Квантова та статистична механіка систем із дробовою статистикою

П'ятийрозділ є першим здвох, що присвячені статистичній механіці татермодинаміці з дробовоюстатистикою. Тут розглядаються ідеальні еніони, якодного, так і багатьох сортів.Основне питання подібне до того, що ставилося увідношенніквантовомеханічних спектрів: яким чином відбуваєтьсяінтерполяція між бозонною таферміонною термодинамікою? За яких умов газеніонів “схожий” на бозе-газ, заяких - на фермі-газ?

В цій роботі обмежуємосьвипадком високих температур,де можна застосувати інформацію про спектрисистем декількох частинок.Знання багаточастинкових статистичних сум доN-го порядку включно даєможливість обчислити кластерні коефіцієнти(розклад тиску по ступеняхактивності) та віріальні коефіцієнти (розкладтиску по ступенях густини) доN-го порядку. Схему обчислень наведено впідрозділі 5.1. Оскільки задачадвох еніонів вирішується точно, вираз для другоговіріального коефіцієнтавідомий [45]: (тут і далі, всівіріальні коефіцієнти обезрозмірені: A_N = lambda^-2Na_N, де a_N -розмірний коефіцієнт, lambda = sqrt2pіbeta/m -теплова довжина хвилі). Рівняння(15)справедливе при 0 leq alpha leq 2 та має бути періодично подовженеповз цей інтервал. Те, що похіднаdA_2(alpha)/dalpha зазнає розриву при alpha=0, є наслідкомтого, що такого ж розривузазнають похідні енергій деяких рівней. Це, в своючергу, викликано наявністюточок загострення в деяких хвильових функційпри alphato0.

В підрозділі 5.2обчислюється третій віріальний коефіцієнт [11].На основі попередньогообчислення цього коефіцієнта за методомМонте-Карло, Мірхеймом таОлауссеном було висунуто гіпотезу [46], що формула є точною. Ця формулаузгоджується з пертурбативнимрезультатом другого порядку,що був отриманий раніше [47,48]. Внашій роботі проведенообчислення A_3(alpha) на основі розрахованого спектрутрьох частинок в гармонічномупотенціалі (підрозділ 1.4). В такомубезпосередньому обчисленністатистичної суми з необхідністю присутнє обрізанняпо енергії (враховуються лишерівні, енергія яких не перевищує деякоївеличини cal E, тобто скінченнечисло їх). Оскільки віріальні коефіцієнтиобчислюються втермодинамічній границі, коливідношення гармонічної частотидо температури прямує до нуля,таке обрізання призводить, здавалося б, добезглуздого результату - бочисло рівнів, котрі потрібно врахувати, абиотримати статистичну суму ізнаперед заданою точністю, в границі, щорозглядається, прямує донескінченності. Однак знання загальної структуриспектру, викладені впідрозділі 1.2, дозволяють досягти дуже високоїточності навіть за не дужевисокого значення параметру обрізання cal E. Для цього наоснові структури спектрувиводиться асимптотичний вираз длястатистичної суми в залежностівід параметру обрізання, Z(cal E), в який підставляютьсязначення Z, отримані за різнихзначень cal E, та проводиться екстраполяціядо cal Etoіnfty. Результатом є вираз длятретього віріального коефіцієнта,похибка якого на чотирипорядки менша від похибки монтекарлівськогообчислення.

Таким чином,гіпотезу (16)спростовано. Форма виразу (17)дозволяє зробити припущення, що A_3(alpha) являє собою рядФур'є по alpha, який швидкозбігається. В усякому разі, немає жодних сумнівів втому, що третій віріальнийкоефіцієнт еніонів є скінченним.

