Напружений стан ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМ. С.П. ТИМОШЕНКА

УДК 539.3

Напружений стан ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Яремченко Сергій Миколайович

Київ 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України.

Захист відбудеться “31” січня 2006 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “ 7 ” грудня 2005 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

ортотропний алгоритм циліндричний

АНОТАЦІЯ

Яремченко С.М. Напружений стан ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, Київ, 2005.

Дисертація присвячена розробці ефективного підходу до розв'язання класу задач про напружений стан ортотропних некругових замкнених і відкритих циліндричних оболонок під дією нерівномірно розподіленого навантаження, при різних умовах закріплення країв, що описується системою диференціальних рівнянь в частинних похідних, який базується на сумісному використанні методу сплайн-колокації та стійкого чисельного методу дискретної ортогоналізації.

На основі розробленого підходу проведено розрахунки задач про напружений стан некругових (еліптичних і гофрованих в поперечному перерізі) ортотропних оболонок при певних умовах на краях оболонки в залежності від форми поперечного перерізу, виду прикладеного навантаження та змінної в одному чи двох координатних напрямках товщини.

Ключові слова: двовимірна крайова задача, некругові ортотропні циліндричні оболонки, метод сплайн-колокації, метод дискретної ортогоналізації, еліптичні циліндричні оболонки, гофровані в поперечному перерізі циліндричні оболонки.

АННОТАЦИЯ

Яремченко С.Н. Напряженное состояние ортотропных некруговых цилиндрических оболочек переменной толщины в уточненной постановке. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертация посвящена разработке эффективного подхода к решению класса задач о напряженном состоянии ортотропных некруговых замкнутых и открытых цилиндрических оболочек под действием неравномерно распределенной нагрузки, при различных условиях закрепления краев на основе совместного применения метода сплайн-коллокации и устойчивого численного метода дискретной ортогонализации.

Задача о напряженном состоянии некруговых ортотропных цилиндрических оболочек в уточненной постановке описывается системой в частных производных десятого порядка с переменными коэффициентами и граничными условиями на торцах и прямолинейных контурах для открытых оболочек.

Для решения данной задачи предлагается подход, основанный на сведении двумерной краевой задачи к одномерной с помощью применения метода сплайн-коллокации вдоль образующей. Полученная одномерная краевая задача решается устойчивым численным методом дискретной ортогонализации.

На основе предложенного подхода разработан алгоритм, реализованный в программном комплексе на языке FORTRAN для ПК, с помощью которого был проведен расчет ряда новых задач о напряженном состоянии некруговых цилиндрических оболочек при различных условиях на торцах под действием неравномерно распределенной нагрузки.

Проводился анализ влияния изменения толщины вдоль направляющей для незамкнутых трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек с эллиптическим поперечным сечением под действием равномерно распределенной нагрузки. Также для этого класса оболочек исследовалось зависимость факторов напряженного состояния от степени эллиптичности поперечного сечения и вида закрепления прямолинейных краев.

Рассматривались ортотропные эллиптические цилиндрические оболочки под действием неравномерно распределенного вдоль направляющей напряжения и переменной в том же направлении толщиной. Проводился анализ напряженного состояния оболочек данного класса под действием локализированных нагрузок. В частности, исследовалось влияние на факторы напряженно-деформированного состояния изменения интервала приложения локализированной нагрузки при сохранении величины общей нагрузки.

Исследовались ортотропные оболочки с эллиптическим поперечным сечением толщина которых изменяется в двух координатных направлениях. Показано, что выбирая разные параметры изменения толщины вдоль образующей или направляющей, можно влиять на распределения факторов наряженного состояния оболочек не изменяя их веса.

Рассматривались ортотропные гофрированные цилиндрические оболочки, находящиеся под действием равномерно распределенной нагрузки. Исследовалось влияние измененяемой вдоль направляющей толщины и параметров гофрировки: частоты и амплитуды - на напряженно-деформированное состояние оболочек.

Полученные закономерности и выявленные эффекты, приведенные в работе на графиках и в таблицах, могут быть использованы для оценки прочности и надежности элементов конструкций и деталей машин, выполненных в виде некруговых цилиндрических оболочек.

