Вплив мікроструктури на поодинокі пружні хвилі зі спеціальними профілями в композитних матеріалах
Фізичні процеси розповсюдження пружних хвиль в композитних матеріалах з початковими профілями у вигляді функцій Уіттекера, Чебишова-Ерміта, вейвлета "мексиканський капелюх". Нові ефекти для поодиноких хвиль, які спричинені існуванням мікроструктури.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 10.08.2014 |
| Размер файла | 61,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМ. С.П. ТИМОШЕНКА
УДК 539.3+534.2
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
ВПЛИВ МІКРОСТРУКТУРИ НА ПООДИНОКІ ПРУЖНІ ХВИЛІ ЗІ СПЕЦІАЛЬНИМИ ПРОФІЛЯМИ В КОМПОЗИТНИХ МАТЕРІАЛАХ
01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла
ТЕРЛЕЦЬКА КАТЕРИНА ВАЛЕРІЇВНА
Київ - 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.
Науковий керівник:
Рущицький Ярема Ярославович, доктор фізико-математичних наук, професор, в. о. завідувача відділу реології, Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.
Офіційні опоненти:
Селезов Ігор Тимофійович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач відділу гідродинамічних процесів, Інституту гідромеханіки НАН України;
Жук Ярослав Олександрович, доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник відділу термопружності, Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України.
Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра механіки суцільних середовищ.
Захист відбудеться "22" лютого о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057 м. Київ, вул. Нестерова, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.
Автореферат розісланий "19" січня 2005 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 доктор фізико-математичних наук О.П. Жук.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
У роботі досліджується розповсюдження плоских поодиноких хвиль зі спеціальними профілями в композитних матеріалах.
Актуальність теми. Дисертаційна робота стосується двох наукових теорій: теорії хвиль та теорії композитних матеріалів, що активно розвиваються і становлять важливу складову сучасної механіки, і являє собою продовження досліджень, що проводились в Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка.
Дослідження хвиль, у тому числі і поодиноких, відноситься до актуальних проблем механіки, яка досліджує конструкції, де основним видом навантаження є динамічне. Гармонічні хвилі в матеріалах вивчаються, починаючи з початку ХІХ сторіччя. Класична лінійна теорія пружних хвиль була практично сформована у той самий час. Тоді ж у механіці рідини та газу почалося дослідження простих хвиль, головні результати яких належать Пуассону, Стоксу, Ері, Ірншоу та іншим видатним механікам.
Під поодинокими розуміються неперіодичні хвилі з початковим профілем, рівним нулеві практично всюди, крім деякого скінченого інтервалу. При детальному ознайомленні з теорією хвиль можна зробити висновок, що поодинокі хвилі активно вивчаються механіками до цього часу.
Задача про еволюцію хвиль є однією з основних у теорії хвиль, цій проблемі присвячена велика кількість робіт декількох поколінь вчених. Еволюція в більшості випадків розуміється як повільна, поступова зміна. Частіше за все цікавляться зміною профілю хвилі, і така зміна описується за допомогою деякої нелінійності. У твердих тілах така нелінійність враховується, головним чином, за допомогою моделей двох типів: 1) моделей, що описують гармонічні хвилі (навіть лінійні), коли дисперсійне співвідношення, що закладається в модель для цих хвиль, суттєво нелінійне; 2) класично нелінійних моделей твердого тіла, коли є нелінійними геометричні та визначальні співвідношення, і хвилі необов'язково гармонічні. Як свідчать основні монографії в неоднорідному твердому тілі спотворюються практично всі типи хвиль.
Механіка композитних матеріалів почала розвиватися як окремий науковий напрямок у другій половині двадцятого сторіччя. Суттєвий вклад у розвиток сучасних теорій композитних матеріалів внесли вчені Інституту механіки НАНУ Гузь О.М., Григоренко Я.М., Шевченко Ю.М., Хорошун Л.П., Шульга М.О., Бабич І.Ю., Камінський А.О., Коханенко Ю.В., Маслов Б.П. та інші.
Матеріал з мікроструктурою моделюється мікроструктурною теорією двофазної пружної суміші, для якої у випадку класичних вільних гармонічних хвиль характерне явище дисперсії, тобто в суміші фазові швидкості цих хвиль нелінійно залежать від частоти або від довжини хвилі. У поодиноких хвилях дисперсність суміші проявляється в залежності швидкості поширення цих хвиль від фази, яка в свою чергу, є функцією швидкості розповсюдження. Відмінність цих хвиль від простих полягає у тому, що у простих хвиль швидкість розповсюдження залежить від амплітуди. Тому поодинокі хвилі в суміші можна розглядати як новий тип хвиль в пружних матеріалах.
У дев'яностих роках ХХ сторіччя з'явилися роботи, в яких прості хвилі в пружних тілах стали предметом аналізу (Еделен, Фу і Скотт, Рущицький). Ці роботи підтвердили, що теорія простих хвиль у матеріалах з мікроструктурою є недостатньо дослідженою.
Отже, дослідження поодиноких хвиль у матеріалах з мікроструктурою є актуальним з точки зору розвитку теорії хвиль у матеріалах.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до наукових планів досліджень відділу динаміки поліагрегатних систем Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України. Отримані результати передбачені наступними темами відділу: 1. "Динаміка пружних тіл і систем сучасної техніки, що взаємодіють з середовищем, при періодичних та ударних навантаженнях" (1.3.339, 2001-2003); 2. "Аналіз динамічних процесів, пов'язаних з особливостями моделей матеріалів, хвилеводів та космічних апаратів" (1.3.1.343, 2004-2007).
