Явища стохастизації траєкторій домішкових іонів та потоків частинок у високотемпературній плазмі у стелараторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА

Шишкін Олег Олександрович

УДК 533.951

Явища стохастизації траєкторій ДОМІШКОВИХ ІОНІВ Та ПОТОКІВ ЧАСТинОК У ВИСОКОТЕМПЕРАТУРНІЙ ПЛАЗМІ У СТЕЛАРАТОРІ

01.04.08 - фізика плазми

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків -2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

АЗАРЄНКОВ Микола Олексійович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, декан фізико-технічного факультету, директор Інституту високих технологій.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ЄГОРЕНКОВ Володимир Дмитрович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, професор кафедри експериментальної фізики;

доктор фізико-математичних наук

ТКАЧЕНКО Віктор Іванович,

Національний науковий центр “Харківський фізико-технічний інститут”, директор науково-виробничого комплексу “Відновлювані джерела енергії та ресурсозберігаючі технології”.

Провідна установа:

Інститут ядерних досліджень, відділ теорії ядерного синтезу, НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 09.12.2005 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.12 Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61108, м. Харків, пр. Курчатова 31, ауд. 301.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4.

Автореферат розіслано 05.11.2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Письменецький С.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

стеларатор плазма дрейфовий тороїдний

Актуальність теми Тема дисертації безпосередньо пов'язана з вирішенням проблеми керованого термоядерного синтезу [1] у тороїдних магнітних пастках стелараторного типу. Найвідоміші сучасні пастки стелараторного типу [2] є модифіковані стеларатори: Wendelstein 7-AS [2] (Max-Planck-Institut fur Plasmaphysik, Garching, Germany), Wendelstein 7-X (Max-Planck-Institut fur Plasmaphysik, Greifswald, Germany), National Compact Stellarator Experiment / NCSX / (Princeton Plasma Physics Laboratory, USA), торсатрони: Large Helical Device / LHD /, (National Institute for Fusion Science, Toki, Japan) [3], а також Ураган-3М, Ураган-2М (Інститут фізики плазми, Національний науковий центр „Харківський фізико-технічний інститут”) та пастки із просторовою магнітною віссю, наприклад /TJ-II/ (Spain). Найбільшого успіху щодо утримання плазми в стелараторних пристроях досягнуто на торсатроні LHD та стелараторі Wendelstein 7-AS. У теперішній час активного розвитку набуває напрямок, який пов'язаний з дрейфово-оптимізованими конфігураціями. Таку конфігурацію впроваджено у стелараторах, що будуються, Wendelstein 7-X та NCSX. У стелараторі Wendelstein 7-X така конфігурація отримала назву - HELIAS [4], і саме ця конфігурація має нести у собі оптимальні умови щодо утримання високотемпературної плазми. Ці умови потребують наявності острівної диверторної структури із стохастичною поведінкою силових ліній магнітного поля, які сприяють ізоляції високотемпературної плазми в основному об'ємі утримання від матеріалу стінки вакуумної камери термоядерної пастки. Принциповою проблемою, яка ускладнює здійснення керованого термоядерного синтезу, є присутність в основній плазмі іонів домішки, які розпорошуються з поверхні вакуумної камери та диверторних пластин під час інтенсивної взаємодії основної плазми зі стінкою [2]. Згідно останніх технологій матеріал, який використовується для конструювання вакуумної камери та дивертору, містить у собі сплав вольфраму та молібдену [5], тому іони саме цих матеріалів будуть потрапляти до плазми та викликати високі радіаційні втрати енергії, що у свою чергу може спричинити загасання плазмового розряду.

Предметом, що вивчається в дисертації, є стохастизація траєкторій заряджених частинок, а саме, іонів домішки, які потрапляють до основної плазми зі стінок вакуумної камери, а також поведінка потоків частинок поблизу резонансних структур магнітної конфігурації. Тісний зв'язок предмета, що вивчається, із сучасними дослідженнями у галузі керованого термоядерного синтезу у стелараторних пристроях і визначає актуальність обраної теми.

Зв'язок праці з науковими програмами, планами, темами Дослідження, що склали зміст дисертації, проведені відповідно до державних науково-дослідних програм, що виконуються на кафедрі фізики плазми фізико-технічного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за держбюджетною темою №14-13-00: „Фундаментальні дослідження плазмово-пучкових систем з метою розробки на їх основі нових наукоємних технологій” (2000-2002, № державної реєстрації 0100U003293), за держбюджетною темою №14-13-03: „Комплексні дослідження пучків заряджених частинок та їхня взаємодія з речовиною для створення новітніх технологій” (2003-2005, № державної реєстрації 0103U004200). Колективний рух важких іонів домішки у високотемпературній плазмі термоядерного реактора HELIAS вивчався за двома зазначеними нижче проектами НТЦУ: проект № P054 “Перенесення домішкових іонів у стелараторах та розвиток методів нанесення покриттів на антени, що працюють у діапазоні іонного циклотронного резонансу”; проект № 2313 “Перенесення домішок та електромагнітні хвилі в периферійній плазмі в конфігурації ГЕЛІАС реактора та Вендельштайн 7-X”. В цих проектах дисертант був виконавцем.

