Статистична теорія самоподібних систем ІЗ різним перемішуванням потоку у фазовому просторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статистична теорія самоподібних систем ІЗ різним перемішуванням потоку у фазовому просторі

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Останнім часом значно підвищився інтерес до дослідження складних систем, поведінка яких змінюється критичним чином залежно від стану їх складових. Серед них особливе місце займають самоподібні системи, які мають симетрію відносно зміни їх масштабу. Самоподібність фазового простору пов'язана з його перемішуванням у процесі еволюції системи. Найпростішим нетривіальним прикладом такої системи є дивний атрактор, який подається самоподібною множиною з повністю перемішуваним потоком. У стохастичних системах дія випадкової сили може приводити як до сильного, так і до слабкого перемішування потоку у фазовому просторі. Перший випадок реалізується за наявності мультиплікативного шуму, дія якого проявляється на мікроскопічному рівні, у другому випадку це приводить до неадитивності макроскопічних величин, таких, як ентропія. Встановлення зв'язку між ступенем перемішування потоку у фазовому просторі і макроскопічними властивостями самоподібних систем є основною метою дисертаційної роботи.

Актуальність теми. Перемішування потоку у фазовому просторі є необхідною умовою, яка забезпечує можливість застосування ергодичної гіпотези, що є підґрунтям статистичної фізики. У зв'язку з цим особливу актуальність становлять дослідження складних систем, в яких фазовий простір, зберігаючи самоподібність, частково або повністю втрачає властивість перемішування. Задача зводиться до дослідження особливостей поведінки складних систем, що мають різні ступені перемішування потоку у самоподібному фазовому просторі.

Зв'язок роботи з науковими програмами і темами. Робота виконана на кафедрі фізичної електроніки Сумського державного університету і пов'язана з виконанням держбюджетної теми «Синергетична теорія конденсованого середовища» (номер державної реєстрації 0103U000772, термін виконання 2003-2005 рр.).

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є кількісний опис статистичних властивостей самоподібних систем, які мають різне перемішування потоку у фазовому просторі. Для цього розглядаються системи, що самоорганізуються і мають зворотний фрактальний зв'язок, стохастичні системи з кольоровим мультиплікативним шумом і самоподібні часові ряди. Дослідження першої із названих систем, яка має повністю перемішуваний потік у фазовому просторі, зводиться до визначення умов переходу в режим дивного атрактора. Дослідження систем з мультиплікативним шумом, в яких потік у фазовому просторі перемішується на мікроскопічному рівні, складається з виявлення впливу шуму на поведінку макроскопічних характеристик системи. І нарешті, розгляд самоподібних часових рядів, в яких властивість перемішування порушено на макроскопічному рівні, зводиться до побудови термодинамічної моделі, яка дозволяє стандартним чином описувати неадитивні стохастичні системи.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі:

· провести класифікацію самоподібних складних систем залежно від перемішування потоку у фазовому просторі;

· дослідити зв'язок показника степеневого розподілу самоподібної стохастичної системи з динамічним показником, порядком похідної за часом і показником Цаліса;

· побудувати самоузгоджувану теорію фазових переходів, індукованих кольоровим мультиплікативним шумом;

· дослідити еволюцію стохастичної системи із кольоровим мультиплікативним шумом;

· побудувати термодинамічну теорію самоподібних часових рядів;

· знайти умови передбачуваності поведінки кластеризованих часових рядів;

· провести порівняння результатів аналітичної теорії та чисельного моделювання часових рядів.

Об'єктом дослідження є процес перемішування потоку у фазовому просторі самоподібних складних систем.

Предметом дослідження є системи, які самоорганізуються і мають фрактальний зворотний зв'язок, стохастичні системи, що зазнають фазових переходів, індукованих кольоровим мультиплікативним шумом, і самоподібні часові ряди.

Методи дослідження. Нелінійні стохастичні рівняння самоорганізації розв'язувалися за допомогою використання адіабатичного наближення. Для знаходження показника Парето використовувалося дробово-диференціальне рівняння Фоккера-Планка. Дослідження динаміки фазового переходу, індукованого кольоровим мультиплікативним шумом, досягалося на основі методу фазової площини. Для побудови статистичної моделі самоподібних часових рядів застосовувалися методи неадитивної статистичної фізики.

