Операторний підхід до проблеми малих рухів в’язкопружних середовищ

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б.І. Вєркіна

УДК 517.9:532

ОПЕРАТОРНИЙ ПІДХІД ДО ПРОБЛЕМИ МАЛИХ РУХІВ В'ЯЗКОПРУЖНИХ СЕРЕДОВИЩ

01.01.03 - математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Яковлєв Олексій Вікторович

Харків - 2005 р.

АНОТАЦІЇ

Яковлєв О.В. Операторний підхід до проблеми малих рухів в'язкопружних середовищ.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.03 - математична фізика. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню еволюційних і спектральних задач про малі поперечні коливання в'язкопружного стержня в середовищі із в'язким тертям і про малі рухи твердого тіла з порожниною, яка повністю заповнена в'язкопружною рідиною.

Вихідні початково-крайові задачі описують механічну систему у випадку зі стрижнем і вагою на кінці, і гідромеханічну, у випадку із твердим тілом з порожниною. При розгляді даних задач застосована однакова методика дослідження, яка дозволила довести існування та одиничність сильного розв'язку вихідних задач, а також визначити структуру спектра та властивості системи власних і приєднаних елементів.

Суть дослідження еволюційних задач полягає в тому, що вихідна початково-крайова задача про малі рухи шляхом введення спеціально підібраних гільбертових просторів зводяться до задачі Коши для диференціального рівняння в гільбертовому просторі. Потім використовуються загальні факти теорії стискаючих напівгруп, і це дозволяє отримати результат про сильну можливість розв'язання вихідної початково-крайової задачі.

Досліджено спектральні задачі про власні коливання в'язкопружного стержня і твердого тіла з порожниною. Вивчено структуру спектру частот нормальних коливань.

Отримано результати про властивості системи власних і приєднаних елементів.

При розгляді задач про нормальні коливання використані методи теорії самоспряжених операторів у просторах з індефінітною метрикою та спектральної теорії операторних пучків.

Розглянуто окремі та вироджені випадки.

Надано фізичне пояснення отриманим результатам.

Ключові слова: початково-крайова задача, задача Коши, диференциально-операторне рівняння, гільбертовий простір, лінійний оператор, нормальні коливання, еволюційна задача, спектральна задача, спектр оператора, власні елементи, приєднані елементи.

Яковлев А.В. Операторный подход к проблеме малых движений вязкоупругих сред.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2005.

Диссертация посвящена исследованию начально-краевой задачи о малых поперечных колебаниях вязкоупругого стержня с грузом на конце, задачи о нормальных (собственных) колебаниях вязкоупругого стержня с грузом на конце и задачи о малых движениях и нормальных колебаниях твердого тела с полостью, заполненной вязкоупругой жидкостью.

Исходные начально-краевые задачи описывают механическую систему в случае со стержнем, и гидромеханическую в случае с твердым телом с полостью. При рассмотрении данных задач применена одна и та же методика исследования, которая позволила доказать существование и единственность сильного решения исходных задач, а также изучить структуру спектра и свойства системы собственных и присоединенных элементов. Схема исследования задач включает в себя методы функционального анализа, в частности, методы теории дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве и теории уравнений в частных производных, методы теории сжимающих полугрупп операторов, методы спектральной теории операторных пучков (оператор-функций, зависящих от спектрального параметра), теории линейных операторов, самосопряженных в пространстве с индефинитной метрикой, а также подходы, основанные на использовании так называемых операторных блок-матриц с неограниченными операторными коэффициентами.

Суть исследования эволюционных задач состоит в том, что исходная начально-краевая задача о малых движениях путем введения специально подобранных гильбертовых пространств сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве. Затем, используются общие факты теории сжимающих полугрупп, и это позволяет получить результат о сильной разрешимости исходной задачи.

Доказана теорема существования сильного решения начально-краевой задачи о малых поперечных колебаниях вязкоупругого стержня с грузом на конце.

В работе исследованы нормальные колебания стержня с грузом на конце. Установлено, что спектр задачи дискретный, с двумя предельными точками на положительной полуоси: конечной и бесконечной. Дано физическое объяснение наличия двух ветвей собственных значений, указано их асимптотическое поведение. Доказаны теоремы о базисности системы корневых элементов спектральной задачи о нормальных колебаниях вязкоупругого стержня с грузом на конце.

В диссертации исследованы малые движения и нормальные колебания вязкоупругого стержня в случае, когда отсутствуют силы внешнего трения и сжимающая распределенная сила. Получено явное выражение для решения начально-краевой задачи, а также формулы для вычисления собственных значений и собственных элементов спектральной задачи. Описана миграция точек спектра при изменении параметра внутреннего трения, сформулированы физические выводы.