Мета і завдання дослідження. Мета роботи включає: постановку та розв'язування задач про розповсюдження плоских поодиноких хвиль у композитних матеріалах; створення нового підходу щодо розв'язування цих задач; встановлення залежностей між особливостями еволюції хвиль, розмірами підошв хвиль та характерними розмірами мікроструктур матеріалів; комп'ютерне моделювання еволюції профілів поодиноких хвиль.
Задачі наукового дослідження. Для досягнення зазначеної мети виявилося необхідним виконати такі дослідження:
– теоретичний аналіз впливу мікроструктури на поодинокі пружні хвилі з використанням моделі лінійної теорії суміші;
– побудова нових наближених розв'язків у вигляді поодиноких хвиль і обґрунтування коректності таких розв'язків;
– введення у практику дослідження параметра, що відповідає характерному розмірові початкового профілю;
– розширення класів початкових імпульсів за допомогою застосування елементів вейвлет-аналізу;
– проведення комп'ютерного моделювання еволюції імпульсів різних форм та аналізу одержаних результатів.
Об'єктом наукового дослідження є поодинокі пружні хвилі, що поширюються в композитному матеріалі.
Предметом наукового дослідження є вплив мікроструктури на поодинокі пружні хвилі у композитному матеріалі.
Методи дослідження. Для досягнення зазначеної мети застосовувались методи теорії лінійних та простих хвиль в однорідних та неоднорідних матеріалах, методи функціонального та вейвлет аналізів, а також розвинені автором алгоритми, за допомогою яких виконувалось моделювання еволюції поодинокої хвилі, причому при моделюванні враховувалась нелінійна залежність фазової швидкості від фази, яка, в свою чергу, залежить від фазової швидкості.
Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна полягає у тому, що вперше розв'язані задачі про розповсюдження поодиноких хвиль з чотирма типами початкових профілів, побудовано нові наближені аналітичні розв'язки у вигляді простих хвиль і обґрунтовано коректність таких розв'язків. Внаслідок слабкої дисперсивності середовища хвиля, яка виникає завдяки збуренню-імпульсу з заданим профілем, буде спотворюватися повільно. Тоді на обмеженій відстані розповсюдження або, що те ж саме, за якийсь обмежений початковий проміжок часу, профіль цієї хвилі описується за допомогою функції, яка відповідає початковому імпульсу. Ідея про можливість описання еволюції профілю хвилі лише за допомогою зміни фазової змінної при незмінному функціональному представленні профілю лежить в основі дослідження простих хвиль. При цих припущеннях шуканий розв'язок класичної системи рівнянь розповсюдження хвиль у двофазній пружній суміші є наближеним. Проведено комп'ютерне моделювання впливу мікроструктури на поодинокі хвилі та побудовано графіки, які ілюструють взаємодію поодиноких хвиль з мікроструктурою.
Новим елементом у роботі є дослідження закономірностей поширення профілів поодиноких хвиль у залежності від співвідношення довжин підошв та характерних розмірів мікроструктур.
Вперше для розв'язання хвильових задач було запропоновано апарат вейвлет - аналізу. Використано вейвлет-аналіз на базі вейвлетів "мексиканський капелюх", які є пружними вейвлетами. Тобто, вони є розв'язками основної системи хвильових рівнянь для пружного матеріалу з мікроструктурою. Початковий профіль імпульсу представлено за допомогою пружних вейвлетів. Особливість цього представлення полягає у тому, що вейвлетам з різними рівнями розрізнення відповідають різні залежності фазової швидкості від фази.
Новим результатом у проведеному моделюванні є факт стабільності першої моди. Спостережено, що при розпаді початкового імпульсу на дві моди еволюція другої моди відбувається більш активно, тоді як перша мода еволюціонує значно повільніше.
Практичне значення одержаних результатів. Розв'язки нових динамічних задач теорії поодиноких хвиль у композитних матеріалах, одержані у роботі, можуть бути застосовані для дослідження прикладних технічних задач щодо розповсюдження хвиль у композитних матеріалах при ударних, вибухових та інших локально зосереджених силових імпульсах. Практичне значення мають також встановлені в роботі залежності характеру еволюції поодиноких хвиль від співвідношень між характерними розмірами мікроструктури та поодинокої хвилі.
Особистий внесок здобувача. Представлені до захисту результати були отримані дисертантом особисто. В опублікованих у співавторстві наукових роботах внесок дисертанта такий:
– у роботі, написаній у співавторстві з Я.Я. Рущицьким [1], був отриманий аналітичний розв'язок у вигляді простої хвилі з початковим профілем у вигляді функції Уіттекера;
– у роботах, написаних у співавторстві з Я.Я. Рущицьким та К. Каттані [2,3], були розроблені та реалізовані на ПК алгоритми, за допомогою яких проводилося моделювання еволюції поодиноких хвиль з різними початковими формами профілів, а також був проведений аналіз результатів щодо впливу характерного розміру мікроструктури на характер еволюції поодиноких хвиль.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу динаміки поліагрегатних систем Інституту механіки НАН України (2002-2004); науковому семінарі за напрямком "Теорія коливань і стійкість руху механічних систем" при Інституті механіки НАН України (2004); науковому семінарі з механіки кафедри механіки суцільних середовищ механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (2005). Важливі результати з дисертації доповідалися на 5-й та 10-й міжнародних конференціях з математики пам'яті академіка М. Кравчука (2000, 2004, Київ); міжнародних конференціях "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" (2001, 2003, Київ); SIAM-EMS "Applied Mathematics in our Changing World" (2001, Берлін); щорічній науковій конференції GAMM (2002, Аугсбург); 5-му Всесвітньому конгресі з обчислювальної механіки WCCM (2002, Відень); міжнародній конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (2003, Львів); 11-й Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (2004, Львів), та 21-му Міжнародному конгресі з теоретичної та прикладної механіки ICTAM (2004, Варшава).
Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 13 наукових праць, у тому числі 3 статті у фахових журналах і збірниках [1,2,3], які входять до переліку ВАК України, а також 10 робіт у збірниках матеріалів і праць конгресів та конференцій.
Структура й обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел з 205 найменувань. Робота включає 126 сторінок основного тексту, 34 рисунки, 1 таблицю, усього 153 сторінки.
Автор висловлює щиру вдячність науковому керівникові доктору фізико - математичних наук, професору Рущицькому Яремі Ярославовичу за постановку задачі, постійне наукове керівництво та увагу до роботи.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, обґрунтовано важливість і актуальність теми дисертації, викладено мету роботи та сформульовано основні положення, що виносяться на захист, практичне значення та наукову новизну результатів дисертаційної роботи.
Наводяться дані щодо апробації та структури роботи.
У першому розділі виконано огляд сучасного стану проблеми поширення хвиль у твердих тілах, окреслено етапи розвитку теорії хвиль у композиційних матеріалах, а також місце даної роботи серед проведених раніш досліджень і обґрунтовується вибір напрямів дослідження. Наводиться огляд історії розвитку теорії вейвлетів. Викладено основні положення з застосованих у дисертації теорії хвиль у твердих пружних сумішах, теорії двофазної пружної суміші, а також теорії вейвлет-аналізу.
Спочатку викладаються відомості з основних моделей і теорій, що враховують мікроструктуру. Формулюються основні положення лінійної теорії двофазної суміші, подано опис та фізичні сталі деяких композитів. Висвітлено загальні закономірності хвильового руху в твердих сумішах, а також наведено результати дослідів з плоскими хвилями в композитах. Систематично викладені елементи теорії простих хвиль, куди ввійшли як історичні аспекти, так і сучасні уявлення. Акцентується увага на процесі побудови Ріманном простих хвиль, тому що на них базується обґрунтування достовірності отриманого в роботі нового наближеного розв'язку у вигляді простої хвилі. У четвертому параграфі формулюються основні поняття та означення вейвлет-аналізу. Проведено порівняння перетворення Фур'є та вейвлет-перетворення та підкреслено переваги і нові властивості вейвлет-перетворення. Сформульовано основні означення і теореми щодо базисів, ортогональних та біортогональних, особливу увагу приділено фреймам.
У другому розділі викладено основні положення теорії поодиноких хвиль, які поширюються в композитних матеріалах. Головною метою в цій частині дисертації є вивчення трансформації основних властивостей періодичних гармонічних хвиль при переході до неперіодичних простих хвиль, у тому числі хвиль поодиноких. Однак для цього існує заборона, яка полягає у тому, що характерне для двофазної пружної суміші рівняння поширення хвиль не допускає розв'язків типу Д'Алямбера.
Рівняння поширення плоских поздовжних хвиль у двофазній суміші
,
має розв'язок у вигляді гармонічних дисперсійних хвиль "Заборона" розв'язку типу Д'Алямбера в рівняннях (1) спричинена наявністю в цих рівняннях членів . Гармонічні розв'язки мають місце завдяки специфічній властивості експоненти як функції, всі похідні якої виражаються через цю функцію. Тому логічно поставити таке питання: якщо початково задати певний імпульс у вигляді не довільної, як це є в умовах існування розв'язку Д'Алямбера, а певної функції з потрібними нам властивостями, то чи буде далі цей імпульс поширюватися у тому самому вигляді, тобто чи буде існувати розв'язок у вигляді простої хвилі, профіль якої визначається початково заданою функцією?
Означимо згадану вище властивість функції як таку, що її друга похідна виражається через саму функцію. Три класи спеціальних функцій математичної фізики таку властивість мають: функції Чебишова-Ерміта, Уіттекера та Матьє.
Функції Уіттекера та Чебишова-Ерміта є розв'язками наступних диференціальних рівнянь
Рівняння (3) мають однакову структуру
де - відома функція.
Якщо тепер вибрати початковий імпульс з аналітичним записом через функцію з (4) і шукати розв'язок у вигляді простої хвилі з таким самим профілем, то згадувані вище некласичні члени вже не перешкоджають при підстановці розв'язку в систему (1) перетворенню цих рівнянь у рівняння для знаходження виразів нелінійної залежності фазової швидкості від фази. Така залежність перетворює розв'язки в прості хвилі.
Важливу увагу в цьому розділі приділено факту впливу характерного розміру мікроструктури та розміру підошви поодинокої хвилі на еволюцію хвилі. Довжина хвилі є особливим параметром, який використовується для визначення границь застосовності усіх теоретичних схем розповсюдження хвиль. Підошва для поодинокої хвилі може відігравати роль довжини гармонічної хвилі, тобто підошву можна спробувати зіставляти з характерним розміром мікроструктури та визначати, як враховувати мікроструктуру в моделі середовища розповсюдження та чи враховувати її взагалі. Саме тому в цьому розділі обґрунтовується необхідність введення нового параметру, який відповідає за розмір підошви початкового імпульсу.