Ключевые слова: двумерная краевая задача, некруговые ортотропные цилиндрические оболочки, метод сплайн-коллокации, метод дискретной ортогонализации, эллиптические цилиндрические оболочки, цилиндрические оболочки с гофрами в поперечном сечении.

SUMMARY

Yaremchenko S.M. Stressed state of orthotropic noncircular cylindrical variable thickness shells in refined statement. - Manuscript.

Thesis for candidates degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solid. - S. P. Timoshenko Institute of mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The Thesis is devoted to development of the effective approach to solving of the class of problems on stressed state of the orthotropic noncircular cylindrical shells under action of non-uniform distributed loads and various conditions on the edges. It is given by the system of partial differential equations, which is solved on the joint using of spline-collocation method and stable numerical discrete orthogonalization method.

On the basis of the developed approach the calculations of the problems on stressed state of the noncircular (elliptical and corrugated in cross section) orthotropic shells at certain conditions on the edges, depending on shape of cross sections, kind of applied loads and variable in one or two coordinate directions thickness was carried out.

Key words: two-dimensional boundary problem, noncircular orthotropic cylindrical shell, spline-collocation method, discrete orthogonalization method, elliptical cylindrical shells, corrugated in cross section cylindrical shells.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Циліндричні оболонки з круговим та некруговим поперечним перерізом широко застосовуються в різних галузях техніки як елементи конструкцій та деталі машин. При розрахунку міцності оболонкових конструкцій необхідно мати інформацію про їх напружено-деформований стан. Важливим при визначенні напружено-деформованого стану є врахування змінності товщини оболонки, оскільки часто необхідно змінити параметри деформативності конструкції не змінюючи її ваги. Також значним фактором, що впливає на напружено-деформований стан циліндричних оболонок, є відхилення поперечного перерізу від кругового, що виникло при виготовленні чи в результаті експлуатації конструкції, або наперед заплановане. Широке застосування композитних матеріалів при виробництві оболонок призводить до вимоги врахування анізотропії, а також змушує використовувати для дослідження напружено-деформованого стану таких конструкцій уточнені моделі, що враховують вплив поперечного зсуву. Однією з найпоширеніших із них є модель, що базується на гіпотезі прямої лінії, яка була запропонована С.П. Тимошенком.

Для розв'язання задач статики кругових циліндричних оболонок як сталої, так і змінної товщини існує ряд розроблених методів, тоді як задачам про напружено-деформований стан некругових циліндричних оболонок в уточненій постановці присвячено небагато робіт. Зокрема, у більшості з них проводяться дослідження ізотропних оболонок. Значна їх частина стосується спрощених теорій, що не тільки нехтують поперечними зсувами, а й не враховують деяких інших параметрів при описі вихідних рівнянь. Частина робіт, де за вихідні беруться некласичні моделі, присвячена в основному оболонкам сталої товщини. В деяких випадках розглядались оболонки, форма поперечного перерізу яких мало відрізнялась від кругових. Найчастіше такі задачі розв'язувались методом малого параметра. В інших роботах задачі статики оболонок довільного поперечного перерізу в уточненій постановці зводяться до одновимірних за допомогою розкладу факторів напружено-деформованого стану в ряди Фур'є по твірній, що є можливим тільки при окремих варіантах граничних умов на торцях оболонки.

Це можна пояснити значними складностями, які виникають при розробці методів розв'язання задач статики ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини при довільних граничних умовах та навантаженнях в уточненій постановці та доведенні їх до числових значень, що дозволило б провести аналіз напружено-деформованого стану оболонок даного класу в залежності від механічних та геометричних параметрів.

Тому розробка ефективного підходу до розв'язання задач про напружено-деформований стан замкнутих і відкритих ортотропних оболонок змінної товщини в уточненій постановці при різних граничних умовах на прямолінійних і криволінійних контурах під дією змінного навантаження є актуальною проблемою і має значний теоретичний інтерес і практичне значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що проведені в дисертаційній роботі, виконано у відповідності з науковими темами: 1.3.1.326 “Розробка чисельно-аналітичних підходів до розв'язання статичних та динамічних задач для просторових тіл і оболонок різної форми та структури з врахуванням анізотропії і неоднорідності” (№ ДР 0101U002861, 2001-2005) і 1.3.1.461п. “Дослідження напружено-деформованого стану некругових циліндричних оболонок в лінійній та геометрично нелінійній постановках” (№ ДР 0105U005083, 2005-2007).