Наукова новизна отриманих результатів. У процесі виконання роботи були отримані такі нові результати:

1. Для самоподібної системи, що відповідає дробовій системі Лоренца показано, що дія стохастичних джерел приводить до степеневого розподілу з показником, значення якого визначається динамічним показником, порядком похідної за часом і параметром Цаліса. Встановлено, що еволюція економічної системи відповідає процесу субдифузії, який забезпечується дією пасток у просторі станів.

2. Показано, що кореляційні ефекти, які визначають картину фазових переходів, індукованих мультиплікативним шумом, потребують нарівні з параметром порядку враховувати самоузгоджену зміну автокорелятора. Встановлено, що фазовий перехід обумовлений спільною дією нелінійності самоподібної системи і кольорового мультиплікативного шуму, який має значну швидкість нарощування інтенсивності.

3. Показано, що асимптотики часових залежностей параметра порядку і автокорелятора не залежать від ступеня забарвлення і швидкості зростання мультиплікативного шуму. Знайдено, що поведінка системи визначається початковим значенням параметра порядку: якщо воно не перебільшує критичного, то параметр порядку спадає за степеневим законом, а автокорелятор - гіперболічно; релаксація до впорядкованого стану проходить згідно із законом слабко стиснутої експоненти.

4. Запропоновано подання самоподібного часового ряду в рамках термодинамічної моделі неадитивного ідеального газу, для якої знайдено температуру та ентропію, об'єм і тиск, внутрішню і вільну енергії. Показано, що статистична картина поведінки такого ряду визначається ефективною температурою, яка експоненціально залежить від фрактальної вимірності та степеневим чином - від максимального розкиду стохастичної змінної.

5. Показано, що поведінки кластеризованого часового ряду визначається поправками до наближення ідеального газу, обумовленими дією зовнішнього поля та міжчастинковою взаємодією. Знайдено, що передбачуваність поведінки часового ряду задається умовами позитивності теплоємності і сприйнятливості, температурні залежності яких приводять до появи максимального кроку часу і мінімального масштабу стохастичної змінної.

6. Розроблено і реалізовано чисельну процедуру моделювання часового ряду, поданого неадитивними випадковими блуканнями. Показано, що вона підтверджує розвинену аналітичну схему - зокрема, закон рівнорозподілу, за яким ефективна температура дорівнює середній енергії, що припадає на ступінь вільності.

Практичне значення отриманих результатів. Дослідження поведінки самоподібної системи, яка відповідає дробовій системі Лоренца, є основою прогнозування процесів самоорганізації в екології, соціології, економіці і фізиці (прогнозування кліматичних явищ, соціальних катаклізмів, економічних потрясінь і фазових переходів). Фазові переходи є одним із актуальних об'єктів експериментального дослідження полімерів, які мають значний прикладний інтерес. І нарешті, оскільки часові ряди є основним знаряддям описування випадкових змін економічних показників, таких, як обмінні курси валют, то запропонована теорія є основою описування цих показників у межах стандартних уявлень статистичної фізики.

Особистий внесок здобувача. У працях [1 - 6] участь автора дисертації полягала у вивченні літературних джерел, аналітичному та чисельному розв'язанні поставлених задач, а також у обговоренні отриманих результатів та роботі над публікаціями. У працях [1, 5] розроблено чисельну модель, що імітує неадитивні часові ряди, для яких знайдено фрактальні вимірності. Розроблено і реалізовано чисельну процедуру визначення статистичних характеристик часових рядів, знайдено їх макроскопічні характеристики. У праці [2] проведено зіставлення отриманих результатів з вихідними виразами неадитивної статистичної фізики. Чисельно визначено область фрактальних вимірностей, в якій отримані результати є дійсними. У працях [3, 6] одержано вирази показника Парето через динамічний показник і параметр Цаліса. У праці [4] були проведені розрахунки параметрів запропонованої моделі і знайдені інтервали їх зміни. Проведений чисельний аналіз рівнянь руху параметра порядку і автокорелятора, побудовані їхні часові залежності, фазові портрети і біфуркаційні діаграми.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались і обговорювалися на таких конференціях:

· Щорічна конференція в Україні «Статистична фізика 2005: актуальні проблеми та новітні застосування» (Львів, 2005 р.);

· Всеукраїнський з'їзд «Фізика в Україні» (Одеса, 2005 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи надруковані у 4 статтях у спеціалізованих наукових журналах, що входять до переліку ВАК України і 2 збірниках тез конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація викладена на 123 сторінках і складається із вступу, чотирьох розділів основного змісту з 24 рисунками, висновків, списку використаних джерел із 108 найменувань та 3 додатків.

