Розрахунок тривимірних електричних полів в неоднорідних середовищах методом скінченних об’ємів

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ

УДК 621.3.01:537.212.001.2

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

РОЗРАХУНОК ТРИВИМІРНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ ПОЛІВ В НЕОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ОБ'ЄМІВ

Спеціальність 05.09.05 - теоретична електротехніка

Резинкіна Марина Михайлівна

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Науково-дослідному та проектно-конструкторському інституті “Молнія” Національного технічного університету “Харківський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України (м. Харків).

Науковий консультант - доктор технічних наук, професор, член-кореспондент НАН України Щерба Анатолій Андрійович, Інститут електродинаміки НАН України, завідувач відділу електроживлення технологічних систем.

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор, член-кореспондент НАН України Рєзцов Віктор Федорович, Інститут відновлюваної енергетики НАН України, заступник директора з наукової роботи;

- доктор технічних наук Ращепкін Анатолій Павлович, Інститут електродинаміки НАН України, завідувач відділу електромагнітних систем;

- доктор технічних наук, професор, Рудаков Валерій Васильович, Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри інженерної електрофізики.

Провідна установа - Інститут електрозварювання ім. Є.О.Патона НАН України (відділ електротермії), м.Київ.

Захист відбудеться “ 01 ” листопада 2005 р. о 14⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.187.01 в Інституті електродинаміки НАН України за адресою: 03680, м. Київ-57, проспект Перемоги, 56. Тел. 456-91-15.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці інституту електродинаміки нАН україни за вищевказаною адресою.

Автореферат розіслано “ 23 ” вересня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ю.М. Гориславець

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Вступ. Сучасний розвиток електроенергетичного, електронного і комунікаційного обладнання ускладнює проблему розрахунку електричних полів (ЕП), виникаючих в навколишньому середовищі. Виникнення силових збурень різної частоти при одночасній мініатюризації електронних пристроїв викликають необхідність розробки нових методів для аналізу усе більш тонких механізмів впливу неоднорідних ЕП на різні об'єкти в навколишньому середовищі. На практиці дуже складно вимірювати аварійні параметри електромагнітних полів всередині різних технічних пристроїв і живих організмів. Для вирішення таких проблем необхідно розв'язувати тривимірні задачі аналізу електричних полів в неоднорідних середовищах із включеннями складних просторових конфігурацій, форма та параметри яких можуть змінюватись у часі. Для значної частини електромагнітних збурень зі складовим частотами до 100 кГц задачу розрахунку таких електричних полів можна розглядати у квазістаціонарному наближенні.

В дослідженнях електромагнітних полів і електрофізичних процесів у неоднорідних середовищах отримали значні результати такі відомі вчені, як І.Є.Тамм, О.О.Самарський, Г.С.Кучинський, О.В.Тозоні, Г.Кнопфель, А.К.Шидловський, В.Ф.Рєзцов, А.А.Щерба, О.Д.Подольцев, Ю.М.Васецький, Ю.М.Гориславець, В.О.Бржезицький, І.В.Пентегов, А.П.Ращепкін, В.В.Конотоп, В.І.Кравченко, В.М.Михайлов, В.В.Рудаков, О.І.Вовченко, М.І.Баранов, В.П.Ларіонов, Д.В.Разевіг, Є.С.Колечицький, О.Я.Рябкова, P.Dimbylow, L.Dissado, E.Gulski, A.Krivda, G.C.Montanari, P.Morshuis, R.Patsch, L.Pietronero, A.Taflove та ін.

Актуальність теми. Неоднорідні електричні поля можуть викликати змінення параметрів середовища і включень в просторі і часі. Розв'язання тривимірних польових задач аналітичними методами можливе тільки для деяких спрощених випадків. Використання методу інтегральних рівнянь для розрахунку електричних полів у неоднорідних середовищах з багатьма границями розділу є складним, оскільки кількість невідомих (зарядів на поверхнях розподілу середовищ) є надзвичайно великою. Варто враховувати також, що при зміні границь розділу середовищ коефіцієнти і порядок розв'язуваної системи рівнянь будуть змінюватись.

Для вирішення тривимірних польових задач у гетерогенних середовищах використовуються чисельні скінченно-різницеві методи (скінченних різниць, елементів та об'ємів) із застосуванням сучасних засобів обчислювальної техніки. Слід зазначити, що при використанні чисельного методу скінченних елементів треба враховувати, що конфігурація розрахункової сітки буде залежати від розташування включень у середовищі, а зміна конфігурації границь розподілу пов'язана з необхідністю генерування нової просторової сітки. Для тривимірних задач генерування таких сіток і розрахунок полів є досить складною проблемою, яка не має узагальнюючих рішень. Для дослідження розподілу електричного поля в середовищах із значною кількістю змінюваних у часі складних просторових включень неможливо також використати існуючі стандартні пакети прикладних програм (ANSYS, FEMLAB, Mіcrowave Studіo, OPERA та ін.).