Мета і завдання дослідження. Мету і завдання цього дослідження можна сформулювати так:

- розробка ефективного підходу до чисельного розв'язання двовимірних задач статики ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної в двох координатних напрямках товщини під дією нерівномірно розподіленого навантаження в уточненій постановці;

- побудова алгоритму і реалізація на ПК програмного комплексу для чисельного розв'язання задач вказаного класу, що дасть змогу проводити дослідження напружено-деформованого стану нетонких оболонок з врахуванням зміни геометричних та механічних параметрів;

- розв'язання різних класів задач на основі підходу, що пропонується, а також проведення аналізу напружено-деформованого стану ортотропних некругових оболонок змінної товщини в залежності від форми поперечного перерізу, параметрів зміни товщини і навантаження при різних варіантах закріплення прямолінійних і криволінійних країв.

Об'єктом дослідження є нетонкі ортотропні циліндричні оболонки з некруговим поперечним перерізом, товщина яких змінюється у одному чи у двох координатних напрямках, що знаходяться під дією розподіленого навантаження.

Предметом дослідження є напружено-деформований стан оболонок вказаного класу, зокрема розподіл таких його характеристик як переміщення та напруження в залежності від форми поперечного перерізу, змінної товщини та різних граничних умов.

Методи дослідження. Дослідження проводились у рамках некласичної теорії оболонок, що базується на гіпотезі прямої лінії, з вихідних рівнянь отримано двовимірну крайову задачу для системи рівнянь у частинних похідних, яка зводиться до одновимірної методом сплайн-колокації, а остання розв'язується стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в таких положеннях, що виносяться на захист:

- на основі рівнянь уточненої теорії оболонок, що ґрунтується на гіпотезі прямої лінії, виведено розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами, яка описує напружено-деформований стан ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини, і сформульовано різні варіанти граничних умов на прямолінійних і криволінійних контурах в такій формі, що дозволяє провести апроксимацію розв'язків використовуючи B-сплайни третього степеня;

- розроблено ефективний підхід до розв'язання задач статики ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини під дією нерівномірно розподіленого навантаження для різних варіантів граничних умов, який базується на сплайн-апроксимації розв'язків в напрямку твірної, що дозволяє звести двовимірну задачу до одновимірної, і застосуванні стійкого чисельного методу дискретної ортогоналізації для розв'язання одновимірної крайової задачі, який реалізовано в програмному комплексі на ПК;

- проведено розв'язання задач даного класу та досліджено напружено-деформований стан циліндричних оболонок для різної форми некругового поперечного перерізу при зміні геометричних та механічних параметрів, навантаження та граничних умов, виявлено ряд закономірностей в розподілі полів переміщень та напружень.

Достовірність одержаних в роботі результатів забезпечується використанням обґрунтованої математичної моделі уточненої теорії оболонок, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу і контролем точності розрахунків на основі індуктивних оцінок.

Практичне значення одержаних результатів. Результати розв'язання задач статики ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці, на основі ефективного алгоритму, який реалізовано в програмному комплексі на мові FORTRAN для ПК, та аналіз напружено-деформованого стану оболонок вказаного класу в залежності від зміни геометричних та механічних параметрів, навантаження та умов закріплення контурів можуть бути використані в науково-дослідних організаціях і конструкторських бюро для проведення розрахунків та оцінки міцності і надійності елементів конструкцій.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1-3], що опубліковані у співавторстві з науковим керівником, дисертанту належить виведення розв'язувальних рівнянь, методика розв'язування задач, побудова алгоритму і його реалізація в програмному комплексі на ПК, розв'язання конкретних задач і аналіз результатів; співавтору належить постановка задач і обговорення результатів.

В роботі [4] дисертантом досліджено вплив локалізованого навантаження на напружений стан нетонких оболонок з еліптичним поперечним перерізом в залежності від зміни еліптичності та інтервалу прикладання навантаження.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на:

1) ІV Всеукраїнській науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Україна, Дніпродзержинськ, 2004);

2) Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Україна, Львів, 2005);

3) Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Україна, Дніпродзержинськ, 2005);

4) наукових семінарах відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2002-2005);

5) науковому семінарі Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України за напрямком “ Механіка оболонкових систем” (Київ, 2005);

6) семінарі кафедри механіки суцільних середовищ механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Т. Шевченка (Київ, 2005);

7) семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Національного транспортного університету Міністерства освіти і науки України (Київ, 2005).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 7 робіт, в тому числі 4 статті у фахових журналах і збірниках [1-4], які входять до переліку ВАК України, а також 3 роботи у збірниках матеріалів і праць конференцій [4-6].

