Дифракція імпульсного хвильового пучка на границі розділу двох середовищ із втратами

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В. Н. КАРАЗІНА

УДК 537.87

ДИФРАКЦІЯ ІМПУЛЬСНОГО ХВИЛЬОВОГО ПУЧКА

НА ГРАНИЦІ РОЗДІЛУ ДВОХ СЕРЕДОВИЩ ІЗ ВТРАТАМИ

01.04.03 - радіофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Джин Юн

Харків - 2006



АНОТАЦІЯ

Джин Юн. Дифракція імпульсного хвильового пучка на границі розділу двох середовищ із втратами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.03 - радіофізика. - Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, м. Харків, 2006.

Робота присвячена дослідженню поширення обмежених у просторі імпульсних електромагнітних полів (полів у хвилеводах та тривимірних хвилевих пучків), а також дифракції таких полів на плоскій межі розділу двох середовищ. Задачі розв'язано методом модового базису. Отримано у часовій області в аналітичному вигляді оператори поширення для сигналів у хвилеводі з втратами та без, отримано також оператори дифракції, що описують зміну часової форми сигналу під час дифракції на плоскій границі розділу двох середовищ. Проаналізовано просторово-часовий розподіл щільності енергії і швидкості потоку під час дифракції. Досліджено характеристики імпульсного хвилевого пучка (ІХП), що створений струмами на апертурі, зокрема введено поняття часового центру ІХП, що описує центр кривизни фронту імпульсної хвилі, та досліджено його поведінку з поширенням. На основі модового розкладання полів ІХП за беселевими модами, побудований чисельно-аналітичний алгоритм розрахунку задачі дифракції тривимірного ІХП на півпросторі з втратами, що є модельною для аналізу характеристик усіляких георадарів.

Ключові слова: імпульсний хвильовий пучок, дифракція, метод модового базису, рівняння Клейна-Гордона, гаусовий пучок, часова область, FDTD, імпульсний сигнал, георадар.



АННОТАЦИЯ

Джин Юн, Дифракция импульсного волнового пучка на границе раздела двух сред с потерями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 - радиофизика. - Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, г. Харьков, 2006.

Рассмотрено возбуждение и распространение ограниченных в пространстве импульсных электромагнитных полей (волн в волноводах и трехмерных импульсных волновых пучков (ИВП)), а также дифракция таких полей на плоской границе раздела диэлектриков с потерями.

Применение модового базиса к анализу полей в волноводе во временной области приводит к уравнению Клейна-Гордона (УКГ), которое описывает эволюцию временной зависимости волны при распространении. Рассмотрено несколько постановок задач для УКГ, получены их решения с помощью операторов распространения. Операторы позволяют исследовать изменение формы импульса в волноводе с потерями как в последующие, так и в предыдущие моменты времени. Полученные решения проверены с помощью численного решения конечно-разностного уравнения.

Далее рассмотрена задача о дифракции импульсного сигнала в волноводе на границе раздела двух сред (возможно с потерями). Решение проведено во временной области, граничные условия приводят к уравнениям в свертках, решение этих уравнений получено аналитически с использованием преобразования Лапласа. В результате получены операторы дифракции, которые выражают временные зависимости модовых амплитуд отраженной и прошедшей волн на границе раздела в виде свертки с падающим сигналом. Отдельно проанализированы особые случаи границы изоимпедансных и изорефракционных сред. Показано, что в случае равенства импеданса двух сред фронт волны проходит границу, не создавая моментального отклика, однако позднее формируется отраженный сигнал из-за наличия дисперсии и разности скоростей волн в двух средах. В случае равенства показателей преломления в двух средах форма отраженного и прошедшего импульсов полностью повторяют форму падающего, т.е. не происходит дополнительного искажения формы волны в ходе дифракции. Для иллюстрации процесса дифракции использовались пространственно-временные диаграммы, описывающие движение энергии в ходе дифракции.

Проанализированы характеристики трехмерного ИВП, создаваемого токами на апертуре. В частности, исследовалось положение амплитудного и временного центра пучка. Амплитудный центр - это точка от которой поля убывают по закону 1/r. Проанализировано, как его положение зависит от отношения длительности сигнала к поперечному размеру апертуры. Понятие “временной центр” введено в диссертации для описания центра кривизны излученного импульсного фронта. Оно является аналогом фазового центра в частотной области. Показано, что положение этого центра устанавливается только после прохождения фронтом довольно большого расстояния (порядка 200-300 поперечных размеров апретуры).

На основе модового разложения полей ИВП по бесселевым модам, построен численно-аналитический алгоритм расчета задачи дифракции трехмерного ИВП на полупространстве с потерями. Поскольку задача дифракции отдельной бесселевой моды на границе двух сред полностью аналогична такой же задаче для волноводной моды, то оказалось возможным применить полученные для волновода операторы дифракции и распространения.

Рассмотренная задача дифракции трехмерного ИВП является модельной для анализа характеристик импульсных георадаров.

