatial - Periodic Perturbations // Український фізичний жур-нал. - 1999. - Т.44, №6. - С. 712-717.

11. Chechkin A.V. Negative Magnetic Viscosity in Two Dimensions // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1999. - Т. 116, №4(10). - С. 1264 - 1286.

12. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu. Self and spurious multi - affinity of ordinary Levy motion, and pseudo - Gaussian relations // Chaos, Solitons & Fractals. -- 2000. - Vol.11, №14. - P.2379-2390.

13. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu. A Model for Persistent Levy Motion // Physica A. - 2000. - Vol.277, №3-4. - P.312-326.

14. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu. Linear Relaxation Processes Governed by Fractional Symmetric Kinetic Equations // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2000. - Т. 118, №3(9). - С. 730-748.

15. Chechkin A.V. Fractional Kinetic Equations for Superdiffusion // Український фізичний журнал. - 2000. - Т. 45, №12. - С. 1491 - 1497.

16. Yanovsky V.V., Chechkin A.V., Schertzer D., Tour A.V. Lйvy Anomalous Diffusion and Fractional Fokker - Planck Equation // Physica A. - 2000. - V. 282, №1-2. - P.13-34.

17. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu. Two-Dimensional Force-Free Relaxation and Superdiffusion Governed by Fractional Kinetic Equations // Open Systems and Information Dynamics. - 2000. - V.7, №4. - P. 375-390.

18. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu. Fractional Brownian Motion Approximation Based on Fractional Integration of a White Noise // Chaos, Solitons & Fractals. - 2001. - V.12, №2. - P.391-398.

19. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu. Lйvy Motion of a Plane Rotator // Український фізичний журнал. - 2001. - Т. 46, №11. - С. 1213-1217.

20. Гончар В.Ю., Танатаров Л.В., Чечкин А.В. Стационарные решения дробного кинетического уравнения со степенным симметричным потенциалом // Теоретическая и математическая физика. - 2002. - Т. 131, №1. - С. 162-176.

21. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Szydіowsky M. Fractional Kinetics for Relaxation and Superdiffusion in Magnetic Field // Physics of Plasmas. - 2002. - V.9, № 1. - P.78-88.

22. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L.V. Stationary States of Non-Linear Oscillators Driven by Lйvy Noise // Chemical Physics. - 2002. - Vol.284, №1-2. - P.233-251.

23. Chechkin A.V., Gorenflo R., Sokolov I.M. Retarding subdiffusion and accelerating superdiffusion governed by distributed order fractional diffusion equations // Physical Review E. - 2002. - V.66, № 4. - Article 046129. - P.1-7.

24. Chechkin A.V., Klafter J., Gonchar V.Yu., Metzler R., Tanatarov L.V. Bifurcation, bimodality and finite variance in confined Lйvy flights // Physical Review E. - 2003. - V.67, № 1. - Article 010102(R). - P.1-4.

25. Гончар В.Ю., Чечкин А.В., Сороковой Э.Д., Чечкин В.В., Григорьева Л.И., Волков Е.Д. Устойчивые распределения Леви для флуктуаций плотности и потенциала в граничной плазме торсатрона // Физика плазмы. - 2003. - Т. 29, №5. - С. 413-423.

26. Chechkin A.V., Klafter J., Sokolov I.M. Fractional Fokker-Planck equation for ultraslow kinetics // Europhysics Letters. - 2003. - V.63, №3. - P.326-332.

27. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu. Fractional Kinetics for Anomalous Diffusion and Relaxation // Український фізичний журнал. - 2003. - Т. 48, №7. - С.714-724.

28. Chechkin A.V., Metzler R., Gonchar V.Yu., Klafter J., Tanatarov L.V. First passage and arrival time densities for Lйvy flights and the failure of the method of images // Journal of Physics A. - 2003. - V.36. - №41. - P. L537-L544.

29. Chechkin A.V., Gorenflo R., Sokolov I.M., Gonchar V.Yu. Distributed order time fractional diffusion equation // Fractional Calculus and Applied Analysis. - 2003. - V.6, №3. - P.259-279.

30. Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L.V. Lйvy flights in a steep potential well // Journal of Statistical Physics. - 2004. - V.115, №5/6. - P.1527-1557.

31. Sokolov I.M., Chechkin A.V., Klafter J. Fractional Diffusion Equation for a Power-Law-Truncated Lйvy Processes // Physica A. - V.336, №3-4. - P.245-251.

32. Sokolov I.M., Chechkin A.V., Klafter J. Distributed - Order Fractional Kinetics // Acta Physica Polonica B. - 2004. - V.35, №4. - P. 1323-1342.

Размещено на Allbest.ru