Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 539.3

01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

РОЗРАХУНОК ТРАЄКТОРІЙ ТА ШВИДКОСТІ ПОШИРЕННЯ ВТОМНИХ ТРІЩИН У ПЛАСТИНЧАТИХ ЕЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦІЙ

Максимович Ярослав Володимирович

Луцьк - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Луцькому державному технічному університеті Міністерства освіти та науки України.

Науковий керівник доктор технічних наук, професор Божидарнік Віктор Володимирович, Луцький державний технічний університет, ректор університету

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Сяський Андрій Олексійович, Рівненський державний гуманітарний університет, проректор з наукової роботи

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Книш Віталій Васильович, Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН України, старший науковий співробітник

Провідна установа Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів

Захист відбудеться "22" листопада 2006 року о "15" годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 32.075.01 при Луцькому державному технічному університеті Міністерства освіти та науки України за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Луцького державного технічного університету за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

Автореферат розіслано " 21 " жовтня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат технічних наук Бондарський О.Г.

Анотації

Максимович Я.В. Розрахунок траєкторій і швидкості поширення втомних тріщин у пластинчатих елементах конструкцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла. - Луцький державний технічний університет, Луцьк, 2006.

Розроблено методику розрахунку криволінійних траєкторій та швидкостей руху вершин втомних тріщин у пластинках різної форми, яка ґрунтується на методі прослідковування.

Рівняння тріщини, що змінюється в процесі прослідковування, описано за допомогою сплайну, який має задані кути нахилу дотичних при вершинах. Розвинуто методику розрахунку напруженого стану пластинок з криволінійними тріщинами стосовно до методу прослідковування.

Форма тріщини після підростання визначається на основі коефіцієнтів інтенсивності напружень для тріщини на попередньому кроці, відомих положень механіки руйнування, діаграм втомних руйнувань.

Досліджено процес втомних руйнувань у нескінченних, півнескінченних і кругових пластинках, смузі та в пластинці з еліптичним отвором стосовно до сталі 75ХГСТ з використанням - критерію для визначення напрямків та формули Яреми-Микитишина для опису швидкості підростання втомних тріщин.

Встановлено закономірності підростання прямолінійних і викривлених тріщин у пластинках різної форми при їх односторонньому і всесторонньому розтязі та при дії зосереджених сил. Встановлено ефективність способу гальмування руху втомних тріщин шляхом короткочасної зміни виду навантаження. криволінійний тріщина пластинка

Ключові слова: пластинки, криволінійні тріщини, метод інтегральних рівнянь, втома, траєкторії поширення тріщин.

Максимович Я.В. Расчет траекторий и скорости распространения усталостных трещин у пластинчатых элементах конструкций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Луцкий государственный университет, Луцк, 2006.

В диссертационной работе разработана методика расчета криволинейных траекторий и скоростей движения вершин трещин в пластинчатых элементах конструкций, пребывающих в условиях циклических нагружений.

Для построения методики использован метод прослеживания. Уравнение изменяющейся трещины в процессе прослеживания описано с помощью сплайна, имеющего заданные углы наклона касательных при ее вершинах.

Развита методика расчета напряженного состояния пластинок с криволинейными трещинами применительно к методу прослеживания. Минимизация времени работы ЭВМ в методике достигнута использованием интегральных уравнений, ядра которых определяются через введенные решения типа Грина. Решение уравнений проведено методом механических квадратур.

Форма трещины на произвольном шаге определяется на основании коэффициентов интенсивности напряжений для трещины на предыдущем шаге, известных положениях механики разрушения, диаграмм усталостных разрушений.

Построены компьютерные программы для расчета процесса распространения усталостных трещин в полосе, бесконечной, полубесконечной и круговой пластинках, пластинках с эллиптическим отверстием. Для каждого из рассмотренного классов задач предварительно найдены решения типа Грина. Для полосы такое решение представлено в виде двух слагаемых. Первое, выраженное через элементарные функции, является практически точным решением задачи, а второе - определяется через быстросходящиеся регулярные интегралы.

С использованием разработанного алгоритма исследовано влияние размещения и формы исходных трещин, направлений действия внешней распределенной нагрузки или сосредоточенных сил, формы границ пластинки на траектории распространения трещин и рассчитаны скорости их движения. Детально рассмотрены бесконечные пластинки с одной, двумя и периодически расположенными прямолинейными или криволинейными трещинами. Для исследования влияния прямолинейной границы на процесс разрушения рассмотрена полубесконечная пластинка с трещинами различной конфигурации. Влияние ограниченности размеров пластинки на траектории распространения усталостных трещин изучено при рассмотрении полосы и круговых пластинок. Для изучения влияния концентраторов напряжений на процесс усталостных разрушений выполнены исследования траекторий и скоростей распространения трещин у пластинках с эллиптическим отверстием.

Установлена эффективность метода торможения усталостных трещин способом кратковременного изменения вида нагрузки. После такого изменения трещина, в зависимости от уровня эксплуатационной нагрузки, не распространяется или подростает с меньшей скоростью.

Полученные в роботе результаты используются у ОАТ "Дрогобычский долотный завод" для прогнозирования долговечности роликов и для оценки скорости подростания усталостных трещин, которые возникают у подающих барабанах при изготовлении роликов для долот в научно-производственной фирме "Корунд" (г. Луцк).

Ключевые слова: пластинки, криволинейные трещины, метод интегральных уравнений, усталость, траектории распространения трещин.

Маksyмоvych Ya.V. Calculation of trajectories and velocities of fatigue cracks propagation in lamellate elements of designs. - Manuscript.

Dissertation for awarding of scientific candidate degree of of engineering sciences after the speciality 01.02.04 - mechanics of deformable body. - Lutsk State Technical University, Lutsk, 2006.