Мета і задачі дослідження Під час виконання роботи були поставлені наступні цілі:

- вивчити колективне перенесення іонів домішки з високим зарядовим числом у тороїдній магнітній конфігурації за наявністю резонансних структур магнітного поля, таких як острови та стохастичні шари;

- розробити методи контролю перенесення іонів домішки у пастках стелараторного типу, а саме, у дрейфово-оптимізованих конфігураціях;

Для досягнення цілей необхідно було розв'язати наступні задачі:

- дослідити явище стохастизації траєкторії важкого іона домішки за наявності резонансних структур магнітного поля;

- розробити методи, за допомогою яких описати поведінку іонів домішки у стохастичних магнітних полях;

- побудувати аналітичні вирази для потоків дрейфових центрів іонів домішки у стохастичному магнітному шарі;

- проаналізувати статистичні дані, які отримані автором, щодо дифузії іонів домішки у плазмі дрейфово-оптимізованого стеларатора.

Наукова новизна отриманих результатів Розв'язані наступні задачі:

- вперше показано, що явище стохастизації траєкторії важкого іона домішки має місце за наявністю резонансних структур магнітного поля;

- вперше запропоновано використовувати поняття розпливу дрейфової поверхні для опису дифузії іонів домішки у стохастичних магнітних шарах;

- вперше за допомогою аналітичного дослідження отримані вирази для стохастичних коефіцієнтів дифузії, які описують розплив дрейфової поверхні у стохастичних магнітних полях із застосуванням магнітних координат;

- вперше отримано аналітичний вираз для функції дрейфової поверхні за наявності одного ізольованого резонансу із застосуванням магнітних координат;

- вперше отримано аналітичний вираз для функції розподілу дрейфових центрів заряджених частинок за наявності одного ізольованого резонансу із застосуванням магнітних координат;

- вперше побудовані аналітичні вирази для потоків дрейфових центрів іонів домішки у стохастичному магнітному шарі;

- побудовано новий статистичний транспортний код, який дає можливість обчислювати траєкторії іонів домішки у плазмі із стохастичним магнітним шаром та збирати статистичні дані для оцінки коефіцієнтів перенесення важких іонів домішки.

Практичне значення отриманих результатів Отримані аналітичні вирази для стохастичних коефіцієнтів дифузії можуть бути застосовані для аналізу розпливу дрейфових поверхонь заряджених частинок у радіальному напрямку у тороїдній плазмі за наявності стохастичного магнітного шару. Це дає можливість обчислити, на скільки глибоко у плазму можуть проникнути іони домішки у разі присутності різних збурень магнітного поля.

Отримані аналітичні вирази для функції дрейфової поверхні дозволяють побудувати дрейфову поверхню, яка відповідає певній зарядженій частинці, уникаючи довготривалих інтегрувань рівнянь руху.

Отриманий аналітичний вираз для функції розподілу дрейфових центрів заряджених частинок у тороїдній магнітній конфігурації за наявності збурення магнітного поля дозволяє визначити, при яких значеннях енергії частинки залишають об'єм плазми, котрий знаходиться поблизу резонансної структури магнітного поля.

Аналітичні вирази для потоків дрейфових центрів заряджених частинок, котрі записані із використанням функції розподілу дрейфових центрів, стохастичних коефіцієнтів дифузії та функції дрейфових поверхонь, можуть бути безпосередньо використані для обчислення потоків іонів домішки у тороїдній плазмі за наявності стохастичних шарів магнітного поля.

Статистичний транспортний код, який побудовано, використовується для чисельного аналізу радіального дрейфу ансамблю іонів домішки у тороїдній плазмі дрейфово-оптимізованного стеларатора із урахуванням стохастичного шару магнітного поля.

Усі отримані результати у сукупності дають можливість прогнозувати поведінку іонів домішки у тороїдних пастках стелараторного типу, а саме, у стелараторах Wendelstein 7-X, NCSX, у торсатронах LHD та Ураган 2М.

Особистий внесок здобувача Дисертант брав участь у обговоренні та формулюванні наукової задачі, провів аналітичні та чисельні дослідження з використанням сучасного математичного апарату, який використовується для опису поведінки заряджених частинок у плазмі дрейфово-оптимізованого стеларатора.

Самостійно провів дослідження властивостей комбінованих резонансних структур у магнітних пастках стелараторного типу. Результати цього дослідження опубліковані в одноосібній публікації, яку подано у списку.

Аналітичним шляхом отримав стохастичні коефіцієнти дифузії та застосував їх у побудові виразів для потоків дрейфових центрів у стохастичних шарах.

Здійснив аналітичне дослідження дрейфового кінетичного рівняння та знайшов вираз для функції розподілу дрейфових центрів у тороїдному магнітному полі з урахуванням одного ланцюга островів. Доповів отримані результати на конференції у Німеччині у рамках 14^th International Stellarator Workshop.

У співробітництві із німецькими колегами побудував чисельний код, за допомогою якого провів порівняльний аналіз радіального дрейфу іонів вольфраму у тороїдній плазмі з урахуванням стохастичного шару магнітного поля та без нього.

Брав активну участь у написанні текстів наукових статей, які покладено у підґрунтя дисертації, в також у формулюванні наукових висновків.

Апробація результатів дисертації Основні результати досліджень за темою дисертації доповідалися на наступних Міжнародних конференціях:

- International Workshop “Innovative Concepts and Theory of Stellarators”, Scientific Center “Institute for Nuclear Research” Kyiv, Ukraine, May 28-31, 2001;

- 15^th International Conference on Plasma Surface Interactions in Controlled Fusion Devices, Nagaragawa Convention Center, Gifu, Japan, May 27-31, 2002;

- 29^th European Physical Society Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion, Montreux, Switzerland, June 17-21, 2002;

- 14^th International Stellarator Workshop, Max-Planck-Institut fur Plasmaphysik, Greifswald, Germany, September 22-26, 2003.