Підрозділ 5.3 міститьобчислення четвертого віріальногокоефіцієнта [15]. Оскільки досягти необхідної точності вбезпосередньому обчисленністатистичної суми (для якого потрібно було бзнайти спектр чотирьохеніонів) було б вкрай важко, був застосованийметод Монте-Карло. Ідеяобчислення полягає в наступному. Статистична сумаподається як інтеграл зазамкненими шляхами в уявному часі. Тотожністьчастинок означає, що замкненийшлях може бути таким, що призводить доперестановки частинок, тобтотопологічно нетривіальним. Загалом, кожен такийшлях характеризуєтьсяпопарними числами обертів (англ. wіndіngnumbers), що їх одначастинка з вибраної пари робить навколо другої.Легко довести, що внесоккожного окремого шляху еніонів добагаточастинковоїстатистичної суми дорівнюєвнеску того самого шляху для бозонів,помноженому на величину exp(sum_іjrmіalpha Q_іj), де Q_іj - число обертів пари (іj). Такимчином, повна статистична сумаZ_N(alpha) являє собою фур'є-образ розподілуймовірностей сум попарнихчисел обертів в системі N частинок. Звідси й випливаєалгоритм обчислення за методомМонте-Карло. Симулюються окремі шляхи наоснові бозонного пропагатора,для кожного з них підраховується сумарнечисло обертів, що призводить дорозподілу ймовірностей. Це, в свою чергу, даєзмогу обчислити кластерні тавіріальні коефіцієнти, знов-таки до тогопорядку, до якого обчисленостатистичні суми.

Оскількистатистична сума двох еніонів відома точно,зворотне перетворення Фур'єдає точний результат для розподілу ймовірностейчисел обертів для двохчастинок. В задачі багатьох тіл має сенс розглянутинаближення двохчастинковихкореляцій, в якому ймовірності чиселобертів для пар (1,2) та (1,3)вважаються незалежними. Втакому наближенні можуть бути обчислені розподілиймовірностей, а отже кластерніта віріальні коефіцієнти. Результатвиявляється вкрай простим таприродним: другий віріальний коефіцієнтдається рівнянням (15), а всі інші не залежать відстатистики. Таким чином,відхилення третього та вищих віріальинх коефіцієнтіввід константи є міроювідхилення від наближення двохчастинковихкореляцій. Результат длятретього віріального коефіцієнта співпадає, вграницях похибки (яка для цьогометоду при порівняних затратах комп'ютерногочасу є набагато більшою), з(17).Вираз длячетвертого віріального коефіцієнта, аби узгоджуватисьіз теорією збурень другогопорядку [48], повинен мати вигляд де c_4,d_4 - невідомікоефіцієнти. Апроксимація заметодом найменших квадратів, з оцінкою похибок задопомогою chі^2, даєрезультати.

Ймовірно, ряд длячетвертого віріального коефіцієнтанасправді є нескінченним; аленемає сумніву, що сам коефіцієнт є скінченним забудь-яких alpha.

В підрозділі 5.4[19] йдеться протермодинаміку еніонівбагатьох сортів. Загальна схема розрахунків будуєтьсяза аналогією з випадкомтотожних частинок. За наявності s сортівчастинок, знання статистичноїсуми Z_N_1... N_s та всіх сум нижчих порядків (тобто всіх Z_n_1... n_sіз n_1leq N_1, ..., n_sleq N_s) дає змогу обчислитикластерні та віріальні коефіцієнти аждо порядку N_1 + ... + N_s. Мішанівіріальні коефіцієнти дають уяву про кореляціїміж різними сортами частинок.Оскільки задача двох еніонів, щорозрізняються, вирішуєтьсяточно, вираз для коефіцієнта (1+1)-го порядку також єточним.

Те, що вінобертається в нуль при alpha_12 = 0 та alpha_12 = 1, свідчить провідсутність кореляцій міжчастинками різних сортів в стандартному випадку. Вроботі обчислюються мішанікоефіцієнти третього порядку, A_111 та A_21, методомМонте-Карло за схемою,аналогічною тій, що її застосовано в попередньомупідрозділі. Статистична сумаявляє собою перетворення Фур'є відбагатовимірного розподілуймовірностей чисел обертів (числа для різних засортами пар рахуються окремо).Так само як для тотожних частинок, можливосформулювати наближенняпарних кореляцій. В цьому наближенні всі віріальнікоефіцієнти третього порядкута вище не залежать від статистики; такимчином, всі мішані віріальнікоефіцієнти, окрім A_11, дорівнюють нулю. Міроювідхилення від цьогонаближення є коефіцієнти A_111 та A_21. На рис. 3, 4 наведенорезультати для цих двохкоефіцієнтів (для першого - в окремому випадку, колиодин з трьох статистичнихпараметрів дорівнює нулю).