A procedure for calculation of trajectories and velocities of fatigue cracks propagation in plates of different shape is developed. It is based on the tracing method. For its realization at each stage we have developed: a) a procedure for description of the crack shape by cubic splines with given tangentional inclinations at the tops; b) a modified algorithm for the SIF definition in the bounded and infinite plates with curvilinear cracks of arbitrary configuration, which is based on the method of integral equations and Green's - type solutions; c) a procedure for definition of the crack shape often its growth at the end of the stage.

The process of fatigue failure is studied in the semi - infinite, circular, rectilinear plates, a strip and plate with elliptic hole concerning 75XГCT steel, with utilization criterion for definition of directions and the Yarema-Mykytyshyn formula for description of velocily of fatigue cracks-growth.

The regularities are determined for growth of rectilinear and curred cracks in plates of different shape under the unilateral, manifold tension and under concentrated forces. The efficiency of the way of damping of the fatigue cracks motion is defined by short-term change of the loading form.

Key words: in plate, curvilinear cracks, method of the integral eguations, fatigue, trajectory of crack propagation.

Загальна характеристика роботи

Актуальність роботи. Відомо, що в елементах конструкцій та машин, які перебувають в умовах циклічних навантажень, виникають та поширюються втомні тріщини. Проблема оцінки довговічності пластинчатих елементів конструкцій при таких навантаженнях зводиться до прогнозування кількості циклів, за яких тріщина підростає до критичних розмірів. Для вирішення поставленої проблеми необхідно визначити траєкторії та швидкості підростання тріщин. Розв'язання цієї задачі може бути здійснене методами механіки руйнування на основі детального вивчення напружено-деформованого стану (НДС) пластинок з тріщинами з повним урахуванням їх форми і прикладеного навантаження.

На даний час у літературі достатньо повно розроблені методики дослідження процесів прямолінійного розповсюдження втомних тріщин. Питанням розрахунку процесів поширення тріщин вздовж криволінійних траєкторій присвячена відносно невелика кількість робіт. Зокрема, в роботах Саврука М.П. запропоновано метод визначення статичних симетричних траєкторій розповсюдження тріщин. Панасюком В.В. і Дацишин О.П. розглядались процеси поширення крайової втомної тріщини у півнескінченній пластині, коли переміщується одна з вершин. Аналітичні підходи до розрахунку втомних руйнувань розроблено в роботах Андрейківа О.Є., Салганика Р.Л., Черепанова Г.П. Питання розповсюдження втомних тріщин у зварних елементах конструкцій розглядались Кир'яном В.І. і Книшом В.В. Загальний випадок процесу руйнування, коли обидві вершини тріщини поширюються несиметрично і з різними швидкостями, найменш вивчений у літературі. Недостатньо досліджено також питання впливу форми границь на втомні руйнування пластинок. Таким чином, для практики є актуальною проблема узагальнення відомих розрахункових методик на випадок несиметричного розповсюдження втомних тріщин вздовж криволінійних траєкторій у пластинках складної форми.

Розрахунок поширення втомних тріщин здійснюють на основі методів механіки руйнування, для застосування яких необхідно визначити НДС, що виникає біля тріщин. Для дослідження НДС пластинок з криволінійними тріщинами найбільш застосовним є метод граничних інтегральних рівнянь (МГІР). Значний внесок у його розвиток внесли Андрейків О.Є., Бережницький Л.Т., Божидарнік В.В., Гудрамович В.С., Гриліцький Д.В., Грінченко В.Т., Камінський А.О., Калоєров С.О., Красовський А.Я., Кіт Г.С., Лобода В.В., Осадчук В.А., Панасюк В.В., Попов Г.Я., Саврук М.П., Стащук М.Г., Сулим Г.Т., Сяський А.О., Фільштинський Л.А., Черепанов Г.П., Еrdogan F., Irwin G.R., Clementc D.L., Sih G.C.

Для дослідження процесу втомних руйнувань, в основному, використовують метод прослідковування, при застосуванні якого необхідно багаторазово розраховувати НДС в околі тріщин. У зв'язку з цим для таких розрахунків доцільно застосовувати алгоритми, реалізація яких вимагала би мінімального часу роботи ЕОМ.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках науково-дослідних тем Луцького державного технічного університету: "Розробка методів оптимізації напруженого стану анізотропних пластинок, послаблених отворами і тріщинами" (№ держреєстрації 0103U000280) у 2003-2004 рр., "Розробка методів розрахунку криволінійних траєкторій поширення тріщин стосовно проблеми гальмування руйнувань" (№ держреєстрації 0105U000805) у 2005-2006 рр.

Мета і завдання досліджень. Метою дисертаційної роботи є розробка методики розрахунку криволінійних траєкторій та швидкостей руху вершин втомних тріщин у пластинчатих елементах конструкцій і дослідження на її основі характерних закономірностей процесу втомних руйнувань залежно від форми пластинок та прикладеного навантаження.

Досягнення мети передбачає розв'язання таких задач:

· побудувати ефективні алгоритми розрахунку НДС біля криволінійних тріщин у пластинках стосовно до методу прослідковування;

· розробити методику опису тріщин довільної форми та обґрунтувати її застосовність при дослідженні процесу поширення втомних тріщин;

побудувати алгоритм розрахунку криволінійних траєкторій і швидкостей руху обох вершин у пластинках при циклічних навантаженнях;

виконати розрахунок процесу руйнування у пластинках різної форми та дослідити на цій основі вплив границь, отворів, виду навантаження на траєкторії та швидкість поширення втомних тріщин.

Об'єктом досліджень є пластинки складної форми, послаблені отворами та тріщинами, які перебувають в умовах циклічних навантажень.