У третьому розділі проводиться комп'ютерне моделювання поодиноких хвиль з профілями у вигляді функцій Уіттекера та Чебишова - Ерміта (Рис. 1 а, б) для реальних композитних матеріалів "алюмінієва матриця - вольфрамові волокна" з різним об'ємним вмістом вольфрамового дроту та і характерними розмірами мікроструктури та .
Розглядається задача про розповсюдження початкового збурення Розв'язки системи (1) шукаються у вигляді.
Дисперсійні співвідношення, які нелінійно зв'язують фазову швидкість від фази, мають вигляд:
Зазначимо, що множник не є випадковим. Річ у тім, що з дев'яти фізичних постійних ізотропної теорії двофазної суміші лише одна постійна силової взаємодії залежить від характерного розміру мікроструктури.
Представлено графіки залежності фазової швидкості від фази для першого композитного матеріалу для трьох різних перевищень підошви хвилі характерного розміру мікроструктури (Рис. 1 в, г), а також графіки, що ілюструють еволюції хвиль з двома різними початковими профілями, та розміром підошви хвилі, що перевищує характерний розмір мікроструктури у 10 разів рис. 2 (еволюція хвиль з початковим профілем (а), (в) - Уіттекера, (б), (г) - Чебишова-Ерміта нульових індексів). На цих рисунках по осі абсцис відкладається відстань, яка проходиться хвилею (у сантиметрах), по осі ординат - час розповсюдження (у мікросекундах), по осі аплікат - амплітуда (у десятих долях міліметра).
Проведене моделювання дає підстави для формулювання таких висновків:
- спостережено класичний для суміші розпад хвилі на дві моди, що поширюються з різними фазовими швидкостями та різними амплітудами;
- виявлено стабільність першої моди, а саме спостережено, що при розпаді по-чаткового імпульсу на дві моди еволюція другої моди відбувається більш активно, тоді як перша мода еволюціонує значно повільніше. Під стабільністю розуміється збереження форми початкового імпульсу при проходженні хвилею відстані у декілька розмірів підошв. Факт стабільності випливає з графіків залежності фазової швидкості від фази (Рис. 1 в, г): швидкість для першої моди представляє собою майже пряму, у той час коли швидкість другої набуває змін біля значення фази, що відповідає точці перегину початкового профілю;
- встановлено, що на відстані порядку 10 початкових підошв перша мода ще зберігає свою початкову форму, тоді як друга мода значно спотворюється;
- як і у випадку гармонічних хвиль, одночасно поширюються дві моди в двох ко-мпонентах композитного матеріалу;
- відзначена суттєва залежність відстані, на якій проявляється еволюція профілю, від характерних розмірів початкового профілю та мікроструктури матеріалу;
- відмічені відмінності в еволюції хвиль з профілями Уіттекера і Чебишова - Ерміта. Навіть при малих значеннях підошви профілю, коли на початкових стадіях (дві довжини підошви) поширення вже повинна проявлятися друга мода, у випадку профілю Уіттекера, на відміну від профілю Чебишова-Ерміта, як видно з графіків, таке не відбувається. Тобто еволюція певним чином залежатиме від початкової форми профілю.
У четвертому розділі обґрунтовується доцільність застосування вейвлетів для дослідження еволюції поодинокої хвилі у суміші. Ідея розширення класу початкових імпульсів полягає саме у застосуванні апарату вейвлет-аналізу. Це стає можливим завдяки зв'язку функцій, що є розв'язками системи (1), а саме функцій Чебишова-Ерміта, з існуючими у вейвлет - аналізі вейвлетами "Мексиканський капелюх" (Mexican Hat wavelet або МН-вейвлет).
Викладаються відомості щодо класу фізичних вейвлетів, до якого відносять оптичні, акустичні, гармонічні та пружні вейвлети. Пружні вейвлети були запропоновані в роботі Рущицького Я.Я. та Каттані К., виходячи з ідеї Кайзера про фізичний вейвлет як такий, що є розв'язком лінійного хвильового рівняння. У даному випадку, пружний вейвлет є розв'язком хвильового рівняння для лінійного пружного дисперсійного середовища. Прикладом такого середовища є двофазна пружна суміш, базове рівняння якої має вигляд (1), і розв'язок якого може бути представлено за допомогою функції Чебишова-Ерміта. Ці функції можна, в свою чергу, зв'язати з МН-вейвлетом. Це є основною причиною того, що першим кандидатом у пружні вейвлети був визначений МН-вейвлет.
МН-вейвлет (друга похідна від Гаусіана) є одним із спеціальних та часто вживаних прикладів неперервних вейвлетів. Він був запропонований в теорії комп'ютерних та телевізійних зображень для більш точного визначення різких переходів у зображеннях. Аналітично материнський вейвлет та його Фур'є - перетворення записуються у вигляді
Ці функції зображені на рис 3.
У роботі МН - вейвлети використовуються шляхом представлення початкового імпульсу за допомогою цих вейвлетів та подальшого опису зміни профілю, яка спричинена геометричною дисперсією. Система вейвлетів будується з використанням масштабного перетворення та трансляції базової функції . Саме за рахунок зміни масштабів вейвлети здатні виявляти відмінності в характеристиках на різних масштабах, а шляхом трансляції - аналізувати властивості сигналу в різних точках інтервалу, що вивчається. Слід також відмітити, що алгоритми реконструкції сигналу за вейвлетними коефіцієнтами, які використовуються у вейвлетаналізі, будуть чисельно стійкими тоді, коли сімейство вейвлетівутворює фрейм. Для кращої збіжності треба вибирати фрейми, які близькі до тісних фреймів.