Изучена также двумерная задача о малых движениях и нормальных колебаниях твердого тела (маятника) с полостью, заполненной вязкоупругой жидкостью, соответствующей обобщенной модели Олдройта. Доказана теорема о сильной разрешимости этой задачи.

Исследован спектр нормальных колебаний маятника с вязкоупругой жидкостью. Установлено, что этот спектр дискретный, все собственные значения, кроме, быть может, конечного числа, расположены на положительной полуоси и разбиваются на конечное число ветвей с предельными точками на бесконечности и в конечном числе точек, зависящем от выбора модели вязкоупругой жидкости. Доказаны теоремы о базисности системы корневых элементов спектральной задачи. Рассмотрен предельный случай большой вязкости жидкости. Получены асимптотические формулы для всех ветвей собственных значений, а также асимптотика большой вязкости для комплексной частоты колебаний маятника (с полостью) как целого. Дано физическое объяснение полученным результатам.

Ключевые слова: начально-краевая задача, задача Коши, дифференциально-операторное уравнение, гильбертово пространство, линейный оператор, нормальные колебания, эволюционная задача, спектральная задача, спектр оператора, собственные элементы, присоединенные элементы.

Yakovlyev O.V. The operator approach to a problem of small movements of visco-elastic surroundings.- Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of physical and mathematical sciences degree on the speciality 01.01.03 - mathematical physics. B.Verkin Physics and Engineering Institute for Low Temperatures of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2005.

The dissertation deals with the investigation of evolutional and spectral problems on small transverse oscillations of visco-elastic rod with a load on the end in environment with viscous friction and on small movements of a solid body with a cavity completely filled visco-elastic liquid.

The initial boundary value problems describe mechanical system in a case with a rod with a load on the end, and hydromechanical system in a case with a solid body with a cavity. By consideration of the given problems the same approach of research is applied. It has allowed to prove existence and uniqueness of the strong decision of initial boundary value problems. In thesis structure of a spectrum was investigated. The properties of system of the own and joined elements were received.

At investigation of the problems the methods of the theory of the self-ajoint operators in indefinite metric spaces and spectral theory operator beams are used.

Individual cases are considered.

The physical explanation to the received results is given.

Key words: initial boundary value problem, Cauchy problem, operator-differential equation, Hilbert space, linear operator, normal oscillations, evolutional problem, spectral problem, spectrum of the operator, own elements, joined elements.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Таврійському національному університеті ім. В.І. Вернадського Міністерства освіти та науки України, м. Сімферополь.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, завідувач кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Пивоварчик В'ячеслав Миколаєвич, завідувач кафедри прикладної математики та інформатики Південно-Українського державного педагогічного університету.

кандидат фізико-математичних наук Шепельський Дмитро Георгійович, старший науковий співробітник Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України.

Провідна установа Інститут математики НАН України, м. Київ.

Захист відбудеться 23.06.2005 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна Національної Академії Наук України, 61103, м. Харків, проспект Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна

Автореферат розісланий 18.05.2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат фіз.-мат.наук Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останні п'ятьдесят років багато початково-крайових задач математичної фізики, які пов'язані із проблемою малих рухів та власних (нормальних) коливань суцільних середовищ, тобто систем з нескінченним числом ступенів свободи, вивчаються методами функціонального аналізу.

Піонерськими в цьому напрямку були статті та монографії С.Л. Соболєва, С.Г. Крейна, О.А. Ладиженської, С.Г. Крейна, Н.Н. Моісєєва, В.І. Юдовича, М.Г.Крейна, Г. Лангера та інших відомих математиків і механіків.

Подальші дослідження таких задач проводилися у роботах І.А. Луковського, М.Д. Копачевського, Нго Зуй Кана, М.Б. Оразова, А.Г. Костюченко, А.А. Шкалікова та інших. Зокрема, операторний підхід до вивчення лінійних проблем гідродинаміки ідеальної та в'язкої рідини викладений у монографії М.Д. Копачевського, С.Г. Крейна й Нго Зуй Кана.

Ці методи дозволяють дослідити одномірні та багатомірні лінійні початково-крайові задачі математичної фізики, зокрема - спектральні задачі, які містять спектральний параметр не тільки у рівняннях, але й у граничних умовах.

В останній десяток років у роботах В.Н. Пивоварчика, А.А. Шкалікова, П. Ланкастера, А.И. Милославського, Т.Я. Азізова, М.Д. Копачевського, Л.Д. Орлової та ряді інших вивчалися початково-крайові задачі математичної фізики, які породжені проблемою малих рухів в'язкопружних середовищ. Тематика далеко не вичерпала себе, і ця робота є продовженням таких досліджень. Зокрема, вивчаються нові задачі, які пов'язані з дією в'язкопружних сил у суцільних середовищах:

1) Початково-крайова задача про малі поперечні коливання в'язкопружного стержня з вагою на кінці.