Ключевые слова: импульсный волновой пучок, дифракция, метод модового базиса, уравнение Клейна-Гордона, гауссов пучок, временная область, FDTD, импульсный сигнал, георадар.



SUMMARY

Zheng Yu. Diffraction of impulse wavebeam on boundary of two mediums with lossy. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree by speciality 01.04.03 - radiophysics. Karazin Kharkov National University, Kharkіv, 2006.

Propagation of transverse bounded impulse electromagnetic fields (such as waveguide waves and 3D impulse wave beams) as well as diffraction of such fields at a plane interface between two (possibly lossy) media is considered. The problems are treated with Mode Basis Method. In a closed form in Time Domain were obtained the propagation operators for signals in waveguides with/without losses and the diffraction operators that describe waveform transformation at diffraction by a plane interface of two media. Spatial-time distribution of energy density and its flow speed for the diffraction problem is analyzed. Some characteristics are investigated for an impulse wave beam (IWB), which is produced by currents over aperture. In particular, the term time center is introduced that describes curvature center of the radiated impulse wave front, and its behavior while propagating is analyzed. Based on IWB fields expansion in integral over Bessel modes a new analytical-numerical algorithm was proposed for solving the problem of diffraction of a 3D IWB on a half space with lossy medium. The problem can be considered as a model for analyzing operation of ground penetrating radars.

Key words: impulse wave beam, diffraction, Mode Basis Method, Klein-Gordon Equation, Gaussian beam, Time Domain, FDTD, impulse signal, GPR.



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Третьяков Олег Олександрович, Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, професор кафедри теоретичної радіофізики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Сіренко Юрій Костянтинович, Інститут радіофізики та електроніки ім. О. Я. Усикова НАН України, завідувач відділу математичної фізики (м. Харків);

доктор фізико-математичних наук, професор Просвірнін Сергій Леонідович, Радіоастрономічний інститут НАН України, завідувач відділу теоретичної радіофізики (м. Харків).

Провідна установа: Харківський національний університет радіоелектроніки, кафедра вищої математики, Міністерство освіти і науки України (м. Харків).

Захист відбудеться 04.07. 2006 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.02 Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд. 3-9.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4.

Автореферат розісланий 02.06. 2006 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої радиА. Ф. Ляховський



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена дослідженню поширення обмежених у просторі імпульсних електромагнітних полів (полів у хвилеводах та тривимірних хвилевих пучків), а також дифракції таких полів на плоскій межі розділу двох середовищ. Задачі розв'язано методом модового базису. Отримано аналітичні вирази у часовій області для операторів поширення і дифракції на плоскій межі розділу двох середовищ як з втратами, так і за відсутності втрат. Проаналізовано просторово-часовий розподіл щільності енергії і швидкості потоку на межі розділу двох середовищ. На основі знайдених аналітичних розв'язків у часовій області запропоновано новий чисельно-аналітичний алгоритм для розрахунку дифракції тривимірного хвилевого пучка на межі розділу двох середовищ з втратами.

Актуальність роботи. Задачі збудження і поширення нестаціонарних електромагнітних полів активно вивчаються вже кілька десятків років. Інтерес до них був викликаний питаннями, пов'язаними із захистом радіоелектронної апаратури від дії електромагнітного імпульсу ядерного вибуху. У теперішній час подібні сигнали застосовуються в імпульсній локації, переважно на невеликих відстанях (підповерхнева локація тощо), дозволяючи ідентифікувати об'єкти за їх надширокосмуговим відгуком. Досягнутий рівень потужності імпульсних генераторів дозволяє використовувати імпульсні локатори також для локації літаків, при цьому такі радари мають надрозрізнення за дальністю, що дозволяє спостерігати окремі частини літака, ідентифікувати клас літака, а також виявляти літаки-невидимки. На початку 70-х років минулого століття інтереси в області генерації потужних імпульсних сигналів змістилися із захисту від електромагнітного імпульсу у бік штучного створення таких імпульсів для дії на електронні засоби як “електромагнітна зброя”.

Останніми роками значний інтерес виник до комерційного використання систем зв'язку на надширокосмугових та імпульсних сигналах (телекомунікація, CDMA, 3G системи і т.д.). Це обумовлено створенням адекватної елементної бази: зокрема, генераторів імпульсів, що дозволяють синтезувати форму імпульсів пікосекундної тривалості. Окрім цього, останнім часом був введений стандарт Американською комісією по зв'язку (FCC), який дозволив вільне використання надширокосмугових сигналів із заданим обмеженням на спектральну щільність енергії випромінюваних імпульсів. У зв'язку з цим відчувається потреба в ефективних методах моделювання проходження імпульсних сигналів через усілякі шаруваті структури, зокрема крізь стіни, дорожнє покриття, поверхню ґрунту тощо. Розв'язання саме цих задач і ставить за мету ця робота. Крім того, в дисертації також досліджено випромінювання та поширення тривимірного імпульсного хвильового пучка (IXП), його характеристики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану науково-дослідних робіт Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна в рамках держбюджетної теми: “Взаємодія надширокосмугових імпульсів з неоднорідними середовищами, їх використання в радіолокації і зв'язку” (номер держреєстрації 0103U004248).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вивчення процесів випромінювання, поширення і дифракції обмежених у просторі імпульсних електромагнітних полів, зокрема, дифракція імпульсної хвилі на плоскій межі розділу двох діелектриків у хвилеводі та імпульсного хвилевого пучка на діелектричному напівпросторі з втратами.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

