Міцність і коливання коробчастих оболонок, в тому числі при наявності прямолінійних дефектів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Одеський національний університет імені І. І. Мечникова

УДК 539.3

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Міцність і коливання коробчастих оболонок, в тому числі при наявності прямолінійних дефектів

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

Воробель Вячеслав Михайлович

Одеса - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі методів математичної фізики Одеського національного університету імені І. І. Мечникова Міністерства освіти і науки України. коефіцієнт напруження коливання

Науковий кандидат фізико-математичних наук, доцент керівник Реут Віктор Всеволодович, Одеський національний університет імені І. І. Мечникова, доцент кафедри методів математичної фізики.

Офіційні доктор фізико-математичних наук, опоненти старший науковий співробітник Кушнір Роман Михайлович, директор Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України

кандидат фізико-математичних наук Кривий Олександр Федорович, Одеська національна морська академія, доцент кафедри вищої математики.

Провідна установа Дніпропетровський національний університет, кафедра теоретичної та прикладної механіки, Міністерство освіти і науки України, м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться “ 19 ” травня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 при Одеському національному університеті імені І. І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2, аудиторія 73.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеського національного університету імені І. І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Автореферат розісланий "11" квітня 2006 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Кореновський А. О.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Тонкостінні конструкції прямокутного профілю мають широке використання в будівництві, кораблебудуванні, мостобудуванні і машинобудуванні. Це обумовлено тим, що в порівнянні із суцільним перерізом досягається економія матеріалу.

Реальні конструкції часто містять елементи, які її посилюють або послаблюють (включення, тріщини), та викликають розрив неперервності полів переміщень і напружень (внаслідок чого їх називають дефектами), або які знаходяться під впливом динамічних навантажень.

У зв'язку з цим актуальною задачею є визначення напружено-деформованого стану і параметрів міцності (таких як коефіцієнти інтенсивності напружень, осідання включень, власні частоти коливань) коробчастих оболонок прямокутного профілю за наявності дефектів типу тріщин і тонких включень, або під час коливань.

Теорія і методи статичного розрахунку коробчастих оболонок та пов'язані з цим методи розрахунку пластин, як елементів, що складають ці конструкції, вивчались у роботах таких вітчизняних і закордонних вчених як І. Г. Бубнов, В. З. Власов, Б. Г. Гальоркін, В. І. Моссаковський, П. Ф. Папкович, С. П. Тимошенко, J. N. Argyris, A. Nadai, E. Reissner та інших вчених.

Вплив дефектів на напружено-деформований стан пластин і оболонок та методи розрахунку таких задач вивчалися в роботах В. М. Александрова, Л. Т. Бережницького, І. І. Воровича, Д. В. Гриліцького, О. М. Гузя, Г. С. Кіта, А. Ф. Кривого, Р. М. Кушніра, В. В. Лободи, В. А. Осадчука, О. В. Онищука, В. В. Панасюка, Я. С. Підстригача, Г. Я. Попова, М. П. Саврука, А. Ф. Улітка, Л. А. Фільштинського, В. П. Шевченко, M. L. Williams, I. N. Sneddon та інших.

Методи розрахунку динамічних задач теорії пружності розроблено в роботах В. А. Бабешко, І. І. Воровича, В. Т. Грінченка, О. М. Гузя, В. Д. Кубенка, В. В. Мелешка, І. Т. Селезова, H. Lamb та інших вчених.

Статичний напружений стан нескінченних коробчастих оболонок прямокутного профілю з прямолінійними дефектами однакової довжини вивчався у випадку їх симетричного розташування один відносно одного і відносно ребер оболонки (в цьому випадку задача істотно спрощується завдяки тому, що є дві площини симетрії, і зводиться до розгляду конструкції кутикового профілю). Так у роботі В. В. Тихомирова розглядався випадок двох поперечних тріщин. У роботах В. В. Реута та його учнів розглядалися випадки двох поздовжніх або поперечних тріщин, а також випадок двох поздовжніх абсолютно жорстких включень.

Гармонічні коливання коробчастої оболонки прямокутного профілю були розглянуті в роботах В. І. Моссаковського та його учнів. В цих роботах розглядалася півнескінченна оболонка, для якої були побудовані однорідні розв'язки. Ю. І. Бобровницький та М. Д. Генкін отримали дисперсійне рівняння для нормальних хвиль, які поширюються у нескінченних тонкостінних стрижнях кутикового та прямокутного профілю. Зауважимо, що у цих роботах власні частоти та розв'язок задачі про змушені коливання не були отримані та числові розрахунки не було здійснено.

Таким чином, в області дослідження напружено-деформованого стану нескінченних коробчастих оболонок прямокутного профілю залишилась значна кількість не розв'язаних задач, зокрема: задачі про несиметричне розташування поздовжньої або поперечної тріщини; задачі про симетричне розташування поздовжнього і поперечного, або двох поперечних включень різної довжини; задачі про змушені гармонічні коливання коробчастої оболонки квадратного профілю. Розв'язанню цих нових задач і присвячено дисертацію, що обумовлює актуальність її теми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано у рамках держбюджетних тем “Розробка методу розв'язання статичних та динамічних задач про напружений стан пружних тіл з тріщинами та включеннями” (номер державної реєстрації 0103U003774) та “Дослідження крайових задач математичної фізики з мішаними граничними умовами за наявності дефектів усередині області” (номер державної реєстрації 0101U008297) на кафедрі методів математичної фізики Інституту математики, економіки та механіки Одеського національного університету імені І. І. Мечникова.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вирішення наукового завдання, спрямованого на:

визначення коефіцієнта інтенсивності напружень біля кінців тріщини, яка розташована паралельно або перпендикулярно до ребер нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю;

визначення осідання тонких, абсолютно жорстких включень, які симетрично розташовані на протилежних пластинах нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю, паралельно або перпендикулярно до ребер оболонки;

визначення переміщень, напружень, власних та резонансних частот під час змушених гармонічних коливань квадратної рами та коробчастої оболонки квадратного профілю під дією симетрично прикладеного навантаження.