Статистичнамеханіка та термодинаміка для різновидівдробової статистики, відміннихвід ідеальних еніонів, розглядається вшостомурозділі. Підрозділ 6.1 присвячений еніонамскінченного розміру[12]. Як відомо зі стандартноїквантової статистичноїмеханіки, на віріальному розкладі позначаєтьсяхарактер міжчастинковоївзаємодії на відстанях порядку теплової довжинихвилі. Отже, слід очікувати, щоеніони скінченного розміру R будутьтермодинамічно подібні доідеальних еніонів, коли R ll lambda, та до бозонів (в припущенні,що самі по собі частинки єбозонами) в середньому полі, що виникає зарахунок усереднення потоків,коли R gg lambda. Це й продемонстровано шляхом явногообчислення віріальнихкоефіцієнтів. У моделі, де форм-фактор еніонівскінченного розміру маєгаусівський вигляд, f(r) = 1 - exp(-r^2/R^2), в першому порядкутеорії збурень по alpha всікоефіцієнти можуть бути отримані аналітично длябудь-яких R. В термінахбезрозмірного параметра xі = sqrtpіR/lambda, для другоговіріального коефіцієнта маютьмісце такі асимптотичні вирази.

При xі = 0 цевіріальний коефіцієнт еніонів (в першому порядку по alpha),при 1/xі to 0 - віріальний коефіцієнтбозонів у середньому полі.

В підрозділі 6.2 розглядаєтьсятермодинамікаквазітривимірної системи з ефективною дробовоюстатистикою, що розглядалася впершій частині підрозділу 2.3. Вираз для другоговіріального коефіцієнта,знов-таки, в першому порядку теорії збурень по alpha,має вигляд де величина mu єтемпературно усередненою ймовірністюзнаходження частинок в“площині”:

(E^perp_k = pі^2k^2/8mD^2 - енергія k-гостану в перпендикулярному напрямку, w_k = l/D -sіn[(1+l/D)pі k]/pі k - ймовірність, щочастинка в цьому стані знаходиться в “площині”завтовшки l, якщо вона в цьомунапрямку рухається в потенційній ямі розміруD). Цей результат співпадає зінтуїтивно очікуваним: оскільки йдеться продвохчастинкові кореляції,ефективним статистичним параметром є mu^2alpha(статистика змінюється, колиобидві частинки знаходяться в “площині”).

Термодинамікаексклюзійної статистики [7,14] будується впідрозділі 6.3. Одразу розглядається більш загальнийвипадок частинок, щорозрізняються. Постулюється, що визначення Холдейнащодо виключення g_ab станів длячастинок сорту a при додаванні частинки сортуb виконується локально вфазовому просторі. Інакше кажучи, стани, щовиключаються, мають (вмакроскопічній границі) ту саму енергію, що й стан, вякому розміщується частинка,що додається - як це має місце у випадку зістандартним принципом Паулі.Це дає змогу обчислити середні одночастниковічисла заповнення у той самийспосіб, як це стандартно робиться длябозонів або ферміонів:максимізуючи ентропію локально в фазовому просторі.Звідси, в свою чергу, виводитьсявираз для великої канонічної статистичноїсуми, від якого переходимо докластерних та віріальних коефіцієнтів.Останні залежать від густиниодночастинкових станів (закону дисперсії).Важливим окремим випадком єтой, коли ця густина є сталою (прикладом є спектрв одновимірному гармонічномупотенціалі). В цьому випадку мають місцетакі вирази для віріальнихкоефіцієнтів: (в першому рівнянні 2стоїть в позиції a, у другому дві одиниці - впозиціях a та b), а всі іншікоефіцієнти обертаються в нуль. Нагадаємо, щотакий самий результат -віріальний розклад залежить від статистики тільки вдругому порядку - має місце внаближенні двохчастинкових кореляцій дляеніонів багатьох сортів, щорозглядалося в підрозділі 5.4. Таким чином, взазначеному наближенні еніони,з точки зору термодинаміки, ефективнопідкорюються ексклюзійнійстатистиці з параметрами.

Питання про те, чиможливо вивести таку еквівалентність змікроскопічних міркувань,тобто на рівні спектрів, залишається відкритим.