*Знайти аналітичний розв'язок початково-граничної задачі для еволюційного хвилеводного рівняння для середовища з втратами. Перевірити отриманий розв'язок порівнянням з чисельними результатами за методом FDTD. дифракція електромагнітний діелектрик хвилевод

*Отримати аналітичні вирази у часовій області для операторів дифракції на межі двох диспергуючих середовищ у хвилеводі, проаналізувати за їх допомогою процес дифракції імпульсної хвилі, зокрема, проаналізувати просторово-часовий розподіл щільності енергії і швидкості потоку на межі розділу двох середовищ.

*Знайти поля, що випромінюються збудженим імпульсним сигналом лінійно поляризованими струмами з радіально-гаусовим розподілом на площині, і проаналізувати властивості випромінюваного при цьому тривимірного IXП.

*За допомогою одержаних виразів для операторів дифракції і модового розкладання полів імпульсного хвилевого пучка побудувати математичну модель дифракції IXП на межі з диспергуючим середовищем.

Об'єкт дослідження - процес випромінювання, поширення та дифракції імпульсних електромагнітних полів. Предмет дослідження - взаємодія обмежених у просторі імпульсних хвильових полів (хвиль у хвилеводі або IXП) з плоскою межею розділу диспергуючих середовищ.

Методи дослідження. Для моделювання і дослідження нестаціонарних електродинамічних процесів у роботі застосований строгий метод модового базису (еволюційних хвилеводних рівнянь), для розв'язання отриманих рівнянь у згортках використовувався метод перетворення Лапласа, використовувався також метод кінцевих різниць для перевірки достовірності аналітичних рішень.

Наукова новизна одержаних результатів. При виконанні дисертаційної роботи були отримані наступні нові результати:

*Знайдено в аналітичному вигляді оператори поширення для еволюційного хвилеводного рівняння для середовища з втратами. Ці оператори сформульовані у вигляді, що допускає зворотний в часі аналіз поширення сигналів.

*Вперше отримано аналітичний розв'язок у часовій області для операторів дифракції на межі розділу діелектриків з втратами;

*В результаті аналізу операторів дифракції було виявлено, що на межі двох ізоімпедансних середовищ сингулярна частина операторів відбиття дорівнює нулю. Це означає, що відбитий сигнал не міститиме моментального відгуку на падаючий імпульс, але, через наявність дисперсії та різну швидкість поширення у двох середовищах, після проходження фронту сформується відбита хвиля (пізночасовий відгук). Також виявлено, що у разі рівності показників заломлення двох середовищ (швидкостей поширення) не відбуватиметься спотворення імпульсу в процесі дифракції, тобто відбита хвиля та хвиля, що пройшла, будуть повторювати форму падаючої хвилі.

*Запропоновано новий алгоритм розрахунку випромінювання IXП струмами на апертурі. При цьому, для чисельного представлення інтегралів по радіальному спектру було запропоноване використання оптимальної гауссової квадратурної формули. Отримано відповідну квадратуру для гаусового радіального спектру. Цей підхід реалізований на прикладі випромінювання IXП радіально-гауссовим розподілом лінійно поляризованих струмів на площині. В результаті аналізу виявлено, що положення амплітудного центру, створюваного IXП, залежить від відношення тривалості збуджуючого імпульсу до поперечного розміру пучка. Введене поняття часового (аналог фазового) центру для IXП, показано, що його формування відбувається на значно більших відстанях, ніж амплітудного центру.

*За допомогою отриманих операторів дифракції і поширення побудована математична модель дифракції IXП на плоскій межі діелектричного напівпростору з втратами.

Практичне значення одержаних результатів. У даній дисертаційній роботі розроблено чисельно-аналітичний підхід, заснований на методі модового базису для хвилеводів і вільного простору з шаруватим середовищем, який дозволяє ефективно розв'язувати задачі збудження і поширення імпульсних полів у таких структурах.

Отримані в аналітичному вигляді оператори поширення та дифракції на межі розділу двох середовищ з втратами у хвилеводі дозволяють включити цю неоднорідність в число базових для використання в автоматизованих системах розрахунку хвилеводних вузлів у часовій області.

Отримані розв'язки задачі дифракції імпульсної хвилі на межі двох середовищ можуть бути корисними, наприклад, для збільшення точності вимірювань при підповерхневій радіолокації з метою дослідження льодового і сніжного покривів, для пошуку води, при зондуванні морської і земної поверхонь. Отримані результати можна використовувати для моделювання організації радіозв'язку через поглинаючі середовища, такі як морська вода, ґрунт, перекриття тощо, та його оптимізації з метою збільшення швидкості передачі інформації.