При вирішенні більшості польових задач чисельними методами використовують сумісне проведення розрахунків електричних полів в усій області. Але наявність в середовищі неоднорідних зон (наприклад, струмопровідних включень) викликає істотні труднощі внаслідок суттєвого змінення електричних параметрів. Матриця системи рівнянь, що описує електромагнітні процеси, стає погано зумовленою, а отримане рішення - нестійким. Іншим підходом є розглядання лише внутрішньої задачі, коли джерела поля задаються у вигляді граничних умов. Однак при наявності в середовищі включень складних просторових конфігурацій розрахунок електричного поля необхідно провадити також і у навколишньому середовищі, оскільки вони змінюють розподіл і зовнішнього поля. Тому доцільним є розрахунок електричного поля в зовнішньому середовищі - для визначення умов на границях слабкопровідних включень, а потім знаходження поля всередині включень. Для дослідження впливу сильних електричних полів на технічні і біологічні об'єкти необхідно вирішити науково-прикладну проблему розвинення теорії розрахунку тривимірних електричних полів в діелектричних і слабкопровідних середовищах із включеннями складної просторової конфігурації. Беручи до уваги істотну просторову неоднорідність електричних параметрів середовищ і можливе їх змінення у часі, найбільш ефективним для вирішення такої проблеми є використання методу скінченних об'ємів, в якому граничні умови та зміна параметрів враховуються в кожному з мікрооб'ємів і в усій розрахунковій області. Тому тема дисертації, яка присвячена розрахунку тривимірних електричних полів в неоднорідних середовищах методом скінченних об'ємів є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана відповідно до планів науково-дослідних робіт Науково-дослідного і проектно-конструкторського інституту "Молнія" Національного Технічного Університету "ХПі": в рамках фундаментальних НДР: "Дослідження електрофізичних процесів в комбінованій ізоляції для забезпечення можливості прогнозування ресурсу і надійності високовольтної ізоляції без проведення натурних випробувань” (шифр Со-НИПКИ-01-УО), "Визначення фундаментальних закономірностей впливу штучного іонізуючого потоку на розвиток каналу блискавки" (ДР №0198U000383) і НДР МОН і МОЗ України (ДР: №0194U044070, №0198U001798, №0105U001981, № 0105U001982). У НДР СО-НИПКИ-01-УО дисертант виконала чисельний розрахунок тривимірного електричного поля в неоднорідному середовищі з включеннями складної та змінної у часі форми. В НДР №0198U000383 автор розрахувала неоднорідне електричне поле біля лідерного каналу блискавки і блискавковідводів. У НДР (ДР: №0194U044070, №0198U001798, №015U001981, №0105U001982) автор розрахувала тривимірне ЕП навколо й усередині неоднорідних включень складної просторової форми, на поверхні та всередині тіла людини.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток теорії електричних полів в частині розробки методу скінченних об'ємів, наукових підходів і математичних моделей для чисельного розрахунку тривимірних квазістаціонарних електричних полів у діелектричних і слабкопровідних середовищах із включеннями, що мають складну конфігурацію, яка може змінюватися у часі.

Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити такі задачі:

1. Провести аналіз відомих методів розрахунку електричних полів і обґрунтувати доцільність розробки методу скінченних об'ємів для чисельного розрахунку тривимірних електричних полів у середовищах із включеннями, що мають складну конфігурацію, яка може змінюватися у часі.

2. Розвинути метод скінченних об'ємів і метод поглинаючих граничних шарів для чисельного розрахунку тривимірних електричних полів у неоднорідних середовищах з відкритими областями, зокрема розробити підходи та створити різницеву схему для розв'язання систем тривимірних еліптичних рівнянь.

3. Створити методику чисельного розрахунку електричних потенціалів і напруженостей у розгалужених провідних включеннях (типу систем заземлення електроенергетичних об'єктів) для визначення параметрів електричних процесів в аварійних режимах при коротких замиканнях і впливах блискавки.

4. Розвинути метод скінченних об'ємів і програмні засоби для розрахунку електричного поля поблизу тонких провідних включень, просторова конфігурація яких змінюється у часі, і створити методику статистичного моделювання процесів електричного пробою високовольтних твердих полімерних діелектриків.

5. На основі методу скінченних об'ємів та методу поглинаючих граничних шарів розробити метод для чисельного розрахунку електричного поля зовні й всередині такого неоднорідного включення, яким з електричної точки зору є тіло людини.

6. За допомогою розроблених підходів, моделей і методик визначити конструкції електромагнітних пристроїв та режими роботи, при яких задовольняються вимоги електромагнітної стійкості електроенергетичних об'єктів та екологічної безпеки для людей.

Об'єкт дослідження - тривимірні електричні поля в неоднорідних середовищах з межами, що можуть змінюватися.

Предмет дослідження - об'ємний розподіл параметрів електричних полів у неоднорідних діелектричних середовищах з гетерогенними включеннями складної конфігурації.

Методи дослідження базуються на наукових положеннях теорії електромагнітного поля, теоретичної електротехніки і математичної фізики. При побудові моделей для розрахунків електричних полів використовувалися чисельні методи скінченних об'ємів, інтегральних рівнянь, еквівалентних зарядів.

Для вивчення стохастичних процесів електричного старіння твердої полімерної ізоляції під дією високої напруги використовувалася теорія фракталів. Результати експериментальних досліджень процесу електричного старіння поліетиленової ізоляції апроксимувалися поліномами і класифікувалися за допомогою методу відбитків.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Розвинено метод скінченних об'ємів і розроблено нові математичні моделі для чисельного розрахунку тривимірних квазістаціонарних електричних полів в діелектричних і слабкопровідних середовищах з гетерогенними включеннями складної просторової конфігурації, яка може змінюватися у часі.

2. Розроблено нову наукову концепцію чисельного розрахунку електричних полів у неоднорідних середовищах, яка базується на ітераційному визначенні розподілу поля біля провідних включень у припущенні, що вони є ідеальними провідниками, та подальшим розрахунком поля всередині включень у припущенні, що зовнішнє середовище є ідеальним діелектриком, а також на використанні нової різницевої схеми для розв'язання систем тривимірних еліптичних рівнянь.

3. Розвинено метод поглинаючих граничних шарів для вирішення задач впливу однорідного електричного поля на гетерогенні включення, розташовані в середовищах з відкритими межами.

4. Вперше отримано аналітичні вирази для параметрів, які характеризують анізотропні властивості середовищ біля розгалужених тонких провідних каналів, що забезпечує проведення розрахунків електричних полів методом скінченних об'ємів з кроком розрахункової сітки на кілька порядків більшим, ніж діаметр каналів.

5. Для аналізу тривимірних електричних полів при протіканні електричного струму через провідні включення з урахуванням нелінійних змін параметрів зовнішнього середовища розроблено і чисельно реалізовано новий метод, в якому використовуються ітераційні розрахунки електричних полів і перехідних процесів в нелінійних електричних колах з урахуванням змінення електричного опору середовищ розтіканню струму.

6. З використанням теорії фракталів та даних про електричне старіння полімерів розроблено нові метод і статистична модель для розрахунку електричного поля в твердих полімерних середовищах біля тонких провідних розгалужених каналів (дендритів), конфігурація яких може стохастично змінюватись у часі.