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 147 сторінок, в тому числі 22 рисунки, 20 таблиць, список використаних джерел із 195 найменувань на 20 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі описано сучасний стан проблеми, що розглядається в дисертаційній роботі, обґрунтовано актуальність вибраної теми. Сформульовано мету та завдання дослідження, розкрито наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд наукових робіт, присвячених розв'язанню задач про напружений стан кругових та некругових циліндричних оболонок у класичній та уточненій постановках аналітичними і чисельними методами.

Важливу роль у розробці загальної теорії оболонок зіграли праці С.П. Тимошенка, В.З. Власова, О.Л. Гольденвейзера, О.М. Кільчевського, А.І. Лурьє, А. Лява, Х.М. Муштарі, В.В. Новожилова та ін.

В деяких випадках, особливо для нетонких оболонок та оболонок з композитних матеріалів, припущення класичної теорії можуть привести до результатів, що недостатньо точно відображають суть механічних явищ, що вивчаються. Для розв'язання таких задач запропоновано різні варіанти уточнених моделей оболонок, отримані на основі менш жорстких припущень, ніж припущення про збереження нормального прямолінійного елемента. Однією з найпоширеніших уточнених теорій, які враховують поперечні зсуви в оболонці, є теорія, що базується на гіпотезі прямої лінії.

Розв'язанню деяких класів задач для оболонок складної форми в уточнених постановках присвячені роботи С.О. Амбарцумяна, В.В. Болотіна, А.Т. Василенка, Е.І Григолюка, Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, В.І. Корольова, Б.Л. Пелеха, В.Г. Піскунова, І.Ю. Хоми та ін.

Проведений аналіз робіт показав, що дослідженню напруженого стану замкнутих і відкритих ортотропних циліндричних оболонок змінної товщини в обох напрямках з некруговим поперечним перерізом в уточненій постановці при різних граничних умовах присвячено небагато робіт, в яких при розв'язанні задач отримані наближені результати за рахунок нехтування деякими членами в основних рівняннях та граничних умовах. У зв'язку з цим виникає необхідність у розробці ефективного підходу до розв'язання задач даного класу з використанням повних рівнянь при точному задоволенні граничних умов.

У другому розділі наведено основні рівняння теорії оболонок, що базується на гіпотезі прямої лінії. Виведено розв'язувальні рівняння для некругових циліндричних оболонок.

Розглядаються нетонкі ортотропні циліндричні оболонки з некруговим поперечним перерізом під дією розподілених поверхневих навантажень, виходячи з уточненої лінійної теорії, що базується на гіпотезі прямої лінії, які віднесено до ортогональної системи координат s,t,г, де s=const, t=const - лінії головних кривин серединної поверхні (сімейства напрямних та твірних), а г - нормальна координата до серединної поверхні оболонки.

Виходячи з основних співвідношень уточненої теорії оболонок після ряду перетворень отримуємо розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних у переміщеннях, що описує напружено-деформований стан некругових циліндричних оболонок змінної товщини:

(1)

де u, v, w - переміщення точок координатної поверхні в напрямках s, t, ; s, t - повні кути повороту прямолінійного елемента; qs , qt , q - компоненти поверхневого навантаження, k(t) - кривина поперечного перерізу оболонки;

, , , , ,

, , , , . (2)

В формулах (2) Es , Et , s , t - модулі пружності і коефіцієнти Пуассона в напрямках s і t, Gst , Gs, Gt - модулі зсуву, h=h(s,t) - товщина оболонки, що в загальному випадку змінюється в двох координатних напрямках.

Для знаходження довільностей, що містяться в загальному розв'язку системи (1), потрібно задавати по 5 граничних умов на кожному контурі. На прямолінійних та криволінійних контурах можуть бути задані умови жорсткого закріплення, шарнірного закріплення, шарнірного опирання та умови симетрії.