Основний зміст роботи

самоподібний фазовий кластеризований моделювання

У вступі викладається актуальність теми та обґрунтовується необхідність виконання роботи, її зв'язок з науковими програмами та темами, сформульовано мету і основні задачі дослідження, визначено наукову новизну роботи та практичне значення отриманих результатів, а також сфери їх можливого застосування.

У першому розділі проведено аналітичний огляд літературних джерел за темою дисертації, яка ґрунтується на визначенні перемішування потоку: ступінь перемішування визначається поведінкою корелятора потоків

C(t)=j(t) j(0). (1)

Якщо у границі нескінченно великого часу корелятор (1) спадає експоненціально, то реалізується сильне перемішування; при степеневому спаданні C(t)t^- з показником a>0 система є слабко перемішуваною. Умова перемішування узгоджується зі статистичною незалежністю в реалізації мікростанів макроскопічних складових повної системи. При слабкому порушенні цієї умови у неадитивних системах методи статистичної фізики потребують модифікації.

Основним об'єктом дослідження є складні системи, поведінка яких може змінитися докорінно при будь-якому слабкому впливові. Складна система має властивість самоподібності за умови, що будь-яке розтягування або стискання її фазового простору не змінить розподілу мікростанів при вибиранні відповідного масштабу. Самоподібні системи, які виявляють непередбачувану поведінку, поділяються на 2 класи: системи із детерміністичним хаосом і стохастичні системи. До першого класу належать системи, що самоорганізуються, подані атрактором Лоренца. Незважаючи на те, що поведінка системи Лоренца є чисто детерміністичною, траєкторія її еволюції у просторі станів настільки заплутана, що найменше відхилення початкового стану приводить до непередбачуваних змін у подальшій поведінці. Для стохастичних систем така непередбачуваність обумовлена випадковою силою - ланжевенівським джерелом, що може приводити як до сильного, так і до слабкого перемішування потоку у фазовому просторі. У першому випадку наявність мультиплікативного шуму в системі забезпечує перемішування потоку у фазовому просторі на мікроскопічному рівні. У другому випадку порушується властивість адитивності макроскопічних величин, зокрема ентропії. Виходячи з аналізу літературних даних, наведені основні співвідношення, які використовуються у роботі, і сформульовані задачі дослідження.

Другий розділ присвячено дослідженню стохастичного атрактора Лоренца. Детерміністичний атрактор подається дробовою системою Лоренца:

(2)

яка описує часові залежності параметра порядку (t), спряженого поля h(t) і керуючого параметра S(t) (крапка означає диференціювання за часом , виміряним у масштабі часу змінювання параметра порядку, 0a1 - показник степеня зворотного зв'язку, r - параметр зовнішнього впливу, , b - сталі, які визначають відношення часових масштабів зміни параметра порядку, спряженого поля і керуючого параметра).

Суттєва особливість переходу детермінованої системи в режим дивного атрактора полягає у тому, що часи змінювання спряженого поля і керуючого параметра значно перевищують масштаб параметра порядку. У протилежному випадку адіабатичного режиму, коли спряжене поле і керуючий параметр йдуть за змінюванням параметра порядку, стохастична поведінка системи забезпечується ланжевенівськими джерелами, які випадковим чином змінюють зазначені величини. У цьому випадку до правих частин системи (2) додаються стохастичні доданки з інтенсивностями I, I_h, I_S і білим шумом (t) із властивостями (t)=0, (t)(t)=(t-t), де … означає усереднення за статистичним ансамблем. В адіабатичному режимі ліві частини двох останніх рівнянь (2) можна опустити, завдяки чому поведінка стохастичної системи подається рівнянням Ланжевена , де сила і ефективна інтенсивність шуму . У тому випадку, коли інтенсивність шуму керуючого параметра значно перевищує інтенсивності шумів параметра порядку і спряженого поля (I, I_h<<I_S), розподіл параметра порядку набуває степеневого хвоста P()^2a, який відповідає закону Парето з показником =2a.