2) Задача про нормальні (власні) коливання в'язкопружного стержня з вагою на кінці.

3) Двовимірна задача про малі рухи та нормальні коливання твердого тіла з порожниною, яка заповнена в'язкопружною рідиною.

Мета роботи. Метою даної роботи є доведення існування та единості сильного розв'язку відповідних початково-крайових задач математичної фізики, розв'язання проблеми нормальних коливань гідромеханічних систем, визначення властивостей спектру, повноти та базисності системи кореневих (власних і приєднаних) функцій, отримання асимптотичних формул для окремих гілок власних значень. математичний фізика гідромеханічний

Методи дослідження. У роботі застосовуються методи функціонального аналізу, зокрема, методи теорії диференціальних рівнянь у гільбертовом просторі та теорії рівнянь у частинних похідних, методи теорії стискаючих напівгруп операторів, методи спектральної теорії операторних пучків (оператор-функцій, що залежать від спектрального параметру), теорії лінійних операторів, самоспряжених у просторі з індефінітною метрикою, а також підходи, які засновані на використанні так званих операторних блоків-матриць з необмеженими операторними коефіцієнтами. Відзначимо, що останній напрямок у минулі 10 років активно розвивається у роботах Ф.В. Аткінсона, Г. Лангера, Р. Меннікена, А.А. Шкалікова, В.М. Адамяна, М. Молера, В.М. Пивоварчика, К. Третер, А.Ю. Константинова, Т.Я. Азізова, М.Д. Копачевського, Л.Д. Орлової, Ф. Хардта та інших.

Наукова новизна. У роботі розглянутий новий клас задач механіки й гідромеханіки, який пов'язаний з дією в'язкопружних сил. Доведено теореми про існування сильних розв'язків початково-крайової задачі про малі поперечні коливання в'язкопружного стержня з вагою на кінці, а також задачі динаміки тіла з порожниною, що містить в'язкопружню рідину. Отримані результати, які стосуються структури та характеру спектра відповідних задач про нормальні коливання зазначених гідромеханічних систем, питань повноти та базисності системи власних (кореневих) функцій спектральних задач.

Практична цінність. Результати роботи можуть бути використані в подальших якісних дослідженнях задач гідродинаміки в'язкопружних середовищ. На основі цієї роботи можуть бути побудовані алгоритми та проведені розрахунки частот, декрементів і форм коливань гідромеханічних систем. Підходи, розроблені в даній роботі, можуть бути застосовані при дослідженні класу задач, які є близькими до вивчених у роботі.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідалися на V, VI, VIII, IX, X, XII, XIV Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах зі спектральних та еволюційних задач (Крим, Севастополь, 1994, 1995, 1997, 1998, 1999, 2001, 2003 рр.), XXIV - XXXI наукових конференціях професорсько-викладацького складу Сімферопольського державного університету - нині Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (Сімферополь, 1995-2002 рр.), Міжнародній математичній конференції ім. М.Г. Крейна (Одеса, 1997 р.), на семінарі Одеської національної академії будівництва й архітектури (під керівництвом д.ф.-м.наук В.М. Пивоварчика, Одеса, 2003 р.), на семінарі кафедри математичного моделювання Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (під керівництвом професора А.Г. Руткаса, Харків, 2004 р.), на семінарі “Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики” в Інституті математики НАН України (під керівництвом академіка НАНУ І.О. Луковського, Київ, 2004 р.), семінарі Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна (під керівництвом академіка НАНУ Є.Я. Хруслова, Харків, 2004 р.).

Структура й обсяг роботи. Дисертація викладена на 152 сторінках і складається із вступного розділу, трьох основних розділів, списку літератури та математичного доповнення.

Публікації. Основні результати опубліковані у п'яти статтях, в одному збірнику наукових праць та одному абстракті доповіді.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі дається коротка історична довідка про виникнення та дослідження задач, які розглянуті у дисертації. Проводиться аналіз результатів та описується методика досліджень.

Наводяться основні результати дисертації, які отримані при дослідженні задачі про малі поперечні коливання в'язкопружного стержня та задачі про малі рухи твердого тіла з порожниною, яка повністю заповнена в'язкопружною рідиною.

Розділ 2 дисертації присвячений дослідженню початково-крайової задачі про малі поперечні коливання в'язкопружного стержня з вагою на кінці. Відзначимо, що відповідна спектральна задача без ваги на кінці досліджувалася раніше в роботах В.М. Пивоварчика, С.М. Баркаря, П. Ланкастера, Р.О. Гриніва.

У підрозділі 2.1 описується постановка задачі.