Якщо поперечний переріз задається параметрично у полярних або декартових координатах, то від змінної t, довжини по напрямній, можна перейти до кутового параметру и.

Тоді з урахуванням того, що

,

де - при параметричному заданні напрямної;

- при запису в полярній системі координат, розв'язувальну систему (1) можна переписати у вигляді:

;

;

(3)

У системі (3) коефіцієнти bij у загальному випадку змінні в двох координатних напрямках.

Отже задача про напружено-деформований стан нетонких ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини формулюється системою диференціальних рівнянь у частинних похідних (3) з граничними умовами на контурах.

Зокрема, на торцях і прямолінійних краях оболонки граничні умови можуть мати такий вигляд:

а) при жорсткому закріпленні

; (4)

б) при шарнірному опиранні

(на торцях);

(на прямолінійних контурах). (5)

У третьому розділі розроблено методику розв'язання отриманої двовимірної крайової задачі. Запропонований підхід базується на методі сплайн-колокації в напрямку твірної та методі дискретної ортогоналізації в напрямку напрямної. На його основі побудовано алгоритм, який реалізовано в програмному комплексі на ПК.

Розв'язок системи рівнянь (3) шукаємо у вигляді

, , ,

, , (6)

де , , , , -шукані функції змінної , (j=) - задані лінійні комбінації B-сплайнів третього степеня на рівномірній сітці : 0=s0<s1<…<sN =L, які задовольняють граничні умови на криволінійних контурах s=0 та s=L.

Наведено блок-схему алгоритму, розробленого з використанням даної методики, перелік програм загального призначення та зазначено принципи побудови спеціальних підпрограм програмного комплексу в залежності від механічних характеристик матеріалу, форми поперечного перерізу циліндрів, граничних умов на прямолінійних та криволінійних контурах на прикладі розв'язання задачі про напружено-деформований стан трансверсально-ізотропної еліпсоїдальної циліндричної оболонки.

У четвертому розділі за допомогою розробленого підходу розв'язано задачі статики нетонких відкритих та замкнених некругових циліндричних оболонок змінної в одному чи в двох координатних напрямках товщини під дією нормального рівномірно та нерівномірно розподіленого навантаження та проведено аналіз впливу геометричних параметрів оболонки, навантаження, граничних умов та законів зміни товщини на напружено-деформований стан циліндричних оболонок.

Обґрунтовано достовірність отриманих результатів та на базі ряду індуктивних засобів показано точність розв'язання задач даного класу.

Розв'язано задачі про напружений стан відкритих трансверсально-ізотропних циліндричних оболонок з еліптичним поперечним перерізом, що задається параметрично формулами:

; (), (11)

де a і b півосі еліпса, и - кутовий параметр в поперечному перерізі. При чому півосі еліпса вибирались так, що площа поперечного перерізу еліпса залишалась сталою і рівною площі поперечного перерізу круга радіуса R, тобто, щоб ab=R2. Модуль поперечного зсуву матеріалу оболонки, де E - модуль пружності в площині ізотропії. Товщина оболонки змінюється за законом . При розрахунку вибирались такі параметри:, , , .

Було проведено дослідження оболонок, торці яких жорстко закріплені, а прямолінійні краї мають різні варіанти закріплення. Зокрема, на рис. 1 показано як змінюється прогин в серединному перерізі оболонки під дією нормального рівномірно розподіленого навантаження при різних значеннях параметра зміни товщини для випадку, коли піввісь а=20, а всі контури закріплені жорстко. Рис. 2 показує розподіл напружень на зовнішній поверхні оболонки для різних значень півосі еліпса а, при різних видах закріплення прямолінійних контурів (один контур шарнірно опертий, а інший жорстко закріплений), коли параметр зміни товщини б =0,5.

Досліджувався напружено-деформований стан замкнених ортотропних еліпсоїдальних оболонок змінної вздовж напрямної товщини під дією нерівномірно розподіленого вздовж напрямної навантаження. Механічні параметри матеріалу оболонки вибирались такі: = 5E; =1,25E; = 0,18; = 0,045;= 0,4E; =0,2 E. Торці оболонки жорстко закріплені, товщина змінюється за законом , а навантаження розподіляється так: ().

