Основні серії представлень некомпактних квантових груп

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ІМЕНІ Б.І. ВЄРКІНА

01.01.03 -- Математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Основні серії представлень некомпактних квантових груп

Берштейн Ольга Олександрівна

Харків--2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук

Ваксман Леонід Львович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

імені Б.І. Вєркіна НАН України, старший науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Клімик Анатолій Улянович,

Інститут теоретичної фізики імені М.М. Боголюбова НАН України,

завідувач відділу математичних методів в теоретичній фізиці;

кандидат фізико-математичних наук,

Толстой Валерій Миколайович,

Науково-дослідний інститут ядерної фізики імені Д.В. Скобельцина

МДУ імені М.Ю. Ломоносова, провідний науковий співробітник.

Захист відбудеться 05.03.2008 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна 47, зал засідань математичного відділення.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України, 61103, м. Харків, пр. Леніна 47.

Автореферат розісланий 04.02.2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О.Горькавий

Размещено на http://allbest.ru

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Наприкінці 70-х років XX сторіччя Л. Д. Фаддеєвим і його співробітниками було розвинуто метод побудови та дослідження цілком інтегровних моделей квантової теорії поля і статистичної фізики, який отримав назву квантового метода зворотної задачи розсіювання. В середині 80-х років під впливом квантового метода зворотної задачи розсіювання виникла нова область математичних досліджень -- теорія квантових груп.

Аналізуючи алгебраїчні структури, відповідальні за повну інтегрованість квантових систем, В. Дрінфельд і М. Джимбо запровадили до розгляду важливий клас алгебр Хопфа, які є деформаціями універсальних огортуючих алгебр. Дрінфельд назвав такі алгебри Хопфа квантовими групами. На середину 80-х років ним була отримана низка глибоких результатів стосовно квантових груп. Зокрема, в межах цих досліджень було знайдено універсальний спосіб побудови широкого класу рішень квантового рівняння Янга-Бакстера, яке є одним із основних рівнянь квантового метода зворотної задачи розсіювання.

Наприкінці 80-х років і в 90-і роки були знайдені застосування теорії квантових груп до вивчення решітчастих моделей статистичної механіки та до побудови факторів Неймана, а також несподівані зв'язки теорії квантових груп із конформною квантовою теорією поля і з тривимірною топологічною квантовою теорією поля.

На цей час теорія компактних квантових груп була досить добре розвинута завдяки зусиллям С. Вороновича, Я. Сойбельмана, М. Ноумі та багатьох інших математиків. Навпаки, теорія некомпактних квантових груп та їх однорідних просторів залишалася мало розвинутою попри те, що ці об'єкти мають чисельні застосування у багатьох розділах математики та фізики.

У другій половині 90-х років Т. Танісакі зі співробітниками та Г. Якобсеном незалежно були запроваджені нові об'єкти некомутативної геометрії -- квантові передоднорідні векторні простори комутативного параболічного типу. В 1998 році Л. Ваксман і Д. Сінельщиков зробили вирішальний крок у цьому напрямку -- перейшли від квантових передоднорідних векторних просторів до квантових обмежених симетричних областей.

Таким чином, квантові групи та квантові обмежені симетричні області є невід'ємною частиною математичного апарату теоретичної фізики, та їх подальше вивчення є одним з пріоритетних напрямків сучасної математичної фізики.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Тема дисертації затверджена на засіданні Вченої ради математичного відділення ФТІНТ НАН України (протокол № 6 від 21 листопада 2003 р.). Робота виконана в межах тем “Аналітичні методи в теорії операторних алгебр, ди

намічних систем і теорії розсіювання” (номер державної реєстрації 0103U000313) і “Динамічні системи і спектральна теорія диференціальних та різницевих операторів” (номер державної реєстрації 0106U002558).

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження -- побудова квантових аналогів основних задач теорії представлень дійсних редуктивних груп Лі. Об'єкт дослідження - квантові обмежені симетричні області. Предмет дослідження - основні серії представлень некомпактних квантових груп і пов'язані з цим питання некомутативного гармонійного аналіза.