7. На базі запропонованої концепції розрахунку електричних полів у неоднорідних середовищах розроблено новий метод і програма чисельного розрахунку розподілу напруженості електричного поля навколо й усередині неоднорідного включення, яким з електричної точки зору є тіло людини, з урахуванням його реальної геометричної конфігурації та електричних параметрів.

Практичне значення одержаних результатів.

1. Розроблено методику і програмні засоби для чисельного розрахунку параметрів електричних процесів у системах заземлення енергетичних об'єктів в аварійних режимах і аналізу потенціалів, опорів розтіканню струму, напруг дотику і крокових напруг на їх територіях, що дозволяє визначати зони, в яких небезпечні фактори можуть перевищувати допустимі рівні, і розробити заходи щодо модернізації таких систем.

Результати впроваджено у Науково-дослідному та проектно-конструкторському інституті (НДПКі) "Молнія" Національного технічного університету (НТУ) "Харківський політехнічний інститут" ("ХПі") при визначенні надійності систем захисного заземлення електроенергетичних об'єктів Міненерго України.

2. Створено методику чисельного розрахунку тривимірних електричних полів у системах екранування складних просторових конфігурацій, які забезпечують мінімальне проникнення в них електричного поля та відсутність корони.

Результати впроваджено в Інституті фізики плазми ННЦ Харківського фізико-технічного інституту (ХФТІ) НАН України при розробці системи протикоронних екранів електростатичного прискорювача іонів, який експлуатується у м. Мадрид (Іспанія), та у НДПКі "Молнія" НТУ "ХПі" в розрахунках властивостей металевих корпусів, що екранують зовнішнє електричне поле. За методикою розраховано розподіл полів усередині корпусів під дією зовнішнього електричного поля напруженістю до 5 кв/м. Отримані результати дозволили провести оцінку відповідності виробів вимогам п.5.4 НП306.5.02/3.035-2000 "Вимоги з ядерної та радіаційної безпеки до інформаційних і керуючих систем, що важливі для безпеки атомних станцій".

3. Розроблено методику для визначення фрактальної розмірності і стадії росту системи тонких розгалужених каналів (дендритів) у поліетиленовій ізоляції у сильних електричних полях по виміряним розподілам частості фаз появи часткових розрядів, що дозволяє встановлювати залежності між конфігурацією дендритів та ймовірністю пробою ізоляції. 4. Розроблено програму та виконані чисельні розрахунки електричних полів поблизу та усередині тіла людини з урахуванням його реальної конфігурації та неоднорідних електричних параметрів, що дозволяє науково обґрунтувати небезпечні для людини рівні напруженості електричних полів та визначати зони, які можуть бути безпечними для роботи персоналу та життєдіяльності людей.

Ці матеріали дисертації використані в Харківському науково-дослідному інституті гігієни праці та професійних захворювань при розробці нормативів для рівнів електричних полів, безпечних для життєдіяльності людей.

5. Результати дисертаційної роботи використовуються також у навчальних планах підготовки бакалаврів, спеціалістів та магістрів на кафедрі теоретичної електротехніки Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” та кафедрі імпульсних процесів і технологій Українського державного морського технічного університету ім. адм. О.Макарова.

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок здобувача полягає в розробці методів розрахунку тривимірних квазістаціонарних електричних полів у неоднорідних середовищах з включеннями складної конфігурації, що можуть змінюватися у часі, заснованих на методах скінченних об'ємів та поглинаючих граничних шарів; розробці концепції розрахунку параметрів, що характеризують вплив низькочастотних електричних полів на неоднорідні діелектричні середовища з включеннями складної форми; створенні та чисельній реалізації у вигляді програм для персональних комп'ютерів розрахункових методик, що описують електричні процеси в тілі людини, системах захисного заземлення, твердої полімерної ізоляції; постановці і безпосередньої участі у проведенні експериментальних досліджень. Всі основні результати отримані автором особисто. У роботах, виконаних у співавторстві, автором розроблено методику розрахунку електричного поля у неоднорідних середовищах з включеннями [13,19,24,33,35], запропоновано метод поглинаючих шарів стосовно до впливу однорідних ЕП [12], розроблено і використано метод чисельного розрахунку розподілу напруженості ЕП поблизу та усередині тіла людини [28,30,31,38], виконано постановку експериментальних досліджень процесів електричного старіння твердої полімерної ізоляції під дією високої напруги й аналіз отриманих результатів [14,17,18,22,26,27,29,36,37], виконано і реалізовано постановку задачі розрахунку ЕП у системах заземлення високовольтних підстанцій [15,20], а також інших засобах захисту від дії сильних електричних полів [16,21,23,25].

Апробація. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на таких конференціях та симпозіумах: міжнародна конференція з математичних методів у теорії електромагнетизму (м. Харків, 1994 р.); ІІІ міжнародний симпозіум з електромагнітної сумісності ЕМС-97 (м. С-Петербург, 1997 р.); 10-й міжнародний симпозіум з високовольтної техніки (м. Монреаль, 1997 р.); міжнародна конференція з провідності і пробою твердих діелектриків (м. Вастерас, 1998 р.); 24-а міжнародна конференція з молнієзахисту (м. Бірмінгем, 1998 р.); міжнародний симпозіум з електроізоляційних матеріалів (м. Токохаши, 1998 р.); міжнародна конференція "Електромагнітні поля і здоров'я людини", (м. Москва, 1999 р.); 11-й міжнародний симпозіум з високовольтної техніки (м. Лондон, 1999 р.); VІ міжнародна конференція "Проблеми сучасної електротехніки-2000" (м. Київ, 2000 р.); 9-а міжнародна конференція "Фізика діелектриків", (м. Миколаїв, 2000 р.); 7-а міжнародна конференція з твердих діелектриків (м. Эйндховен, 2001 р.); 12-й міжнародний симпозіум з високовольтної техніки (м. Бангалор, 2001 р.); VІІІ міжнародна конференція "Проблеми сучасної електротехніки-2004" (м. Київ, 2004 р.); 8-а науково-технічна конференція "Електромагнітна сумісність технічних засобів і електромагнітна безпека" (м. С-Петербург, 2004 р.); 5-а міжнародна конференція з електромагнітних розрахунків (м. Стратфорд-на-Евоні, 2004 р.), 8-а міжнародна конференція з твердих діелектриків (м. Тулуза, 2004 р.); 3-а міжнародна конференція з біологічних ефектів електромагнітних полів (м. Кос, 2004 р.) та інших. Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковані 75 наукових праць, у тому числі 38 статей (з них 35 - у фахових спеціальних журналах і збірниках) та 37 тез доповідей на науково-технічних конференціях і симпозіумах.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних скорочень, вступу, 6 розділів, висновків, списку літератури з 294 найменувань та 2-х додатків. Загальний обсяг роботи становить 416 сторінок, у тому числі 309 сторінок основного тексту, 134 рисунки і 28 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовані мета і задачі досліджень, а також наукова новизна та практична цінність роботи, приведені дані про ефективність і впровадження її результатів.