Згідно з загальною теорією вейвлетів, апроксимація функції довільними вейвлетами:
,
які утворюють фрейм з границею (у тому числі і МН - вейвлетами), може бути записана у вигляді розкладу за вейвлетними функціями з вейвлетними коефіцієнтами:
Дуже часто (як і в нашому випадку) функція задана на деякому скінченому інтервалі (кажуть, що сигнал має скінчену підошву). У вейвлет - аналізі це спрощення можна врахувати, залишаючи в сумі (11) за трансляціями лише ті складові, які разом покривають підошву сигналу . Формально це має наслідком збереження в сумі за індексом деякої скінченої кількості складових.
Крім того, можна використати не весь набір вейвлетних коефіцієнтів , а лише їх частину, відкидаючи маленькі коефіцієнти, які не перевищують деяке задане значення . Цей стандартний метод оцінок має назву оцінки за пороговими коефіцієнтами. Він базується на тому факті, що в основній частині області визначення для досить гладкої функції багато вейвлетних коефіцієнтів є дуже малими.
Базовий МН - вейвлет має центром абсцису і його основна маса сконцентрована на інтервалі ; цей інтервал називають також ефективним носієм МН. Кожен вейвлет , який породжений базовим МН - вейвлетом, має центром точку
,
і розмір його носія пропорційний ефективному носію з коефіцієнтом . Загальна теорія базується на тому, що кожному рівню розрізнення відповідає свій набір вейвлетних коефіцієнтів, їх положення визначається центрами вейвлетів . Абсолютна величина кожного вейвлет-коефіцієнта залежить від локальної регулярності досліджуваної функції в околі точки . Зменшення вейвлет-коефіцієнтів при зменшенні масштабу залежить від локальної гладкості функції.
Головна ідея застосування системи МН - вейвлетів при дослідженні еволюції поодиноких хвиль полягає у представленні початкового профілю хвилі через ці вейвлети та припущенні, що при розповсюдженні в слабо дисперсійному середовищі профіль буде слабо змінюватися, тобто не буде змінювати форму при розповсюдженні поодинокої хвилі на відстані, рівній довжині підошви хвилі. Вейвлетні коефіцієнти покладаються постійними, і зміна профілю відбувається внаслідок нелінійних змін фазових швидкостей , які входять до аргументу МН - вейвлетів.
Далі в цьому розділі на підставі описаної вище методики досліджується еволюція імпульсу, що має початковий імпульс у вигляді самого МН-вейвлета, тобто імпульс має форму, яка показана на рис. 3,а.
На рис. 4, а показано решітку вейвлет-коефіцієнтів, що залишилися при сумуванні лише за коефіцієнтами . При такому пороговому значенні відповідна вейвлет-апроксимація початкового імпульсу за допомогою вейвлета має вигляд.
На рис. 4 б-г зображено еволюцію імпульсу у часі для трьох різних розмірів підошв, що перевищують характерний розмір мікроструктури у 100, 50,10 разів ві-повідно. По осі абсцис відкладається відстань, яка проходиться хвилею (у сантиметрах), по осі ординат - час розповсюдження (у мікросекундах), по осі аплікат - амплітуда (у десятих долях міліметра).
У п'ятому розділі cпочатку показані приклади використання вейвлетів у чисельних методах і представлено адаптивну методику розв'язання рівнянь у частинних похідних. В результаті окреслено місце запропонованої методики. Проведено огляд експериментів з короткотривалими навантаженнями і представлені описи і результати цих експериментів.
Основна частина цього розділу стосується моделювання еволюції спеціальних профілів: профілів, що виникають при ударних та вибухових навантаженнях. Профілі типу (рис. 5, а) виникають при співударі алюмінієвих або стальних стержнів. Еволюцію побудовано для п'яти послідовних моментів часу (у мікросекундах), по вісі відкладається відстань у метрах. На цьому ж рисунку зображено еволюцію окремо двох мод, що утворюються після розпаду початкового імпульсу з підошвою, що перевищує характерний розмір мікроструктури у 10 разів. На відстані порядку 10 початкових підошв перша мода ще зберігає свою початкову форму, тоді як друга мода значно спотворюється. пружна хвиля композитний мікроструктура
Виконано моделювання еволюції профілів, що виникають при вибухових навантаженнях. В цьому випадку, як випливає з експериментів, початковий імпульс має трикутну форму, що ускладнює ситуацію. Для того, щоб зробити апроксимацію вейвлетами більш точною, додатково до базових вейвлетів беруться проміжні "голоси" які, як і базові вейвлети, мають центрами точки , а розміри їх носіїв пропорційні ефективному носію з коефіцієнтом на відміну від базових вейвлетів з коефіцієнтами . Така система вейвлетів утворює тісний фрейм.
На рис. 6,а показано піраміду коефіцієнтів, що перевищують порогове значення, що вказує на локальну особливість досліджуваного сигналу, і в цьому полягає ще одна перевага вейвлетного представлення - можливість сфокусуватися на сингулярностях або різких перепадах сигналу.
Отриманий наближений розв'язок представляється сумою розв'язків системи базових хвильових рівнянь, тобто сам є розв'язком аналогічно до того, як і МН - вейвлети, що входять в суму, є розв'язками відповідної системи. Зазначимо, що наближеність отриманого розв'язку полягає у записі розв'язку у вигляді вейвлетів і в скінченій кількості членів сумування. Трикутний імпульс, що поширюється в суміші, представляється у вигляді.
