Чисельне моделювання дифракційної взаємодії електромагнітних хвиль з періодичними структурами

Размещено на http://allbest.ru

Національний університет "Львівська політехніка"

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Чисельне моделювання дифракційної взаємодії електромагнітних хвиль з періодичними структурами

Сеник Тарас Дмитрович

Львів - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-механічному інституті ім. Г. В. Карпенка Національної академії наук України.

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Назарчук Зіновій Теодорович

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка Національної академії наук України, заступник директора інституту, м. Львів.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Стахів Петро Григорович

Національний університет “Львівська політехніка”, завідуючий кафедрою “Теоретична та загальна електротехніка”.

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Андрійчук Михайло Іванович

Інститут прикладних проблем математики і механіки Національної академії наук України, старший науковий співробітник відділу числових методів математичної фізики, м. Львів.

Провідна установа: Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури Держкомзв'язку та інформатизації України та НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться 01 липня 2005 р. о 1600 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 у Національному університеті “Львівська політехніка” за адресою 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (79013, м. Львів, вул. Професорська, 1).

Автореферат розіслано “ 31 ” травня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

д. т. н., професор Федасюк Д. В.

Размещено на http://allbest.ru

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Періодичні структури широко використовують як базові елементи електронних приладів, смугових та резонаторних фільтрів, лінійних прискорювачів, молекулярних підсилювачів і генераторів, магістральних ліній зв'язку, самофільтруючих хвилеводів, антен біжучої хвилі тощо. Вони також можуть слугувати зручними моделями при дослідженні електродинамічних властивостей композиційних матеріалів та структурно неоднорідних середовищ. Ряд технічних характеристик сучасних і перспективних радіолокаційних чи скануючих зондувальних систем у багатьох випадках може бути реалізовано тільки з використанням дифракційних решіток, які дозволяють збільшити швидкість сканування, забезпечити багатофункційність роботи, покращати характеристики випромінювання. У зв'язку з успіхами технології виробництва тонких плівок, твердотільних оптичних та акустичних ґраток, впровадженням нових матеріалів (нелінійних піро- та п'єзоелектричних, електрооптичних та ін.) в останній час значною мірою посилився інтерес до дослідження періодичних систем на основі складних розсіювачів. Тому кількість нових приладів (зокрема, міліметрового та субміліметрового діапазонів), які суттєвим чином використовують дифракційні властивості періодичних структур, збільшується і не має тенденції до насичення.

Підходи, що використовують довгохвильове (довжина хвилі є суттєво більшою за період d структури) чи квазіоптичне (<<d) наближення для моделювання взаємодії електромагнітних хвиль з періодичними структурами відомі давно і успішно використовуються при розробці приладів радіоелектроніки та антенної техніки. Однак, для оптимізації експлуатаційних характеристик приладів міліметрового діапазону принциповим є використання резонансного випадку (довжина хвилі співмірна з періодом структури). Він вимагає побудови нових математичних моделей, які з гарантованою точністю дають розв'язки електродинамічних задач і є більш адекватними для опису суттєвих фізичних особливостей періодичних структур у цьому частотному проміжку. Тому однією з актуальних і практично важливих задач сучасної техніки міліметрового та субміліметрового діапазонів є розробка універсальних математичних моделей поведінки поля, розсіяного на дифракційній ґратці, що складається з криволінійних елементів (розсіювачів) довільної кривизни.

Багатопараметрова залежність електродинамічних характеристик періодичних структур від конструктивних особливостей, значні часові та матеріальні затрати, необхідні для організації та проведення натурних експериментів перетворюють числове моделювання на важливий та необхідний етап проектування періодичних структур та дослідження характеристик ряду композитних матеріалів. У зв'язку з цим, розроблення та створення методів, алгоритмів і програм, орієнтованих на числовий розрахунок взаємодії електромагнітного випромінювання з періодичними структурами, що складаються з елементів довільної кривизни, є важливою та актуальною проблемою.

Найбільш адекватні на даний час математичні моделі дифракційної взаємодії електромагнітного поля з ґратками, що містять канонічні елементи (стрічка, частина кругового циліндра) на періоді, ґрунтуються на числово-аналітичних методах “півобертання” сингулярного оператора задачі. Однак вони є недостатньо ефективними у випадку довільної кривизни розсіювачів. Тому постала необхідність створення більш ефективних моделей та обчислювальних алгоритмів, які не накладають суттєвих обмежень на геометрію елементів ґратки і кут падіння електромагнітної хвилі. Представлені у даній роботі дослідження направлені на вирішення цієї проблеми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до пріоритетних напрямків розвитку науки і техніки в рамках таких державних замовлень на науково-технічну продукцію Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка Національної академії наук України: "Розробка основ теорії електромагнітного та акустико-емісійного неруйнівного контролю матеріалів з використанням нових підходів до розв'язку задач математичної фізики" (№ ДР 0297U001697), "Розробка інформаційних технологій електромагнітної діагностики багатошарових структур" (№ ДК 6.02.02.021), "Дослідження взаємодії електромагнітних та ультразвукових хвиль із макродефектами шаруватого матеріалу для створення нових методик та засобів багатопараметрового неруйнівного контролю" (№ ДР 0197U013067), "Розробка теорії та експериментальних засобів моделювання електромагнітного поля дефектів матеріалу і створення автоматизованої апаратури для його виявлення" (№ ДР 0100U004864), де автору належать розробка та реалізація алгоритмів розрахунку періодичної функції Ґріна і побудова двовимірних моделей дифракції хвиль на металевих ґратках.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є створення двовимірної математичної моделі резонансної дифракційної взаємодії електромагнітного поля з періодичною структурою, що складається з системи гладких екранів (розсіювачів) довільної кривизни, розташованих у кусково-однорідному середовищі, за умови довільного падіння зондуючої E- або H-поляризованої плоскої хвилі.

