Дослідження періодичних розв'язків в динаміці твердого тіла

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 531.38

ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ'ЯЗКІВ В ДИНАМІЦІ ТВЕРДОГО ТІЛА

01.02.01 - теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КУЧЕР Олена Юріївна

Донецьк 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: кандидат фіз.- мат. наук, с. н. с. Гашененко Ігор Миколайович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу прикладної механіки.

Офіційні опоненти: доктор фіз.- мат. наук, професор Тхай Валентин Миколайович, Інститут проблем керування РАН (м. Москва), провідний науковий співробітник;

доктор фіз.- мат. наук, професор Лесіна Марія Юхимівна, Донецький національний технічний університет, професор кафедри вищої математики.

Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ).

Захист відбудеться " 7 " вересня 2006 р. о 16 ⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк-114, вул. Р. Люксембург, 74).

Автореферат розісланий 03.08.2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради О.А.Ковалевський

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Абсолютно тверде тіло є найважливішим складовим елементом різних механічних систем. Моделювання руху фізичних об'єктів, засноване на запропонованих Ейлером аналітичних методах дослідження руху абсолютно твердого тіла, знаходить широке практичне застосування в багатьох конструкціях сучасної техніки - від найпростіших механізмів до космічних супутникових систем. Практична важливість розробок в динаміці твердого тіла та їх теоретична складність призвели до виникнення актуальних наукових напрямків, серед яких значне місце займає задача про рух твердого тіла навколо нерухомої точки.

Класична задача динаміки твердого тіла займає центральне місце в аналітичній механіці. Сформовано і активно розвиваються перспективні наукові напрямки дослідження різних задач динаміки твердого тіла і їх узагальнень, засновниками яких є: в Україні - П.В. Харламов, В.М. Кошляков, І.О. Луковський, О.Я. Савченко, О.М. Ковальов, А.А. Мартинюк; в Росії - В.В. Румянцев, В.В. Козлов, А.Т. Фоменко, Ф.Л. Черноусько, В.Ф. Журавльов, В.В. Белецький, О.Д. Брюно та інші.

У задачі про рух твердого тіла навколо нерухомої точки важливе значення мають точні періодичні розв'язки рівнянь Ейлера-Пуассона. Вони не тільки дозволяють вивчити загальні властивості руху твердого тіла, але й дають можливість аналітичними і якісними методами описати поведінку збурених розв'язків, дослідити орбітальну стійкість періодичних рухів. На думку багатьох вчених (Ф. Клейна, А. Зоммерфельда, М.Є. Жуковського) суттєві результати в дослідженнях руху твердого тіла в загальному випадку може дати аналіз окремих класів точних розв'язків рівнянь руху, що залежать від параметрів.

Систематичний пошук інтегровних випадків класичної задачі аналітичної динаміки привів до відкриття десяти сімей ізольованих періодичних розв'язків рівнянь Ейлера-Пуассона. Суттєву роль у розвитку геометричних методів дослідження рухів відіграли кінематичні рівняння П.В. Харламова і створення на їх основі конструктивного методу годографів, що дозволив одержати наочне уявлення про рух тіла в кожному відомому розв'язку задачі. Відзначимо сучасні роботи Г.В. Горра, В.М. Тхая, А.П. Маркєєва, у яких були розвинуті методи дослідження орбітальної стійкості періодичних рухів твердого тіла з нерухомою точкою.

Таким чином, детальний якісний аналіз відомих сімей точних періодичних розв'язків рівнянь Ейлера-Пуассона, в основу якого покладено обчислення показників Ляпунова і дослідження орбітальної стійкості періодичних рухів, є важливою і актуальною проблемою динаміки твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких представлено у дисертації, проводилися у відповідності з планами наукових досліджень відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 2001-2006 роки за бюджетними темами 1.1.4.6 "Розробка нових математичних методів дослідження сучасних задач аналітичної динаміки твердого тіла" (№0101U001093), “Якісні методи дослідження нелінійних механічних систем, їх розвиток та застосування до задач динаміки твердого тіла” (№0106U000045), виконаних згідно з постановою Бюро Відділення математики НАН України (наказ №9 від 06.12.2000, наказ №11 від 27.10.2005).