Перший розділ присвячено аналізу літературних даних, що стосуються методів розрахунку електричних полів в неоднорідних середовищах з включеннями.

Проведено аналіз ряду типових задач, для яких існують аналітичні рішення розрахунку електричного поля в діелектричних середовищах із включеннями простих просторових конфігурацій. Приведено також приклади використання чисельних методів для розрахунку квазістаціонарних електричних полів у діелектричних і слабкопровідних середовищах, зокрема таких, як методи еквівалентних зарядів, інтегральних рівнянь, скінченних різниць, елементів та об'ємів.

Показано, що при зміненні у часі конфігурації та електричних параметрів включень, використання методів інтегральних рівнянь і скінченних елементів призводить до невиправданого ускладнення задачі і робить неможливим її вирішення на сучасних обчислювальних засобах. Обґрунтовано, що більш придатним до розрахунку електромагнітних полів у неоднорідних середовищах з границями, що змінюються, є метод скінченних різниць. Однак для використання цього методу при розрахунку електромагнітних полів у неоднорідних середовищах необхідно було визначити додаткові рівняння, які дозволяють зв'язувати значення шуканої функції на межах розділу середовищ.

Крім того, що поява нових границь викликає необхідність визначення і розв'язання нових рівнянь, існує небезпека, що для неоднорідного середовища різницева схема може виявитися розбіжною, як це було показано О.О.Самарським. Тому у випадку розривних коефіцієнтів рекомендується використовувати консервативні схеми, одержувані за допомогою інтегро-інтерполяціоного методу або методу балансу. В даному випадку доцільним є використання методу скінченних об'ємів, який дозволяє одержати консервативні різницеві схеми на основі інтегрування рівнянь Максвелла по об'єму кожного елементарного осередку. Одною з важливих властивостей даного методу є те, що в ньому закладено закон збереження, у нашому випадку кількості електрики, на будь-якій групі кінцевих об'ємів і, отже, у всій розрахунковій області.

У другому розділі описано методики розрахунку розподілу напруженості низькочастотних тривимірних електричних полів частотою до 10⁵ Гц у неоднорідних діелектричних або слабкопровідних середовищах з питомою провідністю (г), яка не перевищує одиниць См/м, які можуть містити провідні включення змінної форми з г~10⁵-10⁸ См/м. Було проаналізовано наявність в розрахунковій області декількох середовищ з різними значеннями діелектричної проникності і питомої провідності, які можуть змінюватися у просторі і часі. На досліджувану область нанесена прямокутна розрахункова сітка, вузли якої розташовані на граничних поверхнях розділу середовищ. Вважалося, що в межах кожного з утворених сіткою елементарних паралелепіпедів електричні параметри середовища однорідні. Для розрахунку був використаний метод скінченних об'ємів (МСО), суть якого полягає в інтегруванні рівнянь Максвела по об'єму кожного елементарного паралелепіпеда, на які розбита розрахункова область.

Оскільки довжина хвилі падаючого електричного поля набагато перевищує характерні розміри розглянутих об'єктів, провідності середовищ не перевищують одиниць См/м, а частота поля менша за 100 кгц, розглядуються квазістаціонарні електричні поля, і вплив зміни індукції магнітного поля на величину напруженості електричного поля можна не враховувати.

Була взята дивергенція від обох частин даного рівняння, яке потім було проінтегровано по V - об'єму елементарного паралелепіпеду, на які була розбита розрахункова область.

У результаті використання теореми Остроградського-Гауса й інтегрування отриманого рівняння за часом, при нульових початкових умовах одержимо основне розрахункове рівняння, записане для моменту часу t_m, у вигляді:

Оскільки при розрахунках можуть бути враховані лише вектори електричної напруженості електромагнітного поля, була використана підстановка =-grad, а доданком -/t було знехтуване. Після заміни інтегрування за часом підсумовуванням за допомогою формули трапецій і переносу доданків, що відповідають попереднім часовим крокам, до відомих, рівняння (1) було записане для (і,j,k)-ого вузла розрахункової сітки в різницевому вигляді через скалярний електричний потенціал .

Початкові і граничні умови при розрахунку залежали від виду досліджуваної системи. Так, для розрахункової системи, що представляє собою шаровану ізоляцію з включеннями, розташовану між нескінченними плоскими обкладинками з прикладеною до них різницею потенціалів, початкові умови - нульові, а граничні - ₁=U₀, ₂=0 - на обкладинках, та граничні умови ІІ-ого роду: на інших граничних площинах.

Для розв'язання методом скінченних об'ємів на кожному часовому кроці системи рівнянь виду (2), записаних для кожного вузла розрахункової сітки, був застосований метод прогонки та ітераційний метод змінних напрямків. Як відомо, даний метод використовується для рішення систем двовимірних еліптичних, а також тривимірних параболічних рівнянь. Нами розроблена нова різницева схема, за допомогою якої реалізується чисельне рішення системи тривимірних еліптичних рівнянь. Різницева схема була записана так, щоб другі похідні, що вважаються для поточної прогонки відомими, завжди розраховувалися за значеннями змінної, отриманими при прогонці по напрямку, що відповідає саме цій похідній.