Крім того, результати досліджень доповідалися на семінарах з “теорії стелараторів та фізики периферійної плазми” в Інституті фізики плазми фізичного товариства імені Макса Планка у Німеччині (Max-Plank-Institut fur Plasmaphysik, Germany) у травні 2002, 2003 та 2004 років; на семінарах з питань “перенесення іонів домішки та розповсюдження електромагнітних хвиль у периферійній плазмі” в Інституті високих технологій Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна у грудні 2003 та червні 2004 років.

Публікації За темою дисертації надруковані п'ять журнальних статей, список яких приведено наприкінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації Дисертація містить вступ, п'ять розділів, висновки, список використаних джерел із 110 найменувань та додаток. Обсяг дисертації становить 114 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкривається стан наукової проблеми, наводиться огляд сучасного стану досліджень, обґрунтовуються актуальність та доцільність роботи, формулюються мета та задачі дослідження. Формулюються основні результати, які отримані в дисертаційній роботі, вказується на наукову новизну та практичну цінність здобутих результатів.

В першому розділі подано сучасний математичний апарат, який застосовується для моделювання руху заряджених частинок у плазмі уловлювача стелараторного типу. Наведена система одиниць, які використовуються на протязі аналітичного та чисельного досліджень. Впроваджено одиниці виміру енергії у вигляді із використанням маси частинки , циклотронної частоти на магнітній осі

та константи , яка вказує положення магнітної осі відносно вертикальної осі тору. Записано гамільтоніан зарядженої частинки в електромагнітному полі із застосуванням дрейфового наближення у вигляді [6]

(1)

як частку повної енергії частинки до значення одиниці виміру енергії

.

Індукція магнітного поля у випадковій точці простору нормована на індукцію магнітного поля на магнітній осі

.

Змінна

визначає нормовану швидкість частинки вздовж лінії магнітного поля, де - циклотронна частота у випадковій точці простору. Поперечний адіабатичний інваріант визначається через нормовану швидкість частинки, яка перпендикулярна до ліній магнітного поля, а змінна

визначає потенційну енергію частинки в електричному полі із потенціалом .

Щоб записати рівняння руху зарядженої частинки у дрейфовому наближенні, використані магнітні координати , відомі в іноземній літературі як Boozer magnetic coordinates [7]. Також наведена модель магнітного поля у вигляді розкладу у ряд Фур'є по координатах [8]

(2)

яка описує регулярні замкнені магнітні поверхні за відсутності магнітних островів або стохастичних шарів магнітного поля. Із посиланням на роботу A.H. Boozer та R.W. White [9] описано реальне магнітне поле із урахуванням збурень шляхом введення функції

,

(3)

яка має розмірність довжини та дає можливість моделювати як ізольовані окремі острівні ланцюги, так і стохастичні шари [10],

(4)

Параметр знаходимо за допомогою рівняння

,

яке визначає положення максимуму амплітуди збурення. Величини та є радіальне розташування раціональної магнітної поверхні із кутом обертального перетворення

та радіус плазми відповідно. Змінювання амплітуди збурення , „хвильових” чисел та , а також частоти дозволяє моделювати магнітні конфігурації із різними резонансними структурами.

Рівняння руху частинки записані у магнітних координатах та визначають зміну у часі просторових координат , та , зміну швидкості частинки вздовж силової лінії , а також зміну полоїдного та тороїдного канонічних моментів та .

У другому розділі наведено скорочений опис дрейфово-оптимізованого стеларатора HELIAS із п'ятьма періодами магнітного поля та п'ятьма острівними трубками магнітного поля, які є складовою частиною острівного дивертора [4]. Також визначені основні фізичні і технічні вимоги, які висуваються до сталаратора як до промислового реактора. Таким чином додатково продемонстровано, яке місце займає подана дисертація серед робіт, присвячених стеларатору-реактору.

Проведено чисельний аналіз траєкторії іона вольфраму із зарядовими числами і у стелараторі HELIAS за наявності стохастичного шару магнітного поля, який утворено двома ланцюгами магнітних островів. Перший ланцюг, який містить у собі п'ять островів, моделюється за допомогою функції із параметрами , , . Додатковий ланцюг із дев'яти островів, які можуть утворюватись на реальному пристрої як за допомогою додаткових зовнішніх провідників струму, так і через струми у самій плазмі, моделюється функцією із параметрами , , .

Досліджено вплив модельного радіального електричного поля на траєкторії іона вольфраму у поданій конфігурації. Показано, що у разі відсутності електричного поля дрейфова траєкторія іона домішки відтворює хід силової лінії магнітного поля та формує регулярні дрейфові поверхні за наявності регулярних магнітних поверхонь, а також демонструє стохастичну поведінку там, де є стохастичний магнітний шар.

Це явище пояснюється збігом кутів обертального перетворення силової лінії магнітного поля та дрейфової траєкторії зарядженої частинки для однакових значень просторових координат. Наявність радіального електричного поля викликає додатковий дрейф ларморівського центру у полоїдному напрямку, що, в свою чергу, змінює кут обертального перетворення дрейфової траєкторії. У такому разі збурення магнітного поля із хвильовими числами та „зламує” раціональну магнітну поверхню із кутом обертального перетворення

,

але не впливає на дрейфову поверхню з кутом обертального перетворення дрейфової траєкторії .

Таким чином продемонстровано, що іон вольфраму за наявності радіального електричного поля не реагує на резонансну структуру магнітного поля, як це спостерігається при нульовому електричному полі.

