Задачі термопружності для анізотропних пластинок з отворами та тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЗАДАЧІ ТЕРМОПРУЖНОСТІ ДЛЯ АНІЗОТРОПНИХ ПЛАСТИНОК З ОТВОРАМИ ТА ТРІЩИНАМИ

Спеціальність: Механіка деформівного твердого тіла

АНТОНОВ ЮРІЙ СЕРГІЙОВИЧ

Донецьк, 2006 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У багатьох галузях сучасної автоматики, обчислювальної та вимірювальної техніки, авіації, машинобудування та інших широко застосовуються конструкції, які містять елементи у вигляді тонких пластинок, що з технічних міркувань мають отвори, а з технологічних та експлуатаційних причин також додаткові концентратори напружень типу тріщин. Найчастіше такі елементи конструкцій виготовляються з різних композиційних матеріалів з істотно вираженими властивостями анізотропії. Під впливом механічних сил і теплових полів у цих елементах можуть виникати високі концентрації напружень, які необхідно враховувати при розрахунку конструкцій на міцність і тріщиностійкість. У зв'язку з цим виникає необхідність розробки надійних методів, що дозволяють визначати термонапружений стан анізотропних пластинок з отворами та тріщинами, розв'язувати на їх основі нові класи задач інженерної практики. Розв'язанню деяких проблем у цій області й присвячена дана дисертаційна робота.

Метою дисертації є вивчення впливу геометричних характеристик, теплофізичних властивостей матеріалів пластинок з отворами та тріщинами, виду теплових навантажень на їх термонапружений стан, встановлення закономірностей його якісних і кількісних змін. Для досягнення цієї мети було необхідно:

- розробити методику розв'язання задач теплопровідності й термопружності для анізотропних пластинок з довільною кількістю отворів та тріщин при довільному їх взаємному розташуванні й з'єднанні між собою;

- із застосуванням цієї методики отримати теоретичні розв'язки конкретних задач та провести їх алгоритмізацію;

- скласти комплекси програм для чисельної реалізації розроблених алгоритмів;

- дослідити ефективність розроблених підходів і достовірність отриманих на їх основі результатів;

- розв'язати нові класи актуальних задач інженерної практики;

- виявити термомеханічні закономірності розподілу температур, напружень і деформацій залежно від геометричних характеристик тіл, теплофізичних властивостей їхніх матеріалів, способів теплових навантажень.

Об'єктом дослідження є проблема вивчення термонапруженого стану, що виникає при розрахунках на міцність анізотропних пластинок з отворами та тріщинами.

Предметом дослідження є розробка ефективних методів визначення термонапруженого стану анізотропних пластинок з отворами та тріщинами з урахуванням взаємодій цих концентраторів між собою, теплофізичних властивостей матеріалів і форм теплових впливів.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі використано і розвинено ряд підходів. Зокрема, розвинуто метод комплексних потенціалів стосовно задач теплопровідності й термопружності для обмежених і нескінченних областей із системою довільно розташованих отворів з гладкими контурами та прямолінійних розрізів, вивчена ефективність використання комплексних потенціалів при розв'язанні конкретних задач і достовірність отриманих при цьому результатів, розроблено чисельно-аналітичний метод розв'язання задач теплопровідності та термопружності для анізотропних пластинок з довільно розташованими отворами та тріщинами, заснований на використанні конформних відображень, виділенні логарифмічних особливостей комплексних потенціалів та сингулярностей їх похідних у кінцях розрізів, застосуванні дискретного методу найменших квадратів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальними науководослідними роботами, що фінансувалися Міністерством освіти і науки України: “Розробка методів дослідження напруженого стану композиційних тіл з концентраторами напружень та їх застосування” (№ держреєстрації 0101U005377, 2001-2003 рр.), “Розробка методів дослідження напруженого стану однорідних і кусочно-однорідних тіл з концентраторами напружень при дії силових, температурних, електричних полів і їх застосування” (№ держреєстрації 0104U002152, 2004-2006 рр.). Результати дисертаційної роботи увійшли до звітів з вказаних НДР.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 251 джерело, й двох додатків. Робота містить 31 таблицю й 47 рисунків. Загальний обсяг дисертації становить 247 сторінок, з яких 22 сторінки займає список літератури, 81 сторінку додатки.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету роботи й основні наукові результати, що виносяться на захист, зазначено її зв'язок з науковими програмами, планами, висвітлено наукову новизну, практичне значення отриманих результатів і особистий внесок автора в спільні роботи.