Предметом досліджень є процеси розповсюдження втомних криволінійних тріщин у пластинках.

Методи досліджень. Методика побудована на основі крокової процедури прослідковування за траєкторією втомної тріщини, методів механіки руйнування, діаграм втомного руйнування. Визначення НДС пластинок з тріщинами проведено за допомогою методу інтегральних рівнянь, розв'язків типу Гріна, кубічних сплайнів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

· побудовано алгоритми розрахунку НДС біля криволінійних тріщин у пластинках складної форми на основі методу інтегральних рівнянь та розв'язків типу Гріна, оптимізованих за швидкодією при реалізації на ЕОМ;

· автоматизовано опис форми криволінійних тріщин за допомогою кубічних сплайнів та обґрунтовано його застосовність у розрахунках процесу поширення втомних тріщин;

розроблено алгоритм розрахунку криволінійних траєкторій і швидкостей руху вершин втомних тріщин у пластинках різної форми, який ґрунтується на розробленому підході до визначення НДС та методах механіки руйнування;

досліджено вплив границь, отворів, виду навантаження, початкової форми та взаємовпливу тріщин на траєкторії і швидкість поширення втомних тріщин в обмежених та нескінченних пластинках різної форми.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується: коректним застосуванням методів теорії функцій комплексної змінної та граничних інтегральних рівнянь, що використовується при визначенні НДС у пластинках з тріщинами; застосуванням для розв'язування інтегральних рівнянь широко апробованих у літературі числових методів; використанням теоретично і практично обґрунтованих у механіці руйнування критеріїв підростання втомних тріщин; узгодженням отриманих розв'язків ряду задач із відомими результатами, одержаними в літературі іншими методами.

Теоретичне значення роботи полягає у розробці: ефективної методики розрахунку криволінійних траєкторій і швидкостей руху вершин втомних тріщин у пластинках різної форми; методики розв'язування крайових задач плоскої теорії пружності з тріщинами довільної конфігурації за допомогою сумісного використання методів теорії функцій комплексної змінної, граничних інтегральних рівнянь і розв'язків типу Гріна. Побудовано ефективний фундаментальний розв'язок задачі теорії пружності для смуги.

Практичне значення. Розроблений підхід до дослідження процесу підростання втомних тріщин може бути використаний для прогнозування довговічності пластинок різної форми з повним урахуванням умов навантаження. Методика може бути застосована для створення методів гальмування втомних тріщин за допомогою короткочасної зміни навантаження. Отримані в роботі результати використовуються у ВАТ "Дрогобицький долотний завод" для прогнозування довговічності роликів та для оцінки швидкості підростання втомних тріщин, які виникають у подаючих барабанах при виготовленні роликів для доліт у науково-виробничій фірмі "Корунд" (м. Луцьк).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 14 наукових праць [1-14], у тому числі 6 статей [1-6] у наукових журналах, які входять до переліку фахових видань, затвердженого ВАК України.

У публікаціях, що висвітлюють результати досліджень та написані у співавторстві, виконана наукова робота розподіляється таким чином. Здобувач разом із співавторами: у роботах [1, 2, 4, 7, 8] отримав розв'язки типу Гріна для розглянутих у роботі класів задач; побудував на їх основі інтегральні рівняння [2, 5, 9, 11-14]; розробив методику розрахунку криволінійних траєкторій поширення втомних тріщин [3, 6, 10]. В усіх роботах дисертант брав участь у постановці задач, виборі методів їх розв'язування, аналізі результатів досліджень. Автором самостійно: створено програми для ЕОМ; виконано перевірку точності та достовірності розроблених алгоритмів на тестових задачах; проведено числові розрахунки.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на: Всеукраїнській конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 1997), Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" (Львів, 1998), І науковому семінарі "Сучасні проблеми інженерної механіки" (Луцьк, 2000), V Міжнародній науковій конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Львів-Луцьк, 2000), IV-ому Міжнародному симпозіумі "Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій" (Львів, 2002), Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 2003). Дисертаційна робота в цілому доповідалася на міжкафедральному науковому семінарі Луцького державного технічного університету "Механіка і міцність неоднорідних матеріалів та конструкцій" під керівництвом д.т.н., проф. Шваб'юка В.І., науковому семінарі відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Підстригача Я.С. НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Кушніра Р.М. і д.т.н. Поповича В.С., науковому семінарі відділу міцності зварних конструкцій інституту електрозварювання ім. Патона Є.О. НАН України під керівництвом члена-кор. НАН України Кир'яна В.І.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків, переліку використаних джерел та додатків. Обсяг основного тексту роботи становить 143 сторінок. Дисертація містить 116 рисунків, 13 таблиць, 159 найменувань бібліографічного списку на 14 сторінках та додатку на 2 сторінках.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику, д. т. н., професору Божидарніку В.В. за постійну допомогу й підтримку в процесі виконання цієї роботи, а рівно ж канд. фіз.-мат. н., доц. Гембарі В.М. за його цінні поради та увагу.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету і завдання досліджень, наведено методи розв'язування поставлених задач, показано наукову новизну та достовірність отриманих результатів, їх теоретичне і практичне значення, висвітлено дані про апробацію результатів роботи і опубліковані праці за темою дисертації.

У першому розділі подано огляд праць за темою дисертації та подано стислий аналіз сучасного стану проблеми. Наведено також основні рівняння плоскої задачі теорії пружності та основні положення механіки руйнування..

У другому розділі розроблено методику розрахунку траєкторій і швидкості підростання втомних тріщин у пластинках довільної форми та виконано дослідження процесу руйнування у пластинках великих розмірів.