Результати дослідження дифракції імпульсного хвильового пучка на плоскій межі розділу двох середовищ (що може бути узагальнене на довільну кількість границь - тобто на шаруваті структури) є вельми перспективними для математичного моделювання імпульсних радарів для підповерхневого зондування (зокрема зондування крізь стіни, зондування біооб'єктів, контроль дорожнього покриття, виявлення мін тощо), а також побудови математичних моделей поширення сигналів у надширокосмугових систем зв'язку.

Особистий внесок здобувача. В роботах, що опубліковані у співавторстві, особистий внесок автора полягає у застосуванні методу модового базису до розв'язання низки нестаціонарних задач у хвилеводах і резонаторах для демонстрації переваг ММБ у порівнянні з традиційним методом комплексних амплітуд [1, 4, 6], в отриманні аналітичних виразів у часовій області для операторів дифракції і в аналізі відповідних чисельних результатів у хвилеводі або на межі двох середовищ [2, 3, 8, 9, 10, 12], в аналізі просторово-часового розподілу швидкості потоку і щільності енергії під час дифракції імпульсної хвилі на границі двох середовищ у хвилеводі[3, 7, 8, 9, 10, 12], в розробці на основі методу модового базису нової математичної моделі дифракції імпульсного хвилевого пучка на плоскій межі розділу середовищ і її фізичному аналізі [ 5, 11, 13].

Апробація результатів дисертації. Викладені в даній дисертаційній роботі результати доповідались та обговорювались на міжнародних конференціях і симпозіумах:

*8th International Conference “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (ММЕТ'00), September 10-13, 2000, Kharkov (Ukraine);

*4th International Conference on Antenna Theory and Techniques (ICATT'03), 9-12 September, 2003, Sevastopol (Ukraine);

*6th International Symposium on Antennas, Propagation & Electromagnetic Theory (ISAPE'2003), October 28 - November 1, 2003, Beijing (China);

*Третій Харківській Міжнародній Конференції молодих вчених “Мікрохвилева електроніка і радіолокація”, 12-14 січня, 2004, Харків (Україна);

*International Conference “Euro Electromagnetics” (EUROEM 2004), 12-16 July, 2004, Magdeburg (Germany);

*10th International Conference on “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (MMET'04), 14-17 September, 2004, Dnipropetrovsk (Ukraine);

*Міжнародна Наукова Конференція “Каразінські природознавчі студії”. 2004, Харків (Україна);

*2-й Міжнародний Радіоелектронний Форум “Прикладна радіоелектроніка. Стан та перспективи розвитку”. МРФ-2005. 19-23 вересня, 2005, Харків (Україна).

Публікації за темою дисертації. Основні наукові результати дисертації опубліковано в 5 статтях в українських і зарубіжних наукових журналах і додатково висвітлені у 8 тезах доповідей на міжнародних конференціях.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг складає 149 стор., з них основного тексту - 131 стор. Дисертація містить 1 таблицю, 47 рисунків. Список використаних джерел на 18 стор. нараховує 166 найменувань.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлюється актуальність і обґрунтовується необхідність виконання роботи, визначена мета досліджень, перераховані необхідні для досягнення поставленої мети завдання, отримані нові результати, області їх можливого застосування.

У розділі 1 розглянуті різні методи аналізу нестаціонарних задач електродинаміки. Обговорюються як методи у часовій області, так і в частотній. При обговоренні особлива увага приділяється розгляду хвилеводів з плоскою межею розділу магнітодіелектриків, а також структурам з плоскими границями у вільному просторі. Вказуються недоліки існуючих підходів аналізу таких моделей у часовій області. У дисертаційній роботі використаний метод модового базису (ММБ), як один з перспективних методів. Описані очікувані переваги такого підходу.

Також викладені основні задачі нестаціонарної електродинаміки, зокрема взаємодії імпульсних полів з неоднорідним середовищем. Вибирається підхід, найбільш ефективний для аналізу фізичних процесів збудження, поширення і дифракції на плоских границях розділу середовищ з втратами щодо обмежених у просторі імпульсних хвиль (хвиль у хвилеводах та імпульсних хвилевих пучків).

У розділі 2 “Дослідження часових процесів у хвилеводних і резонаторних структурах” представлена загальна схема ММБ. Поля у хвилеводі представлені у вигляді модового розкладу, де коефіцієнти (модові амплітуди) є функціями поздовжньої координати і часу, а елементи модового базису містять лише залежність полів від поперечних координат. Модові амплітуди задовольняють рівнянню Клейна-Гордона, що описує еволюцію хвилі у просторі і часі. Існує кілька можливих задач для цього рівняння, зокрема задача з початковими умовами, коли заданим є поле та його похідні у і потрібно визначити поля при у всій області. Але така постановка задачі не містить умов на нескінченності, тобто розв'язок буде представлений у вигляді як хвиль, що виходять, так і хвиль, що приходять. Для фізичних задач, наприклад, для розрахунку -матриці, більш адекватними є початково-граничні умови, коли задаються або поле, або нормальна похідна від поля на границі , додатковою умовою є наявність лише хвиль, що виходять, потрібно знайти поля при . Еквівалентною постановкою задачі буде задання джерел при , при цьому джерела струму дають граничні умови для похідних, а заряди - для поля. Описана задача розв'язана у дисертації за допомогою перетворення Лапласа. При цьому отримані оператори типу згортки, що описують поширення хвилі у хвилеводі, що заповнений середовищем із втратами. Тобто поля можна представити у вигляді згортки початково-граничних умов з цим оператором поширення: . Введення в явному виді часу, що запізнюється, в аргументі результату згортки дозволяє записати оператор поширення у вигляді, який може застосовуватися як для , так і для . Тобто оператор описуватиме “зворотне у часі” поширення на відстань .