Мета і задачі досліджень. Метою роботи є вивчення властивостей періодичних рухів вагомого твердого тіла навколо нерухомої точки, оцінка якісних характеристик цих рухів, поділ простору параметрів на підмножини з різними типами рухів і якісний опис структури збурених траєкторій. Для досягнення цієї мети розв'язані наступні задачі: 1) топологічна класифікація інтегральних многовидів, що несуть періодичні розв'язки; 2) аналітичний аналіз періодичних розв'язків і їх граничних випадків; 3) обчислення характеристичних показників і визначення областей орбітальної нестійкості рухів; 4) аналіз методом перетинів Пуанкаре траєкторної структури фазового простору в малому околі точних періодичних розв'язків.

Наукова новизна одержаних результатів:

-- запропоновано новий систематичний підхід у вивченні точних періодичних розв'язків задачі про рух важкого твердого тіла з нерухомою точкою. Вперше досліджено топологічні властивості інтегральних многовидів, що несуть точні розв'язки. Вивчено топологічну структуру фазових перетинів Пуанкаре і її залежність від параметрів;

-- вперше обчислено показники Ляпунова і вилучено області динамічної нестійкості руху для семи відомих сімей точних періодичних розв'язків рівнянь Ейлера-Пуассона. Ці результати мають важливе значення в дослідженні орбітальної стійкості рухів твердого тіла. Вивчено граничні випадки і визначено механізм появи вироджених рухів;

-- проведено детальний аналіз траєкторної структури розв'язків: об'єднання аналітичних оцінок граничних випадків, наближених обчислень показників Ляпунова і результатів чисельного моделювання дозволило описати типові і вироджені випадки, якісно описати структуру збурених траєкторій в околі точних розв'язків, систематично і повно їх класифікувати.

Усі результати дисертаційної роботи є новими і вірогідними, підтвердженими результатами комп'ютерного моделювання, яке виконано з достатньою точністю.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень мають теоретичний характер. Розроблено якісний підхід у вивченні періодичних розв'язків класичної задачі про рух вагомого твердого тіла навколо нерухомої точки. Отримані результати відіграють важливу роль у вивченні орбітальної стійкості гамільтонових систем з двома ступенями волі і можуть бути використані при розв'язанні прикладних задач механіки. Запропонована методика досліджень може знайти застосування у вивченні періодичних розв'язків систем звичайних диференціальних рівнянь більш загального вигляду. траєкторія твердий тіло простір

Особистий внесок здобувача. Усі результати, включені в дисертацію, одержані автором особисто. У двох спільних публікаціях з науковим керівником І.М. Гашененком йому належать постановка задач і аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів досліджень. Основні результати досліджень, поданих у дисертації, доповідались та обговорювались на таких наукових семінарах та конференціях:

8-й Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", Донецьк, 2002р.;

The 7^th Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications, Poland, Јуdџ, December, 8-11, 2003р.;

Міжнародній конференції "Классические задачи динамики твердого тела", Донецьк, 2004р.;

9-й Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", Донецьк, 2005р.;

The 8^th Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications, Poland, Јуdџ, December, 12-15, 2005р.;

семінарах відділів прикладної та технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк (2002 - 2006 рр., керівник семінару член-кор. НАН України О.М. Ковальов).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 9 наукових працях, серед яких 3 статті - у наукових фахових журналах, які входять до переліку ВАК України, 2 статті - у збірниках праць міжнародних конференцій, 4 - тези доповідей міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 125 сторінках та складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел із 82 найменувань, містить 4 таблиці і 24 ілюстрації.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, викладено наукову новизну і теоретичне значення одержаних результатів, наведено відомості про апробацію результатів дисертації.

У першому розділі викладено етапи розвитку і основні досягнення динаміки твердого тіла, проаналізовано відомі результати досліджень періодичних розв'язків задачі руху твердого тіла.

Диференціальні рівняння Ейлера-Пуассона, що описують поведінку твердого тіла у гравітаційному полі, мають вигляд:

(1.1)

де - тензор інерції у точці закріплення, - кутова швидкість тіла в рухливому базисі, - одиничний вектор вертикалі, r - вектор, спрямований від нерухомої точки до центра мас тіла.