У роботі розглядаються нескінченні або обмежені пластинки, послаблені системою тріщин, які розміщені вздовж ліній Lj=1,…,I. Приймається, що пластинка перебуває під дією одновісного або усестороннього розтягу зусиллями ; зосереджених масових сил (CXj,CYj), j=1,…,J; зусиль (CX,CY) та , які прикладені до границі пластинки та берегів тріщин відповідно. Тут введено циклічний параметр , що характеризує зміну навантаження в циклі, максимальне значення якого Cmax=1.

Для знаходження форми тріщини в процесі руйнування використано кроковий метод прослідковування за траєкторією тріщини. На кожному з кроків розв'язуються такі три задачі: описується форма тріщини в кінці попереднього етапу; визначаються коефіцієнти інтенсивності напружень (КІН) для цієї тріщини; знаходиться приріст тріщини, зумовлений рухом обох вершин.

У розробленому алгоритмі параметричні рівняння тріщини, що підростає в процесі прослідковування, описано кубічними сплайнами, які будували на основі координат вузлових точок на тріщині та кутів нахилів дотичних у її вершинах.

При знаходженні НДС пластинки (друга задача) введено допоміжну статичну задачу для заданої пластинки з тріщиною, коли у прикладеному навантаженні циклічний множник С замінено на одиницю. Визначення такого НДС проведено на основі інтегральних рівнянь, ядра в яких є розв'язками типу Гріна допоміжної задачі теорії пружності. За такі розв'язки вибрано комплексні потенціали Мусхелішвілі для області S, яким відповідає вільна від навантаження її межа за умови, що ці функції мають особливості вигляду…

Показано, що такі потенціали існують для обмежених та нескінченних пластинок при довільних значеннях і мають вигляд (1)

Тоді комплексні потенціали для області S з тріщинами набудуть вигляду (2)

Загальний розв'язок (2) автоматично задовольняє задані умови на границі пластинки, що відповідно дозволяє зменшити об'єм обчислень при розрахунках НДС.

Підставивши потенціали (2) в умови на берегах тріщини, отримуємо інтегральне рівняння для визначення функції Q. Розв'язування рівняння проведено методом механічних квадратур, який ґрунтується на квадратурних формулах Лобатто. При цьому використовується параметричний опис тріщини у вигляді

,

та зображення

.

Для знаходження функції U у вузлових точках отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) вигляду (3)

Доповнивши рівняння (3) дискретним аналогом умови однозначності переміщень, отримуємо замкнену СЛАР, на підставі розв'язків якої визначаємо КІН.

Знаходження форми тріщини в кінці n - го кроку (третя задача), проводилось за припущення, що вершини підростають вздовж прямолінійних відрізків, напрямки яких знаходили на основі - критерію руйнування (4). Враховуючи, що у формулу (4) входить відношення КІН k, кути нахилу дотичних до вісі Ох знаходили на основі КІН для статичної задачі.

У зв'язку з тим, що при використанні критерію (4) , для визначення швидкості підростання втомних тріщин v застосовано рівняння, які описують процес руйнування за механізмом нормального відриву вигляду (5).

Покладемо, що відстань, на яку перемістилась вершина з більшим зі значень КІН на кожному з етапів дорівнює деякій величині , яка є малою порівняно з довжиною початкової тріщини.

Тоді на підставі (5) отримано

де =Fn(B)/Fn(A), якщо Fn(A)>Fn(B)

або

=Fn(A)/Fn(B), і

в іншому випадку. Тут

-

довжини відрізків, вздовж яких підростає тріщина;

, С=А, В; Аn, Вn

вершини тріщини на n- ому кроці. Кількість циклів, за яких тріщина підростає на кроці, визначається за формулою

/ Fn, де Fn більше зі значень Fn(B), Fn(A)..

На основі наведених співвідношень знаходяться координати вершин та кути нахилу дотичних до тріщини на початку n+1- го кроку, які разом із відомими координатами тріщини на попередньому кроці дозволяють описувати рівняння тріщини за допомогою сплайнів.

Зазначимо, що у випадках, коли тріщини поширюються симетрично або антисиметрично відносно їх центру, то

,

внаслідок чого траєкторії поширення тріщин можуть бути знайдені без використання співвідношень вигляду (5).

На основі наведених співвідношень розроблено універсальні комп'ютерні програми для дослідження процесу втомних руйнувань у пластинках різної форми, при створенні яких враховано, що у запропонованому підході розрахунок НДС пластинок з тріщинами зводиться до обчислень розв`язків типу Гріна.

Виконані розрахунки НДС біля тріщин зі зламами, які описувались практично точно сплайнами або наближено гладкими функціями, показали, що при визначенні КІН у таких випадках достатньо з високою точністю забезпечити близькість форми тріщин тільки в околі їх вершин. Звідси випливає можливість застосування у пропонованій методиці МГІР, який ефективніший для гладких тріщин.

При розгляді конкретних задач про поширення втомних тріщин у роботі діаграми втомних руйнувань (ДВР) описували формулою Яреми - Микитишина (6).

За прийнятих припущень щодо навантаження

,

де - КІН для введеної допоміжної статичної задачі,

.

Далі в роботі всі розрахунки виконано стосовно до сталі 75ХГСТ, параметри якої у формулі (6) є такими: q=1.26,

4.3 МПа, 37 МПа, .

Спочатку розроблений алгоритм використано для розрахунку статичних симетричних траєкторій поширення тріщин у пластинках, що перебувають в умовах одностороннього розтягу та під дією зосереджених сил. Отримані результати узгоджуються з відомими в літературі даними, знайденими іншим шляхом.

Детально вивчено випадок одностороннього розтягу пластинок з прямолінійними і слабовикривленими тріщинами. Результати розрахунків процесу поширення тріщини, що розміщена на колі радіуса R=0.1 м при за розтягу пластинки зусиллями Cp під кутом до вісі Ox.