Для досягнення цієї мети в дисертації:

побудовано функцію Гріна крайової задачі про напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю при згині або плоскому напруженому стані пластин конструкції;

зроблено постановку і побудовано ефективні, при числовій реалізації, наближені розв'язки задач про статичний напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю з прямолінійною тріщиною, яка паралельна або перпендикулярна до ребер конструкції, або з двома прямолінійними тонкими, абсолютно жорсткими включеннями, які симетрично розташовані на протилежних пластинах коробчастої оболонки паралельно або перпендикулярно до її ребер;

зроблено постановку і побудовано точні розв'язки задач про змушені гармонічні коливання квадратної рами, скінченної і нескінченної коробчастої оболонки квадратного профілю.

Методи дослідження. Для визначення напружено-деформованого стану коробчастої оболонки використовувалася теорія згину тонких пластин Кірхгофа-Лява і теорія плоского напруженого стану тонких пластин. Метод інтегрального перетворення Фур'є використовувався для зведення двовимірних крайових задач з дефектами до одновимірних. Також використовувалася узагальнена схема методу інтегральних перетворень і метод одновимірних розривних крайових задач. Для наближеного розв'язку сингулярних інтегральних рівнянь залучався метод ортогональних поліномів, а також апарат регуляризації розбіжних інтегралів.

Наукова новизна отриманих результатів.

1) Побудовано функцію і матрицю Гріна двовимірної крайової задачі, яка описує відповідно тільки згин або тільки плоский напружений стан пластин нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю під час дії довільного статичного навантаження.

2) Отримано ефективні наближені розв'язки задач про напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю з тріщиною, що паралельна або перпендикулярна до ребер оболонки. Побудовано та досліджено залежність коефіцієнта інтенсивності напружень від геометричних параметрів конструкції.

3) Отримано ефективні наближені розв'язки задач про напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю з двома прямолінійними тонкими, абсолютно жорсткими включеннями, які паралельні або перпендикулярні до ребер і симетрично розташовані на протилежних пластинах оболонки. Побудовано та досліджено залежність осідання включень від геометричних параметрів оболонки.

4) Отримано точні розв'язки задач про змушені гармонічні коливання квадратної рами та коробчастої оболонки квадратного профілю. Знайдено власні та резонансні частоти коливань. Побудовано дисперсійні криві.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані в дисертації результати можуть бути використані при розрахунках на міцність за наявності прямолінійних дефектів типу тріщин або тонких включень, а також при визначенні напружено-деформованого стану і власних частот у випадку гармонічних коливань коробчастих оболонок, які використовуються у кораблебудуванні, машинобудуванні і будівництві.

Теоретичне значення дисертації полягає в наступному. Побудовано функцію і матрицю Гріна двовимірної крайової задачі, яка описує згин або плоский напружений стан пластин коробчастої оболонки прямокутного перерізу без дефектів, що дозволяє розглядати довільні статичні навантаження і наявність дефектів будь якої форми.

Розв'язані у дисертації задачі є модельними і дозволяють тестувати пакети програм при розрахунках більш складних конструкцій наближеними методами.

Достовірність отриманих результатів забезпечується: строгістю постановки відповідних крайових задач та чітким і послідовним застосуванням аналітичних математичних методів їх розв'язування; збігом результатів для деяких часткових і граничних випадків з відомими розв'язками; узгодженням між собою результатів, отриманих в окремих розділах роботи; використанням апробованих пакетів програм.

Особистий внесок здобувача. У публікаціях [1-14], написаних у співавторстві, постановка задач належить науковому керівнику, доц. В. В. Реуту. Автором дисертації отримано розв'язки задач і здійснено їх числову реалізацію та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на: II Міжнародній конференції “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (14-16 вересня 1999 р., Львів); наукової конференції “Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасність)” (24-28 листопада 1999 р., Львів); Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (12-14 вересня 2000 р., Одеса); V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (25-29 вересня 2000 р., Львів - Луцьк); Всеукраїнській науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (23-25 квітня 2001 р., Дніпродзержинськ); Міжнародній науково-практичній конференції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла”, присвяченої 60-річчю з дня народження академіка НАН України В. П. Шевченко (25-27 червня 2001 р., Донецьк); Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки” (26-28 вересня 2003 р., Київ); III Всеросійській конференції по теорії пружності (13-16 жовтня 2003 р., Ростов-на-Дону - Азов, Росія); Міжнародній конференції “Интегральные уравнения и их применения” (29 червня - 4 липня 2005 р., Одеса).