Першими інтегралами системи (1.1) є

(1.2)

Надано опис всіх відомих точних розв'язків рівнянь Ейлера-Пуассона для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки. Надана інформація про розв'язки Стєклова, Горячева, Чаплигіна, Ковалевського, Гріолі, Докшевича, Коносевича-Поздняковича, Бобильова - Стєклова, Гесса, рухи фізичного маятника, інтегровні випадки, а також наведено роботи, у яких ці розв'язки досліджувалися. Із огляду літератури зроблено висновок про доцільність досліджень збурених розв'язків системи (1.1).

У другому розділі наведено відомі методи топологічного аналізу і класифікації тривимірних інтегральних многовидів механічних систем, описано метод перетинів Пуанкаре, який є основним методом дослідження фазових траєкторій при комп'ютерному моделюванні динамічних систем, розглянуто методи, які дозволяють обчислити та оцінити характеристичні показники для періодичних розв'язків системи звичайних диференціальних рівнянь.

У фазовому просторі системи (1.1) вилучимо тривимірну компактну підмножину , що інваріантна відносно фазової течії (1.1). Множину називають інтегральним многовидом або ізоенергетичною поверхнею системи (1.1). Ефективним потенціалом системи (1.1) називають функцію

задану на сфері . Топологія ізоенергетичних поверхонь і їх перебудови при зміні значення енергії цілком визначаються функцією . Топологічний тип многовиду змінюється на критичних рівнях , g, що належать до біфуркаційної множини (h, g). В якості глобального перетину Пуанкаре, що дозволяє вивчити динамічну систему на , виберемо поверхню Gashenenko I.N., Richter P.H. Enveloping surfaces and admissible velocities of heavy rigid bodies// Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2004. - 14, №8. - P.2525-2553.

, де .

Розглянуто точні і наближені методи, які дозволяють обчислити характеристичні показники для періодичних розв'язків. Окремий розв'язок задачі про рух твердого тіла наведемо у вигляді Без обмеження загальності будемо вважати цей розв'язок -періодичним і покладемо , Запишемо лінеаризовану відносно систему рівнянь збуреного руху (рівняння у варіаціях)

, . (2.1)

Матриця фундаментальної системи розв'язків рівняння (2.1) задовольняє співвідношенням

, (2.2)

матриця називається матрицею монодромії, а її власні значення - мультиплікаторами рівняння у варіаціях. Мультиплікатори є розв'язками характеристичного рівняння

Нехай - мультиплікатори рівняння у варіаціях (2.1), тоді характеристичними показниками рівняння (2.1) є величини

(2.3)

У дисертаційній роботі досліджуються періодичні розв'язки, для яких рівняння у варіаціях (2.1) мають спеціальний вигляд

, (2.4)

де Матриці складаються з парних (непарних) функцій. Позначимо парні і непарні розв'язки системи (2.4). В.М. Тхай¹ Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли// Прикл. математика и механика.-2000. - 64, вып. 5. - С.848-857. довів, що для обчислення характеристичних показників оборотної лінійної системи (2.4) достатньо побудувати тільки два окремих розв'язки задачі Коші з початковими умовами

Відмінні від одиниці мультиплікатори оборотної системи (2.4) є коренями квадратного характеристичного рівняння

. (2.5)

Ці методи застосовано в наступних розділах для вивчення відомих сімей періодичних розв'язків системи (1.1).

У третьому розділі для восьми періодичних розв'язків (Стєклова, Горячева, Чаплигіна, Ковалевського, Гріолі, Докшевича і Коносевича-Поздняковича) рівнянь Ейлера-Пуассона визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів , яким належать ці розв'язки, і типи двовимірних поверхонь перетину .

Побудовано біфуркаційні діаграми і знайдено критичні значення інтегральних сталих, визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів, яким належать відомі точні розв'язки системи Ейлера-Пуассона. Встановлено, що невироджені поверхні гомеоморфні многовидам S³, RP³, S¹xS². Фазові перетини у всіх випадках гомеоморфні замкненим поверхням роду 1 і 3, які позначено T ² і відповідно.

Табл. 3.1, 3.2 містять інформацію про загальну структуру розв'язків. В них зазначено: топологічний тип зв'язних компонент і ; незалежні параметри, які характеризують точні розв'язки; число циклів періодичної траєкторії при послідовному поверненні на ; число траєкторій кожного розв'язку на одній компоненті ; номери тих областей, яким належать параметри (, )=(A₂/A₁, A₃ /A₁) розглянутої сім'ї розв'язків.