Розрахунки проведено при p=5 МПа, C=1 (тобто в циклі максимальне значення зусиль є р, а мінімальне - 0), N=60, K=80, де - кількість кроків. Траєкторії підростання тріщини подано на верхньому рисунку; швидкість поширення тріщини (кількості циклів), залежно від номеру кроків, зображено на середньому рисунку; значення КІН у вершинах тріщини - на нижньому рисунку. Тут і далі числам 0,…,4 на графіках відповідають кроки з номерами: 0 (початкова тріщина), K/4, K/2, 3K/4, K. На підставі виконаних розрахунків встановлено, що прямолінійні та слабовикривлені тріщини у нескінченних пластинках, що перебувають в умовах одновісного розтягу, підростають, як правило, перпендикулярно до напрямку дії зусиль.

Виконані дослідження процесу втомних руйнувань за розтягу пластинки зосередженими силами вказують на істотний вплив коефіцієнту Пуассона і розміщення сил на траєкторії та швидкості підростання тріщин.

Взаємовплив тріщин на процес втомних руйнувань досліджено на прикладі тріщин, що розміщені симетрично або періодично відносно координатних осей. Із наведених траєкторій розповсюдження лівих тріщин випливає, що ближні вершини тріщин віддаляються на початковому етапі. Після зміни напрямку руху ці вершини наближаються до сусідньої тріщини і далі зупиняються. Протилежні вершини тріщин спочатку дещо наближаються до вісі Ox, а далі віддаляються від неї вздовж нахилених прямих. Ці результати на перших кроках узгоджуються з даними досліджень Саврука М.П., які отримані в припущенні, що переміщується тільки вершина з максимальним значенням КІН. Наведено висновки щодо впливу форми початкової тріщини і типу прикладеного навантаження на процес руйнування пластинок та їх довговічність.

У третьому розділі розроблено методику розрахунку траєкторій і швидкостей руху вершин втомних тріщин у смузі та півнескінченній пластинці і досліджено на цій основі процес поширення тріщин біля прямолінійних границь у пластинчатих елементах конструкцій при циклічних навантаженнях. Розрахунки виконано за розробленими у розділі 2 алгоритмом та програмами, до яких додатково включено процедури обчислення розв'язків типу Гріна.

Комплексні потенціали Мусхелішвілі, що відповідають розв'язку типу Гріна для півплощини з вільною від навантаження межею мають вигляд…

Для смуги аналогічний розв'язок отримано у вигляді(7), (8)

Таким чином інтеграл (8) зображено у вигляді суми двох складових. Першу складову, яка отримана заміною функцій на , виражено через елементарні функції, а другу - визначено через швидкозбіжні регулярні інтеграли. За способом побудови друга складова є малою величиною і практично не впливає на КІН. Виконані для тестування розрахунки КІН для нахиленої тріщини в смузі вказують на ефективність розробленого алгоритму.

Дослідження процесу руйнування виконано для смуги та півплощини з нахиленою прямолінійною тріщиною, які перебувають під дією поздовжнього, поперечного і всестороннього розтягів та зосереджених сил, що прикладені до границі, в тому числі за триточкового згину для балки-смуги.

На основі проведених розрахунків для смуги -H<y<0 з центральними та зміщеними тріщинами, які нахилені під кутами до границі, випливає, що при її поздовжньому циклічному розтязі тріщина розповсюджується перпендикулярно до дії зусиль, причому траєкторії поширення тріщин у смузі практично такі ж, як у нескінченній та півнескінченній пластинках. Водночас швидкості поширення тріщин для смуги і півнескінченної пластинок близькі між собою і значно більші, ніж для нескінченної пластинки.

Результати розрахунків для випадку рівномірного поперечного розтягу смуги з центральною, нахиленою під кутом до вісі Ох, тріщиною півдовжини a=0.25H при p=10 МПа. Видно, що вершини тріщини спочатку дещо віддаляються від ближчої границі, а далі після зміни напрямку руху повільно наближаються до неї. У півплощині ближча до границі вершина рухається практично так само, як і в смузі, а віддалена переміщується вздовж прямої, яка повільно наближається до границі.

Проведені розрахунки за всестороннього розтягу смуги показали, що нахилені тріщини поширюються практично вздовж прямої, на якій вони розміщені. Вздовж такої ж траєкторії переміщується ближча до границі вершина в півплощині, а віддалена - рухається вздовж слабовикривленої траєкторії, що повертається в напрямку границі без зламів.

Досліджено процес розповсюдження тріщин у смузі та півплощині при навантаженні зосередженими силами. Потенціали , які входять у формули (2) і відповідають дії сил, знаходили на основі розв'язку типу Гріна при відповідному виборі параметру . Спочатку для окремих випадків визначено статичні симетричні траєкторії підростання тріщин у смузі. Зокрема, розглянуто смугу з центральною прямолінійною тріщиною півдовжини а і центром у точці (0,-H/2), яка нахилена під кутом до вісі Ох, коли пластинка розтягується двома силами в напрямку вісі Oy, що прикладені до верхньої та нижньої границі. Обчислені статичні траєкторії поширення тріщин при k=1,2,3 (номерам біля кривих відповідає значення k) та значенні коефіцієнта Пуассона =0.3. Видно, що вершини тріщин спочатку віддаляються від ближчої границі, а далі, змінюючи напрям, наближаються до неї.