Нехай в'язкопружний стержень довжини l перебуває у в'язкопружному середовищі та у стані спокою розташований уздовж вісі Ox. Уздовж вісі Oy діє однорідне гравітаційне поле, лівий кінець стержня x=0 жорстко затиснений, а на правому кінці x=l перебуває вага маси m>0. Функція u=u(t,x), що описує малі поперечні відхилення стержня від стану спокою, є розв'язком наступної початково-крайової задачі:

(1)

де (x), S(x), E(x), J(x) - щільність стержня, площа поперечного переріза, модуль пружності та момент інерції перерізу відповідно, >0 - коефіцієнт внутрішнього тертя, (x) - коефіцієнт зовнішнього тертя, P(x) - стискаюча розподілена сила, f(t,x) - поперечне розподілене навантаження, що діє на стержень. Передбачається, що характеристики стержня є додатні функції, причому (x), S(x) та (x) C[0,l], P(x) C¹[0,l], E(x), J(x) C²[0,l].

У підрозділі 2.2 для класичного розв'язка задачі (1) виведений закон балансу повної енергії у формі

(2)

Вид цього закону дозволяє здійснити перехід від початково-крайової задачі (1) до задачі Коши для диференціального рівняння у відповідно підібраному гільбертовому просторі.

У підрозділі 2.3 вводиться гільбертовий простір H елементів виду

(3)

с квадратом норми

(4)

та відповідним скалярним добутком. Далі, рівняння коливань стержня, а також граничні умови для ваги на правому кінці (при x=l) розглядаються як пари співвідношень, тобто як рівняння в просторі H. Це приводить до задачі Коши виду

(5)

а оператори A, B і C задані формулами:

(6)

(7)

(8)

Означення. Сильним розв'язком задачі Коши (5) на відрізку [0,T] називається така функція зі значеннями в H, для якої при будь-якому Н), та виконане рівняння (5) при t [0,T].

Далі, у підрозділі 2.4, вивчаються властивості операторних коефіцієнтів задачі (5). Встановлено, що оператор A=A*: D(A) H, він додатно визначений і має дискретний спектр.

Його власні значення _k (A) мають асимптотичну поведінку

 (9)

а зворотний оператор A^-1 додатний і належить класу компактних операторів S_p при p>1/4, тобто його власні значення, що збігаються з s-числами, задовольняють умові Енергетична норма оператора A еквівалентна нормі

Щодо властивостей операторів B, C з (7)-(8), доведені наступні твердження:

Оператор B додатно означений і самоспряжений, має дискретний спектр, причому енергетична норма оператора B еквівалентна нормі оператор C=C* є додатним, причому його спектр

Для операторів A, B, C виконані властивості

У підрозділі 2.5 здійснюється перехід від задачі Коши (5) до системи диференціальних рівнянь першого порядку.

Попередньо встановлено, що

(10)

(11)

Далі в (5) вводиться нова невідома функція співвідношеннями

(12)

Після взяття похідної (12) по t приходимо замість (5) до задачі Коши для диференціального рівняння першого порядку

 (13)

(14)

(15)

у гільбертовому просторі

Операторна матриця ₀, задана на D(₀) є акретивним оператором, тобто

(16)

і тому оператор (-₀) є дисипативним. Однак, як з'ясовується, він не є максимальним дисипативним оператором, і це не дозволяє застосувати до проблеми можливості розв'язання задачі Коши (13) теорію стискаючих напівгруп операторів.

Для усунення цієї проблеми у підрозділі 2.6 здійснюється перехід від задачі (13) до диференціального рівняння першого порядку з операторним коефіцієнтом, що є генератором сильно безперервної стискаючої напівгрупи. З цією метою спочатку у (13) здійснюється заміна

(17)

що приводить до задачі Коши

(18)

(19)

з рівномірним акретивним матричним оператором :

(20)

Далі для оператора встановлюється наступний основний факт:

Нехай Тоді - обмежений оператор і оператор допускає замкнення до максимального рівномірно акретивного оператора , який має наступне представлення:

а) у формі Шура-Фробеніуса:

(21)

б) із симетричними крайніми множниками:

(22)

при цьому

(23)

(24)

Із цих властивостей, а також властивості рівномірної акретивності оператора , що має також форму (20), маємо наступний висновок: оператор - є генератором стискаючої C₀ -напівгрупи

 (25)

У підрозділі 2.7 доводиться теорема про коректну можливість розв'язання вихідної початково-крайової задачі (1). Основою для цього є доведені в роботі наступні твердження: нехай у задачі Коши (5) виконані умови Тоді вона має єдиний сильний розв'язок на відрізку [0,T].

Основним етапом доказу є розгляд замість (18) задачі Коши

(26)

використання теорії напівгруп для U(t), перехід від (26) (при сформульованих вище умовах) до задачі (18), а потім до задачі (5).