Визначення показника Парето досягається використанням дробово-диференціального рівняння Фоккера-Планка, в якому похідна за часом має порядок , а похідна за параметром порядку - порядок . Зазначене рівняння приводить до часової асимптотики середнього значення параметра порядку ^zt, в якому динамічний показник z=2 /. З іншого боку, стаціонарний розв'язок рівняння Фоккера-Планка виражається через дробовий інтеграл порядку =1-/2, що приводить до результату =2-z. Оскільки типове значення 3/2, а динамічний показник знаходиться в інтервалі 1<z<2, то порядок похідної за часом набуває значення <1, що відповідає процесу субдифузії, який обумовлений дією пасток у фазовому просторі. Якщо еволюція системи подається дискретними стрибками x, імовірність , =const>0 яких розподілена за Цалісом, то зазначені показники пов'язуються рівностями z=(1+q)/[1 - (q-1)/2] при 1<q<5/3 та z=(1+q)/(q-1) при 5/3<q<2.

Третій розділ присвячено дослідженню еволюції самоподібної стохастичної системи під дією кольорового мультиплікативного шуму. Основою такого розгляду є рівняння Ланжевена =f(x)+g(x)(t), де сила f=x-x³ визначається параметром зовнішнього впливу , амплітуда шуму подається показниковою функцією g(x)=x^a, a[0,1], що відображає самоподібність системи, кольоровий шум визначається корелятором , який характеризується часом кореляції . Адіабатичне наближення дозволяє перейти до рівняння із білим шумом (t) і коефіцієнтом =1-(f-fg/g), де штрих означає диференціювання за x. Усереднюючи це рівняння за шумом і розщеплюючи корелятори вищих порядків із використанням властивостей гаусівських процесів, одержуємо рівняння для параметра порядку x і автокорелятора Sx²:

, (3)

де введені позначення E1 - (1-a), (3-a).

Для отримання другого рівняння еволюції статистичних моментів вводиться допоміжна змінна y, пов'язана з x співвідношенням dy(x) dx і підпорядкована стохастичному диференціальному рівнянню з прирощуванням вінеровського процесу , для якого . Усереднюючи співвідношення d(y)²=2ydy+(dy)², одержуємо друге рівняння

(4)

останній член якого подає середнє дробового степеня стохастичної змінної. Для його визначення вводиться допоміжний розподіл за змінною y=x^2a, використання якого показує, що , де p=[2 (1-a)]^-1 при 0<a<1/2 та p=(3-2a)^-1 при 1/2<a<1.

Чисельний розв'язок рівнянь (3), (4) показує, що при a>1/2 система завжди є невпорядкованою (0), а при a<1/2 параметр порядку набуває ненульового стаціонарного значення.

З рисунка бачимо, що незважаючи на наявність x⁴-потенціалу, що є притаманним неперервним переходам, система зазнає фазового переходу першого роду, що характеризується стрибками параметра порядку та автокорелятора при критичних значеннях параметрів і . Крім того, впорядкований стан може бути обмежений не тільки нижнім, але й верхнім значенням керуючого параметра .

Динаміка поведінки системи подається фазовим портретом, який має єдиний вузол C₀ при a>1/2. Поблизу цього вузла автокорелятор зростає за степеневим законом при малому часі і наближається до стаціонарного значення експоненціально. З переходом у область a<1/2 фазовий портрет одержує додатковий вузол C, який відповідає впорядкованому стану, і сідло S, що визначає міжфазовий бар'єр. Якщо початковий стан системи розміщується у невпорядкованій області, що розташована лівіше відповідної гілки сепаратриси, то система прямує до вузла C₀, поблизу якого параметр порядку спадає за степеневим законом , а автокорелятор - за гіперболічним. При потраплянні початкового стану у впорядковану область динаміка системи характеризується законом стиснутої експоненти , , де ₀, S₀ - стаціонарні значення, c=const.