З метою перевірки отриманих розв'язків побудований альтернативний чисельний алгоритм розв'язання описаної задачі для рівняння Клейна-Гордона, що оснований на скінчено-різницевий метод у часовій області. Отримано скінчено-різницеве рівняння і алгоритм його рішення. Чисельні результати були порівняні з аналітичним розв'язком, отриманим у вигляді згортки за допомогою перетворення Лапласа. Збіг результатів підтвердив достовірність, як одержаного чисельного алгоритму, так і аналітичного розв'язку.

Рівняння Клейна-Гордона крім загально відомого розв'язку у вигляді гармонічної хвилі має ще кілька розв'язків з нерозділеними часовою та просторовою змінними. Ці класи розв'язків отримуються з груп симетрії рівняння за допомогою різних перетворень координат: . Вони описують нестаціонарні хвилі, що можуть поширюватись у хвилеводі. Ці розв'язки можуть бути використані, наприклад, у якості альтернативного Фур'є базису для розкладання часових залежностей поля. У дисертації розглянуто два класи таких розв'язків, розглянуті їх властивості з точки зору відповідності принципу причинності.

У цьому розділі також на низці прикладів продемонстрована ефективність ММБ щодо розв'язання нестаціонарних задач з початковими умовами для полів у резонаторах. Представлено чисельні результати, які одержані для випадку збудження порожнього резонатору сигналом кінцевої тривалості. Розглянуто збудження резонатору сигналами кінцевої тривалості у вигляді гармонічної функції та у вигляді меандру (логічний сигнал типу функцій Уолша). Проаналізовано перехідні резонансні явища, що відбуваються при збудженні резонатора сигналами кінцевої тривалості.

У Розділі 3 “Дифракція імпульсної хвилі на межі двох середовищ у хвилеводі” розв'язана у часовій області задача дифракції імпульсної хвилі на границі розділу двох середовищ у хвилеводі. Отримано та проаналізовано оператори дифракції, що пов'язують часові залежності нормальної похідної дифрагованого поля (відбитого, та того, що пройшло) на межі з часовою залежністю хвилі, що падає. Тобто просторова похідна модової амплітуди відбитого поля та поля, що пройшло можна виразити через модову амплітуду падаючої хвилі на границі за допомогою операторів типу згортки:

(1)

Накладання граничних умов на границі розділу середовищ з різними та приводить до рівнянь в згортках (для Е- та Н- мод), з яких можна визначити оператори дифракції (часова та просторова координати нормовані на критичну частоту моди, що аналізується, та на швидкість світла):



(2)

Оскільки ці рівняння можна одержати одне з одного формальною заміною , то досить розв'язати задачу лише для однієї поляризації і скористатися вказаною симетрією. Розв'язуючи ці рівняння операційним методом (за допомогою перетворення Лапласу), отримано аналітичні вирази для операторів дифракції:

(3)

де , , . Оператори для зручності розбиті на сингулярну і регулярну частини. Перша описує моментальний відгук на сигнал, а друга частина оператора дає резонансний “пізночасовий” відгук (термін резонансний пов'язаний з наявністю критичної частоти моди, що визначає періодичність регулярних частин операторів). Оператори для Н-поляризації можна отримати наступною формальною заміною: . Слід зазначити, що сингулярна частина відповідає відбиттю за відсутності дисперсії, тобто коли рівняння Клейна-Гордона вироджується у хвильове рівняння. Крім того, слід звернути увагу, що випадки рівних імпедансів або рівних показників заломлення є особливими для наведеного розв'язку (знаменник або чисельник становиться нульовим), тому вони досліджені окремо.

У разі межі ізоімпедансних середовищ () вирази для регулярних частин операторів дають невизначеність , розв'язок для цього випадку потрібно знаходити окремо. Він представлений наступною формулою:

(4)

Через те, що сингулярна частина оператора відбиття дорівнює нулю () витікає, що в цьому випадку відбитий імпульс не міститиме миттєвого відгуку, який повторює форму падаючого сигналу. Але оскільки , то у відбитому імпульсі буде присутня “пізночасова” резонансна частина.

Ще один особливий випадок представляють ізорефракційні середовища, для яких . В цьому випадку, як видно з граничних умов , поля на межі будуть пов'язані алгебраїчно, і ніякого додаткового спотворення сигналу при дифракції відбуватися не буде.