Табл. 3.1

Періодичні розв'язки у випадку

Розв'язок			Параметри	Цикли	Траєкторії
Стєклов	RP3	T2	(2):	2	2	I-IV
Горячев	RP3	T2	(1): =A3/A2	2	2	IV
Чаплигін	S3	T2	(1): =A2/A1	2	2	IV
Ковалевський	S3, RP3, S1xS2	T2	(1): =A3/A2	4 4	1 1	IV IV
Коносевич - Позднякович	S3, S1xS2	T2	(0) (0)	4 6	1 1	II II
Докшевич	RP3	T2	(0)	2	2	IV

Табл. 3.2

Періодичні розв'язки у випадку

Розв'язок			Параметри	Цикли	Траєкторії
Гріолі	S3, S1xS2	T2	(2):	1 1	1 1
Докшевич	S3	T2	(2):	1	2

У четвертому розділі досліджено якісну поведінку фазових траєкторій в малому околі періодичних розв'язків з одним параметром. Збурення було обрано таким чином, що інтеграли (1.2) зберігають ті самі значення, що і для точних розв'язків.

У підрозділі 4.1 обчислено матриці монодромії і їх мультиплікатори, знайдено характеристичні показники системи (2.1) для періодичних розв'язків без параметрів, знайдених Докшевичем, Коносевичем і Поздняковичем.

Для розв'язку Докшевича наближені значення параметрів дорівнюють

, .

Характеристичні показники _1,2=і0.11719557 дозволяють зробити висновок про орбітальну стійкість даного розв'язку, що підтверджується результатами комп'ютерного моделювання. На поверхні перетину точка, що відповідає періодичній траєкторії, розташована серед сім'ї концентричних кіл, які обмежують періодичну траєкторію на в малому об'ємі припустимого фазового простору.

Для першого варіанта розв'язку Коносевича-Поздняковича маємо

, , ,

характеристичні показники дорівнюють _1,2=0.351622014. Для другого варіанта

, ,

характеристичні показники дорівнюють _1,2=1.086291338. Динамічна система (1.1) є локально нестійкою в околі розв'язку Коносевича-Поздняковича, тому що має дійсні показники Ляпунова _1,2. Результати комп'ютерного моделювання підтверджують цей висновок. На фазовому перетині точки, відповідні періодичному розв'язку, розташовані в області орбітально нестійких рухів.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розв'язок Н. Ковалевського розглянуто в підрозділі 4.2.1. У випадку _* 0.621911645 рух тіла наближається до стійкого рівномірного обертання навколо вертикальної осі. Тоді характеристичне рівняння системи (2.1) має вигляд

. (4.1)

Після заміни часу і приведення періоду до 2 знайдено характеристичні показники

Результати дослідження орбітальної стійкості однопараметричної сім'ї розв'язків Ковалевського зображені на рис. 4.1, а). Комплексні і дійсні показники тут зображені на одному рисунку. Заштрихована область під кривою, яка зображує параметричну залежність показника з ненульовою дійсною частиною. Окрім інтервалів нестійкості, що з'являються при резонансах з цілими власними частотами ( = 2, 3), існує вузький інтервал напівцілого резонансу з частотою = 5/2. Частоти всіх основних резонансів позначено горизонтальними лініями на рис. 4.1, а).

Фазовий перетин орбітально стійкого розв'язку Ковалевського зображено на рис. 4.2, г). У випадку резонансу з показниками _1,2=2і нестійкий періодичний розв'язок (рис. 4.2, б)) відповідає точці самоперетину вісімки, утвореної асимптотичними траєкторіями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Якщо (10/27, 0.39066), то розв'язок Ковалевського нестійкий, хаотичні траєкторії збуреного руху заповнюють тривимірні області фазового простору (рис. 4.2, а)). На рис. 4.2, в) показано перетин фазового простору при _1,2 2.5і. На рис. 4.2, д)-з) показано послідовність перебудов, що відбуваються на поверхні перетину, якщо параметр проходить інтервал (0.479117, 0.48851) динамічної нестійкості.