Досягнення цієї мети передбачає вирішення таких основних задач:

1. Розробити високоефективний алгоритм обчислення періодичної функції Гріна дифракційної задачі у широкому діапазоні зміни її параметрів.

2. Побудувати числову модель дифракції плоскої Е- або Н-поляризованої електромагнітної хвилі на багатоелементній дифракційній ґратці, розташованій у вільному просторі, розв'язавши відповідну задачу методом сингулярних інтегральних рівнянь.

3. Розширити межі застосовності створеної моделі на випадок розміщення дифракційної ґратки у діелектричному півпросторі з неплоскою періодичною межею. дифракція електромагнітний хвиля ґратка

4. Апробувати створену модель та розроблене програмне забезпечення при дослідженні впливу геометрії елементів ґратки та кута падіння зондуючої хвилі на їх дифракційні характеристики в резонансному діапазоні частот.

Об'єктом дослідження є модель дифракційної багатоелементної ґратки.

Предметом дослідження є визначення можливостей, характеристик та меж застосовності моделі при розрахунку дифрагованого поля з урахуванням взаємодії між елементами періодичної структури.

Методи дослідження. Для створення високоефективного алгоритму обчислення функції Ґріна застосовано модифікацію контура інтегрального зображення функції Ганкеля та побудовано інтерполяційний поліном Лагранжа від кількох змінних. Для розрахунку дифрагованого електромагнітного поля плоскої Е- або Н-поляризованої хвилі, що взаємодіє з дифракційною багатоелементною ґраткою, використано прямий чисельний метод розв'язання сингулярних інтегральних чи інтегро-диференціальних рівнянь, який без попередньої аналітичної регуляризації дає змогу отримати скінченну добре обумовлену систему лінійних алгебричних рівнянь.

Наукова новизна роботи визначається наступним:

1. Запропоновано новий високоефективний метод обчислення періодичної функції Ґріна на основі модифікації контура інтегрального зображення функції Ганкеля та використання інтерполяційного полінома Лагранжа від кількох змінних.

2. Розроблено і апробовано новий числовий метод строгого розв'язання задачі дифракції плоскої Е- або Н-поляризованої електромагнітної хвилі на багатоелементній дифракційній ґратці, розташованій у кусково-однорідному середовищі при довільних геометрії елементів на періоді та куті падіння хвилі.

3. Уперше запропоновано спосіб моделювати межу розділу двох середовищ як елемент ґратки, що дозволило суттєво розширити застосовність моделі для дослідження розсіювальних властивостей хвилястих поверхонь.

Практичне значення одержаних результатів.

1. Розроблено пакет програм на мові програмування Visual FORTRAN для числових розрахунків функції Ґріна періодичних структур при широкому діапазоні зміни її параметрів.

2. Розроблено пакет програм на мові програмування Visual FORTRAN для моделювання у широкому (включаючи резонансний) частотному діапазоні дифракційних характеристик ґратки при її опроміненні електромагнітною хвилею без суттєвих обмежень на геометрію розташування елементів та межу розділу діелектричних середовищ.

3. Дано рекомендації для вибору структури каскадної ґратки для отримання заданих характеристик відбивання та розсіяння при певних кутах падіння зондуючої хвилі.

Особистий внесок здобувача. В опублікованих із співавторами наукових роботах автору належить:

[1, 6, 7, 8] - побудова тривимірного інтерполяційного полінома, створення та тестування програмного забезпечення, проведення числових розрахунків;

[2, 3, 9] - розробка ідеї модифікації контура інтегрування для обчислення функції Гріна, програмне забезпечення, проведення числових розрахунків;

[11 - 14] - реалізація ідеї моделювання границі півпростору елементом дифракційної ґратки, отримання аналітичного розв'язку задачі, розробка програмного забезпечення, проведення числових досліджень дифракційних характеристик каскадних ґраток та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідалися та обговорювалися на таких наукових форумах: Journes Internationales De Nice Sur Les Antenes. Nice, France, 8-10 Novembre 1994; International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED'95, Lviv, September 19-21, 1995; VIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET'1996, Lviv, Ukraine, September 10-13; VIIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET'98, Kharkov, Ukraine, June 2-5, 1998; III International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED'98, Tbilisi, November 2-5, 1998; IV International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED'99, Lviv, September 20-23, 1999; VIIIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET'2000, Kharkov, Ukraine, September 12-15, 2000; 2000 International Symposium On Antennas And Propagation (ISAP 2000), ACROS Fukuoka, Japan August 21-25, 2000; 2002 IEEE AP-S Symposium and USNC/URSI Meeting "New Frontiers in Antennas & Propagation for a Wireless World." June 16-21, 2002, San-Antonio, Texas,USA.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 14 наукових працях, із них 5 статей у фахових спеціалізованих науково-технічних журналах і 9 робіт у збірниках наукових матеріалів та тез міжнародних конференцій.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, п'яти основних розділів, висновків та списку використаних джерел. Її загальний обсяг складає 169 сторінок. З них: основна частина - 135 сторінок, 23 рисунки на 26 сторінках, 122 найменування у списку використаних джерел на 14 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету та задачі досліджень, викладено наукову новизну отриманих результатів та їх практичне значення, подано відомості про апробацію та публікації по темі дисертації.

У першому розділі на основі огляду літературних джерел дано аналіз сучасного стану проблеми математичного моделювання дифракційної взаємодії електромагнітного поля з періодичними структурами. Виділено фундаментальні результати теорії, відзначено її досягнення та існуючі на даний час проблеми.