На рис. 3 показано розподіл прогинів вздовж напрямної при таких варіантах зміни навантаження і товщини: 1) ; ; 2) ; ;3) ; ) ; ; 5) ; , коли а=8; R=10; h0 =1; .

Проведено аналіз напружено-деформованого стану замкнених еліптичних оболонок під дією локалізованого вздовж напрямної навантаження, що задається співвідношенням

 (12)

Дослідження проводились при різних значеннях півосі еліпса а і параметра локалізації навантаження для трансверсально-ізотропних і ортотропних оболонок жорстко закріплених на торцях, при цьому значення q0 вибиралось таким чином, щоб загальне навантаження залишалось однаковим при різних значеннях і дорівнювало навантаженню, що відповідає значенню q* = q0(/12). Показано, що збільшення інтервалу прикладання навантаження приводить до зменшення значень переміщень та напружень в зоні найбільшого навантаження при и=0.

На рис. 4 показано розподіл напружень в серединному перерізі ортотропної оболонки на зовнішній (суцільна лінія) та внутрішній (пунктирна) поверхнях оболонки в залежності від значення при таких геометричних і механічних характеристиках: а=12,5; R=10; ; h = 1; =5E; =1,25E; =0,18; =0,045; = 0,4E; =0,2 E.

Досліджувались еліпсоїдальні замкнені ортотропні оболонки товщина яких змінюється у двох координатних напрямках за законом

, (; 0 ? s ? L; l=L/2). (13)

При цьому вага оболонки не змінюється і дорівнює вазі оболонки сталої товщини Н.

Розглядались два види закріплення торців оболонок: жорстке закріплення та шарнірне опирання. Проаналізовано вплив змінної у двох координатних напрямках товщини на напружено-деформований стан оболонок вздовж напрямної чи твірної при різних граничних умовах на торцях оболонки.

За рахунок зміни параметрів і в, які характеризують товщину оболонки вздовж твірної та напрямної, можна вибрати більш раціональні варіанти розподілу полів переміщень та напружень в оболонці при збереженні її ваги.

Розглядались циліндричні оболонки з гофрами у поперечному перерізі, рівняння якого у полярних координатах записується в такому вигляді:

(), (14)

де - полярний радіус, - полярний кут, - радіус середнього круга, - амплітуда, т - частота гофрування.

Проводився аналіз впливу амплітуди на розподіл прогину та напружень уздовж напрямної при фіксованій частоті гофрування. Досліджувались ізотропні а також ортотропні оболонки під дією сталого нормального навантаження при таких параметрах: h0 = 1; r0 = 15; L=30.

На рис. 5 показано як впливає зміна амплітуди гофрування на прогини в жорстко закріпленій на торцях ізотропній оболонці з коефіцієнтом Пуассона н=0,3 при m=4. Графіки наведено для перерізу s=L/2.

Досліджувався вплив частоти гофрування m на фактори напружено-деформованого стану трансверсально-ізотропних та ортотропних оболонок при фіксованій амплітуді . Було показано, що максимальний прогин зменшується при збільшенні частоти гофрування.

Розглядались гофровані у поперечному перерізі оболонки, товщина яких змінювалась уздовж напрямної за законом . Показано, що, вибираючи необхідні параметри товщини, можна впливати на розподіл факторів напружено-деформованого стану гофрованих оболонок.

Зазначені ефекти та інші виявлені закономірності наведені у дисертації на графіках та у таблицях.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розроблено ефективний підхід до розв'язання двовимірних задач статики ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини в уточненій постановці при різних граничних умовах, що базується на застосуванні методу сплайн-колокації для зведення двовимірної крайової задачі до одновимірної та розв'язанні останньої стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації. Проведено аналіз впливу форми поперечного перерізу, законів зміни товщини, виду прикладеного нерівномірного навантаження, ортотропії матеріалу на напружений стан нетонких циліндричних оболонок, в результаті якого виявлено ряд закономірностей розподілу полів переміщень і напружень, що мають практичне значення при оцінці міцності і надійності елементів конструкцій.

При цьому отримано такі конкретні результати:

На основі співвідношень уточненої теорії оболонок, що базується на гіпотезі прямолінійного елемента, виведено розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних зі змінними коефіцієнтами в переміщеннях, що описує напружено-деформований стан ортотропних некругових оболонок змінної товщини.