Для розв'язку Чаплигіна (підрозділ 4.2.2) спочатку розглянуто граничний випадок =3/2, коли тіло рухається як фізичний маятник. При умовах

(4.2)

із системи (1.1) отримані рівняння

При позначеннях , , , , рівняння в варіаціях (2.1) зведено до системи

, (4.3)

де ₂, - відомі функції t, . Один окремий розв'язок

(4.4)

системи (4.3) дозволяє, згідно з методом В.М. Тхая, знайти характеристичні показники (4.3). Доведено, що при умовах (4.2) усі шість показників (2.3) є нульовими.

Для всіх припустимих значень параметра розв'язку Чаплигіна наближено обчислено характеристичні показники лінеаризованої системи рівнянь збуреного руху. Вони приймають тільки дійсні значення. Залежність характеристичних показників ₁ від параметра показано на рис. 4.1, б). Додатні показники неперервно і монотонно зростають від значення ₁=0 при =1.5 до максимального значення ₁=0.242073 при 1.59650.

Стійкість розв'язків Горячева залежить від значень безрозмірного параметра . Комплексні і дійсні показники ₁ зображені на рис. 4.1, в). Заштрихована область під кривою з ненульовими дійсними частинами характеристичних показників. Якщо (3/8, 0.384922), то розв'язок Горячева нестійкий. У випадку резонансу з показниками _1,2=0 нестійкий періодичний розв'язок відповідає точці самоперетину вісімки, яку формують асимптотичні траєкторії в околі розв'язку.

Нехай =1/2, тоді знаходимо A₁=8/5, A₂=2, A₃=1, ₁=₃=0, ₂=0, цей граничний випадок відповідає рівномірним обертанням твердого тіла навколо центра мас. Якщо ₂ - кутова швидкість, то T=4/₂ - період розв'язку Горячева. В канонічних змінних Андуайє-Депрі обертання записані у вигляді

.

Тоді рівняння у варіаціях (2.1) зведемо до системи

. (4.5)

Інтегруванням (4.5) одержано матрицю монодромії

,

де .

У відповідності з (2.3) доведено, що ненульові характеристичні показники розв'язку Горячева при 1/2 наближаються до _1,2 = і.

У п'ятому розділі досліджено якісну поведінку фазових траєкторій у малому околі періодичних розв'язків з двома параметрами. В основу проведеного аналізу було покладено обчислення показників Ляпунова і дослідження орбітальної стійкості періодичних розв'язків. Для граничних випадків було отримано прості аналітичні формули, які дозволили одержати точні значення характеристичних показників. Це дало можливість перевірити точність обчислення показників за допомогою наближених чисельних методів, яка виявилась достатньою.

Розв'язок Гріолі розглянуто у підрозділі 5.1. Нелінійний аналіз орбітальної стійкості проведено у роботах А.З. Брюма, В.М. Тхая і А.П. Маркєєва. Ці результати застосовано для якісного опису збурених розв'язків. Встановлено, що області динамічної нестійкості розв'язків Гріолі мають той же самий вигляд, як і у випадку Докшевича (рис. 5.1, а)): розгалуження резонансних кривих, що відповідають частотам , відбувається в точках

де (, )

Таким чином, встановлена якісна аналогія між двома різними розв'язками динаміки твердого тіла. Наведено результати комп'ютерного моделювання розв'язків, що знаходяться в малому околі розв'язку Гріолі. Встановлено два типи розщеплення сепаратрисних поверхонь при резонансах.

Розв'язок Докшевича розглянуто у підрозділі 5.2. В граничному випадку, коли A₂=A₃, розв'язок Докшевича вироджується в окремий випадок прецесійних рухів гіроскопу Лагранжа. Лінеаризовані рівняння (2.1) збуреного граничного руху мають сталі коефіцієнти, а власна частота малих коливань в околі незбуреного руху записується у вигляді

(5.1)

Отримані із формул (5.1) співвідношення

(5.2)

дозволяють обчислити значення безрозмірних параметрів , , при яких криві резонансів перетинають відрізок P₂P₃. Розгалуження резонансних кривих, що відповідають , відбувається в точках

(5.3)

Період граничного руху (при регулярній прецесії гіроскопу Лагранжа) залежить від параметрів наступним чином:

, де . (5.4)