Результати, які отримані в дисертації, неодноразово доповідалася на науковому семінарі з математичних проблем механіки і математичної фізики Інституту математики, економіки та механіки Одеського національного університету імені І. І. Мечникова на протязі 2000-2005 років (науковий керівник професор Г. Я. Попов). У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на цьому ж семінарі, а також на науковому семінарі відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України під керівництвом д. ф.-м. н., ст. н. с. Р. М. Кушніра.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 9 збірниках наукових праць [1-7] та в 5 матеріалах і тезах конференцій [8-14], з них 5 статей, опублікованих у наукових фахових виданнях із переліку ВАК України [2,4-7].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, 5 розділів, висновків і списку використаної літератури. Повний обсяг дисертації 134 сторінки машинописного тексту. Дисертація містить 51 рисунок, 17 таблиць, список використаних літературних джерел з 102 найменувань, який займає 10 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі розглянуто стан наукової проблеми дисертаційного дослідження, її актуальність, наведено мету роботи та наукову новизну отриманих результатів.

В першому розділі наведено огляд наукових праць, близьких до теми дисертації. Показано місце даної роботи у розглянутій проблематиці.

Розділ 2 присвячено постановці задачі про напружено-деформований стан коробчастої оболонки прямокутного профілю і методу її розрахунку.

У §2.1 наведено загальну постановку задачі, що описує напружено-деформований стан коробчастої оболонки нескінченної довжини прямокутного профілю під дією самоврівноваженого статичного навантаження. Конструкція складається з 4 тонких ізотропних смугоподібних пластин товщини . Пластини з'єднані між собою під прямим кутом, який під час деформації конструкції вважається незмінним. Для кожної пластини використовується своя система координат. Напружено-деформований стан кожної пластини описується чотирма рівняннями згину тонких пластин Кірхгофа-Лява і вісьмома рівняннями Ляме плоского напруженого стану. Вплив плоского напруженого стану на згин не враховується. На лініях з'єднання пластин виконуються 8 умов рівності поперечних і плоских переміщень, 4 умови рівності дотичних переміщень , 4 умови рівності кутів повороту нормального до серединної поверхні елемента, 4 умови рівності згинальних моментів , 4 умови рівності дотичних напружень і 8 умов рівності між собою узагальнених поперечних сил і нормальних напружень . Далі, за допомогою методу, запропонованого Г. Я. Поповим, В. В. Реутом, задачу зведено до дослідження спільного плоского і згинального напруженого стану пластинки з дефектами, роль яких виконують ребра оболонки. Математична постановка цієї задачі складається з бігармонічного рівняння згину, двох рівнянь Ляме, умов на чотирьох ребрах оболонки та умов замкнутості оболонки. Перевага даного методу полягає в тому, що в 4 рази скорочується кількість диференціальних рівнянь і спрощується вигляд умов стикування, а методи розв'язку задач з дефектами добре відомі.

У §2.2 другого розділу в іншій формі викладено спосіб спрощення постановки задач про напружено-деформований стан коробчастих оболонок. За цим способом, який було запропоновано Г. Я. Поповим та В. В. Реутом, оскільки максимальні згинальні і плоскі напруження, мають різний порядок при в залежності від зовнішнього навантаження, то слід під час постановки відповідної задачі нехтувати або плоским напруженим станом - якщо діє згинальне навантаження, яке перпендикулярне до серединної площини пластин (таке припущення вперше використав А. Ф. Смотров), або згином пластин - якщо діє плоске навантаження в серединній площині пластин (таке припущення вперше використав П. Ф. Папкович). У першому випадку отримуємо задачу згину пластини, шарнірно обпертої уздовж ліній їх стику, у другому - задачу плоского напруженого стану пластини з дефектами уздовж ліній стику, при переході через які, стрибки дотичних переміщень і напружень дорівнюють нулю, а на берегах дефекту задані значення нормальних напружень . В даній роботі зважаючи на те, що поперечні і плоскі переміщення в деяких випадках можуть мати однаковий порядок при , здійснено перехід до безрозмірних величин за іншими, ніж у роботі вищезгаданих авторів, формулами, після чого за допомогою розвинення невідомих функцій в ряди відносно степенів (де характерний геометричний розмір оболонки) одержано рекурентну послідовність задач плоского напруженого стану і згину.

У §2.3 розглянуто задачу про напружено-деформований стан коробчастої оболонки прямокутного профілю (у припущеннях Смотрова) під дією довільного статичного навантаження, нормального до пластин. За допомогою перетворення Фур'є і розв'язку одновимірної крайової задачі побудовано функцію Гріна для цієї задачі. В отриманій функції Гріна вилучено сингулярний розв'язок бігармонічного рівняння. Також побудовано формулу інтегрального зображення бігармонічної функції прогину пластини через стрибки прогину, кута повороту, згинального моменту і узагальненої поперечної сили.

У §2.4 розглянуто задачу про напружено-деформований стан коробчастої оболонки прямокутного профілю (у припущеннях Папковича) під дією довільного статичного навантаження в площині пластин. За допомогою результатів §2.3 побудовано матрицю Гріна для цієї задачі. В отриманій матриці Гріна вилучено матрицю сингулярних рішень рівнянь Ляме. Також побудовано формулу інтегрального зображення рішень однорідних рівнянь Ляме через стрибки плоских переміщень і напружень.

Таким чином, у розділі 2 подано загальну і спрощену постановки (у припущеннях Смотрова і Папковича) задачі про статичний напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю. Побудовано розв'язок цієї задачі в спрощених постановках.

Окремі результати цього розділу опубліковано в працях [4,6].