Його еволюцію зображено на рис. 6, в, г. На рис. 6, в значення по часу . На рис. 6, г по осі абсцис відкладається відстань, яка проходиться хвилею (у сантиметрах), по осі ординат - час розповсюдження (у мікросекундах), по осі аплікат - амплітуда (у десятих долях міліметра).
Перевагою вейвлет-аналізу при дослідженні еволюції хвильових профілів є те, що експериментальні імпульси, які не мають аналітичного представлення, можуть бути розглянуті за допомогою пружних вейвлетів, які мають аналітичне представлення та є розв'язками хвильової системи рівнянь для пружного матеріалу з мікроструктурою, що значно розширює клас досліджуваних початкових профілів. Застосування розкладу за пружними вейвлетами дає можливість розглядати профілі практично довільної форми, а також дозволяє проводити дослідження профілів з особливостями і з заданою точністю досліджувати еволюцію таких профілів.
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ
Дисертаційна робота присвячена дослідженню впливу мікроструктури на поодинокі хвилі з різними формами початкових профілів в пружних композитних матеріалах.
Основні результати, отримані автором:
1. Вперше розв'язано задачу про розповсюдження поодиноких пружних хвиль в композитних матеріалах з початковими профілями у вигляді функцій Уіттекера, Чебишова-Ерміта, вейвлета "мексиканський капелюх" та профілями, які описані іншими авторами, що експериментально досліджували співудар алюмінієвих та сталевих стержнів з плоскими торцями та вибухове навантаження.
2. Побудовано нові наближені аналітичні розв'язки у вигляді поодиноких хвиль і обґрунтовано коректність таких розв'язків.
3. У практику дослідження введено параметр, що відповідає характерному розмірові початкового профілю. Проведено теоретичний та числовий аналіз еволюції поодиноких хвиль з різними формами початкових профілів, а також з різними співвідношеннями між характерним розміром мікроструктури та розміром підошви початкового профілю.
4. Для розширення класу досліджуваних початкових імпульсів були вперше в теорії композитних матеріалів застосовані вейвлети.
5. Проведено комп'ютерне моделювання еволюцій хвиль з початковими імпульсами різних форм та детальний аналіз одержаних результатів. Побудовано графіки, що ілюструють зміну початкового профілю.
6. Описані ефекти для поодиноких хвиль, що спричинені існуванням мікроструктури, а саме:
– спостережено класичний для суміші розпад хвилі на дві моди, що поширюються з різними фазовими швидкостями та різними амплітудами;
– як і у випадку гармонічних хвиль, одночасно поширюються дві моди в двох компонентах композитного матеріалу.
А також нові ефекти:
– виявлено стабільність першої моди, а саме спостережено, що при розпаді початкового імпульсу на дві моди еволюція другої моди відбувається більш активно, тоді як перша мода еволюціонує повільніше. Під стабільністю розуміється збереження форми початкового імпульсу при проходженні хвилею відстані у декілька розмірів підошв. Встановлено, що на відстані порядку 10 початкових підошв перша мода ще зберігає свою початкову форму, тоді як друга мода значно спотворюється;
– відзначена суттєва залежність відстані, на якій проявляється еволюція профілю, від характерних розмірів початкового профілю та мікроструктури матеріалу.
7. Відмічено, що найбільш стійкими є профілі, які виникають при співударі, а також дзвіноподібні профілі, а нестійкими є трикутні профілі, які виникають в результаті вибухових навантажень, а також профілі у вигляді функцій Уіттекера.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Рущицкий Я.Я., Терлецкая Е.В. О моделировании одиночных плоских бегущих волн // Прикл. механика. - 2000. - 36, № 11. - С. 104-109.
2. Рущицкий Я.Я., Каттани К., Терлецкая Е.В. О влиянии характерного размера микроструктуры материала и размера подошвы одиночной волны на характер эволюции волны // Прикл. механика. - 2003. - 39, № 2. - С. 85-91.
3. Рущицкий Я.Я., Каттани К., Терлецкая Е.В. Анализ эволюции одиночной волны в материале с применением теории вейвлетов // Прикл. механика. - 2004. - 40, № 3. - C. 89-97.
4. Терлецька К.В. Розповсюдження хвиль з початковим профілем у вигляді графіків функцій Уіттекера в композитах // Пр. VII Міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука. - К.: Нац. техн. унів. України "КПІ", 2000. - C.195.
5. Терлецька К.В. Розповсюдження поодиноких хвиль в композитах // Пр. Міжнар. конф. "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation". - Київ,2001. - С. 325.
6. Terletska K.V. Modelling of Solitary Waves in Composite Materials // 1st SIAM-EMS Conference "Applied Mathematics in our Changing World", Berlin, 2001. - P. 54
7. Terletska K.V. Modelling of Solitary Plane Waves in Materials with Microstructure // Book of Abstracts, Fifth World Congress on Computational Mechanics (WCCM 2002). - Vienna, 2002. - v. I. - P. 287.
8. Terletska K.V. Solitary Waves in Composites // GAMM 2002, Book of Abstracts, Annual Scientific Conference; University of Augsburg, 2002. - P.165.
9. Терлецька К.В. Дослідження впливу початкового розміру підошви хвилі та мікроструктури матеріалу на розповсюдження поодинокої хвилі // Пр. Міжнар. конф. "Dynamical systems modelling and stability investigation". - Київ,2003. - С. 361.
10. Терлецька К.В. Комп'ютерне моделювання поширення поодиноких хвиль в пружних матеріалах з мікроструктурою // Пр. VI Міжнар. конф. "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур". - Львів, 2003. - C. 379-381.