Задачами дослідження є

- побудова скалярної основної виродженої серії квантових Uqsun,n-модулів Хариш-Чандри, пов'язаної з межею Шилова S() квантового матричного шару в просторі комплексних nЧn-матриць; вирішення типових задач теорії представлень, пов'язаних з цією серією;

- опис квантового аналога шару в просторі комплексних симетричних nЧn-матриць; опис за допомогою твірних та співвідношень алгебри поліномів в шарі, *-алгебри функцій на межі Шилова S() цієї області;

- формулювання та доведення квантового аналога результата Сахі стосовно сумісного спектра інваріантних диференціальних операторів в просторі комплексних nЧn-матриць;

- побудова скалярної сферичної основної невиродженої серії квантових Uqg-модулів Хариш-Чандри. квантовий матриця модуль

Методи дослідження. В дисертації використовуються стандартні методи геометричної теорії представлень, теорії операторів в гільбертових просторах і теорії голоморфних векторних розшарувань.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації є актуальними та новими. Вони полягають у наступному:

- побудовано скалярну основну вироджену серію квантових Uqsun,n -модулів Хариш-Чандри, пов'язану з межею Шилова квантового матричного шару в просторі комплексних nЧn-матриць. Отримано критерії того, що модуль цієї серії є незвідним або унітаризується, в звідному випадку наведено опис незвідних підмодулів та незвідних підмодулів, що припускають унітаризацію. Також, одержано явні формули нетривіальних сплітаючих операторів;

- побудовано квантовий аналог шару в просторі комплексних симетричних nЧn-матриць. Наведено явний опис за допомогою твірних та співвідношень Uqsp2n-модульної алгебри поліномів в шарі, Uqsp2n ()-модульної -алгебри поліномів на дійсному просторі симетричних комплексних nЧn-матриць і Uqsp2n() -модульної *-алгебри функцій на межі Шилова S() цієї області;

- одержано явну формулу сумісного спектра квантових інваріантних диференціальних операторів у просторі квантових комплексних nЧn-матриць;

- побудовано скалярну сферичну основну невироджену серію квантових Uqg -модулів Хариш-Чандри.

Практичне і теоретичне значення дисертації. Дисертація носить теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути застосовані в теорії квантових груп, некомутативній геометрії і при вивченні точно вирішуваних моделей квантової фізики.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач належать науковому керівнику. На захист виносяться лише результати, вклад здобувача у доведення яких є вирішальним. Лема 2 роботи [2] отримана сумісно з Л. Ваксманом, твердження 1, 2, 3, 5 та леми 1, 2, 3 і 5 роботи [4] отримано сумісно з Л. Ваксманом та О. Століним. Решту результатів здобувачем отримано самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на загальноматематичному симпозіумі в межах ''Перших Каразінських природнонаукових студій'' (Харків, червень 2004 р.), конференції ''Теорія представлень і її застосування'' (Уппсала, Швеція, червень 2004 р.), на 4 Міжнародному Симпозіумі ''Квантова теорія і симетрія'' (Варна, Болгарія, серпень 2005 р.), на 7-ій міжнародній конференції ''Симетрія в нелінійній математичній фізиці'' (Київ, червень 2007 р.) та на конференції ''Квантові групи та некомутативна геометрія'' (Бонн, Німеччина, серпень 2007 р.).

Публікації. За матеріалами цієї дисертації опубликовано 4 статті [1], [2], [3], [4], і тези [5], [6]. Усі публікації вийшли в виданнях, які відповідають вимогам ВАКу.

Структура дисертації. Дисертація викладена російською мовою. Вона складається зі вступу, основної частини (розділи 1-5), висновків, списку використаних джерел (84 найменування) і двох додатків. Повний обсяг дисертації 168 сторінок, обсяг основної частини -- 137 сторінок, обсяг переліку цитованої літератури -- 8 сторінок, обсяг додатків -- 23 сторінки.

Автор щиро дякує науковому керівникові Л.Л. Ваксману за постановки задач та допомогу в роботі над дисертацією.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ присвячено загальним визначенням і результатам теорії алгебр Лі, обмежених симетричних областей і їх квантових аналогів -- квантових універсальних огортуючих алгебр і квантових обмежених симетричних областей. Ці факти є широко відомими, та мають бути наведені в роботі задля полегшення викладення основних результатів. Стисло наведемо необхідні визначення і результати.

Нехай (aij)i,j=1,…,l -- нерозкладна матриця Картана додатного типу, g -- відповідна проста комплексна алгебра Лі. Добре відомий опис універсальної огортуючої алгебри Ug за допомогою твірних ei, fi, hi, i=1,…,l, і стандартних співвідношень.