В третьому розділі представлено узагальнений підхід до проблеми опису перенесення плазми у тороїдній пастці. Вплив стохастизації силових ліній магнітного поля на потік заряджених частинок перпендикулярно до магнітного поля вивчається не тільки з точки зору стохастизації траєкторії окремої частинки, але і з точки зору розпливу дрейфової поверхні, яка відповідає окремому сорту частинок.

Функція дрейфової поверхні, яка задовольняє рівнянню

(5)

розглядається як функція набору просторових координат

,

швидкості частинки або ларморівського центру вздовж лінії магнітного поля , полоїдного та тороїдного канонічних моментів

та часу :

(6)

У наближенні відсутності зіткнень під час руху частинок із урахуванням рівнянь руху та моделі магнітного поля, яка містить у собі тільки тороїдну неоднорідність, записано закон збереження потоку дрейфових центрів через дрейфову поверхню

у вигляді:

(7)

Знайдено розв'язок, який задовольняє рівнянню та не суперечить фізиці руху частинки в електромагнітному полі, у вигляді

(8)

у наближенні, коли ми не враховуємо залежність кута обертального перетворення від радіальної координати під час обчислення похідної,

(9)

Проведено чисельний аналіз отриманого розв'язка, який полягав у порівнянні дрейфової траєкторії зарядженої частинки (іона вольфраму) із відповідною дрейфовою поверхнею, яка була побудована за допомогою виразу (8). Цей аналіз показав збіг траєкторії із поверхнею у межах вказаних наближень.

Як наступний крок розглянуто модель магнітного поля, яка враховує повний набір гармонік (2), а також одну резонансну структуру, яка моделюється функцією (4). Для обраної моделі розв'язано рівняння (5) методом збурень та отримано розв'язок, який містить у собі резонансний знаменник , тобто знаменник, який дорівнює нульовому значенню на раціональній магнітній поверхні під час дії збурення магнітного поля із відповідними хвильовими числами.

Для аналізу такого розв'язка використано метод переозначення початкової функції дрейфової поверхні, описаний у роботі Л.С. Соловйова та В.Д. Шафранова [11]. Завдяки цьому отримано функцію у вигляді

(10)

яка описує дрейфові поверхні частинок визначеного сорту у магнітній конфігурації за наявності одного резонансу, а також радіального електричного поля.

За наявності у магнітній конфігурації двох збурень магнітного поля, які призводять до утворення стохастичного шару, розглянуто функцію

,

яка описує розмиту дрейфову поверхню, що утворена стохастичною дрейфовою траєкторією, та проаналізовано рівняння, яке описує закон збереження тороїдного потоку дрейфових центрів у вигляді

(11)

Сама функція представлена у вигляді розкладу у ряд Тейлора по координатах, що дає можливість записати рівняння (11) у вигляді дифузійного із набором стохастичних коефіцієнтів дифузії , , , , , .

Отримані стохастичні коефіцієнти дифузії дають можливість оцінити розплив дрейфової поверхні, а також побудувати вирази для потоків дрейфових центрів заряджених частинок у радіальному напрямку:

(12)

та полоїдному напрямку:

(13)

у стохастичному магнітному шарі. Функція вказує розподіл дрейфових центрів заряджених частинок, інтегрування ведеться у просторі швидкостей, який представлено швидкістю та поперечним адіабатичним інваріантом .

У четвертому розділі наведено ключові етапи переходу від кінетичної теорії іонізованого газу до дрейфової кінетичної теорії високотемпературної плазми. Подана функція розподілу дрейфових центрів заряджених частинок

(14)

та записано дрейфове кінетичне рівняння

(15)

Знайдено також розв'язок цього рівняння для моделі магнітного поля стеларатора HELIAS із п'ятьма періодами магнітного поля, яке містить у собі нарівні з замкненими, вкладеними одна в одну магнітними поверхнями, які складають основний об'єм утримання плазми, ланцюг із п'яти островів.

Розв'язок рівняння (15) представлено у вигляді суми двох функцій:

(16)

де - незбурена функція розподілу дрейфових центрів, яка встановлюється у разі відсутності у магнітній конфігурації будь-яких резонансів, а функція - поправка, яка описує зміну розподілу у разі появи збурення магнітного поля у вигляді одного ланцюга, який містить у собі п'ять магнітних островів. Незбурену функцію обрано у максвелівському вигляді:

(17)

де функція

,

- повна енергія частинки.

Повний розв'язок (16) для рівняння (15) було знайдено із визначенням поправки для функції розподілу у вигляді

,

Де

, , , , .

Також було застосовано метод перевизначення початкової функції для вирішення проблеми резонансного знаменника. Розв'язок має наступний вигляд:

(18)

Чисельний аналіз отриманого виразу вказує на наявність втрат частинок

із значенням швидкості вздовж силової лінії, близьким до нульового, та малим значенням адіабатичного інваріанту в елементарному об'ємі плазми, який містить у собі Х - точку резонансу магнітних поверхонь.

Проведено порівняльний аналіз незбуреної функції розподілу та функції розподілу у вигляді (18) у координатному просторі . На відміну від пологої структури незбуреної функції , у випадку наявності збурення ми спостерігаємо формування п'яти горбів, які відповідають п'яти островам магнітного поля, що підтверджує вірність знайденого розв'язка.