Виконані розрахунки показали, що аналогічний характер мають статичні траєкторії при рівномірному поперечному розтязі смуги. Траєкторії поширення горизонтальних нецентральних тріщин півдовжини a=0.2H, центр яких розміщено в точках (0,-0.2H), (0,-0.3H), (0,-0.4H), при навантаженні зосередженими силами та поперечному розтязі наближаються до ближчої границі, причому для півплощини і смуги результати розрахунків практично збігаються.

Вплив границь при несиметричному навантаженні досліджено для тріщини півдовжини a=0.1H, центр якої розміщено в точці (0,-0.2H). Смуга перебуває під дією зосереджених сил (0,PC) що прикладені в точках (ka,0), (ka,-H) при значенні циклічного параметру C=1 та k=0,0.5,1,1.5 відповідно. Результати одержаних траєкторій при k=1.5 для нескінченної пластинки при P/H=10 МПа та для смуги і півплощини при P/H=5МПа аналізу результатів обчислень випливає, що ближча до сил вершина спочатку переміщується у напрямку віддаленої сили, далі змінює напрям і також наближається до ближчої границі. Віддалена вершина тріщини одразу переміщується до ближчої границі, причому найбільша швидкість її переміщення є у смузі.

Дослідження процесу руйнування балки-смуги за триточкового згину проведено для вертикальної тріщини півдовжини 0.1H, коли зосереджені сили , -PC/2 I PC/2 прикладені до границь у точках (0,0), (-d,-H) i (d,-H) при d=2H відповідно. Виконані розрахунки для тріщин, що розміщені посередині центрального перерізу або зсунуті вниз на 0.1H і 0.2H, показали, що переміщується тільки ближча до границі вершина.

Розглянуто вертикальні центральні тріщини, які зсунуті вправо відносно вісі Оу з центрами в точках (kH,-0.5H), при k=0.1,0.25,0.5,1,1.5,2. В усіх випадках верхня вершина тріщини нерухома, а нижня переміщується вздовж прямих, що відхиляються вправо від вісі Оу, причому найбільше відхилення має місце, коли центр розміщено в околі точки з координатами (H,-0.5H). Результати розрахунків при k=0.5, P/H=10 МПа.

Найбільша швидкість розповсюдження має місце для тріщин, центр яких розміщено в точках з координатами (0.25H,-0.5H) та (5H,-0.5H).

Встановлено випадки, коли поширюються паралельні до границі тріщини, які розміщені у верхній половині смуги. Зокрема, для тріщин півдовжини a=0.1H з центром у точках (0.5H,-0.3H) та (H,-0.35H) при P/H=40 МПа переміщується тільки права вершина в напрямку до віддаленої границі.

У четвертому розділі розроблено методику розрахунку траєкторій і швидкостей руху вершин втомних тріщин у кругових пластинках і пластинках з еліптичним отвором та досліджено на цій основі процес поширення втомних тріщин біля криволінійних границь у пластинчатих елементах конструкцій при циклічних навантаженнях. Для розв'язування задачі про визначення НДС у таких пластинках з тріщинами спочатку побудовано відповідні розв'язки типу Гріна.

Розв'язок типу Гріна для кругової пластинки радіуса R знайдено за допомогою методу Мусхелішвілі. Комплексні потенціали, що відповідають введеному розв'язку визначаються за формулами …

Доповнивши розроблений вище алгоритм визначення НДС процедурою обчислення побудованого розв'язку типу Гріна, отримано розширену методику розрахунку поширення втомних тріщин, яка додатково дає можливість розглядати кругові пластинки.

Спочатку побудовано симетричні та антисиметричні статичні траєкторії поширення початково горизонтальної тріщини півдовжини а з центром у точці (0,kR) в обмеженій круговій пластинці радіуса . Пластинка розтягується зосередженими силами, прикладеними до границі вздовж вертикального діаметру при a/R=0.25, k=0.5, 0.4, 0.3, 0.2. Показано, що тріщини підростають вздовж прямих, які напрямлені до ближчої границі пластинки, при цьому кут нахилу цих прямих зростає при наближенні тріщини до границі. У круговій пластинці з центральною та зсунутою нахиленими тріщинами, які перебувають під дією зосереджених сил, що прикладені до границі, траєкторії підростання тріщин виявились близькими за формою до відповідних траєкторій для нескінченної пластинки.

За допомогою розробленого алгоритму досліджено також процес руйнування кругової пластинки, яка стиснута вздовж діаметру зосередженими силами. Вершини симетрично розміщених і паралельних діаметру тріщин наближаються до прямої, вздовж якої діють сили. У несиметричному випадку ближча до границі вершина тріщини також наближається до лінії дії сил, а віддалена - переміщується вздовж прямої, на якій розміщена тріщина. Центральні нахилені та слабовикривлені тріщини при стиску також наближаються до прямої, вздовж якої діють сили.

Наведені результати та розроблені програми використовуються у ВАТ "Дрогобицький долотний завод" для розрахункового прогнозування довговічності роликів з мікротріщинами, які можуть виникати в процесі експлуатації доліт.

Розроблено також методику дослідження процесу поширення втомних тріщин біля отворів еліптичної форми. Розв'язок типу Гріна для такої області знайдено з використанням методу Мусхелішвілі і записано в простому вигляді.

Проведено дослідження впливу отвору на траєкторії поширення тріщин залежно від їх розміщення та виду навантаження. Детально вивчено процес руйнування на прикладі вертикальної тріщини довжини R, яка розміщена симетрично відносно кругового отвору. При усесторонньому розтязі отвір "відштовхує" тріщину, причому чим ближче тріщина до отвору, тим більше траєкторії відхиляються від отвору. При розтязі пластинки у перпендикулярному до тріщини напрямку траєкторії руху вершин спочатку відхиляються від отвору, а далі поширюються, як і у випадку суцільних пластинок, перпендикулярно до дії навантаження. У випадку розтягу пластинки паралельно до тріщини, характер руйнування істотно залежить від відстані с між тріщиною і отвором. При близьких відстанях, коли c/R 1.12, в процесі руйнування тріщина віддаляється від отвору і поширюється практично перпендикулярно до напрямку дії зусиль. Розраховані траєкторії та швидкості поширення тріщин для цього випадку при c/R=1.11. При c/R 1.13 тріщини наближаються до отвору, причому зі збільшенням відстані тріщини підростають практично вздовж нахилених прямих. При c=2R отвір уже не впливає на процес руйнування.