Розглянемо лінійну оболонку h множини {hi| i=1,…,l}. Визначимо прості корені {бi h* | i=1,…,l} за допомогою рівнянь бi(hj)=aij. Будемо використовувати наступні позначення:

{i | i=1,…,l} -- фундаментальні ваги,

P=li=1 i -- решітка ваг,

P+=li=1 +i -- решітка цілочислових домінантних ваг.

Нехай -- максимальний корень, =li=1 ci бi. Виберемо l0{1,…,l} таким чином, що cl0=1. Існує єдиний елемент h0h, який задовольняє наступним умовам:

бi(h0)=0, il0; бl0(h0)=2.

Алгебра Лі g наділяється наступним -градуюванням:

g=g-1 g0 g1, gj ={g | [h0, ]=2j } (1)

Позначимо через k g підалгебру Лі, породжену множиною

{ej, fj | j=1,..,l, jl0} {hi | i=1,…,l}.

З (1) витікає, що g0=k і пара (g, k) називається ермітово симетричною парою. В теорії ермітових симетричних просторів загально вживаними є позначення: p=g1.

Хариш-Чандра показав, що кожна незвідна обмежена симетрична область біголоморфно ізоморфна одиничному шару в нормованому векторному просторі p-. Ця реалізація має назву стандартна.

Нагадаємо основні поняття теорії квантових груп. У подальшому основним полем буде поле, усі алгебри будуть вважатися асоціативними і унітальними. Виберемо число q (0,1).

Нехай d1,…,dl -- такі взаємно прості натуральні числа, що матриця (di aij)i,j=1,…,l є симетричною. Квантова універсальна огортуюча алгебра Uqg -- це алгебра Хопфа з твірними Ki, Ki-1, Ei, Fi, i=1,…,l і визначальними співвідношеннями Дрінфельда-Джимбо. Комноження , коодиниця і антіпод S визначаються за допомогою добре відомих формул.

Алгебра Ug може бути отримана з алгебри Uqg за допомогою підстановки Ki=qdihi, i=1,…,l і подальшого формального граничного переходу q 1.

Запровадимо важливі класи Uqg -модулів. Модуль V називається ваговим, якщо він припускає розклад у пряму суму вагових підпросторів

V= V V={v V | K1j v=qdjj v, j=1,…,l},

де =j j j P. Підпростір V називається ваговим підпростором ваги .

У ваговому модулі V лінійні оператори Hj визначаються рівняннями Hj v= j v при v V. Тим самим визначено дію елементів картанівської підалгебри h алгебри Лі g в модулі V. Кожний ваговий Uqg -модуль V наділяється градуюванням за допомогою елемента :

V=j Vj Vj={v V | h0 v=2j v}.

Позначимо через Uqk Uqg підалгебру Хопфа, породжену множиною

{Ej, Fj | j=1,..,l, jl0} {Ki1 | i=1,…,l}.

Ваговий Uqg-модуль V називається модулем Хариш-Чандри, якщо він породжується за допомогою скінченної множини елементів і розкладається в суму скінченновимірних простих Uqk-модулів і задля кожного скінченновимірного простого Uqg-модуля W.

Підрозділ 1.1 є допоміжним. У ньому надаються необхідні визначення модулів Верма та узагальнених модулів Верма над алгеброю Uqg. Позначимо через L() при P+ простий Uqg -модуль із твірною v() і визначальними співвідношеннями

.

Наведемо визначення квантового узагальненого модуля Верма. Нехай Uqq+ Uqg -- підалгебра Хопфа, породжена множиною

{Fj | j=1,..,l, jl0} {Ki1, Ei | i=1,…,l}.

Позначимо P+S={=(1,…,j) l | j +, j l0}. Кожному P+S відповідає простий ваговий Uqk-модуль L(k,) зі старшою вагою . За допомогою сюр'єктивного гомоморфизму алгебр Хопфа

: Uqq+ Uqk, +(Uqk)=id, (El0)=0,

простір L(k,) наділяється структурою Uqq+-модуля. Узагальненим модулем Верма зі старшою вагою називають Uqg-модуль

.