У п'ятому розділі подано опис нового одномірного статистичного транспортного коду, в основу якого покладено інтегрування рівнянь руху зарядженої частинки, яку ми називаємо тестовою частинкою, у дрейфовому наближенні із застосуванням магнітних координат. Модель тороїдного магнітного поля, яка розглядається у поданій версії коду, відповідає магнітному полю стеларатора HELIAS та містить у собі частину, яка описує регулярні магнітні поверхні у вигляді (2), а також частину, яка описує збурення у вигляді (4), що дає можливість моделювати ізольовані острови, такі як п'ять островів основної конфігурації, та додаткові збурення, які можуть утворювати стохастичні шари. Зіткнення тестової частинки, траєкторія якої обчислюється кодом, із частинками основної плазми моделюється оператором зіткнень, який ґрунтується на біноміальному розподілі [12] та описує зміну кінетичної енергії та зміну частки швидкості частинки вздовж силової лінії магнітного поля до повної швидкості. Подана версія коду містить підпрограми, які обчислюють корональну модель для іонів вольфраму під час їх використання у якості тестових частинок. Ця модель визначає зарядовий стан іонів в залежності від густини та температури електронів основної плазми [13]. Основний напрямок використання коду полягає в обчисленні траєкторій іонів домішки, збиранні статистичної інформації про рух цілого ансамблю іонів та оцінці коефіцієнтів дифузії домішки у високотемпературній плазмі.

Проведено тестові обчислення із використанням іонів вольфраму в однорідній плазмі, частинки якої мають максвелівський розподіл, для перевірки дієздатності оператора зіткнень. Такий тест продемонстрував, що після часу с іон вольфраму описує максвелівський розподіл у просторі швидкостей, що, у свою чергу, свідчить про правильне функціонування оператора.

Проведено додаткове тестове обчислення із метою перевірити функціонування коду у комплексі. У плазмовій конфігурації стеларатора HELIAS із п'ятьма періодами магнітного поля, яка налічує сімейство замкнених магнітних поверхонь без резонансних структур, та з урахуванням типових профілів температури та густини основної плазми простежено поведінку 500 іонів вуглецю із зарядовим числом , початковою кінетичною енергією , яка дорівнює температурі основної плазми в обраній радіальній точці старту частинок , та початковою часткою швидкості вздовж силової лінії магнітного поля до повної швидкості . Радіальне електричне поле обчислено шляхом прирівнювання потоків частинок основної плазми крізь позначену магнітну поверхню за допомогою додаткового коду [8].

Внаслідок чисельного моделювання встановлено, що через 70 секунд у плазмі встановлюється рівноважний профіль густини домішок із максимальним значенням у центрі плазми . Цей результат збігається з результатом, який отримано із використання потокового коду, який обчислює рівняння балансу.

Чисельний код застосовано для обчислення траєкторій ансамблю іонів вольфраму у двох конфігураціях плазми стеларатору HELIAS. Одна з цих конфігурацій аналогічна тій, яка використовувалась і у випадку із іонами вуглецю, а друга конфігурація містить у собі стохастичний шар магнітного поля у радіальних межах. Характерний для такої конфігурації профіль температури основної плазми містить сплощення у межах стохастичного шару, але профіль густини залишається незмінним. Під час моделювання використовувалось 10000 іонів вольфраму із початковим значенням кінетичної енергії , початковим , а також стартовою позицією . Положення іонів відстежувалось на протязі 25с. Виявлено, що у разі відсутності стохастичного шару іони вольфраму швидше проходили крізь магнітну поверхню у напрямку до центра плазми, ніж у разі присутності збурень магнітного поля. Показано також профіль, який формується на двадцять п'ятій секунд і у разі відсутності стохастичного шару (лінія із символами).

Таким чином показано, що стохастичні магнітні шари можуть бути використані у якості бар'єру, який зменшує коефіцієнти поперечної дифузії важких іонів домішки із високим зарядовим числом у тороїдному магнітному полі, та сприяє їхньому затриманню на периферії плазми.

У висновках наведено основні результати, здобуті в дисертації.

ВИСНОВКИ

У дисертації зроблені кроки у розвитку теорії, яка описує поведінку заряджених частинок, а також дає можливість оцінити коефіцієнти дифузії ансамблю частинок у тороїдних вакуумних магнітних конфігураціях , а також у магнітних конфігураціях із урахуванням скінченного тиску плазми . Проведені докладні аналітичні та чисельні дослідження дрейфово-оптимізованої тороїдної конфігурації магнітного поля стеларатора, яка характеризується нульовим значенням тороїдної функції струму та одиничним значенням полоїдної функції струму . Магнітні поля, які задовольняють таким вимогам, покладені в основу компактного стеларатора National Compact Stellarator Experiment (NCSX), який будується у США, а також стеларатора Wendelstein 7-X, який було спроектовано на базі проекту стеларатора-реактора HELIAS, та який зараз будується у Німеччині.

Аналітичні та чисельні дослідження проведені з використанням сучасного математичного апарату, який містить у собі таке поняття як магнітні координати, та застосований автором для моделювання поведінки заряджених частинок у дрейфовому наближенні у плазмі тороїдної пастки.

Отримано наступні результати:

1. Проведено чисельний аналіз траєкторії іону вольфраму із зарядовими числами та в стелараторі HELIAS з п'ятьма періодами магнітного поля у випадку присутності стохастичного шару, який утворено двома ланцюгами магнітних островів. Один ланцюг, який утворено п'ятьма островами, що складають основну конфігурацію магнітного поля моделюється за допомогою функції збурення (4) із параметрами , , . Додатковий ланцюг, який утворено дев'ятьма островами, також моделюється функцією збурення, але із наступними параметрами: , , . Розглянуто вплив радіального електричного поля на траєкторії іона у представленій магнітній конфігурації із стохастичним шаром.