Досліджено процес руйнування за несиметричного розміщення тріщин біля отвору. Ближча до отвору вершина поширюється у напрямку до отвору вздовж траєкторії, яка знайдена для симетрично розміщеної тріщини. При незначному зміщенні тріщини віддалена вершина також наближається до отвору з істотно меншою швидкістю. При подальшому зміщенні тріщини віддалена вершина стає нерухомою.

Проведено також дослідження процесу руйнування пластинок з витягнутим еліптичним отвором, на основі яких показано, що встановлені вище закономірності підростання тріщин справджуються і для більш загальних випадків, в тому числі і для криволінійної та нахиленої тріщин.

Досліджено ефективність способу сповільнення руху втомних тріщин, шляхом короткочасної зміни виду навантаження. Підхід проілюстровано на випадку нескінченної пластинки з нахиленою під кутом 450 тріщиною півдовжини a=0.1 м, що перебуває в умовах одновісного розтягу при p=10 МПа. У цьому випадку, для підростання тріщини втричі, необхідно 5*104 циклів. Розглянуто інший варіант навантаження, у якому від першого до 0.3K кроку пластинка розтягується вказаним навантаженням. Далі, з метою зміни траєкторії, цю пластинку до 0.3K +K/5 кроку навантажували зусиллями 3p (при менших зусиллях тріщина не поширювалась) у напрямку, перпендикулярному до початкового, після чого знову повертались до експлуатаційного навантаження. Після зміни навантаження на експлуатаційне тріщина далі не поширювалась. При більшому значенні експлуатаційного навантаження p=20 МПа тріщина поширюється і після зміни траєкторії, причому швидкість її підростання зменшується вдвічі. Отримані таким чином результати, коли зміна навантаження відбувалась на 24 - ому кроці при K=80. Одержані результати застосовані для прогнозування швидкості підростання втомних тріщин, що виникають при експлуатації подаючих барабанів в процесі виготовлення роликів для доліт у науково-виробничій фірмі "Корунд".

Основні результати та висновки

Дисертаційна робота спрямована на розв'язання наукового завдання щодо розробки ефективної методики розрахунку криволінійних траєкторій та швидкості поширення втомних тріщин у пластинках різної форми за допомогою методу прослідковування. На основі проведених досліджень отримано такі результати і сформульовані висновки:

1. Розвинено методику розрахунку НДС пластинок з криволінійними тріщинами стосовно до методу прослідковування. Для мінімізації часу роботи ЕОМ у цьому підході НДС пластинок знаходили на основі інтегральних рівнянь з невідомими на тріщинах функціями, ядра яких визначали через введені розв'язки типу Гріна. Розв'язування інтегральних рівнянь проведено методом механічних квадратур, причому коефіцієнти відповідної їм СЛАР обчислюються безпосередньо через введені розв'язки типу Гріна. Форму тріщини в процесі прослідковування визначено на основі КІН для тріщини на попередньому кроці, відомих положень механіки руйнування та діаграм втомних руйнувань. Параметричне рівняння описували сплайнами, які будували на основі координат вузлових точок на тріщині та кутів нахилів дотичних у її вершинах.

2. Побудовано універсальні комп'ютерні програми для розрахунку процесу втомних руйнувань у смузі, півнескінченній і круговій пластинках, пластинках з еліптичним отвором. Урахування їх форми в програмах здійснюється шляхом використання процедур для обчислення відповідного розв'язку типу Гріна. Для смуги такий розв'язок зображено у вигляді суми двох складових, причому перша, виражена через елементарні функції, виявилась практично точним розв'язком задачі.

3. Досліджено вплив форми і розміщення тріщин, виду прикладеного навантаження на процес втомних руйнувань у пластинках різної форми стосовно до сталі 75ХГСТ з використанням - критерію для визначення напрямків та формули Яреми-Микитишина для опису швидкості підростання втомних тріщин.

4. Прямолінійні нахилені або слабовикривлені тріщини в пластинках за одновісного розтягу підростають, як правило, перпендикулярно до напрямку дії зусиль. У смузі за такого розтягу траєкторії поширення центральних тріщин практично такі ж, як і в нескінченній пластинці.

5. При поперечному розтязі смуги рівномірно розподіленими зусиллями або зосередженими силами, вершини центральної нахиленої тріщини спочатку дещо віддаляються від ближчої границі, а далі, після зміни напрямку руху, повільно наближаються до неї. У нецентральній тріщині аналогічно переміщується ближча до границі вершина, а віддалена - одразу наближається до тієї ж границі вздовж прямої. Паралельні до границі тріщини підростають безпосередньо в напрямку до границі. Центральна нахилена тріщина в смузі за всестороннього розтягу поширюється практично вздовж прямої, на якій вона розміщена. У тріщинах в смузі та крузі, які розміщені близько до границі, за такою ж траєкторією переміщується ближча до границі вершина, а віддалена - рухається в тому ж напрямку вздовж слабовикривленої кривої. При триточковому згині балки-смуги у центральних зсунутих вправо тріщинах переміщується тільки нижня вершина вздовж прямої, що нахилена вправо від центральної сили. Найбільше відхиляється тріщина, що розміщена посередині між центральною силою та опорою. Встановлено випадки, коли підростають паралельні до границь тріщини.