У розділі 3 розглянуто задачі про напружено-деформований стан коробчастої оболонки прямокутного профілю з прямолінійною наскрізною тріщиною довжини , яка розташована на верхній пластині (ширина якої ) конструкції паралельно або перпендикулярно її ребрам. Береги тріщини завантажені розподіленими навантаженнями у вигляді згинальних моментів і узагальнених поперечних сил. Задачі розглянуто в припущеннях Смотрова.

У §3.1 розв'язано задачу про напружений стан коробчастої оболонки, яка послаблена тріщиною, що паралельна ребрам оболонки і зміщена від середньої лінії пластини на відстань . За допомогою результатів §2.3 задача зведена до системи двох інтегральних рівнянь відносно невідомих стрибків прогинів і кутів повороту пластини

,

, (1)

де нескінченно дифференційовні функції, - величина розподілених згинальних моментів і узагальнених поперечних сил, прикладених до берегів тріщини.

Ефективний наближений розв'язок цієї системи побудовано за допомогою методу ортогональних поліномів. Цей метод базується на спектральних співвідношеннях

,

,

які обумовлюють вигляд розвинення невідомих функцій в ряд по поліномах Якобі. Коефіцієнти цих рядів є розв'язками нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду нормальних за Пуанкаре-Кохом, внаслідок чого вони допускають застосування методу редукції.

Досліджено залежності нормалізованого (відносно задачі про тріщину в площині) коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН) від довжини тріщини і розмірів оболонки для випадку рівномірно розподілених згинальних моментів, прикладених до берегів тріщини.

Розрахунки свідчать, що під час наближення тріщини до ребра коробчастої оболонки () або зменшенні відношення відбувається зменшення коефіцієнта інтенсивності напружень. За малих коефіцієнт інтенсивності напружень поводиться так само, як у випадку задачі згину нескінченної пластини з тріщиною. Порівняння отриманих результатів з результатами досліджень В. О. Гришина свідчить, що наявність другої додаткової тріщини (розташованої симетрично щодо першої, на протилежній грані коробчастої оболонки) збільшує коефіцієнт інтенсивності напружень. За малих значення коефіцієнта інтенсивності напружень близькі до значень коефіцієнта інтенсивності у задачі про тріщину в смугоподібній пластинці ширини , защемленої по краях. За великих значення коефіцієнта інтенсивності напружень близькі до значень коефіцієнта інтенсивності у задачі про тріщину в нескінченній пластинці з двома шарнірними опорами віддаленими одна від одної на відстань .

У §3.2 розв'язано задачу про напружений стан коробчастої оболонки, яка послаблена тріщиною, що перпендикулярна ребрам оболонки. Центр тріщини зміщений від середньої лінії пластини на відстань . Ця задача також зводиться до системи інтегральних рівнянь, яка аналогічна (1). За допомогою методу ортогональних поліномів побудовано ефективний наближений розв'язок цієї задачі.

Досліджено залежності нормалізованого коефіцієнта інтенсивності напружень згину від довжини тріщини і розмірів оболонки для випадку рівномірно розподілених згинальних моментів, прикладених до берегів тріщини

Розрахунки свідчать, що й у цій задачі наближення тріщини до ребра коробчастої оболонки () або зменшення відношення призводить до зменшення коефіцієнта інтенсивності напружень, а за малих коефіцієнт інтенсивності напружень поводиться так само, як у випадку тріщини в нескінченній площині. Наявність другої додаткової тріщини, розташованої симетрично щодо першої на протилежній грані коробчастої оболонки, збільшує коефіцієнт інтенсивності напружень. Порівняння коефіцієнтів інтенсивності напружень біля кінців тріщини свідчить, що коефіцієнт інтенсивності менше біля того кінця, який розташовано ближче до ребра конструкції. Обчислення свідчать, що за малих значення коефіцієнта інтенсивності напружень близькі до значень коефіцієнта інтенсивності у задачі про тріщину в смугоподібній пластині ширини , затисненої по краях. За великих значення коефіцієнта інтенсивності напружень близькі до значень коефіцієнта інтенсивності у задачі про тріщину в смугоподібній пластині з двома шарнірними опорами, що відстоять одна від одної на відстані . Однак доцільно наголосити, що коефіцієнти інтенсивності напружень слабко залежать від параметра .

Таким чином, у третьому розділі побудовано ефективні наближені розв'язки задач про напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки, яка ослаблена поздовжньою або поперечною тріщиною, що розташована на верхній пластині конструкції. Вивчена залежність коефіцієнтів інтенсивності напружень від довжини тріщини і розмірів оболонки.

Результати цього розділу опубліковано в працях [1,2,8-10,14].

У розділі 4 розглянуто задачі про напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю з двома прямолінійними тонкими абсолютно жорсткими включеннями довжин і , які розташовані на верхній і нижній пластинах коробчастої оболонки по їхньому центру. До середини кожного включення прикладена сила, яка перпендикулярна до серединної площини пластини. Задачі розглянуто в припущеннях Смотрова.

У §4.1 розглянуто задачу про перехресні включення, одне з яких лежить на верхній полиці паралельно до ребер конструкції, а друге - на нижній полиці перпендикулярно до ребер конструкції. За допомогою результатів §2.3 задачу зведено до системи двох інтегральних рівнянь щодо невідомих стрибків узагальнених поперечних сил ,

,

, (2)

де , - осідання включень, нескінченно дифференційовні функції. Розв'язок цієї системи будувався в класі функцій з неінтегровними особливостями, вигляду (при цьому залучався апарат регуляризації розбіжних інтегралів), за допомогою методу ортогональних поліномів. Цей метод базується на спектральному співвідношенні

,

яке обумовлює вигляд розвинення невідомих функцій в ряд по поліномах Якобі.