Розроблено методику розрахунку ортотропних некругових циліндричних оболонок змінної товщини, що полягає у використанні методу сплайн-колокації для зведення двовимірної крайової задачі до одновимірної і розв'язанні одержаної одновимірної задачі стійким чисельним методом дискретної ортогоналізації при точному задоволенні граничних умов на контурах.

Запропонований підхід реалізовано у обчислювальному комплексі для ПК, за допомогою якого можна проводити розрахунки багатоваріантних задач даного класу при різних видах ортотропії, навантаження, закріплення контурів, геометричних характеристиках оболонок.

Достовірність результатів, що одержані в роботі, забезпечено використанням обґрунтованої математичної моделі теорії оболонок, коректністю формулювання задачі, тестуванням розробленого підходу на ряді задач даного класу і контролем точності розрахунку на основі індуктивних оцінок.

На основі запропонованого підходу одержано розв'язки ряду задач і проведено аналіз напруженого стану ортотропних циліндричних оболонок з некруговим поперечним перерізом змінної товщини при різних умовах закріплення контурів, видах навантаження: розв'язано задачі статики відкритих трансверсально-ізотропних еліпсоїдальних оболонок з метою дослідження впливу граничних умов і параметрів еліптичності на фактори напружено-деформованого стану оболонки; досліджено вплив змінної товщини і змінного в напрямку напрямної навантаження на розподіл напружень та переміщень в замкненій еліпсоїдальній ортотропній оболонці; проведено аналіз напружено-деформованого стану оболонки при дії локалізованих навантажень при різних ступенях локалізації; проаналізовано вплив параметрів зміни товщини вздовж напрямної та твірної при збереженні ваги у замкненій ортотропній оболонці з еліптичним поперечним перерізом при різних граничних умовах на торцях; досліджено напружено-деформований стан гофрованих оболонок в залежності від різних параметрів амплітуди і частоти гофрування, механічних характеристик матеріалу при змінній у напрямку напрямної товщині.

Виявлені ефекти і отримані закономірності представлено на графіках і в таблицях.

Розроблений на базі запропонованого підходу алгоритм, обчислювальний комплекс для ПК і отримані в роботі результати можуть бути використані в науково-дослідних організаціях для оцінки міцності і деформативності елементів конструкцій, що мають форму циліндричних оболонок довільного поперечного перерізу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Григоренко Я.М., Яремченко С.Н. Исследование напряженного состояния ортотропных некруговых цилиндрических оболочек переменной толщины в уточненной постановке // Прикл. механика. - 2004.-T. 40, № 3. - С. 35-44.

2. Григоренко Я.М., Яремченко С.Н. О влиянии изменения толщины на перемещения и напряжения в ортотропных нетонких цилиндрических оболочках с эллиптическим поперечным сечением // Прикл. механика. - 2004.-T. 40, № 8. - С. 91-99.

3. Григоренко Я.М., Яремченко С.Н. Расчет некруговых цилиндрических оболочек с гофрами в поперечном сечении в уточненной постановке // Прикл. механика. - 2005.-T. 41, № 1. - С. 18-24.

4. Яремченко С.М. Напружений стан циліндричних оболонок з еліптичним поперечним перерізом за локальних навантажень в уточненій постановці // Вісник Київського національного університету ім. Т. Шевченка. Серія: Математика. Механіка. - 2005. - Вип. 13-14. - С. 117-119.

5. Яремченко С.М. Розв'язання задачі про напружений стан некругових циліндричних оболонок із застосуванням сплайн-функцій в уточненій постановці // Матеріали ІV Всеукраїнської наук. конф. "Математичні проблеми технічної механіки". - Дніпропетровськ, 2004. - с. 67.

6. Яремченко С.М. Розрахунок напруженого стану ортотропних циліндричних оболонок з некруговим поперечним перерізом // Тези доповідей Конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача. - Львів, 2005. - С. 185-186.

7. Яремченко С.М. Застосування сплайн-функцій та чисельного методу дискретної ортогоналізації для розв'язання двовимірних задач статики нетонких некругових циліндричних оболонок // Матеріали Міжнар. наук. конф. "Математичні проблеми технічної механіки". - Дніпропетровськ, 2005. - с. 75.

Размещено на Allbest.ru

...