Розглянуто основні групи методів, що використовують при розв'язанні граничних задач для одного або системи еліптичних рівнянь в необмеженій чи обмеженій областях. Значну увагу в розділі приділено підходу, що добре зарекомендував себе при моделюванні резонансної поведінки періодичних структур - побудові функції Ґріна та подальшому розвитку теорії потенціалів.

Розглянуто також особливості чисельної реалізації існуючих алгоритмів, їх оптимізації та підвищення ефективності.

Проаналізовано основні структури, для яких вдається успішно побудувати моделі їх дифракційної взаємодії зі змінним електромагнітним полем, та вказано межі їх застосовності.

У другому розділі дисертації викладено застосування методу механічних квадратур для розв'язання сингулярних інтегральних та інтегродиференціальних рівнянь.

При моделюванні розсіяння хвиль періодичними структурами доцільно використати апарат інтегральних рівнянь. Через наявність у ядрах таких рівнянь функції Ґріна періодичної дифракційної задачі вони володітимуть логарифмічною особливістю або сингулярністю типу Коші. Стандартним методом розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь є їх аналітична регуляризація і наступне числове обертання отриманих інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Однак, при такій процедурі значно ускладнюються ядра регуляризованого рівняння. Тому застосовують прямі методи розв'язання вихідних сингулярних інтегральних рівнянь, що приводять до скінчених алгебраїчних систем.

Із структури сингулярних рівнянь випливає, що їх чисельний розв'язок зручно шукати методом механічних квадратур. Цей метод базується на спеціально побудованих квадратурних формулах для сингулярних інтегралів і без попередньої аналітичної регуляризації приводить до добре обумовлених скінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

У підрозділі 2.1 розглянуто сингулярне інтегральне рівняння першого роду з ядром Коші, до якого можна звести задачу дифракції Е-поляризованої електромагнітної хвилі на ідеально провідній циліндричній перешкоді у випадку розімкнутого контура інтегрування. Для його чисельного розв'язку, використовуючи спеціально побудовані квадратурні формули, отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

Враховуючи особливість чисельного розв'язування таких інтегральних рівнянь, багатократне обчислення їх ядер є неминучим елементом математичної моделі розсіяння хвиль періодичними структурами. Це гостро ставить проблему ефективності таких обчислень. Показано, що коли застосувати процедуру інтерполяції безпосередньо до шуканої густини інтегрального рівняння, то отримані в кінцевому результаті СЛАР будуть більш зручними та ефективними для числового розв'язання таких інтегральних рівнянь.

Аналогічний підхід застосовано у підрозділі 2.2 для розв'язання слабо сингулярних інтегральних рівнянь (інтегральних рівнянь з логарифмічною особливістю) як першого, так і другого роду для розімкнутого контура інтегрування.

У підрозділі 2.3 розроблені чисельні схеми узагальнено на випадок наближеного розв'язування інтегральних рівнянь за наявності в їхніх ядрах сингулярностей обох типів (з особливістю типу Коші та з логарифмічною особливістю). Необхідність такого узагальнення виникає, зокрема, при моделюванні двовимірних задач дифракції Н_поляризованої електромагнітної хвилі на ідеально провідних розсіювачах.

Побудовані у цьому розділі СЛАР є дискретними аналогами вихідних сингулярних інтегральних рівнянь і служать основою для ефективного моделювання дифракційної взаємодії періодичних структур з електромагнітними хвилями.

У розділі 3 дисертації розроблено новий високоефективний метод обчислення канонічної функції Ґріна періодичної дифракційної задачі на основі модифікації контура інтегрального зображення функції Ганкеля та використання інтерполяційного полінома Лагранжа від кількох змінних.

Нехай досліджувана періодична (період d) структура знаходиться у середовищі з дійсним хвильовим числом і опромінюється плоскою електромагнітною хвилею (кут падіння - ). Тоді обчислення канонічної функції Ґріна періодичної дифракційної задачі

(1)

вимагає згортання рядів типу Шльомільха, що слабо збігаються. У підрозділі 3.1, після застосування відомого інтегрального зображення функції Ганкеля та проведення математичних перетворень, отримано нове представлення функції Ґріна. Для забезпечення математичної коректності та збіжності нескінченного ряду у т. зв. “точках ковзання” (полюси підінтегральної функції) запропоновано модифікувати контур інтегрування. Спеціально вибраний контур m у комплексній площині змінної інтегрування забезпечує максимально швидке заникання підінтегральних функцій, а значить - і високу ефективність усієї обчислювальної схеми. Як результат, функцію Ґріна періодичної дифракційної задачі запропоновано обчислювати за такою формулою:

;

. (2)

Важливою інформаційною характеристикою дифрагованого поля, що описує його енергетичні властивості і часто використовується при дослідженні розсіяння хвиль нескінченними ґратками, є його асимптотика на нескінченості. Таку асимптотику можна записати, використовуючи асимптотику функції Ґріна на нескінченності. Однак, формула (2) для цього є непридатною.

При цьому є очевидним, що підінтегральні функції у виразі (2) на дійсній осі мають полюси m. Оскільки сам інтеграл, в силу спеціально проведеного контура інтегрування, на нескінченості швидко прямує до нуля, то основний внесок в асимптотику функції Ґріна дають лише лишки у згаданих полюсах. Для випадку одномодового режиму опромінення, коли вся енергія хвилі зосереджена у головній гармоніці, асимптотика функції Ґріна на нескінченності буде такою:

. (3)

Для моделювання дифракції хвиль на періодичних структурах необхідно обчислювати перші та другі похідні функції Ґріна періодичної дифракційної задачі по нормалі до контура інтегрування L, що геометрично співпадає з поперечним перерізом нескінченно тонкого ідеально провідного розсіювача. Використовуючи правила диференціювання узагальнених функцій та властивості похідних функції Ганкеля, такі вирази отримані у підрозділі 3.3 дисертації. З їх допомогою необхідні нормальні похідні можуть бути обчислені у будь-якій точці поперечної до осі циліндричної періодичної структури площини, включаючи точки контра L. Проведено порівняння запропонованих числових схем та вибрано найбільш ефективні їх параметри з точки зору програмної реалізації (час розрахунку, простота тощо).