Досліджено залежності осідань включень від їхньої довжини і розмірів оболонки.

Розрахунки свідчать, що за малих розмірів включень їхні осідання близькі до прогинів оболонки під дією зосереджених сил. Зменшення довжини одного з включень призводить до збільшення прогину іншого включення, хоча це збільшення не значне.

Слід зазначити, що при зміні параметра , особливо у випадку поперечного включення, є максимум осідання включення при зміні цього параметра. Максимум стає більш яскраво вираженим, коли збільшується. Зі збільшенням довжини максимум осідання поздовжнього (поперечного) включення припадає на великі (менші) значення параметра .

У §4.2 розглянуто задачі про напружено-деформований стан коробчастої оболонки, підкріпленої двома включеннями перпендикулярними її ребрам, одне з яких лежить на верхній полиці, а друге - на нижній полиці конструкції. Ця задача також зводиться до системи інтегральних рівнянь, аналогічної (2), і розв'язуваної в класі функцій з особливостями, що не інтегруються. За допомогою методу ортогональних поліномів побудовано ефективний наближений розв'язок цієї задачі. Досліджено залежності осідань включень від їхньої довжини і розмірів оболонки.

Слід зазначити, що і у цій задачі спостерігається максимум прогинів включення при зміні параметра .

Таким чином, у четвертому розділі досліджено осідання перехресних і рівнобіжних включень у нескінченній коробчастій оболонці прямокутного профілю. Побудовано ефективні наближені розв'язки цих задач. Побудовано графіки залежності осідань включень від їхньої довжини і розмірів оболонки. Встановлено факт наявності максимуму прогину включення при зміні параметра .

Результати цього розділу опубліковано в працях [3,4,6,11].

У розділі 5 розглянуто задачі про змушені гармонічні коливання з частотою квадратної рами і коробчастої оболонки квадратного профілю зі стороною .

У §5.1 розв'язано задачу про коливання квадратної рами під дією чотирьох зосереджених сил, прикладених або до середин кожного стрижня (згинальне навантаження), перпендикулярно їм, або до кутів рами уздовж їхніх бісектрис (плоске навантаження). Кожен стрижень рами знаходиться в стані згину і поздовжньої деформації. Вказану раму можна розглядати також як нескінченну коробчасту оболонку квадратного профілю під дією рівномірного навантаження, прикладеного на протязі усієї її довжини. Оскільки конструкція має 4 осі симетрії, то розглядається тільки та її частина, яка являє собою стрижень довжини з відповідними граничними умовами, які враховують симетрію.

Аналіз отриманих рішень цих задач показав, що постановку задач не можна спростити, так як це було зроблено в §2.2, припускаючи, що параметр є малим. Однак для згинального навантаження спрощену задачу таку ж, як у §2.2, можна одержати у випадку якщо :

(, , , ).

Якщо , то спрощена задача буде така

Якщо ж навантаження плоске, то у випадку, якщо , спрощена задача буде така

а у випадку - така

Відзначимо, що, чим менше (у випадку ) або більше (у випадку ) буде величина , тим менше буде відносна похибка першого наближення щодо точного розв'язку. Особливо це виявляється за невеликих або зі зменшенням .

Побудовано графіки залежності згинальних і плоских напружень від частоти зовнішньої сили. Проведено порівняння точних і наближених розв'язків.

Отже, на відміну від статики, при спробі побудови послідовності окремо розв'язуваних задач згину і плоского напруженого стану, виникає два класи задач, у залежності від того або . Слід зазначити, що проміжки безрозмірних частот , де , малі в порівнянні з проміжками , де .

Асимптотичні розв'язки добре наближають точні (досить взяти тільки нульові члени асимптотичних розвинень), особливо для частот менших першої власної частоти. Похибка наближення збільшується в околі власних частот.

Для згинального навантаження, за невеликих , згинальні напруження більші в порівнянні з плоскими. Для плоского навантаження, за невеликих , плоскі напруження більше в порівнянні із згинальними. Зі зменшенням ця різниця стає більш значною.

У §5.2 розглянуто коробчасту оболонку квадратного профілю, що складається з смугоподібних пластин товщини . Напружено-деформований стан пластин складається із згину і плоского напруженого стану. Оболонка має скінчену довжину і на її торцях задані періодичні граничні умови. Перпендикулярно до кожної пластини посередині з частотою діють зосереджені сили. Оскільки конструкція має 4 площини симетрії, то розглядається тільки її частина, що являє собою смугу ширини з відповідними граничними умовами, які враховують симетрію. За допомогою скінченого перетворення Фур'є з параметром задача зводиться до трьох одновимірних крайових задач зі зв'язаними крайовими умовами. Знайдено перші власні частоти коливань і проведено порівняння з власними частотами для рами. Розв'язок задачі отримано у вигляді ряду за допомогою обернення перетворення Фур'є. Побудовано графіки рівня прогинів пластини. Встановлено, що за частот, досить близьких до власних, у розв'язку, який подано рядом Фур'є, основний внесок дає доданок, що відповідає цій частоті. Зі збільшенням частоти зовнішньої сили і переході через власні частоти збільшується кількість екстремумів функції прогинів на одиницю площі конструкції, причому вони змінюють своє розташування.