6. При стиску зосередженими силами кругової пластинки паралельні до них або центральні нахилені і слабовикривлені тріщини підростають до прямої, вздовж якої діють сили. У несиметричному випадку аналогічно переміщується ближча до границі вершина тріщини, а віддалена - рухається вздовж прямої, на якій розміщена тріщина. Отримані результати використано у ВАТ "Дрогобицький долотний завод" для прогнозування втомних руйнувань роликів.

7. Досліджено процес руйнування вертикальної тріщини біля кругового отвору радіуса R. При всесторонньому розтязі пластинки отвір "відштовхує" симетрично розміщену тріщину довжини R. У випадку розтягу пластинки перпендикулярно до тріщини її вершини в процесі руйнування спочатку відхиляються від отвору, а далі переміщуються, як і у випадку суцільних пластинок, перпендикулярно до дії зусиль. При розтязі пластинки паралельно до тріщини характер руйнування істотно залежить від відстані c між тріщиною і отвором. При близьких відстанях, коли 1.12 в процесі руйнування тріщина спочатку віддаляється від отвору і далі поширюється практично перпендикулярно до напрямку дії зусиль. При 1.13 тріщини наближаються до отвору. Встановлені особливості поширення тріщин справджуються і для більш загальних випадків, у тому числі, і для початково криволінійної та нахиленої тріщини.

8. Встановлено ефективність методу сповільнення руху втомних тріщин способом короткочасної зміни виду навантаження. Після такої зміни тріщина не поширюється, або при високих рівнях навантаження підростає з меншою швидкістю.

Список опублікованих праць

1. Саврук М.П., Максимович Я.В. Побудова розв'язку типу Гріна задачі теорії пружності для смуги // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 1999. - 35, № 6. - С.17-21.

2. Гембара В.М., Максимович Я.В., Шваб'юк В.І. Пружна рівновага смуги, навантаженої штампом і зосередженими силами // Наукові записки Української академії друкарства. -Львів, 1999. - Вип. 1. С. - 129-133.

3. Дубецький С.А., Когут М.С., Максимович Я.В. Дослідження руйнування крихких тіл внаслідок їх контактної взаємодії з жорсткими штампами // Проблемы прочности. - 2001. - № 2. - С.45-51.

4. Шваб'юк В.І., Максимович Я.В., Максимович О.В. Розрахунок напружень в анізотропних пластинках, навантажених зосередженими силами // Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій. - Львів: Каменяр, 2002. - Вип. 5. - С.203-210.

5. Кушнір Р.М., Максимович Я.В., Соляр Т.Я. Термопружний стан багатозв'язних пластинок з тепловіддачею // Машинознавство. - 2004. - № 3. - С.13 - 17.

6. Максимович Я.В., Шваб'юк В.І. Розрахунок криволінійних і ламаних траєкторій квазістатичного підростання тріщин в пластинках // Наукові нотатки: Міжвузівський збірник (за напрямом "Інженерна механіка"). - Луцьк: Луцький держ. технічний ун-тет, 2004. - Вип. 14 - С.176-186.

7. Новосад Є.М., Максимович Я.В. Визначення методом Мусхелішвілі напружено-деформованого стану тіла з масовими силами // Вісн. держ. ун-ту "Львів. політехніка". Прикл. математика. - 1996. - № 364. - С.117-121.

8. Осадчук В.А., Гембара В.М., Максимович Я.В. Покращення збіжності розв'язку Мусхелішвілі для пружного кільця // Вісн. держ. ун-ту "Львів. політехніка". Прикл. математика. - 1998. - № 346. - С.48-52.

9. Гембара В.М., Максимович Я.В. Алгоритми та програми для розрахунку напружень у багатозв'язних пластинках з тріщинами // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій (вип. 2) / Під ред. В.В. Панасюка: В 3 т. - Т. 2: Аналітичні методи в механіці руйнування матеріалів. - Львів: Каменяр, 1999. - С.264-268.

10. Божидарнік В.В., Максимович О.В., Максимович Я.В. Алгоритм та комплекси програм для розрахунку траєкторій та швидкості розповсюдження втомних тріщин в пластинках // Механічна втома металів: Праці міжнародного колоквіуму, Тернопіль, 2006.- Тернопільський державний технічний університет ім. Пулюя. - С. 456-461.

11. Гембара В.М., Максимович Я.В. Застосування методу Майзеля для визначення термопружного стану пластинок з тепловіддачею // Сучасні проблеми механіки і математики Матеріали міжнар. конф., Львів, 25-28 травня 1998. - Львів, 1998. - C.102.

12. Божидарнік В.В., Максимович Я.В., Думанський О.І. Розрахунок напруженого стану в обмежених багатозв'язних пластинах з тріщинами // I наук. симп. "Сучасні проблеми інженерної механіки": Тези доп. - Луцьк, 2000. - С.10.

13. Думанський О.І., Гембара В.М., Максимович Я.В. Чисельний алгоритм визначення пружного стану пластин на основі методів інтегральних рівнянь і функцій типу Гріна // Всеукр. наук. конф. "Нові підходи до розв'язання диференц. рівнянь" (Дрогобич, 15-19 вер. 1997): Тези доп. - С.45.

14. Кушнір Р.М., Максимович Я.В., Соляр Т.Я. Уточнення перетворення Лапласа на основі рядів Фур'є і його застосування до розв'язування квазістатичних задач термопружності // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Матеріали Всеукр. наук. конф. (Львів, 23-25 вересня 2003 р.) - Львів. нац. ун-т. ім. Івана Франка, 2003. - С. 80 - 81.

Размещено на Allbest.ru

...