Як видно з попереднього викладу, канонічна функція Ґріна періодичної дифракційної задачі містить контурні інтеграли типу Зоммерфельда. Їх багатократне обчислення, необхідне для заповнення матриці алгебраїчної системи - дискретного аналога відповідного інтегрального рівняння математичної моделі - потребує значних машинних ресурсів. Звідси зрозуміла необхідність пошуку альтернативного варіанту для усунення цих труднощів. Для цього у підрозділі 3.4 дисертації запропоновано використати добре відому з теорії апроксимації концепцію інтерполювання. Щоб скоротити час обчислень інтегралів типу Зоммерфельда побудовано інтерполяційний поліном Лагранжа за чебишевськими вузлами від трьох змінних: x=Re{z}; y=Im{z}; d. При цьому зроблено припущення, що для будь-яких двох фіксованих змінних деяка функція S(x,y,d) апроксимується таким поліномом по відношенню до третьої змінної:

,(4)

де ., , , - поліноми Чебишева першого роду, - вузли інтерполяції.

Щоб підвищити ефективність розрахунків за формулою (4), області визначення кожної із змінних - x, y, d - розбивали на менші сегменти, що дало можливість отримувати необхідну точність без збільшення ступеня інтерполяційного полінома (тобто, без збільшення значень параметрів mx, my, md).

Для тестування алгоритму обчислення інтеграла (2), останній безпосередньо рахувався у 2000 довільно вибраних точках. У цих же точках проводили інтерполяцію, попередньо заповнивши масив . Абсолютну точність інтерполяції e=1.ґ10-5 було досягнуто при mx=my=md=5. При цьому кількість сегментів на довжину хвилі складала lx=ly=ld=8. Максимальна відносна похибка обчислення при цьому не перевищила 0,01%, а для більшості точок вона становила 0.001%. Час прямого обчислення інтеграла (2) у 1000 точках склав 2 хв 1.88 сек; час його обчислення із використанням інтерполяції: - 4.89 сек.

Таким чином, показано, що застосування інтерполяції дозволяє суттєво скоротити час обчислень, а досягнута абсолютна точність інтерполяції є одного порядку із точністю прямого обчислення періодичної функції Ґріна. Це означає, що для організації масових обчислень періодичної функції Ґріна доцільно поступити так: безпосереднім контурним інтегруванням інтегралів Зоммерфельда обчислюємо "базовий" масив їх значень у точках , ; ; . Далі інтерполяцією за формулою (4) отримуємо необхідні значення цих інтегралів для довільних змінних (x, y) та періоду структури d.

Для того, щоб уникнути прямого диференціювання виразу для функції Ґріна, у цьому ж підрозділі запропоновано провести диференціювання безпосередньо побудованого інтерполяційного полінома (4). Це дає додаткові часові переваги при отриманні числових результатів математичної моделі процесу розсіяння хвиль періодичними структурами.

У розділі 4 дисертації методом сингулярних інтегральних рівнянь з використанням розробленого алгоритму обчислення функції Гріна розв'язано задачу дифракції плоскої Е- та Н-поляризованої електромагнітної хвилі на багатоелементній дифракційній ґратці, розташованій в однорідному просторі, за умов довільної геометрії елементів та довільного кута падіння хвилі.

У підрозділі 4.1 здійснено математичну постановку задачі. Розглянуто нескінченну дифракційну ґратку з періодом d, розташовану в однорідному ізотропному середовищі з хвильовим числом . Один період ґратки містить N циліндричних ідеально провідних нескінченно тонких розсіювачів з твірними, котрі паралельні осі Oz. Поперечні перерізи розсіювачів площиною xOy утворюють відкриті контури типу Ляпунова . Кут падіння електромагнітної хвилі у площині xOy вважали гострим (0<</2), а хвильове число  - дійсним. Таку задачу зведено до розв'язання рівняння Гельмгольца, що задовольняє умовам Діріхле (у випадку E-поляризації) чи Неймана (у випадку H-поляризації) на контурах ; типу Мейкснера в околі ребер (кінцевих точок контурів ). Крім того, результуюче (дифраговане) електромагнітне поле не повинно містити жодних хвиль, які розповсюджуються з нескінченості, окрім падаючої.

У підрозділі 4.2, застосувавши представлення функції Ґріна, отримане у розділі 3 дисертації, отримано системи сингулярних інтегральних рівнянь для випадків Е- та Н-поляризації. На основі асимптотик дифрагованого поля у дальній зоні введено поняття коефіцієнтів відбивання R та проходження T ґратки.

Врахувавши умову Мейкснера на ребрі, яка фізично означає вимогу скінченності дифрагованого поля в усіх точках простору, включаючи і окіл ребер, проведено алгебраїзацію систем сингулярних інтегральних рівнянь та записано СЛАР для обох випадків поляризації. При цьому задіяно метод механічних квадратур, в основі якого лежать спеціальні квадратурні формули інтерполяційного типу, та викладені у розділі 2 чисельні схеми розв'язання сингулярних інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь. У результаті такого підходу відповідний моделі алгоритм включає розв'язання систем nґN лінійних алгебраїчних рівнянь, матриці яких, в силу превалювання сингулярних діагональних елементів, є добре обумовленими. Розмірність отриманих СЛАР є невеликою, а отже для запропонованої моделі не виникає особливих труднощів при чисельній реалізації.