Підрозділ 1.2 містить важливі визначення квантових аналогів алгебри поліномів на векторному просторі p- і *-алгебри поліномів на дійсному векторному просторі . Ці об'єкти були запроваджені Л. Ваксманом і Д. Сінельщиковим. Квантовим аналогом алгебри поліномів на p- є Uqg-модульна алгебра, яка позначається [p-]q, а квантовим аналогом алгебри поліномів на --( Uqg,*)-модульна Тобто інволюції в U_qg і Pol(p^-)_q узгоджені за правилом ( f)^*=(S())^* f^*, U_qg, f Pol(p^-)_q. алгебра Pol(p-)q. Нехай

[p-]q,1 ={f [p-]q | deg f=1}.

Відомо, що [p-]q,1 породжує алгебру [p-]q і *-алгебру Pol(p-)q.

У підрозділі 1.3 надаються визначення квантового аналогу алгебри регулярних функцій на групі G і деяких елементів цієї алгебри.

У підрозділі 1.4 побудовано геометричні реалізації модулів Хариш-Чандри. Нагадаємо добре відомі класичні результати (тобто які відносяться до граничного випадку q=1). Розглянемо область і пов'язану з нею ермітово симетричну пару (g , k). Нехай G -- однозв'язна комплексна лінійна алгебраїчна група, Lie(G) = g, і K G -- така зв'язна лінійна алгебраїчна підгрупа, що Lie(K) =k.

Розглянемо підалгебру Лі b g, породжену множиною

{ei, hi | i=1,…,l}.

Відповідна зв'язна підгрупа B G називається стандартною борелівською підгрупою. Однорідний простір G/B -- однозв'язний проєктивний многовид, який називається простором повних флагів. Із відкритою K-орбітою в G/B, яка є афінним алгебраїчним многовидом, повязана основна невироджена серія модулів Хариш-Чандри.

Нагадаємо, що область є трубчатою тоді й тільки тоді, коли

w0 l0=-l0,

де w0 -- елемент максимальної довжини групи Вейля алгебри Лі g. Розглянемо підалгебру Лі p g, породжену

{fj | j=1,..,l, jl0} {ei, hi | i=1,…,l},

і відповідаючу їй зв'язну алгебраїчну підгрупу P G. Однорідний простір X=G/P -- однозв'язний проєктивний многовид. У трубчатому випадку скалярна основна вироджена серія модулів Хариш-Чандри реалізується в просторі регулярних функцій на відкритій K-орбіті в G/P.

Наділимо універсальну огортуючу алгебру інволюцією

. (2)

Їй відповідає некомпактна дійсна форма G0 групи G з єдиною замкнутою G0-орбітою в G/P. Межа Шилова S() відповідає цій орбіті за Борелем i: G / P. Таким чином, унітаризуємі модулі Хариш-Чандри реалізуються в просторі функцій на межі Шилова S().

Квантовим аналогом інволюції (2) в алгебрі Ug є наступний інволютивний антіавтоморфізм алгебри Uqg, визначений на твірних за правилом:

.

У теорії представлень велике значення має вивчення модулів Хариш-Чандри, які припускають унітаризацію. Нагадаємо, що (Uqg,*)-модуль W припускає унітаризацію, якщо існує ермітова форма (півторалінійна ермітово симетрична додатно визначена форма) (,), інваріантна відносно дії Uqg, тобто

( u,v) = (u,* v) u,v W, Uqg .

Четвертий розділ, як і другий, пов'язаний з квантовим шаром в просторі комплексних nЧn -матриць Matn. Наведемо одержаний результат. Нагадаємо, що Pol(Matn)q -- квантовий аналог -алгебри поліномів на дійсному векторному просторі комплексних матриць p- = Matn. Добре відомо, що вона може бути визначена за допомогою твірних za, a, =1,…,n, визначальних співвідношень (3)-(6) і

(zb)*za=q2na',b'=1 n','=1 R(b,a,b',a')R(,,',')z a''(zb')*+(1-q2) ab,

де ab, -- символи Кронекера, і



Важливо зазначити, що алгебра Pol(Matn)q є і q-аналогом алгебри диференціальних операторів із поліноміальними коефіцієнтами. Дійсно, остання алгебра може бути отримана з Pol(Matn)q заміною змінних za (1-q2)-1/2za і подальшим формальним граничним переходом q 1.