У першому розділі викладено аналітичний огляд відомих у літературі методів і розв'язків задач з визначення температурного й термопружного станів тіл. Аналізом охоплено більше 250 робіт вітчизняних і закордонних авторів. Відзначено провідну роль у розвитку теорії та її додатків щодо розв'язання практичних задач робіт вітчизняних і закордонних вчених.

З аналізу досліджень інших авторів встановлено, що до теперішнього часу для ізотропних пластинок з отворами та тріщинами розроблені різні ефективні методи розв'язання задач теплопровідності й термопружності.

Для анізотропних пластинок розроблені методи розв'язання задач та розв'язані окремі задачі теплопровідності й термопружності у випадку областей з гладкими контурами, для пластинки ж з тріщинами розглянуті лише випадки однієї або двох тріщин. Загальні підходи розв'язання задач теплопровідності й термопружності для анізотропних пластинок з тріщинами, з тріщинами та гладкими контурами, з крайовими тріщинами не розроблені. Тому не отримано розв'язків багатьох задач, які представляють практичний інтерес. На основі аналізу літературних джерел обґрунтовано актуальність розробки нових методів дослідження температурного та термонапруженого станів анізотропних пластинок з отворами та тріщинами, розв'язання на їх основі задач інженерної практики, виявлення нових термомеханічних закономірностей.

У другому розділі роботи подано основні співвідношення теплопровідності й термопружності.

Вперше ретельно досліджено зв'язки між коефіцієнтами теплопровідності, зокрема, отримано вирази коефіцієнтів теплопровідності для будь-яких площадок через значення цих коефіцієнтів для головних площадок, для яких вектор теплопровідності спрямовано по нормалі. Доведено інваріантність комбінацій елементів матриці коефіцієнтів теплопровідності виду:

Коли коефіцієнти теплопровідності для будь-яких трьох взаємно перпендикулярних напрямків та головних напрямків. Виведено рівняння теплопровідності й крайові умови його розв'язання для різних теплових дій на граничних контурах тіла чи контакту з іншими тілами, рівняння закону Гуку для різних видів теплової й пружної симетрії, формули для обчислення ентропії та внутрішньої енергії. У цьому ж розділі розглянуто плоскі задачі теплопровідності й термопружності, введені комплексні потенціали для їх розв'язання. При цьому для температури в пластинці отримано вираз:

Де:

Тн початкова температура, при якій напруження й деформації в пластинці відсутні;

Т* - температура, що виникає в пластинці від дії лінійного потоку тепла;

F3 комплексний потенціал збуреного температурного поля, що визначається з відповідних граничних умов.

Отримано вирази основних характеристик температурного поля (температури, густини потоку тепла) через комплексний потенціал, граничні умови для визначення останнього, знайдено загальний вид функції F3 для багато зв'язної області, досліджено її логарифмічні особливості.

На основі розв'язку основної системи рівнянь термопружності введено та досліджено комплексні потенціали термопружності, отримано граничні умови для їх визначення, вирази основних характеристик термопружного стану (напружень, переміщень, внутрішньої енергії, а у випадку тріщин і КІН), загальний вигляд комплексних потенціалів для багато зв'язної області, досліджені логарифмічні особливості функцій.

У другому розділі подано також аналітичний розв'язок задачі про дію лінійного потоку тепла в пластинці з еліптичним отвором або абсолютно твердим ядром, контур якого теплоізольований або на ньому відносна температура дорівнює нулю. Для випадку, коли еліпс вироджується в прямолінійний розріз, отримані вирази КІН, що співпадають для окремих випадків з відомими, знайденими Г.С. Кітом (для ізотропної пластинки) і С.О. Калоєровим (для анізотропної пластинки). Проведено чисельні дослідження впливу геометричних характеристик отвору (або тріщини), теплофізичних властивостей матеріалу пластинки на значення температур, напружень і КІН. При проведенні чисельних досліджень розглядалися пластинки з анізотропних матеріалів КАСТВ (матеріал М2), молібдату свинцю (матеріал М3), дігідрофосфату амонію (матеріал М4). Розглядалася також ізотропна пластинка (матеріал М1). Результати досліджень наведено у численних таблицях і рисунках. Деякі з отриманих результатів для пластинки із тріщиною представлені, коли на берегах тріщини або вони теплоізольовані. Для різних матеріалів наведено значення КІН залежно від кута між лінією тріщини й напрямком потоку тепла.