У підрозділі 4.3 проведено чисельну реалізацію побудованої моделі. Описані вище алгоритми застосували до моделювання взаємодії плоскої електромагнітної хвилі з дифракційною ґраткою, на періоді якої розташовані два однакові розсіювачі. Контури Lk вважали дугами парабол з кінцями в точках та вершинами в точках , у системі координат xOy . Параметричні рівняння дуг Lk у комплексній площині z=x+iy мають вигляд

,,

де l - віддаль між шарами, - безрозмірний параметр, що характеризує прогин дзеркала розсіювача.

Рис. 2. Дифракційна ґратка з двох криволінійних розсіювачів на періоді.

З метою апробації алгоритму змодельовано класичний випадок відбивання плоскої E-поляризованої електромагнітної хвилі від ідеально провідної плоскої поверхні. Площину y=0 розбили на систему однакових плоских екранів шириною 2a, що дотикаються своїми ребрами, і трактували її як нескінченну ґратку з періодом d=2a. Таку задачу розв'язали чисельно з використанням побудованих алгоритмів. Крім того, цю ж площину розглядали як дифракційну ґратку, що містить на періоді два однакових плоских екрани розміром 2чa=р/2. В обох випадках чисельне значення густини струму, отримане після розв'язання системи інтегральних рівнянь при, відповідно, N=1 та N=2, співпало з відповідним аналітичним розв'язком такої тестової задачі. Зауважимо, що при чисельному розв'язанні жодним чином не враховувалась специфіка розглядуваної задачі.

У часткових випадках (одношарова дифракційна ґратка з елементів постійної та змінної кривизни при нормальному падінні на неї плоскої Е-поляризованої хвилі; двоелементна плоска ґратка розташованих один під одним розсіювачів (e=0) в полі H-поляризованої плоскої хвилі) числові результати співпали з даними, опублікованими раніше іншими авторами. При цьому відхилення наших результатів від тестових не перевищувало 5.0ґ10-6 при вибраній кількості вузлів у квадратурній формулі n=6. Таким чином, можна стверджувати високу ефективність запропонованої моделі з точки зору її універсальності та затрат машинних ресурсів.

Розроблена математична модель дає можливість отримати нову інформацію про розсіяне електромагнітне поле у випадку змінної кривизни елементів періодичної структури. Для цього чисельно дослідили вплив зміни геометричних та частотних параметрів моделі на поведінку коефіцієнтів відбивання та проходження ґратки. Один з результатів моделювання дифракційних властивостей каскадної ґратки представлено на рис 3. На ньому зображено поведінку коефіцієнта проходження плоскої E-поляризованої електромагнітної хвилі, що падає нормально (в=0) до двошарової ґратки з параболічних розсіювачів у залежності від cl та cd (частотна залежність). Значення геометричних параметрів ґратки є такими: a=d/2 і 1=2==0.25. Зауважимо, що у резонансних точках проводили додаткову перевірку моделі на збіжність. Виявлено, що при числі n=10 та n=20 вузлових точок, які вибрано на кожному з контурів Lk, результати різняться у п'ятому знаку.

Із проведених досліджень можна зробити висновок, що двошарова дифракційна ґратка відбиває майже всі хвилі. Але тоді, коли l”k/2, k=1,…, що відповідає частотам, при яких утворюються незатухаючі хвилі між верхнім і нижнім шарами ґратки, виникають резонансні ефекти. У таких випадках досліджувана структура пропускає майже всі хвилі, в той час як відбивання суттєво зменшується. Резонансний розмір l() залежить від частоти - при більших частотах такий своєрідний хвилевід виглядає ширшим. Справді, ґратку із двох певним чином розташованих на періоді екранів (рис. 2) можна розглядати як відкритий планарний хвилевід. Було показано, що при деяких віддалях l така структура може пропускати електромагнітні хвилі, довжини яких є співмірними з періодом ґратки. Коефіцієнт проходження електромагнітної хвилі, що розсіюється двошаровою ґраткою з плоских екранів, є максимальним при таких віддалях l між шарами, які відповідають зародженню додаткових мод планарного хвилеводу. Ця резонансна віддаль залежить від ширини самих розсіювачів: при малій щільності заповнення ґратки хвилевід наче розширюється. При збільшенні коефіцієнта заповненості ґратки () зростає відбивна здатність її верхнього шару і, як наслідок, зменшується пропускання хвиль.

При опроміненні ґратки H-поляризованою плоскою хвилею, яка поширюється під кутом до осі Oy, досліджено вплив геометричних параметрів періодичної структури на поведінку коефіцієнта відбивання.

З аналізу результатів досліджень моделі двошарових ґраток можна зробити такі висновки. Коефіцієнт проходження ґратки із опуклих (1=>0, 2=_<0) та увігнутих (1=_<0, 2=>0) екранів є різним. Кривина екранів міняє поведінку таких залежностей. Вплив заповнення ґратки на проходження хвиль змінюється. При малій кривизні елементів проходження хвиль спостерігається лише для малої заповненості ґратки. Відбувається практично рівномірне проходження хвиль по гармоніках планарного хвилеводу. Мала кривизна елементів періодичної структури спричиняє погіршення пропускних властивостей, тобто амплітуда хвилі, що пройшла крізь структуру, є невеликою. Із зростанням кривизни елементів ґратки ефект проходження хвиль починає проявлятись при більшому коефіцієнті заповнення ґратки.

Таким чином, запропонований підхід дав можливість розв'язати у строгій постановці задачу дифракції електромагнітної хвилі на періодичній багатоелементній структурі при довільних геометрії розсіювачів та кутах падіння хвилі. Отримані чисельні результати дають можливість зробити висновок про резонансний характер взаємодії зондуючої хвилі із досліджуваним об'єктом та показали принципову можливість застосування запропонованого підходу до вирішення практичних задач неруйнівного контролю дефектності шляхом побудови приладів індикаторного принципу дії.