Рис. 1. Просторово-часові розподіли потоку потужності при дифракції лягеровского імпульсу на межі розділу двох магнітодіелектриків з різними (ліворуч) та однаковими (праворуч) імпедансами.

На рис. 1 наведено просторово-часові діаграми розподілу щільності потоку потужності і швидкості перенесення енергії. Градаціями сірого відображена в логарифмічній шкалі (від 1 до 0.001) щільність енергії у перетині хвилеводу для кожної просторово-часової точки . Стрілками відображена швидкість перенесення енергії, що визначається як відношення потоку потужності через перетин хвилеводу до щільності енергії в даному перетині, кут стрілок з віссю складає . З наведених діаграм зокрема видно, що у разі межі ізоімпедансних середовищ моментальний відгук відсутній і відбитий сигнал формується дуже слабким і лише починаючи з третьої часової пелюстки. Формування цього відбитого сигналу обумовлене відмінністю швидкостей поширення в двох середовищах, що приводить до накопичення енергії поблизу межі розділу -- ця енергія висвічується в обидві сторони, тобто і назад. У іншому випадку (зліва) ми для порівняння навели випадок середовищ з такими ж показниками заломлення, але з різним імпедансом. В цьому випадку моментальний відгук добре помітний. Також розв'язано задачу дифракції імпульсної хвилі на стрибку діелектричної проникності з втратами у хвилеводі і отримано відповідні оператори дифракції.

У розділі 4 “Дифракція імпульсного хвильового пучка на півпросторі” розроблена теоретична модель взаємодії імпульсу з неоднорідним середовищем. По-перше досліджується збудження та поширення тривимірного імпульсного хвильового пучка (ІХП). Для цього застосоване модове розкладання полів у вільному просторі, тобто розкладання полів в інтеграл по беселевим модам з амплітудними коефіцієнтами, що є функціями поздовжньої координати та часу. Беселеві моди визначаються як:

(5)

Розкладання, наприклад, поперечної компоненти магнітного поля ТЕ-хвилі є:

(6)

де коефіцієнт розкладання може бути отриманий проектуванням поля на базис:

(7)



ІХП збуджується струмами на апертурі, розкладання цих струмів за базисом беселевих мод дає початково-граничні умови для модових амплітуд, з яких знаходяться поля, що поширюються. Для прикладу були розраховані поля від лінійно поляризованих струмів на площині з амплітудами, що залежать від поперечної координати за гаусовим законом ( - характерний поперечний розмір апертури):

(8)

Часова залежність функції збудження струмів для розрахунків бралась у вигляді . Розкладання струмів (8) за беселевими модами дає спектр

(9)

з лише однією кутовою гармонікою та гаусовою залежністю від поперечного хвильового числа . Спектр по поперечному хвильовому числу є неперервним. Розподіл можна виразити як інтеграл по беселевим модам (по ) з амплітудами, що даються . Для розрахунків цей інтеграл можна представити квадратурною сумою, це відповідає апроксимації неперервного спектру дискретним, отже в подальшому ми розраховуємо поширення лише окремих беселевих мод з поперечними числами, що відповідають вузлам квадратурної формули. У дисертації була отримана оптимальна гаусова квадратура для інтеграла на інтервалі з вагою з 20 вузлами, що й застосовувалась для розрахунків. Поширення кожної моди описується оператором поширення, що був введений у розділі 2. Для знаходження полів необхідно отримати значення модових амплітуд у потрібній площині, а потім підсумувати окремі беселеві моди з відповідними вагами квадратурної суми.

Альтернативним методом розрахунку розглянутої задачі (збудження ІХП струмами на апертурі) є безпосереднє застосування формули потенціалів, що запізнюються (функції Гріна у часовій області для вільного середовища). Чисельні розрахунки показали збіжність результатів, що були отримані за цими двома методами.

Далі були проаналізовані деякі характеристики випромінюваного ІХП. Зокрема, досліджувались поля у ближній зоні з метою виявлення границі ближньої зони, тобто на яких відстанях від апертури ІХП перетворюється на сферичну хвилю. Для цього було досліджено загасання амплітуди випромінюваного імпульсу на вісі ІХП. У дальній зоні амплітуда має згасати як . Якщо апроксимувати прямою лінією залежність зворотної амплітуди випромінюваного імпульсу від відстані, то ця лінія перетне вісь у точці , від якої відбувається загасання за законом . Ця точка називається амплітудним центром (або віртуальним джерелом) ІХП. Це поняття відоме у літературі, у дисертації досліджено як положення цього центру змінюється зі зміною тривалості імпульсу збудження. Показано, що амплітудний центр знаходиться позаду від апертури, при збільшенні тривалості імпульсу він зміщується до апертури, а при зменшенні - від дуже швидко відсувається назад.