З інших отриманих результатів видно, що ступінь анізотропії істотно впливає на значення КІН. Так, при задані на берегах температури максимальні значення КІН для пластинки з матеріалу М3 у сотні разів більше, ніж для ізотропного матеріалу М1, а у випадку теплоізольованих берегів тріщини вони в тисячі разів більше. Максимальні значення КІН у випадку теплоізольованих берегів тріщини набагато більше, ніж при завданні на берегах температури.

У роботі також встановлено, що жорстке підкріплення берегів тріщини приводить до значного зменшення значення КІН, особливо у випадку теплоізольованих берегів, напруження та КІН, що виникають у пластинці, обернено пропорційні коефіцієнтам теплопровідності її матеріалу, тобто при зменшенні коефіцієнтів деформації та збільшенні коефіцієнтів лінійного розширення значення напружень зростають.

Третій розділ дисертації присвячений розв'язанню задач теплопровідності й термопружності для пластинки з отворами та тріщинами, коли на їх контурах для рівняння теплопровідності розв'язується задача Діріхле, тобто коли на них задана температура.

Загальні розв'язки задач теплопровідності й термопружності будуються на основі комбінованого методу, що полягає в побудові відповідних конформних відображень, у розвинені комплексних потенціалів у ряди Лорана з виділенням сингулярностей їх похідних у кінцях прямолінійних розрізів, що моделюються “вузькими” еліпсами, у використанні методу найменших квадратів для визначення невідомих сталих, які входять до комплексних потенціалів, у наближеному чисельному обчисленні КІН. Для комплексного потенціалу теплопровідності та похідних комплексних потенціалів термопружності отримано вирази:

Для скінченної області, для нескінченної області:

Розв'язано низку задач для кільця, диска із тріщинами та нескінченної пластинки з отворами та тріщинами. Докладні чисельні дослідження температурних полів і термонапруженого стану проведено для кругового кільця, кругового диска з еліптичним отвором або тріщиною, кругового диска з двома діаметральними, паралельними й перпендикулярними тріщинами, для нескінченної пластинки з двома круговими отворами або двома тріщинами, з круговим отвором і тріщиною. Отримано ряд важливих результатів, виявлено нові термомеханічні закономірності. Результати представлені в численних таблицях. Тут описані лише деякі з отриманих результатів для пластинки із круговим отвором і тріщиною, всі значення наведені з точністю до різниці температур на контурах.

На зображені графіки розподілу нормальних напружень біля контуру кругового отвору на площинках, перпендикулярних до контуру, у пластинці з круговим отвором радіуса та тріщиною півдовжини, горизонтальної вздовж діаметра або вертикальної, що перпендикулярна до діаметра. Суцільні й штрихові лінії малюнків відповідають значенням відношення відстані між отвором і тріщиною до радіуса, яке дорівнює "і".

Для випадку “горизонтальної” діаметральної тріщини залежно від відношення наведено графіки зміни КІН (суцільні лінії) і (штрихові лінії). КІН для цього випадку виходить рівним нулю. Штрихові лінії для ізотропного матеріалу М1 не наведено, тому що вони практично співпадають з відповідними суцільними лініями для цього матеріалу. З інших отриманих у роботі результатів видно, що зменшення відстані між отвором і тріщиною приводить до збільшення напружень біля контуру отвору й КІН для кінців тріщини, причому ці зміни найбільш значні для “горизонтальної” тріщини уздовж діаметра у випадку матеріалу М4, а для “вертикальної”, перпендикулярної до діаметра тріщини у випадку матеріалу М3.

Четвертий розділ роботи присвячено розв'язанню задач теплопровідності й термопружності для багато зв'язних пластинок при дії лінійних потоків тепла та зосереджених джерел тепла. При цьому для задачі теплопровідності розв'язуються задачі Діріхле та Неймана, або “змішана задача”, коли на контурах одних отворів задані значення температури, а контури інших отворів теплоізольовані.