Pol(Matn)q стандартним чином наділяється структурою Uqsl2n -модульної алгебри. Нехай n={=(1,…,n)n+ | 12…n} -- множина розбиттів довжини n. Аналогічно твердженню 2.4 можна одержати, що

,

де . Легко довести, що

,

причому . Легко перевірити, що при довільному розбитті вектор є старшим вектором Uqk-модуля . Зафіксуємо базис , який містить . Оберемо ізоморфізм між і таким чином, щоб двоїстий базис містив . Визначимо за допомогою рівності . Легко доводиться, що комутують.

Розглянемо Pol(Matn)q -модуль з однією твірною і визначальними співвідношеннями

(za)*f0=0, a,=1,…,n,

і через TF позначимо представлення алгебри Pol(Matn)q у векторному просторі . Можна довести, що -- простий -модуль, і TF -- точнее -представлення.

Простір представлення розкладається в пряму суму Uqk-ізотипічних компонент , кожна з яких є простим Uqk-модулем. Внаслідок цього, оператори є скалярними задля усіх и . Одержимо явні формули цих скалярів. Задля того, щоб сформулювати відповідь, нам знадобляться q-факторіальні поліноми Шура . При довільному розбитті

.

У підрозділі 4.1 доводиться наступна

Теорема 4.3 Для довільних розбиттів

,

де const=-ni=1 i (i+2n-2i).

Ця теорема є узагальненням на квантовий випадок результата Сахі стосовно сумісного спектру інваріантних диференціальних операторів. Підрозділ 4.2 присвячено додатковим результатам щодо q-факторіальних поліномів Шура.

П'ятий розділ присвячено побудові сферичної основної невиродженої серії квантових Uqg -модулів Хариш-Чандри. У підрозділі 5.1 побудовано квантовий аналог алгебри регулярних функцій на відкритій орбіті в многовиді G/B. Наведемо цю побудову. Розглянемо векторний простір

.

Цей простір наділяється структурою Uqg -модульної алгебри і є загально відомим квантовим аналогом однорідного координатного кільця простору флагів =B\G.

Нагадаємо важливе визначення. Нехай -- незвідна обмежена симетрична область і (g,k) -- відповідна ермітова симетрична пара. Простий ваговий скінченновимірний Uqg -модуль L() називається сферичним, якщо він має ненульовий Uqk -інваріантний вектор. Зазначимо, що . Більш того, множина + P+ старших ваг сферичних Uqg -модулів L() має вигляд += li=1 + +, де 1, 2, …, r -- так звані фундаментальні сферичні ваги, r -- ранг обмеженої симетричної області .

Оберемо ненульові вектори . У твердженні 5.1 доведено, що вони попарно комутують. Розглянемо мультиплікативну підмножину

алгебри і локалізацію алгебри по мультиплікативній системі . Легко доводиться, що природне P-градуювання продовжується з на локалізацію . Підалгебра

є квантовим аналогом алгебри [] регулярних функцій на відкритій K-орбіті =B\G. У підрозділі 5.2 ця алгебра наділяється структурою Uqg -модульної алгебри. У підрозділі 5.3 побудовано сферичну основну невироджену серію квантових модулів Хариш-Чандри. Для u=(u1, u2, …, ur) r оператори представлення u визначаються за допомогою наступної рівності

Перехід до загального випадку ur здійснюється за допомогою інтерполяції деяких векторнозначних функцій за змінними у відповідному просторі аналітичних функцій.

Підрозділ 5.4 є додатковим і містить результати стосовно голоморфних векторних розшарувань над півінтервалом , пов'язаних із модулями Верма L().

ВИСНОВКИ

У дисертації побудовано геометричні реалізації основних серій представлень некомпактних квантових груп, які пов'язані з квантовими обмеженими симетричними областями. Зокрема,

- побудовано скалярну основну вироджену серію квантових Uqsun,n -модулів Хариш-Чандри, пов'язану з межею Шилова S() квантового матричного шара в просторі комплексних nЧn -матриць; одержано критерії простоти і унітаризуємості модулів цієї серії, у звідному випадку надано опис незвідних підмодулів; отримано явні формули деяких нетривіальних сплітаючих операторів;

- одержано явний опис квантового аналога шару в просторі комплексних симетричних nЧn -матриць; отримані явні описи за допомогою твірних і співвідношень Uqsp2n-модульної алгебри поліномів в цьому шарі, Uqsp2n ()-модульної -алгебри поліномів на дійсному просторі симетричних комплексних nЧn -матриць і Uqsp2n ()-модульної -алгебри функцій на межі Шилова S() цієї області;

- одержано квантовий аналог результата Сахі стосовно сумісного спектру інваріантних диференціальних операторів у просторі комплексних nЧn -матриць;

- побудовано скалярну сферичну основну невироджену серію квантових -модулів Хариш-Чандри.