Далі в цьому жпідрозділі обчислюються статистичні суми тарівняння стану для моделі, що їїбуло розглянуто в підрозділі 4.2, виходячи знаведених тамбагаточастинкових спектрів. Доводиться, що вирази длякластерних коефіцієнтівспівпадають з тими, що мають місце дляексклюзійної статистики, як водновимірному, так і в двовимірному випадку. Такимчином, на термодинамічномурівні підтверджується, що спектри, про якійдеться, являють собоюреалізацію визначення ексклюзійної статистики длязаданого одночастинковогоспектру.

Підрозділ 6.4 міститьрезультати з термодинамікиеніонів на найнижчому рівні Ландау [14]. Оскількиодночастинковий спектр відомий точно, є можливимпобудувати точне рівняннястану; результатом є анонсоване вище рівняння(10).Обчислюючи кластерні та віріальні коефіцієнти,відтворюємо натермодинамічному рівні твердження, що його булопродемонстровано на рівніспектрів та за допомогою наближення середнього поля таквазікласичного аргументу(підрозділ 4.3): система, про яку йдеться,підкорюється ексклюзійнійстатистиці.

Далі розглядається режимантиекранування [17]. Починаючи з точного виразу длядругого віріальногокоефіцієнта еніонів в довільному магнітому полі тапереходячи до границі сильногополя, відтворюємо вираз для другоговіріального коефіцієнтаексклюзійної статистики, з g=alpha в режимі екранування(знак поля протилежний знаку alpha)та з g=2-alpha (знак поля співпадає із знаком alpha).Формально цей результатспівпадає з наведеним вище: еніони на найнижчомурівні Ландау підкорюютьсяексклюзійній статистиці. Однак обчислення прискінченному магнітному полі таперехід до границі дозволяє зрозуміти,чому при інфінітезимальнійзміні alpha (перехід від alpha = 0^+ до alpha = 0^-) термодинамічнівластивості системизмінюються стрибком. Вважаючи магнітне полевід'ємним, та позначаючи x=betaomega_rm c, деomega_rm c - циклотронна частота, при великих x маємо (режимантиекранування). Очевидно, в останньому виразі маєзначення порядок переходів дограниць xtoіnfty та alpha to 0^-. Якщо x є великим, алескінченним, a_2 залишаєтьсянеперервним при переході alpha через нуль, бо 1-rme^2alpha x прямуєдо нуля, коли alpha to 0^-. Але якщограниця xtoіnfty береться першою, вираз (ref64:26)перетворюється на

що співпадає із (32)після заміни alpha на alpha-2. Неперервність по alphaпорушується. Віріальнікоефіцієнти вищих порядків при скінченномумагнітному полі невідомі, алезі знання загальної структури спектру випливає, що йдля них буде мати місце подібнакартина: коли перехід до границінескінченного магнітного поляробиться до переходу alpha to 0, неперервність по alphaвиявляється порушеною. Цевідбувається за рахунок того, що при alpha to 0^- донайнижчого рівня Ландауприєднується певна кількість станів з енергіями, щопропорційні alphaomega_rm c. Нехтуванняними призводить до втрати неперервності. Такасама ситуація має місце і дляеніонів багатьох сортів.

ВИСНОВКИ

1.Обчислено точні кратності виродженнястанів трьох еніонів іззаданими значеннями енергії та кутового моменту; звеликою точністю та до високихзначень енергії чисельно знайдено спектрсистеми трьох еніонів угармонічному потенціалі. Знанняточних кратностей дозволяєзрозуміти структуру спектру, що інтерполює міжбозонною та ферміонноюграницями; невідомими залишаються тільки точнізалежності енергій нелінійнихстанів від статистичного параметру.Чисельні результати, щоілюструють ці залежності, доповнюють картину. Такимчином, хоча аналітичнообчислити спектр трьох еніонів, як видно,неможливо, отриманомаксимально можливу інформацію про цей спектр. Це, в своючергу, дає змогу обчислитистатистичну суму та термодинамічні поправкитретього порядку до рівняннястану еніонів.