Така модифікована різницева схема рішення систем тривимірних еліптичних рівнянь дозволила отримати рішення при істотно меншій кількості ітерацій. Дана різницева схема є тришаровою, тому що при розрахунку чергового l-ого наближення шуканої функції використовуються значення потенціалу на двох попередніх ітераціях, і такою, що сходиться, оскільки виконуються умови стійкості тришарових схем. Відома схема для рішення систем тривимірних параболічних рівнянь, будучи двошаровою, не є безумовно стійкою, а отже у ряді випадків (наприклад, при наявності розривних коефіцієнтів) не забезпечує збіжності ітераційного процесу знаходження рішення. За допомогою розробленої програми для персонального комп'ютера, заснованої на використанні даної різницевої схеми, були проведені розрахунки розподілів електричних полів у полеутворюючих системах різних просторових конфігурацій, що містять неоднорідні діелектричні та слабкопровідні середовища. Ці розрахунки показали добру збіжність розробленої різницевої схеми.

При розрахунку проникнення квазістаціонарного ЕП у слабкопровідне включення задача була розділена на дві частини. Оскільки питома провідність включення перевершує ще₀е діелектрика на 5 і більше порядків, при рішенні зовнішньої задачі слабкопровідне включення вважається ідеальним провідником, що передбачає неврахування падіння в ньому напруги, а також його однорідні електричні параметри. При рішенні внутрішньої задачі оточуючий включення діелектрик вважається ідеальним, що передбачає його однорідність, а також неврахування його провідності. Напруженість ЕП у слабкопровідному включенні, розташованому в непровідному середовищі, наприклад, у повітрі, електричні параметри якого (е_e і г_e) набагато менші, ніж відповідні величини досліджуваного тіла (е_i~ 10-1000 і г_i~10^-1-10⁸ См/м), може бути розрахована на сучасних обчислювальних засобах з одинарною точністю шляхом завдання е_ec і г_ec (тут е_ec, г_ec - відносна діелектрична проникність і питома провідність зовнішнього непровідного середовища, прийняті при рішенні внутрішньої задачі) меншими е_i і г_i в k_ie раз (k_ie=10⁴-10⁵) із наступним помноженням отриманих напруженостей ЕП на k_ie=е_e/е_ec або k_ie=г_e/г_ec. Як показали чисельні експерименти, відносна похибка розрахунку напруженості ЕП усередині включення криволінійної форми при цьому складає близько 1 %. Використання такого підходу обґрунтовано, наприклад, у роботах P.J.Dіmbylow. Однак у відомому підході після розв'язання зовнішньої задачі розрахунок розподілу поля робиться тільки в області включення зі знайденим розподілом зарядів на його поверхні в якості граничних умов. Нами ж пропонується при рішенні внутрішньої задачі використовувати розрахункову зону у вигляді паралелепіпеда, який включає оточене ідеальним діелектриком провідне включення. Завдяки рішенню зовнішньої задачі, границі розрахункової зони можуть бути наближені практично впритул до включення. У той же час прямокутна форма розрахункової зони істотно спрощує завдання граничних умов і електричних параметрів середовищ, що дуже істотно при наявності включень досить складної форми, таких, наприклад, як тіло людини.

У ряді практично важливих випадків необхідно розраховувати розподіл електричних полів у системах, що містять тонкі і довгі провідні включення, які ми надалі для простоти будемо іменувати дротами. Така задача виникає, наприклад, при чисельних розрахунках електромагнітних процесів, що супроводжують пробій ізоляційних проміжків, таких, як удар блискавки у блискавковідвід. У даному випадку довжина як блискавковідводу, так і лідерного каналу блискавки на багато порядків перевищує їхній діаметр. Подібна задача стає також при розрахунку розподілу ЕП у системі "голка-площина", широко застосовуваної при дослідженні процесів електричного пробою, наприклад, твердих полімерних діелектриків. При цьому і голка, і система порожніх каналів що утворюється під дією сильних ЕП - дендрит, можуть розглядатися як подібні структури-дроти. Таким чином, при розрахунках електромагнітних процесів, що супроводжують пробій ізоляційних проміжків, виникає задача розрахунку розподілу електричного поля розрядних структур, які можна представити у вигляді сукупності тонких і довгих провідних дротів. При цьому, як правило, необхідно враховувати неоднорідність електричних параметрів середовища, а також їх змінність. При використанні скінченно-різницевих методів для розрахунку ЕП таких структур виникає проблема вибору кроку розрахункової сітки Д. Відомі підходи, у яких припускається, що крок просторової сітки дорівнює середньої довжині кроку зростання розрядної структури. Але для того, щоб врахувати вплив радіуса розрядної структури R₀ на розподіл ЕП, величина кроку повинна бути не меншою, ніж R₀. Однак довжина розрядної структури на багато порядків перевищує її радіус. Використання кроку Д<R₀ призвело б до різкого збільшення порядку розв'язуваної при розрахунку ЕП системи рівнянь і зробило б неможливою реалізацію задачі на сучасних обчислювальних засобах. Для вирішення цієї проблеми був розроблений такий метод.

Наявність тонкого дроту, а також вплив його діаметра на розподіл ЕП враховувалися шляхом завдання коефіцієнтів k_x,k_y,k_z компонент тензора для вузлів, що оточують дріт або розташованих на ньому, для інших вузлів - k_x=k_y=k_z=1. Рівні коефіцієнтів k_x,k_y,k_z були отримані шляхом інтегрування відомої аналітичної залежності для потенціалу зарядженої нитки. Таким чином, електричні параметри середовища навколо дроту задавалися нелінійними, тим самим досягалося урахування наявності в розрахунковій області структур, поперечні розміри яких менші за розміри кроку розрахункової сітки. Проведене порівняння одержаних рішень з аналітичними показало їхній збіг для розрахункової сітки, крок якої у чотири і більше разів перевищує діаметр дроту. На відміну від відомого підходу A. Taflove, який передбачає розв'язання двомірної задачі для безмежно довгого дроту, співпадаючого з координатною віссю, нами розроблено методику розрахунку тривимірного електричного поля дроту кінцевої довжини, у тому числі розташованого під кутом до координатних осей. Як приклад був виконаний розрахунок розподілу електричних потенціалів при таких умовах: ізоляційне середовище - поліетилен (е=2,2), прикладена напруга U₀=6 кВ, діаметр каналу дендрита D₀=10 мкм (що відповідає експериментальним даним для даної напруги), величина кроку просторової сітки при розрахунку МСО - Д=50 мкм. Розподіли ЕП розраховані також для U₀=10 кВ, D₀=1 мкм, Д=50 мкм. Початкові умови - нульові, граничні: ₁=U₀ на стрижневому електроді - голці і площині голкотримача, ₂=0 - на заземленій площині, на інших граничних площинах. На рис. представлені розраховані для цих випадків картини ліній рівного потенціалу *=U/U₀ у перетині Z=const, що проходить через голку.