Крім того, було проаналізовано зміну кривизни фронту ІХП під час поширення. Для цього на кількох площинах паралельних апертурі обчислювалось запізнення приходу імпульсу як функція відстані до вісі пучка (запізнення обчислювалось для кореляції сигналу з сигналом на вісі). Ця залежність апроксимувалась функцією , з якої знаходився параметр - відстань до центру кривизни. Цей центр кривизни, що можна назвати часовим центром ІХП, є аналогом фазового центру у частотній області. Виявлено, що він не співпадає з амплітудним центром. Крім того, його положення залежить від відстані між точкою спостереження та апертурою (до відстаней ). Для порівняння, амплітудна залежність як відомо, досить гарно виконується вже на відстані . На коротких відстанях центр кривизни лежить позаду апертури, на дуже великих відстанях він установлюється десь попереду апертури (на відстані кількох ).

Далі у дисертації розглянута основна задача - це дифракція ІХП на плоскій границі розділу двох середовищ. Усі необхідні для цього формули вже були отримані у попередніх розділах. Справа у тому, що поле ІХП може бути представлено розкладанням за беселевими модами, при цьому, кожна з цих мод взаємодіє з плоскою границею сама по собі, не перетворюючись в інші моди. Крім того, граничні умови є тими ж самими, що й для дифракції у хвилеводі. Розв'язок цієї задачі вже було отримано у розділі 3. Отже задача дифракції розв'язується за таким алгоритмом:

1. Представити поле у вільному просторі у вигляді інтеграла по беселевим модам з амплітудами, що залежать від поздовжньої координати та часу.

2. Представити цей інтеграл по поперечному хвильовому числу у вигляді квадратурної суми (апроксимувати неперервний спектр дискретним).

3. Визначити часові коефіцієнти збудження окремих мод для заданого розподілу струмів на апертурі (розкласти джерела за базисом беселевих мод).

4. За допомогою операторів поширення (знайдених у другому розділі) визначити для кожної моди часову залежність поля, що падає на межу з середовищем.

5. За допомогою знайдених у третьому розділі операторів дифракції визначити на межі часові залежності похідних відбитого поля і поля, що пройшло в середовище.

6. За допомогою операторів поширення визначити часові залежності модових амплітуд дифрагованого поля в потрібній площині через визначені на попередньому кроці часові залежності модових амплітуд на межі розділу середовищ.

7. Для отримання часової залежності поля в точках спостереження треба обчислити інтеграл по беселевим модам (насправді, квадратурну суму з пункту 2), часові залежності амплітуд яких визначені у пункті 6.

Для прикладу була розглянута задача дифракції ІХП, що збуджується як описано вище, на півпросторі з параметрами , . Границя півпростору знаходилась на відстані від апертури. На рис. 2 наведено часові залежності поздовжньої компоненти магнітного поля , розраховані при , для різних . На графіках ліворуч видно падаючий і відбитий імпульс над поверхнею. На графіках праворуч для полів під поверхнею видно їх загасання з глибиною.

Рис. 2. Часова залежність (відбитої та падаючої хвиль ліворуч та хвилі, що пройшла - праворуч) на різних відстанях від апертури (границя розділу - )



ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі на основі ММБ розглянуто збудження та поширення обмежених у просторі імпульсних хвиль (хвиль у хвилеводах і IXП), а також їх дифракція на плоскій межі розділу діелектриків з втратами.

Отримано у вигляді операторів поширення розв'язок рівняння Клейна-Гордона, що описує еволюцію сигналів у хвилеводі. Розв'язок перевірений порівнянням з результатами чисельного розв'язання рівняння за допомогою скінчено-різницевого методу. Отримані оператори дозволяють досліджувати як зміну сигналу під час поширення, так і його передісторію.

У часовій області розв'язана задача дифракції довільної імпульсної хвилі у хвилеводі на границі розділу двох середовищ з втратами. Результатом є аналітичні вирази для операторів дифракції, що пов'язують часову залежність відбитого сигналу та сигналу, що пройшов, з часовою залежністю падаючої хвилі на поверхні розділу. Аналіз цих операторів виявив, що наявність дисперсії у хвилеводі призводить до того, що часова форма дифрагованих хвиль зазнає змін під час дифракції. Особливим випадком є границя середовищ з однаковими імпедансами, коли відсутній моментальний відгук, тобто фронт хвилі проходить границю без створення фронту відбитої хвилі, і лише потім формується відбита хвиля завдяки наявності дисперсії та різниці швидкостей поширення у двох середовищах. Іншим особливим випадком є границя середовищ з рівними швидкостями поширення (ізорефракційні середовища), при цьому не відбувається додаткового спотворення форми хвиль, тобто відбита хвиля та хвиля, що пройшла, повторюють часову залежність падаючої хвилі.

Досліджено збудження тривимірного ІХП струмами на апертурі та його поширення. Аналізувались такі його характеристики як положення амплітудного та часового центру. Амплітудний центр - це точка, від якої відбувається зменшення амплітуди випромінюваного імпульсу за законом . Отримано залежність положення цього центру від відношення тривалості імпульсу до розмірів апертури. Показано, що для надкоротких імпульсів цей центр лежить далеко позаду від апертури, а для імпульсів з великою тривалістю він знаходиться позаду майже на апертурі. Поняття “часовий центр” введено для опису центру кривизни випромінюваного імпульсного фронту. Воно є аналогом фазового центру у частотній області. Виявлено, що положення цього центру установлюється лише після проходження імпульсом значної відстані (порядку 200-300 поперечних розмірів апертури).