Доводиться, що отриманий результат може бути посилений, а саме вимогу до можна послабити, використовуючи властивості абстрактного параболічного рівняння. Для сильної можливості розв'язання задачі Коши (5) достатньо виконання умов:

Підсумком вивчення початково-крайової задачі (1) є наступне твердження: нехай у задачі (1) виконані умови

Тоді задача (1) має єдиний сильний розв'язок на відрізку [0,T], тобто таку функцію u(t,x), для якої є сильним розв'язком задачі (5).

У третьому розділі вивчається спектральна задача про коливання в'язкопружного стержня з вагою на кінці.

Визначення. Назвемо матрицю , яка визначається формулами (21)-(24), операторною матрицею, асоційованою з вихідною початково-крайовою задачею (1), а задачею про нормальні коливання в'язкопружного стержня назвемо задачу на власні значення для оператора :

(27)

Формально задача (27) виходить із однорідної (асоційованої з (1)) задачі Коши (26), якщо її розв'язок шукати у вигляді

. (28)

У підрозділі 3.2 вивчаються загальні властивості спектра матричного оператора . Послідовно встановлюються наступні факти: оператор обмежено оборотний і і тому .

Подальше дослідження задачі (27), проведене у підрозділі 3.3, базується на використанні теорії лінійних операторів, самоспряжених у просторі з індефінитною метрикою, яка обумовлена оператором

(29)

й властивості

 (30)

яке легко перевіряється для операторів

З використанням результатів зазначеної теорії доведені наступні факти: спектр оператора локалізований на додатній піввісі за винятком можливого скінченого числа скінченнократних комплексно спряжених пар недійсних власних значень. Далі, задача (27) має (як частину спектра) лічильну множину додатних скінченнократних власних значень з граничною точкою =+. Цим власним значенням відповідає множина власних елементів така, що множина проекцій на простір утворює базис Риса в з точністю до скінченого дефекту. Цей базис Риса є p₀ - базисом (зі скінченим дефектом) в при p₀>1/4. (Нагадаємо, що базис Риса - обмежений оператор, виходить із ортонормованого базису називається p-базисом, якщо ).

Аналогічний результат встановлений для другої точки з - точки Задача (27) має (як частину спектра) лічильну множину додатних скінченнократних власних значень з єдиною граничною точкою Власні елементи які відповідають власним значенням , мають наступну властивість: їх проекції на простір утворюють базис Риса зі скінченим дефектом в . Цей базис є p-базисом (зі скінченим дефектом) в при p>p₀ =1/4.

Точка , яка належить граничному спектру оператора , може бути також скінченнократним власним значенням; якщо виконана умова

(31)

то ця точка не є власним значенням оператора .

Загальний підсумок застосування індефінитного підходу до задачі (27) приводить до наступного твердження про повноту та базисність системи кореневих елементів оператора : нехай - замкнення лінійної оболонки власних елементів оператора , а - замкнення лінійної оболонки кореневих (власних і приєднаних) елементів. Тоді мають місце наступні властивості:

1.

2. Якщо виконано умову (31), то

3. тоді й тільки тоді, коли власні елементи, які відповідають недійсним власним значенням оператора , не мають приєднаних елементів;

4. Якщо (відповідно ), то існує майже J_ортонормованний базис Риса, складений із власних (відповідно кореневих) елементів оператора ;

5. Якщо , то J-ортонормований базис у просторі , який утворюється власними елементами оператора , існує тоді й тільки тоді, коли

6. Згадані базиси можуть бути обрані як p-базиси при p>1/2.

Доведені властивості спектра та системи кореневих елементів оператора досить близькі до властивостей спектра відомої задачі С.Г. Крейна про малі коливання в'язкої рідини у відкритій посудині. У підрозділі 3.4 цей зв'язок уточнюється. Нехай ₀ - власне значення оператора , а - ланцюжок із власних і приєднаних до нього елементів, що відповідає власному значенню ₀, Тоді утворюють ланцюжок із власних і приєднаних до нього елементів (у сенсі М.В. Келдиша) для власного значення ₀-a операторного пучка С.Г.Крейна

 (32)

Навпаки, кожному ланцюжку із власного та приєднаних до нього елементів пучка L(), який відповідає власному значенню ₀-a, відповідає ланцюжок кореневих елементів оператора , що відповідає власному значенню ₀, при цьому

(33)

Зазначений зв'язок між розв'язком задачі (27) і задачі на власні значення для пучка (33) дозволяє встановити властивості розв'язку задачі (27), вивчаючи властивості розв'язку задачі на власні значення

У підрозділі 3.5 ця програма реалізована на базі застосування спектральної теорії операторних пучків. З використанням допоміжних фактів

(34)

а також

(35)

доведено, що для оператора мають місце наступні властивості:

1. Недійсні власні значення оператора , а також ті дійсні власні значення, яким поряд із власними відповідають також приєднані елементи, розташовані в сегменті

 (36)

комплексної площини С. Цій скінченій множині власних значень відповідають нейтральні (у сенсі індефінитної метрики) власні елементи оператора . Навпаки, якщо виконано умову (31), то власні значення, яким відповідають нейтральні власні елементи оператора , локалізовані в сегменті M та, крім того, дійсним власним значенням із цього сегмента відповідають і приєднані елементи оператора .