Третій розділ присвячено використанню методів скінченних об'ємів і поглинаючих граничних шарів для розрахунку тривимірних електричних полів при розташуванні досліджуваних включень у відкритих областях. Основне рівняння, що розв'язується, таке ж, як (3).

Для того щоб забезпечити можливість використання кінцево-різницевих методів для розрахунку електромагнітних полів у відкритих областях, застосовується метод поглинаючих граничних шарів. Використання цього методу дозволяє наблизити границі розрахункової області практично впритул до досліджуваних зон, істотно знизивши тим самим порядок розв'язуваної системи рівнянь і час розрахунків.

При цьому задаються особливі електричні параметри середовища на границі розрахункової області в так званому "поглинаючому шарі", оточеному ззовні ідеальним провідником.

Такий поглинаючий шар має анізотропні електричні параметри, задані у вигляді тензора, компонента якого в напрямку, перпендикулярному граничній площині, наприклад x=const, дорівнює 1/s_x, а в інших напрямках дорівнює s_x, причому, s_x>1. Тоді тензор , який входить у основне розв'язуване рівняння виду (3), має вигляд. Припускалося, що електричні параметри поглинаючого шару товщиною d змінюються по глибині (наприклад, x) відповідно до поліноміального закону:

k_x (x)=1+(k_max-1)Ч(x/d)^m,

де k_max - максимальна величина k_x (дивись (4)) на зовнішній границі поглинаючого шару; m - показник ступеня.

Величини k_y(y) і k_z(z) обчислюються аналогічно:

k_y (y)=1+(k_max-1) (y/d)^m, k_z (z)=1+(k_max-1) (z/d)^m.

електричний поле заземлення ізоляція

Шляхом порівняння аналітичних рішень з результатами чисельних розрахунків при кількості кроків по простору в зоні поглинаючих шарів N=10, були визначені значення коефіцієнтів: m=3 і k_max=300, що задовольняють вимогам розрахунків з відносною похибкою близько 1 %.

На практиці часто потрібно вирішувати задачу розрахунку ЕП, коли досліджуване включення знаходиться в зовнішньому однорідному електричному полі з заданим рівнем напруженості E₀. На відміну від відомого застосування методу поглинаючих шарів, коли джерело поля знаходиться усередині розрахункової області, у даному випадку джерело, розташоване на великій відстані від включення, з розгляду виключається. Слабкопровідне або діелектричне включення, що знаходиться в однорідному зовнішньому ЕП напруженістю E₀, змінює його розподіл, і граничні умови для однієї з координат (наприклад, Y) і для інших напрямків (наприклад, X і Z) можуть бути задані лише на достатньому від нього віддаленні. Для наближення границь розрахункової області до включення при такому завданні ЕП, нами запропоновано використовувати поглинаючі шари, а на межах розрахункової області задавати умови. Такий підхід дозволив досягти збігу з аналітичним рішенням для діелектричної кулі, що знаходиться в повітрі в зовнішньому однорідному електричному полі, в межах відносної похибки 1 %. Як приклад практичного використання методу поглинаючих шарів вирішена задача розрахунку електричного поля при перебуванні тіла людини в зовнішньому однорідному ЕП напруженістю E₀=1 кВ/м, спрямованому уздовж вертикальної осі. На рис. представлені приклади застосування описаного підходу для розрахунку розподілів ліній однакової напруженості ЕП навколо тіла людини у перетинах Z=const (а) і X=const (б) в усій розрахунковій області (II - зона поглинаючих шарів). На рисунках показано також граничні умови, написи на лініях рівної напруженості дані в кВ/м, відстань між лініями - 1 кВ/м. За рахунок наближення границь розрахункової області до поверхні тіла людини, порядок розв'язуваної системи рівнянь, необхідні ресурси пам'яті комп'ютера і затраченого часу вдалося істотно знизити.

Четвертий розділ присвячено застосуванню розроблених принципів розрахунку електричних полів у нелінійних діелектричних і слабкопровідних середовищах з включеннями складної змінної конфігурації для дослідження розподілів електричних полів в елементах електроенергетичних об'єктів. Зокрема, прикладом області практичного використання розроблених принципів є електричні поля, що виникають у слабкопровідному неоднорідному середовищі - ґрунті (г~10^-3 - 10^-1 См/м), у якому розташовані провідні включення складної форми - елементи системи захисного заземлення (г~10⁶ - 10⁸ См/м), в аварійних режимах короткого замикання або удару блискавки. У результаті розроблені розрахункові методики, які дозволяють по заданих місцю введення і величині струму короткого замикання або блискавки описати електричні процеси, що виникають при цьому в системах заземлення енергетичних об'єктів. На території таких об'єктів, зокрема високовольтних підстанцій, використовується захисне заземлення, що складається з розташованої в землі на відстані h=0,5-1,5 м від її поверхні металевої сітки, розміри комірок якої можуть складати від одиниць до декількох десятків метрів, а також вертикальних глибинних заземлювачів. Застосування захисного заземлення дозволяє вирівняти потенціали, а, значить, знизити рівні напруженості електричного поля на території об'єкта, що захищається. В аварійних ситуаціях, до числа яких відносяться коротке замикання на землю, перемикання фаз, що знаходяться під напругою, удар блискавки, на території підстанції можуть виникати потенціали, небезпечні як для обслуговуючого персоналу, так і для устаткування, особливо електронного. Для надійного захисту енергетичних об'єктів необхідно, щоб опір розтіканню систем заземлення не перевищував нормованої величини.