Отримані результати можуть бути використані при вирішенні різних задач теорії представлень квантових груп, квантових обмежених симетричних областей і пов'язаних із ними задач некомутативної геометрії та гармонійного аналіза, а також точно вирішуваних моделей математичної фізики.

ПЕРЕЛІК ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ РОБІТ

Bershtein O. Degenerate principal series of quantum Harish-Chandra modules // J.Math.Phys. -- 2004. -- Vol. 45.-- No. 10. -- P.3800-3827.

Bershtein O. Regular functions on the Shilov boundary // J. of Alg. and Appl. -- 2005. -- Vol. 4. -- No. 6. -- P.613-629.

Bershtein O. On a q-analog of a Sahi result // J.Math. Phys -- 2007. -- Vol. 48. -- No. 4. -- P.1917-1924.

Bershtein O., Stolin A., Vaksman L. Spherical principal series of quantum Harish-Chandra modules // J. of Math. Phys., Anal., Geom. -- 2007. -- Vol. 3. -- No. 2. -- P. 157-175.

Берштейн О. Квантовый аналог теоремы Сахи о совместном спектре инвариантных дифференциальных операторов // XI Международная конференция им. М. Кравчука. -- 2006. -- С.321.

Bershtein O. On some bounded symmetric domains // Proceedings of Lie Theory and Applications-6 -- 2005. -- P. 150-156.

АНОТАЦІЇ

Берштейн О.О. Основні серії представлень некомпактних квантових груп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Фізико-технічний інститут низьких температур НАН України, Харків 2007.

Роботу виконано в межах теорії квантових груп та квантових обмежених симетричних областей. В ній вирішено низку задач теорії представлень некомпактних квантових груп. Зокрема, побудовано скалярну основну вироджену серію квантових Uqsun,n -модулів Хариш-Чандри, пов'язану з межею Шилова квантового матричного шару в просторі комплексних nЧn -матриць; також, знайдено критерії незвідності, еквівалентності та унітаризуємості цих модулів; досліджено квантовий аналог шару в просторі комплексних симетричних nЧn -матриць, Uqsp2n-модульна алгебра поліномів в шарі, Uqsp2n ()-модульна -алгебра поліномів на дійсному просторі симетричних комплексних nЧn -матриць і Uqsp2n ()-модульна -алгебра функцій на межі Шилова S() цієї області явно описані в термінах твірних та співвідношень; одержано явну формулу сумісного спектра квантових інваріантних диференціальних операторів у просторі квантових комплексних nЧn -матриц; побудовано скалярну сферичну основну невироджену серію квантових Uqg -модулів Хариш-Чандри.

Ключові слова: квантові групи, квантові обмежені симетричні області, основні серії представлень, квантові модулі Хариш-Чандри, що припускають унітаризацію.

Берштейн О.А. Основные серии представлений некомпактных квантовых групп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Физико-технический институт низких температур НАН Украины, Харьков 2007.

В середине 80-х Дринфельдом и Джимбо были получены глубокие результаты теории квантовых групп, возникшей из квантового метода обратной задачи рассеяния. Дальнейшие исследования многих коллективов математиков привели к развитию на стыке с некоммутативной геометрией теории квантовых векторных пространств и теории квантовых ограниченных симметрических областей. Последняя создана в последнее десятилетие благодаря работам Л.Л. Ваксмана с соавторами и является некоммутативным аналогом теории функций в ограниченных симметрических областях конечномерных комплексных векторных пространств.

Работа выполнена в рамках теории квантовых групп и квантовых ограниченных симметрических областей. В ней решаются некоторые важные задачи теории представлений некомпактных квантовых групп, являющиеся обобщением на квантовый случай результатов теории представлений вещественных редуктивных групп Ли, связанных с классическими ограниченными симметрическими областями. Отметим, что полученные результаты лежат на пути развития некоммутативного комплексного анализа и некоммутативного гармонического анализа в ограниченных симметрических областях.

