Усереднення диференціальних форм на многовидах складної мікроструктури

Размещено на http://allbest.ru

Національна Академія Наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.03 - математична фізика

УСЕРЕДНЕННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ФОРМ НА МНОГОВИДАХ СКЛАДНОЇ МІКРОСТРУКТУРИ

Виконала Рибалко Антоніна Павлівна

Харків - 2005

АНОТАЦІЯ

Рибалко А.П. Усереднення диференціальних форм на многовидах складної мікроструктури. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2005.

В дисертаційній роботі вивчено задачі усереднення диференціальних форм на многовидах складної мікроструктури.

Досліджено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на ріманових поверхнях, коли їх род зростає. Одержано усереднену модель, що суттєво відрізняється від вихідної.

Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах, що мають складну мікроструктуру. Одержано рівняння, що описують головний член асимптотик. Знайдено усереднену задачу Коші для хвильового рівняння.

Досліджено асимптотичну поведінку розв'язків задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на 4-вимірних многовидах спеціальної структури. Доведено, що густина електричного заряду з'являється в системі рівнянь Максвела в результаті усереднення.

Ключові слова: диференціальні форми, многовиди, граничні задачі, асимптотична поведінка, усереднені моделі.

диференціальний хвильовий електричний максвел

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до теорії усереднення диференціальних рівнянь в частинних похідних. Як самостійна область математичної фізики теорія усереднення виникла в 1970-х роках. Об'єктом досліджень теорії усереднення є математичні моделі фізичних процесів в сильно неоднорідних середовищах. Методи усереднення дозволяють побудувати усереднені моделі, що є адекватними апроксимаціями вихідних моделей і дають глобальні описи процесів у неоднорідних середовищах. Вперше до задач усереднення в областях складної структури звернулись в своїх роботах В.О. Марченко і Є.Я. Хруслов. Значний інтерес з боку вітчизняних та зарубіжних математиків Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко, О.А. Олійник, В.В. Жикова, О.С. Шамаєва, І.В. Скрипника, Е. Санчес-Паленсия, Е.Де Джоржи, С. Спаньоло, A. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Дж. Папаниколау та інших сприяв інтенсивному розвитку теорії усереднення. Останнім часом коло задач, що можуть бути розв'язані методами теорії усереднення, значно поширилось.

Задачі усереднення на многовидах складної структури вперше були розглянуті у 1990-х роках Є.Я. Хрусловим, Л. Буте де Монвель, І.Д.Чуєшовим, Ж. Даль Масо, У.Моско. В роботі Л. Буте де Монвель і Є.Я. Хруслова “Homogenization of harmonic vector fields on Riemannian manifolds with complicated microstructure” була вивчена асимптотична поведінка гармонічних форм на ріманових многовидах спеціальної структури, що складаються з одного чи кількох екземплярів простору і великої кількості тонких трубок. Дисертаційна робота присвячена узагальненню і продовженню цього дослідження.

В дисертаційній роботі розглянуто гармонічні 1-форми на ріманових поверхнях необмежено зростаючого роду та на 4-вимірних псевдоріманових многовидах складної мікроструктури. Одержані усереднені рівняння, що дають асимптотичний опис гармонічних форм, суттєво відрізняються від вихідних. Вивчено асимптотичну поведінку розв'язку задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури. Доведено, що в результаті усереднення в системі Максвела виникають заряди.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які склали зміст дисертації, проведені у відповідності з тематичним планом Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна з відомчої тематики за темою: “Асимптотичні методи дослідження розв'язків початково-крайових задач”, номер державної реєстрації 0196U002942.

Мета i задачі дослідження. Мета дослідження: усереднення гармонічних 1-форм на ріманових поверхнях зростаючого роду; усереднення гармонічних 1- і 2-форм на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури; вивчення асимптотичної поведінки розв'язків задач Коші для хвильового рівняння та однорідної системи рівнянь Максвела на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури.

Об'єктом дослідження є гармонічні диференціальні 1-форми на ріманових поверхнях; гармонічні 1- і 2-форми на псевдоріманових многовидах; задачі Коші для хвильового рівняння і однорідної системи рівнянь Максвела на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури.

Предметом дослідження є асимптотична поведінка гармонічних 1-форм на ріманових поверхнях необмежено зростаючого роду; асимптотична поведінка гармонічних 1- і 2-форм на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури; усереднений опис розв'язків задачі Коші для хвильового рівняння і задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на многовидах.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використані методи теорії усереднення, методи теорії ріманових многовидів та зовнішнього числення, методи функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше:

- вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм із заданими періодами на ріманових поверхнях необмежено зростаючого роду; одержано усереднені рівняння, що описують головний член асимптотик;

- вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах складної мікроструктури; одержано їх усереднений опис; отримано результат усереднення задачі Коші для хвильового рівняння на 4-вимірних многовидах складної мікроструктури;

- досліджено асимптотичну поведінку розв'язку задачі Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на 4-вимірних многовидах простору-часу спеціальної структури; доведено, що густина електричного заряду виникає в системі рівнянь Максвела як результат усереднення.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані при дослідженні задач усереднення на многовидах складної структури.