Показано, що у разі відсутності електричного поля дрейфова траєкторія іона вольфраму повторює хід силових ліній магнітного поля та описує регулярні дрейфові поверхні за наявності регулярних магнітних поверхонь, а також демонструє стохастичну поведінку у разі наявності стохастичного магнітного шару. У разі появи радіального електричного поля іон вольфраму зазнає додатковий дрейф у полоїдному напрямку і в такому разі не реагує на збурення магнітного поля. Випадок нульового радіального електричного поля спостерігається в експерименті у регіонах плазми, де формуються магнітні острови та стохастичні шари магнітного поля.

2. Аналітичним шляхом знайдено розв'язок рівняння

,

тобто, вираз для функції дрейфової поверхні у вигляді (8) для моделі тороїдного магнітного поля із трансляційною симетрією вздовж повздовжньої координати .

Проведено чисельне порівняння дрейфової траєкторії іона вольфраму та відповідної дрейфової поверхні, яка побудована за допомогою виразу (8) із урахуванням радіального електричного поля, а також за його відсутності. Це порівняння показало повний збіг траєкторії та відповідної поверхні, що у свою чергу підтверджує справедливість отриманого розв'язка. Аналогічним шляхом отримано вираз для функції дрейфових поверхонь у вигляді (10) для моделі магнітного поля, яка враховує як полоїдну так і тороїдну неоднорідності, а також містить у собі одну резонансну структуру.

3. На основі рівняння (11) записано рівняння дифузійного типу, яке описує розплив дрейфової поверхні у стохастичному магнітному шарі, а також отримані вирази стохастичних коефіцієнтів дифузії , , , , , , які входять до складу записаного рівняння.

Із застосуванням стохастичних коефіцієнтів записано вирази для потоків частинок у радіальному (12) та полоїдному (13) напрямках у тороїдній магнітній конфігурації у стохастичному шарі.

4. Аналітичним шляхом отримано вираз для локальної функції розподілу дрейфових центрів заряджених частинок (18) під час присутності у магнітній конфігурації одного резонансу у вигляді ізольованого ланцюга магнітних островів. Отриманий вираз проаналізовано чисельно, що показало зміну топології функції розподілу у координатному просторі , яка відповідає розташуванню магнітних островів. Також продемонстровано зміну топології функції в елементарному об'ємі, який містить у собі Х - точку резонансу. Така зміна топології свідчить про втрату частинок із зазначеного об'єму при значенні повздовжньої швидкості, близькому до .

5. Розроблено одновимірну модель (1D) тривимірного статистичного транспортного коду (3D), в основу якого покладено інтегрування рівнянь руху заряджених частинок у дрейфовому наближенні з використанням магнітних координат. Код дає можливість обчислювати траєкторії заряджених частинок, а також збирати статистичні дані про поведінку ансамблю частинок у плазмі стеларатора з урахуванням радіального електричного поля, а також скінченого тиску плазми . Також у коді враховано зіткнення частинок та записано корональну модель, яка визначає зарядовий стан важких іонів залежно від температури та густини електронів основної плазми. Корональна модель реалізована для іонів вольфраму.

6. Із використанням коду досліджено еволюцію ансамблю з 500 іонів вуглецю із зарядовим станом у плазмі стеларатора HELIAS без урахування резонансних структур магнітного поля. Продемонстровано, що після старту на периферії іони дрейфують у напрямку підвищеної густини та температури основної плазми і через 70 секунд будують рівноважний профіль густини із максимумом у центрі плазми. Цей результат збігається з тим, що отримано кодом, який інтегрує транспортне рівняння.

7. Чисельний код застосовано для обчислення траєкторій ансамблю іонів вольфраму у двох конфігураціях плазми стеларатора HELIAS. Одна з цих конфігурацій містить регулярні магнітні поверхні без резонансних структур, а друга конфігурація містить у собі стохастичний шар магнітного поля у радіальних межах . У випадку стохастичної конфігурації профіль температури основної плазми містить сплощення у межах стохастичного шару. Під час моделювання відстежувалось положення 10000 іонів вольфраму на протязі 25 секунд. Виявлено, що у разі відсутності стохастичного шару іони вольфраму швидше проходять крізь магнітну поверхню у напрямку центра плазми, ніж у разі присутності збурень магнітного поля.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Oleg A. Shishkin, Alexander A.Shishkin and Horst Wobig, "Stochasticity of the Magnetic Field Lines and High Z Ion Motion", Problems of Atomic Science and Technology, 2000, N 3, Series: Plasma Physics (5), pp. 19-21.

2. О.А. Шишкин, “Резонансные острова в магнитных ловушках стеллараторного типа”, Вісник ХНУ ім. В.Н. Каразіна, № 496, 2000, серія фізична “Ядра, частинки, поля”, вип. 4/12/, стор. 34-38.

3. Nickolai A. Azarenkov, Oleg A. Shyshkin, Ralf Schneider, Horst Wobig, Yurii L. Igitkhanov, “Stochasticity of Heavy Ion Trajectories in Drift Optimized Plasma Configuration”, Вісник ХНУ ім. В.Н. Каразіна, № 574, 2002, серія фізична “Ядра, частинки, поля”, вип. 4/20/, стор. 27-43.

4. Alexander Shishkin, Oleg Shyshkin, Horst Wobig, Yurii Igitkhanov, Osamu Motojima, Shigeyuki Morimoto, Kozo Yamazaki, Shigeru Inagaki, “The effect of magnetic field modification on heavy ion movement in advanced stellarators and helical devices”, Journal of Nuclear Materials, 313-316 (2003), pp. 1192-1196.

5. Nikolai A. Azarenkov, Oleg A.Shyshkin, Ralf Schneider, Yurii L.Igitkhanov, “Guiding Center Distribution Function in Toroidal Magnetic Field with One Resonant Structure”, Вісник ХНУ ім. В.Н. Каразіна, № 619, 2004, серія фізична “Ядра, частинки, поля”, вип. 1/23/, стор. 17-26.