2. Власні значення (із граничною точкою =+) розташовані на інтервалі власні значення (із граничною точкою ) розташовані на інтервалі

3. Якщо для операторів виконана умова

(37)

то оператор не має нейтральних власних елементів, а значить не має недійсних власних значень, а також приєднаних елементів. У цьому випадку об'єднання нормованих власних елементів і утворюють J-ортогональний базис у просторі

4. Для власних значень й мають місце двосторонні оцінки

(38)

а також асимптотичні формули

(39)

Таким чином, спектр задачі (27) досліджений у роботі за допомогою двох підходів (теорії самоспряжених операторів у просторі з індефінитною метрикою та спектральної теорії операторних пучків).

При виконанні умови (37) розв'язок задачі (27) розкладається у функціональні ряди по J-ортонормованому базису; це зроблено у підрозділі 3.6.

Важливий окремий випадок досліджуваної задачі, коли відсутні сили зовнішнього тертя й стискаюча розподілена сила (і тому B=C=0) приводить замість (5) до задачі Коши

(40)

яка детально розібрана в підрозділі 3.7.

Рівняння містить лише операторний коефіцієнт A й один параметр >0, який характеризує сили внутрішнього тертя. У припущенні, що , розв'язок задачі (40) виписується в явній формі через оператор-функції а також у вигляді функціональних рядів по ортонормованому базису

Спектральна задача (27) у цьому випадку також істотно спрощується. Дві гілки власних значень і виражаються формулами

(41)

а власні елементи і мають вигляд

 (42)

Якщо при деякому виконані умови

(43)

то спектральна задача має рівно комплексно спряжених пар власних значень

(44)

яким відповідають нейтральні власні елементи.

У підрозділі 3.8 сформульовані підсумкові фізичні висновки про властивості розв'язку задачі про нормальні коливання в'язкопружного стержня. Зокрема, відзначається, що з урахуванням сил внутрішнього тертя (>0) приходимо до якісно нової структури спектру в порівнянні з випадком =0, а саме, до появи нового типу хвильових нормальних рухів з декрементами загасання, розташованими на скінченому відрізку.

Детальний розгляд іншого граничного випадку =0, коли відсутня сила внутрішнього тертя, здійснено в підрозділі 3.9.

Заключні зауваження по дослідженню задачі (1) наведені в підрозділі 3.10.

У розділі 4 вивчається родинна до задачі (1) у математичному відношенні, але зовсім інша у фізичному плані проблема малих рухів і нормальних коливань твердого тіла з порожниною, яка заповнена в'язкопружною рідиною.

У підрозділі 4.1 обговорюється одне узагальнення моделі Олдройта в'язкопружної рідини, а у підрозділі 4.2 дається постановка початково-крайової задачі.

Будемо вважати, що в площині Oy₁y₂ розташоване двовимірне (плоске) тверде тіло, закріплене у точці O. Тіло має порожнину заповнену в'язкопружною рідиною. Центр мас системи "тіло+рідина" розташований у точці CO, |OC|=l. На тіло діє однорідне гравітаційне поле - орт вісі Oy₂, g>0 - прискорення сили ваги.

У системі координат Ox₁x₂x₃, жорстко пов'язаній із твердим тілом так, що площини Oy₁y₂ й Ox₁x₂ збігаються, кут повороту однієї системи щодо іншої дорівнює а кутова швидкість

Постановка початково-крайової задачі про малі (лінійні) рухи маятника з порожниною, яка заповнена в'язкопружною рідиною, має такий вигляд

(46)

Тут - поле відносної швидкості рідини в порожнині , p(t,x) - відхилення поля тиску від рівноважного, - мале поле зовнішніх сил, накладене на гравітаційне поле, >0- щільність рідини, >0 - коефіцієнт динамічної в'язкості, J>0 - єдиний елемент (у плоскій задачі) тензора моментів інерції системи "тіло + рідина", >0 - коефіцієнт тертя на вісі Ox₃=Oy₃ підвісу тіла, m>0 - маса всієї системи, - головний момент зовнішніх сил відносно полюсу O, що діють на систему (крім гравітаційних), - плоский (двовимірний) оператор Лапласа по змінним x₁, x₂, а - інтегральний оператор, який характеризує дію в'язкопружних сил:

(46)

Після виводу закону балансу повної енергії для задачі (45) (підрозділ 4.3) вводяться необхідні для подальшого розгляду функціональні гільбертові простори (підрозділ 4.4) та ортогональні розклади

(47)

(48)

(49)

(Операції розуміються у сенсі теорії розподілів.)