Особистий внесок здобувача. Результати, що представлені в дисертаційній роботі, одержано А.П. Рибалко самостійно ([1],[4]) та спільно з науковим керівником Є.Я. Хрусловим ([2],[3]). В [2],[3] Є.Я. Хруслову належить постановка задач, а також з ним обговорювались отримані результати. Доведення результатів проведено автором особисто.

2. ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, визначено мету і задачі дослідження, наведено основні результати роботи.

У вступному розділі наведено визначення і приклади ріманових многовидів складної мікроструктури, а також деякі теореми асимптотичного аналізу, що суттєво використовуються в роботі.

У першому розділі розглянуто компактні ріманові поверхні , що складаються з деякої базової ріманової поверхні Г та великої кількості тонких ручок. Метрика на залежить від малого параметру . Припускається, що при кількість ручок, а значить, і род поверхні, необмежено збільшується, а товщина ручок прямує до нуля. Вивчається асимптотична поведінка гармонічних 1-форм із заданими періодами на ріманових поверхнях при .

Постановка задачі. Нехай Г - компактна ріманова поверхня роду нуль без границі, g(x) - метричний тензор на . Нехай для кожного задана сім'я кіл (“дірок”) .

Позначимо

.

Припускаємо, що

- для кожного множину {i=1…N} розбито на двохелементні підмножини (i,j) - пов'язані пари дірок;

- для кожної пов'язаної пари дірок задано двовимірний многовид (“ручка”), що дифеоморфний трубі x[0,1] (- одиничне коло). Границя T складається з двох компонент;

- для кожного T задано дифеоморфізм;

Дослідження асимптотичної поведінки електромагнітної 2-форми на приводить до наступної усередненої задачі Коші на RxR3:

де функції просторових змінних pk(x) визначаються заданими періодами 2-форми , dx - елемент об'єму.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджено задачі усереднення диференціальних 1- і 2-форм на многовидах складної мікроструктури. Одержано наступні результати:

1. Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм із заданими періодами на ріманових поверхнях, коли род поверхні зростає. Одержано усереднені рівняння, що описують головний член асимптотик. Побудовано моделі, де асимптотичний опис знайдено в явному вигляді. Зроблено узагальнення результату на випадок більш складної структури вихідної ріманової поверхні.

2. Вивчено асимптотичну поведінку гармонічних 1-форм на 4-вимірних псевдоріманових многовидах, коли структура многовиду ускладнюється. Одержано усереднений опис таких форм. Як наслідок, отримано результат усереднення задачі Коші для хвильового рівняння на многовидах складної мікроструктури. Наведено приклад, де усереднену модель знайдено в явному вигляді.

3. Досліджено задачу Коші для однорідної системи рівнянь Максвела на 4-вимірних многовидах простору-часу. Одержано усереднену модель, що описує асимптотичну поведінку розв'язку цієї задачі, коли структура многовиду ускладнюється. Доведено, що густина електричного заряду виникає в системі рівнянь Максвела як результат усереднення. В термінах диференціальних форм цей результат дає асимптотичний опис гармонічних 2-форм із заданими періодами на псевдоріманових многовидах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. A.P. Pal-Val (A.P. Rybalko). Asymptotic behaviour of harmonic 1-forms on Riemannian surfaces. //Мат.физика, анализ, геометрия. - 1999. - т.6, N 3/4. - С.323-352.

2. E.Ya. Khruslov, A.P.Pal-Val (A.P. Rybalko). Homogenization of harmonic 1-forms on Riemannian surfaces of increasing genus. //Доповіді НАН України. - 2000. - N 2. - С.39-43.

3. Е.Я. Хруслов, А.П. Паль-Валь (А.П. Рыбалко). Усреднение уравнений Максвелла на многообразиях сложной микроструктуры. //Мат.физика, анализ, геометрия. - 2000. - т.7, N 1. - С.91-114.

4. А.П. Рыбалко. Усреднение гармонических 1-форм на псевдоримановых многообразиях сложной микроструктуры. // Мат. физика, анализ, геометрия. - 2004. - т.11, N 2. - С.249-257.

5. А.П. Рыбалко. Усреднение однородной системы уравнений Максвелла на римановых многообразиях сложной микроструктуры.// Тезисы докладов международной конференции "Теория функций и математическая физика", посвященной 100-летию Н.И. Ахиезера, Харьков, 13-17 августа. - 2001. - С.85-86.

6. A.P. Rybalko. Asymptotic behaviour of harmonic 1-forms on riemannian surfaces of increasing genus. // Тезисы докладов международной конференции "Обратные задачи и нелинейные уравнения", Харьков, 12-16 августа. - 2002.

7. А.П. Рыбалко. Усреднение уравнений волнового типа на многообразиях сложной микроструктуры. // Материалы X международной конференции им. академика М. Кравчука, Киев, 13-15 мая. - 2004. - С.216.

8. A.P. Rybalko Homogenization of harmonic forms on pseudo-Riemannian manifolds of complicated microstructure. // First Karazin Scientific Readings. Mathematical symposium. Book of abstracts. Kharkiv, June 14-16. - 2004.

Размещено на Allbest.ru