В результаті чисельного дослідження розв'язку Докшевича виявлено дві області параметричного резонансу. На рис. 5.1, а) ці області заштриховано. В незаштрихованих областях розв'язки, як правило, орбітально стійкі. Криві найбільш суттєвих резонансів (до четвертого порядку включно) показано на рис. 5.1, а).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Результати чисельного інтегрування рівнянь (1.1) в околі стійкого періодичного розв'язку показано на рис. 5.2, а) - в). Траєкторії збуреного руху належать інваріантним торам, які завжди існують в околі інтегровного випадку Лагранжа. Нестійкі розв'язки Докшевича на рис. 5.2, г) (=2), д) (=3/2) належать сепаратрисам і відповідають точкам самоперетину інваріантних кривих. На рис. 5.2, е) - з) показано перетини орбітально нестійких траєкторій для області параметричного резонансу, яка розташована між точками P₁P₄ на рис. 5.1, а) (=3/2). Ці рисунки ілюструють "розщеплення" сепаратрисної поверхні.

Розв'язок Стєклова розглянуто у підрозділі 5.3. У припущеннях = 1/2, (1/2, 1) (1, 3/2) тверде тіло буде коливатися навколо нерухомої горизонтальної осі як фізичний маятник: ₁=₂=0, ₃=0 (ці коливання з кутовою швидкістю ₃(t) відбуваються навколо більшої осі інерції).

В іншому граничному випадку, коли 1, (0, 1/2), знаходимо

, = | -1 |. (5.5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рух твердого тіла мало відрізняється від обертань осесиметричного гіроскопу навколо його центру мас. Період обертань наближається до ₀: Заміною часу розв'язок Стєклова перетворено у 2-періодичний. Отримано результат:

якщо , то рівняння в варіаціях (2.1) має уявні характеристичні показники

для < 1, (5.6)

та дійсні характеристичні показники

для > 1. (5.7)

Присутність дійсних показників (5.7) дозволила довести існування нестійких рухів, тобто перший метод Ляпунова може бути застосований для аналізу асимптотичних розв'язків системи (1.1) при умовах A₂ >A₁ >2A₃, r₂=r₃=0.

Результати дослідження орбітальної стійкості розв'язків Стєклова зображені на рис. 5.1, б). Внутрішнім точкам трикутника P₁P₃P₄ (<1) відповідають, як правило, орбітально стійкі розв'язки. Однак, ці розв'язки можуть бути нестійкими на кривих резонансів, які показано до четвертого порядку включно. Детальний нелінійний аналіз орбітальної стійкості розв'язків Стєклова у резонансних випадках був проведений А.П. Маркєєвим¹¹ Markeev A.P. On the Steklov case in rigid body dynamics// Regular and Chaotic Dynamics. - 2005. - 10, № 1. - P. 81-93.. Із аналізу характеристичних показників для >1, що відповідають внутрішнім точкам трикутника P₂P₃P₄, випливає, що розв'язок Стєклова в цій області є орбітально нестійким при всіх припустимих значеннях параметрів , .

Автор вдячна ректору Донецького інституту залізничного транспорту, к.т.н. В.Й. Поддубняку, який консультував обчислювальну частину цієї роботи.

Висновки

В роботі вивчено основні якісні властивості восьми сімей періодичних окремих розв'язків класичної задачі про рух важкого твердого тіла навколо нерухомої точки, знайдених В.О. Стєкловим, Д.Н. Горячевим, С.О. Чаплигіним, Н. Ковалевським, Дж. Гріолі, А.Й. Докшевичем, Б.І. Коносевичем і Є.В. Поздняковичем. При цьому отримано наступні результати:

1. Вперше визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів, яким належать відомі точні розв'язки рівнянь Ейлера-Пуассона. Для всіх розв'язків побудовано біфуркаційні діаграми і знайдено критичні значення h, g, при яких відбувається зміна топології ізоенергетичних поверхонь Q. Зокрема доведено, що поверхні Q, які несуть розв'язки Н. Ковалевського, гомеоморфні компактним многовидам S³, RP³, S¹xS²; Стєклова, Горячева, Докшевича - RP³; Чаплигіна, Докшевича - S³; Гріолі, Коносевича-Поздняковича - S³, S¹xS².