Далі в задачі (45) здійснюються наступні перетворення. Обидві частини першого рівняння (45) проектуються на підпростори відповідно. При цьому перше співвідношення виявляється тривіальним (у ньому p можна знайти по відомим , а друге співвідношення разом із законом зміни кінетичного моменту з (45) розглядається як система двох рівнянь у гільбертовому просторі Якщо ввести нові функції, які потрібно знайти (зі значеннями в )

(50)

де A - відомий оператор Стокса, взяти похідну від (50) по t та позначити ми приходимо замість (45) до системи диференціально-операторних рівнянь першого порядку для знаходження функцій

Ця система у векторно-матричній формі може бути записана у вигляді одного диференціального рівняння першого порядку в гільбертовому просторі

(51)

елементами якого є вектори-стовпці

(52)

Таким чином виникає задача Коши

(53)

(54)

(55)

P₀ - ортопроектор на , а - нульовий елемент (оператор) і одиничний оператори в H,

Підсумком розгляду цього підрозділу є такий висновок: класичний розв'язок початково-крайової задачі (45) є розв'язком задачі Коши (53).

Далі в підрозділі 4.5 вивчаються властивості операторних блок-матриць і . З'ясовується, що а є максимальним акретивним оператором, заданим на D() H.

На цій основі в підрозділі 4.6 доводиться теорема існування та одиничності сильного розв'язку задачі (53), а потім і сильного розв'язку (по змінній t) вихідної задачі (46).

Спектральна задача про нормальні коливання, яка породжена задачею Коши (53), має вигляд

(56)

У підрозділі 4.7 встановлено, що спектр задачі (56) розташований у правій півплощині симетрично відносно дійсної вісі, а дискретний спектр - у відкритій правій півплощині.

Далі в підрозділі 4.8 з використанням теорії J-самоспряжених операторів доводяться деякі результати загального характеру про властивості розв'язку задачі, яка узагальнює задачу (56).

На цій основі в підрозділі 4.9 встановлено, що задача (56) має дискретний спектр, розташований у правій півплощині, недійсний спектр складається з не більш ніж скінченого числа комплексно спряжених пар власних значень. Істотний (граничний) спектр задачі (56) збігається з множиною

Підрозділ 4.10 присвячений вивченню питань повноти та базисності системи власних і приєднаних елементів задачі (56). Доведено, що ця задача (як частину спектра) має гілку додатних власних значень з єдиною граничною точкою +.

Відповідна система власних елементів, після проектування на підпростір складає базис Риса (зі скінченим дефектом) у цьому підпросторі; цей базис є також p - базисом (з дефектом) при p>1.

Аналогічне твердження встановлене про базисність системи власних елементів, що відповідають частини спектра, що залишилася, після проектування на Нарешті, доведене також твердження про глобальну повноту, базисність і p - базисність в H системи кореневих елементів задачі (56).

У підрозділі 4.11 методами спектральної теорії операторних пучків продовжено дослідження задачі (56). Спочатку розглянутий граничний випадок цієї задачі, коли в'язкість рідини =, тобто рідина в порожнині твердіє. Тоді механічна система (маятник) робить коливання із частотами , для яких

Якщо тертя на вісі обертання мале

(57)

то комплексні частоти отверділого маятника

(58)

Далі встановлюється, що в припущенні (57) числа не є власними значеннями задачі (56), а числа можуть бути не більш ніж однократними власними значеннями. Якщо виконані умови

(59)

то не є власними значеннями цієї задачі. На основі цих фактів, а також одного допоміжного твердження доведені основні твердження про асимптотичну поведінку гілок власних значень. Встановлено, що для гілки з граничною точкою , справедлива асимптотична формула

(60)

Аналогічні твердження отримані для гілок що мають граничні точки :

(61)

У підрозділі 4.12 вивчається асимптотика великої в'язкості. Виявляється, що при досить великій в'язкості >0 власні значення задачі (56) є розв'язками характеристичного рівняння

(62)

Це дозволяє, застосувавши теорему Руше до рівняння (62), довести, що має місце асимптотична формула

(63)

яка характеризує ті частоти та декременти загасання, які відповідають руху маятника з рідиною як цілого.