Четвертий розділ присвячено термодинамічному опису самоподібних часових рядів, які є основним об'єктом дослідження в екології, економіці, соціології, фізиці та інших науках. Згідно з визначенням, часовий ряд являє собою дискретну послідовність значень досліджуваної величини, що фіксується в моменти часу, розділені малим інтервалом . Принципова особливість часового ряду полягає у тому, що він розвивається протягом великого, але кінцевого проміжку часу N₀, що містить 1<< N₀< значень. З іншого боку, властивість самоподібності означає, що ряд являє собою фрактальну множину вимірності D. Розвинена термодинамічна схема базується на тому, що обидві зазначені властивості враховуються природним чином, якщо використовувати узагальнену статистичну схему Цаліса, в межах якої комбінація величин D і N₀ визначається показником неадитивності q.

Задача полягає в описанні d-вимірного часового ряду послідовних значень x(t_i), t_i=i, i=1,2,… N₀ досліджуваної величини x(t). У відповідності до ергодичної гіпотези поведінка такого ряду подається наборами координат {x_n}, n=1,2,…, N і швидкостей {v_n}, n=1,2,…, N; v(x_n-x_n-1)/, в яких число елементів N не збігається з числом членів ряду N₀, оскільки різні значення швидкості v(t_i), v(t_j) можуть виявитися однаковими. Часовий ряд розглядається як динамічна система з ефективним гамільтоніаном H=H{x_n, v_n}, використання якого дозволяє визначити його статистичні властивості. Оскільки стохастичні значення x_n не пов'язані одне з одним, то різні стани n дають незалежний внесок, і гамільтоніан зводиться до адитивної форми , яка відповідає великому канонічному ансамблю, кожний стан якого має енергію _n і число частинок N_n. Для мікроскопічно однорідного ряду енергія не залежить від координати . Оскільки ця енергія не змінюється при _n= v_n²/2 перестановці координат стрибків x_n-x_n-1, то вона задається парною функцією. При вмиканні однорідного поля силою F вираз для енергії ускладнюється доданком - Fx_n, а кластеризація ряду відображається вмиканням міжчастинкової взаємодії .

Аналітичний опис часового ряду потребує підсумовування за фазовим простором {x_n, v_n}, від якого зручно перейти до інтегрування за безрозмірними значеннями координати y_nx_n/X і швидкості u_nv_n/X, де X - максимальний розкид x_n. Такий перехід приводить до появи множника , де ефективна стала Планка визначає об'єм фазового простору, що припадає на один член ряду (розгляд тривіального випадку x_n=const дає ). Умова самоподібності виражається законом Леві X^d=x^dN^1/z, де x - мікроскопічний масштаб, а динамічний показник z дорівнює фрактальній вимірності D.

Термодинамічне уявлення часового ряду ґрунтується на визначенні ентропії Реньї H=alnZ, a(1-q) dN/2, де статистична сума Z і внутрішня енергія E визначаються виразами, знайденими групою Цаліса для неадитивного газу. Використання цих виразів дозволяє надати ентропії стандартної форми:

, (5)

якщо виконується умова самоподібності zD=(1-a)^-1 (G - число станів). При цьому виконуються закон рівнорозподілу E=N (d/2) T і основні термодинамічні співвідношення, якщо температура визначена рівністю , де T_s - масштаб зміни температури. Вибір цього масштабу T_s(X/)² приводить до залежності

, (6)

згідно з якою температура змінюється експоненціально з величиною фрактальної вимірності D і степенево - з максимальним розкидом X.

Межі прогнозування поведінки часового ряду визначаються умовами невід'ємності теплоємності і сприйнятливості, знайденими для моделі Ван-дер-Ваальса, яка враховує дію зовнішнього поля і міжчастинкову взаємодію. Дослідження відповідних температурних залежностей показує, що поведінка часового ряду стає непередбачуваною, якщо крок зміни часу перебільшує критичне значення, яке фіксується інтенсивністю зовнішнього поля і силою міжчастинкової взаємодії. З іншого боку, мікроскопічний масштаб не повинен бути меншим за граничне значення.

Для підтвердження отриманих аналітичних результатів використовувалася чисельна процедура, що ґрунтується на моделі неадитивних випадкових блукань. Вона приводить до часових залежностей координати і швидкості одновимірного ряду.

Використання цих залежностей приводить до розподілу швидкостей за N мезоскопічними інтервалами великого канонічного ансамблю, які обрані так, щоб зміна швидкості всередині кожного з них була незначною. Це дозволяє знайти залежність внутрішньої енергії E і ентропії H від числа частинок N при заданому значенні фрактальної вимірності D. У результаті одержано значення температури T, яке виявляється незалежним від числа частинок в області фрактальних вимірностей D2. Таким чином, у цій області можна застосовувати розвинену аналітичну схему. Для порівняння її результатів з чисельними даними зіставлені значення температури (6) із середньою кінетичною енергією , яка припадає на один степінь вільності. Як бачимо з рис. 4, в актуальній області названі значення мають розбіжність не більше ніж 10%.