2. В фазовому просторі задачі побудовано двовимірні поверхні перетинів Пуанкаре спеціального вигляду і вивчено їх біфуркації. Для точних розв'язків вперше досліджено нерухомі (періодичні) точки відображень Пуанкаре, визначено біфуркаційну множину, що поділяє (h,g) на підобласті з різними типами перетинів. Методом фазових перетинів виконано детальний комп'ютерний аналіз траєкторної структури динамічної системи в околі точних періодичних розв'язків рівнянь Ейлера-Пуассона.

3. Вивчено залежність точних періодичних розв'язків від параметрів, проведено аналітичний аналіз граничних і вироджених випадків. Обчислено матриці монодромії і їх мультиплікатори, обчислено характеристичні показники лінеаризованої системи рівнянь збуреного руху для періодичних розв'язків без параметрів, знайдених Докшевичем, Коносевичем і Поздняковичем.

4. Вивчено якісні властивості однопараметричних сімей розв'язків Ковалевського, Горячева і Чаплигіна. Обчислено характеристичні показники в залежності від параметра . Досліджено властивості матриці монодромії, визначено інтервали орбітальної нестійкості. Вперше виявлено, що розв'язок Чаплигіна нестійкий для всіх припустимих значень , розв'язок Горячева нестійкий для (3/8, 0.384922), розв'язок Ковалевського нестійкий для (10/27, 0.39066)(0.479117, 0.48851). Наведено таблиці поділяючих значень параметрів.

5. Вивчено якісні властивості двопараметричних сімей розв'язків Стєклова, Докшевича, Гріолі. На площині безрозмірних параметрів (, ) вилучено області динамічної нестійкості точних розв'язків, побудовано криві резонансів (до 4-го порядку включно). Вперше дослідженнями граничних випадків (прецесій, маятникових рухів і рівномірних обертань) усунено неоднозначність визначення характеристичних показників для розв'язків Стєклова і Докшевича. Дано якісний опис траєкторної структури фазового простору в околі точних періодичних розв'язків.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Гашененко И.Н., Кучер Е.Ю. Анализ изоэнергетических поверхностей для точных решений задачи о движении твердого тела // Механика твердого тела. 2001. Вып. 31. С. 18-30.

Гашененко И.Н., Кучер Е.Ю. Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера - Пуассона // Механика твердого тела. 2002. Вып. 32. С. 50-59.

Кучер Е.Ю. Характеристические показатели периодических решений Стеклова и Чаплыгина // Механика твердого тела. 2003. Вып. 33. С. 33-39.

Kucher E.Yu. Lyapunov's exponents of periodic solutions in dynamics of rigid body // Proceedings of the 7^th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. Poland, Јуdџ, December, 8-11, 2003. Vol. 1. P. 353-360.

Kucher E.Yu. Qualitative analysis of periodic solutions in rigid body dynamics // Proceedings of the 8^th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. Poland, Јуdџ, December, 12-15, 2005. Vol. 2. P. 745-752.

Кучер Е.Ю. Моделирование динамики твердого тела в окрестности периодических решений Горячева и Чаплыгина // Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Тезисы докл. 8-й межд. конф. Донецк: ИПММ НАНУ, 2002. С.70.

Кучер Е.Ю. О малых возмущениях периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докл. межд. конф. Донецк: ИПММ НАНУ, 2004. С.42.

Кучер Е.Ю. Анализ неустойчивых периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона // Устойчивость, управление и динамика твердого тела. Тезисы докл. 9-й межд. конф. Донецк: ИПММ НАНУ, 2005. С.85-86.

Kucher E.Yu. Qualitative analysis of periodic solutions in rigid body dynamics // Proceedings of the 8^th Conference on Dynamical Systems: Theory and Applications. Poland, Јуdџ, December, 12-15, 2005. Abstracts. P.100.

Анотація

Кучер О. Ю. Дослідження періодичних розв'язків в динаміці твердого тіла. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню точних розв'язків класичної задачі про рух твердого тіла навколо нерухомої точки і якісному опису поведінки збурених траєкторій у малому околі точних періодичних розв'язків, знайдених В.О. Стєкловим, Д.Н. Горячевим, С.О. Чаплигіним, Н. Ковалевським, Дж. Гріолі, А.Й. Докшевичем, Б.І. Коносевичем і Є.В. Поздняковичем.