Работа состоит из 5 глав. В первой главе содержатся общие определения и результаты теории квантовых групп, ограниченных симметрических областей и их квантовых аналогов.

Вторая глава посвящена построению скалярной основной вырожденной серии квантовых Uqsun,n -модулей Хариш-Чандры, связанной с границей Шилова квантового матричного шара в пространстве комплексных nЧn -матриц. Найдены ответы на стандартные вопросы теории представлений:

получены критерии простоты модулей этой серии, в приводимом случае описаны неприводимые подмодули;

получены результаты об эквивалентности модулей построенной основной вырожденной серии, найдены явные формулы для нетривиальных сплетающих операторов;

получены критерии унитаризуемости модулей основной вырожденной серии и в приводимом случае их простых подмодулей.

Тем самым перенесены на квантовый случай результаты работ Р. Хау и Е. Тана. Доказательство всех результатов основывается на явно проведенных сложных вычислениях в квантовой универсальной обертывающей алгебре Uqsl2n, в духе подхода Р. Хау и С.Т. Ли.

Третья глава посвящена построению квантового аналога шара в пространстве комплексных симметрических nЧn -матриц. А именно:

получено явное описание Uqsp2n-модульной алгебры полиномов в пространстве симметрических комплексных nЧn -матриц в терминах образующих и соотношений, что позволило уточнить результаты А. Камиты;

описана в терминах образующих и соотношений Uqsp2n ()-модульная *-алгебра полиномов на овеществленном пространстве симметрических комплексных nЧn -матриц;

описана в терминах образующих и соотношений Uqsp2n ()-модульная *-алгебра функций на границе Шилова S() этой области. Построен квантовый аналог вложения ограниченной симметрической области в двойственное по Картану пространство лагранжевых флагов.

В этой главе (в частном случае) уточняются и дополняются результаты Л. Ваксмана с соавторами, полученные для произвольной (стандартно вложенной по Картану) ограниченной симметрической области трубчатого типа.

В четвертой главе получена явная формула для совместного спектра инвариантных дифференциальных операторов в пространстве квантовых комплексных nЧn -матриц. Таким образом, получено обобщение на квантовый случай известного результата С. Сахи. Кроме того, этот результат является обобщением результатов недавней работы О. Берштейн, Л. Ваксмана и Е. Колесника о квантовом аналоге формулы Уоллака-Окунькова. Последний же результат оказывается тесно связан с задачей о нахождении носителя меры Планшереля и является первым шагом на пути к некоммутативному гармоническому анализу и формуле Планшереля. Примечательно, что на этом пути проявляется связь теории квантовых групп и теории q-специальных функций.

Пятая глава посвящена построению и геометрической реализации скалярной сферической основной невырожденной серии Uqg-модулей Хариш-Чандры в алгебре регулярных функций на открытой орбите в пространстве полных флагов. При этом существенно используются результаты о голоморфных однородных векторных расслоениях над полуинтервалом (0,1], слоями которых являются унитаризуемые (Uqg , *)-модули.

Ключевые слова: квантовые группы, квантовые ограниченные симметрические области, основные серии представлений, унитаризуемые квантовые модули Хариш-Чандры.

Bershtein O.A. Principal series of representations of noncompact quantum groups. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.03 - mathematical physics. - Institute for Low Temperature Physics and Engineering, Kharkov 2007.

The thesis concerns quantum group theory and quantum bounded symmetric domains. Problems of representation theory of quantum noncompact groups are solved in the thesis.

A principal degenerate series of quantum Harish-Chandra Uqsun,n -modules related to the Shilov boundary of the unit ball in the space of complex nЧn -matrices is introduced and studied. Criteria for simplicity, unitarizability and equivalence of these modules are obtained. A quantum analog of a Sahi result on joint spectrum of some invariant differential operators is obtained. The unit ball in the space of symmetric complex nЧn -matrices is studied. The Uqsp2n-module algebra of polynomials in , Uqsp2n ()-module -algebra of polynomials in the real space of complex symmetric nЧn -matrices and Uqsp2n ()-module -algebra of functions on the Shilov boundary S() of are described explicitly in terms of generators and relations. The spherical principal non-degenerate series of quantum Harish-Chandra Uqg-modules is introduced.

Key words: quantum groups, quantum bounded symmetric domains, principal series of modules, unitarizable quantum Harish-Chandra modules.

Размещено на Allbest.ru

...