Рис. 5. Геометрія задачі.

У п'ятому розділі дисертації розширено межі застосовності створеної у розділі 4 моделі на випадок розміщення дифракційної ґратки у діелектричному півпросторі з неплоскою періодичною межею. У підрозділі 5.1 роботи здійснено постановку задачі. Вона є аналогічною до постановки дифракційної задачі з розділу 4, за винятком такого доповнення: на періоді d нескінченної періодичної структури міститься частина (контур L0) межі розділу двох середовищ: верхнього S1 та нижнього S2 (. Шуканий же розв'язок рівняння Гельмгольца з кусково-сталим хвильовим числом повинен задовольняти відомі умови спряження на контурі L0.

У підрозділі 5.2, застосувавши представлення функції Ґріна, отримане у розділі 3 дисертації, та задовольнивши умови спряження на межі середовищ виведено системи сингулярних інтегральних рівнянь для випадків Е- та Н-поляризації.

У підрозділі 5.3, після відповідної параметризації контурів L0 та здійснено нормування системи сингулярних інтегральних рівнянь, виділили характеристичну частину їх ядер і, з застосуванням методу механічних квадратур, проведено алгебраїзацію СІР для обох випадків поляризації.

Таким чином, для проведення числового моделювання необхідно розв'язати систему N+2 зв'язаних інтегральних або інтегро-диференціальних рівнянь, залежно від поляризації падаючої хвилі. Такі рівняння є еквівалентними системі (N+2)nґ(N+2)n лінійних алгебраїчних рівнянь. Матриці відповідних алгебраїчних систем, в силу переважання сингулярних діагональних елементів, є добре обумовленими. Тому запропонований в дисертації підхід не викликає особливих труднощів при числовій реалізації і для випадку кусково-однорідного середовища.

У підрозділі 5.4 запропоновану числову схему застосовано для опису властивостей електромагнітного поля, що дифрагує на системі розсіювачів, розміщених біля межі розділу двох середовищ. Періодичну структуру змодельовано каскадною ґраткою, повністю зануреною у півбезмежний діелектрик. На одному періоді такої ґратки розташовано N елементів-розсіювачів і фрагмент межі розділу. Оскільки останній трактується як елемент ґратки, на якому задовольняються умови спряження тангенціальних складових електромагнітного поля, то така модель, побудована для гладкого контура L0 довільної кривини, є універсальною стосовно періодичної границі, що розділяє середовища.

Параметри структури:

1d=, 2d=2, 2a/d=0.5, l/d=1.0, d=1.0, -1 = 2 = 0.5.

Параметри структури:

1d=, 2d=2, 2a/d=0.5, l/d=1.0, d=1.0, h0/d=0.34.

Розроблена математична модель дає можливість отримати інформацію про розсіяне електромагнітне поле у випадку довільної геометрії елементів періодичної структури та довільного кута падіння хвилі. Зокрема, чисельно досліджено вплив зміни геометричних та частотних параметрів моделі на поведінку коефіцієнта відбиття ґратки. Один із результатів моделювання дифракційних властивостей такої каскадної ґратки представлено на рис 6. На ньому у 3-D формі зображено залежності “кут падіння хвилі - глибина занурення ґратки h0” для певної комбінації параметрів моделі. На рис. 7 представлено результати моделювання структури з хвилястою границею розділу середовищ, що змінюється за синусоїдальним законом.

Порівняння числових даних, отриманих за допомогою запропонованого у цьому розділі алгоритму, із результатами для аналогічної каскадної ґратки, розташованої в однорідному середовищі показало дуже добре узгодження (з точністю до 4-х знаків). Це дає підстави стверджувати, що запропонований підхід до моделювання періодичних структур, розташованих у кусково-однорідному середовищі, є високоефективним та надійним з точки зору достовірності отриманих результатів.

Кількісні характеристики сформульованої тут моделі є наступними: максимальна розмірність комплекснозначної матриці алгебраїчної системи (N+2)n(N+2)n досягала 40 (N=2, n=10). При тестових розрахунках кількість вузлів n у квадратурних формулах, рівна n=10 та n=20, забезпечила незмінність трьох значущих цифр мантиси коефіцієнта розсіяння R. Це означає, що кожен елемент періодичної ґратки, а також розташована на періоді частина межі розділу середовищ потребувала 10 вузлових точок для забезпечення абсолютної похибки отриманих результатів, рівної 10-04. Нев'язка числового розв'язку СЛАР при цьому склала 10-06. Час розрахунку на ПЕОМ типу PC PII_350 для отримання одного числового розв'язку склав у середньому 1,87 сек.

З аналізу результатів досліджень моделі двошарових ґраток за наявності межі розділу середовищ можна зробити такі висновки. Розсіяне електромагнітне поле має складну структуру і головно залежить від кута падіння зондуючої хвилі та глибини занурення розсіювачів. Кривина елементів ґратки впливає відчутно менше і не призводить до якісних змін енергетичних характеристик розсіяння. За деяких кутів падіння (~60) досліджувана структура є практично непрозорою незалежно від глибини занурення та кривизни її елементів. Кривина межі розділу середовищ суттєво посилює резонансні властивості ґратки, зменшуючи вплив кривини її елементів та посилюючи резонансну залежність від кута падіння зондуючої хвилі.