Основні висновки

Досліджено складні системи, які мають самоподібний фазовий простір і виявляють непередбачувану поведінку, обумовлену наявністю дивного атрактора або дією стохастичних джерел. Основні результати дослідження подані такими висновками.

1. Дослідження самоподібної системи показує, що в умовах, коли зовнішній вплив ненабагато перевищує критичне значення, а керуючий параметр змінюється набагато повільніше за інші величини, система переходить у режим дивного атрактора.

2. Дія стохастичних джерел призводить до степеневого розподілу Парето, показник якого задається динамічним показником, порядком похідної за часом і параметром Цаліса. Еволюція системи відповідає процесу субдифузії, що обумовлений дією пасток у просторі станів.

3. Дослідження кореляційних ефектів у динаміці фазових переходів, індукованих мультиплікативним шумом, досягається розглядом параметра порядку і автокорелятора. Спільна дія кольорового мультиплікативного шуму, що має значну швидкість наростання інтенсивності, і нелінійності самоподібної стохастичної системи приводять до значного ускладнення картини фазового переходу.

4. Характер часових асимптотик поведінки параметра порядку і автокорелятора не залежить від ступеня забарвлення і швидкості наростання мультиплікативного шуму. Поведінка системи залежить від початкового значення параметра порядку: якщо воно не перевищує критичного, то система прямує до невпорядкованого стану так, що параметр порядку спадає за степеневим законом, а автокорелятор змінюється гіперболічно; релаксація системи до впорядкованого стану відбувається згідно із законом слабко стиснутої експоненти.

5. Самоподібний часовий ряд описується моделлю ідеального газу, що приводить до визначення температури та ентропії, об'єму і тиску, внутрішньої та вільної енергій. Самоподібність часового ряду виражається у тому, що всі термодинамічні величини визначаються характерною комбінацією числа частинок і параметра неадитивності, яка задається фрактальною вимірністю ряду.

6. Поведінка кластеризованого часового ряду визначається поправками до наближення ідеального газу, обумовленими дією зовнішнього поля і міжчастинковою взаємодією. Температурні залежності теплоємності і сприйнятливості показують, що поведінка часового ряду є передбачуваною, якщо крок зміни часу не перевищує максимального значення, а масштаб стохастичної змінної не менший за мінімальний.

7. Статистична картина поведінки часового ряду визначається ефективною температурою, яка залежить експоненціально від фрактальної вимірності і степеневим чином - від максимального розкиду стохастичної змінної. Чисельне дослідження часового ряду підтверджує закон рівнорозподілу, згідно з яким ефективна температура дорівнює середній енергії, що припадає на ступінь вільності.

Список опублікованих робіт здобувача за темою дисертації

1. Olemskoi A., Kokhan S. Effective temperature of self-similar time series: Analytical and numerical developments // Phisica A. - 2006. - V.360, №1. - P.37-58.

2. Olemskoi A.I., Kokhan S.V. Statistical theory of self-similar time series // Вісник СумДУ. - 2004. - №10 (69). - C.142-153.

3. Олємской О.І., Ющенко О.В., Кохан С.В. Синергетична модель економічної структури суспільства // Журнал фізичних досліджень. - 2004. - Т.8, №3. - С. 268 - 278.

4. Kharchenko D.O., Kokhan S.V. Coloured noise influence on system evolution // Eur. Phys. J. - 2002. - V. 29. - P.97 - 103.

5. Olemskoi A.I., Kokhan S. Effective temperature of self-similar time series // Statistical Physics 2005: Modern Problems and New Applications. Book of abstracts. - Львів: Інститут конденсованих середовищ НАН України. - 2005. - C.72

6. Олємской О.І., Кохан С.В. Синергетична картина переходу між низько- і високопродуктивним станом економіки // Збірник тез доповідей Всеукраїнського з'їзду «Фізика в Україні». - Одеса: Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова. - 2005. - С. 33-34.

Размещено на Allbest.ru