11. Терлецька К.В., Симчук Я.В. Використання вейвлет-фреймів в процесі моделювання розповсюдження поодиноких хвиль у композитах // Пр. X Міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука. - К.: Нац. техн. унів. України "КПІ", 2004. - C.195.
12. Terletska K.V. Modeling of solitary impulses in a composite material using wavelet analysis // Book of Abstracts of XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM 2004). - Warsaw, 2004. - P. 277-278.
13. Терлецька К.В., Симчук Я.В. Застосування методів вейвлет-аналізу при моделюванні еволюції імпульсів // Пр. XI Всеукр. конф. "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики". - Львів, 2004. - C. 126.
АНОТАЦІЯ
Терлецька К.В. Вплив мікроструктури на поодинокі пружні хвилі в композитних матеріалах. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла. - Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, Київ, 2005.
Дисертаційна робота присвячена дослідженню впливу мікроструктури на поодинокі хвилі з різними формами початкових профілів в пружних композитних матеріалах. Розв'язано задачу про розповсюдження поодиноких пружних хвиль в композитних матеріалах з початковими профілями у вигляді функцій Уіттекера, Чебишова-Ерміта, вейвлета "мексиканський капелюх" та профілями, які описані іншими авторами, що експериментально досліджували співудар алюмінієвих та сталевих стержнів з плоскими торцями та вибухові навантаження. Побудовані нові наближені аналітичні розв'язки у вигляді поодиноких хвиль і обґрунтовано коректність таких розв'язків. При розширенні класу досліджуваних початкових імпульсів застосований вейвлет-аналіз. Побудовані графіки, що ілюструють зміну початкового профілю. Виявлено стабільність першої моди, а саме спостережено, що при розпаді початкового імпульсу на дві моди еволюція другої моди відбувається більш активно, тоді як перша мода еволюціонує повільніше. Описані нові ефекти для поодиноких хвиль, які спричинені існуванням мікроструктури.
Ключові слова: поодинокі пружні хвилі, композитний матеріал, теорія суміші, еволюція профілю, характерний розмір мікроструктури, вейвлет-аналіз.
АННОТАЦИЯ
Терлецкая Е.В. Влияние микроструктуры на одиночные упругие волны в композитных материалах. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформированного твердого тела. - Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2005.
Диссертационная робота посвящена исследованию влияния микроструктуры на одиночные волны с разными формами начальных профилей в упругих композитных материалах. Композитные материалы рассматриваются в рамках микроструктурной теории второго порядка - микроструктурной теории двухфазной упругой смеси, которая для гармонических волн является дисперсивной средой. То есть, в смеси фазовые скорости гармонических волн нелинейно зависят от частоты, или от длины волны. Дисперсивность смеси в случае одиночных волн проявляется в зависимости фазовой скорости от фазы, которая в свою очередь зависит от скорости распространения волны.
Решена задача о распространении одиночных упругих волн в композитных материалах с начальными профилями в виде функций Уиттекера, Чебышева-Эрмита, вейвлета "Мексиканская шляпа" и профилями, полученными другими авторами экспериментально при соударении алюминиевых и стальных стержней а также при импульсном нагружении. Построены новые приближенные аналитические решения в виде одиночных волн и обоснована корректность таких решений. При расширении класса исследуемых начальных импульсов применен вейвлет-анализ. Построены графики, которые иллюстрируют изменение начального профиля. Обнаружена стабильность первой моды, а именно наблюдалось, что при делении начального импульса на две моды эволюция второй моды происходит более активно, в то время как первая мода эволюционирует слабо. Описаны новые эффекты для одиночных волн, связанные с наличием микроструктуры.
Ключевые слова: одиночные упругие волны, композитный материал, теория смеси, эволюция профиля, характерный размер микроструктуры, вейвлет-анализ.
SUMMARY
Terletska K.V. On influence of microstructure on the solitary elastic waves in composite materials. - Manuscript.
Thesis for a candidate's degree of physical and mathematical sciences on specialty 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solid. - Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2005.
The Thesis is devoted to studying an influence of the microstructure on solitary waves with different initial profile shapes propagating in elastic composite materials. The problem of solitary elastic wave propagation in the case of profiles in the form of Chebyshov-Hermit and Whittaker functions, Mexican Hat wavelet, and profile, obtained by others authors for rods impact and impulsive loading experiments is solved. New approximate analytical solutions in the form of solitary waves were built and the correctness of such solutions was proved. To enlarge the class of investigated impulses the wavelet analysis was used. Plots illustrated the initial profile distortion were built. Stability of the first mode was detected. During splitting of the initial profile into two modes the first mode is changed slowly and the second one reveals more evolution's properties. New solitary wave phenomena associated with microstructure were described.
Key words: solitary elastic waves, composite material, mixture theory, profile evolution, characteristic size of the microstructure, wavelet-analysis.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вплив зовнішнього магнітного поля на частоту та добротність власних мод низькочастотних магнітопружних коливань у зразках феритів та композитів з метою визначення магнітоакустичних параметрів та аналізу допустимої можливості використання цих матеріалів.
автореферат [1,4 M], добавлен 11.04.2009Поширення коливань в однорідному пружному середовищі. Рівняння плоскої гармонійної хвилі. Енергія хвилі. Вектор Умова. Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі. Хвилі поздовжні і поперечні. Форма фронта хвилі. Процес поширення хвилі в якому-небудь напрямі.