ВИСНОВКИ

1. При моделюванні розсіяння хвиль періодичними структурами доцільно використати апарат інтегральних рівнянь. Через наявність у ядрах таких рівнянь функції Ґріна періодичної дифракційної задачі (або її похідних) рівняння мають логарифмічну особливість, або володіють сингулярністю типу Коші. Чисельні алгоритми розв'язування таких рівнянь доцільно будувати на основі методу механічних квадратур, який без попередньої аналітичної регуляризації приводить до добре обумовлених скінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Регулярні ядра інтегральних рівнянь, що не викликають особливих проблем у випадку розсіяння хвиль поодинокими перешкодами, у випадку періодичних структур приводять до суттєвого ускладнення чисельних алгоритмів. Фізично таке ускладнення зумовлене наявністю незатухаючих на нескінченності хвиль, породжених періодичністю структури; математично воно виражається у присутності в ядрах інтегральних рівнянь осцилюючих невласних інтегралів типу Зоммерфельда. Враховуючи особливість чисельного розв'язування таких інтегральних рівнянь, багатократне обчислення їх ядер є неминучим елементом математичної моделі розсіяння хвиль періодичними структурами і гостро ставить проблему ефективності таких обчислень. Розв'язання цієї проблеми подано в дисертації.

2. Застосування прямих числових методів для багатократного отримання значень канонічної функції Ґріна періодичної дифракційної задачі є неефективним з точки зору затрат машинного часу. Тому спеціально сконструйований інтерполяційний поліном дозволяє значно пришвидшити розрахунки без зменшення точності отриманих результатів, що суттєво підвищує ефективність числових алгоритмів. Процедура розбиття області наближення функції Ґріна на окремі підобласті та наступна інтерполяція по окремому визначеному сегменту з використанням малої кількості вузлів є значно ефективнішою, ніж "глобальна" інтерполяція по всій області із застосуванням великої кількості вузлів. Досягнута абсолютна точність інтерполяції є одного порядку із точністю прямого обчислення періодичної функції Ґріна.

3. Модель системи розсіювачів у вигляді двошарової каскадної ґратки з криволінійними елементами володіє вираженими резонансними властивостями. Нескінченну ґратку із двох екранів можна розглядати як модель відкритого планарного хвилевода. При деяких віддалях l між шарами така структура може пропускати електромагнітні хвилі, довжина яких є співмірна з періодом ґратки. Коефіцієнт проходження електромагнітної хвилі, що розсіюється двошаровою ґраткою із плоских екранів, є максимальним при таких l, які відповідають зародженню додаткових мод планарного хвилеводу. Ця резонансна віддаль залежить від розмірів самих екранів. Мала кривина розсіювачів спричиняє погіршення пропускних властивостей ґратки. Для криволінійних елементів ефект проходження хвиль починає проявлятись при більшому заповненні ґратки. При певних значеннях параметрів ґратки, що відповідають частотам, при яких зароджуються незатухаючі хвилі хвилевода, виявляються резонансні ефекти: досліджувана структура пропускає майже всі хвилі, в той час як відбивання суттєво заникає.

4. Запропоновано ефективний підхід до моделювання періодичних структур, розташованих у кусково-однорідному середовищі з однією межею розділу, за допомогою ідеально-провідних нескінченно тонких розсіювачів довільної кривизни та границі розділу, як елемента періодичної структури. Оскільки межа розділу середовищ трактується як елемент ґратки, на якому задовольняються умови спряження тангенціальних складових електромагнітного поля, то такий алгоритм є універсальним стосовно періодичної границі, що розділяє середовища.

5. Розсіяне електромагнітне поле у випадку періодичної системи розсіювачів, розташованих біля межі розділу середовищ, має складну структуру і головно залежить від кута падіння зондуючої хвилі та глибини занурення розсіювачів. Кривина елементів ґратки впливає значно менше і не викликає якісних змін енергетичних характеристик розсіяння. Для деяких кутів (~60) падіння хвилі досліджувана структура є практично непрозорою незалежно від глибини занурення та кривини її елементів. Кривина межі розділу середовищ суттєво посилює резонансні властивості ґратки, при цьому зменшуючи вплив кривини її елементів та посилюючи резонансну залежність від кута падіння зондуючої хвилі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Z. Nazarchuk, O. Ovsyannikov, T. Senyk Interpolation method for evaluation of periodic Green function in the problem of diffraction // Радіофізика та радіоастрономія. - 1996. - Т.1, №1. - С. 32-36.

З. Назарчук, О. Овсянніков, Т. Сеник Моделювання резонансного розсіювання E-поляризованої електромагнітної хвилі каскадною ґраткою // Відбір і обробка інформації. - 1998. - № 12(88). - С. 5-11.

З. Назарчук, О. Овсянніков, Т. Сеник Моделювання взаємодії електромагнітної хвилі з волокнами композитного матеріалу // Машинознавство. - 1998. - №4/5. - С. 25-32.

Т. Сеник Моделювання взаємодії Е-поляризованої електромагнітної хвилі з багатоелементною ґраткою у півпросторі // Відбір і обробка інформації. - 2002. - № 16(92). - С. 33-38.

Т. Сеник Моделювання взаємодії електромагнітної хвилі з багатоелементною ґраткою у півпросторі // Відбір і обробка інформації. - 2004. - № 20(96). - С. 10-16.

Z. Nazarchuk, O. Ovsyannikov, T. Senik Plane wave scattering by a multilayer diffraction grating // Journes Internationales De Nice Sur Les Antenes. - Nice, France. - 1994. - P. 302-305.

Z. Nazarchuk, O. Ovsyannikov, T. Senik Application of interpolation polynomial for evaluation of periodic Green function in the scattering problems // Proceedings of International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED'95. - Lviv, Ukraine. - 1995. - P. 48-49.

O. Ovsyannikov, T. Senyk Evaluation of periodic Green function and its derivations by interpolation polynomial in diffraction problems // Proceedings of VIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET'1996. - Lviv, Ukraine. - 1996. - P. 497-499.