На основі методу модового базису, що застосовує розкладання полів в інтеграл за беселевими модами, розроблено чисельно-аналітичний метод, що дозволяє розраховувати поля дифракції тривимірного імпульсного хвилевого пучка на дисперсному (з провідністю) діелектричному напівпросторі. Цей метод може бути застосований і для розрахунку задач дифракції на шаруватому середовищі, застосовуючи метод матриць розсіяння у часовій області для складних структур. Крім того, він може бути об'єднаний з більш універсальним чисельним методом FDTD таким чином, що за допомогою FDTD розраховуватимуться поля в області прилеглій до випромінювача, потім вони розкладатимуться за беселевими модами і їх подальше поширення та дифракція будуть обчислюватись за запропонованим методом. Подальша взаємодія полів зі складним підповерхневим об'єктом знову обчислюватиметься за допомогою FDTD. Такий метод дозволить об'єднати переваги FDTD щодо можливості моделювання складних структур з можливостями запропонованого методу точно розраховувати поширення полів на істотній відстані між випромінювачем і підповерхневим об'єктом. Тобто запропонований алгоритм може бути застосований до моделювання імпульсних підповерхневих георадарів.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Джин Юн, Третьяков О. А. Возбуждение вихревых типов колебаний в полом резонаторе // Вісник Харківського національного університету. Радіофізика та електроніка. - 2001. - № 513. - С. 32-36.

2.Butrym A. Yu., Zheng Y., Tretyakov O. A. Transient Diffraction on a Permittivity Step in a Waveguide: Closed-Form Solution in Time Domain // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. - 2004. - Vol. 18, № 7. - P. 861-876.

3.Джин Юн, Бутрым А. Ю., Третьяков О. А. Дифракция импульсной волны на границе раздела магнитодиэлектриков в волноводе. // Вісник Харківського національного університету. Радіофізика та електроніка. - 2004. - №. 622. - C. 51-54.

4.Джин Юн, Кочетов Б. А. Бутрым А. Ю. Конечно-разностная схема во временной области и аналитическое решение уравнения Клейна-Гордона // Вісник Харківського національного університету. Радіофізика та електроніка. - 2006. - №. 712. - C. 91-94.

5.Джин Юн. Дифракция импульсного волнового пучка на полупространстве с диспергирующей средой // Радиотехника: Всеукраинский межведомственный научно-технический сборник. - 2005. - Вып. 143. - С. 210-214.

Результати дисертації додатково висвітлені в таких роботах:

6.Тrеtyakov О. А., Zheng Yu. New Explicit Solutions in Time Domain for Waveguide Signals // Proc. International Conference “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory”. - Кharkov (Ukraine). - 2000. - P. 527-529.

7.Butrym A. Yu., Zheng Y., Tretyakov O. A. Energy Flow in Lossy Waveguides for Impulse Wave Propagation // Proc. 6th International Symposium on Antennas, Propagation & Electromagnetic Theory (ISAPE'2003). - Beijing (China). - 2003. - P. 121-123.

8.Butrym A. Yu., Zheng Y., Tretyakov O. A. Impulse wave diffraction on a permittivity step in a waveguide // Proc. 4th International Conference on Antenna Theory and Techniques (ICATT'03). - Sevastopol (Ukraine). - 2003. - P. 605-608.

9.Butrym A. Y., Zheng Y., Tretyakov O. A. Transient Diffraction by Boundary of Two Lossy Dielectrics in a Waveguide // Book of Abstracts of the International Conference “Euro Electromagnetics” (EUROEM 2004). - Magdeburg (Germany).- 2004. - P. 175-176.

10.Бутрым А. Ю., Джин Юн Дифракция импульсных сигналов на границе раздела двух сред в волноводе // Третья Харьковская международная конференция молодых ученых “Микроволновая электроника и радиолокация”. - Харьков (Украина). - 2004. - C. 19.

11.Butrym A. Yu., Zheng Yu, Dumin A. N., Tretyakov O. A. Transient wave beam diffraction by lossy dielectric half space // Proc. 10th International conference on “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory”. - Dnipropetrovsk (Ukraine).- 2004. - P. 345-347.

12.Бутрим О. Ю., Джин Юн. Дифракція імпульсної поперечно обмеженої хвилі на плоскій границі розділу двох середовищ // Матеріали міжнародн. наук. конф. “Каразінські природознавчі студії”. - Харків (Україна).- 2004. - С. 92-93.

13.Джин Юн, Бутрым А. Ю. Анализ в ближней зоне поля импульсного волнового пучка, создаваемого гауссовым распределением линейно поляризованных токов на плоскости // Сборник научных трудов по материалам 2-ого Международного Радиоэлектронного Форума “Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития”. МРФ-2005. Харьков (Украина).- 2005. - С. 47-50.

Размещено на Allbest.ru

...