У §5.3 розглянуто задачу, таку ж саму як в §5.2, але для нескінченної коробчастої оболонки квадратного профілю. За допомогою нескінченного перетворення Фур'є з параметром отримано такі ж задачі як і в §5.2. Розв'язок задач мають полюси при дійсних значеннях , що визначаються з дисперсійного відношення .

Побудовано дисперсійні криві для цього відношення. Знайдено значення резонансних частот (за якими переміщення тіла стають нескінченними і дотична до дисперсійної кривої має нескінченний тангенс кута нахилу), а також проміжки частот, для яких існують зворотні хвилі, що приходять з нескінченності (в цьому випадку дисперсійна крива має від'ємний тангенс кута нахилу дотичної, а відповідні полюси стають нерегулярними). При оберненні перетворення Фур'є використано принцип граничного поглинання і умови випромінювання, що сформульовані В. А. Бабешко і І. І. Воровичем, які полягають у правилі обходу регулярних і нерегулярних полюсів дисперсійного співвідношення. Знайдено комплексні амплітуди прогинів пластини. Встановлено, що проміжки частот для яких існують зворотні хвилі дуже малі і їхня довжина прямує до нуля зі збільшенням частоти. У розглянутій задачі відсутня зона частот так званої квазістатики (відсутні незатухаючі на нескінченності хвилі). При щільність дисперсійних кривих зростає. Зі збільшенням росте кількість полюсів на дійсній осі . За малих частот розв'язок задачі в точній постановці практично не відрізняється від розв'язку задачі, яка описує згинальні коливання смуги защемленої по краях.

Таким чином, у п'ятому розділі досліджено змушені гармонічні коливання квадратної рами і коробчастої оболонки квадратного профілю. Побудовано точні розв'язки цих задач. Знайдено власні і резонансні частоти.

Результати цього розділу опубліковано в працях [5,7,12,13].

Основні результати і висновки

У дисертації вирішено наукове завдання, спрямоване на одержання розв'язку задач про напружено-деформований стан нескінченних коробчастих оболонок прямокутного профілю при наявності прямолінійних тріщин або тонких включень, а також про змушені гармонічні коливання квадратної рами та коробчастої оболонки квадратного профілю.

Основні наукові результати і висновки, які отримано в роботі, наступні:

1. Узагальнено метод розрахунку коробчастих оболонок прямокутного профілю на випадок відсутності площин симетрії у задачі. Дано нову інтерпретацію наближеного підходу до таких задач. Побудовано функції впливу (функції Гріна) для задач про напружений стан коробчастої оболонки прямокутного профілю у випадку згину або плоского напруженого стану пластин, які складають оболонку.

2. Побудовано ефективні наближені розв'язки задач про напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю, яка послаблена поздовжньою або поперечною тріщиною. Побудовано та досліджено залежність коефіцієнтів інтенсивності напружень від довжини тріщини і розмірів оболонки.

3. Побудовано ефективні наближені розв'язки задач про напружено-деформований стан нескінченної коробчастої оболонки прямокутного профілю з двома тонкими, абсолютно жорсткими включеннями різної довжини. Розглянуто випадки симетричного розташування відносно ребер оболонки поздовжнього і поперечного або поперечних включень. Побудовано та досліджено залежність осідання включень від їхньої довжини і розмірів оболонки. Встановлено факт наявності максимуму осідання включення при зміні параметра .

4. Розв'язано задачу про гармонічні коливання квадратної рами під дією чотирьох зосереджених сил, прикладених або до середин кожного стрижня (випадок згинального навантаження), перпендикулярно їм, або до кутів рами уздовж їхніх бісектрис (випадок плоского навантаження). З'ясовано, що задачу (як у випадку згину, так і плоского навантаження) можна розв'язувати в спрощеній постановці, причому в залежності від частоти зовнішнього навантаження ці постановки розрізняються. Побудовано та досліджено залежності згинальних і плоских напружень від частоти зовнішньої сили. Проведено порівняння точних і наближених розв'язків. Знайдено власні частоти коливань конструкції.

5. Розв'язано задачу про змушені гармонічні коливання скінченної коробчастої оболонки квадратного профілю під дією зосереджених сил, які прикладені до середини кожної пластини. На торцях оболонки задані умови періодичності. Знайдено власні частоти коливань. Побудовано графіки рівня прогинів конструкції.

6. Розв'язано задачу про змушені гармонічні коливання нескінченної коробчастої оболонки квадратного профілю під дією зосереджених сил, які прикладені до середини кожної пластини. Побудовано дисперсійні криві. Знайдено значення резонансних частот, а також проміжки частот, при яких є зворотна хвиля, яка приходить з нескінченності.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Реут В. В., Воробель В. М. Концентрация напряжений вблизи концов продольной трещины в коробчатой оболочке // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій (випуск 2): В 3_х т. / Під заг. ред. Панасюка В. В. - Львів: Каменяр, 1999. - Т. 2. - С.316-319.

2. Воробель В. М., Реут В. В. Концентрація напружень біля вершин поперечної тріщини у коробчастій оболонці // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2000. - Вип. 7. - С. 64-67.

3. Воробель В. М., Реут В. В. Коробчатая оболочка, подкрепленная тонким жестким включением, параллельным ее ребрам // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: В 2-х т.- Львів, 2000. - Т. 2. - С. 87-90.