Для чисельного розрахунку методом скінченних об'ємів електричних процесів при протіканні по заземлювачу струму блискавки, досліджувана область ґрунту і заземлювач розбиваються на паралелепіпеди, вузли яких лежать на поверхнях розділу середовищ. У межах кожного паралелепіпеду електричні параметри середовища вважаються однорідними. Процес протікання по заземлювачу струму блискавки моделюється у такий спосіб. Амплітуду струму блискавки з визначеною імовірністю можна задати по відомих експериментальних даних. Як перше наближення при розрахунку імпульсного опору заземлювача використовується його стаціонарний опір розтіканню. По його величині, а також величині струму блискавки визначається напруга, яка прикладається до заземлювача. Потім робиться розрахунок розподілу напруженості електричного поля в досліджуваній області. При цьому заземлювач вважається ідеальним провідником. По відомих експериментальних даних про пробивні напруженості E_пр різних ґрунтів визначаються розміри іскрової зони. При цьому ґрунт вважається ідеальним діелектриком: лише зони, що безпосередньо прилягають до заземлювача, модуль напруженості електричного поля яких || перевищує E_пр, вважаються такими, що перейшли в струмопровідну фазу, і їхня провідність замінюється на відповідну величину. У такий спосіб моделюється процес, який можна умовно визначити як тимчасове збільшення розмірів заземлювача на величину іскрової зони. При розрахунку ЕП навколо заземлювача він і його іскрова зона вважаються ідеальними провідниками. Для інших зон за величиною їхньої || визначаються нові значення питомих опорів за допомогою відомих залежностей питомого електричного опору ґрунтів від рівня напруженості електричного поля. Тим самим, шляхом ітераційних перерахунків електричного поля враховується нелінійна залежність питомого опору ґрунту від рівня напруженості прикладеного поля. Потім розраховується нове значення опору розтіканню заземлювача і знаходиться уточнене значення прикладеної до заземлювача напруги. За новим значенням напруги і новим розподілом електричних параметрів середовища в розрахунковій області визначається уточнена величина імпульсного опору заземлювача. Даний ітераційний процес продовжується доти, поки значення опору заземлювача, а також розподіл електричних параметрів середовища в розрахунковій області не перестають змінюватися у межах заданої похибки. Використання такого алгоритму дозволяє розрахувати імпульсний опір заземлювача. За допомогою подібних розрахунків може бути оцінена також імовірність пробою під землею між заземлювачем грозозахисту і захисним заземлювачем або кабелями, що знаходяться у землі.

При розробці методики розрахунку параметрів електричних процесів, що виникають у режимах короткого замикання у розгалужених системах захисного заземлення високовольтних підстанцій, кількість окремих елементів яких може перевищувати кілька десятків тисяч, були прийняті наступні припущення. Підземні металеві конструкції замінялися системою струмів з лінійною щільністю ф, розташованих на осях реальних заземлювачів. Розглянута система представлялася у вигляді сукупності відрізків окремих заземлювачів, що характеризуються власними параметрами: індуктивністю й опором, а також визначеною величиною і характером розподілу уздовж них струму. Припускалося, що в режимах короткого замикання, коли розподіл потенціалів у вузлах контуру заземлювача неоднорідний, струми розтікання відрізків заземлювача, паралельних поверхні землі, змінюються від вузла до вузла за лінійним законом. При прийнятих припущеннях для розрахунку розподілу електричного поля такої системи може бути використаний метод еквівалентних зарядів. За рахунок того, що потенціали вузлів контура заземлювача при короткому замиканні неоднакові, неоднорідні також струми уздовж ділянок заземлювача і відповідні струми розтікання. Оскільки струми розтікання залежать від розподілу потенціалів у вузлах схеми заземлення, а величини потенціалів самі залежать від рівнів струмів розтікання, задача вирішувалася ітераційним методом з розділенням її на дві частини: перехідні процеси в еквівалентній електричній схемі системи заземлення розраховувалися у припущенні, що ґрунт є ідеальним діелектриком, а опори розтіканню обчислювалися за розрахунковими даними розподілу ЕП системи заземлення у припущенні, що вона є ідеальним провідником. Електричні процеси розраховувалися ітераційним методом за наступним алгоритмом. Спочатку виконується розрахунок струмів у системі, що імітує захисне заземлення, за умови, що потенціали усіх вузлів однакові. Потім по відомому розподілу струмів визначаються величини опорів розтіканню окремих елементів системи заземлення. В результаті розв'язання системи рівнянь, кожне з яких є записаним для окремого вузла першим законом Кірхгофа, з урахуванням введення струму короткого замикання у деякі вузли схеми, визначаються невідомі значення потенціалів у розглянений момент часу. Потім перераховуються величини струмів і опорів розтіканню в системі при нерівномірному розподілі потенціалів у вузлах. Даний ітераційний процес продовжується доти, поки значення опорів розтіканню і потенціалів у всіх вузлах на двох сусідніх ітераціях не співпадуть з заданою похибкою.

Після закінчення ітераційного процесу, по відомих рівням струмів розтікання розраховуються потенціали на поверхні землі і будується картина розподілу еквіпотенційних ліній (див., наприклад, рис. 3). Визначаються також величини крокових напруг U_ST на території підстанції, програмно виявляються області, де U_ST перевищують припустимі рівні. Використання розробленої методики дало можливість виявити на території високовольтних підстанцій зони, небезпечні для обслуговуючого персоналу й устаткування, в різних аварійних режимах. На рис. приведено план підземних і наземних з'єднань досліджуваної підстанції Запорізької області України, а також розрахований розподіл еквіпотенційних ліній на поверхні землі при введенні струму короткого замикання 1 кА промислової частоти (написи на еквіпотенціальних лініях приведені у кіловольтах). Питомий опір ґрунту - 100 ОмЧм. На рис. представлені зони на території даної підстанції, де максимальні величини крокової напруги U_ST перевищують або дорівнюють критичному рівню 100 В. Порівняння розрахованого й виміряного опору розтіканню, а також напруг дотику в окремих вузлах високовольтних підстанцій у режимі короткого замикання показало їхній збіг у межах точності вимірів.