Z. Nazarchuk, O. Ovsyannikov, T. Senyk Plane wave scattering by a cascaded diffraction grating (H-case) // Proceedings of VIIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET'98. - Kharkov, Ukraine. - 1998. - V.1. - P. 195-197.

T. Senyk Numerical investigation of resonance diffraction characteristics of cascaded gratings (TM-case) // Proceedings of III International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED'98. - Tbilisi, Georgia. - 1998. - P.35-38.

Z. Nazarchuk, O. Ovsyannikov, T. Senyk Problem of TM-polarized plane electromagnetic wave diffraction by multielement grating imbedded in a half-space // Proceedings of IV International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED'99. - Lviv, Ukraine. - 1999. - P. 132-135.

Z. Nazarchuk, O. Ovsyannikov, T. Senyk Problem of plane electromagnetic wave diffraction by multielement grating imbedded in a half-space // Proceedings of VIIIth International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET'2000. - Kharkov, Ukraine. - 2000. - V.2. - P. 563-565.

Zinoviy Nazarchuk, Oleg Ovsyannikov and Taras Senyk Resonance features of a cascaded diffraction grating interacting with a plane electromagnetic wave // Proceedings of 2000 International Symposium On Antennas And Propagation (ISAP 2000), ACROS. - Fukuoka, Japan. - 2000. - P. 2E3-6.

Z. T. Nazarchuk, O. I. Ovsyannikov and T. D. Senyk Diffraction of TM-polarized plane electromagnetic wave by multielement grating in a half-space // Proceedings of 2002 IEEE AP-S Symposium and USNC/URSI Meeting "New Frontiers in Antennas & Propagation for a Wireless World." - San-Antonio, Texas, USA. - 2002. - V. 2. - P.812-815.

АНОТАЦІЯ

Сеник Т. Д. Чисельне моделювання дифракційної взаємодії електромагнітних хвиль з періодичними структурами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Національний університет "Львівська політехніка", Львів, 2005.

Дисертацію присвячено проблемам побудови числових моделей дифракції змінного електромагнітного поля на періодичних структурах. В дисертації розроблено новий числовий метод строгого розв'язання задачі дифракції плоскої Е- або Н-поляризованої електромагнітної хвилі на багатоелементній дифракційній ґратці, розташованій у кусково-однорідному середовищі при довільних геометрії елементів на періоді та куті падіння хвилі. Запропоновано новий алгоритм обчислення періодичної функції Ґріна задачі. Уперше запропоновано спосіб моделювати межу розділу двох середовищ як елемент ґратки, що дозволило суттєво розширити застосовність моделі для дослідження розсіювальних властивостей хвилястих поверхонь. Висока ефективність побудованої моделі підтверджена числовими розрахунками дифракційних властивостей конкретних періодичних систем розсіювачів.

Ключові слова: математичне моделювання, числові методи, періодична структура, ґратка, дифракція, електромагнітна хвиля.

АННОТАЦИЯ

Сеник Т. Д. Численное моделирование дифракционного взаимодействия электромагнитных волн с периодическими структурами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Национальный университет "Львивська политехника", Львов, 2005.

Диссертация посвящена проблемам построения численных моделей дифракции переменного электромагнитного поля на периодических структурах. В работе разработан новый численный метод строгого решения задачи дифракции плоской Е- или Н-поляризированной электромагнитной волны на многоэлементной дифракционной решетке, размещенной в кусочно-однородной среде при произвольных геометрии элементов на периоде и угле падения волны. Предложен новый алгоритм вычисления периодической функции Грина задачи. Впервые предложено способ моделировать границу раздела двух сред как элемент решетки, что существенно расширило применимость модели для исследования свойств рассеивания волнистых поверхностей. Высокая эффективность построенной модели подтверждена числовыми расчетами дифракционных свойств конкретных периодических систем рассеивателей.

Ключевые слова: математическое моделирование, числовые методы, периодическая структура, решетка, дифракция, электромагнитная волна.

SUMMARY

Senyk T. D. Numerical modeling of electromagnetic waves' diffraction on periodic structures. - Manuscript.

Thesis for a scientific degree of candidate of sciences in speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - National university “Lvivska Politechnika”, Lviv, 2005.

The dissertation is devoted to the problems of construction of the numerical models of electromagnetic waves' diffraction on periodic structures. A new numerical method of the strict solution of the problem of plane TM- or TE-polarized wave diffraction on multielement grating is developed. The grating is located in a piecewise-homogeneous medium and consists of arbitrary-shaped elements and the wave inclines at arbitrary angle. A new algorithm for periodic Green function calculation is elaborated. It employs a transformation of the integration path at Hankel function's integral presentation and accounting for the appearing poles of the integrands. The following application of Lagrange-type interpolation polynomial to Green function significantly decreases the time required for the numerical calculations. An application of such fast and effective algorithm allows to model the diffraction of the plane electromagnetic wave, which inclines at an arbitrary angle, on metal grating, the elements of which have noncanonical geometry and are located in free space. Resonance diffraction characteristics of the sounded cascade grating have been numerically investigated. For the first time it is proposed to model the interface between two mediums as an element of a grating, hence some certain additional conditions should be satisfied at this boundary. This approach essentially extended the applicability of the developed model up to the investigation of the scattering characteristics of the wave-like surfaces. The high effectiveness of the developed model has been proved by numerical investigations of the diffraction characteristics of certain periodic systems of arbitrary-shaped scatterers (metal cascaded grating), which are located in dielectric medium near the non-plane periodic surface.

Key words: mathematical modeling, numerical methods, periodic structure, grating, diffraction, electromagnetic wave.

Размещено на Allbest.ru

...