4. Воробель В. М., Реут В. В. Бесконечно длинная коробчатая оболочка, подкрепленная двумя абсолютно жесткими включениями, перпендикулярными к её ребрам // Теорет. и прикладная механика. - 2001.- Вып. 34. - С. 109-115.

5. Воробель В. М., Реут В. В. Установившиеся колебания квадратной рамы под действием сосредоточенных сил // Вісник Одеськ. держ. ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. - 2001. - Т. 6, вип. 3. - С. 100-107.

6. Воробель В. М., Реут В. В. Бесконечно длинная коробчатая оболочка, подкрепленная двумя скрещивающимися жесткими включениями // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка. - 2002. - Т. 2, вип. 6. - С. 35-42.

7. Воробель В. М., Реут В. В. Периодическая задача о колебаниях коробчатой конструкции // Вісник Одеськ. держ. ун-ту. Сер.: фіз.-мат. науки. - 2003. - Т. 8, вип. 2. - С. 150-155.

8. Реут В. В., Воробель В. М. Концентрация напряжений вблизи концов трещины в коробчатой оболочке // Тр. VIII научной школы “Деформирование и разрушение материалов с дефектами, и динамические явления в горных породах и выработках”, Алушта, 14-20 сентября 1998 г. - Симферополь: Симфероп. гос. университет, 1998. - С.109.

9. Воробель В. М., Реут В. В. Концентрация напряжений вблизи концов поперечной трещины в коробчатой оболочке // Материалы III научной школы “Импульсные процессы в механике сплошных сред” 6-10 сентября 1999 г. - Николаев, 1999. - С. 122.

10. Реут В. В., Воробель В. В. Концентрація напружень біля вершин поперечної тріщини у коробчастій оболонці // Тези доповідей наукової конференції “Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасність)”. Секція “Сучасні проблеми механіки”, Львів, 24-28 листопада 1999 р. - Львів, 1999. - С. 12.

11. Воробель В. М., Реут В. В. Решение краевой задачи описывающей напряженное состояние коробчатой оболочки с жестким включением // Тези доповідей Міжнародної конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння”, Одеса, 12-14 вересня 2000 р. - Одеса: Астропринт, 2000.- С. 57-58.

12. Воробель В. М., Реут В. В. Коливання нескінченної коробчастої конструкції квадратного профілю під дією зосереджених сил // Тези доповідей Міжнародної наукової конференції “Сучасні проблеми механіки”, Київ, 26-28 вересня 2003 р. - Київ, 2003. - С. 18.

13. Воробель В. М., Реут В. В. Установившиеся колебания бесконечной пластинчатой конструкции квадратного профиля // Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием, Ростов-на-Дону - Азов, 13-16 октября 2003 г. - Ростов-на-Дону: Новая книга, 2004. - С. 116-118.

14. Воробель В. М. Бесконечная коробчатая оболочка прямоугольного профиля с прямолинейной трещиной параллельной ее ребрам // Тезисы докладов Международной конференции “Интегральные уравнения и их применения”, Одесса, 29 июня - 4 июля 2005 г. - Одесса, 2005. - С. 23.

Анотація

Воробель В. М. Міцність і коливання коробчастих оболонок, в тому числі при наявності прямолінійних дефектів.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла.- Одеський національний університет імені І. І. Мечникова, Одеса, 2006.

У дисертації розв'язано та досліджено задачі про напружено-деформований стан нескінченних коробчастих оболонок прямокутного профілю з прямолінійними дефектами (тріщинами або тонкими абсолютно жорсткими включеннями) скінченної довжини, а також задачі про змушені гармонічні коливання квадратної рами та коробчастої оболонки квадратного профілю.

Конструкція складається з жорстко з'єднаних між собою під прямим кутом чотирьох тонких смуг-пластин однакової товщини і зроблених з одного матеріалу, кожна з яких знаходиться у стані згину і плоского напруженого стану. У випадку тріщини розглянуто два варіанти її розташування в одній із пластин конструкції: паралельно і перпендикулярно її ребрам. До берегів тріщини прикладене розподілене навантаження у виді згинальних моментів і узагальнених поперечних сил.

У випадку включень розглянуто два варіанти їхнього спільного розташування на протилежних пластинах конструкції: обидва включення перпендикулярні її ребрам, або одне з них паралельно а інше перпендикулярно її ребрам. До середини кожного включення прикладена зосереджена сила. Задачі з дефектами розглянуто в наближеній постановці, коли враховується тільки згин пластин конструкції, а її ребра вважаються нерухомими.

Досліджено залежності від геометричних параметрів конструкції коефіцієнта інтенсивності напружень і осідання включень. Побудовано точні розв'язки задач про коливання коробчастої оболонки. Знайдено її власні і резонансні частоти коливань.

Ключові слова: коробчаста оболонка, тріщина, включення, коливання, пластина, згин, плоский напружений стан, власні частоти, резонансні частоти.

Аннотация

Воробель В. М. Прочность и колебания коробчатых оболочек, в том числе при наличии прямолинейных дефектов.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.- Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова, Одесса, 2006.

В диссертации решены и исследованы задачи о напряженно-деформированном состоянии бесконечных коробчатых оболочек прямоугольного профиля с прямолинейными дефектами (трещинами или тонкими, абсолютно жесткими включениями) конечной длины, а также задачи о вынужденных гармонических колебаниях квадратной рамы и коробчатой оболочки квадратного профиля.