Розроблені принципи розрахунку квазістаціонарних електричних полів у діелектричних середовищах з провідними включеннями знаходять також практичне застосування при оцінці ефективності засобів захисту від дії сильних ЕП: захисних та протикоронних екранів і систем захисту від блискавки. Щоб переконатися в ефективності розробленої конструкції системи протикоронних екранів (СПЕ) електростатичного прискорювача важких іонів, були виконані розрахунки розподілу електричного поля в областях з максимальними рівнями напруженості .

При розрахунках використовувалася розроблена методика, заснована на методі скінченних об'ємів. Для забезпечення ефективного функціонування даного устаткування необхідно запобігти виникненню коронного розряду з металевих елементів інжектора і трубки, які в процесі експлуатації знаходяться під позитивним потенціалом до 200 кВ. Оскільки досліджувані зони мають осьову симетрію, була використана циліндрична система координат. Початкові умови при розрахунку - нульові, граничні умови - задані рівні потенціалів електродів, а також граничні умови II-ого роду: на границях розрахункової області. Було зроблено розрахунок розподілу напруженості електричного поля в СПЕ декількох просторових конфігурацій і обрана конструкція, що забезпечує необхідне зменшення рівня максимальної напруженості електричного поля нижче критичного, при якому спостерігається явище коронування. Результати розрахунку розподілу електричного поля в одній з частин остаточно обраної конструкції СПЕ показані на рис. (напруги на лініях однакового потенціалу дані у вольтах). Розрахунок показав, що рівні максимальної напруженості електричного поля в даній системі не перевищують 16 кВ/см, що дозволяє зробити висновок про її надійний захист від корони.

П'ятий розділ присвячено дослідженню сильних електричних полів у твердих полімерних діелектриках з включеннями складної форми, яка змінюється у часі. В даному випадку розрахунки електричних полів були застосовані для моделювання розвитку в полімерних діелектриках під дією високої напруги необоротних руйнувань, що викликають появу тонких порожніх деревоподібних каналів зі слабко карбонізованими стінками, так званих дендритах. При цьому електричні параметри діелектричного середовища (поліетилену) не змінюються, міняються ж електричні і геометричні параметри включення (дендрита). У каналах дендритів відбувається розвиток розрядів, що зазвичай називаються частковими, тому що повного пробою ізоляційного проміжку при цьому не відбувається. Традиційно діагностика стану ізоляції здійснюється шляхом реєстрації цих часткових розрядів. Для розрахунку розподілів електричних полів необхідна інформація про електричні характеристики діелектриків і дендритів. Для одержання цієї інформації були проведені відповідні експериментальні дослідження.

Умови проведення експериментів такі. Була використана система електродів "голка - жила кабелю". Радіус скруглення вістря голки - 2 мкм, відстань до заземленого електрода - 1,5 мм. Експерименти проводилися при 4-х рівнях діючої напруги промислової частоти на голці: U₀=6; 7; 8 і 9 кВ. Типові фотографії дендритів, що утворилися при подаванні на голку напруг U₀=6 кВ (а) і U₀=9 кВ (б), представлені на рис. час росту дендритів 1 година 45 хвилин і 10 хвилин відповідно.

Експерименти дозволили встановити кореляцію між формою дендрита і рівнем діючої напруги. Так, при дії напруг, близьких до початкових напруг появи дендритів (для розглянутого випадку U₀~6-7кВ), дендрити мають кущеподібний вид, а при дії великих, близьких до пробивних напруг (для розглянутого випадку U₀~8-9кВ), дендрити мають деревоподібний вид.

При розробці методу оцінки залишкового ресурсу ізоляції виявилося необхідним провести розрахунок електричного поля в системі, що містить ізоляцію і дендрит. Початкові умови при розрахунку покладалися нульовими, граничні: ₁=U₀ на стрижневому електроді - голці і площині голкотримача, ₂=0 - на заземленій площині, на інших граничних площинах.

Оскільки процеси електричного старіння твердої ізоляції носять стохастичний характер, чисельне моделювання росту дендрита здійснювалося статистичними методами. Суть розроблених нами принципів моделювання електрофізичних процесів електричного старіння твердої ізоляції полягає в наступному. За допомогою методу скінченних об'ємів щодо розрахунку квазістаціонарних електричних полів у неоднорідних діелектриках із включеннями змінної форми розраховуються рівні напруженості в досліджуваній системі. По розрахованих рівнях модуля напруженості електричного поля || для кожного з елементарних паралелепіпедів визначається ймовірність його пробою. Ймовірність пробою осередку визначається не безпосередньо за рівнем ||, як у відомих методіках використанні теорії фракталів, а опосередковано - через її прогнозований ресурс, що залежить не тільки від ||, але й від властивостей діелектрика. Для цього застосований генератор квазівипадкових чисел, розподіл якого збігається з експериментально знайденим розподілом часу до пробою мікрооб'ємів досліджуваного сорту діелектрика при розрахованому рівні напруженості електричного поля. При моделюванні процесів розвитку дендритів у полімерних діелектриках і, зокрема, у поліетилені нами врахований ряд особливостей. Так, множина елементарних паралелепіпедів, які перейшли під дією напруги в провідну фазу, являє собою зв'язну область, так що пробитими і приєднаними до дендрита можуть вважатися тільки зони, які безпосередньо до нього прилягають. Таким чином, при моделюванні процесу збільшення розмірів дендрита вважається, що оточуюче його середовище є ідеальним діелектриком. Іншою особливістю є урахування збільшення поверхневої електропровідності стінок пробитих комірок під час витримки їх під напругою. Пробій мікрокомірки означає, що вона стала порожнистою. Провідність такої комірки визначається провідністю її стінок. Згідно з літературними даними, питомий поверхневий опір стінок порожнини в поліетилені під дією напруги падає на кілька порядків, і, таким чином, непровідні комірки під дією напруги стають провідними. Експериментальні дані про час до пробою мікрооб'ємів поліетилену при заданих рівнях напруженості електричного поля використовувалися як вихідні величини при моделюванні часу життя комірок діелектрика.