Список цитованої в авторефераті літератури

1. Hawryluk R.J., Review of D-T Experiments Relevant to Burning Plasma Issues // J. Plasma Fusion Res. SERIES, -2002, -Vol. 5, -pp. 12-21.

2. Е.Д. Волков, В.А. Супруненко, А.А. Шишкин, СТЕЛЛАРАТОР // Киев, Наукова Думка -1983.

3. O. Motojima, N. Ohyabu, A.Komori, et al, Recent advances in the LHD experiment // Nuclear Fusion, -2003, -Vol. 43, -pp. 1674-1683.

4. H. Wobig, C. Beidler, E. Harmeyer, et al., The Helias Reactor // Proceedings of 4th Workshop on WENDELSTEIN 7-X, Schloss Ringberg, Report IPP -1991, 2/313.

5. D. Naujoks, K. Asmussen, M. Bessenrodt-Weberpals et al., Tungsten as Target Material in Fusion Devices // Nuclear Fusion, -1996, -Vol. 36, -No. 6, -pp. 671-687.

6. R.B. White and M.S. Chance, Hamiltonian Guiding Center Drift Orbit Calculation for Plasmas of Arbitrary Cross Section // Phys. Fluids, October 1984, -Vol. 27, -No. 10, -pp. 2455-2467.

7. W.D. D'haeseller, W.D.G Hitchon, J.D. Callen et al., Flux Coordinates and Magnetic Field Structure // Springer-Verlag Berlin Heidelberg, -1991.

8. C.D. Beidler, Neoclassical Transport Properties of HSR // Proceedings of the 6^th Workshop on WENDELSTEIN 7-X and Helias Reactor, -1996, IPP 2/331. -pp. 194-201.

9. A.H. Boozer and R.B. White, Particle Diffusion in Tokamaks with Partially Destroyed Magnetic Surfaces // Princeton Plasma Physics Laboratory Report PPPL-1872, -1982, -pp. 1-16.

10. A.A. Shishkin, I.N. Sidorenko, H. Wobig, Magnetic Islands and Drift Surface Resonances in Helias Configurations // J. Plasma Fusion Res. SERIES, - 1998, -Vol. 1, -pp. 480-483.

11. Л. С. Соловьев и В. Д. Шафранов, Замкнутые магнитные конфигурации для удержания плазмы // Вопросы Теории Плазмы, -выпуск 5, - АТОМИЗДАТ, -1967, -с. 72-77.

12. A.H. Boozer, G. Kuo-Petravic, Monte Carlo evaluation of transport coefficients // Phys. Fluids, -1981, -Vol. 24, -No. 5, -pp. 851-859.

13. K. Asmussen, K.B. Fournier, J.M. Laming, et al., Spectroscopic Investigations of Tungsten in the EUV Region and the Determination of its Concentration in Tokamaks // Nuclear Fusion, -1998, -Vol. 38, -No. 7, -pp. 967-986.

ШИШКІН О.О. ЯВИЩА СТОХАСТИЗАЦІЇ ТРАЄКТОРІЙ ІОНІВ ДОМІШКИ ТА ПОТОКІВ ЧАСТИНОК У ВИСОКОТЕМПЕРАТУРНІЙ ПЛАЗМІ У СТЕЛАРАТОРІ. - РУКОПИС

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.08 - фізика плазми. - Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, Харків, 2005.

Дисертацію присвячено питанням перенесення заряджених частинок, таких як важкі іони домішки з високим зарядовим числом, у термоядерній плазмі дрейфово-оптимізованих стелераторів за наявності у магнітній конфігурації резонансних структур, а саме, ізольованих ланцюгів магнітних островів та стохастичних шарів. У роботі зроблено суттєві кроки у розвитку аналітичного опису поведінки іонів домішки у стохастичних магнітних шарах. Розглянуто явище розпливу дрейфових поверхонь та отримано вирази для стохастичних коефіцієнтів дифузії, які застосовано для запису радіального та полоїдного потоків дрейфових центрів у стохастичних шарах. Отримано вираз для функції розподілу дрейфових центрів у магнітній конфігурації, яка містить резонансну структуру. Розроблено статистичний транспортний код, за допомогою якого було проведено порівняльний аналіз радіального дрейфу іонів вольфраму у тороїдній плазмі із урахуванням стохастичного шару магнітного поля та без нього.

Ключові слова: керований термоядерний синтез, стеларатор, плазма, іони домішки, магнітні острови, стохастичні шари магнітного поля, дрейфова поверхня, функція розподілу, магнітні координати.

ШИШКИН О.А. ЯВЛЕНИЯ СТОХАСТИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ ПРИМЕСНЫХ ИОНОВ И ПОТОКОВ ЧАСТИЦ В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЕ В СТЕЛЛАРАТОРЕ. - РУКОПИСЬ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.08 - физика плазмы. - Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Харьков, 2005.

Диссертация посвящена вопросу переноса заряженных частиц, таких как тяжелые ионы примеси с высоким зарядовым числом, в термоядерной плазме дрейфово-оптимизированных стеллараторов с учетом резонансных структур магнитного поля, таких как изолированные магнитные острова и стохастические слои. В работе сделаны существенные шаги в развитие аналитического описания поведения ионов примеси в стохастических магнитных слоях. Рассмотрено явление расплывания дрейфовых поверхностей и выведены выражения для стохастических коэффициентов диффузии, которые применены для записи радиального и полоидального потоков дрейфовых центров в стохастических слоях. Получено выражение для функции распределения дрейфовых центров в магнитной конфигурации с одной резонансной структурой. Разработан статистический транспортный код, при помощи которого проведен сравнительный анализ радиального дрейфа ионов вольфрама в плазме стелларатора с учетом стохастического слоя магнитного поля и без него.