Конструкция состоит из жестко соединенных между собой под прямым углом четырех тонких полос-пластин одинаковой толщины и сделанных из одного материала, каждая из которых находится в состоянии изгиба и плоского напряженного состояния. В случае трещины рассмотрены два варианта ее расположения в одной из пластин конструкции: параллельно и перпендикулярно ее ребрам.

К берегам трещины приложена распределенная нагрузка в виде изгибающих моментов и обобщенных поперечных сил. В случае включений рассмотрены два варианта их совместного расположения на противоположных пластинах конструкции: оба включения перпендикулярны ее ребрам или одно из них параллельно, а другое перпендикулярно ее ребрам. К середине каждого включения приложена сосредоточенная сила. Задачи с дефектами рассмотрены в приближенной постановке, когда учитывается только изгиб пластин конструкции, а ее ребра считаются неподвижными.

Исследованы зависимости от геометрических параметров конструкции коэффициента интенсивности напряжений и осадки включений. Построены точные решения задач о колебаниях коробчатой оболочки. Найдены её собственные и резонансные частоты.

В диссертации выполнено научное задание, направленное на получение решений задач о напряженном состоянии коробчатых оболочек при наличии прямолинейных трещин или тонких включений, а также о вынужденных гармонических колебаниях коробчатых оболочек квадратного профиля.

Основные научные результаты и выводы, полученные в работе, состоят в следующем.

1. Обобщен метод расчета коробчатых оболочек прямоугольного профиля на случай отсутствия плоскостей симметрии в задаче. Дана новая интерпретация приближенного подхода к таким задачам. Построена функция влияния (функция Грина) для задач о напряженном состоянии коробчатой оболочки прямоугольного профиля в случае изгиба или плоского напряженного состояния пластин, составляющих оболочку.

2. Построены эффективные приближенные решения задач о напряженно-деформированном состоянии бесконечной коробчатой оболочки, ослабленной продольной или поперечной трещиной. Получена и исследована зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от длины трещины и размеров оболочки.

3. Построены эффективные приближенные решения задач о напряженно-деформированном состоянии бесконечной коробчатой оболочки с двумя тонкими, абсолютно жёсткими включениями разной длины. Рассмотрены случаи симметричного размещения относительно ребер оболочки продольного и поперечного или поперечных включений. Получены и исследованы зависимости осадок включений от их длины и размеров оболочки. Установлен факт наличия максимума прогиба включения при изменении параметра .

4. Решена задача о гармонических колебаниях квадратной рамы под действием четырёх сосредоточенных сил, приложенных либо к серединам каждого стержня (случай изгибной нагрузки), перпендикулярно им, либо к углам рамы вдоль их биссектрис (случай плоской нагрузки). Показано, что задачу (как в случае изгибной, так и плоской нагрузки) можно решать в упрощенной постановке, причем в зависимости от частоты внешней нагрузки эти постановки различаются. Исследованы зависимости изгибных и плоских напряжений от частоты внешней силы. Проведено сравнение точных и приближенных решений. Найдены собственные частоты колебаний конструкции.

5. Решена задача о вынужденных гармонических колебаниях конечной коробчатой оболочки квадратного профиля под действием сосредоточенных сил, приложенных к центру каждой пластины. На торцах оболочки заданы условия периодичности. Найдены первые собственные частоты колебаний. Построены контурные графики прогибов конструкции.

6. Решена задача о вынужденных гармонических колебаниях бесконечной коробчатой оболочки квадратного профиля под действием сосредоточенных сил, приложенных к центру каждой пластины. Построены дисперсионные кривые. Найдены значения резонансных частот, а также промежутки частот, при которых существует обратная волна, приходящая из бесконечности.

Ключевые слова: коробчатая оболочка, трещина, включение, колебания, пластина, изгиб, плоское напряженное состояние, собственные частоты, резонансные частоты.

Summary

Vorobel V. M. Strength and vibrations of box shells, including in the presence of linear defect.- Manuscript.

Thesis for a Ph. D. degree in physical and mathematical sciences by speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solids.- Odessa I. I. Mechnikov national university, Odessa, 2006.

In the thesis the problems about the stress-strain state of the infinite box shell of the rectangular section with linear defects (the crack or the thin absolutely rigid inclusions) of the finite length and also the problems about the forced harmonic vibrations of square frame and square section box shells are investigated. The structure consists of the four thin strip plates of the identical width and made from the same material.

The plates rigidly jointed among themselves under a right angle. Each of the plate is in the states of the bending and the two-dimensional stress state. In the case of a crack, the two variants of its situating in the one of plates are considered: parallel or perpendicular to the shell's edges. The crack edges are loaded by the distributed flexural moments and the generalized transverse forces. In the case of the inclusions, the two variants of their situating on the opposite plates of the structure are considered: both of them are perpendicular to its edges or one of them is parallel and another is perpendicular to its edges.

To the middle of the each inclusions the concentrated force is loaded. The problems with defects were considered in the approximated statement, when only the bending of the structure plates is taken into account and the edges of the structure are fixed.

The dependences of stress intensity factor and the displacement of the inclusions from geometrical parameters of the box shell are investigated. The exact solutions of the problems about the box shell's vibrations are constructed. The natural and resonance frequencies of the box shell are found.

Key words: box shell, crack, inclusion, vibrations, plate, bending, two-dimensional stress state, natural frequencies, resonance frequencies.

Размещено на Allbest.ru

...