Комплексні потенціали для цих класів задач мають структуру, аналогічну наведеним вище формулам. Тільки у цьому випадку на теплоізольованих контурах розв'язуються крайові задачі з визначення похідної комплексного потенціалу теплопровідності.

У цьому розділі, для випадку, коли на контурах всіх отворів підтримується однакова температура або вони всі теплоізольовані, а на нескінченності діє лінійний потік тепла, наведено також розв'язки періодичних задач теплопровідності та термопружності. Для останнього випадку з умов періодичності температурного поля й напруженого стану за допомогою низки перетворень для функцій отримано вирази:

Де:

Як і в попередніх розділах, у цьому розділі наведено розв'язки низки задач. Для випадку дії лінійного потоку тепла проведено докладні чисельні дослідження для нескінченної пластинки з двома круговими отворами, з отвором і тріщиною, із двома тріщинами, зі скінченим або нескінченним рядом кругових отворів або тріщин.

Залежно від геометричних характеристик розглянутих пластин, теплофізичних сталих їх матеріалів, кутів потоку тепла досліджувалися характер розподілу температур, напружень, а у випадку тріщин також і зміни КІН. Тут представлені лише деякі з отриманих результатів. Значення всіх характеристик наведено з точністю до густини потоку тепла як множника.

Суцільні лінії відповідають випадку, коли на контурах задано температуру 0С, штрихові коли вони теплоізольовані. Як видно на інших отриманих у роботі результатів, при збільшенні довжини крайової тріщини значення КІН за абсолютною величиною зростають, а значення напружень біля контуру отвору змінюються незначно, за винятком точок у кінцях вертикального діаметру, якщо контури теплоізольовані і кут потоку тепла. Ці напруження збільшуються більш ніж у два рази при збільшенні.

Графіки зміни КІН для лівої тріщини в пластинці з матеріалу М4 із двома теплоізольованими тріщинами півдовжини залежно від відношення відстані між тріщинами до їх півдовжини у випадках тріщин, що розташовані на одній прямій (суцільні лінії) і паралельних тріщин (штрихові лінії) при дії потоку тепла, перпендикулярного до тріщин. При зближенні тріщин значення КІН змінюються незначно. Тільки у випадку тріщин уздовж однієї прямої при досить малих відстанях між ними спостерігається істотний зріст КІН за абсолютною величиною. анізотропний теплопровідність енергетичний

Графіки зміни КІН для правої вершини центральної тріщини півдовжини в пластинці з нескінченним рядом тріщин залежно від відношення відстані між тріщинами до півдовжини однієї з них.

Як видно, що при зближенні тріщин значення КІН зменшуються. Для пластинки з матеріалу М4 максимальні значення КІН більш ніж в 50 разів перевищують максимальні значення КІН для ізотропного матеріалу М1.

У даному розділі також наведено розв'язки задач про дію зосереджених джерел тепла. Для пластинки з однією тріщиною у випадку дії одного або двох зосереджених джерел тепла проведено чисельні дослідження та описано отримані результати, коли на її берегах або вони теплоізольовані.

Для пластинки з теплоізольованою тріщиною при дії двох зосереджених джерел тепла графіки зміни КІН у випадку, коли джерела розташовані на продовженні лінії тріщини (у цьому випадку), і для випадку, коли джерела розташовані на серединному перпендикулярі до тріщини (у цьому випадку).

З даних видно, що зі зменшенням відстані між тріщиною й зосередженими джерелами тепла спостерігається істотний зріст КІН за абсолютною величиною. Так, для випадку, коли джерела тепла розташовані на продовженні лінії тріщини, максимальні значення КІН для пластинки з матеріалу М3 перевищують аналогічні значення для ізотропного матеріалу М1 більш ніж в 27 разів, а у випадку джерел на серединному перпендикулярі більш ніж в 37 разів.