Ключевые слова: управляемый термоядерный синтез, стелларатор, плазма, ионы примеси, магнитные острова, стохастические слои магнитного поля, дрейфовая поверхность, функция распределения, магнитные координаты.

SHYSHKIN O.A. STOCHASTICITY PHENOMENA OF IMPURITY TRAJECTORIES AND PARTICLE FLUXES IN HIGH TEMPERATURE PLASMA IN STELLARATOR. - MANUSCRIPT

Thesis for a Candidate of Sciences Degree in Physics and Mathematics, specialty 01.04.08 - Plasma Physics, Kharkiv V.N. Karazin National University, Kharkiv, 2005.

Thesis is devoted to the problem of high Z impurity ions transport in magnetically confined fusion plasma in drift-optimized stellarators. The magnetic field configuration, which is under study, includes the resonance structures such as isolated magnetic islands and stochastic layers. Development of the theory that describes the impurity behavior in stochastic layers is presented in this work. This theory is based on modern mathematical tools, which include the solution of the guiding center equations with the use of magnetic coordinates.

The guiding center equations give possibility to present the perturbation function and to reconstruct the structure of the isolated magnetic island chains and stochastic layers. The magnetic field strength on the magnetic surface is presented in Fourier series. This technique gives possibility to vary the Fourier coefficients and to introduce the magnetic field corresponding to the different values of plasma parameter , i.e. the ratio of plasma pressure to the magnetic pressure. Analytical and numerical study is done in application to the HELIAS stellarator with five periods of the magnetic field. This HELIAS stellarator configuration is frequently called HSR 5/22. The main parameters of the HSR 5/22 device are the following: the average major radius , the average plasma radius and the magnetic induction on the axes . It is necessary to emphasize that Wendelstein 7-X stellarator, which is being build in Germany, is based on the HSR 5/22 scheme.

The study of the stated problem is being started with the numerical integration of the guiding center equations for the passing tungsten ion placed in HSR 5/22 stellartor magnetic field, which possesses the stochastic layer. On purpose to study the effect of the radial electric field on tungsten ion motion the simple model of the radial electric field is applied. It is shown that in the area where the radial electric field does not exist the guiding center trajectory follows the magnetic field line. Consequently the guiding center trajectory represents closed nested drift surfaces in the region where the closed nested magnetic surfaces exist. It also represents the stochastic behavior in the region where the magnetic field line broads stochastically. In the area of the nonzero radial electric field the tungsten ion is effected by the additional drift in poloidal direction. In this case the rotational transform of the drift trajectory is not equal to the rotational transform of the magnetic field line on the corresponding magnetic surface and as a result the trajectory of the particle does not respond to the magnetic field perturbation.

The analytical expression for the drift surface function is derived for the simple toroidal magnetic field model. The comparison analysis of two drift surfaces is performed. One of these surfaces is calculated with the use of drift surface function and the other is calculated by means of integrating of the guiding center equations. The coincidence of both surfaces proofs the validity of the expression for the drift surface function. The analytically derived validity condition is presented as well. The analytical expression for the drift surface function is derived for the complex toroidal magnetic field model that includes toroidal and poloidal harmonics.

The spreading phenomenon of the drift surface in the region where the magnetic stochastic layer exists is considered. The analytical treatment of the equation, which expresses the conservation law for the number of guiding centers, is performed. As a result the expressions for the stochastic diffusion coefficients are derived.

By means of the analytical treatment of the drift kinetic equation the expression for the local guiding center distribution function is derived for the magnetic field model, which includes the isolated magnetic island chain. This expression is analyzed numerically and the topology change of the distribution function, which appeares due to the magnetic island formation, is illuminated. Such topology change is explained by particle loses in the area where the magnetic field resonance structure occurs.

The derived expressions for the stochastic diffusion coefficients, drift surface function and guiding center distribution function are used to build the guiding center fluxes in the poloidal and toroidal directions. These fluxes relate directly to the particle fluxes.

Comparative numerical analysis of heavy impurity transport in HELIAS stellarator plasma is performed. On this purpose the 1D transport code is developed. This code solves guiding center equations for the test particle (tungsten ion) with the use of Runge-Kutta integrating scheme. The test particle scattering on the background plasma particles is taken into account by means of discretized collision operator, which is presented in terms of pitch angle scattering and kinetic energy slowing down and scattering. The coronal model is used to determine the charge state of the test particle (tungsten ion) placed in plasma with defined electron temperature and density. 10000 tungsten ions are traced during in two different HELIAS stellarator plasma configurations, i.e. ergodic and nonergodic. For the nonergodic configuration the magnetic field is considered to possess closed nested surfaces without any perturbation, and background plasma profiles are considered as typical for such configuration. The ergodic configuration includes the stochastic layer of the magnetic field. The plasma scenario in such case corresponds with the high heat transport in stochastic region that is reflected in flattening phenomenon of the plasma temperature profile. At the same time the density profile stays unchanged. The result of the calculation presented in this thesis demonstrates the effect of stochastic layer as an impediment to the tungsten accumulation in plasma.

Key words: nuclear fusion, stellarator, plasma, impurity ions, magnetic islands, stochastic layers of the magnetic field, drift surface, distribution function, magnetic coordinates.

Размещено на Allbest.ru

...