Побудовано біфуркаційні діаграми і знайдено критичні значення інтегральних сталих, визначено топологічні типи тривимірних інтегральних многовидів, яким належать відомі точні розв'язки системи Ейлера-Пуассона. Для семи сімей відомих точних періодичних розв'язків обчислено показники Ляпунова і вилучено області параметрів, у яких ці розв'язки нестійкі; отримано точні значення показників Ляпунова для граничних і вироджених випадків, що належать до регулярних прецесій, маятникових коливань і рівномірних обертань; досліджено фазові портрети динамічної системи у малому околі точних розв'язків.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в аналітичній механіці і теорії стійкості.

Ключові слова: ізоенергетичні поверхні, фазові перетини Пуанкаре, показники Ляпунова, орбітальна стійкість, рівняння у варіаціях, біфуркаційна діаграма, параметричний резонанс.

Аннотация

Кучер Е.Ю. Исследование периодических решений в динамике твердого тела. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2006.

Диссертационная работа посвящена детальному и систематическому изучению известных семейств точных периодических решений классической задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Основная цель проведенных исследований - изучение качественных свойств периодических движений тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, оценка качественных и количественных характеристик этих движений, анализ орбитальной устойчивости, разделение пространства параметров на подмножества с различными типами движений и качественное описание структуры возмущенных траекторий. Применяемые в работе методы базируются на топологических и качественных методах изучения интегральных многообразий механических систем с симметрией, современных интерпретациях метода фазовых сечений Пуанкаре, графическом компьютерном моделировании, методах вычисления характеристических показателей уравнения в вариациях.

Изучено восемь семейств периодических решений уравнений Эйлера -Пуассона, авторами которых являются В.А Стеклов, Д.Н. Горячев, С.А. Чаплыгин, Н. Ковалевский, Дж. Гриоли, А.И. Докшевич, Б.И. Коносевич и Е.В. Позднякович. Для всех решений построены бифуркационные диаграммы и найдены критические значения интегральных постоянных, указаны топологические типы компактных ориентируемых трехмерных многообразий, несущих точные периодические решения. Для семи известных семейств точных решений вычислены показатели Ляпунова и выделены области динамической неустойчивости в пространстве параметров механической системы; найдены точные значения характеристических показателей для граничных и вырожденных случаев, описывающих простейшие классы периодических движений - регулярные прецессии, колебания физического маятника и равномерные вращения вокруг вертикали; исследована параметрическая эволюция фазовых портретов динамической системы в малой окрестности точных периодических решений.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут быть использованы в аналитической механике и теории устойчивости.

Ключевые слова: изоэнергетические поверхности, фазовые сечения Пуанкаре, показатели Ляпунова, орбитальная устойчивость, уравнение в вариациях, бифуркационная диаграмма, параметрический резонанс.

Annotation

Kucher E.Yu. Investigation of periodic solutions in rigid body dynamics. - Manuscript.

Thesis for a candidate degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2006.

The dissertation is devoted to the research of exact solutions of the classical problem on motion of a rigid body about a fixed point and the qualitative description of behaviour of perturbated trajectories in a neighbourhood of exact periodic solutions which were found by V.A. Steklov, D.N. Goryachev, S.A. Chaplygin, N. Kowalewski, G. Grioli, A.I. Dokshevich, B.I. Konosevich, E.V. Pozdnyakovich.

Bifurcation diagrams are constructed, critical values of integral levels are obtained, topological types of the three dimensional integral manifolds carrying exact known solutions of the Euler-Poisson equations are found. Lyapunov's exponents for seven families of known exact periodic solutions were obtained and the domains of dynamical instability are determinated in the space of mechanical parameters. Exact values of Lyapunov's exponents are computed for limit and degenerated cases which belong to the regular precessions, oscillations of a pendulum and steady rotations. Phase portraits of dynamical system in a neighbourhood of exact solutions are investigated.

The main results of dissertation can be used in analytical mechanics and theory of stability.

Keywords: isoenergy surfaces, Poincarй cross sections, Lyapunov's exponents, orbital stability, equation in variations, bifurcation diagram, parametric resonance.

Размещено на Allbest.ru

...