Відзначимо, що отримані в цьому розділі результати для ізотропної пластинки (матеріал М1) з двома теплоізольованими тріщинами, розташованими уздовж однієї прямої, з періодичною системою теплоізольованих тріщин при дії потоку тепла, а також для пластинки з теплоізольованою тріщиною при дії зосереджених джерел тепла повністю узгоджуються з наведеними в монографії В.В. Панасюка, М.П. Саврука, О.П. Дацишин.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримали подальший розвиток методи розв'язання задач теплопровідності й термопружності для багато зв'язних середовищ та їх застосування до проблеми вивчення теплового й термонапруженого станів пластинок з отворами та тріщинами.

Основні наукові результати та висновки, отримані в роботі, полягають у наступному:

1. Уперше докладно досліджено зв'язки між коефіцієнтами теплопровідності для тіл із загальною анізотропією теплових властивостей, встановлено інваріантність різних комбінацій цих коефіцієнтів, отримано співвідношення для коефіцієнтів теплопровідності та термопружності для різних випадків теплової й пружної симетрії;

2. Для дослідження збуреного термонапруженого стану пластинок з отворами та тріщинами введено та досліджено комплексні потенціали стаціонарної теплопровідності й термопружності. У похідних останніх виділено особливості в кінцях тріщин. Уперше ретельно досліджено логарифмічні особливості комплексних потенціалів, отримано системи для визначення коефіцієнтів при логарифмах. Через комплексні потенціали знайдено вирази для температури, напружень, переміщень, густини потоку тепла, густини внутрішньої енергії, виведено граничні умови для визначення потенціалів для різних теплових впливів на границі (задання температури, густини потоку тепла, контакту із зовнішнім середовищем, контакту двох тіл). Отримано формули, за якими обчислюються КІН для кінців прямолінійних тріщин, що моделюються “вузькими” еліпсами;

3. Із застосуванням методів конформних відображень і розвинень у ряди Лорана та за поліномами Фабера отримано загальні вирази комплексних потенціалів для багато зв'язної анізотропної пластинки, що містять невідомі сталі, які визначаються із граничних умов на контурах отворів і тріщин методом найменших квадратів;

4. Алгоритмічною мовою розроблено комплекси програм для чисельної реалізації отриманих теоретичних розв'язків;

5. Чисельними дослідженнями встановлено високу ефективність розроблених підходів до розв'язання задач для багато зв'язних середовищ і стійкість отриманих результатів, а для окремих задач їх добре узгодження з відомими, знайденими іншими методами. Останнє поряд із застосуванням строгих математичних методів підтверджує достовірність отриманих результатів;

6. Розв'язано низку задач із визначення теплового й термонапруженого станів пластинки з отворами та тріщинами, причому всі задачі, пов'язані з визначенням термонапруженого стану за наявності тріщин у багато зв'язній анізотропній пластинці, розв'язані вперше;

7. На основі чисельних досліджень виявлено ряд нових термомеханічних закономірностей. про вплив геометричних розмірів отворів і тріщин, їхньої кількості, сполучення й місця розташування, теплофізичних властивостей матеріалів пластинок на значення основних теплових та термопружних характеристик і КІН. А саме, встановлено, що при зростанні коефіцієнтів лінійного розширення та зі зменшенням коефіцієнтів деформації матеріалу пластинки температурні напруження та КІН зростають, напруження та КІН, що виникають у пластинці під дією лінійного потоку тепла обернено пропорційні коефіцієнтам теплопровідності.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ ВІДОБРАЖЕНО У ТАКИХ ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Антонов Ю.С. Исследование термонапряженного состояния анизотропного диска с прямолинейными трещинами // Вісн. Донец. унту. Сер. А Природн. науки. 2005. Вып. 1. С. 90-93.

2. Калоеров С.А., Авдюшина Е.В., Антонов Ю.С. Температурные напряжения в многосвязной анизотропной пластинке с отверстиями и трещинами // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. Львів. 2003. С. 294-296.

3. Калоеров С.А., Антонов Ю.С. Термонапряженное состояние конечной многосвязной анизотропной пластинки с отверстиями и трещинамми // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природн. науки. 2004. №1. С. 103-110.

4. Калоеров С.А., Антонов Ю.С. Термоупругое состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии линейного потока тепла и температуры на контурах // Теорет. и прикладная механика. 2005. Вып. 40. С. 102-116.

5. Калоеров С.А., Антонов Ю.С. Термонапряженное состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами // Прикладная механика. 2005. Т. 41, №9. С. 127-136.

Размещено на Allbest.ru