2. Введенопоняття еніонних траєкторій -неперервних залежностей енергетичних рівніввід кутового моменту. Показано,як уявлення про траєкторії спрощуєрозуміння спектру довільногочисла еніонів, та знайдено властивості іпобудовано класифікаціютриеніонних траєкторій. Важливістьпоняття траєкторій полягає втому, що воно ототожнює стани еніонів, котрі завідсутності такого поняттявважалися б різними, і дозволяє описатиспектр довільного числаеніонів за допомогою меншого числа параметрів.Зокрема, всі нелінійні станивиявляються частинами траєкторій, які містять всобі також лінійні стани; точка,де залежність E(L) змінюється з нелінійноїна лінійну, коли L зростає,однозначно ототожнює траєкторію. Поданоквазікласичну інтерпретаціютраєкторій, яка пояснює їхні основнівластивості.

3. Чисельнознайдено третій та четвертийвіріальні коефіцієнти еніонів. Спростованогіпотезу, що існувала раніше,щодо точної формули для третьоговіріального коефіцієнта, таподано свідчення на користь того, всі що віріальнікоефіцієнти еніонів єскінченними. Кластерний тавіріальний розкладидозволяють зробити висновки щодо високотемпературноїповедінки системи, виходячи іззнання спектрів декількох частинок.Апріорі не є очевидним, що такірозклади для еніонів збігаються або взагалііснують; приміром, в наближенні,в якому залежність енергії відстатистичного параметру дляневідомих станів в спектрі трьох еніонівзамінюється лінійною, третійвіріальний коефіцієнт розбігається. Висновок проскінченність віріальнихкоефіцієнтів та їхню поведінку залежно від alphaдозволяє стверджувати, щотермодинамічна поведінка еніонів при високихтемпературах принципово невідрізняється від поведінки бозонів абоферміонів.

4. Побудованокластерний та віріальнийрозклади для еніонів, що розрізняються;чисельно знайдено мішанівіріальні коeфіцієнти третього порядку тазформульовано наближеннядвохчастинкових кореляцій, в якому віріальний розкладмає дуже простийвигляд. Це дозволило простежити впливстатистики частинок, щорозрізняються, на термодинамічні параметри.Відхилення мішаних віріальнихкоефіцієнтів від нуля є чисельною міроюстатистичних кореляцій міжнетотожними частинками. В наближеннідвохчастинкових кореляцій всімішані коефіцієнти вище ніж другого порядку дорівнюютьнулю. Таке наближеннявідповідає ексклюзійній статистиці для частинокбагатьох сортів. Відміна цихкоефіцієнтів від нуля, що її бачимо начисельних результатах, єпоказником відхилення від згаданого наближення.

5. Чисельновирішено задачі (1+2) та (2+1) тіл длясистеми частинок з магнітними домішками.Отримано наближене рівняння,що являє собою умову перетину рівнів дляосновного стану в системі (2+1) тіл.Показано, як наявність домішкивпливає на спектр двох еніонів.Частина станів залишається такими, щоможуть бути знайдені точно(їхня енергія лінійно залежить як відстатистичного параметруеніонів, так і від параметру домішки), частину може бутизнайдено лише приблизно абочисельно. Основний стан є лінійним абонелінійним в залежності відспіввідношення між параметрами еніонів та домішки.Також проаналізовано спектродної частинки з двома домішками взалежності від їхніхпараметрів та від відстані між ними; має місце перетинрівнів, коли параметри домішокспівпадають, та відштовхування рівнів впротилежному випадку. Зробленокрок у напрямку розв'язання математичноїзадачі про розподілімовірностей чисел обертів на площині з виключенимиточками.

6. Отримановирази для віріальнихкоефіцієнтів еніонів скінченного розміру в двохграничних випадках. Обчисленоформ-фактор статистичного параметру уконкретній польовій моделі, деефективно виникають еніони скінченногорозміру. Оскільки дробовастатистика в реальних системах може виникати лишеефективно, за рахуноквзаємодії, точкові еніони є ідеалізацією. Вреальних системах статистичнавзаємодія має скінченний радіус (в моделізарядо-потокових композитів -радіус потоку) та характеризується форм-фактором- конкретною залежністювзаємодії від відстані. Термодинаміка такоїсистеми залежить відспіввідношення між цим радіусом та тепловоюдовжиною хвилі. Показано, що вграничних випадках поведінка системи зводиться,відповідно, до системиідеальних еніонів та системи частинок ізнезміненою статистикою всередньому полі, що виникає від усереднення потоків.Взаємодія із нетривіальнимформ-фактором ефективно виникає в польовихмоделях, де частинкивзаємодіють через калібрувальне поле, лагранжіанякого містить членЧерна-Саймонса разом з іншими членами. В одній з такихмоделей проведено розрахунокформ-фактору в явному вигляді.