Нарешті, у підрозділі 4.13 сформульовані фізичні висновки щодо властивостей розв'язку задачі (56): дискретність спектру, який складається з m+1 гілок додатних власних значень із граничними точками і а також скінченого числа недійсних комплексно спряжених пар власних значень. Гілці із граничною точкою + відповідають дисипативні нормальні рухи, родинні звичайним нормальним рухам однорідної нев'язкопружної рідини; гілкам із граничними точками відповідає новий тип нормальних рухів, обумовлений наявністю в'язкопружних сил. Декременти загасання таких рухів розташовані на скінчених інтервалах додатної піввісі. При цьому кількість гілок збігається з кількістю інтегральних доданків в обраній моделі в'язкопружності (46), тобто рівно m. Іншими словами, в'язкопружні сили породжують нові фізичні ефекти, не характерні для звичайної в'язкої рідини, що цілком заповнює порожнину тіла, що є маятником.

ВИСНОВКИ

Таким чином, основними результатами, які виносяться на захист є:

1. Розроблено підхід, що дозволяє початково-крайову задачу про малі поперечні коливання в'язкопружного стержня з вагою на кінці трактувати як задачу Коши для повного лінійного диференціального рівняння другого порядку в гільбертовому просторі, а цю задачу, у свою чергу, привести до задачі Коши для системи диференціальних рівнянь першого порядку з матричним операторним коефіцієнтом, що є генератором голоморфної напівгрупи операторів.

2. Доведено теорему існування сильного розв'язку початково-крайової задачі про поперечні коливання в'язкопружного стержня з вагою на кінці.

3. Досліджено нормальні коливання стержня з вагою на кінці. Встановлено, що спектр задачі дискретний, із двома граничними точками на додатній піввісі: скінченої та нескінченої. Надано фізичне пояснення наявності двох гілок власних значень, визначено їх асимптотичну поведінку.

4. Доведено теореми про базисність системи кореневих елементів спектральної задачі про нормальні коливання в'язкопружного стержня з вагою на кінці.

5. Досліджені малі рухи й нормальні коливання в'язкопружного стержня у випадку, коли відсутні сили зовнішнього тертя та стискаюча розподілена сила. Отримано явний вираз для розв'язка початково-крайової задачі, а також формули для обчислення власних значень і власних елементів спектральної задачі. Описана міграція точок спектру при зміні параметра внутрішнього тертя, сформульовані фізичні висновки.

6. Вивчена двовимірна (плоска) задача про малі рухи й нормальні коливання твердого тіла (маятника) з порожниною, яка заповнена в'язкопружною рідиною, що відповідає узагальненій моделі Олдройта. Доведено теорему про існування сильного розв'язка цієї задачі.

7. Досліджено спектр нормальних коливань маятника з в'язкопружною рідиною. Встановлено, що цей спектр дискретний, всі власні значення, крім, можливо, скінченого числа, розташовані на додатній піввісі й розбиваються на скінчене число гілок із граничними точками на нескінченності та у скінченому числі точок, що залежить від вибору моделі в'язкопружної рідини. Доведено теореми про базисність системи кореневих елементів спектральної задачі. Розглянуто граничний випадок великої в'язкості рідини. Отримані асимптотичні формули для всіх гілок власних значень, а також асимптотика великої в'язкості для комплексної частоти коливань маятника (з порожниною) як цілого. Дано фізичне пояснення отриманим результатам.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗДОБУВАЧА ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Яковлев А.В. Колебания плоского маятника с полостью, полностью заполненной вязкоупругой жидкостью // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского.- 1999.- № 12.- С. 93-98.

2. Яковлев А.В. Задача о движении твердого тела с полостью, полностью заполненной вязкоупругой жидкостью // Динамические системы.- 2001.- № 17.- С. 133-137.

3. Яковлев А.В. Малые поперечные колебания вязкоупругого стержня с грузом на конце // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И.Вернадского.- 2002.- № 15.- С. 105-114.

4. Яковлев А.В. Задача о нормальных колебаниях вязкоупругого стержня с грузом на конце // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского.- 2003.- № 16.- С. 28-42.

5. Яковлєв О.В. Про малі рухи твердого тiла з порожниною, заповненою в'язкопружною рідиною // Наукові вісті НТУУ „КПІ”.- 2005.- № 2.- С. 152-155.

6. Yakovlev A. On an evolutional problem on small transverse oscillations of a vico-elastic rod with a load at the end // Spectral and evolutional problems / Proceedings of KROMSH-6.- 1996.- V. 6.- P. 330-339.

7. Yakovlev A. On small movements of a solid body with a cavity completely filled by visco-elastic fluid // Mark Krein Intern. Conference. Operator Theory and Appl. Book of Abstracts. August 18-22, 1997, Odessa, Ukraine.- Р. 130-131.

Размещено на Allbest.ru

...