лекция [256,9 K], добавлен 21.09.2008Існування електромагнітних хвиль. Змінне електромагнітне поле, яке поширюється в просторі з кінцевою швидкістю. Наслідки теорії Максвелла. Хвильові рівняння електромагнітних хвиль та рівняння Максвелла. Енергія електромагнітних хвиль, вектор Пойнтінга.
реферат [229,2 K], добавлен 06.04.2009Поняття хвильових процесів, їх сутність і особливості, сфера дії та основні властивості. Різновиди хвиль, їх характеристика та відмінні риси. Методика складання та розв’язання рівняння біжучої хвилі. Сутність і умови виникнення фазової швидкості.
реферат [269,7 K], добавлен 06.04.2009Сутність і практичне значення принципу суперпозиції хвиль. Умови виникнення та методика розрахунку групової швидкості хвиль. Зв'язок між груповою та фазовою швидкістю, схожі та відмінні риси між ними. Поняття інтерференції, її сутність і особливості.
реферат [249,4 K], добавлен 06.04.2009Взаємодія електромагнітних хвиль з речовиною. Особливості поширення електромагнітних хвиль радіочастотного діапазону в живих тканинах. Характеристики полів, що створюються тілом людини. Електронні переходи в збудженій молекулі. Фоторецепторні клітини.
реферат [238,5 K], добавлен 12.02.2011Змінне електромагнітне поле в однорідному середовищі та вакуумі. Поводження хвиль на границях розділу. Відбивна й пропускна здатність, кут Брюстера. Рівняння поширення хвиль у оптичному хвилеводі. Дисперсійні рівняння тришарового діелектричного хвилеводу.
курсовая работа [289,9 K], добавлен 21.01.2011Загальне поняття інтерференції хвиль. Інтерференція монохроматичних світлових хвиль. Екстремальні значення результуючої інтенсивності. Форми інтерференційних смуг. Способи розподілу пучків світла. Просторова і тимчасова когерентність оптичних джерел.
контрольная работа [412,4 K], добавлен 08.12.2010Вплив умов одержання, хімічного складу і зовнішніх чинників на формування мікроструктури, фазовий склад, фізико-хімічні параметри та електрофізичні властивості склокерамічних матеріалів на основі компонента з фазовим переходом метал-напівпровідник.
автореферат [108,5 K], добавлен 11.04.2009Електромагнітні імпульси у середовищі, взаємодія електромагнітних хвиль з речовиною. Квантовій опис атомів і резонансна взаємодія з електромагнітним полем, площа імпульсів. Характеристика явища фотонної ехо-камери та його експериментальне спостереження.
курсовая работа [855,2 K], добавлен 13.08.2010Електромагнітна хвиля як змінне електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Властивості електромагнітних хвиль. Опис закономірностей поляризації світла, види поляризованого світла. Закон Малюса. Опис явища подвійного променезаломлення.
реферат [277,9 K], добавлен 18.10.2009Напівкласична теорія теплопровідності. Теоретичні аспекти ТЕ-наноматеріалів. Отримання зменшеної теплопровідності в сипких матеріалах. Квантово-розмірні ефекти: умови і прояви. Принципи впровадження наноструктур. Перспективи матеріалів на основі PbTe.
дипломная работа [3,2 M], добавлен 11.11.2014Біполярний транзистор як напівпровідниковий елемент електронних схем, із трьома електродами, один з яких служить для керування струмом між двома іншими. Схема радіозв`язку та її елементи, розповсюдження електромагнітних хвиль у вільному просторі.
контрольная работа [73,3 K], добавлен 11.01.2013Аттрактор Лоренца і хаос в рідині. Відображення нелінійних коливань. Перемежана і перехідний хаос. Тривимірні пружні стрижні і струни. Хаос в матричному друкуючому пристрої. Фізичні експерименти з хаотичними системами. Фрактальні властивості хаосу.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 25.07.2009Порівняння характеристик щільності енергії та потужності випромінювання. Електрони і як вони взаємодіють електромагнітні поля важливі для нашого розуміння хімія і фізика. Квантові та класичні процеси викидів, довжини хвиль комерційно доступних лазерів.
реферат [1,6 M], добавлен 10.06.2022Особливості поглинання енергії хвилі коливальними однорідними поверхневими розподілами тиску. Характеристика та умови резонансу. Рекомендації щодо підвищення ефективності використання енергії системою однорідних осцилюючих поверхневих розподілів тиску.
статья [924,3 K], добавлен 19.07.2010Природа світла і закони його розповсюдження. Напрямок коливань векторів Е і Н у вільній електромагнітній хвилі. Світлові хвилі, поляризація світла. Поширення світла в ізотропному середовищі. Особливості відображення і заломлення на межі двох середовищ.
реферат [263,9 K], добавлен 04.12.2010Інтерференційні пристрої, чутливі до різниці фазових набігів хвиль. Інтерферометр Жамена та вимірювання величини показника заломлення повітря інтерферометром Релея. Зоряний інтерферометр Майкельсона. Інтерференція проміння: інтерферометр Фабри-Перо.
реферат [87,6 K], добавлен 04.09.2009Загальна характеристика та порівняння ефективності, перспективи подальшого застосування різних видів альтернативної енергії: сонячної та земної теплової, приливів і хвиль, біопалива, атмосферної електрики. Їх сучасний стан і оцінка досягнень видобування.
презентация [671,7 K], добавлен 10.03.2019Комбінаційне і мандельштам-бріллюенівське розсіювання світла. Властивості складних фосфорвмісних халькогенідів. Кристалічна будова, фазові діаграми, пружні властивості. Фазові переходи, пружні властивості, елементи акустики в діелектричних кристалах.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 25.10.2011