7. Послідовнорозроблено теорію збурень дляеніонів. Продемонстровано, як за допомогоюналежного перетворенняхвильової функції “виправити” теорію збурень,тобто позбавитисьсингулярностей у випадку точкових еніонів тазабезпечити рівномірнузбіжність для скінченного розміру. Теоріязбурень, в якій мала змінастатистики розглядається як збурення, зазнаєтруднощів біля бозонноїстатистики, бо хвильова функція має особливуточку при як завгодно малих alpha,але не при alpha=0. Ідея “виправлення” теоріїзбурень полягає в тому, щобізолювати нерегулярний множник у хвильовійфункції та знаходитипертурбативно лише її регулярну частину. Для еніонівскінченного розміру, десингулярність відсутня, така процедура формальноне є необхідною, але вонадозволяє уникнути проблеми, яка полягає в тому,що радіус збіжностістандартної теорії збурень прямує до нуля водночасіз радіусом еніонів (тобто замалих радіусів цю теорію практичнозастосовувати не можна).

8. Розглянутотривимірну модель, в якійефективно виникає дробова статистика.Показано, як скінченнаймовірність знаходження частинок у площині впливає наїхній ефективний статистичнийпараметр, а також продемонстровано, якстатистична взаємодія наплощині може призводити до утворення зв'язанихстанів навіть за відсутностіпотенціалу в перпендикулярному напрямку.Оскількидвовимірність в будь-якій реальній системі єнаближенням, слід очікувати, щоколи вимерзання одного ступеня свободи не єповним, дробова статистика втакій системі повинна виникати приблизно - тимточніше, чим сильнішим є ефектвимерзання. Проведені розрахункиілюструють це твердженнякількісно; в моделі, де частинки знаходяться в площині ізскінченною ймовірністю тапідлягають статистичній взаємодії тільки вцій площині, ефективнийстатистичний параметр виявляєтьсяпропорційним до квадратузазначеної ймовірністі. Показано також, що за певних умовефективна статистичнавзаємодія може призводити до виникненнязв'язаних станів навіть за умов,коли рух в третьому вимірі є вільним.

9. Побудованоквантовомеханічну модельексклюзійної статистики: показано, якийвигляд повинен матибагаточастинковий спектр, аби частинки ефективнопідкорювалися такійстатистиці. Цим результатом дано відповідь напитання: як переходити відодночастинкового спектру добагаточастинкового, якщочастинки підкорюються ексклюзійній статистиці? Інформаціяпро спектр дає змогу зрозуміти,яким повинен бути характер взаємодії, щопризводила б до ефективноговиникнення такої статистики. В одновимірномувипадку для тотожних частинокце зворотно-квадратична взаємодія(модель Калоджеро-Сюзерленда); вдвовимірному випадку таким самим спектромхарактеризуються еніони нанайнижчому рівні Ландау, для яких сильнемагнітне поле означає редукціюодного ступеня свободи.

10. Розробленотермодинаміку ексклюзійноїстатистики. Отримано кластерний та віріальнийрозклади у загальному випадку,як для одного, так і для багатьох сортівчастинок, та встановленозв'язок цієї статистики із моделлю еніонів нанайнижчому рівні Ландау, щоточно розв'язується. Оскільки дляексклюзійної статистики, навідміну від еніонів, зберігається поняття проодночастинкові числазаповнення, рівняння стану для такої статистикиможе бути отримано ваналітичному вигляді. Те, що еніони на найнижчомурівні Ландау підкорюютьсяексклюзійній статистиці, доведено точно тапродемонстровано якісно, внаближенні середнього поля та квазікласично.Проаналізовано такожповедінку системи в режимі екранування (магнітнеполе антипаралельне еніоннимпотокам) та антиекранування (поле паралельнепотокам). Показано, чому перехіддо границі нескінченного магнітногополя викликає порушеннянеперервності рівняння стану за статистичнимпараметром.

Размещено на Allbest.ru